4B04 條件機率

(1)

▲ 圖 1 某電影院統計：買票時，有 40％的觀眾會加買可樂，有 30％的觀眾會加買爆米花。今任選一觀眾，已知此觀眾有加買可樂，那麼他也加買爆米花的機率還會是 30％嗎？「在某事件發生的條件下，求另一事件發生的機率」是本單元的重點。

甲條件機率

第二冊學過：一項試驗中所有可能發生的結果所成的集合，稱為這個試驗的 樣本空間（通常以集合 S 表示）；樣本空間 S 的任一子集都稱為一個事件。若 S 中每個樣本點出現的機會均等，則事件 A 發生的機率為

   

n A

_{ }

P A

n S



，其中

n S

 

與

n A

 

分別為 S 及 A 的樣本點個數。例如：擲一粒公正骰子一次，其 樣本空間為



1, 2,3, 4,5, 6



，因為擲出點數大於 3 的事件為



4,5, 6



，所以擲出點數大於 3 的機率為

3 1

6 2



。但「在擲出點數為偶數的條件下」，擲出點數大於 3 的機率還會是

1

2

嗎？我們說明如下。 設 A 表示擲出點數為偶數的事件，B 表示擲出點數大於 3 的事件，即



2, 4, 6 ,

 

4,5, 6



A



B



， 如圖 2 所示。因為已知擲出點數為偶數（即事件 A 發生），所以點數大於 3（即事

(2)

▲ 圖 3 ▲ 圖 2 上式中的

n A B



_{ }



n A



可以解讀成「在樣本空間 A 中，事件

A B



發生的機率」。也 就是說，在已知事件 A 發生的條件下，可以解讀成樣本空間由原先的 S 限縮到 A。 一般而言，我們把「在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率」，稱為條 件機率，記作

P B A

 

。利用「

A B



在 A 中所占的比例」的算法可知：在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率為

 

n A B



_{ }



P B A

n A





，再將分子與分母同時除以

n S

 

，得

 



 



 





 

n A B

P A B

n S

P B A

n A

P A

n S





。將以上內容整理如下。 條件機率 當

A B

,

為兩事件且

P A 

 

0

時，將「在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機

(3)

率」稱為條件機率，以符號

P B A

 

表示，也就是

 

n A B



_{ }



P A B



_{ }



P B A

n A

P A





。符號

P B A

 

讀作「在 A 發生的條件下，B 發生的機率」。 練習求條件機率。 【例题 1】 擲一粒公正骰子一次。在出現點數為質數的條件下， 求擲出點數小於 5 的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示擲出點數為質數的事件， B 表示擲出點數小於 5 的事件。 根據題意，得



2,3,5 ,

 

1, 2,3, 4



A



B



，且

A B

 

 

2,3

， 故在 A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



2

3 n A B

P B A

n A





。 【隨堂練習 1】 一副撲克牌共有 52 張，從中隨機抽取一張。在抽到花色為 紅心的條件下，求抽到點數為 6 的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示抽到花色為紅心的事件， B 表示抽到點數為 6 的事件。

(4)

故在 A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



1

13 n A B

P B A

n A





。符號 P(B∣A)與 P(A∣B)的意義不同，不可混淆，舉例說明如下。 【例题 2】 某公司員工的健康檢查中，有 40 人血壓正常，有 32 人血脂正常，有 24 人 兩種都正常。今從該公司任選一員工，試回答下列問題： (1) 已知此員工血壓正常，求他血脂也正常的機率。 (2) 已知此員工血脂正常，求他血壓也正常的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示選出者血壓正常的事件， B 表示選出者血脂正常的事件。 根據題意，得

 

_40,

 

_32,





₂₄

n A



n B



n A B

 

。 (1) 在A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



24 3

40 5

n A B

P B A

n A





 

。 (2) 在B 發生的條件下，A 發生的機率為

 



_{ }



24 3

32 4

n A B

P AB

n B





 

。 【隨堂練習 2】 班上學生某次期中考試中，有 33 人英文及格，有 28 人數學及格，有 18 人 兩科都及格。今從班上任選一學生，試回答下列問題： (1) 已知此學生的英文及格，求他數學也及格的機率。 (2) 已知此學生的數學及格，求他英文也及格的機率。 Ans：

(5)

【詳解】 設 A 表示選出者英文及格的事件， B 表示選出者數學及格的事件。 依題意，得

n A

 



33,

n B

 



28,

n A B



 



18

 



_{ }



18 6

33 11

n A B

P B A

n A





 

 



_{ }



18

9 28 14

n A B

P AB

n B





 

。再練習條件機率。 【例题 3】 已知

 

2 ,

 

1

5

3 P A



P B



，且

 

5

12 P B A 

，求下列各機率： (1)

P A B







。 (2)

P AB

 

。 Ans：【詳解】 (1) 因為

P B A

 

P A B



_{ }



P A





，即

5 



2

12

5 P A B





，所以





5 2 1

12 5 6

P A B

   

。 (2)

 



_{ }



1

6 1 2

P A B

P AB

P B





 

。

(6)

【隨堂練習 3】 已知

 

3 ,

 

2

4

7 P A



P B



，且





12

14 P A B

 

，求下列各機率： (1)

P A B







。 (2)

P B A

 

_{P A B P A P B P A B}



 

     









，所以

12 3 2





14 4 7

  

P A B



，解得





5

28 P A B

 

。 (2)

 



_{ }



5

28

3

21

4 P A B

P B A

P A





 

。來看一道與引言有關的例題。 【例题 4】 某電影院統計：買票時，有 40％的觀眾會加買可樂，有 30％的觀眾會加買 爆米花，有 24％的觀眾兩者都會加買。今任選一觀眾，試回答下列問題： (1) 已知此觀眾有加買可樂，求他也加買爆米花的機率。 (2) 已知此觀眾有加買爆米花，求他沒有加買可樂的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示有加買可樂的事件， B 表示有加買爆米花的事件。 根據題意，得

 

_{40 ,}

 

₃₀





₂₄

P A



％

P B



％,

P A B

 

％

。

(7)

(1) 在A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



24

3

40

5 P A B

P B A

P A





％

_％



。 (2) 因為A 的補集

A

表示沒有加買可樂的事件，且



   



30

24

6 P A B P B P A B

 



 

％％％





，所以在B 發生的條件下，

A

發生的機率為

 



_{ }



6

1

30

5 P A B

P A B

P B



 



％

_％



。 【隨堂練習 4】 在訂購校慶紀念品中，有

2

3

的人買馬克杯，有

4

5

的人買徽章， 有

1

2

的人兩種都買。今任選一人，試回答下列問題： (1) 已知此人買馬克杯，求他也買徽章的機率。 (2) 已知此人沒有買徽章，求他也沒有買馬克杯的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示有買馬克杯的事件， B 表示有買徽章的事件。依題意，得

 

2 _,

 

4 _,





1

3

5

2 P A



P B



P A B

 

 



_{ }



1 ₂

3 2 4

3 P A B

P B A

P A





 

。 (2) 因為A 的補集

A

表示沒有買馬克杯的事件， B 的補集

B

表示沒有買徽章的事件，且





1 



1 

    



P A B



  



P A B

  

P A P B P A B







2 4 1

1

1 



    

_

_

(8)

故在

B

發生的條件下，

A

發生的機率為

 



_{ }



₃₀

1

4

1 ₁

6

5 P A B

P A B

P B







  

_





。 當兩事件 A 與 B 同時發生時，我們該如何求這兩個事件同時發生（即

A B



）的機率呢？由條件機率

P B A

 

P A B



_{ }



P A





可以得到



  

 

P A B

 

P A P B A

。上式稱為條件機率的乘法定理，它的意思是：兩事件 A 與 B 同時發生的機率





P A B



等於 「A 發生的機率」乘上「在 A 發生的條件下，B 發生的機率」。 【例题 5】 某人手機內存有歌曲共 8 首，其中 5 首為爵士樂，另外 3 首為抒情歌。今隨 機播放歌曲，播過的歌不再播放，設每首歌被播放的機率都相等，求下列各 事件的機率： (1) 第一首與第二首都播到爵士樂。 (2) 第一首播到爵士樂，但第二首播到抒情歌。 Ans：【詳解】 (1) 設A 表示第一首播到爵士樂的事件， B 表示第二首播到爵士樂的事件。由條件機率的乘法定理，得第一首與第二首都播到爵士樂的機率為



  

 

P A B

 

P A P B A

。 ①因為 8 首歌中有 5 首為爵士樂，所以

 

5

8 P A 

。 ②在第一首播到爵士樂的條件下，

(9)

因為播過的歌不再播放，可得剩下 7 首歌曲，其中 4 首為爵士樂，所以

 

4

7 P B A 

。綜合①, ②，得





 

5 4

5 8 7 14

P A B

 

P A P B A

  

。我們也可以利用樹狀圖求出此小題的答案：依題意將發生的情形及其機率以樹狀圖呈現如下。其中的

4

7

就是在第一首播到爵士樂的條件下，第二首播到爵士樂的機率，即樹狀圖中的

4

7

就是

P B A

 

。再將樹狀圖中圈起來的兩個數字相乘即為此小題的答案。 (2) 利用(1)的樹狀圖得第一首播到爵士樂，但第二首播到抒情歌的機率為

5 3 15

8 7 56

 

。 【隨堂練習 5】 承例題，求第一首與第二首都播到抒情歌的機率。 Ans：

(10)

【詳解】利用例題的樹狀圖得第一首與第二首都播到抒情歌的機率為

3 2

3 8 7 28

 

。由例題 5 可知，條件機率的乘法原理也可用樹狀圖的概念來求機率。練習使用樹狀圖求機率。 【例题 6】 籤筒的 10 支籤中 3 支有獎。甲、乙兩人依序各抽一支籤，且 抽完後不放回。設每支籤被抽到的機率都相等，求下列各事件 的機率： (1) 甲中獎。 (2) 乙中獎。 Ans：【詳解】先將甲、乙抽籤的情形及其機率以樹狀圖呈現如右。再由樹狀圖，得 (1) 甲中獎的機率為

3

10

。 (2) 因為乙中獎有「甲中獎且乙中獎」與「甲未中獎且乙中獎」兩種情形，所以乙中獎的機率為

3 2 7 3 3

10 9 10 9 10

   

。 【隨堂練習 6】 戳戳樂遊戲盒的 12 格中 5 格有獎。甲、乙兩人依 序任意各戳 1 格，求下列各事件的機率： (1) 甲、乙兩人都中獎。 (2) 甲中獎，但乙未中獎。

(11)

Ans：【詳解】將甲、乙中獎的情形及其機率以樹狀圖呈現如圖。 (1) 由樹狀圖得知，甲、乙兩人都中獎的機率為

5 4

5 12 11 33

 

。 (2) 由樹狀圖得知，甲中獎，但乙未中獎的機率為

5 7

35 12 11 132

 

。

(12)

條件機率告訴我們，一事件的發生與否，可能改變另一事件發生的機率，但是也有不互相影響的例子。例如：甲、乙兩人各擲一粒公正骰子一次，並令 A 表示「甲擲出 6 點」的事件， B 表示「乙擲出 6 點」的事件。 顯然地，甲是否擲出 6 點並不會影響乙擲出 6 點的機率，反之亦然。也就是說，這兩個事件並不會互相影響。再例如：擲一粒公正骰子一次，並令 A 表示「出現質數點」的事件， B 表示「出現 1 點或 2 點」的事件。 因為

A





2,3,5 ,

  

B



1, 2

，且

A B

 

 

2

，所以 (1) 事件 B 發生的機率為

 

2 1

6 3

P B  

； (2) 在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率為

 



_{ }



1

3 n A B

P B A

n A





。由(1)與(2)得知，

 

P B



P B A

。 也就是說，事件 B 發生的機率不因事件 A 發生與否而受到影響，此時稱 A 與 B 為 獨立事件。 然而，若令 C 表示「出現 1 點，2 點或 3 點」的事件，因為

A C

 

 

2,3

，所以

 

3 1

6 2

P C  

，而

 



_{ }



2

3 n A C

P C A

n A





。

(13)

顯然事件 A 發生與否會影響到事件 C 發生的機率。也就是說，A 與 C 並非獨立事 件。 當 A 與 B 為獨立事件且

P A 

 

0

時，可由條件機率的乘法定理，得



  

 

P A B

 

P A P B A

   

P A P B



。而當

P A 

 

0

時，上式亦成立。根據以上，我們將兩事件獨立定義如下。 兩事件獨立的定義 當兩事件 A 與 B 滿足



    

P A B P A P B

 

時，稱 A 與 B 為獨立事件。 根據上述定義，檢驗兩事件是否獨立。 【例题 7】 擲一粒公正骰子一次，考慮下列三事件： A：出現奇數點，B：出現 1 點或 6 點，C：出現 2 點、3 點或 5 點。 試問： (1) A 與 B 是否為獨立事件？ (2) A 與 C 是否為獨立事件？ Ans：【詳解】根據題意，得

 

3 1

 

2 1

 

3 1

,

6 2

6 3

6 2

P A

 

P B

 

P C

 

，且





1 _,





2 1

6 6 3

P A B

 

P A C

  

。 (1) 因為

P A B P A P B



 

    

，

(14)

【隨堂練習 7】 丟一枚均勻硬幣三次，考慮下列兩事件： A：至少出現兩次正面，B：三次都同一面。 試問 A 與 B 是否為獨立事件？ Ans：【詳解】依題意，得

 

4 1

_,

 

2 1

8 2

8 4

P A

 

P B

 

，且



 1

8 P A B

 

。因為

P A B P A P B



 

    

， 所以 A 與 B 為獨立事件。 由兩事件獨立的定義，得知：兩獨立事件同時發生的機率等於個別機率的乘積。 【例题 8】 根據統計：新生兒會出現生理性黃疸的機率為 0.6。已知甲、乙皆為新生兒， 且兩人出現生理性黃疸與否為獨立事件，求下列各事件的機率： (1) 兩人都出現生理性黃疸。 (2) 至少有一人出現生理性黃疸。 Ans：【詳解】設

A B

,

分別表示甲、乙出現生理性黃疸的事件。根據題意，得

 

0.6,

 

0.6 P A



P B



。 (1) 因為A 與 B 為獨立事件，所以兩人都出現生理性黃疸的機率為



    

0.6 0.6 0.36

P A B P A P B

 

  

。 (2) 至少有一人出現生理性黃疸的事件為

A B



，其機率為

(15)

▲ 圖 4



     



P A B P A P B P A B

 







0.6 0.6 0.36 0.84

  



。 【隨堂練習 8】 根據統計：使用新手機後，三年內會換手機的機率為 0.8。已知甲、乙兩人 同時各使用一支新手機，且兩人換手機與否為獨立事件，求三年內 (1) 兩人都換手機的機率。 (2) 至少有一人換手機的機率。 Ans：【詳解】設

A B

,

分別表示三年內甲、乙會換手機的事件。根據題意，得

P A

 



0.8,

P B

 



0.8

。 (1) 因為A 與 B 為獨立事件，所以三年內兩人都換手機的機率為



_{     0.8 0.8 0.64}

P A B P A P B

 

  

。 (2) 三年內至少有一人換手機的事件為

A B



，其機率為



     

_{ 0.8 0.8 0.64 0.96}

P A B P A P B P A B

 





   



。 當 A 與 B 為獨立事件時，A 與

B

也為獨立事件，證明 如下：因為 A 與 B 為獨立事件，所以



    

P A B P A P B

 

，且



   



P A B

 



P A P A B





     

P A P A P B





 



₁

 



P A

P B





   

P A P B



， 即 A 與

B

也為獨立事件。

(16)

獨立事件的性質 若 A 與 B 為獨立事件，則有以下性質： (1)事件

A

與 B 為獨立事件。 (2)事件 A 與

B

為獨立事件。 (3)事件

A

與

B

為獨立事件。練習上述的性質。 【例题 9】 已知兩事件 A 與 B 為獨立事件，且

 

1 ,





2

3 P A



P A B

 

，求下列各機率： (1)

P B

 

。 (2)

P A B







。 (3)

P A B



 





。 Ans：【詳解】 (1) 利用機率的性質，且A 與 B 為獨立事件，得



     



P A B P A P B P A B

 







       

P A P B P A P B







，即

2 1

 

1  

3 2

 

P B



2 P B

，解得

 

1

3 P B 

。 (2) 因為A 與 B 為獨立事件，所以

A

與B 也為獨立事件。故





   

₁

1 1 1

2 3 6

P A B



 

P A P B 



   



_





_

A

與

B

也為獨立事件。故





   

₁

1 ₁

1

2

3

3 P A B



 



P A P B



    





_

 

 

_{ }





_

。

(17)

【隨堂練習 9】 已知兩事件 A 與 B 為獨立事件，且

 

2 ,

 

3

5

4 P A



P B



，求下列各機率： (1)

P A B







。 (2)

P B A

 

。 (3)

P A B

 



。 Ans：【詳解】 (1) 利用機率的性質，且A 與 B 為獨立事件，得



     



       

P A B P A P B P A B

P A P B P A P B

 













2 3 2 3 17

5 4 5 4 20

    

 

3

4 P B A



P B



_A

與B 也為獨立事件。故

 

1  

1 2 3

5 5

P A B





P A



 

P A

  

。利用獨立事件的性質，做一道應用問題。 【例题 10】 設甲、乙射擊的命中率分別為

1

4

與

1

5

。已知兩人各射一發，且兩人命中與否為獨立事件，求下列 各事件的機率： (1) 兩人都沒命中。 (2) 至少有一人命中。

(18)

【詳解】 設 A 與 B 分別表示甲、乙命中靶面的事件。 根據題意，得

 

1 _,

 

1

4

5 P A



P B



A

與

B

也為獨立事件。故兩人都沒打中的機率為



    

1

3

1

4

5

5 P A B



 



P A P B





 



    

_

_

_{ }

_{ }

_

_

。

(2) 利用取捨原理，得至少有一人命中的機率為



     



P A B P A P B P A B

 







       

P A P B P A P B







1 1 1 1 2

4 5 4 5 5

    

。【備註】上例的第(2)題也可以由笛摩根定律：



A B

  





A B



，得





₁





₁

3 2

5 5

P A B

  

P A B



   



。 【隨堂練習 10】 設甲、乙兩人在罰球線投籃投進的機率分別為 0.4 與 0.2。已知兩人各投一球， 且兩人投進與否為獨立事件，求下列各事件的機率： (1)兩人都投進。 (2)恰有一人投進。 Ans：【詳解】 設 A 與 B 分別表示甲、乙投進的事件。 根據題意，得

P A

 



0.4,

P B

 



0.2

。

(19)

(1) 因為A 與 B 為獨立事件，所以兩人都投進的機率為



_{     0.4 0.2 0.08}

P A B P A P B

 

  

。 (2) 因為A 與 B 為獨立事件，所以A 與

B A

 

,

與B 也為獨立事件。故恰有一人投進的機率為



 

        

P A B P A B P A P B P A P B

 



 









 



0.4 1 0.2

1 0.4 0.2 0.44

  

   

。獨立事件的理論可以應用在選手贏得比賽的機率。 【例题 11】 甲、乙兩選手參加 5 戰 3 勝制（即先勝 3 盤者贏得比賽）的網球單打比賽。 設甲單盤獲勝的機率為

3

4

，且每盤的比賽結果互不影響。已知甲選手前兩盤 皆敗，求甲贏得比賽的機率。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如下（甲表甲勝，乙表乙勝）。再由樹狀圖，得甲贏得比賽的機率為

3 3 3 27

4 4 4 64

  

。

(20)

【隨堂練習 11】 甲、乙兩選手參加 3 戰 2 勝制（即先勝 2 局者贏得比賽）的羽球單打比賽。 已知甲單局獲勝的機率為

2

3

，且每局的比賽結果互不影響，求甲贏得比賽的 機率。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如圖（甲表甲勝，乙表乙勝）：再由樹狀圖，得甲贏得比賽的機率為

2 2 2 1 2 1 2 2 20

3 3 3 3 3 3 3 3 27

       

。當遇到比賽因故中止且不再比賽的狀況時，該如何來分配比賽的獎金呢？以例題說明如下。 【例题 12】 甲、乙兩人比賽桌球（不得和局），約定先勝 3 局者可得獎金 7200 元。設 甲單局獲勝的機率為

2

3

，且每局的比賽結果互不影響。已知當比賽進行至甲 勝 2 局、乙勝 1 局時，因故中止且不再比賽，至於獎金的分配，則依若繼續 比賽兩人贏得比賽的機率之比例來分配，求甲應分得多少獎金。 Ans：

(21)

【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如下（甲表甲勝，乙表乙勝）。再由樹狀圖得知：若繼續比賽，則 (1) 甲贏得比賽的機率為

2 1 2 8

3 3 3 9

  

。 (2) 乙贏得比賽的機率為

1 1 1

3 3 9

 

。因此，兩人贏得比賽的機率之比例為 8：1。故甲應分得獎金

7200

8 6400

8 1



_



（元）。 【隨堂練習 12】 甲、乙兩人比賽下棋（不得和局），約定先勝 3 局者可得獎金 1600 元。設 甲、乙兩人實力相當，且每局的比賽結果互不影響。已知當比賽進行至前 2 局皆甲勝時，因故中止且不再比賽，至於獎金的分配，則依若繼續比賽兩人 贏得比賽的機率之比例來分配，求甲應分得多少獎金。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如圖（甲表甲勝，乙表乙勝）：再由樹狀圖得知：若繼續比賽，則 (1) 甲贏得比賽的機率為

1 1 1 1 1 1 7

2 2 2 2 2 2 8

     

。

(22)

因此，兩人贏得比賽的機率之比例為 7：1。故甲應分得獎金

1600

7 1400

7 1

(23)

在網路影音串流平台創新的商業模式中，條件機率經常被使用來打造滿足訂戶的推薦服務。例如，利用條件機率計算「喜歡甲影片的訂戶中，也喜歡乙影片的機率」，然後判斷是否主動推薦乙影片給訂戶。現在舉簡單的例子說明如下：假設某平台分析資料庫的 100 位訂戶中，對甲、乙兩部影片的喜好情形整理如下表。甲影片乙影片喜歡甲影片不喜歡甲影片喜歡乙影片 76 6 不喜歡乙影片 8 10 設 A 表示喜歡甲影片的事件，B 表喜歡乙影片的事件，則

 

76 8 84,





76 n A

  

n A B

 

，由條件機率，可得

 



_{ }



76 _0.9

84 n A B

P B A

n A





 

。也就是說，已知此訂戶喜歡甲影片，那麼他也喜歡乙影片的機率約為 90％。因此，該網路影音串流平台就會主動推薦乙影片給喜歡甲影片的訂戶。透過蒐集到的訂戶資料，運用條件機率，訂戶就能獲得更精準的影片推薦，而不用自己盲目的搜尋，這就是網路平台使用「推薦引擎」取代「搜尋引擎」所發揮的商業效益。

(24)

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 若事件A 與 B 滿足 P(A)＞0，且 P(B)＞0，則

P AB

   



P B A

。 (2) 兩事件A 與 B 同時發生的機率

P A B



 

  

P A P B A

 

。 (3) 若A 與 B 為獨立事件，則

A B

 

。 Ans：【詳解】 (1) ╳：因為

P AB

 

P A B



_{ }



,

P B A

 

P A B



_{ }



P B

P A





，所以

P AB

 

與

P B A

 

不一定相等。 (2) ○：由條件機率的乘法定理，得

P A B



 



P A P B A

 

。 (3) ╳：當

_{P A }

  0

且

_{P B }

  0

時，

 

P A B



_{ }



  0

P B A

P B

P A







，即

P A B



 

 0

，因此

A B

 

。

一、基礎題

1. 同時擲兩粒公正骰子一次。已知這兩粒骰子的點數和為 6， 求其中一粒骰子出現 2 點的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示兩粒骰子的點數和為 6 的事件，

(25)

B 表示其中有一粒骰子出現 2 點的事件。 依題意，得

A



         

1,5 , 2, 4 , 3,3 , 4, 2 , 5,1



，因此，

_{n A }

  5

且

_{n A B}



 

 2

， 故在 A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



2

5 n A B

P B A

n A





。 2. 某社區的住戶中，有

1

15

的住戶養狗，有

1

30

的住戶養貓， 有

1

40

的住戶兩種都養。今任選該社區一住戶， 試回答下列問題： (1) 已知此住戶養狗，求該住戶也養貓的機率。 (2) 已知此住戶養貓，求該住戶也養狗的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示選出者家裡養狗的事件， B 表示選出者家裡養貓的事件。 依題意，得

 

1 ,

 

1 ,





1

15

30

40 P A



P B



P A B

 

 



_{ }



₄₀

1

3

1 ₈

15 P A B

P B A

P A





 

 



_{ }



₄₀

1

3

1 ₄

30 P A B

P AB

P B





 

。

(26)

3. 已知事件 A 與 B 滿足

 

2 ,





11 ,





3

12

8 P A



P A B

 

P A B

 

， 求下列各機率： (1)

P B

 

。 (2)

P AB

 

_{P A B P A P B P A B}



 

     









，所以

11 2

 

3 12 3

 

P B



8

，解得

P B 

  5

8

。 (2)

 



_{ }



3

8 5 5

8 P A B

P AB

P B





 

。 4. 在一箱 12 顆燈泡中，已知有 5 顆不良品。現逐一取出檢查， 取出後不再放回。設每顆燈泡被取到的機率都相等， 求下列各事件的機率： (1) 第一次與第二次都取到不良品。 (2) 第一次取到良品，但第二次取到不良品。 Ans：【詳解】先將第一次與第二次事件發生的情形及其機率以樹狀圖描述如圖：再由樹狀圖，得

(27)

(1) 第一次與第二次都取到不良品的機率為

5 4

5 12 11 33

 

。 (2) 第一次取到良品，但第二次取到不良品的機率為

7 5

35 12 11 132

 

。 5. 袋內裝有紅球 3 顆，白球 2 顆。甲、乙兩人依序從袋內各取 1 球， 取後不放回。設每顆球被取到的機會相等，求下列各事件的機率： (1) 甲取到紅球。 (2) 乙取到白球。 Ans：【詳解】先將甲、乙取球的情形及其機率以樹狀圖描述如圖： (1) 甲取到紅球的機率為

3

5

。 (2) 因為乙取到白球有「甲取到紅球且乙取到白球」與「甲取到白球且乙取到白球」兩種情形，所以乙取到白球的機率為

3 2 2 1 2

5 4 5 4 5

   

。 6. 箱中裝有編號 1～6 的卡片各一張。從箱中任取一張卡片， 考慮下列兩事件： A：號碼為質數，B：號碼為 6 的正因數。

(28)

【詳解】根據題意

A





2,3,5 ,



B





1, 2,3, 6



，得

 

3 1

,

 

4 2

6 2

6 3

P A

 

P B

 

，且





2 1

6 3

P A B

  

。因為

P A B P A P B



 

    

， 所以 A 與 B 為獨立事件。 7. 設 A 與 B 為獨立事件，且

 

1 ,

 

3

4 P A



P B



。 選出所有正確的選項。 (1)





1

4 P A B

 

(2)

 

1

3 P B A 

(3)

 

1

4 P B A

 

(4)





1

12 P A B

 

。 Ans：【詳解】 (1)





   

1 3 1

3 4 4

P A B

 

P A P B

  

。 (2)

 

3

4 P B A



P B



。 (3)

 

1  

1 3 1

4 4

P B A





P B



 

P B

  

。 (4)



    

1

3

1

3

4

12 P A B

 



P A P B









_

 





_

。故選(1)(3)(4)。

(29)

8. 設甲、乙兩人能解出數學問題的機率分別為 0.4 與 0.5。 已知兩人各自解同一題數學問題，且兩人解出與否為 獨立事件，求下列各事件的機率： (1) 兩人都解出。 (2) 恰有一人解出。 (3) 至少有一人解出。 Ans：【詳解】設

A B

,

分別表示甲、乙解出此問題的事件，且

A B

,

為獨立事件。 (1)

P A B P A P B



 

    

  

0.4 0.5 0.2

。 (2) 恰有一人解出此問題的情形為「甲解出乙沒解出」或「甲沒解出乙解出」，機率為



 

_{ 0.4 0.5 0.6 0.5 0.5}

P A B

 



P A B



     

。 (3) 至少有一人解出此問題的情形為「恰一人解出」或「兩人都解出」，且兩情形為互斥，故機率為

0.5 0.2 0.7

 

。 9. 甲、乙兩人比賽下棋，約定 5 戰 3 勝制（即先勝 3 局者 贏得比賽）。設兩人實力相當，且每局比賽的結果互不影響。 已知前兩局皆由甲獲勝，求甲贏得比賽的機率。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如圖（甲表甲勝，乙表乙勝）：

(30)

再由樹狀圖，得甲贏得比賽的機率為

1 1 1 1 1 1 7

2 2 2 2 2 2 8

     

。 10. 電視台闖三關遊戲規則如下：答對每題獎金為 5000 元， 並可繼續回答下一題，直到答錯或三題皆答完為止。 已知某挑戰者答題的正確率為

3

5

，且每一題答對與否皆 為獨立事件，求該挑戰者獲得獎金的期望值。 Ans：【詳解】獲得金額與其對應的機率如下：金額 5000 10000 15000 機率

3 2

6 5 5 25

 

3 3 2 18

5 5 5 125

  

3 3 3 27

5 5 5 125

  

獲得金額的期望值為

6

18

27 5000

10000

15000

5880

25

125

125  









（元）。

二、進階題

11. 丟一枚均勻硬幣五次，已知正面至少出現 3 次， 求恰出現 4 次正面的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示正面至少出現 3 次的事件， B 表示恰出現 4 次正面的事件。 根據題意，得

 

5 5 5





5 3 4 5 4 5 5

1

5 ,

2

32 C C C

C

P A



 



P A B

  

。

(31)

故在 A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



₃₂

5

1 ₁₆

2 P A B

P B A

P A





 

。 12. 袋中有 1 到 9 號共 9 顆整數號碼球。今從袋中取球二次， 每次取出 1 球，取出的球不放回。設每顆球被取到的機率 都相等，已知兩次取到的號碼之和為偶數，求兩次取到的 號碼皆為偶數的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示兩次取到的號碼之和為偶數的事件， B 表示兩次取到的號碼皆為偶數的事件， 根據題意，得

 

4 3 5 4 4

_,





4 3 1

9 8 9 8 9

9 8 6

P A

    

P A B

   

。 在 A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



1 ₆

3 4 8

9 P A B

P B A

P A





 

。 13. 箱中有紅球 4 顆，白球 3 顆。今從箱中取球三次，每次 取出 1 球，取出的球不放回。設每顆球被取到的機率都 相等，求第一次為紅球且第三次為紅球的機率。 Ans：【詳解】因為第一次為紅球且第三次為紅球有「第一次紅球且第二次紅球且第三次紅球」

4B04 條件機率

甲 條件機率

   

n A

 

P A

n S



n S

 

n A

 



1, 2,3, 4,5, 6





4,5, 6



3 1

6 2



1

2



2, 4, 6 ,

 

4,5, 6



A



B



n A B



 



n A



A B



P B A

 

A B



 

n A B



 



P B A

n A





n S

 

 



 



 

 





 

n A B

P A B

n S

P B A

n A

P A

n S









A B

,

P A 

 

0

甲條件機率

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

_40,

_32,

₂₄