（投稿日期：民國 105 年 10 月 13 日，接受日期：105 年 11 月 08 日） 摘要：1676 年英國科學家虎克（Robert Hooke）用拉丁文寫下一段易位構詞 （anagram）的字謎，這段字謎描述了一項定律，虎克在 1679 年公布謎底，就是 現在稱做的虎克定律。虎克定律可以廣義地描述彈性物體受伸展或壓縮時所受的 作用力（F= - k x），通常學校是利用彈簧來當作實驗的工具，藉由彈簧懸掛各種 不同質量的重物，與彈簧伸長量的關係，驗證虎克定律。彈簧受力後的運動屬於 簡諧運動，本論文利用智慧手機本身所內建重力感測器功能（可量加速度），測 量彈簧在串聯和並聯的狀況下，週期之間的變化。 關鍵詞：彈簧運動、虎克定律、簡諧運動、智慧手機、動手做
壹、 前言
我們常說英國物理學家牛頓（Isaac Newton）是站巨人的肩膀之上，但同時期還有一位 英國科學家卻是站在巨人的陰影之下，這位科學家是與牛頓同時期的虎克（Robert Hooke）， 遮蔽他的巨人包括牛頓、波以耳（Robert Boyle）和惠更斯（Christiaan Huygen）。虎克很會動 手做實驗，他設計的實驗和測量的結果都非常準確，波以耳定律所需的實驗工具—真空泵就 是由虎克建造以及操作的，此外虎克設計了顯微鏡，「細胞」一詞也是他創立的。他另一項 重要貢獻是有關彈性物體的虎克定律。虎克用了一個拉丁文的字謎記錄他的發現，由於他幫波以耳進行許多氣體相關的實驗， 很有可能發現氣體在壓縮時會有簡諧運動的現象，進而提出虎克定律。1679 年他公布字謎的 解答：As the extension, so the weight，作用力是和彈性物質的延展量成正比，也就是說施以 一作用力，伸長（壓縮）了一個單位長度，若是原先作用力的兩倍，則延長（壓縮）的長度 也成原先的兩倍（如圖 1）。
圖 1：當彈簧懸掛一砝碼，伸長量為 x，懸掛兩個同重的砝碼，伸長量為 2x 一般學校都是透過彈簧來介紹虎克定律，只要在彈簧下懸掛砝碼，測量不同數量的砝碼 所對應的彈簧伸長量，很容易透過實驗驗證彈簧的伸長量與受力成正比。此外，學生還可以 透過多個彈簧的串聯和並聯，深入瞭解虎克定律。 本論文利用現今流行的智慧手機來驗證虎克定律，藉由智慧手機內建的微機電系統（曲 建仲，2014），尤其是重力感測器或加速度計測量彈簧受力過程中的加速度，推算簡諧運動 的週期，並嘗試測量相同彈簧串聯和並聯的對應週期，藉以驗證彈簧串聯並聯的特性。
貳、 原理
在自然界中，我們可以觀察到許多週期性的振動，例如彈簧的往復伸縮、水面上小船的 上下浮沉、吉他弦線的振動、微觀世界原子的振動、聲波傳播時的介質振動，或是花朵隨風 微微搖曳以及小角度擺動的單擺……等，乍看之下，形形色色的振盪運動，似乎彼此並無關 聯，其實它們都可以用簡諧運動(simple harmonic motion)來描述。因此，簡諧運動可以說是自 然界最基本的振動。 研究簡諧運動的位移、速度、加速度之後，發現造成這種運動模式的關鍵來自「物體受 力的模式」：凡是質量 m 的物體，若其所受淨力 F 大小與其位移大小 x 成正比（比例常數為 k），且受力方向與位移方向相反，亦即符合 Fx=－kx，則此系統振盪起來，必以週期 k m T 2
作簡諧運動(SHM)。 以符合虎克定律的理想彈簧為例，當彈簧由自然長度受外力作用後形變，其彈性回復力 就是一個與位移 x「正比而反向」的完美模式，Fx=－kx，其中 k 為彈簧彈力常數。 當我們把彈簧重新連結與組合時，整串彈簧組合將有新的等效彈力常數（如圖 2）。一般 而言，我們可用分析彈簧組的受力，計算出等效彈力常數，通常最基本的組合有串聯和並聯， 以下針對兩種情況計算對應的等效彈力常數。將力常數各為 k1及 k2的兩條彈簧串聯，其等效彈力常數為
1
1
1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1k
k
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k
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k
k
串 串 (1) 將力常數各為 k1及 k2的兩條彈簧並聯，其等效彈力常數為 2 1k
k
k
並
(2) 現在我們可以設計一個實驗，利用簡諧運動週期的特性，使用手機上 APP 的功能，測量 各種彈簧組合簡諧振動周期的改變，與上述理論得到的第(1)式和第(2)式相互驗證。參、 實驗步驟
一、實驗設置
現今智慧手機大多內建重力感測器或加速度計，可以即時測量手機當下受到的加速度分 量，其對應的方向如圖 3。實驗時將彈簧連接手機，並懸掛固定（如圖 4），這時主要測量 y 方向的加速度分量，理想狀況下，手機只會在沿著 y 方向上下振動，其他兩個分量的加速度 值為零。但在實際操作的情況，另兩個分量會有很小的數值變化，主要來自實驗進行時的誤 差，例如伸長彈簧時，並沒有完全垂直向下，或者是放手前，整個彈簧並沒有完全靜止，造 成一開始就有 x 或 z 方向的些微分量，由於彈簧的特性，導致實驗會有些微的誤差。 除此之外，手機藉由彈簧在 y 方向的振盪，會記錄到 y 方向加速度有簡諧振盪的變化， 也就是有 sin 或 cos 的數值變化。整個實驗採用華碩 ZenFone 2 Laser (ZE500KL)5 吋螢幕智慧手機，這款手機採用 64 位元 高通 S410 處理器，作業系統為 64 位元 Android 6.0.1 版本。
圖 3：通常加速度分量的方向設定為，沿著短軸方向為 x 分量、長軸方向為 y 方量，螢幕朝外的方向 為 z 分量
圖 4：將手機掛在彈簧下方，向下拉扯後放手，手機呈現簡諧振盪
二、記錄資料
市面上記錄手機加速度變化的 app 很多，本論文採用 Vieyra Software 所發展的 Physics Toolbox Sensor Suite。這套 app 提供 18 種偵測功能以及 2 種產生器（音調產生器和色彩產生 器），並且支援 android 和 iOS 兩種版本，可以從官網或 app store 下載。
圖 5：圖片從左到右分別為 5A、5B、5C 和 5D
三、分析資料
儲存的檔案是以微軟 excel 的 csv 格式儲存，資料內的第一列是測量的當地時間，第二到 四列分別是 x、y 和 z 方向的加速度分量（如圖 6），接下來是要從這些資料當中找出手機受 彈簧作用力的簡諧運動週期。 圖 6：用微軟 excel 軟體打開後的資料內容為了取得彈簧擺盪的週期，我們使用 Gnuplot 繪圖軟體。Gnuplot 是一套跨各種平台的命 令式繪圖軟體，可支援 windows、Mac OS、Linux 等作業系統，是屬於開放原始碼軟體，是 免付費軟體。相關版本可從官網下載，我們是使用 2016 年 2 月釋出的 5.0.3 版本，安裝在 64 位元的微軟 Surface 3 平版電腦，作業系統是微軟 Windows 10。 藉由 Gnuplot 繪圖軟體可以很容易看出彈簧的簡諧運動（如圖 7），圖形當中最明顯的簡 諧振盪是 y 方向的加速度分量，其他兩個分量也有些微的簡諧振盪，如前一節所述，主要來 自實驗剛開始不可避免的初始誤差，造成之後的些微振盪。其次，可以看到 y 方向分量有明 顯的 sin 或 cos 的來回變化，是以 1G（一個重力加速度 ~ 9.8m/sec2）為中心，振幅為 0.4m/sec2， 來回擺盪，可以想見是一個非常有規律的上下振盪。 圖 7：gnuplot 繪出的圖形，橫座標為時間，縱座標是加速度分量，紫色線條為 x 分量、綠色為 y 分量、 藍色為 z 分量 當 Gnuplot 繪出圖形後，可以將滑鼠移到第一個數值的最高點，此時視窗左下角會出現 滑鼠在圖形上的位置，分別是 x（時間）和 y（加速度值）。反覆標示圖形的最高點，並記錄 下該點的時間，相鄰兩個最高點的時間間格就是彈簧振動的週期。
肆、 結果
一、測量彈簧的彈力常數
單一彈簧振盪實驗進行兩次，每次從實驗數據選取振盪週期十次，然後除以 10，得該次 實驗的平均週期。實驗結果如表 1，兩次實驗分別得到相同的 0.8266 秒。從華碩產品的規格 可以得到實驗用手機的質量，官網表示該款手機的質量（含電池）為 0.14 千克，根據虎克定 律，k = 42 m/T2，實驗的質量為 0.14 千克，週期為 0.8266 秒，得到的常數 k 為 8.089 kg/sec2。 表 1：不同彈簧組合所量測的振盪週期 彈簧組態 第一次測量週期 第二次測量週期 單一彈簧 0.8266 秒 0.8266 秒 彈簧並聯 0.6103 秒 0.6116 秒 彈簧串聯 1.1841 秒 1.183 秒圖 8：第一次測量的加速度分量變化，由上到下，分別是單一彈簧、並聯和串聯 根據上一節的原理，實驗用的彈簧常數相同，串聯的常數是 k/2，並聯的常數是 2k，因 此串聯的週期是單一週期的√2 倍，而並聯的週期是單一週期的 1/√2 倍，分別是 1.169 秒（串 聯）以及 0.5845 秒（並聯）。實驗測量的兩次平均分別為 1.18355 秒（串聯）和 0.61095 秒（並 聯），誤差約 1%和 4%。
伍、 結論
在學校教學的實際經驗中，提到虎克定律都是透過彈簧的伸展行為加以解釋，而彈簧因 懸掛重物後造成的簡諧運動，其週期只和懸掛物體的質量 1/2 次方成正比，和彈簧彈力常數 1/2 次方成反比。 通常課本都會以彈簧的串聯並聯模式作為虎克定律的觀念延伸，以兩條相同的彈簧（彈 力常數相同）進行串聯並聯分析時，串聯後的等效彈力常數是單一彈簧的一半，而並聯是單 一彈簧的 2 倍。由於週期和彈力常數 1/2 次方成反比，串聯的週期是原先的√2（週期變長）， 並聯為原來的 1/√2 倍（週期變短）。透過動手實驗，可以明顯感受到串聯後的彈簧振動較慢 （週期變長），並聯的彈簧振動變快（週期變短），可加深學生學習的印象。 智慧手機流行的浪潮不可忽視，行動裝置隨時上網的影響力逐漸超越傳統媒體（國家發 展委員會，2014）。我們不應該以禁止的方式看待智慧手機的使用，應該嘗試讓手機不再只 是通訊、上網路社群和玩遊戲，而是將現今年輕人流行的智慧手機，融入課程學習當中，可 以藉由擴增實境（陳怡宏，2014）補充教學內容，增加學生學習的興趣，也可以藉由智慧手 機內建微機電功能，增加學生實際動手做的經驗，讓學生主動學習科學，提高科學學習的興 趣。本論文結合了許多容易取得的實驗工具，以智慧手機內建的偵測器（主要是重力感測 器），測量並取得實驗數據，經由行動網路通訊，將資料傳出，接著使用開放式軟體（gnuplot） 作後續資料分析。這方式可擺脫以往做實驗一定要在學校實驗室內進行的限制，讓學生可以 時時做實驗，處處做實驗的目的。
參考文獻
1. 曲建仲（2014）：微機電系統的發展與應用。科學月刊，536 期，P580-588。 2. 高涌泉等（2011）：高中基礎物理（二）B 上。龍騰文化。3. Physics Toolbox Sensor Suite 官網，http://www.vieyrasoftware.net/。
4. Gnuplot 下載網址，https://sourceforge.net/projects/gnuplot/files/gnuplot/5.0.3/，若是微軟 64 位元作業系統，可選擇下載 gp503-win64-mingw.exe。
5. 國家發展委員會（2014），103 年個人家戶數位機會調查報告。
6. 陳怡宏（2014），行動科技、擴增實境與 3D 實驗影片教學：有機分子模型擴增實境，臺
The British physicist Robert Hooke wrote down a law as a Latin anagram in 1676. He published the solution, now called Hooke’s law in 1679. The Hooke’s law describes the extension/compression of an elastic material exerted by a force in form of F = - k x in general. High school students learn the Hooke’s law by hanging different objects with a spring in laboratory. In this paper, we show the on-board sensors of the smartphones can measure the period of the series and parallel springs. We demonstrate the smartphone can be used for doing the physics experiment easily.
