臺南市 2015 年公私立國民中學數學競賽第二階段試題
注意事項
1、本試卷共三頁。
2、本試題共分兩部分，第一部分：第 1 到第 20 題，每題 3 分，共 60 分；第二部分：第 21
到第 30 題，每題 4 分，共 40 分；合計 30 題，總分 100 分。
第一部分（第 1 到第 20 題，每題 3 分，共 60 分）
1. 設 a 1.732，則下列何者正確？ (A) a a a 3 3 3 3 (B) 3 3 3 3 a a a (C) 3 3 3 3 a a a (D) 3 3 3 3 a a a 2. 已知a 3，計算 2 2 2 2 2 2 3 6 2 2 4 4 4 a a a a a a a a a a =? (A) 2 3 (B) 2 3 (C) 2 3 (D) 2 3 3. 計算 6.25 2420 23 5.5 1 4 3 15 23 1 8 2。 (A)49.5 (B)50 (C)50.5 (D)514. 在ABC中，已知BAC 63 ，又D為BC上一點，使得 BDDAAC， 則 DAC 的角度為何？ (A)(23 )2 5 (B)24 (C)39 (D) 3 (39 ) 5 5. 有兩組數，其中一組數共有 20 個，總和為 1264，而另一組數的平均數為 88，又這兩組數的總平均為 80，請問兩組合 計共有多少個數？ (A) 42 (B) 54 (C) 62 (D) 64 6. 設a b, 為相異正數，規定運算為a b a b a b ，如果3 n 3時，則 n 值為多少? (A) 1 (B) 3 2 (C) 5 2 (D) 3 7. 已知一等差數列{ }an ，它的第 5 項a5 88，第 8 項為a8 79，則使a 為負數的最小正整數n n 值為多少? (A) 34 (B) 35 (C) 36 (D) 37 8. 請問這 5 個數3 11, 4 7, 5 5, 6 3, 7 2中有多少個數大於 10? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 第 1 頁
F E A C B D 9. 已知a、b、c為三個連續的正偶數，且ab bc 288，求此三數之和。 (A)32 (B)36 (C)42 (D)46 10. 已知ABCD為一梯形，DC //AB， o BAD CDA 90 ， E 是 AD的中點，且EC BC， 又DC3， 4 EA DE ，則AB ？ (A)
14
(B)32
3
(C)41
3
(D)17
11. 設 x 和y均為自然數，已知 x 除以 24 餘數為 19，y除以 36 餘數為 31，則 2014 2015 y x 除以 6 之餘數為 (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5 12. 如果a b, 為一元二次方程式 2 3 1 0 x x 的二個解，且ab，則 12 12 a b =? (A) 3 5 (B) 5 (C) 5 (D) 3 5 13. 設 f n( )表示正整數 n 之最大奇因數，例如 f(3)3, (10)f 5，則 f(1) f(2) f(3) f(50)=? (A) 842 (B) 843 (C) 844 (D) 845 14. 計算 20 1 2 11 1 222 個 10個 =? (A) 10 1 111 個 (B) 2 222 10個 (C) 10 3 333 個 (D) 10 999 個9 15. 等腰三角形ABC中，C＝90，且AB2，以 A 為圓心，作一圓分別交 AB 及 AC 於D、E二點，使得DE弧將ABC分成面積相同的兩部分; 又以B為圓心，BD為半徑作 圓，交BC於F點，則圖中陰影部分的面積為多少? (A) 2 (B) 4 (C) (D) 1 4 16. 設 n 為正整數，我們將 1+2+3+…+n 的和稱為「第 n 個三角形數」，例如 1、1+2=3、1+2+3=6 分別是第一個、 第二個、第三個三角形數，如果將第 n 個三角形數 1+2+3+…+n 中的某一個數多加一次而得到 2015，試問此 第 n 個三角形數之值為何? (A) 1952 (B) 1953 (C) 1954 (D) 1955 17. 直角三角形ABC中， C 90 ，且斜邊AB35。今在三邊AB、 AC 及 BC 上分別取一點E D F, , ，使得四邊形CDEF為一正方形，且其邊長為 12，如圖所示。 則此直角三角形ABC長股之長為多少? (A) 15 (B) 21 (C) 28 (D) 32 18. 若 101 位數字 9 50 99 99 個
5 50 55 55 個 是7的倍數，則
的所有可能值之和為 (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 19. 化簡 72(1 3)(1 5) 為 x y z 的形式，則 xyz 是多少？ (A)15 (B)35 (C)105 (D)225 20. 若 x 1 5 x ， 則 2 4 2 ? 1 x x x (A) 1 24 (B)24 (C) 1 26 (D)26第二部分（第 21 到第 30 題，每題 4 分，共 40 分）
21. ABCD為一梯形，DC //AB，BD BA 又AC BC，且AC BC， 則BAD角度為何？ (A)30
(B)45
(C)60
(D)75
第 2 頁P B C A Q F B A C D E 56 F P E D C B A 30 40 70 22. 假設 a 為一個正數，且 a 的純小數部分為b，也就是說0b1（例如：3.14159的小數部分為0.14159）；已 知a2 b2 70，則 a 的值為多少？ (A) 8 1 8 (B) 8 3 8 (C) 8 5 8 (D) 8 7 8 23. 有 10 個不同的正整數其總和是 55 ，從中取出三個數後，餘下來的正整數總和是 35。請問取出的三個數 的乘積最小值會是多少？ (A)80 (B)90 (C)120 (D)140 24. 已知 a、b、c、d 皆為正整數，其中只有一個是偶數，其餘是奇數，且其中任兩數相加，得到的和分別 是 110、119、98、87、 75 、66 ，請問唯一的那個偶數是多少？ (A) 42 (B) 44 (C) 46 (D) 48 25. 如右圖，在ABC 中，AB12，AC8，P 點和 Q 點在 BC 上， 使得BPQC且AQ是BAC的角平分線，試求 AP2 AQ2 之值。 (A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 無法求出 26. 已知a,b,c,d 分別表示 0 至 9 中的四個不同數字，如果兩個二位數10ad與10b d 的乘積恰好是一個三位數 100c10c c ，則 a b c d 之值為多少? (A) 21 (B) 23 (C) 25 (D) 27
27. 已知邊長為 1 的正方形ABCD中，P為內部一點，使得APB 75 ，則ABP與CDP面積之和為多少?
(A) 1 4 (B) 1 3 (C) 1 2 (D) 2 3 28. 已知 A、B、C、D 為平面上四點且滿足ABBCACCD10，且AD17，則ADB之度數的度數為多少 度？ (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75 29. 如圖，ABC中，D、E、F三點分別在 BC 、 CA 、AB三邊上 使得 DE // AB ，又 BDF 之面積為 9， AEF 之面積為 15， CDE 之面積為 32，則 DEF 與ABC面積之比值為下列何者? (A) 1 6 (B) 1 5 (C) 2 7 (D) 2 9 30. 三角形ABC中， , ,D E F 分別為邊 BC ， AC 及 AB 上的點， 使得AD，BE，及 CF 交於一點P，且將三角形ABC分割成 6 個小三角形， 其中四個三角形CDP,BDP,BFP,AEP的面積分別為 30, 40, 56 及 70， 如圖所示，則三角形 ABC 的面積為多少? (A) 275 (B) 285 (C) 300 (D) 315 第 3 頁
