101 學科能力測驗試題

(1)

大學入學考試中心101學年度學科能力測驗試題

數學考科

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 35 分）

說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 1. 1₂ 1₂ 1 5 4  等於下列哪一個選項？ (1) 1.01，( 2) 1.05，( 3) 1.1，( 4) 1.15，(5) 1.21。 Ans： (2) 【詳解】 2 2 1 1 1 0.04 0.0625 1 5 4      1.1025   2 1 0.05 1.05    故選 (2) 【備註】 1.012＝ 1.0201，1.052 ＝ 1.1025，1.12 ＝ 1,21，1.152 ＝ 1.3225，1.212 ＝ 1.4641。 2. 將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立 體，如右圖所示，其中第 1 層（最下層）有 10 塊，第 2 層有 9 塊， … … ，依此類推。當堆疊完 10 層時，該階梯形立體的表面積（即該立體的 前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為 多少？ (1) 75 平方公分 (2) 90 平方公分 (3) 110 平方公分 (4) 130 平方公分 (5) 150 平方公分

(2)

Ans： (5) 【詳解】 1 2 3   102 1 10  2 10 1 10 （前後）（左）（右、上）（下） 110 10 20 10     150  故選 (5) 3. 下表為常用對數表log N₁₀ 的一部分： 請問 3.032 10 最接近下列哪一個選項？ (1) 101， ( 2) 201， (3) 1007， (4) 1076， (5) 2012. Ans： (4) 【詳解】令 3.032 10 x 3.032 3 0.032

logxlog10  3 0.032log10 log10 經查表可知

0.0294 0.032 0.0334 

 _log1.07_log100.032_log1.08

 3 3 0.032 3

log10 log1.07log10 log10 log10 log1.08

 3.032

log1070log10 log1080 ∴ 1070 x 1080，故選 (4) 【備註】 103 . 0 3 2_{＝ 1076.4652136298348783046684890364 .} 4. 甲、乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗，兩校學生測驗成績的分 布都很接近常態分布，其中甲校學生的平均分數為 60 分，標準差為 10 分；乙校學生的平均分數為 65 分，標準差為 5 分。若用粗線表示甲校學 生成績分布曲線；細線表示乙校學生成績分布曲線，則下列哪一個分布 圖較為正確？

(3)

Ans： (1) 【詳解】甲校平均60乙校平均65  常態分布的高峰即是平均數， ∴ 甲的高峰在乙的高峰左側甲校標準差10乙校標準差5  甲校成績較為分散又甲、乙二校學生一樣多  曲線下面積應相等  (1)合故選 (1)

5. 若正實數 x，y 滿足 log1 0x=2.8， log1 0y=5.6，則 log1 0(x2+y)最接近下列哪一

個選項的值？

(1) 2.8， (2) 5.6， (3) 5.9， (4) 8.4， (5) 11.2.

(4)

【詳解】 10 log x2.8  _x₁₀2.8_， 2



2.8



2 5.6 10 10 x   10 log y5.6  y105.6 ∴



2





5.6 5.6



10 10

log x y log 10 10 log10



105.62



10 5.6 log 2   5.6 0.301 5.901 故選 (3) 6. 箱中有編號分別為 0，1，2，… …，9 的十顆球。隨機抽取一球，將球放回 後，再隨機抽取一球。請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？ (1) 0， (2) 1， (3) 4， (4) 5， (5) 9. Ans： (2) 【詳解】設第一次取號為 x₁，第二次取號為 x₂ 1 2 x x 0 1 4 5 9 情形

 

0,0

 

1,1



2, 2



 

3,3



4, 4



 

9,9

 

0,1

 

1,0

 

8,9

 

1, 2

 

2,1

 

9,8

 

2,3

 

3, 2

 

3, 4

 

4,3

 

4,5

 

5, 4

 

5,6

 

6,5



6, 7





7, 6



 

7,8

 

8,7



0, 4





4, 0



 

1,5

 

5,1



2, 6





6, 2



 

3,7

 

7,3

 

4,8

 

8, 4

 

5,9

 

9,5

 

0,5

 

5,0

 

1,6

 

6,1



2, 7





7, 2



 

3,8

 

8,3

 

4,9

 

9, 4

 

0,9

 

9,0 機率 10 10 10 18 10 10 12 10 10 10 10 10 2 10 10 ∴ 兩球編號相減的絕對值為1的機率最大，故選 (2) 7. 空間坐標中有一球面（半徑大於 0）與平面 3x＋ 4y＝ 0 相切於原點，請問 此球面與三個坐標軸一共有多少個交點？ (1) 1， (2) 2， (3) 3， (4) 4， (5) 5. Ans： (3) 【詳解】

(5)

∵ 球與 E : 3x 4y 0相切於原點若將球投影在 xy平面上，設球心為 A



3 , 4 ,0



OA n  t t ，t 當O



0,0,0



， A t t



3 , 4 ,0





,



4 d A x軸  t



,



3 d A y軸  t



,



5 d A z軸  t OA R ∴ 球面與三軸交



6 ,0,0t



、



0,8 ,0t



、



0, 0, 0



共3個交點，故選 (3)

二、多選題（占 30 分）

說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

8. 設 f(x)＝ x4_{－ 5x}3_{＋ x}2_{＋ ax＋ b 為實係數多項式，且知 f(i)＝ 0（其中 i＝}

1  ）。請問下列哪些選項是多項式方程式 f(x)＝ 0 的根？ (1) i， (2) 0， (3) 1， (4) 5， (5) 5. Ans： (1)(2)(5) 【詳解】因 f x

 

為實係數多項式，故虛根成對  i、i皆為 f x

 

的根又 xi  x2   i2 1  x2 1 0，即 f x

 

有因式 x21 1 5 1 0 1 1 5 1 1 0 1 5 0 5 0 5 5 a b a a b       ∴ a 5 0，a 5，b0

(6)

 



2



2

 

2



  1 5 1 5 0 f x  x  x  x  x  x x  的根為 i、 i、0、5 故選 (1)(2)(5) 9. 三角形 ABC 是一個邊長為 3 的正三角形，如右圖所示。 若在每一邊的兩個三等分點中，各選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？ (1) 依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 (2) 這些可能連成的三角形中，恰有 2 個是銳角三角形 (3) 這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是直角三角形 (4) 這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是鈍角三角形 (5) 這些可能連成的三角形中，恰有 1 個是正三角形 Ans： (1)(2) 【詳解】 (1) 三角形有2 2 2 8   ，即 DIF △ 、△DIG、 △DHG、△DHF EIF

△ 、△EIG、 △EHF、△EHG (2) 銳角三角形：

正三角形即是銳角三角形  △DHF、△EIG，共 2個

(3) 直角三角形：△DIF、 △DIG、 △EHF、 EIF △ 、△EHG、 △DHG，共6個 (4) 鈍角三角形：共0個 (5) 正三角形：△DHF、△EIG，共 2個故選 (1)(2) 10. 設 O 為複數平面上的原點，並令點 A，B 分別代表非零複數 z，w。若AOB ＝ 90，則下列哪些選項必為負實數？ (1) z w， (2) zw， (3) (zw) 2_{， (4)} 2 2 z w ， (5) 2 (z w) （其中w為 w 的共軛複數） Ans： (4)(5) 【詳解】

令 zr₁



cos₁isin₁



， wr₂



cos₂isin₂



因AOB ，故90  1 2  90

(7)

(1) ×， 1 1

1 2 1 2 1 2

2 2

[cos( ) sin( )] [0 sin( )]

r r z i i wr       r    不是負實數。 (2) ×， zwr r_{1 2}_cos



 ₁ ₂



isin



 ₁ ₂



_不一定為負實數 (3) ×， 2 2 2 2



 

2



1 cos2 1 sin 2 1 2 cos2 2 sin 2 2

zw  z w r  i  r  i 









2 2 1 2 cos 2 1 2 2 sin 2 1 2 2 r r   i     _    _不一定為負實數 (4) ○ ，













2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 1 0 z r r i w r        r   負實數 (5) ○ ，

 

2 2 2 2



 

2



1 c o s 21 s i n 21 2 c o s 22 s i n 22 z w  z  w  r   i   r   i 













2 2

1 cos2 1 sin 2 1 2 cos 2 2 sin 2 2

r  i  r  i     _    _









2 2 1 2 cos2 1 2 sin 2 1 2 r r   i     _    _   2 2 1 2 1 0 r r     負實數故選 (4)(5) 11. 若實數 a， b， c， d 使得聯立方程組 8 4 3 ax y c x y        有解，且聯立方程組 3 4 3 x by d x y         無解，則下列哪些選項一定正確？ (1) a≠2， (2) c＝6， (3) b＝ 12， (4) d≠9， (5) 聯立方程組 8 3 ax y c x by d        無解。 Ans： (3)(4) 【詳解】 8 4 3 ax y c x y        有解  唯一解： 8 1 4 a _   a 2  無限多解： 8 1 4 3 a_ _c   a 2，c 6 3 4 3 x by d x y         無解

(8)

 3 1 4 3 b d  _ _   b12，d  9 又 8 3 ax y c x by d        ，若a 2，則 8 3 a b    唯有一解若a 2，c 6，b12，d 9  2 8 6 3 12 d  _ _   無解，故選 (3)(4) 12. 在坐標平面上，廣義角的頂點為原點 O，始邊為 x 軸的正向，且滿足 tan＝ 2 3。若的終邊上有一點 P，其 y 坐標為4，則下列哪些選項一定正 確？ (1) P 的 x 坐標是 6， (2) OP2 13， (3) cos＝ 3 13， (4) sin2＞ 0， (5) cos 2  ＜ 0. Ans： (2)(4) 【詳解】因tan 2 3   ，又終邊的 P點， y坐標為 4 故在第三象限。 (1) ╳ ， tan 2 4 3 y x x      x 6，得 P的 x坐標為6 (2) ○ ， 2 2 4 6 52 2 13 OP    (3) ╳ ，cos 6 3 2 13 13 x OP      

(4) ○ ，sin 2 2sin cos 2 4 6 0 2 13 2 13      _  _  _    (5) ╳ ，1 8 0 3 6 0  k  2 7 0 3 6 0k， k 90 180 135 180 2 k  k         ，k

(9)

當 k0時， 2  在第二象限，cos 0 2  _ 當 k1時， 2  在第四象限，cos 0 2  _ 故選 (2)(4) 13. 平面上兩點 F1， F2 滿足 F F ＝ 4。設 d 為一實數，令₁ ₂ 表示平面上滿足 1 2 PF PF ＝ d 的所有 P 點所成的圖形，又令 C 為平面上以 F1 為圓心、 6 為 半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？ (1) 當 d＝ 0 時，為直線 (2) 當 d＝ 1 時，為雙曲線 (3) 當 d＝ 2 時，與圓 C 交於兩點 (4) 當 d＝ 4 時，與圓 C 交於四點 (5) 當 d＝ 8 時，不存在 Ans： (1)(2)(5) 【詳解】 (1) ○ ，當d 0時， PF₁PF₂ 0  PF1PF2  P點所形成的圖形為 F F1 2的中垂線 (2) ○ ，當d1時， PF₁PF₂ 1 F F₁ ₂4  P點所形成圖形為雙曲線 (3) ╳ ，當d 2時， PF1PF2 2 F F1 24  P點所形成圖形為雙曲線，與圓 C交於 4點 (4) ╳ ，當d 4時， P F1 P F2  4 F F1 2  P點所形成圖形為以 F₁、 F₂為起點的射線，與圓C交於2點 (5) ○ ，當d8時， P F1 P F2  8 F F1 2  P點所形成的圖形不存在故選 (1)(2)(5)

(10)

第貳部分：選填題（占 35 分）

說明： 1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 (14– 33)。 2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 若首項為 a，公比為 0.01 的無窮等比級數和等於循環小數1.2，則 a＝。 Ans： (14) 1， (15) 2， (16) 1 【詳解】 2 11 1.2 1 1 0.01 9 9 a _ _ _   11 0.99 9 a _  11 0.11 1 a _  a0.11 11 1.21  . B. 設 A(1， 1)， B(3， 5)， C(5， 3)， D(0，7)， E(2，3)及 F(8，6)為坐標 平面上的六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個 交點，則 L 的斜率之最小可能值為 。 Ans： (17) ， (18) 3 【詳解】 ∵ 直線 L分別與△ABC、△DEF各恰有一交點 ∴ 由圖形可看出直線 L只能是二個三角形頂點的連線，不可能切割三角形，所以斜率最小為 9 3 3 CF m    

(11)

C. 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星， 其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星 空想像成一個坐標平面，其中天璇的坐標為 (9,8)及天樞的坐標為 (7,11)。 依上述資訊可以推得北極星的坐標為 ( )。 Ans： (19) ， (20) 3， (21) 2， (22) 6 【詳解】令北極星坐標為



x y,



5  樞北璇樞 



x7,y11



5 7 9,11 8



 



 x  7 10得 x 3  y 11 15得 y26 ∴ 北極星坐標為



3, 26



D. 設點 A(2， 2)、 B(4， 8)為坐標平面上兩點，且點 C 在二次函數 y＝ 1 2 x 2 的圖形上變動。當 C 點的 x 坐標為 時，內積 AB AC 有最小值。 Ans： (23) ， (24) 1， (25) ， (26) 3 【詳解】令C點坐標為



2 , 2t t2



 



2



6,6 2 2,2 2 AB AC   t t     2  6 2t 2 6 2t 2      2  12 t t   2 1 12 3 2 t    _  _  當 1 2 t  時， A B A C 有最小值 3 8 6 4 2 5 f x  = 1 2

 

x2 B A C

(12)

∴C點 x坐標為 1時， A B A C 的最小值為 3. E. 在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P， Q， R，使得 APQR 形成一平行四邊形，如下圖所示。若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3， 則線段 PR 的長度為 。 Ans： 7 【詳解】因 APQR為平行四邊形，故PAR BPQ QRC  60  △PBQ、 △RQC為正三角形。令 APx， BPAR13x 1 2 APR   平行四邊形 APQR面積  1 13  sin 60 1



20 3



2 x  x  2  2 13 40 0 x  x   x8x50  x8或5 得 2 2 8 5 2 8 5 cos 60 49 7 PR         。 F. 設 m， n 為正實數，橢圓 2 2 1 x y m  n  的焦點分別為 F1(0， 2)與 F2(0，2)。若 此橢圓上有一點 P 使得 △ PF1F2為一正三角形，則 m＝ ， n＝ 。 Ans： (28) 1， (29) 2， (30) 1， (31) 6

(13)

【詳解】因△PF F₁ ₂為正三角形故 PF₁PF₂， P點在F F1 2的中垂線上，設 P x

 

, 0 因△PF F₁ ₂為正三角形，故 PF1F F1 24  2 4 4 x    x2 12，得 x 12或 12 因c2，b 12， _a2 _{12 4 16}   2 12 mb  ， na2 16。 G. 坐標空間中，在六個平面 14 13 x ， 1 13 x ， y＝ 1， y＝1， z＝1 及 z＝4 所 圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相 同，則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為 _______。（化成最簡分數） Ans： 3 7 【詳解】將平面組成的長方體坐標列出為 1 , 1, 4 13 A_   _  、 14 , 1, 4 13 B_   _  、 14 ,1, 4 13 C_  _  、 1 ,1, 4 13 D_  _   1 , 1, 1 13 E_   _  、 14 , 1, 1 13 F_   _  、 14 ,1, 1 13 G_  _  、 1 ,1, 1 13 H_  _   其中BF 3， AB1， BC2 兩頂點距離大於3者有 AF、GD、 EB、 HC、 FC、GB、 ED、HA、 FD、 HB、 EC、 AG，共12種故 ₈ 2 12 3 7 P C   。

(14)