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-國立台中師範學院九十四學年度研究所碩士班考試
微積分 科試題
一、 選擇題﹝共十題，每題 5 分，共 50 分﹞ 1. 設 f(x)為[0,∞ 上取正值之連續函數，若) lim ( ) (1, ) x f x M x →∞ = ∈ ∞ 為定值，則∫
∞ 0 f( x) dx 之值為何？（1）0 （2）1 （3） M （4）∞ 2. 試求( )
1 1 sup lim + − n n n 之值？（1）-1（2）0（3）1（4）∞ 3. 試計算∫
+ π 0 1 cos2 sin dx x x x 之值。（1） 2 π − （2）0 （3） 2 π （4） 4 2 π 4. 若 f(x)=lnx，則 f(x)在 3≤ x≤ 8範圍之曲線長為何？ （1） 8ln 8− 3ln 3−( 8− 3) （2） (ln3 ln2) 2 1 1+ − （3） 2 ) 3 8 ( − π （4）( 8− 3)π 5. 若極座標之原點為O，則r =1+sinθ 在 ) 6 , 2 3 ( π = P 處之切線與直線 OP 之夾角 為何？（1） 6 π （2） 4 π （3） 3 π （4） 2 π 6. 若 f x =∫
xeet+xdx 0 ) ( ，試求 f'(x)=? （1） ex ex e e 2 −2 （2）2ee2x −eex （3） e x ex e e 2 2 2 − （4）ee2x −eex 7. 若 f(x)=(x2 −1)ex， ( -∞ <x<∞ ) ,試求 f(x)的最小值？ （1） 2 1 ) 1 2 2 ( − e − （2）( 2− e1) 2−1 （3）−2( 2−1)e 2−1 （4）−( 2−1)e 2−1 8. 設{an}∞n=1為無窮數列，若 n n n a ) 5 2 )( 16 ( 2 − = ，試求 max{an|n=1,2,3,...}=? （1） 5 ) 5 2 ( 3 （2） 5 ) 5 2 ( 6 （3） 5 ) 5 2 ( 9 （4） 5 ) 5 2 ( 12 數教、測統 用2 9. 試求過曲線xy = yx上ㄧ點(2,2)之切線的斜率？ （1）1 （2）-1 （3）ln2 （4）-ln2 10. 試求點(1,0,-2)至平面x+2y+z=4的最短距離？ （1） 3 6 5 （2） 6 6 5 （3） 3 3 5 （4） 6 3 5 二、 簡答、計算與證明題 (共四題 共 50 分) A、計算 h h 1 ) lim(1+ 的值，當h→0；並以微分的概念解釋依據的理由。(10%) B、計算
∑
= + n k 1n k 1 lim 的值，當n→∞；並以黎曼積分的概念解釋依據的理由。 (15%) C、函數 f 在區間[ ]
a,b 上的某一點(x, f(x))可微分，則 f 在點(x,f(x)) 必是連續的。 （1）其證明過程當中必須用到的是下列何者？ （A）用到 Cauchy’s Mean value Theorem（B）用到 The Fundamental Theorem of Calculus （C）用到 The Mean Value Theorem
（D）用到 Average Value Theorem
（2）請寫出你的証明過程，以表現你的選擇依據 。(10%)
D、（1）請以極限概念說明何謂函數 F 在區間
[ ]
a,b 連續？（2）若函數F(x)={x−[x]}2，0≤ x≤5，其中 ][x 表 x 的高斯值，則 F 在哪些地方不連續？為什麼？ (15%)
