利用發光二極體進行普朗克常數量測

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2019, 第二十卷第一期,26-37 2019,20 (1),26-37

利用發光二極體進行普朗克常數量測

徐義鴻余進忠*

國立高雄大學應用物理學系 *通訊作者：yucc@nuk.edu.tw （投稿日期：民國 108 年 06 月 03 日，接受日期：108 年 06 月 19 日）摘要：近代物理實驗中常以光電效應為基礎去進行普朗克常數的量測，為避免外界光線干擾，光電效應實驗往往需在暗室中進行，並需要一抽真空的光電二極管作為光電效應發生的環境，整組器材要價不斐，若本體以玻璃製作則容易撞擊破裂，因此不利存放及推廣的進行。本文中，我們改以發光二極體作為實驗對象，利用電致發光所提供的能量恰為光子能量來進行普朗克常數的推估，實驗器材係透過 Arduino 主板與相關電子元件來實現定電壓源及電壓、電流量測，並以手機 APP 進行實驗參數控制及接收數據。由於整個實驗系統以鋰電池供電且器材體積小，因此適合於普通教室進行實驗操作且不受環境影響。其成本低廉、體積小，十分符合推廣物理教育目的。關鍵詞：普朗克常數、電致發光、二極體、p-n 接面、內建電場、Arduino、電壓源、電壓量測、電流量測

壹、前言

普朗克常數(Planck’s constant)是一重要的基本物理常數，在量子領域中佔有重要的角色，在此常數被發現前，大部分物理學家們認為能量是連續的，直到 1900 年，馬克斯·普朗克 (Max Planck)在研究物體熱輻射現象時發現，只有假定電磁波的發射和吸收的能量是不連續的，如此理論計算的結果才能與實驗結果相符。此即能量量子化的假說，亦即電磁輻射的能量為 E = hν，其中ν是頻率，並引入了一個重要的物理常數 h，稱之為普朗克常數，而熱輻射能量只能以不可分的量子(quanta)的形式向外輻射。這樣的假說調和了古典物理學理論研究熱輻射現象時所遇到的矛盾。基於這樣的假設，他給出了黑體輻射的普朗克公式，圓滿地解釋了實驗現象。這個成就揭開量子論的序幕，因此馬克斯·普朗克被視為近代物理學的開拓者之一。[1,2] 在近代物理實驗中，一般是以光電效應實驗來測定普朗克常數，於此實驗中，當入射光 10.6212/CPE.201907_20(1).0003

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頻率高於底限頻率時，足夠能量的電磁波(又稱光子(photon))照射在一金屬板上時，光子會激發金屬板內的束縛電子，使其克服功函數(work function)並從金屬板上逃脫，進而形成光電子。實驗常以汞燈做為光源並利用濾光片選擇色光(頻率)，照射在光電二極管，然後記錄其截止電壓，再做頻率對截止電壓之關係圖，其圖形呈現一斜直線，斜率為ℎ 𝑒⁄ ，再將斜率乘上 e ，即可得普朗克常數。[3,4,5] 但如果要以光電效應進行普朗克常數測定並做推廣，將面臨以下幾個問題：(1)實驗要在暗室中進行，以屏蔽外界光線、(2)器材裝置要價不斐，一個授課班級僅少數學生可以進行實驗、(3)光電二極管受到撞擊易破碎，面臨器材移動及保存問題、(4)體積大器材重不利於教育推廣的進行。[3] 因此在此實驗設計中，我們利用發光二極體的電致發光(electroluminescence) 現象，透過量測其電流-電壓曲線(current-to-voltage curve)計算出產生光子所需的能量，亦即外加電場所提供的能量恰為光子能量，來進行普朗克常數的量測。實驗器材係透過手機 App 、Arduino Nano 板與相關電子元件實現定電壓源施加及電壓、電流量測，透過此一方式可避免傳統光電效應的缺點，並可將實驗器材縮小化適合一般教室使用。

貳、實驗裝置

為了便於推廣，所用之電子器材都是以方便取得且便宜為主，利用簡易的電子電路元件、 Arduino 相關模組，並搭配智慧手機來進行實驗。表 1 為本實驗所使用到的電子元件與 Arduino 相關模組清單。圖 1 為實驗組裝線路圖，圖 2 為實際組裝後的實驗裝置成品。表 1 實驗所需材料編號元件名稱用途 1 10Ω精密電阻使用在測量電流部分，通過量測電壓差及已知的電阻來計算電流值(I =𝑉_𝑅) 2 9V 電池提供 Arduino nano 主板電源 3 共陰/陽 RGB LED 發出紅、綠、藍色光，此種 LED 不會有摻雜螢光粉，可較為準確產生單色光 4 Arduino nano 單板微控制器將程式碼燒錄進主板後，對相應腳位做輸出或接收訊號 5 HC-05 藍牙模組與手機藍牙連結，做訊號的接收與傳送 6 MCP4725 12 位元 DAC 轉換模組將數位訊號轉換為類比輸出，負責控制輸出 0 至 5V 的 DC 電壓給 RGB LED 7 ADS1115 16 位元 ADC 轉換模組將接收到的電流類比訊號轉換為數位訊號，並提高接收的位元，以提高電流解析度(註:一般 Arduino 主板內建的是 10 位元 ADC 轉換器

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圖 1：利用 Fritzing 繪製的實驗線路圖圖 2：實驗裝置成品

參、裝置原理與實驗量測

一、 p-n 接面(p-n junction)

將 p 型半導體與 n 型半導體採用一些特殊製程相互結合，在二者接觸面的位置形成一 p-n 接面。p 型、n 型半導體由於分別含有較高濃度的「電洞」和「自由電子」，存在濃度梯度，所以二者之間將產生擴散運動，亦即自由電子由 n 型半導體向 p 型半導體的方向擴散；而電洞由 p 型半導體向 n 型半導體的方向擴散。載子經過擴散的過程後，擴散的自由電子和電洞相互結合，使得原有的 n 型半導體的自由電子濃度減少，同時原有 p 型半導體的電洞濃度也減少，造成結合面附近的區域內缺乏載子，形成空乏區（depletion region）。

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然而 n 型半導體中的電子並不會不斷的透過接合面與 p 型半導體的電洞結合，直到所有的電子與電洞都消失；實際的情形卻是，靠近接合面的 n 型半導體失去一些電子，變成正離子，p 型半導體失去一些電洞形成負離子，這些正負離子會在接合面附近形成一電場，阻止電子與電洞的繼續結合（正離子排斥電洞，負離子排斥電子），並達到熱平衡，使得接合

面附近只有離子，沒有載子（電子或電洞），並在兩半導體中間位置形成一個由 n 型半導體

指向 p 型半導體的「內建電場(built-in electric field)」。圖 3 所示 p-n 接面於零偏壓與熱平衡下的載子、內建電場及內建電位分布情形。[6] 當施加一電流由 p 型流向 n 型半導體，亦即外加一電壓的負極接在 n 型半導體，此時電子由 n 型半導體注入，內建電場寬度縮小，稱為順向偏壓，至內建電場寬度為零後，電流開始通過接面；反之，如施加一電流由 n 型流向 p 型半導體，則內建電場寬度變大，此時電流將更難以通過 p-n 接面，稱逆向偏壓，因此 p-n 接面具備二極體(diode)性質。如施加順向偏壓，超過內建電位後電子與電洞將復合，並將所帶有的能量轉為光子，具此特性的二極體稱為發光二極體(light-emitting diode, LED)。[7]

圖 3：p-n 接面在零偏壓與熱平衡狀態下。(取自維基百科並重畫[8]) 於 n 型半導體中電子的能量處於導帶(conduction band)的下緣，而 p 型半導體中的電洞的能量則位於價帶(valence band)上緣，當施加順向偏壓克服此一內建電場後，使得電子與電洞復合，放出的光子能量(ℎ𝜈)恰等於能隙(energy gap)寬度，亦等於載子克服內建電場所需的能量(𝑒𝑉₀)。[9] 其公式如下： 𝑒𝑉₀= ℎ𝜈 ………(1) 其中𝑒𝑉₀ 為克服內建電場所需的能量，ℎ𝜈 為光子能量。

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上述物理式(1)中， 𝑒 = 1.6 × 10−19_{C 視為已知，𝑉} 0為內建電位、𝜈為光波頻率，透過實驗量測𝑉₀及𝜈，即可得出普朗克常數 ℎ。

二、量測原理及實驗操作程序

（一）電壓源為縮小化及利於教學推廣，我們利用 Arduino 自製可控的電壓源，及電壓、電流量測裝置。以 Arduino Nano 作為主板，利用 12 位元的 digital-to-analog converter (DAC)模組 MCP4725 [10]，做為 0 至 5V 輸出的電壓源，以電壓上限 5V 為例，12 位元解析度表示有將212_{= 4096}

個不同的類比訊號編碼，可以表示成 0~4095，則我們的訊號在輸出時的解析度為5/(212₋

1) ≅ 0.001V，表示數位訊號上升一個單位約 1mV，若輸出的值為 100，12 位元解析度的數位訊號為 000001100100，輸出的電壓約為100 × 1mV = 100mV。[11]

MCP4725 與 Arduino 主板係透過 I2C（Inter-Integrated Circuit）介面傳送資料，當欲透過程式輸出電壓值𝑉_𝑜𝑢𝑡，則可依以下公式轉換： 𝑉_𝑜𝑢𝑡 5 × 4095 = 𝑉𝐷 𝑉_𝐷即為輸出電壓值的數位訊號，將𝑉_𝐷帶入 MCP4725 的專用函式，即完成特定電壓的輸出。（二）內建電位(build-in potential)的量測原理透過量測發光二極體的電流－電壓曲線，可以得出二極體的內建電位。常見的方式係利用一般的電源供應器提供一電壓於發光二極體兩端，並串接一電表量測通過二極體的電流，將施加的電壓與通過的電流數據分別記錄下來，即可繪製發光二極體的電流－電壓曲線。(註：施加電壓時應由小到大且為順向偏壓，通過發光二極體的電流應盡量保持在 20mA 以下，以避免發光二極體燒壞。) 此處我們將發光二極體串聯一小電阻 ( 在此使用 10Ω精密電阻)，使用 16 位元 analog-to-digital converter (ADC)模組 ADS1115 [12]，測量下圖 4 標示𝑉₂測量點的電位。利用輸出電位(𝑉1)減去量測點電位(𝑉2)，即為發光二極體兩端的電位差(𝑉1− 𝑉2)；而流經二極體的電流，則由電阻 R 兩端的電位差除以電阻值得出(I = 𝑉₂/𝑅)。

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圖 4：量測原理示意圖

此實驗裝置不採用 Arduino Nano 板內建的 ADC 模組，而使用外加的 ADC 模組 ADS1115，係因 Nano 板內建的 ADC 模組只有 10 位元的解析度，而訊號是以二進位方式儲存，以電壓上限 5V 為例，10 位元數位訊號解析度表示有210_{= 1024 個不同的類比訊號編碼，可以表示} 成 0~1023，則我們的訊號在接收時的解析度為5/(210_{− 1) ≅ 0.005V，表示數位訊號上升一} 個單位約 5mV，若接收到的數位訊號為 100，所對應的電壓為100 × 5mV = 500mV。而圖 4 中提及量測電流的方式為利用量測點的𝑉₂電位值除以電阻 R 的方式，於安全量測範圍 0~20mA 內，通過二極體的電流最大值 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 20mA =𝑉_𝑅2=₁₀𝑉2，表示𝑉2最大可量測的數值為 200mV，此時以 10 位元的數位訊號解析度 5mV 來看，量測到的數位訊號僅能以 0~40 表示，加上量測訊號時的浮動與飄移，造成的量測誤差將會過大，而 ADS1115 為 16 位元 ADC 模組，可有效地提升量測解析力並降低訊號浮動所造成的誤差。雖然 ADS1115 為 16 位元的 ADC 轉換模組，但實際上只有 15 位元用於傳遞電壓值的量測，其中一位元是用來顯示量測數值為正值或負值。在此我們使用的是 Adafruit ADS1X15 Library，其默認的量測範圍為+/- 6.144V，因 15 位元具有215_{= 32768個類比訊號編碼，其解} 析度為6.144V/(215_{− 1) ≅ 0.1875 mV，相較於 10 位元每單位 5mV，解析能力大約提升了 26} 倍，而量測時所出現的訊號浮動，也因實際造成的變化非常小，而可以忽略不計。（三）程式

此實驗透過藍牙元件讓手機 App 與 Arduino Nano 板相互傳遞資訊，於藍牙配對後，可

透過手機端設定要對發光二極體輸出多少的電壓(𝑉1)，輸出電壓後實驗裝置將連續量測 4 筆測量點(𝑉₂)的電位值並取其平均，接著計算出發光二極體兩端的平均電位差(𝑉₁− 𝑉₂)及流過的平均電流值(I = 𝑉2/𝑅)，此一平均電位差及平均電流值再經藍牙回傳至手機並於螢幕中呈現。實驗者可由𝑉₁= 0𝑉逐步提升施加的電壓，並記錄手機上經程式計算後所呈現的電位差與電流數據，即可繪製出發光二極體的電流(𝐼)－電壓(𝑉1− 𝑉2)曲線。手機 App 畫面如圖 5 所示，可進行藍牙裝置連結、輸出電壓設定，並顯示測量點(𝑉₂)的平均電位值及迴路上的平均電流值。筆者在此提供手機 App 軟體及 Arduino Nano 所使用的程式碼，讀者可透過圖 6 與圖 7 的二維條碼取得程式。

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圖 6：手機 App 軟體圖 7：Arduino code 圖 5：手機 App 介面截圖（四）內建電位量測實驗時我們利用一共陰極 RGB 發光二極體進行其電流－電壓曲線的繪製，於順向偏壓下紅、綠、藍發光二極體的電流－電壓曲線如圖 8 所示。內建電位的測得需繪製出兩條漸近線，一條為利用施加的電壓超過內建電位後，二極體的電流會快速提升，利用高電流處的數據點取其切線；另一條為水平漸近線，目的是為了確保水平位準，於外加電位尚未升到克服內建電位時，有時會量測到微小的電流值，可能來自零點飄移。得出此二漸近線後，取其交點的電位值即為發光二極體的內建電位𝑉₀。利用上述方法，可以取得共陰極 RGB 發光二極體的紅、綠、藍二極體的內建電位分別為 1.86V、2.35V 及 2.68V。

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圖 8：RGB 發光二極體之電壓－電流曲線

（五）發光二極體色光頻率之量測

於公式(1)中由已知 𝑒 = 1.6 × 10−19 C，及後續量測出之內建電位(𝑉0)，還需要求出此發光二極體所發出的色光頻率𝜈才能計算出普朗克常數 ℎ。可利用手機 APP 軟體 Color Analysis (Android 作業系統下於 Google Play 商店中下載)，搭配 Academo 網頁的互動教學演示工具中的「Wavelength to Colour Relationship」[13,14]得出色光波長。其中 Color Analysis 軟體可以經由拍照擷取畫面中的顏色轉換為 RGB 色碼或者是十六進位制的顏色編碼；而 Wavelength to Colour Relationship 則是可以經波長轉換成 RGB 色碼或者是十六進位制的顏色編碼。此二軟體相互配合，即可達到色光轉換為波長，進而轉換為頻率的目的。實驗進行時需將發光二極體套上一白色套筒(為一經由 3D 列印出的 PLA 薄殼圓柱)，白色套筒可使發光二極體於 Color Analysis 軟體內拍攝時的畫面保持在同一顏色(參看圖 9、圖 10 及圖 11)，由此可得出發光二極體的 RGB 色碼，如圖 11 中紅色方框圈起處。接著於 Wavelength to Colour Relationship 中調整波長，使得出與 Color Analysis 相同或近似的 RGB 色碼，由此確認色光的波長，如圖 12 所示，發光二極體所發出的藍光為 458nm。

2.68V

2.35V

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圖 9：發出紅光的二極體圖 10：發出紅光的二極體於套上套筒後的狀況

(左) 圖 11：Colour Analysis 對發光二極體拍攝後取得藍光的 RGB 色碼

(右) 圖 12：於 Wavelength to Colour Relationship 中調整波長，以便得出相同或近似的 RGB 色碼，由此確認色光的波長（六）普朗克常數的計算以藍光為例，經由圖 8 及圖 12 的數據，可得出藍光的內建電位為 2.68V，波長為 458nm，依公式(1)做計算： 𝑒𝑉₀= ℎ𝜈 = ℎ𝑐 𝜆 ⇒ 1.6 × 10−19_{× 2.68 = ℎ} 3 × 108 458 × 10−9 [J] ⇒ ℎ ≅ 6.55 × 10−34_[J-s] 此數值與理論值 6.626 × 10−34 J-s 相較，誤差為 1.2%。同理亦可經由紅光及綠光的內

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建電位與波長計算出普朗克常數，其值分別為6.2 × 10−34_{J-s 及6.5 × 10}−34_J-s。在此實驗中，內建電位的取得是誤差的主要來源，就上述利用高電流處的數據點取其切線製作漸近線的方式，取得的內建電位數值較大；另一種方式則是取開始產生電流時的電壓作為內建電位，這樣取得的內建電位較低，因此得出的普朗克常數數值偏低誤差也較大，針對於較低順向偏壓可產生電流的現象，可回歸 p-n 接面的能帶結構，當處於常溫下，載子獲得部分熱能提升能量，因此造成能隙寬度變載窄，因此在較低的順向電壓下部分電子電洞即產生復合，此時可測得電流，LED 也發出亮光。紅色及綠色 LED 燈得出較大的數值誤差可以基於上述理由給予解釋。

肆、結語

相較於光電效應，利用發光二極體進行實驗並取得普朗克常數，具備體積小易攜帶、價廉具推廣性，但所呈現的物理現象較不直觀。依據 108 課綱中「十二年國民基本教育課程綱要國民中小學暨普通型高級中等學校─自然科學領域」之規範，高中學生於物理必修課程中應已習得光子能量𝐸 = ℎ𝜈的概念，而普朗克分析黑體輻射現象並提出量子論解釋，則在加深加廣選的修課程中出現。但課綱中未有明列半導體相關知識，因此學生應未學習過半導體相關知識，因此較難想像 p-n 接面所發生的狀況。在實際授課上建議可先從 Si 晶體結構與電子組態進行教學，接著介紹原子摻雜的方式與作用，由此衍生 p 型與 n 型半導體材料、電子與電洞的概念，此時或許也可加入霍爾效應(Hall effect)強化學生對羅倫茲力(Lorentz force)及載子的認識。而要驗證 p-n 接面的內建電場就必須從元件的電流－電壓曲線去進行物理模型的解釋，國高中生對電流－電壓曲線的認識，應是由接觸歐姆定律(Ohm’s law)而來，針對金屬材料，其電流－電壓曲線為一斜直線稱符合歐姆定律，因此二極體就是一個典型不符歐姆定律的電子元件，所以建議可以先針對各類材料或元件的導電性質及電流－電壓特性曲線作介紹，之後再進入本實驗所涉及的現象解釋與數據取得，如此整個教學脈絡才會較為完整與流暢。在此物理實驗中運用半導體材料的量子特性進行各種物理現象或常數的觀測或量測，無論是否有使用 Arduino 等相關電子元件，都將與傳統的物理實驗設計有相當程度的區隔性，但這不代表新式的實驗設計可以取代傳統物理實驗，例如: 光電效應能讓光子能量與頻率間呈現一個相當直觀的物理模型，同時也提供對功函數的認識，這都是本實驗中無法達到的。但這些新式的實驗，因為使用近代 50 年內的量子材料，有助於讓學子快速進入新的物理材料領域，因此也不失為一個導引學生認識近代物理的方式，至於如何運用手邊的教學材料在各種教學場合，是新舊交替的這個時代中，物理教師應該自我精進的面向。

參考文獻

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The Measurement of the Planck’s Constant by Using a

Light-Emitting Diode

Yi-Hung Hsu, Chin-Chung Yu*

1 _{Department of Applied Physics, National University of Kaohsiung}

*Corresponding author: yucc@nuk.edu.tw

Abstract

In the experiments of the modern physics, the measurement of the Planck’s constant is often based on the photoelectric effect. In order to avoid background light and air molecules, the photoelectric effect experiment needs to be carried out in an evacuated photodiode tube under a dark environment. In addition to the expensive price, if the photodiode tube is made of glass, it is not suitable for storage and education promotion. In this article, we use the electroluminescence or the current-to-voltage curve of a RGB light-emitting diode to measure the Planck constant. The experimental equipment is realized by the Arduino Nano board and related electronic components. The application of voltage and the measurements of the current and the voltage are controlled and monitored by the mobile App. Since the entire experimental equipment can be held in hand and powered by a lithium battery, it is suitable for doing the experiment in an ordinary classroom. Attributed to the low cost of the electronics, the experiment is also suitable for the education promotion.

Key words

:

Planck’s constant, electroluminescence, diode, p-n junction, built-in electric field, Arduino, voltage source, voltage measurement, current measurement

利用發光二極體進行普朗克常數量測