數學解題中「一而再」的經驗

許建銘

高雄市立龍華國民中學

一、自 U 昌 以下這個問題，聽說在上個世紀初風靡 了整個日本校園。圖 1-1 中的 A 與 B 分別表 示兩個在迴轉鐵道上暫停的車廂，而 T 是一 個火車頭，至於矩形狀的 C 是一座固定在軌 道正上方的天橋。如果天橋 C 因高度限制， 只能讓火車頭由其下方通過，而無法讓較高 的車廂穿過。請問如何在圖中現有的軌道 上，藉由火車頭的調度，讓 A 與 B 兩個車廂 互換位置?但火車頭必須開回原來的停放地 點。 圖 1-1 這的確是個很有趣的問題，如果能夠花 個時間製作教具，並找機會(如:科學活動 營、趣味數學遊戲)讓學生親手操弄，保證讓 他們回味無窮。解法如以下的圖 1-2 與圖 1-3 皆可，而其解題關鍵在於:火車頭一定要同 時掛上兩個車廂行進(圖中加晝「星」號的步 驟) ，再逐一置換車廂的位置。

AQ三~Q

Of;

@立GbIPP

U 戶口三Q

圖 1-2

。平。T了A()T~

何TA~G句:戶口A

biQ三口

圖 1-3 另一個也可以做個道具讓學生玩玩的問 題是: (1)黃家村有 4 匹馬 (A 、 B 、 C 、 D)要 送到劉家村。假如馬由黃家村走到劉家村和 由劉家村走回黃家村所需的時間相等，其中 A 是 1 小時 'B 是 2 小時 'C 是 4 小時 'D 是 5 小時。一次預定送兩匹過去，而騎一匹 回來。送馬過去的時間以速度較慢的馬走的 時間為準。有個男人花了 12 個小時完成了這

件工作。請問:他究竟是把 4 匹馬按何種順 序送過去的? (2) 若把題(1)中的馬改成七匹 (A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G) ，而牠們由黃家村 走到劉家村所需時間分別為 1 小時、 2 小時、 3 小時、 4 小時、 5 小時、 6 小時、 7 小時，

但每一次都由兩人一起送，且每次每人負責

送兩匹。請問:最少需要幾個小時才能完成 送馬的工作? 解: (1)。送 A'B 過去 (2 小時); @A 回來(

1

小時)

;

(事送 C ， D 過去;(5 小時)

;

(學 B 回來 (2 小時); ®送 A'B 過去 (2 小 時) ，以上合計 12 小時。 (2) 白送 A ， B'C ， D 過去 (4 小時); @兩 人共騎 A 回來(1小時 );0 送 A'E ， P'

G

過去 (7 小時) ，以上合計 12 小時。 由這個問題中第 (2) 小題的解答，很顯然 看得出，如果只拘泥於如第(1)小題，一個人 騎一匹快馬回來的既定見解，恐怕花的時間 就沒那麼少了。 再來一道較常見的思考性問題:有兩根 長短粗細不→、燃燒速率不穩定的繩子，而 且每根繩子從任一端點燃直到燒完都恰為 A 小時。請用這兩根繩j'"-，測出 45 分鍾的時間。 解:將其中一根的兩端與另一根的一端同時 點燃，待一根燒完時(過 J 30 分鐘) ，立 即點燃另一根的另一端，直到第二根也 全部燒完，則合計費時 30+15=45 分鐘。 以上幾個問題的解法中:一個車頭掛兩 個車廂，兩個人騎一匹馬，一根繩子兩頭燒， 這些都是吾人生活體驗中，感覺極其自然與 合理的事情。而將這樣的經驗應用在數學解 題或數學教育的情意教學上，也有其特殊意 義與趣味。像同一件東西多了幾個、加上不 一→樣的組合，可能就有煥然一新的思考空 間:一個動作再做一次、多走幾步，也可能 開展出意想不到的發現與結果。

二、本文:

問題一:一個鐘錶在 2 點與 3 點間，時針與 ，分針何時重合? 解 1 :設 2 時 X 分重合。因為分針走 4 分格，

時針走土分格;

12

即分針走 X 分格，時針走土 x 分格。

12

所以 x= 土x

+ 10

~

12x

=

x

+ 120

12

120

~

10

~ llx 二 120

:.

x

= 一一=

10-=""::'"

,

11

11

10

所以兩針重合的時間為 2 時間一分。

11

解 2: 讓我們考慮更多次重合的情形:時鐘 面 to 時(不合)到 12 時止，時針與 分針共計重合 1 1 次。所以某次重合至

12

下一次重合需時一小時。而 2 點與 3

. 11

點間是第 2 次重合，因此時間為

12

_ 2

.

~

10

2x 一時，而 2 一時 =2 時的一分。

11

11

11

若老師專為此類問題，索性只給學生「公

1_

~

1

L I

式 J.α 時 b 分，時分針夾角 1 30a

-

-2-

bl 度，

將 α=2 代入

11

_

120

~30x2 一一 xb=O~b= 一一，一般而

11

一 13 一

論，這是值得商榷的教法。 問題二:己知 MBC 中，

AB=AC' 求證LB=LC

0

證 1 :作 AD 平分 LA ' 並交 BC 於 D(如圖

2-1)

~

Ll

=

L2

' 又

AB

=

AC ' AD

=

AD

解 1 :如圖 2-3-(2) ，高度在 12 以上的體積為

:×叫×刊4

-12)

=切

所以總體積為

:r

x 52 x 12 + 25

:r

= 325

:r

解 2: 如圖 2-3-(3) ，若再取一個同樣的立體 圓形，將兩個拼成一個圓柱，就可推 得 原 立 體 圖 形 體 積 為

[:r

x5

2

x(12+ 14)]+2

=:r

x25x13= 32:

:.MBC 三 MCD

(SAS)

， 故

LB =LC

0 證 2 :比較 MBC 與 MCB(如圖 2-2)

.: AB

=

A

C '

A

C

=

AB

' ζA= ζA :.MBC 三 MCB

(SAS)

， 故

LB=LC

0

A

們{

(l)

(2)

圖 2-3

(3)

B

_D

C

問題四:因式分解

3x

2

+5刀 -2l

+3x-8y-6

解 1 :利用「一而再」的十字交乘法作因式 分解:

>< ><

B

B

(3x

(x

一 y)

+2y)

-3

+2

圖 2-2 問題三:如圖 2-3-(

I)

，有一個底面半徑為 5 的圓柱體，它的一頭被斜切去一部 分，於是斜面至底面的最高與最低 高度分別為 12 和 14 '請求出此立 體圖形的體積?

•

.原式 =

(3x- y-3)(x+2y+2)

解 2: 將原式依 x(或 y)的降幕重新排列， 再利用「一而再」的十字交乘法作因 式分解:

原式 =

3x

2

+(5y+3)x一 (2l+8y+6)

圖 2-5

d

圖 2-6 圖 2-4

d

N

M

N

M

解: (1)如圖 2-5 與圖 2-6 兩種切拼法皆可。 圍中的 M 、 N 、 p 是邊的中點，可以 運用摺紙將它們找出，再用直尺和美 工刀治虛線切下拼合即可。 (2) 如圖 2-7 中，塗黑點的區域表示原來 紙張的反面，其中有一個步驟是將切 拼過的紙張再作一次切割，而其切拼 原理是利用「三角形的全等性質」。

x x

.

.原式 =

(3x- y-3)(x+2y+2)

120

1x -

99y

=

102···

(1)

習題五:解 4

l10 1x一 199y

=

-98···(2)

轉 1 :兩式相減後即「代入消去J .

(1)一(2)

=>

100x

+

100y

=

200

=>

x

+

y

=

2

=>

x

=

2-

y···(3)

(3)代入(1)

=>

201(2-

y)-99y

=

102

=>

402 -

201y - 99y

=

102

=>

300y 二 -300

=>

y

=

1···(4)

(4)代入(3)

=>

x

=

2 -1

=>

x

=

1

:. x

=

1

,

y

=

1

解 2: 兩式相減得到一個新式，用原來的被 減式(另一式也可)再減此新式:

(1)一 (2)

=>

100x

+

100y

=

200

三今 x

+

y

=

2···(3)

(1)一 (3)

=>

200x -

100

y

=

100

=>

2x - y

=

1.. .. .. (4)

(3)

+

(4)

=>

3x

=

3

=>

x

=

1

=>

y

=

1

:. x

=

1

,

y

=

1

問題六:如圖 2-4 是由矩形與等腰三角形組 成的一張白紙，若(I)紙可以摺也可 以翻面，請用直尺和美工刀，將它 切拼成等腰三角形。 (2) 紙不可以 摺，但可以翻面，請用直尺和美工

刀，將它切拼成等腰三角形。

一 15 一

時

J

時 周 2-7 以上問題六之 (2)的解法巾「一切再切」 的想法，很像問題五之解 2 中「一減再減」 的作法。 問題七:已知銳角三角形 ABC ， 試作一內

接正方形 DEFG ， 而其中的 D 、 E

分別在 AB 、 AC 上 ， F 、 G 皆在 BC 上。

解析:如圖 2-8 中，設 DEFG 為三角形 ABC

的內接正方形。 若 AH 為 BC 上的高，且令

AH =b ' BC=a

。

設 DE=x

γ DE

II

BC

.主=空二三三 bx

=

ab-ax

a

b

訓。+伽 =

ab

=>

x

= 坐7

G十。 圖 2-8

B

G

H F C

作法 1

:

(1)如圖 2-9 中，作 AH

.1

BC 且交

BC 於 H 。

-c

-B

i

一肛

作

B

過

?但 (3) 在 BX 上取 Q 點，且使

BQ

=

BC

0

(4)連 HQ 交 AB 於 Do

(5)作 DG .l BC 且交 BC 於 Go

(6) 以 DG 為邊作內接矩形 DEFG

即為所求。

證明:

0:

BQ

II

DG

II

AH

一個一

-m

一閃一切

@

一些

-m

一閃一一組

DG

DG

_

CD+0 二今一一一+一于一 =1

a

0

二今 (a+b)五百 =ab 三百磊 =fE7

a+ 。

故正方形 DEFG 合為所求。

D'G'F'E'

， 而 F' 在 BC 上。

F法 2

:

(1)如圖 2-10 中，在

AB上取一點D' · 並作

D'G'

..1.

BC 且交 BC 於 G' 。

(2)以 D'G' 為邊作正方形

圖 2-12 圖 2-11

S

R

B

=>

LABC

=

LADC '

A

Q

P

P

A

Q

解 1

:

(1)由圍 2-12 中 x與﹒的兩種角度 圖 2-9

C

F

H

G

B

:x

Q

9-D

(3)作 BE' 交 AC 於 E 點。

(4) 作 EF 為邊作內接矩形 DEFG

即為所求。

置明:

.:

D'E' : DE

=

BE' : BE

=

E'F' : EF

又 D'E'

=

E'F' :. DE

=

EF

故 DEFG 即為所求之內接正方形。

LDAB=LBCD

=今 ABCD 為平行四邊形

=今 AB

=

CD ' AD

=

BC

(2) 由 AB=CD'

LABQ=LCDS '

LBAQ=LDCS

:.MBQ 三 /1CDS

叉 MBQ-MDP

B

_G'

_{G F'}

_F

_C

=今 BQ=DS'

AQ:PA=BQ:PD

=今 AQ:

PA

=

DS: PD

習題八:如圖 2-11 中，矩形撞球台 PQRS 的

PS=300·PQ=160 ， 一球自 A

λ AD

II

QS

點撞出，三顆星後恰好回到 A 點，

_{(3)同理可推得 BC}

_II

_{QS '}

求 ABeD 周長?

DC

II

PR '

AB

II

PR

一 17 一

(4)令 一­

B

R

Q

B

一-D

P

FL-d

Db

一一一-A-C

P-DA

Q--A-c

PR

=

QS

=

1

。一叫

-C

-B

一油

2

AB=DC= 之一l

α +b

二:> ABCD 周長

=

21

=

2x .Ji面工300

=

2x20x 晶石ET

=

40x17

=680

解 2: 利用「一而再」的鏡射，由圖2-13 可 推算得ABCD 閻長

=互

M=J

互

E2+頁

2

=

~

(2pS)2

₊

(2PQ)2

=

2

.J

300

2

₊

160

2

₌

40

.J

15

2

₊

8

2

=

40x 17

=680

P

Q

A'

PA 固 2-13

Q"

A"

問題九: (1)如何運用摺紙與直尺、美主力， 將一張A4

的紙張切拼成一個正

方形?

(2)

如何運用兩塊全等的矩形板(無 法對摺，但可切割)，而且它的 大小都與 A4 的紙張一樣，請利 用筆和切割刀，將一塊矩形板切

拼成正方形?

解: _{(1)如以下的切拼步驟以及簡要的證明:} @首先將A4 的紙張定名為

ABCD'

且

AB

為短邊 ， AD為長邊。(如圖 2國₁₄₎

o

摺出正方形 ABA'E

0 (如圖

2-14

)

@摺紙找出

AD

的中點

_M

0 (如圖

2-15)

@過

M

將紙對摺，使

_{A 落於}

EA' 上，

打開紙張後會出現摺痕線

MN

0 (如圖 _2-15) @過

A

摺出

_MN

的垂直線段

AF

，

且

與

EA'

_交於

A"

0 (如圖

2-16

司(1))

@摺出 DA"

且與

BC

交於

G

0 (如圖

2-16-

(1 ))

。切割下此也

4"D 、

mCG

與四邊形

ABGi

生，，就可拼成正方形。(如圖

2-16-(2))

@說明:令

_AD=

α

，

AB=b

.: AM =MA"=MD

λ

MA"D

為直角三角形

又

A"E

1-

AD

:. AA

,,2

= 互×五五

(2) 摺紙可以幫助解決數學問題，但不一定

3 巫五= ~

AE

x

AD

=

J;;b

可以完全或有效解決生活中的現實問 題。如何將數學性質在生活中作有效率 的應用，是人類學習與發展數學很重要 的目的之一。以下切割方式所運用的數

叉 MA"D

-MJCG

二今 GD:

AD

=

CD: AA"

尋訪 :a =b: 而函

...5五=而孟二今所拼成之四邊形

學原理和(1)的解法相同，當然正方形的 拼法也一樣。但其簡潔精確的切割過 的四邊等長 程，卻如同來自老經驗的工匠一雙充滿

叉 4三九4."D

=

90。故推得所拼成

自信的巧手: 之四邊形為正方形。 @將兩塊矩形板中的一塊橫放、一塊直

D

A

放，且使一個直角處重疊，則兩塊板 子重疊的區域恰是正方形，治上方板 子邊緣用筆畫出 XY(如圖 2-17 -(1»。 @移動並調整上方的矩形板，使上方矩 形板的一直角頂點置於 XY 正上方， 且此直角的兩邊正好位於下方板子之 圖 2-14

C

E

M

A'

B

[b

E

A

其中兩頂點的正上方(如圖 2個 17-(2» 。 圖 2-15 且 @用刀沿著仁方板子的邊緣切割出

。A"

BO市 _℃ PQ(如圖 2-17-(2» 。

A'

@移動上方板子，使板子邊緣對齊

RQ

' 再用刀切割出 RS ( 如圖 2-17-(2» 。 已學如圖 2-16-(2)的方式，即可拼成正方

Aτ三--六7亡了rn

~

.

~.~:~:.~::::::::::::.;.~~A.~~.

B羊半沾沾云在斗一~F

N

G

A'

C

(1)

扎f 形。 圖 2-16 而且這個問題經過教師的妥善規劃與佈 題，想必也會是極佳的合作解題模式， 譬如說可以改成如此問法:I 如果你和你

X

的朋友各有一塊矩形板(無法對摺'但可 切割) ，而且每塊的大小都與 A4 的紙張 一樣，請你們兩人合作以筆和切割刀，

Y

(2) S

圖 2-17

Y

、‘'， J 唱 EEA '，.‘、

將兩塊矩形板都切拼成正方形。」 三、結論: 「讀者文摘」曾刊載過一則「一而再」 「弄假成真」的笑話:兩個人在酒吧宴，其 中一人對另一人說: I 我跟你賭一百塊錢，我 能咬我左眼。」那人答應跟他賭，他把假眼 睛摳出來放進嘴里就咬。接著他又說: I 現在 我給你個機會把錢贏回去，我再跟你賭一百 塊錢.我能咬我的右眼! J 那個人心想，他 不可能兩隻眼睛都是假的，毫不猶豫地把鈔 票拿了出來。誰知那人掏出假牙就去咬他的 右眼。 以上不應只是個笑話，它也說明天底下 有各式稀奇古怪的迷障，稍不小心就會讓人 困惑上當 o 除此以外，還有更多「一而再」 的因緣巧合、「一而再」的串通圈套，這些令 人動心驚嘆或感慨憤怒的真人實事，也幾乎 天天在我們人類生存的環境裡「一而再」的 上演。 近→二十年來，台灣地區可以算是一個 高所得、物資豐裕的工商社會。然而翻開報 紙、打開電視，卻有看不盡的醜陋、可怕與 犯罪事件的新聞。如果身為數學教育的教學 者，能夠體悟「尊重思考」才是「尊重生命」 的真諦，少用強硬、怒罵的「威權觀」教數 學，多用啟發、關愛的「包容心」引導學生 作數學學習，相信數學不只可以促進科學昌 明，還可以美化人額性靈、普濟芸芸泉生。 畢竟用心經營、用愛灌溉的數學教育，會讓 學生學到更多心存「善念」的聰明，現在和 未來的社會會更進步與和諧。