模糊線性規劃用於專案排程分析之研究
潘南飛1、黃冠智2 1國立高雄應用科技大學土木工程與防災科技研究所助理教授 2國立高雄應用科技大學土木工程與防災科技研究所研究生 E-mail : [email protected]摘 要
專案排程規劃是以各作業需時的估計值為基礎，故一個準確及可靠的排程規劃取決於作 業需時估計的正確與否。由於作業施作易受諸多具有含糊、模糊，與不明確特性之不確定因 子的影響，而難以準確地估計出單一明確的作業需時。 本文提出一模糊線性規劃模式，用以分析模糊作業工期對專案完成的影響。與其它應用 模糊集的排程分析法相較，本模式較為簡單與可應用於複雜的專案網圖。本模式經以一測試 專案顯示了其有效性，因此可協助排程人員擬定一較為準確與可靠之專案排程計劃。 關鍵詞：作業工期、專案排程、模糊線性規劃、不確定性1. 前言
目前國內營建工程專案進度以日曆天來簽定工程合約者，有逐漸增加之趨勢。以日曆天 做為合約工期的方式，主要可使業主較容易掌握專案的完工日，並可避免因工程展延而產生 糾紛與損失的問題。然而，對於承包商而言，以日曆天的合約方式進行，承包商將承擔以工 作天的工程合約更多的風險。若專案排程規劃不準確或不合理，則可能致使專案無法如期完 成，而造成承包商需付巨額的違約罸款及資源的浪費，甚至造成承包商無法履約的鉅大損失。 故正確與合理的專案排程規劃，極為重要，如此方能減少工程損失的風險。 由於工程專案進度的計算，是基於各作業需時的估計，因此各作業需時估算的正確與否， 為影響專案排程規劃正確與否的關鍵。然而，因工程專案中各作業工期的估計，易受諸多不 確定因素的影響（如天候、地質、地下水、地下管線、施工技術與管理能力等），而造成不易 正確預估的問題。因此，以單時估計法所得到作業之單一明確的工期，無法充份地考量上述 不確定因素的影響結果。三時估計法為另一種現行作業需時估計的常用方法。以三時估計法預估作業需時，雖其因以統計機率分配方式，較單一明確的作業估計法更能考量作業工期的 不確定性，但以機率理論所估計的工期，往往會低於真實（正）的專案工期﹝1,2﹞。
考量影響作業需時之因子具有模（含）糊性，適合以模糊數運算法來分析。但因需配合 模糊運算的限制條件，若預估之作業需時不符模糊運算的限制條件，將造成不合理的結果 ﹝2﹞。模糊線性規劃法（Fuzzy linear programming，簡寫 FLP）為一結合模糊理論及傳統數 學規劃模式的技術，可用於專案排程之規劃。此法具有較快速、簡單及可應用於複雜排程網 圖的優點，且由於模糊線性規劃法可以 α 截集來充份地描述作業需時估計之各種確信的情 況，而較能考量到不確定因素對作業需時造成之不同程度的影響﹝3﹞。此外，此法可解決以 模糊數運算所造成的擴張問題以及不易找出要徑的困難，故可協助專案排程人員擬定較正確 與合理之排程計劃。 本研究首先提出一模糊線性規劃模式，用以分析專案之排程；並以一測試專案來說明此 模式的有效性與實用性。最後，並以本模式與三時估計法所獲得之結果，加以比較與探討。
2. 文獻回顧
除了單時估計法外，營建專案中各作業的需時，亦有以三時估計法來估算。三時估計法 係基於假設各作業工期之機率分配函數為貝它（Beta）分配，並以三角分配來概似簡化其計 算﹝4﹞。貝它分配之頂點與左右側的臨界值，為作業工期之三時，其係基於施工情形分別在 最可能（Most likely）、最悲觀（Most pessimistic）及最樂觀（Most optimistic）情況下所估計 的作業需時。由估計的三時，作業的期望時間可由下式獲得： 4 6 To Tm Tp Te= + + (1) 其中，Te為作業的期望時間，To為最樂觀時間，Tm為最可能時間，Tp為最悲觀時間。 三時估計法是以統計機率分配來考量作業工期的不確定性，較單時法更能考量不確定因 素的影響。但以機率分配方式估計作業需時，仍存有三個主要問題：（1）對專案中諸多不同 施工特性的作業（往往逾百種不同型態），欲個別地判定作業需時所配適之特定機率分配型 式，並不容易，（2）專案中每項作業，往往因缺少重覆性而造成樣本數不足，難以正確地判 定作業需時的機率分配型式，及（3）機率分析法較為繁複﹝5,6﹞。 為改善上述單時及三時估計法的缺點，乃有利用模糊理論的提出。其主要是將專案中各 作業需時的估計值，以一模糊區間值表示，再利用模糊數運算法進行網圖排程。此法除可克 服機率估計法的缺點，亦可將工期的不確定程度，予以較有效與合理地評量﹝5,6﹞。然而，此法因計算過程繁複易錯，且以模糊數運算會造成擴張現象，而不易找出要徑，故此法應用 於複雜的真實排程網圖，存有諸多的困難及限制﹝2﹞。 模糊數學規劃為一結合模糊理論及傳統數學規劃模式的方法，此法可將不確定性利用模 糊集予以有效地分析，此為其主要的優點。過去10 年來，模糊數學規劃引起廣泛的研究，已 有諸多應用在企業經營或經濟活動之資源分配問題，被公認為一可處理描述不清或模糊問題 之良好的分析方法﹝7,8﹞。模糊線性規劃是模糊數學規劃中最常用的一種模式，線性規劃模 式係指目標函數與資源限制式皆為直線的型態。模糊線性規劃依模式的結構型式，可分為對 稱型模式和非對稱型模式兩種。對稱型模式係指目標函數及限制式均具有模糊性，而非對稱 型模式為當目標函數及限制式中，只有其中一方具有模糊性。限制式中的資源係數具模糊性， 則模式的矩陣形式可表為：
( )
T M in f x =C X 2 2 . . S T AX ≤b a% +b (2) 0 X ≥ 其中，f x 為目標函數，( ) T C 為決策係數，X為決策變數，A為技術係數，b% 為模糊資源係數。 圖 1 表為限制式中之模糊資源係數b% 的隸屬函數。圖1 中，µ (b% 為 b% 所對應的隸屬) 函數，其值介於0~1 之間；p 為模糊寬度；α 為隸屬函數的截集（α-cut），在某 α 截集下代表 當b% 值大於或等於隸屬值為α 時的區間值。圖 1 中，b 到 b+p 的範圍內，表示當限制式中所 用的資源（b% 值）愈少而滿意程度愈高，在此範圍內之隸屬函數為嚴格遞減函數。 當隸屬函數滿足在α 值之上且為線性時，式（2）可表為﹝9﹞：ub( )
T Min f x =C X(
)
. . 1 ST AX b≤ + −α p (3)[ ]
0, 0,1 X≥ α∈ 圖2 為當限制式中 b% 值的隸屬函數為 LR 型之三角模糊數。其中，L-Side（左側）之三角 模糊函數為嚴格遞增函數，此時b% 值介於 b-pL到 b 範圍間。R-Side（右側）之三角模糊數， 為b% 值介於b 到 b+pR範圍間的嚴格遞減函數。( )b µ % 1 0 α b b+ −(1 α)p b p+ b b ( )b µ % (1 ) R b+ −α p (1 ) L b− −α p L b p− b b p+ R 1 α 0 左側 右側 圖1 限制式中b% 值的隸屬函數 圖2 b% 值之LR 型三角隸屬函數 當隸屬函數為線性且滿足在α 值之上時，式（3）可表為下式： ( )
( )
( ) ( )[ ]
. . 1 , 1 0, 0, 1 T LR L R Min f x C X S T AX b p b p X α α α α = ≤ − − + − ≥ ∈ (4) 其中，(C XT )LR α 為b% 在某α截集下，欲求得最佳值之目標函數。3. 排程之線性規劃模式
3.1 線性規劃模式 箭線式的排程網圖為現行營建專案排程中常用的一種方法。箭線式網圖利用前進計算法 與後退計算法，求得網圖中各作業的最早開始（ES）、最早完成（EF）、最晚開始（LS）及最 晚完成（LF）時間，總浮時與專案的總工期。然而，其計算過程十分繁複且易錯，不若以線 性規劃法來得快速與有效。線性規劃模式首先需建立箭線式排程網圖，並定義決策變數XN， N=1,2,3…n，n 為網圖中結點的數目，結點代表作業的起迄點。依據網圖可建立目標函數及限 制式。目標函數為求解網圖的最後一個結點時間減去第一個結點時間的最小值，網圖的第一 個結點時間代表整個專案的最早開始時間，以第 0 天表示；網圖的最後一個結點時間，為專 案的最晚完工時間。由目標函數所求得最小化之結果，為所有要徑作業的時間總合，即專案 的總工期。 以圖3 為例說明，作業是由結點 i 與 j 間的一條箭線表示，其中，Xi為作業的最早或最晚 開始時間，Xj為作業的最晚完成時間，Teij為作業的期望工期，i 為作業的起點， j 為作業的終點。如何判定Xi為作業的最早或最晚開始時間，首先，若該作業為要徑作業，則總浮時必 為0，可以式（5）來表示，此時，Xi可能為作業的最早或最晚開始時間，主要取決於此作業 的前置作業是否為要徑作業，若前置作業為Xj −
(
Xi +Teij)
>0，則Xi為作業的最晚開始時間， 反之，前置作業為Xj −(
Xi +Teij)
=0，則Xi為作業的最早開始時間。另外，若作業屬非要徑作 業，則總浮時大於0，此可以式（6）表示，此時，Xi為作業的最晚開始時間。 i X Xj i A 作 業 j i j T e 圖3 箭線圖之表示(
)
0 j i ij X − X +Te = （總浮時為 0） (5)(
)
0 j i ij X − X +Te > （有寬裕時間） (6) 應用上兩式須注意：當某作業之Xj−(
Xi+Teij)
= ，但其前置作業之0 Xj −(
Xi +Teij)
>0 時（屬非要徑作業），則此作業的Xi為最晚開始時間，而非為最早開始時間。此係由於要徑為 所有總浮時為 0 之作業所組成的路徑，要徑作業工期為最長者之故。將式（5）與式（6）合 併，可表為下式： j i ij X −X ≥Te (7) 因此，完整之網圖排程的線性規劃模式，可以式（8）表示： 1 . . 0, 1, 2, , 1, 2, n j i ij j i Min Z X X S T X X Te X X i n j n = − − ≥ ≥ ≥ = L = L (8) 其中，求解所獲得之Z 值，代表排程網圖的總工期；Xn為網圖的最後一個結點時間，表專案 的最晚完工時間；X1為網圖的最初結點時間，表為專案的最早開始時間。 3.2 模糊線性規劃模式 此模式之建構原理與線性規劃模式相似，惟主要不同處，在於考慮作業工期的估計具模 （含）糊性，而改以區間估計值表示。基於式（8），本研究所提出之模糊線性規劃模式如下 A 作業式所示：
(
)
(
)
(
)
1 . . 1 , 1 0, 1, 2, , 1, 2, n LR j i ij L ij R j i Min Z X X ST X X Tm p Tm p X X i n j n α α α = − − ≥ − − + − ≥ ≥ = L = L (9) 其中，p
L 為b% 之三角模糊數左側的模糊寬度； pR 為b%之三角模糊數右側的模糊寬度；T
mi j 為作業的最可能工期。4. 案例探討
基於簡化不確定因素的影響，目前國內專案排程人員對作業需時之估計結果，通常為單 一的明確值。然而，若作業受到不確定因素影響甚大時，往往會發生作業需時的低估或高估 之問題。若低估工期（過於樂觀），則承包商將承擔因工期無法如期完工之罰金、趕工增加之 成本，與其它損失之風險。反之，若高估工期（過於悲觀），則易造成資源的閒置與浪費。考 慮作業需時受不確定因素的影響，作業需時以區間估計值表示，應較為合理。為說明本模式 在專案排程應用的分析流程，以及驗證本模式的實用性，本研究以一測試的專案排程網圖， 考慮當網圖各作業需時為單一的期望工期與區間估計值下，分別利用傳統線性規劃與本模式 進行探討。 圖4 為測試之專案網圖，表 1 為此網圖之排程資料。表 1 中各作業的需時為最樂觀、最 可能與最悲觀的三時估計。例如，A 作業之需時為（12, 15, 21），表示該作業最樂觀的工期為 12 天，最可能的工期為 15 天，而最悲觀的工期為 21 天。表 1 中各作業的期望需時，係利用 式（1）估計而得。 A B C E F G D I J 1 2 3 4 5 6 7 H 圖4 測試專案之箭線式時程網圖表1 測試專案網圖之排程資料 作業 路徑 作業 項目 作業需時(天) 前置 作業 後續 作業 作業的 期望需 時(天) 作業 路徑 作業 項目 作業需時(天) 前置 作業 後續 作業 作業的 期望需 時(天) 1→2 A （12, 15, 21） --- D 15.5 3→6 F （16, 20, 28） B J 20.7 1→3 B （28, 35, 45） --- E,F 35.5 4→6 G （16, 20, 28） C J 20.7 1→4 C （12, 15, 21） --- G 15.5 5→6 H （8, 10, 15） E J 10.5 2→7 D （16, 20, 28） A --- 20.7 5→7 I （16, 20, 28） E --- 20.7 3→5 E （20, 25, 30） B H,I 25.0 6→7 J （20, 25, 30） F,G,H --- 25.0 依據網圖中各作業的期望工期及利用式（8），以下為此排程網圖之線性規劃模式： 7 1 2 1 3 1 4 1 7 2 5 3 6 3 6 4 6 5 7 5 7 6 1 2 7 . . 15.5 35.5 15.5 20.7 25 20.7 20.7 10.5 20.7 25 , , , 0 Min Z X X S T X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X = − − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ ≥ L (10) 上式利用簡捷法或電腦軟體（如Lindo 或 Excel）可求解之。求解的結果如表 2 所示。由 表2 得知，X1=0，X2=75.3，X3=35.5，X4=50.3，X5=60.5，X6=71，X7=96。表示此專案的 期望總工期為96 天，A 作業的最早開始時間為第 0 天，最晚完成時間為第 75.3 天；B 作業的 最早開始時間為第0 天，最晚完成時間為第 35.5 天；J 作業的最早開始時間為第 71 天，最晚 完成時間為第96 天。值得注意的是，雖然D 與 G 兩作業之Xj−Xi−Teij均等於0，但因前置 作業A 作業及 C 作業之Xj−Xi −Teij皆大於0（此可由式（7）判定之），表示A 作業與 C 作 業均為非要徑作業，故所求得D 作業與 G 作業的Xi為最晚開始時間。由表2 所列之作業的總 浮時為0 者，可得知要徑作業項目，計有B，E，H 及 J 作業。
表2 依各作業期望時間所求得之日程結果 作業項目 作業期望時間(天) 最早開始時間 最晚完成時間 總浮時(天) A 15.5 0 75.3 59.8 B 35.5 0 35.5 0 C 15.5 0 50.3 34.8 D 20.7 15.5 96 59.8 E 25 35.5 60.5 0 F 20.7 35.5 71 14.8 G 20.7 15.5 71 34.8 H 10.5 60.5 71 0 I 20.7 60.5 96 14.8 J 25 71 96 0 若以模糊線性規劃模式計算日程，則作業期望時間由單一明確值改為三角模糊數（由圖 2 表示），而三角模糊數之左側為作業的最樂觀到最可能工期，右側為作業的最可能到最悲觀 工期。表3 為資料彙整的結果。舉例說明，表 3 中A 作業的需時為（12, 15, 21），其需時的模 糊寬度（即差異值）可分為右側寬度（3 天）及左側寬度（6 天）。由表 3 資料及利用式（9） 所建立的模糊線性規劃模式為：
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
7 1 2 1 3 1 4 1 7 2 5 3 6 3 6 4 . . 15 1 3, 15 1 6 35 1 7, 35 (1 )10 15 1 3, 15 (1 )6 20 1 4, 20 5(1 )5 25 1 5, 25 1 5 20 1 4, 20 1 5 20 1 4, 20 1 5 LR Min Z X X S T X X X X X X X X X X X X X X ε α α α α α α α α α α α α α α = − − ≥ − − + − − ≥ − − + − − ≥ − − + − − ≥ − − + − − ≥ − − + − − ≥ − − + − − ≥ − − + − (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ ]
6 5 7 5 7 6 1 2 7 10 1 2, 10 1 5 20 1 4, 20 1 8 25 1 5, 25 1 5 , , , 0 0, 1 X X X X X X X X X α α α α α α α − ≥ − − + − − ≥ − − + − − ≥ − − + − ≥ ∈ L (11) α為評量作業工期估計確信程度對進度計算之影響，可考慮在當所有作業工期的估計係 在：（1）最確信情況下（α=1），（2）中等確信情況下（α=0.5），以及（3）最不確信情況下（α=0）， 分別加以探討。表4 為求解式（11）後，所獲得網圖排程的結果。由表 4 可得知，當 α=1 時， 此時各作業需時的估計值為最可能需時，據此所求得專案最可能的總工期為95 天。當 α=0， 據此所計算的專案總工期為76~120 天，為在最不明確情形下所估計之專案的總工期。值得注 意是，76 天的總工期為低估值（樂觀值），可能會造成專案最後無法完成的風險；120 天的總 工期為高估值（悲觀值），可能會造成專案資源的閒置與浪費。 當 α=0.5 時，所計算的專案總工期為 85.5~107.5 天，表示對此總工期天數估計的確信度 為中等。表 5 在 α=0.5 下各作業日程的計算結果。由表 5 可得知：A 作業的最早開始時間為 第0 天，最晚完成時間為第 67.5~85 天；B 作業的最早開始時間為第 0 天，最晚完成時間為第 31.5~40 天；而J 作業的最早開始時間為第 63~80 天，最晚完成時間為第 85.5~107.5 天，得知 要徑為B，E，H 及 J 作業。 表3 模糊之作業需時資料 作業項目 作業時間(天) 左側模糊寬度(天) 右側模糊寬度(天) A (12, 15, 21) 3 6 B (28, 35, 45) 7 10 C (12, 15, 21) 3 6 D (16, 20, 28) 4 5 E (20, 25, 30) 5 5 F (16, 20, 28) 4 5 G (16, 20, 28) 4 5 H (8, 10, 15) 2 5 I (16, 20, 28) 4 8 J (20, 25, 30) 5 5 表4 模糊作業需時之日程計算結果 α X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Z 1 0 75 35 50 60 70 95 95 0.5 0 67.5, 85 31.5, 40 45, 57.5 54, 67.5 63, 80 85.5, 107.5 85.5, 107.5 0 0 60, 95 28, 45 40, 65 48, 75 56, 90 76, 120 76, 120
表5 模糊作業需時之排程結果（α=0.5） 作業項目 作業期望時間(天) 最早開始時間 最晚完成時間 總浮時(天) A 13.5, 18 0 67.5, 85 53, 67 B 31.5, 40 0 31.5, 40 0 C 13.5, 18 0 45, 57.5 31.5, 39.5 D 18, 22.5 13.5, 18 85.5, 107.5 54, 67 E 22.5, 27.5 31.5, 40 54, 67.5 0 F 18, 22.5 31.5, 40 63, 80 13.5, 17.5 G 18, 22.5 13.5, 18 63, 80 31.5, 39.5 H 9, 12.5 54, 67.5 63, 80 0 I 18, 24 54, 67.5 85.5, 107.5 13.5, 16 J 22.5, 27.5 63, 80 85.5, 107.5 0 圖5 為不同 α 值下專案工期的計算結果。圖 5 中，當 α=1 時，專案總工期為 95 天，此係 在最可確信情形下之估計結果。總工期介於76 天到 120 天之間，是當作業需時估計的可確信 度為最差時（α＝0），依據各作業之最樂觀與最悲觀時間所計算而得。當 α＝0.5 時，總工期 介於85.5 天到 107.5 天之間，此為當作業需時估計的可確信度為中等所估算之結果。此總工 期可能會低於或高於95 天（α＝1 時的總工期），其差異天數分別為9.5 天（= 95-85.5）及-12.5 天（= 95﹣107.5）。此外，若以三時估計法的期望需時為分析基礎，則所求得專案之期望總工 期為96 天，此與當 α＝1 時之最可能的總工期（95 天），極為相近。由於在 α＝0.5 下所求得 的總工期，為包含期望總工期的一區間值（85.5 天至 107.5 天），此顯示工期的區間估計值對 不確定性的考量，要較單一的期望值（96 天）為多，故可降低因專案工期之錯估（低估或高 估）所造成的損失風險。 ( )x µ x 作業工期( ) 95
1
0.5 0 76 85.5 107.5 120 圖5 專案總工期估計結果的比較5. 結論與建議
由於營建作業之施作，易受地質、地下水、天候、管線、施工技術與管理水準等諸多不 確定因素的影響，造成了作業的需時具有高度的不確定性，而難以單一值來代表。因此，以 區間的作業工期估計，較能考量不確定因素的影響。本研究提出一模糊線性規劃模式，用於 分析作業需時為模模糊值之排程網圖。本模式具有分析快速、可靠、以及可充份地衡量作業 需時估計的可確信度，故可用於協助排程人員面臨不同施工情況及不確定性下，從事合理之 專案排程規劃。 由測試專案的分析結果得知，當確信程度為中等（α 值為 0.5）時，所求得專案之總工期 為一區間值（82.5 天~107.5 天），涵蓋了以三時法所求得的期望總工期，96 天，此結果顯示 以本模式所分析的專案總工期，較能考量不確定性及符合工程實際情形。除了取 α=0.5 外， 測試專案亦分別以α=1 及 α=0 不同的確信度下，探討其對專案之總工期及各作業需時的不同 結果，亦皆驗證了本模式的正確性與實用性。在未來後續的相關研究上，建議可利用模糊數 學規劃法用於趕工進度，以及資源拉平最佳化規劃方面的探討。參考文獻
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