國 立 台 灣 師 範 大 學
九 十 七 學 年 度附 屬 高 級 中 學
第 一 學 期高 三 【 自 然 組 】 第 二 次 期 中 考 試 數 學 科 試 題 P. 0 1 範圍：數學選修（Ⅰ）第二章矩陣 2008/11/27 一、多重選擇題（每題 5 分，每答對一選項得 1 分、答錯倒扣 1 分；共計 20 分） 1. 設 A、B、C 皆為 n 階方陣，則下列何者為真？ 1 ) (A)A B( +C)= AB+ AC (B) 2 2 ( )( A −B = A+B A−B (C) 若AB= AC且A≠0，則B =C (D)若A≠0且B≠0，則AB≠0 (E) (A+I)3 = A3+3A2 +3A+I a 2. 若方程組 ( 3) 4 5 3 ，則下列何者使其恰有一組解？ 2 (5 ) 8 a x y x a y + + = − ⎧ ⎨ + + = ⎩ (A) 7 (B) −7 (C) −1 (D) 1 (E) 0 3. 方程組 有一解為 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 0 a x b y c z a x b y c z a x b y c z + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ (1, −2, 3)且此方程組表三相異平面，另一新方程組 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d 1 2 3 + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 有一解為 ，則下列何者亦為此方程組的解？ (4, 5, 6) (A)(2, 9, 0) (B) (0, 0, 0) (C)(7, −1, 15) (D)(5, 3, 3) (E)(6, 1, 6) 4. 下列何者為真？ (A) 表三平面交於一點 (B) 3 4 5 2 6 8 3 6 x y z x y z x y z + − = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + − = ⎩ 9 5 2 4 1 3 5 5 1 2 3 6 4 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 表三平面交於一點 (C) 表三平面交於一線 (D) 2 9 2 2 3 1 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 2 1 2 2 4 2 5 3 4 6 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 表三平面兩兩交於一線，三線不共點 (E) 表三平面互相平行 2 1 4 2 2 4 2 1 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + − = − ⎩ 二、填充題（每格 5 分；答案若以分數表示時，請化為最簡分數，共計 70 分） 1. 設矩陣( )
，其中a i ； 10 5 ij A a × = ij =2 +3j−4 B=( )
bij 5 10× ，其中bij =i−4j+1，則 (1)若C =( )
cij = AB，則c31 = (A) 。 (2)矩陣A的各個元素總和為 (B) 。 2. 根據統計陽明山在晴天之後的隔天下雨的機率為1 4，而在雨天之後隔天仍是下雨的機率為 1 2。已知 2008 年 11 月 27 日 陽明山晴天，則 2008 年 12 月 1 日下雨的機率為 (C) 。 3. 設n為一正整數且A 求 0 0 2 1 2 1 1 0 3 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ n A 之矩陣= (D) 。 4. 設A、B都是二階方陣且At = ，A Bt − ，B 2 9 A B 若 3 + =⎡7 6⎤ = ⎢ ⎥ ⎦，則方陣 B = (E) 。 ⎣ 5. 設平面上三點A x( ,1 y1)、B x( 2, y2)、 C x( 3, y3)，若另外三點P(3x1 −5 , 3y1 y1−6x1+ 、Q x8) (3 2 −5y2, 3y2 −6x2 +8) + = 、 且Δ ，則 3 3 3 3 (3 5 , 3 6 8) R x − y y − x PQR 10 ΔABC的面積為 (F) 。 6. 設空間向量 u 、 vv v、 wuv，若 u v wv v uv⋅ ×( )=− ，則三向10 量2uv v− +v 3wuv、 4uv+2wuv、uv+3vv− uv 所張平行六面體體積為w (G) 。7. 不等式 2 9 9 9 3 2 9 4 x x − ≤ 0之解為 (H) 。 8. 若方程組 恰有一解 ，則 之解為 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 1 2 3 1 2 3 (3, 2, 1) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 3 8 2 3 8 2 3 8 d x c y a z b d x c y a z b d x c y a z b − + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ (I) 。 9. 設三平面E1:x−2y+3z+ = 04 、E2 : 2x−3y+4z+ = 、a 0 E3 : 3x−4y+bz = 交於一線，試求 0 (1)二元數對 ( ,a b)= (J) 。 (2)若點P x( , y z, )在此交線上，則x2 +2y−2z2的最大值為 (K) 。 10. 設A、B都為二階方陣，若 A1 5 2 3 1 − ⎡− ⎤ = ⎢ ⎥ 2 − ⎣ ⎦， −1 4 5 3 4 B = ⎢⎡ − ⎤⎥ − ⎦，則AB= (L) 。 ⎣ 11. 設
( )
滿足 ， 3 3 ij A a × = 1 5 1 4 1 3 A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 5 0 0 1 3 A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ， 0 1 1 1 10 A 4 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，則a33 = (M) 。 12. 設 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 1 4 9 16 2 3 8 15 5 6 7 14 10 11 12 13 n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a × × ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ L L L L L L M M M O M L L M M M M O ，若aij =2008，則數對 ( ,i j)= (N) 。 三、計算題（每題 10 分；請將詳細演算過程寫在答案卷上，無計算過程不予計分，共計 10 分） 1. 設 4 2 ， 。 3 1 A= ⎢⎡ ⎤⎥ − − ⎣ ⎦ 2 1 3 1 P= ⎢⎡ ⎤⎥ − − ⎣ ⎦ (1)求矩陣 4 3 2 ？（4 分） 2A −5A −2A +12A−4I = (2)求P AP−1 之矩陣。（3 分） (3)求A 之矩陣。30 （3 分）立 台 灣 師 範 大 學
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第 一 學 期高 三 【 自 然 組 】 第 二 次 期 中 考 試 數 學 科 答 案 卷 P. 0 3 範圍：數學選修（Ⅰ）第二章矩陣 2008/11/27 班級 姓名 座號 ⋅ 一、多重選擇題（每題 5 分，每答對一選項得 1 分、答錯倒扣 1 分；共計 20 分） 1. 2. 3. 4. 二、填充題（每格 5 分；答案若以分數表示時，請化為最簡分數，共計 70 分） (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) (J) (K) (L) (M) (N) 三、計算題（每題 10 分；請將詳細演算過程寫在答案卷上，無計算過程不予計分，共計 10 分） 1. 設 4 2 ， 。 3 1 A= ⎢⎡ ⎤⎥ − − ⎣ ⎦ 2 1 3 1 P= ⎢⎡ ⎤⎥ − − ⎣ ⎦ (1)求矩陣 4 3 2 ？（4 分） 2A −5A −2A +12A−4I = (2)求 1 之矩陣。（3 分） P AP− (3)求A 之矩陣。30 （3 分） 3國 立 台 灣 師 範 大 學
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第 一 學 期高三【自然組】第二次期中考試數學科參考答案 P. 0 4範圍：數學選修（Ⅰ）第二章矩陣 2008/11/27
一、多重選擇題（每題 5 分，每答對一選項得 1 分、答錯倒扣 1 分；共計 20 分） 1. 2. 3. 4.
(A)(E) (A)(D)(E) (A)(C) (B)(C)(D)
二、填充題（每格 5 分；答案若以分數表示時，請化為最簡分數，共計 70 分） (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) 30 800 85 256 1 1 2 2 0 2 2 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 n n n n n n n + + ⎡ − − ⎤ ⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ 0 2 2 0 ⎡ ⎤ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦ 210 180 (H) (I) (J) (K) (L) (M) (N) 3 2 x≥ ∨ ≤ −x (4, 2, − 4) (2, 5) 176 10 13 27 35 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 21 10 (18, 45) 三、計算題（每題 10 分；請將詳細演算過程寫在答案卷上，無計算過程不予計分，共計 10 分） 1. 設 4 2 ， 。 3 1 A= ⎢⎡ ⎤⎥ − − ⎣ ⎦ 2 1 3 1 P= ⎢⎡ ⎤⎥ − − ⎣ ⎦ (1)求矩陣 4 3 2 ？（4 分） 2A −5A −2A +12A−4I = (2)求 1 之矩陣。（3 分） P AP− (3)求A 之矩陣。30 （3 分） Ans：(1) 6 2 ；(2) ；(3) 3 1 ⎡ ⎢− ⎣ ⎦ ⎤ ⎥ ⎡⎢01 02⎤⎥ ⎣ ⎦ 30 31 30 31 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 ⎡− + ⋅ − + ⎤ ⎢ − ⋅ − ⎥ ⎣ ⎦ 4
