簡諧運動

(1)

一、簡諧運動二、參考圓與簡諧運動三、水平彈簧的簡諧運動四、小角度單擺的簡諧運動 1 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 範例 6

(2)

一、簡諧運動

1. 簡諧運動簡介

(1) 如下頁圖，將一端固定在牆壁，一端掛有物體 的水平彈簧向右拉動 R 的距離後，由靜止釋 放，則物體因受與位移大小成正比、但方向相反的回復力（即　　　　）作用，而在平衡位置附近，沿一直線作往復的週期性運動，稱為簡諧運動（ Simple Harmonic Motion ，簡稱

SHM ）。

F  k x  

(3)

(4)

(2) 自然界有許多週期性的振動，如彈簧的伸縮、水面上小船的浮沉、吉他弦線的振動、物體內部原子的振動、聲波、電磁波_{……等，其實都是} 由簡諧運動所組成。因此，簡諧運動可以說是自然界最基本的振動。

(5)

5

2. 名詞介紹

物理量代號意義平衡點 (equilibrium point) O 回復力或合力為零之點。位移 x 由平衡點至運動體所在點之位移。振福 (amplitude) R 最大的位移量值。週期 (period) T 完成一次往復運動所需的時間。頻率 f 單位時間往復運動之次數。角頻率  參考圓的角速度，因其正比於頻率 f ，故也常稱為角頻率。

(6)

二、參考圓與簡諧運動

1. 參考圓

質點在鉛直面上作等速圓周運動，如右圖所示： (1) 將一束平行光從正上方投射，以觀察 此質點在 x 軸上投 影的運動情形，其結果如右圖 (a) 所

(7)

7 (2) 將一束平行光從右方投射，以觀察此質點 在 y 軸上投 影的運動情形，其結果如右圖 (b) 所示。

(8)

(3) 圓上由 1 至 8 點，每點均經相同時距，我們可 看到質點不管在 x 軸（水平方向）或 y 軸 （鉛直方向）上的投影，都是作簡諧運動。因此我們常利用等速圓周運動來了解簡諧運動，故此圓稱為參考圓。下一頁有動畫哦！

(9)

動

(10)

2. 水平方向的簡諧運動（等速圓周運動的水平投影 ） (1) 在下表中，物體作逆時針旋轉的圓周運動，起始位 置在右端點 P₁ ，經 t 秒 後到達 P₂ ，其在水平方向的投影作簡諧運動，取向右為正、向左為負。右端點 (2) 此類簡諧運動的起始位置在。

(11)

11



cos R x  t R cos





※ 位移

(12)

距平衡點位置數學式端點的值 (θ=0 或 π) cos x  R



R



0

cos R



t  ) 2 3 2 (  _或  平衡點的值 

(13)

13 距平衡點位置數學式函數圖形 cos cos x  R



 R



t

(14)

※ 速度

sin

x

v

 

v



sin

R



t

 

(15)

15 速度數學式端點的值 (θ=0 或 π)

sin

x

v

 

v



sin

R



t

 

R





0

) 2 3 2 (  或  平衡點的值 

(16)

速度數學式函數圖形 sin sin x v  v



 R



t

(17)

17

※ 加速度

cos

x

a

 

a



2

_x



 

2

_R

_cos

_t



 

(18)

加速度數學式端點的值 (θ=0 或 π) x t R a a_x 2 2 _cos cos





      R 2





0

) 2 3 2 (  或  平衡點的值 

(19)

19 加速度數學式函數圖形 2 cos cos x a  a



 



R



t

(20)

(2) 此類簡諧運動的起始位置在。 3. 鉛直方向的簡諧運動（等速圓周運動的鉛直投影 ） (1) 在下表中，物體作逆時針旋轉的圓周運動，起始位 置在右端點 P₁ ，經 t 秒 後到達 P₂ ，其在鉛直方向的投影作簡諧運動，取向上為正、向下為負。平衡點

(21)

21 sin y  R



sin R



t 

※ 位移

(22)

距平衡點位置數學式平衡點的值 (θ=0 或 π) sin y  R



R



0

sin R



t  3 ( ) 2 2     端點的值或

(23)

23 距平衡點位置數學式函數圖形 sin sin y  R



 R



t

(24)

※ 速度

cos

y

v



v



cos

R



t



(25)

25 速度數學式平衡點的值 (θ=0 或 π)

cos

y

v



v



cos

R



t



R





0

3 ( ) 2 2     端點的值或

(26)

速度數學式函數圖形 cos cos y v  v



 R



t

(27)

27

※ 加速度

sin

y

a

 

a



2

_y



 

2

_R

_sin

_t



 

(28)

加速度數學式平衡點的值 (θ=0 或 π) 2 2 sin sin y a a R t y





      R 2





0

3 ( ) 2 2     端點的值或

(29)

29 加速度數學式函數圖形 2 2 sin sin y a  a    R t     y

(30)

※ 以微分法求各物理量

t

R

x



cos



(1) 水平 SHM ：

t

R

dt

dx

v

_x







sin





2

_cos

x x

dv

a

R

t

dt







 

_{ }



2

_x

(31)

31 (2) 鉛直 SHM ：

t

R

y



sin



t

R

dt

dy

v

_y





cos





2

_sin

y y

dv

a

R

t

dt







 

_{ }



2

_y

(32)

範例1

1

水平簡諧運動某物體作水平簡諧運動，其位移與時間的關係為 x （公尺） = cos4t （秒）。則：1 2 (1) 週期為＿＿秒； (2) 最大速率為＿＿公尺 / 秒； (3) 最大加速度的量值為＿＿公尺 / 秒 2 ； (4) 當物體自其初始位置向平衡點運動，行至位移為振幅之半處至少需時＿＿秒。

(33)

33 1 1. cos 4 cos 2 (m) (rad/s) x t x R t R            ＿＿＿＿＿將與比較＿＿＿ 1 2 4 2. 如圖所示，自其初始位 置行至位移為振幅之半處，相當於參考圓的角 位移 θ= ＿＿＿＿＿60 = ₃





(34)

解 2 2 (1) (s) 4 2 T        max 1 (2) 4 2(m/s) 2 v  R    2 2 2 max 1 (3) 4 8(m/s ) 2 a  R    60 1 (4) (s) 360 6 2 12 t   T     

(35)

35 cos x R t ※_或由 cos 2 R R    1 cos 2 t    60 3 t       (s) 12 t   

(36)

範例2

2

水平簡諧運動一質點作簡諧運動，其位置與時間之關係為 x = 3cos(3πt + 　 ) （ x ：公尺； t ：秒），求： 3  (1) 質點之初位置 x₀ ＝＿＿公尺。 (2) 週期為＿＿秒。 (3) t ＝ 2 秒時質點的速率為＿＿公尺 / 秒；加速度的量值為＿＿公尺 / 秒 2 。

(37)

37 0 3cos(3 ) 3 (m) (rad/s) x t R







       _      ＿＿＿＿＿＿＿＿如圖：＿＿＿參考圓初始位置 3 3 3 

(38)

v a         _      ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ sin(3 ) 3 3 sin(3 ) 3 3 R t   t         9 sin(3 ) 3 t      2 _cos(3 ₎ _{3 (3 )}2 _cos(3 ₎ 3 3 R t   t         2 27 cos(3 ) 3 t      3 3 3 

(39)

39 解 0 (1) 3cos(3 0 ) 3 x      2 (2)T    1 3cos 3 1.5(m) 3 2      2 2 (s) 3 3    

(40)

2 9 sin(3 ) 3 27 cos(3 ) 3 v t a t             2 27 cos(3 2 ) 3       9 sin(3 2 ) 3       9 sin 3     3 9 3 9 (m/s) 2 2        2 27 cos 3     2 1 27 2 2 27 (m/s ) 2 2       

(41)

41 範例3

3

鉛直簡諧運動 有一物體作簡諧運動，其位移 y （公尺）與時間 t （秒）的關係為 y =10sin 　 t ，則： 5  (1) 週期為＿＿秒。 (2) 由運動自開始至 y = 5 （公尺）至少需時＿＿秒 。 (3) 承 (2) ，此時物體的速率為＿＿公尺 / 秒；加速度的量值為＿＿公尺 / 秒 2 。

(42)

1. 由 y=10sin 　 t 可知，此為起始位置在＿＿＿＿＿ 的簡諧運動（鉛直投影的 SHM ）。 5  _平衡點 (m) 2. y R sin



t   

_

R  _(rad/s)  ＿＿＿＿＿＿＿＿對照 10 5



(43)

43 3. 如圖所示，自其初始位 置行至 y=5 （公尺） ，相當於參考圓的角位 移 θ= ＿＿＿＿＿ _ 30 6    4. v a        ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

cos 10 cos 2 cos

5 5 5

R t     t    t

2 ₂

2 _sin ₁₀ _sin 2 _sin

5 5 5 5

R t    t   t

   _{ }  

(44)

解 2 2 (1) 10(s) 5 T  _     30 1 5 (2) 10 (s) 360 12 6 t   T     10sin 5 5 y   t  ※_或利用 1 sin 5 t 2    5 (s) 5 t 6 t 6      

(45)

45 2 2 2 2 5 sin (m/s ) 5 5 6 5  _  _   _  _     5 2 cos 3 (m/s) 5 6   _  _    

(46)

範例4

4

簡諧運動的應用一質點作簡諧運動，當其距平衡點為 4 公尺和 3 公尺時的速度量值分別為 6 公尺 / 秒、 8 公尺 / 秒，則該簡諧運動的振幅為＿＿公尺，角頻率為＿＿弧度 / 秒，週期為＿＿秒，最大速度的大小為＿＿公尺 / 秒，最大加速度的大小為＿＿公尺 / 秒 2 。

(47)

47 1. 設該簡諧運動為鉛直方向的簡諧運動，此種簡諧運 動的 x 及 v 的正負相同，計算比較容易。 sin sin cos 2. x R v R                    ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ x R 2 ₂ ₂ 2 2 1 sin 1 x R x R R R R R       _{ }      2 2 R x  

(48)

解 2 2 2 2 6 4 8 3 R R           5(m) 2(rad/s) R      _  max 2 2 2 max 2 2 (s) 2 5 2 10(m/s) 5 2 20(m/s ) T v R a R  _{ }           _       _ _{ } _ 

(49)

49

三、水平彈簧的簡諧運動

1. 簡諧運動的週期

(1) 將質量為 m 的物體，連接至彈性常數為 k 的彈簧上，將另一端固定在牆壁上，如發下圖 (a) 所示。

(50)

(2) 將彈簧向右拉動 R 的距離後，由靜止釋放， 則物體會作簡諧運動，如下圖 (b) 所示。

(51)

51

(3) 當物體距平衡點的位置為 x 時，如下圖 (c) 所 示

(52)

x x x F ma F       _  由簡諧運動公式：＿＿＿＿＿由彈簧的回復力：＿＿＿＿    ‚ 2 m x  kx  k    ＿＿＿＿＿＿比較 ‚ 可得＿＿＿＿m2 _mk

(53)

53 (4) 簡諧運動的週期 T= k m   2  2 k m   2 m k  

(54)

產生簡諧運動的條件上面的討論我們是以彈簧為例，事實上，凡是 質量 m 的物體，若其所受淨力（此為總外力） F 大小與其位移大小 x 成正比（比例常數為 k ），且 受力方向與位移方向相反，亦即符合 F_x  kx ，則 此系統振盪起來，必以週期　　　　　作簡諧運動 (SHM) 。 2 m T k  

(55)

55

2. 物理量的變化

(56)

(57)

動

(58)

※ 鉛直彈簧的簡諧運動

如右圖所示，一彈簧彈 性常數 k 、原長 ℓ ₀ ，懸掛 質量為 m 的物體後伸長 x₀ 而平衡。若彈簧再受拉力又 伸長 R ，此時由靜止釋放， 則物體將以原長下方 x₀ 處為 平衡點，振幅為 R 作簡諧運

(59)

59

※ 若將物體托住，再使 之從距平衡點上方 R 處靜止開始自由落下，結果亦相同。

(60)

(61)

61

1. 平衡點

平衡點是物體在振盪時，所受外力和為零的位置。物體受重力與彈力作用 0 0 mg kx mg x k     ※ 比較：水平彈簧簡諧運動的平衡點在原長處。

(62)

2. 振幅與週期

當物體振盪到任一位置， 例如在平衡點上方 x 時，令 向上為正 0 ( ) F mg k x x    物體所力　　　　　受合 (mg ) mg k x k     kx  

(63)

63 0 ( ) ( ) F mg k x x mg mg k x kx k            物體所受合力  符合簡諧運動的條件，而比例常數仍為 k ， 故其週期　　　　，由簡諧運動的對稱性 可知其振幅為 R 。 2 m T k   下一頁有動畫哦！

(64)

(65)

65 如圖所示，一物掛 在彈性常數 k  40 牛頓 / 公尺之彈簧 下，質量 m  10 公 斤，俟其平衡後拉下 5 公尺，放手使物體在鉛直方向 作簡諧運動，設 g  10 公尺 / 秒 2 ，則：

(66)

0 0 (1) 10 10 40 2.5(m) 2.5 kx mg mg x k       由，可得平衡點的位置在原長下方公尺處。 (2)振幅為公尺。5 10 (3) 2 2 (s) 40 m T k       週期。

(67)

67 2 2 (4) 2(rad/s) T        角頻率。【註】現行課綱對於簡諧運動的規定為「只討論水平彈簧的運動，不討論鉛直彈簧的運動。」，因此鉛直彈簧的運動僅提供給有興趣的同學參考。

(68)

(1) 週期為＿＿秒。 (2) 角頻率為＿＿弧度 / 秒。 (3) 物體自平衡點向左移動　　公分，所需時間為＿＿秒。 (4) 當物體速率為 2 公尺 / 秒時，彈簧回復力為＿＿牛頓。範例5

5

水平彈簧的簡諧運動如圖，在光滑水平面上，將彈性常數 k  400 牛頓 / 公尺的彈簧左端固定於 牆上，右端連接質量 m  25 公斤的物 體，於平衡位置將彈簧壓縮 100 公分後釋放，則此物體作簡諧運動，求 50 2

(69)

69 1. 將彈簧壓縮 100 公分後釋放，則 SHM 的振幅 為＿＿＿＿＿＿＿＿＿。100公分（公尺）1 2. 可利用參考圓來幫 助理解。如右圖所示，物體自平衡點向左移動　　公分，相 當於參考圓自 A 點 逆時針轉動至 B 點 ，角位移為 θ 。 50 2

(70)

解 (1)T 2 m k   2 (2) T    50 2 2 (3)sin 100 2    25 2 (s) 400 2     2 4(rad/s) 2     t     4 (s)     _。 45 4       _， t t        由

(71)

71 (4)由v  R sin 1 sin 2    3 cos 2    2 _cos F mR     2 3 25 1 4 200 3(N) 2      _。 2 1 4sin   

(72)

四、小角度單擺的簡諧運動

1. 原理

如右圖所示，一單 擺擺長ℓ、擺錘質量為 m ，作一小角度（ θ ＜ 5  ）之擺動，最低點位置 為 O 。若擺繩質量不計， 且忽略所有的摩擦力，則其擺錘幾乎是在一直線上來回運動，若符合　　　　的條件，則為簡諧運動F  k x  

(73)

73

2. 分析

(1) 當擺角為 θ 時，擺錘受兩力作用：重 力 mg 與張力 F_T 。 (2) 可將 mg 分解成切向 的分力 mgsinθ 和法 向（即擺線方向）的 分力 mgcosθ 。

(74)

(3) 沿擺線方向的合力 ＝ F_T mgcosθ ， 提供擺錘作圓周運動所需的向心力。 (4) 沿切向方向的合力 ＝ mgsinθ ，提供 擺錘擺回平衡點 O 的回復力。

(75)

75 (5) 單擺週期： T ＝  　　（只和擺長與重力加速度有關，和擺錘質量及擺角大小均無關）。 2 g   O d x     以以以以以以以以以以以以以以以以 sin  d  x   sin F  mg   mg x   mg x  

(76)

O d x mg F kx k T           ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿以平衡點為原點，且當很小時，弧長符合之形式，故為簡諧運動，且週期  sin  d  x   sin x mg F  mg   mg   x   2 m k  2 m mg    2 g   

(77)

77 加速坐標中的單擺條件圖示週期將單擺懸掛 在等加速度 a 向上的電梯中之天花板 2 T g a    

(78)

條件圖示週期將單擺懸掛 在等加速度 a 向下的電梯中之天花板 2 T g a    

(79)

79 條件圖示週期將單擺懸掛 在等加速度 a 向前的車中之天花板 2 2 2 T g a    

(80)

範例6

6

單擺的簡諧運

一單擺之長為 1.00 公尺，週期為 2.0 秒。以此等數據算出的重力加速度為＿＿公尺 / 秒 2 。

(81)

81 解 2 T g g     ＿＿＿＿＿＿＿＿以以以以以以以以以以以以以以以以  2 2 4 T  _ 2 2 2 2 4 39.4 1.00 9.85 9.8(m/s ) 2.0 g T       

(82)