差分与和式

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补充：差分与和式

.. . 高等数学课程 . 2020 年 2 月 12 日 . 暨南大学数学系吕荐瑞

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差分

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第一节

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不定和式 .

第二节

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定和式

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第三节

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分部求和 .

第四节

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差分的概念

定义设 ƒ_{() 为数列，其中  为非} · 负· 整· 数· ，定义数列的差分为 Δ(ƒ ()) = ƒ ( + 1) − ƒ (). 数列的差分依然是一个数列． · · · · 例子 Δ(2) = ( + 1)2− 2 = 2 + 1． .

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差分的概念

定义设 ƒ_{() 为数列，其中  为非} · 负· 整· 数· ，定义数列的差分为 Δ(ƒ ()) = ƒ ( + 1) − ƒ (). 数列的差分依然是一个数列． · · · · 例子 Δ(2) = ( + 1)2− 2 = 2 + 1．

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微分与差分

微分公式 1 d(c) = 0 2 d() = 1 · d 3 d() =  · −1· d 4 d() = ln  ·  · d ⇨ d(e) = ed 差分公式 1 Δ(c) = 0 2 Δ() = 1 3 Δ() =  · −1 4 Δ() = ( − 1) ·  ⇨ Δ(2) = 2 注记 下降幂  _{的定义见下页．} .

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微分与差分

微分公式 1 d(c) = 0 2 d() = 1 · d 3 d() =  · −1· d 4 d() = ln  ·  · d ⇨ d(e) = ed 差分公式 1 Δ(c) = 0 2 Δ() = 1 3 Δ() =  · −1 4 Δ() = ( − 1) ·  ⇨ Δ(2) = 2 注记 下降幂  _{的定义见下页．}

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微分与差分

微分公式 1 d(c) = 0 2 d() = 1 · d 3 d() =  · −1· d 4 d() = ln  ·  · d ⇨ d(e) = ed 差分公式 1 Δ(c) = 0 2 Δ() = 1 3 Δ() =  · −1 4 Δ() = ( − 1) ·  ⇨ Δ(2) = 2 注记 下降幂  _{的定义见下页．} .

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微分与差分

微分公式 1 d(c) = 0 2 d() = 1 · d 3 d() =  · −1· d 4 d() = ln  ·  · d ⇨ d(e) = ed 差分公式 1 Δ(c) = 0 2 Δ() = 1 3 Δ() =  · −1 4 Δ() = ( − 1) ·  ⇨ Δ(2) = 2 注记 下降幂  _{的定义见下页．}

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微分与差分

微分公式 1 d(c) = 0 2 d() = 1 · d 3 d() =  · −1· d 4 d() = ln  ·  · d ⇨ d(e) = ed 差分公式 1 Δ(c) = 0 2 Δ() = 1 3 Δ() =  · −1 4 Δ() = ( − 1) ·  ⇨ Δ(2) = 2 注记 下降幂  _{的定义见下页．} .

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下降幂

定义 设  为正整数，则正指数下降幂定义为  = ( − 1)( − 2) · · · ( −  + 1). 而负指数下降幂定义为 − = 1/( + 1)( + 2) · · · ( + ).

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微分与差分

微分性质 1 d(c) = c d 2 d( ± ) = d ± d 3 d() =  d +  d 4 d _  =  d− d 2 差分性质 1 Δ(c) = cΔ 2 Δ ± = Δ ± Δ 3 Δ = Δ +EΔ = Δ +EΔ 4 Δ _  = Δ_−Δ E 其中移位算子 E(ƒ ()) = ƒ ( + 1)． .

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微分与差分

微分性质 1 d(c) = c d 2 d( ± ) = d ± d 3 d() =  d +  d 4 d _  =  d− d 2 差分性质 1 Δ(c) = cΔ 2 Δ ± = Δ ± Δ 3 Δ = Δ +EΔ = Δ +EΔ 4 Δ _  = Δ_−Δ E 其中移位算子 E(ƒ ()) = ƒ ( + 1)．

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差分

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第一节

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不定和式 .

第二节

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定和式

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第三节

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分部求和 .

第四节

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连续与离散

差分的运算性质与微分很相似．差分可以认为是离散的微分．是否可以定义离散的积分呢？ ⇨ 微分的逆运算是积分，而差分的逆运算是和式．

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连续与离散

差分的运算性质与微分很相似．差分可以认为是离散的微分．是否可以定义离散的积分呢？ ⇨ 微分的逆运算是积分，而差分的逆运算是和式． .

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连续与离散

差分的运算性质与微分很相似．差分可以认为是离散的微分．是否可以定义离散的积分呢？ ⇨ 微分的逆运算是积分，而差分的逆运算是和式．

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连续与离散

差分的运算性质与微分很相似．差分可以认为是离散的微分．是否可以定义离散的积分呢？ ⇨ 微分的逆运算是积分，而差分的逆运算是和式． .

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则定义 ƒ () 的}不定积分为 ∫ ƒ() d = F() + C. 例如，由 d_(2_{) = 2 d 可知} ∫ _{2 d} _{= }2_{+ C．} 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则定义 ƒ () 的}不定和式为 ∑ ƒ() = F() + C. 例如，由 Δ_(2_{) = 2 + 1 可知} ∑_{(2 + 1) = }2_{+ C.}

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则定义 ƒ () 的}不定积分为 ∫ ƒ() d = F() + C. 例如，由 d_(2_{) = 2 d 可知} ∫ _{2 d} _{= }2_{+ C．} 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则定义 ƒ () 的}不定和式为 ∑ ƒ() = F() + C. 例如，由 Δ_(2_{) = 2 + 1 可知} ∑_{(2 + 1) = }2_{+ C.} .

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则定义 ƒ () 的}不定积分为 ∫ ƒ() d = F() + C. 例如，由 d_(2_{) = 2 d 可知} ∫ _{2 d} _{= }2_{+ C．} 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则定义 ƒ () 的}不定和式为 ∑ ƒ() = F() + C. 例如，由 Δ_(2_{) = 2 + 1 可知} ∑_{(2 + 1) = }2_{+ C.}

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则定义 ƒ () 的}不定积分为 ∫ ƒ() d = F() + C. 例如，由 d_(2_{) = 2 d 可知} ∫ _{2 d} _{= }2_{+ C．} 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则定义 ƒ () 的}不定和式为 ∑ ƒ() = F() + C. 例如，由 Δ_(2_{) = 2 + 1 可知} ∑_{(2 + 1) = }2_{+ C.} .

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不定积分与不定和式

积分公式 1 ∫ 1 d =  + C 2 ∫ d= _₊₁1 +1+ C 3 ∫ d= _{ln }1  + C ⇨ ∫ ed= e+ C 和式公式 1 ∑1 =  + C 2 ∑ = 1 +1 +1_{+ C} 3 ∑ = 1 ₋₁ _{+ C ⇨} ∑₍₂_{) = 2} _{+ C}

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不定积分与不定和式

积分公式 1 ∫ 1 d =  + C 2 ∫ d= _₊₁1 +1+ C 3 ∫ d= _{ln }1  + C ⇨ ∫ ed= e+ C 和式公式 1 ∑1 =  + C 2 ∑ = 1 +1 +1_{+ C} 3 ∑ = 1 ₋₁ _{+ C ⇨} ∑₍₂_{) = 2} _{+ C} .

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不定积分与不定和式

积分公式 1 ∫ 1 d =  + C 2 ∫ d= _₊₁1 +1+ C 3 ∫ d= _{ln }1  + C ⇨ ∫ ed= e+ C 和式公式 1 ∑1 =  + C 2 ∑ = 1 +1 +1_{+ C} 3 ∑ = 1 ₋₁ _{+ C} ⇨ ∑(2) = 2 + C

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不定积分与不定和式

积分公式 1 ∫ 1 d =  + C 2 ∫ d= _₊₁1 +1+ C 3 ∫ d= _{ln }1  + C ⇨ ∫ ed= e+ C 和式公式 1 ∑1 =  + C 2 ∑ = 1 +1 +1_{+ C} 3 ∑ = 1 ₋₁ _{+ C ⇨} ∑₍₂_{) = 2} _{+ C} .

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差分

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第一节

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不定和式 .

第二节

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定和式

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第三节

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分部求和 .

第四节

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}定积分等于 ∫ b  ƒ() d = [F()]b_ = F(b) − F(). 其中定积分 ∫b  ƒ() d 表示对应的曲边梯形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}定和式等于 ∑b ƒ() = [F()] b  = F(b) − F(). 其中定和式 ∑b ƒ() 表示有限和 b∑−1 k= ƒ(k)． .

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}定积分等于 ∫ b  ƒ() d = [F()]b_ = F(b) − F(). 其中定积分 ∫b  ƒ() d 表示对应的曲边梯形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}定和式等于 ∑b ƒ() = [F()] b  = F(b) − F(). 其中定和式 ∑b ƒ() 表示有限和 b∑−1 k= ƒ(k)．

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}定积分等于 ∫ b  ƒ() d = [F()]b_ = F(b) − F(). 其中定积分 ∫b  ƒ() d 表示对应的曲边梯形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}定和式等于 ∑b ƒ() = [F()] b  = F(b) − F(). 其中定和式 ∑b ƒ() 表示有限和 b∑−1 k= ƒ(k)． .

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}定积分等于 ∫ b  ƒ() d = [F()]b_ = F(b) − F(). 其中定积分 ∫b  ƒ() d 表示对应的曲边梯形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}定和式等于 ∑b ƒ() = [F()] b  = F(b) − F(). 其中定和式 ∑b ƒ() 表示有限和 b∑−1 k= ƒ(k)．

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}广义积分 ∫ _+∞  ƒ() d = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中广义积分 ∫+∞  ƒ() d 表示对应的图形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}无限和式 ∑_+∞  ƒ() = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中无限和式 ∑+∞  ƒ() 表示无限和 +∞_∑ k= ƒ(k)． .

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}广义积分 ∫ _+∞  ƒ() d = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中广义积分 ∫+∞  ƒ() d 表示对应的图形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}无限和式 ∑_+∞  ƒ() = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中无限和式 ∑+∞  ƒ() 表示无限和 +∞_∑ k= ƒ(k)．

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}广义积分 ∫ _+∞  ƒ() d = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中广义积分 ∫+∞  ƒ() d 表示对应的图形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}无限和式 ∑_+∞  ƒ() = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中无限和式 ∑+∞  ƒ() 表示无限和 +∞_∑ k= ƒ(k)． .

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积分与和式

如果 d_{(F()) = ƒ () d，则 ƒ () 的}广义积分 ∫ _+∞  ƒ() d = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中广义积分 ∫+∞  ƒ() d 表示对应的图形的面积． 如果 Δ_{(F()) = ƒ ()，则 ƒ () 的}无限和式 ∑_+∞  ƒ() = F()+∞_ = F(+∞) − F(). 其中无限和式 ∑+∞  ƒ() 表示无限和 +∞_∑ k= ƒ(k)．

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有限和式

利用不定和式的公式，我们可以计算出平方和： n ∑ k=1 k2 =∑n+1 1  2 ₌∑n+1 1 ( − 1) +  =∑n₁+1 2+ 1= 1 3 3₊ 1 2 2 n+1 1 = (n + 1) n (n − 1) 3 + (n + 1) n 2 − 0 = n(n + 1)(2n + 1) 6 类似地，也可以计算出高次方和． .

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有限和式

利用不定和式的公式，我们可以计算出平方和： n ∑ k=1 k2 =∑n+1 1  2 ₌∑n+1 1 ( − 1) +  =∑n₁+1 2+ 1= 1 3 3₊ 1 2 2 n+1 1 = (n + 1) n (n − 1) 3 + (n + 1) n 2 − 0 = n(n + 1)(2n + 1) 6 类似地，也可以计算出高次方和．

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差分

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第一节

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不定和式 .

第二节

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定和式

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第三节

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分部求和 .

第四节

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分部积分与分部求和

不定积分的分部积分公式为 ∫  d =  − ∫  d. 不定和式的分部求和公式为 ∑ Δ =  −∑EΔ.

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分部积分与分部求和

不定积分的分部积分公式为 ∫  d =  − ∫  d. 不定和式的分部求和公式为 ∑ Δ =  −∑EΔ. .

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分部积分与分部求和

定积分的分部积分公式为 ∫ b   d = []b  − ∫ b   d. 定和式的分部求和公式为 ∑b Δ = [] b  − ∑b EΔ.

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分部积分与分部求和

定积分的分部积分公式为 ∫ b   d = []b  − ∫ b   d. 定和式的分部求和公式为 ∑b Δ = [] b  − ∑b EΔ. .

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分部求和

在分部求和公式中令  _{= ，Δ =} ₂1，得到 ∑  2 = −2 ∑ · Δ ₁ 2 = −2 · 1 2 + 2 ∑ 1 2+1 · Δ = −2 · 1 2 + ∑ 1 2 = −2 · 1 2 − 2 1 2 + C = − 2+ 2 2 + C

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分部求和

由上页不定和式的结果，可以得到定和式 n ∑ k=1 k 2k = ∑n+1 1  2 = −2+ 2 2 n+1 1 = 2 − n+ 2 2n 以及无限和式 ∞ ∑ k=1 k 2k = ∑∞ 1  2 = −2+ 2 2 ∞ 1 = 2 − 0 = 2 .

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分部求和

由上页不定和式的结果，可以得到定和式 n ∑ k=1 k 2k = ∑n+1 1  2 = −2+ 2 2 n+1 1 = 2 − n+ 2 2n 以及无限和式 ∞ ∑ k=1 k 2k = ∑∞ 1  2 = −2+ 2 2 ∞ 1 = 2 − 0 = 2

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