2.8 導數函數

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2 極限 (limits) 與

導數 (derivatives)

2.8 ^導數函數

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上一節我們介紹了函數 f(x) 在 x = a 時的導數，定義如下

現在我們稍作修改，考慮對每個點都求導數，也就是把求導 的點

導數函數

導數函數

對每個 f’(x) 極限存在的 x ，我們可以定義新的函數，其對應 方式即為 x 對應到在 x 的導數值 f’(x) 。其實這也就是將 f’(x) 視為一個 x 的函數，此時我們稱 f’(x) 為 f(x) 的導數函數。

導數的命名來自於「一個函數的導數是從極限的推導而來的。」

導數函數 f’ 的定義域很自然的便是 {x: f’(x) 存在}，會是 f 定 義域的一個子集合。

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範例一

給定一函數其圖形如下所示，試刻劃其導函數圖形

圖一

範例一 / 解

我們可以針對每個點 x ，劃出曲線在該點 (x, f(x)) 的切線，

而後藉由切線的斜率來判斷導數的值。如 A, B, C 三點，均 為導數 = 0 的地方，而在 x = 5 時，我們目測估計 f’(5) 大約 是 3/2 。

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範例一 / 解

因此我們可以藉由描點大致上刻劃出 f’ 的圖形，包括剛剛所 估計得到的 P’(5,3/2) 。大略刻劃出圖形以後，約略把圖形連 結起來後，就可以得到逼近的圖形。下圖為電腦繪圖：

圖二(b)

cont’d

範例一 / 解

注意到在原先 f 圖上 A, B, C 點的切線是水平線，因此導數 在這三個點上為 0 ，也因此會在 f’ 圖上的 A’, B’, C’ 點與 x 軸相交。

而在 A, B 之間，任一點作切線其斜率均為正，因此 f’ 在這 一個區段均為正，而在 B, C 之間，其任一點作切線斜率均 為負，也因此在這一區間 f’ 均為負。

cont’d

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導數函數

圖四

導數函數

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導數的另一個記號

導數的另一個記號

給定獨立變量 x 與應變量 y 的函數關係 y = f(x) ，此時除了 f’(x) 之外，我們有其他一些常用的記號來表示 y 對 x 的瞬間 變化率：

以上符號均代表 y 對 x 的瞬間變化率，也就是導數。

我們把 ‘ (prime 記號) 、 D 、 d/dx 看成是一種對 f 的作用，

稱作微分算子 (differentiation operator) 。

並以對 f 微分 (differentiation) 表示對函數 f(x) 取導數。

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導數的另一個記號

我們在這裡作一個定義：

[定義]

我們說 f(x) 在 a 點可微分 (differentiable) ，表示導數 f’(a) 存在。而 f(x) 在區間 (a, b) 上可微分（a, b 可以分別是負、

正無窮大），表示 f(x) 在區間 (a,b) 內任一點可微分。

導數的另一個記號

dy/dx 這個記號最早是由萊布尼茲 (Leibniz) 所使用，雖然是 寫成分式的形式，但這個符號的意義就跟 f‘(x) 意思一樣，是 無窮小量比值的極限

然而使用這個符號的好處，在於我們作運算時，會知道導數 是指 y 增量與 x 增量比值的極限，也就是 y 對 x 的變化率。

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導數的另一個記號

若我們想指出 dy/dx 是在哪一個點取導數，則會用下面的符 號表示：

表示在 a 點取 y 對 x 的導數，與 y = f(x) 時的 f’(a) 是相同的 意思。

或

函數 f(x) = |x| 在哪些點可微分？

解:

當 x > 0 時， |x| = x ，在極限之定義中我們需要讓 h 趨近 0，

因此我們可以只考慮夠小的 h 滿足 x + h > 0 ，此時依定義 計算極限：

範例五

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同樣，對於 x < 0 ， |x| = – x ，此時我們也同樣取 h 足夠小 使得 x + h < 0 ，此時由極限之定義有：

因此對任意 x < 0 ， f 亦可微。

範例五 / 解

剩下最後一個點 x = 0 ，我們計算導數的極限：

由於取絕對值在 h > 0 與 h < 0 結果不同，分左右極限：

範例五 / 解

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由於左右極限值並不相同，因此 f’(0) 並不存在，是故 f 只在 所有不為 0 的點可微。

我們可以寫下這樣的導函數表示式：

注意到定義域只在 {x: x≠0} ，其函數圖形 如右圖所示。

範例五 / 解

圖五(b)

y = f (x)

cont’d

f’(0) 不存在也反映了這個函數圖形的特性，也就是 y = |x| 在 原點 (0,0) 並沒有切線，見下圖：

範例五 / 解

y = f(x) = | x |

cont’d

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函數的連續性與可微分性都是好的性質，下面的定理介紹了 可微分性與函數連續性的關係：

注意：這個定理的逆敘述不一定是對的，也就是說存在連續 但不可微的函數。例如前面的 y = |x| ，就是在 x= 0 連續但 不可微的一個反例。

導數的另一個記號

[定理]

若 f(x) 在 a 點可微分，則 f(x) 在 a 點連續。

函數有哪些不可微的情形？

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在前面的例子中，我們已看過 y = |x| 在 x = 0 不可微，從圖 形看也就是 y = |x| 在 x = 0 時突然改變方向，因此圖形在此 點不存在切線。

一般來說，任何函數 f(x) 其函數 圖形若有轉角或者尖點，則在這 些點無法決定一條切線，也因此

f(x) 在這些點不可微分。

主要的原因便是變化率比值的左 右極限值不同。

函數有哪些不可微的情形？

圖五(a)

y = f(x) = | x |

除了從圖形觀察以外，前一個定理也告訴我們一種不可微分 的情形，也就是函數若在 a 不連續，則必定在 a 也不可微。

還有一種情況是函數連續，但函數曲線的切線是鉛直線，如 x = a ，此時在 a 點的切線斜率是無窮大。

假設我們用 a 附近的切線斜率去逼近，於是 |f’(x)| 的極限會

函數有哪些不可微的情形？

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這也就是說在 a 附近的切線，在 x 趨近 a 的同時會越來越陡 峭，如下面兩圖所刻畫：

圖六

函數有哪些不可微的情形？

圖七(c)

鉛直切線

下圖列出前述的三種不可微的情形：

函數有哪些不可微的情形？

轉折點 不連續點(跳點) 鉛直切線

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高階導數

若 f(x) 是可微函數，則其導函數 f’(x) 也是一個函數，因此我 們也可以討論導函數是否可以微分。若 f‘ 也存在有導函數，

我們記作 (f’)’ = f’’ ，稱為 f 的二次導數 (second derivative)。

另外，我們也可以用萊布尼茲的符號來寫 y = f(x) 的二次微 分如下：

高階導數

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給定 f(x) = x³ – x ，求二次導數 f ′′(x) 並且是其意義。

解:

我們可以先計算一次導數得到 f′(x) = 3x² – 1 接著二次導數的計算同樣是利用定義：

範例六

最後 f, f′, f′′ 的圖刻畫如下：

範例六 / 解

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f’’(x) 的意思我們可以解釋成導函數 y = f’(x) 圖形在 (x,f’(x)) 的切線斜率。換句話說，它也同時是 y = f(x) 的切線斜率的 變化率。

從前面的圖我們可以驗證這個解釋：當 f’’(x) 為負時， y = f’(x) 在該點的切線斜率為負，而 f’’(x) 為正時， y = f’(x) 在該 點切線斜率為正。

範例六 / 解

一般來說，我們可以將二階導數解釋成變化率的變化率。不 過最常見的情況還是將二階導數看成物體直線運動的加速度 (acceleration) ：

假設 s = s(t) 代表物體直線運動的位置函數，令 v(t) 為 s(t) 的一次導函數，也就是速度：

v(t) = s

高階導數

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此時，速度對時間的瞬間變化率即為物體的加速度 a(t) 。 因此 a(t) 就是對 v(t) 微分得到的導函數，也就是對位置函數 s(t) 微分兩次得到的二階導函數：

a(t) = v

用萊布尼茲的符號寫成：

高階導數

更高階的導數，如三階導數 f’’’(x) ，也就是二階導數的導函 數。而同樣， f’’’(x) 也可以解釋成二階導函數 y = f’’(x) 曲線 的切線斜率，也或者是 f‘’(x) 的變化率。

y = f(x) ，其三階導函數的符號，用萊布尼茲的符號寫成：

高階導數

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同樣，我們可以繼續下去定義更高階的導數，四階導數 f’’’’

也就是三階導數的導函數。為了避免 prime 記號太多造成混 淆，四階導數一般也可記作 f⁽⁴⁾ 。

而 n 階導數也就常記作 f⁽ⁿ⁾ ，其定義也是從 f 作 n 次導函數 而得來。

利用萊布尼茲的符號， y = f(x) 的 n 階導數，寫作：

高階導數

高階導數的意義有時不好想像，但這裡我們仍可以解釋三階 導數的物理意義，同樣利用物體直線運動的例子：

三階導數也就是加速度的變化率 s′′′ = (s′′)′ = a′ ，也常被稱為 jerk (“猛推”，中文並不常用這類的字，僅以英文敘述)

此時這個 jerk j 也就是指位置加速度的變化率。

之所以用 jerk 命名，是由於一個 jerk (猛推) 會造成加速度的

高階導數