學生的小數概念
劉曼麗
國立屏東師範學院 數理教育研究所
壹、 前言
由 於 小 數 與 整 數 、 分 數 皆 有 淵 源 ， 學 生 在 學 習 小 數 時 便 易 受 整 數 和 分 數 的 影 響 而 產 生 迷 思 概 念 。 本 文 擬 從 兩 份 試 卷 （ 試 卷 一：93 年 3 月 施 測，三 年 級 291 人、四 年 級352 人， 這 些 學 生 是 由 北 部 、中 部 、 南 部 的 城 鄉 學 校 中 選 取 而 來 ， 是 接 受 九 年 一 貫 暫 行 綱 要 的 數 學 領 域 課 程 ； 試 卷 二 ： 91 年 5 月 施 測，四 年 級 898 人、五 年 級 962 人 、 六 年 級990 人 ， 這 些 學 生 是 由全 國 分 層 隨 機 取 樣 而 來 ， 是 接 受 八 十 二 年 版 的 數 學 科 課 程 ） 擇 取 部 份 重 要 結 果 ， 以 學 生 的 答 題 表 現 來 說 明 學 生 在 學 習 小 數 概 念 上 可 能 有 哪 些 迷 思 概 念 或 錯 誤 想 法 ， 以 提 供 教 師 在 進 行 小 數 教 學 時 的 參 考 。 此 兩 份 試 卷 皆 為 國 科 會 研 究 計 畫 的 研 究 工 具 ， 試 卷 一 為 國 科 會 研 究 計 畫 「 九 年 一 貫 數 學 領 域 分 數 與 小 數 能 力 指 標 的 詮 釋:子 計 畫 三 － 小 數 」（ 計 畫 編 號 NSC92-2522-S-153-008） 所 發 展 的 ； 而 試 卷 二 則 為 國 科 會 研 究 計 畫 「 國 小 學 童 小 數 與 小 數 運 算 概 念 之 調 查 研 究 」（ 計 畫 編 號 NSC90-2521-S-153-003） 所 發 展 的 。 由 於 篇 幅 限 制 ， 本 文 僅 以 一 位 純 小 數 的 意 義 、 一 位 帶 小 數 的 意 義 、 小 數 與 分 數 的 互 換 、 不 同 位 數 的 小 數 比 大 小 和 加 減 來 說 明 學 生 在 學 習 這 些 概 念 的 理 解 情 形 。貳、 學生 的小 數 概念
一 、 學 生 對 一 位 純 小 數 意 義 的 理 解
情形
試 題1： 表 示 一 張 白 紙，小 明 想 要 塗 黑 0.2 張 白 紙，請 先 從 ㄅ、ㄆ、ㄇ、 ㄈ 四 種 圖 中 選 出 一 種 適 當 的 圖 ， 再 塗 黑 0.2 張 白紙 。 ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ答 題 結 果 ： 年 級 答 案 三 四 ㄅ 圖 塗1 張 0.7 0.3 ㄅ 圖 塗2 張 18.2 15.9 ㄆ 圖 塗2 張 4.5 0.9 ㄆ 圖 塗5 張 0.3 0.0 ㄆ 圖 塗10 張 0.7 0.3 ㄆ 圖 塗2 格 8.9 13.6 ㄆ 圖 塗1 格 0.7 5.1 ㄇ 圖2 張 0.7 0.0 ㄇ 圖 塗2 格 2.4 9.9 ㄈ 圖 塗2 張 0.7 0.9 ㄈ 圖 塗2 格 *38.5 *39.2 ㄇ 圖 每 一 張 皆 塗2 格 0.3 0.0 ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ 皆 塗2 張 2.4 0.9 ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ 皆 塗2 格 5.2 8.0 其 他 錯 誤 答 案 8.9 3.6 空 白 6.9 1.4 *號 者 為 正 確 答 案 試 題 2 ： 表 示 一 盒 雞 蛋 ， 裡 面 有 10 顆 ， 下圖 有 10 盒 雞 蛋 。 媽 媽 用 了 0.8 盒雞 蛋 ， 請 將 媽 媽 用 的 雞 蛋 塗 黑 ： 答 題 結 果 ： 年 級 答 案 三 四 8 顆 *71.1 *89.5 8 盒 19.2 8.0 18 顆 0.3 0.0 其 他 錯 誤 答 案 5.8 1.1 空 白 3.4 1.4 試 題 3： 表 示 一 袋 糖 果 ， 裡 面 有 20 顆 ， 下 圖 有 10 袋 糖 果 。 小 新 吃 了 0.3 袋 糖 果 ， 請 將 小 新 吃 的 糖 果 塗 黑 ： 答 題 結 果 ： 年 級 答 案 三 四 6 顆 *10.3 *4.8 3 顆 55.3 82.1 3 袋 21.0 7.7 6 袋 0.3 0.0 13 顆 1.0 0.6 其 他 錯 誤 答 案 4.8 2.3 空 白 7.2 2.6
試 題 1、2、3 主 要 是 想 了 解 學 生 在不 同 情 境 下 ， 對 一 位 純 小 數 意 義 的 理 解 情 形 。 試 題 1 為 連續 量 的 情 境 ， 試題 2 和 3 則 為 離 散 量 情 境 。 由 於 離 散 量 情 境 同 時 涉 及 兩 種 單 位 ： 單 位 量 的 單 位 （ 以 大 單 位 稱 之 ） 和 單 位 量 內 離 散 物 件 的 單 位 （ 此 為 自 然 單 位 以 小 單 位 稱 之 ），故 單 位 小 數 的 內 容 物 可 再 分 為 單 一 個 物 （ 簡 稱 內 單 ） 和 多 個 個 物 （ 簡 稱 內 多 ） 兩 種 情 形 。 試 題 2 即 為 內 單 情 境 而 試 題 3 則 為 內 多 情 境 。三 年 級 在 此 三 題 的 答 對 率 分 別 為 38.5%、71.1%、 10.3% ， 四 年 級 分 別 為 39.2% 、 89.5% 、 4.8%。由 此 可 知，兩 個 年 級 要 三 題皆 對 相 當 不 易 ， 且 都 是 在 內 單 情 境 表 現 最 佳 ， 而 在 內 多 情 境 表 現 最 糟 。 學 生 最 容 易 犯 的 錯 誤 有 三 種 ， 第 一 種 是 將 小 數 0.a 的 意義 視 為 a 個 單 位 ， 此 結 果 可 由 學 生 在 試 題 1 選 擇 ㄅ 、 ㄆ 、 ㄇ 或 ㄈ 圖 後 ， 塗 其 中 的 2 張 紙 或 四 張 圖 中 皆 塗 2 張 紙 （ 三 、 四 年級 分 別 為 26.5%、18.6%）、在 試 題 2 塗 8 盒 雞 蛋 （ 三 、 四 年 級 分 別 為 19.2%、8.0%） 或 在 試 題 3 塗 3 袋 糖 果 （ 三 、 四 年 級 分別 為 21.0%、 7.7%） 顯 示 。 第 二 種 是 在 連 續 量 情 境 中 將 小 數 0.a 的 意 義 視 為 從 一個 單 位 中 取 出 a 等分 而 並 未 考 量 此 單 位 量是 否 被 十 等 分 割 ， 此 結 果 可 由 學 生 在 試 題 1 中 ， 選 擇 ㄆ 或 ㄇ 圖 後 ， 塗 其 中 的2 小 格 （三 、 四 年 級 分 別 為 11.3%、23.5%）顯 示。第三 種 是 在 離 散 量 情 境 中 將 小 數 0.a 的 意義 視 為 a 個 小 單位 而 並 未 考 量 此 單 位 量是 否 僅 含10 個 小 單 位，此 結 果 可 再 統 計 學生 在 試 題2 塗 8 顆雞 蛋 也 同 時 在 試 題 3 塗 3 顆 糖 果 而 得 ， 結 果 顯 示 三 、 四 年 級 分 別 為 五 成 和 八 成 。 事 實 上 ， 這 些 學 生 在 試 題 2 的 內 單 情 境（ 即 單 位 量 內 含 10 個小 單 位 ）是 可 以 選 對 ， 而 在 試 題 3 的 內 多 情 境 便 會 挫 敗 ， 此 正 是 造 成 學 生 在 這 兩 題 答 對 率 相 差 懸 殊 的 原 因 。 此 外 ， 除 了 上 述 錯 誤 類 型 外 ， 我 們 還 發 現 有 一 類 學 生 將 0.a 的 意 義 視 為 a 等 分 ， 即 認 為 不 論 是 分 成 幾 等 分 ， 只 要 取 其 中 的a 等 分 就 是 0.a，此 結 果 可 由 學生 在 試 題 1 中，同 時 在 ㄅ 圖 塗 2 分（ 指 2 張），也 在 ㄆ、ㄇ 和 ㄈ 圖 塗 2 分（ 指 2 格）（ 三、四 年 級 分 別 為 5.2%、8.0%）顯 示。另 有 一 類 學 生 則 將 0.a 視 為 a 等 分 中 的 一 分， 此 結 果 可 由 學 生 在 試 題 1 選 擇 ㄆ 圖 後 ， 塗 1 格 （ 三、四 年 級 分 別 為 0.7%、5.1%）顯 示 。 由 上 述 種 種 答 題 情 形 顯 示 ， 對 於 學 生 理 解 一 位 純 小 數 與 十 等 分 的 連 結 關 係 須 要 加 強 ， 而 在 單 位 量 的 掌 握 上 也 須 再 加 強 。
二 、 學 生 對 一 位 帶 小 數 意 義 的 理 解
情形
試 題4： 表 示 一 個 蔥 油 餅，請 問 4.3 個 蔥 油 餅 要 怎 樣 表 示 ？試 題5：一 盒 雞 蛋 有 10 顆，請 問 5.4 盒 雞蛋 要 怎 樣 表 示 ？ 試 題 6： 一 袋 糖 果 有 20 顆 ， 請 問 5.3 袋 糖果 要 怎 樣 表 示 ？ 答 題 結 果 ： 答 對 率 年 級 試 題4 試 題5 試 題6 四 5.6 8.5 6.0 五 8.5 7.1 6.8 選 項c 六 4.9 4.7 5.2 四 8.6 *69.9 65.4 五 7.6 *77.5 63.2 選 項d 六 5.2 *84.9 57.2 四 10.9 8.1 3.2 五 7.7 5.0 2.3 選 項e 六 3.8 3.9 1.9 四 12.5 4.2 *6.3 五 9.8 3.3 *14.1 選 項f 六 7.8 1.1 *27.8 四 *55.1 5.6 8.8 五 *62.3 5.2 5.3 選 項g 六 *68.4 3.4 2.8 選 項h 四 0.7 0.9 6.9
五 0.3 0.2 5.1 六 0.4 0.5 2.2 四 0.1 五 0.6 選 項7 六 0.4 四 6.6 2.8 3.2 五 3.8 1.7 2.5 空 白 六 3.5 1.3 2.5 試 題 4、5、6 主 要 是 想 了 解 學 生 在不 同 情 境 下 ， 對 一 位 帶 小 數 意 義 的 理 解 情 形 。 試 題 4 為 連續 量 的 情 境 ， 試題 5 和 6 則 為 離 散 量 情 境 ， 但 前 者 為 內 單 情 境 ， 而 後 者 為 內 多 情 境 。 四 年 級 在 此 三 題 的 答 對 率 分 別 為 55.1%、69.9%、6.3%，五 年 級 為 62.3%、77.5%、14.1%，六 年 級 則 為 68.4%、 84.9%、27.8%。由 此 可 知，這 三 個 年 級 要 三 題 皆 對 實 非 不 易 ， 且 都 是 在 內 單 情 境 表 現 最 佳 ， 而 在 內 多 情 境 表 現 最 糟 。 學 生 最 容 易 犯 的 錯 誤 有 三 種 ， 一 種 是 將 小 數 a.b 的 意 義 視 為 兩 個 獨 立 的 整 數 a 和 b，此 結 果 可 由 學 生 選 答 試 題4 的 選 項e（ 四、五、 六 年 級 分 別 為 10.9%、7.7%、3.8%）、試 題 5 的選 項e（ 四、五、六 年 級 分 別 為 8.1%、 5.0%、3.9%）或 試 題 6 的 選 項g（ 四、五 、 六 年 級 分 別 為 8.8%、5.3%、2.8%）顯 示 。 第 二 種 是 將 小 數 a.b 的意 義 視為 a 等 分 中 的b 等 分 ，只 因 情 境 和 選 擇 的 單 位量 不 同 而 再 細 分 成 不 同 的 類 型 。 在 連 續 量 情 境 ， 有 以 a 個 單位 當 單 位 量 （ 以 此 新 單位 量 而 言 應 為 離 散 量 情 境 ），此 結 果 可 由 學 生 選 答 試 題 4 的 選 項d（ 四 、 五 、 六 年 級分 別 為 8.6%、7.6%、5.2%）顯 示；也有 以 1 個 單 位 當 單 位 量 ， 此 結 果 可 由 學 生 選 答 試 題 4 的 選 項f（ 四、五、六 年 級 分 別 為 12.5%、 9.8%、7.8%）顯 示。在 離 散 量 情境，由 於 有 大 小 單 位 的 區 分 ， 故 學 生 可 選 擇 的 單 位 量 較 連 續 量 複 雜 。 有 以 a 個 大 單 位當 單 位 量 ， 此 結 果 可 由 學 生 選 答 試 題 5 的 選 項g （ 四、五、六 年 級 分 別 為5.6%、5.2%、3.4%） 或 試 題 6 的 選 項c（ 四 、 五 、 六 年級 分 別 為 6.0%、 6.8%、 5.2%） 顯 示 ； 也 有 以 a 個 小 單 位 當 單 位 量 ， 此 結 果 可 由 學 生 選 答 試 題 5 的 選 項f（ 四 、 五 、 六 年 級分 別 為 4.2%、3.3%、1.1%）或 試 題 6 的 選項 e（ 四、 五、六 年 級 分 別 為 3.2%、2.3%、1.9%）顯 示 ； 或 以 1 個 大 單 位 當 單 位 量 ， 此結 果 可 由 學 生 選 答 試 題 5 的 選 項c（ 四 、 五、 六 年 級 分 別 為 8.5%、7.1%、4.7%）或 試 題 6 的 選 項h（ 四、 五 、 六 年 級 分 別 為 6.9%、 5.1%、 2.2%） 顯 示 。 第 三 種 是 將 小 數 a.b 的 意 義 視 為 a 個 大 單 位 和 b 個 小 單 位 合 起 來 的 ， 此 結 果 可 再 統 計 學 生 選 答 試 題 5 的 選 項d也 同 時選 答 試 題 6 的選 項d而 得 ， 結 果 顯 示 四 、 五 、 六 年 級 皆 為 六 成 左 右 。 事 實 上 ， 這 些 學 生 在 試 題 5 的 離 散量 內 單 情 境 是 可 以 選 對 ， 而 在 試 題 6 的 離 散量 內 多 情 境 便 會 挫 敗 ， 這 也 就 是 造 成 三 個 年 級 在 試 題 5 和 6 答 對 率 相 差 懸 殊 的 原因 。 在 前 述 一 位 純 小 數 的 離 散 量 試 題 中 ， 我 們 也 見 到 了 類 似 的 結 果 。 尚 有 一 點 值 得 注 意 ， 還 有 一 類 學 生 在 連 續 量 情 境 中 將 小 數 a.b 視 為 a 個 單 位 再 外 加 一 小 部 份 （ 此 為 將 一 個 單 位 分 成 b 等
分 中 的 一 分 ），此 結 果 可 由 學 生 選 答 試 題4 的 選 項c（ 四 、 五 、 六 年 級 分 別 為 5.6%、 8.5%、4.9%）顯 示。同 樣 地，在 前 述 一 位 純 小 數 的 試 題 1 中 ， 我 們 也 見 到 了有 少 數 學 生 將 0.2 張 紙 視 為 2 等 分 中 的 一分 。 在 透 過 不 同 情 境 的 檢 驗 下 ， 學 生 對 小 數 的 迷 思 概 念 很 容 易 原 形 畢 露 。
三 、 學 生 對 小 數 與 分 數 互 換 的 理 解
情形
試 題 7： 阿 和 吃 了 9.7 個 小 蛋 糕 ，用 分 數 表 示 的 話 ， 下 面 哪 一 個 是 對 的 呢 ？ （c 97 1 個 d 97100個 e 79 個 f 97 個 g 19 7個 h 7910個 ） 試 題 8： 太 一 喝 了 4 5杯 牛 奶 ， 用 小 數 表 示 的 話 ， 哪 一 個 是 對 呢 ？ （c5.4 杯 d4.5 杯 e1.25 杯 f0.8 杯 g0.4 杯 ） 答 題 結 果 ： 答 對 率 年 級 試 題7 試 題8 四 1.7 69.6 五 1.8 48.4 選 項c 六 1.0 26.2 四 12.0 6.3 五 6.2 7.6 選 項d 六 9.1 11.5 四 43.2 0.3 選 項e 五 35.0 1.7 六 22.2 3.0 四 3.1 *4.3 五 4.7 *24.5 選 項f 六 6.6 *51.1 四 1.0 17.7 五 1.8 15.9 選 項g 六 2.0 6.0 四 *37.3 五 *49.2 選 項h 六 *57.1 四 1.6 0.1 五 1.4 1.7 空 白 六 2.0 1.8 試 題 7 和 8 兩 題 是 想 了 解 學 生 對 分數 與 小 數 互 換 的 概 念 ； 前 者 是 一 位 小 數 化 分 數 、 後 者 是 分 母 為 5 的 分 數 化 小 數。 四 年 級 在 此 兩 題 的 答 對 率 分 別 為 37.3% 和 4.3%， 而五 年 級 為 49.2%和 24.5%， 即 使 是 已 學 過 用 除 法 來 解 決 分 數 化 小 數 問 題 的 六 年 級 ， 答 對 率 也 分 別 只 有 57.1% 和 51.1%。 各 年 級 學 生 最 容 易 犯 的 錯 誤 都 是 將 符 號 表 面 有 的 數 字 拼 湊 出 答 案 ， 即 9.7 化 為 7 9， 或 45化 為 5.4。此 結 果 可 由 試 題 7 的 選 項e（ 四、五、六 年 級 分 別 為43.2%、 35.0%、22.2%） 和 試題 8 的選 項c（ 四 、 五、六 年 級 分 別 為 69.6%、48.4%、26.2%） 顯 示。這 樣 的 錯 誤 情 形 從 學 生 在 試 題4、5 和 6 所 選 的圖 像 中 也 可 略 窺 一 二 。進 一 步 統 計 資 料 後 發 現，四、五、六 年 級 學 生 中 ，認 為9.7 為 7 9者 也 同 時 也 認 為 45為5.4 的 分 別 為 四 、 三 、 二 成 ， 可 見 此 系 統 性 錯 誤 者 不 在 少 數 。 另 外 ， 也 有 三 成 的 四 年 級 學 生 即 使 知 道 9.7 可 化 為9 7 10， 但 卻 認 為 45為 5.4，可 見 這些 學 生 在 面 對 教 材 中 尚未 出 現 過 的 「 4 5化 為 小 數 」 題 目 時 ， 就 傾 向 於 回 到 從 符 號 表 面 的 數 字 來 拼 湊 出 小 數 型 式 的 答 案 。 再 者 ， 分 數 化 小 數 題 的 前 三 個 選 項 (5.4、4.5、1.25)都 不 合理 ，但 四 、五 、六 年 級 的 學 生 卻 分 別 有 近 八 成 、 六 成 、 四 成 選 了 其 中 之 一 。 此 結 果 顯 示 學 生 並 未 對 答 案 的 不 合 理 性 提 高 警 覺 ， 或 者 這 些 學 生 對 於 分 數 和 小 數 基 本 的 意 義 掌 握 不 夠 ， 以 至 於 對 分 數 和 小 數 的 大 小 感 覺 絲 毫 不 察 。
四 、 學 生 對 不 同 位 數 小 數 比 大 小 的
理解 情形
試 題 9： 賤 兔 有 三 條 髮 帶 ， 紅 色 長 0.536 公 尺 、 黃 色 長 0.28 公 尺 、 綠 色 長 0.3 公 尺 （1）（ ） 如 果 他 想 綁 「 最 長 」 的 髮 帶 ， 應 該 選 擇 哪 一 種 顏 色 ？ （c紅 色 d黃 色 e綠 色 ）。 （2）（ ） 如 果 他 想 綁 「 最 短 」 的 髮 帶 ， 應 該 選 擇 哪 一 種 顏 色 ？ （c紅 色 d黃 色 e綠 色 ）。 答 題 結 果 ： 四 五 六 cc 0.1 0.1 0.1 cd *44.9 *73.0 *70.1 ce 39.0 14.8 14.5 dc 1.0 0.4 0.3 dd 0.0 0.0 0.0 de 0.3 0.2 0.5 ec 11.9 9.1 12.6 ed 2.3 1.5 1.2 ee 0.0 0.1 0.0 空 白 0.4 0.6 0.2 試 題 9 主要 是 在 連 續 量 的 情 境 ， 透過 髮 帶 的 比 長 短 以 了 解 學 生 對 不 同 位 數 小 數 比 大 小 的 理 解 情 形 。 結 果 發 現 四 年 級 的 答 對 率 雖 只 有 44.9%， 但 對 於 已 學 過三 位 小 數 的 五 六 年 級 學 生 而 言 ， 答 對 率 也 不 過 只 有 七 成 左 右 。 學 生 最 容 易 犯 的 錯 誤 有 兩 種 ， 一 種 是 受 整 數 的 影 響 ， 而 另 一 種 是 受 分 數 的 影 響。四 年 級 有39%、五年 級 有 14.8 ％ 、 六 年 級 有 14.5％ 的 學 生 認 為 0.536 公 尺 最 長 ， 而 0.3 公 尺 最 短 （ 見 答 題結 果 標 黑 處 ），顯 示 這 些 學 生 受 整 數 的 影 響，認 為 位 數 越 多 就 越 大 ， 因 此 小 數 點 後 數 字 越 多 其 值 越 大 。 另 外 ， 四 年 級 有 11.9%、五 年 級 有 9.1％ 、 六 年 級 有 12.6％的 學 生 認 為 0.3 公 尺最 長，而 0.536 公 尺 最 短（見 答 題 結 果 標 黑 處 ）， 顯 示 這 些 學 生 受 分 數 的 影 響 ， 認 為 分 割 份 數 越 多 就 越 小 ， 因 此 小 數 點 後 數 字 越 多 其 值 越 小 。 年 級 選 答 率 選 項五 、 學 生 對 不 同 位 數 小 數 加 減 的 理
解情 形
試 題10：0.38＋12＝（ ） 答 題 結 果 ： 四 五 六 *35.0 *61.7 *66.8 43.7 26.1 25.9 13.0 6.0 3.2 其 他 錯 誤 答 案 7.3 5.3 3.0 空 白 1.0 0.7 1.1 試 題11：10.73－0.5＝（ ） 答 題 結 果 ： 四 五 六 *57.2 *80.2 *79.6 15.3 4.5 7.6 0.2 0.2 0.1 0.0 0.1 1.1 0.0 0.1 0.0 0.0 0.1 0.0 其 他 錯 誤 答 案 24.8 13.4 9.8 空 白 2.4 1.4 1.8 試 題 10 和 11 主 要 是 了 解 學 生 在 不同 位 數 小 數 加 減 的 表 現 情 形 ， 前 者 為 加 法 題 ， 而 後 者 為 減 法 題 。 四 年 級 在 此 兩 題 的 答 對 率 分 別 為 35.0%和 57.2%， 五年 級 為 61.7% 和 80.2% ， 六 年 級 則 為 66.8% 和 79.6%。 五 六 年 級 相 差 不 多 ， 可 見 我 國 學 生 在 小 數 加 減 上 的 成 長 到 了 五 年 級 已 漸 趨 穩 定 。 三 個 年 級 學 生 最 容 易 犯 的 錯 誤 都 是 在 直 式 計 算 中 將 被 加 數 （ 被 減 數 ） 和 加 數 （ 減 數 ） 採 向 右 對 齊 來 計 算 ， 此 結 果 可 由 學 生 在 試 題 10 的 答 案 為「 0.5」（ 四、五 、 六 年 級 為 43.7%、26.1%、25.9%） 或 在 試 題 11 的 答 案 為「10.68」、「106.8」或「1.068」 （ 四、五、六 年 級 為15.5%、4.8%、8.7%） 顯 示 。 如 再 仔 細 對 照 ， 三 個 年 級 在 加 法 題 有 此 錯 誤 解 題 策 略 的 學 生 均 明 顯 地 較 減 法 題 高 出 兩 成 多 。 進 一 步 細 究 ， 推 測 這 些 學 生 可 能 是 習 慣 以 「 對 齊 小 數 點 ， 再 進 行 計 算 」 的 程 序 性 知 識 來 解 題 ， 但 在 加 法 題 的 加 數 為 整 數 而 無 小 數 點 參 照 下 ， 發 現 可 用 招 式 失 效 ， 只 好 回 歸 到 其 所 熟 悉 的 整 數 直 式 計 算 方 式 ， 採 取 向 右 對 齊 來 解 題 。 由 此 可 知 ， 這 些 學 生 只 是 熟 記 小 數 加 減 時 要 對 齊 小 數 點 的 算 則 ， 卻 不 清 楚 背 後 的 原 理 。 一 旦 沒 有 小 數 點 可 以 對 齊 時 ， 所 記 憶 的 算 則 受 到 了 試 鍊 ， 便 產 生 了 將 整 數 加 減 算 則 「 張 冠 李 戴 」 的 情 況 。 但 即 使 有 小 數 點 ， 有 些 學 生 在 試 題 11 仍 採 取 向 右 對 齊 來 解 題 ， 最 後 算 出 來 的 答 案 頗 耐 人 尋 味 ， 都 是 年 級 選 答 率 選 項 年 級 選 答 率 選 項小 數 點 惹 的 禍 。 從 這 些 跡 象 顯 示 ， 程 序 性 知 識 一 旦 缺 乏 概 念 性 知 識 的 支 撐 ， 學 生 所 學 到 的 知 識 極 易 受 到 挑 戰 而 搖 搖 欲 墜 ， 教 師 焉 能 不 慎 ！
