溫眼看人世 劍起驚九天
張益唐訪談
受訪者簡介 北京大學數學所碩士班畢業，普渡 大學數學博士，現為新罕布夏大學 數學講師。2013年，因孿生質數猜 想之研究突破，獲得ICCM晨興卓越 成就獎。問
謝謝你接受我們的專訪。請先告訴我們你的父母為什麼給你取張益 唐這個名字，也請順便談一下童年的數學經驗。張
我的名字是祖父取的，他在我很小就過世了，他是中學教師，字寫 得非常好。我的「唐」，一方面是因為我媽媽姓唐，當然也代表有益於 唐人，也就是中國人。「益」也可以代表一，表示長子。我和妹妹的名 字差半個字，她中間的字是「盈」，就是希望她能夠把張和唐這兩個家 族給盈滿了。 我們家就兩兄妹，在那個年代中國知識份子的家庭生兩個是正常的。 我爸爸是工程師，他對數學好像沒特別擅長，而且因為我童年的經歷，他 也沒有機會教我。 我小時候算是不順利的，我父親雖然是搞技術的，也參加過地下 黨，但在59
年的政治運動時還是受整，也就是所謂反右傾。可能因為這 個因素，他並沒把我帶在身過。當我父母在北京時，我父親把我放在上 海外婆家。 我的母系是上海浦東川沙縣人，能追溯到的祖先都是上海人。他們是 純粹的工人，按照中國當時的政治標準是最好的成份。他們都是機械工廠 的工人，技術很好，人也厚道，連我外婆也是退休工人。但是家裡沒人懂 數學。 說實話，沒人教過我數學，就是一種天性愛好，喜歡數學。我的啟蒙 是上世紀六十年代的一套青少年科普讀物，叫《十萬個為什麼》。我記得 開始有五冊，後來又加了三冊，其中第七冊是生物，第八冊是數學。我那 時大概是十歲，至少能把問題看懂。《十萬個為什麼》裡面有哥德巴赫猜 想，有費馬最後定理，就是沒有孿生質數猜想（哈）。 我當時住在上海一個大院裡，我唯一受過的最高教育，是我在那裡 認識的一個高中生，他教我一點數學，多少有點影響。我其實沒上過什麼 學校，連中學都沒有讀過。因為我爸媽後來都下放到五七幹校，到農村去 了，我15
歲就跟著下鄉，比那些中學畢業生上山下鄉還早一點。我們去 了湖北，在那邊根本沒得讀書。 訪談 季理真、翁秉仁卓 越 成 就 獎
問
那後來還有什麼其他接觸數學的機緣嗎？張
1971
年，我16
歲，回了趟上海看我外婆，那時 是文革後期，最瘋狂的時間已經過去，稍微有點恢 復，有些文革前的書也重出了，文革前中國的中學教 育算是正規的。當時上海復旦大學夏道行寫了一本書 叫《π
和e
》，介紹這兩個數，很薄的一本書。書中 講到π
和e
是無理數，我就想弄清楚為什麼π
和e
是 無理數。那時我已經會證e
是無理數，但π
是無理數 不好證。至於為什麼它們是超越數，就更想弄清楚。後來，我到北京到工廠做工時，在舊書店又看到 一本華羅庚寫的《數論導引》，從裡頭再學一點，反 正就是斷斷續續。我在考大學前沒有什麼基本訓練， 都是零散的天生興趣。
問
你考大學時就決定要讀數學嗎？那時有做過什 麼準備？張
是的。1977
年底我沒有考好，數學考得還可 以，最糟糕的是政治，一點都不懂。那時要考所謂 五文，數學、物理、化學、政治和語文，我語文也 沒考好，當時要求的都是八股式的黨八股。數學也 不算考得好，因為有些題意不大清楚，我會做但是 不大會寫。1977
年底的這次考試分數是夠了，但上 不了好學校。 所以我過半年後再考，有了經驗，這次知道要怎 麼準備，就考得很好錄取了。數學考90
幾，政治考得 最差，70
幾。我比較自豪的是語文這科，在文革前高 考的語文一向都是命題作文，但1978
年這次沒有那種 我不喜歡的八股作文，這次考語文要考綜合能力，對 詩詞、成語、古文的了解，我考得相當高，100
分滿 分得82
分。問
在進大學前，你怎麼學習這些中國語文？張
我沒上過中學語文課，都是自己看書。數學跟 文學有點相通，像文言文我是怎麼讀的，我並不是 說自己的文言文水準有多高，而是一個東西你並沒 有完全看懂時，就能感覺他有意義、很美，這 點數學和語文可能是相通的。 我上大學前，無意中從朋友那看到唐朝詩 人白居易寫給元稹的〈與元九書〉，很多字我 不認識，但就能感覺這文章怎麼寫得那麼好。問
你23
歲進北大，是不是就計畫以後要做數學研 究？做哪個方向？張
是，我希望能做數學，想做數論。也許我只是 重複人們的感覺或天性，因為數這個東西，問題那 麼簡單，一般的中學生都懂，但是解決的方法又那 麼難，也許是這點很吸引我。 順便說一下，我並不是受當時國家宣傳陳景潤 的影響而想學數論。倒是1973
年18
歲時，我膽子很 大，微積分只知道一點點就開始讀陳的論文，大致過 程還是讀懂的，當時費了很大的勁。問
從近幾十年來看，不管人家說北大好壞，很多 最好的學生還是北大出來的，你是北大文革後第一 屆的學生，能描述當時北大的情況嗎？張
我們這一屆當時的價值觀很清楚，就是把數學 學好。即使沒人管你，大家都很用功，無論是微 積分，代數，就喜歡這種有挑戰性的東西。北大強 調基本功要扎實嚴謹，這學風是很好的，到現在還 有影響。但北大也有一個缺點，因為文革或其他的 原因，跟外面接觸不多，跟不上國際數學的主流， 在當時已經落伍。我六月份在紐約演講也提到，北 大教學過份嚴謹的要求，會不會顯得太陳舊，會不 會束縛想像力的發展。雖然我不確定別的學校是怎 樣，但我猜海峽兩岸也許都有這個問題。 北大學生比其他學校好，有一點是肯定的，就是入 學成績高一點，學生好一些。北大的要求也比較高。問
請談談北大的老師。張
我進北大大一上基礎課時，沈燮昌老師教數學分析，丁石蓀教解析幾何，他們教書教得真好，對 我很有影響。學了微積分就能自己看數論，讀陳景 潤的文章。後來我的研究生導師潘承彪，他教解析 數論也講得很好，其他一些老師也都不錯。 我在美國新罕布夏大學教書時，一直在回憶沈 燮昌和丁石蓀的上課，要怎麼教書讓學生有興趣，能 不能吸引學生。有人問過我怎麼把書教好，因為我在 美國的教學紀錄非常好。事實上我只問怎麼樣不把書 教壞，不要以為你懂的，學生一定懂。必須下功夫去 想，如何將材料組織和呈現出來，才會對學生最有幫 助。一個大一學生剛進來，老師怎麼講課，對學生的 影響很大。我教書模仿沈的原則，不是定理、證明一 直寫下去。我先提問題，希望和學生一起來想，然後 我才歸納一下。當時沈雖然不是完全這麼做，但至少 讓學生思考，是啟發性的教學。 遺憾的是，老師不僅要會教書，也要做研究， 要做在最前面。我們那一代最缺的，就是特別好的老 師，不是說他們人不好，教得不好，但是也許因為文 革，研究沒到最前沿。如果當時有一個這樣的人，對 學生關心又能帶領我走的話，也許我的獲益會更大。 如果有好學生，我希望將來我能充當這樣的老師。
問
接下來，請談談你在北大的研究生生活。張
我的研究生導師是潘承彪，我跟他學解析數論 的基礎知識，以前在大學數論只是瞎看，跟著他學 了正式的課程。基本功還是很重要的，解析數論中 很重要的就是階的估計，在他的教導下，我對這方 面非常敏感。像這次孿生質數的問題，我就是能感 覺出上界應該是多少，怎麼去達到。如果你沒有這 種基本感覺，這種問題是做不下去的。這是我在研 究生時打下的基礎。 另外，當時中科院朱堯辰講丟番圖逼近論，裴定 一講模形式，對我都有影響。當時修模形式的沒幾個 人，裴定一是從1971
年志村五郎的《自守函數的算術 張益唐在ICCM獲頒卓越成就獎，與丘成桐合影。理論導論》（
Introduction to Arithmetic Theory
of Automorphic Functions
）選幾章來講。現在 回想起來，講模形式跟個人的研究方向有關，我沒學 到幾何上的東西，只是分析。模形式是一個很有意 思的東西，特別是到了90
年代因為懷爾斯（Andrew
Wiles
）證明費馬最後定理，讓模形式更有價值。 模形式是定義在上半平面的函數，而且在邊界 上在某些地方是解析的甚至等於0
。這可以做為一 個純分析的課題，但是它的含意遠遠不只於此，要 看老師怎麼教。過去國內的老師只講一半，證明證 得非常細。我記得朱堯辰老師講羅特定理（Roth's
theorem
）的證明，到最後根本就記不住，一步一步 你都過去了，弄完還不知道在幹什麼。過多的陷入技 術性的細節，會削弱整體的東西。學數學和給人審稿 不一樣，不能只看每一步的對錯。問
這麼說起來，你在出國之前的訓練主要是比較 分析的，是解析數論這部份，那關於代數數論與代 數幾何呢？張
當時大陸主要缺的是幾何的背景，代數數論還 是有人做。中國教育太強調基本功訓練，畢竟人的 時間和精力是有限的，那會限制你的思維方式，如 果細節一定要搞得很清楚，就可能造成廣度不夠， 很難發現和其他東西的聯繫。解析數論到目前為 止，就是自己的路，但代數數論到後來必須和幾何 有關，這方面當時走得不夠。問
你出國後選了代數幾何，論文題目選了雅可比 猜想（Jacobian conjecture
），你為什麼選這麼有 名的問題。怎麼沒想到要選數論的老師，像夏希迪 （Freydoon Shahidi
）？張
這也是碰上了，因為我的導師莫宗堅就做這方 面，本來有可能做完，好像他也寫過一些東西描述 這段經過。這方面我不太想說，過去了就算了。我 出國沒有找別的老師，是因為莫宗堅和丁石蓀是好 朋友，我出國時已經答應做莫的學生。 卓 越 成 就 獎 我從莫學到一些代數幾何，莫的方法是比 較具體，要去算、去估計，我比較習慣這種不抽 象的做法，讓我知道即使是代數幾何，有很多東 西到最後也要具體去算，這是給我印象很深的。 我這人並不擅長理論性推導的東西，像數 論中著名的泰特論文（Tate's Thesis
）我就沒辦法 完全弄懂，他弄出ζ
積分，又有解析延拓，又有函數方 程，然後有L
函數，確實很漂亮，但我就是還想知道， 到底這個積分等於幾，到底有沒有漸近的表達式。問
你91
年底從普渡畢業，99
年到新罕布夏大學， 有八年的時間不在學術崗位。你能夠長時間的堅 持，考慮很難的問題，非常不簡單，可以大致描述 一下嗎？張
也沒什麼，那時就不用教書，網路一般說我在 打工，其實也不算，主要是在朋友店裡，他開了好 幾家店，雖然我沒有正式的會計師執照，但是幫忙 管帳做會計。 雖然是不相干的工作，忙有時也忙，但總是有 時間。如果你心思很單純，真的喜歡數學，就不 會把數學忘掉，還是可以繼續。我自己留了一些資 料。那段時間讀了很多東西，不斷的想一些問題， 包括邦比耶里（Enrico Bombieri
）、弗利蘭德（J.
B. Friedlander
）、伊凡涅茨（Henryk Iwaniec
） 的工作，都是在那時候才讀的，另外也包括了代數 幾何領域的東西。問
葛立明跟我說，當時你在做個大問題，快做出 來了，所以找你去新罕布夏大學。張
那是關於席格零點（Siegel zero
）的工作，我 有一篇網路文章，是不完整的。目前我還不敢說我 完全做成，但是的確有很大進展。孿生質數這個問 題我做了三、四年。但希望大家不要誤會，這個問 題我是想了三、四年，但不是說我所有時間都在做 它。一直到去年9
月，我因為肯定可以做出來了，才 暫時放下別的東西。在新罕布夏大學教書，我積 累了很多經驗，很遺憾在那裡沒有 好的學生。我教過很多課，主要是 微積分，再高一點像抽象代數、複 變，也給學生開過數論的研讀課程。我很喜歡教書。
問
網路上都講你在去年7
月3
日找到解題的靈感， 而且證明中還用到威伊猜想，請跟我們說明一下。張
這其實是很有意思的故事，去年夏天我因為問 題想不出來，就準備到科羅拉多朋友家去好好度 假，什麼書、論文、電腦都沒帶。我朋友是指揮 家，我喜歡古典音樂，所以在那邊聽了很多音樂。 但是後來心思不知不覺又回到數學上，7
月3
日我突 然得到一個靈感，可以把問題歸納到幾種情況，其 中兩個情況用克洛斯特曼和（Kloosterman sum
） 都可以解決。最後第三種情況，本來以為是最簡單 的，其中牽涉到一個數表示成三個數的乘積有多 少種表示法。我以前有個錯覺，覺得這個是最簡單 的，到最後才知道是最難。於是就去查了1985
年弗 利蘭德和伊凡涅茨的論文。從他們其他文章，我知 道他們做過這方面的工作，但細節不清楚。我查到 要用到威伊猜想的其中一部分推論，也就是柏奇－ 邦比耶里（Birch-Bombieri
）結果，這是做為他 們文章的附錄而發表的。但是即使直接用他們的結 果，還是差一點，後來用了一些我常用到的方法， 結果就成功了。 從這裡可以講，假如做學問牽涉到某些主題， 一定都要先讀透讀懂了，可能要花很長時間。有時開 始不能確切知道什麼是需要的，等到需要的時候再去 補，那時效率會很高，因為你知道關鍵要什麼東西， 它能提供什麼。所以那時我連論文的細節都沒看，就 那套方法給我印象特別深，我用上了，結合柏奇－邦 比耶里結果再加上模的分解，這個成果我很滿意，是 最滿意的一步。因為我補得很快。問
說到這，我就想到中國的學生常常希望把所有 準備知識都學好才開始做研究。張
我這個論文也有這個問題，很多人說要把我這 論文先讀懂。那裡面是有些想法，可以再往前走， 也許能解決別的問題，但能走多遠我不敢說，我並 不主張費很大力氣來完全讀懂。我覺得以我的方 法，質數距離儘管可能降低很多，但應該沒辦法真 的做到孿生質數猜想。問
葛還告訴我一個事情，他說以前你常替系裡換 水，現在成名了，系裡的秘書問葛，你還會替系裡 換水？他說你還是會繼續換。張
我前兩天離開前，還換了水，這沒什麼，只要 我還在那就還會換。那種飲水器用個倒過來的大 水桶，但是別人都換不好，只有我換得好，所以秘 書老太太還挺喜歡我。這沒什麼，不會因為我出名 了，就不做這種事。問
你出了這個名後，對你有沒有什麼影響，外在 或內在的？張
我是出了名之後，才知道別人說我這個人很孤 傲什麼的，這些是別人對我的感覺，我自己都不 知道，我倒覺得自己還挺隨和的。也沒有因為出了 名，就傲氣十足的吧。問
我比較訝異的是你在普渡還當過中國同學會的 會長，這應該證明你不是孤傲的人。張
那是六四天安門事件的時候，但我這個會長也 是被別人硬推上去的，實際上我是最不擅做這些什 麼「長」的。張益唐重要著作
On the zeros of
ζ (s) near the critical line.Duke Math. Journal. 110 (2001) no.3.
晨 興 金 獎 卓 越 成 就 獎 我出了名後，網站上的東西我都不怎麼看，不敢 看，也沒時間看。我只抱怨了一件事，就是自由時間 變少了，這弄得我非常頭疼，我希望我還能繼續做數 學，我知道名也許會帶來一些利益，這些過去我不看 重，將來也不會。
問
有人這麼評價，中國數學最好的時間可能是50
年代，當時華羅庚回來領導解析數論，很有希望。 解析數論是中國的強項，你對現在中國解析數論的 現況和前景有什麼看法。張
50
年代那時的價值標準就是做最好的數學，華 老是解析數論的領袖人物。華的脾氣是很大的，他 都叫學生上台講，據說有次王元忘了不會講，他就 說不行，今天不講不許下課。中國數學50
年代， 從華羅庚到陳景潤，那時人心思單純，做數學是好 的，喜歡做也願意投入。那時大陸發不了財，工資 都一樣，沒有雜念。於是就努力去做，做到最後， 華老從50
年代開始，建立中國人的學派，最後陳景 潤達到頂峰。 我認為解析數論如果確實有一批人想去 做，仍然是有希望的。當然這需要一定的條 件，因為科學的發展有它的階段性。比如華老 那套東西，篩法也好，圓法也好，不能永保青 春。後來，一方面是做到頭了，一方面因為文 革，中國沒有機會吸收新東西，所以就慢慢停滯了。 但現在這些條件都具備，你可以積極吸收新的 東西，像是弗利蘭德和伊凡涅茨，或者新一點像葛林 （Ben Green
）和陶哲軒的東西。我和葛也談過， 我的直覺是將這些跟古典解析數論技巧結合起來，應 該是有前途的，現在各方面條件都有了，只是怎麼把 新的方法融入傳統解析數論去，我希望中國年輕一代 自己敢於給自己提新的問題。 我自己在潘承彪老師指導下寫的第一篇論文， 現在我連看都不想看了，那時我就有感覺，怎麼路越 走越狹窄了，你不能就是這一套。這時你需要有點勇 氣，看膽子大不大，敢不敢否定自己走過的路，要自 問我們這領域裡頭能不能和新的東西結合起來，要不 斷的問自己，天天問自己。 當然如果有機會出國，也許會容易一些。我2001
年發表了一篇黎曼函數導數的文章在《杜克數學期刊》（
Duke Mathematical Journal
）， 那結果評價還挺高的。結果我收過一些雜誌邀我審 稿，但是我這人可能太挑剔了，就說這結果不宜在 《倫敦數學學會期刊》（Journal of the London
Mathematical Society
）發表，建議在小一點的雜 誌發表。那些結果是對的，但是沒有太大意義。我想 不論中西，做學問都需要保持一個活水，不是一個死 水潭。問
想請教你對華羅庚《數論導引》這本書的評 價，另外也請談談其他比較好的數論書。張
《數論導引》做為一本入門書，現在來看內容 是陳舊了點，但仍然是一本非常好的書，不僅是數 學好，華的文學功底也是好的，讓一個對數論有興 趣的年輕學子來說，一看就懂，很容易入門，他的 華羅庚風格明快又豐富，一本書很難寫成這樣。
我想《數論導引》有受到哈第（
G.H. Hardy
） 和萊特（Edward M. Wright
）的《數論導論》（An
Introduction to the Theory of Numbers
）的一些 影響，但華寫的更多一點。有幾位英國人的書也寫得 非常好。像悌奇馬許（E. C. Titchmarsh
）的《黎曼ζ
函數理論》（The Theory of the Riemann
Zeta-Function
）。他從1950
年出第一版後，還沒有書可 以超過。又豐富又明快。問
你會不會也想寫本書？張
我暫時還沒什麼想法，寫書恐怕很難，要考慮 能不能寫得有啟發性，不能只是定義、定理、證 明，要寫出中間的想法。 我是希望能用中文寫本解析數論的書。潘承洞和 潘承彪兄弟有一本《解析數論基礎》，那本書其實寫 得很好，但是他們只寫到90
年代，後面例如克洛斯特 曼和，或者代數幾何的材料那些沒寫進去，這是個缺 點。伊凡涅茨和柯瓦斯基（Emmanuel Kowalski
） 也寫過一本《解析數論》（Analytic Number Theory,
2004
, AMS
），這本書寫得很好、很豐富，但對初學 者來講太難，因為密度太大了。 我倒是希望我能寫，也許把自己的心得講出來， 但我還沒正式去考慮這問題。問
你有沒有什麼數學英雄，像是比較敬佩和喜歡 的數學家？張
這有點說不出來。小時候當然高斯是我心目中 的英雄，但是長大之後好像就沒有了。像是有些人 他們數學做得很好，但是我總覺得自己不會做得比 他們差。所以現在在我心目中沒有什麼英雄。但是 在人格上佩服的倒是有兩個，一個是懷爾斯，另一 個是帕瑞爾曼（Grigori Perelman
）。問
你前面提到華羅庚的文字好，我們也知道你對 中國和俄國文學的愛好。請談談你覺得數學和人文 之間有什麼關係。張
別人問我純數有什麼用，我只能說沒用。前一 陣子晨 興 金 獎 卓 越 成 就 獎
