高三下(社)第一次期中考數學題庫(50)

(1)

1082 高三數乙第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/49

Sec 1-1

一、單一選擇題

1.

( )袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球，設隨機變數 X 的值為取出 兩球中的較小號碼。若 pk 表 X 值為 k 的機率（k＝1，2，…，8），試問有幾個 pk 的值大於

5

1

？ (Ａ) 1 個 (Ｂ) 2 個 (Ｃ) 3 個 (Ｄ) 4 個 (Ｅ) 5 個。答案：(Ｂ) 解析：p1＝

28

7

＝

4

1

，p2＝

28

6

＝

14

3

，p3＝

28

5

，p4＝

28

4

＝

7

1

，p5＝

28

3

，p6＝

28

2

＝

14

1

，p7＝

28

1

，p8＝0 ∴大於

5

1

者有 2 個，故選(Ｂ)

2.

( )箱中有編號分別為 0，1，2，…，9 的十顆球。隨機抽取一球，將球放回後，再隨機抽取一球。請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 4 (Ｄ) 5 (Ｅ) 9。答案：(Ｂ) 解析：隨機變數 X 表示兩球編號相減的絕對值，則 X 的機率分布表如下： X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pX

10

1

50

9

50

8

50

7

50

6

50

5

50

4

50

3

50

2

50

1

故選(Ｂ)

3.

( )氣象臺預報「本市明天降雨機率是 70％」，以下理解正確的是 (Ａ)本市明天將有 70％的地區降雨 (Ｂ)本市明天將有 70％的時間降雨 (Ｃ)明天出門不帶雨具肯定淋雨 (Ｄ)明天出門不帶雨具淋雨的可能性很大。答案：(Ｄ) 解析：因降雨機率是 70％，故不帶雨具淋雨的可能性很大故選(Ｄ)

(2)

4.

( )袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球，設隨機變數 X 的值為取出 兩球中的較小號碼。若 pk 表 X 取值為 k 的機率（k＝1，2，……，8），試問有幾個 pk 的值大於

5

1

？ (Ａ ) 1 個 (Ｂ) 2 個 (Ｃ) 3 個 (Ｄ) 4 個 (Ｅ) 5 個。答案：(Ｂ) 解析：樣本空間 S，n（S）＝ 8 2 C ＝28 直接計算隨機變數 X 的取值所對應的機率 X＝1，即（1，2），（1，3），……，（1，8），共 7 個 p1＝

28

7

X＝2，即（2，3），（2，4），……，（2，8），共 6 個 p2＝

28

6

X＝3，即（3，4），（3，5），……，（3，8），共 5 個 p3＝

28

5

X＝4，即（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），共 4 個 p4＝

28

4

X＝5，即（5，6），（5，7），（5，8），共 3 個 p5＝

28

3

X＝6，即（6，7），（6，8），共 2 個 p6＝

28

2

X＝7，即（7，8），共 1 個 p7＝

28

1

 p1＞

5

1

，p2＞

5

1

故選(Ｂ)

5.

( )有五條線段，其長度分別為 1，3，5，7，9，今小臻從中任取三條線段，此三條線段可圍成一個三角 形之機率為 p，則 p 之範圍為 (Ａ) 0≦p＜

5

1

(Ｂ)

5

1

≦p＜

5

2

(Ｃ)

5

2

≦p＜

5

3

(Ｄ)

5

3

≦p＜

5

4

(Ｅ)

5

4

≦p≦1。【鳳山高中】 答案：(Ｂ) 解析：列出所有情形如下： 135╳ 137╳ 139╳ 157╳ 159╳ 179╳ 357ˇ 359╳ 379ˇ 579ˇ  p＝

10

3



5

1

≦p＜

5

2

故選(Ｂ)

(3)

二、多重選擇題

6.

( )下列哪些例子是隨機現象？ (Ａ)臺灣每年的新生兒人數 (Ｂ)臺灣每年的降雨量 (Ｃ)臺北市每年的降雨天數 (Ｄ)高雄市一年內感染登革熱的人數。答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

7.

( )設隨機變數 X 的機率分布為： X －2 －1 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.15 0.2 0.1 0.15 0.05 0.05 則下列選項何者正確？ (Ａ) P（X≦0）＝0.45 (Ｂ) P（X 為偶數）＝0.25 (Ｃ) P（X 為奇數）＝0.6 ( Ｄ) P（2≦X≦5）＝0.35 (Ｅ) P（X 2_{＝1）＝0.2。【武陵高中】} 答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ)○：P（X≦0）＝P（X＝0）＋P（X＝－1）＋P（X＝－2）＝0.1＋0.2＋0.15＝0.45 (Ｂ)╳：P（X 為偶數）＝P（X＝－2）＋P（X＝0）＋P（X＝2）＋P（X＝4） ＝0.1＋0.15＋0.1＋0.05＝0.4 (Ｃ)○：P（X 為奇數）＝P（X＝－1）＋P（X＝1）＋P（X＝3）＋P（X＝5） ＝0.2＋0.2＋0.15＋0.05＝0.6 (Ｄ)○：P（2≦X≦5）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5） ＝0.1＋0.15＋0.05＋0.05＝0.35 (Ｅ)╳：P（X 2_{＝1）＝P（X＝1）＋P（X＝－1）＝0.2＋0.2＝0.4} 故選(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)

8.

( )下列隨機變數 X 的可能取值，何者為 X＝0，1，2，3，4 ？ (Ａ)一盒中有 10 件樣品，其中 4 件為 不良品，自盒中任取 4 件，令 X 表示取得不良品的件數 (Ｂ)甲乙丙丁 4 人同時猜拳，以「剪刀、石頭、 布」決定勝負，令 X 表示得勝的人數 (Ｃ)自一副撲克牌中隨機取出 4 張，令 X 表示其中 A 點的張數。 答案：(Ａ)(Ｃ) 解析：(Ａ) X 表示取得不良品的件數，則 X＝0，1，2，3，4 (Ｂ) X 表示得勝的人數，則 X＝0，1，2，3 (Ｃ) X 表示其中 A 點的張數，則 X＝0，1，2，3，4 故選(Ａ)(Ｃ)

(4)

9.

( )下列何者是隨機試驗？ (Ａ)投擲一顆公正的骰子 2 次，觀察 6 點出現的次數 (Ｂ)投擲一顆公正的骰子 3 次，觀察出現的點數和 (Ｃ)將一副 52 張的撲克牌隨機平分成 2 堆，觀察第一堆中大牌（A，K， Q，J）出現的張數 (Ｄ)將一副 52 張的撲克牌隨機平分成 2 堆，觀察第一堆中大牌（A，K，Q，J）出現的張數與第二堆中大牌出現的張數之和。答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ) 解析：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)無法事先確定，故為隨機試驗 (Ｄ)和必為 16，故不為隨機試驗故選(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)

10.

( )擲一公正骰子兩次，令隨機變數 X 表示「出現點數差的絕對值」，下列選項哪些是正確的？ (Ａ) P （X＝0）＝0 (Ｂ) P（X＝1）＝

18

5

(Ｃ) P（3≦X≦5）＝

3

1

(Ｄ) P（X＝1）與 P（X＝5）的值相等 (Ｅ) P（X＝0）與 P（X＝3）的值相等。【臺中一中】 答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：(Ａ)╳：P（X＝0）＝

36

6

＝

6

1

(Ｂ)○：P（X＝1）＝

36

10

＝

18

5

(Ｃ)○：P（3≦X≦5）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5） ＝

36

6

＋

36

4

＋

36

2

＝

3

1

(Ｄ)╳：P（X＝1）＝

18

5

，P（X＝5）＝

18

1

∴P（X＝1）≠P（X＝5） (Ｅ)○：P（X＝0）＝

6

1

，P（X＝3）＝

36

6

＝

6

1

∴P（X＝0）＝P（X＝3） 故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ)

(5)

三、填充題

1.

統計某籃球選手在平時訓練罰球時投進的次數，令隨機變數 X 表示投籃 10 次後進球的次數，其機率分 布表如下。今該籃球選手罰球 10 次，則： X pX 0 0 1 0 2 0.01 3 0.03 4 0.03 5 0.07 6 0.06 7 0.12 8 0.23 9 0.26 10 0.19 (１)該籃球選手投進大於或等於 7 球的機率為【】。 (２)該籃球選手投進不到 5 球的機率為【】。答案：(１) 0.8；(２) 0.07 解析：(１)所求為 0.12＋0.23＋0.26＋0.19＝0.8 (２)所求為 0.01＋0.03＋0.03＝0.07

2.

投擲一顆公正的骰子 2 次，令隨機變數 X 表示 6 點出現的次數，則： (１)隨機變數 X 的可能值為【】。 (２)隨機變數 X 的機率質量函數為【】。 答案：(１) 0，1，2；(２) P（X＝0）＝

36

25

，P（X＝1）＝

18

5

，P（X＝2）＝

36

1

解析：(１)投擲一顆公正的骰子 2 次的結果可能出現以下 36 種情形：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3 ），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5， 6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）  X 的可能值為 0，1，2 (２) P（X＝0）＝

36

25

，P（X＝1）＝

18

5

，P（X＝2）＝

36

1

(6)

3.

設函數 f（x）為 f（x）＝

1 1 2 3

2

4

0

x

a x











，＝，，

，＝

，其他值

，若 f（x）為一機率函數，則 a＝【】。【武陵高中 】答案：

8

1

解析：f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1 

2

1

＋ ₂

2

1

＋ ₃

2

1

＋a＝1  a＝

8

1

4.

隨機變數 X 的機率質量函數圖如圖，X 的取值是 1，2，3，4，5，試求 P（X≦2）＝【】。【 鳳山高中】答案：0.4 解析：如題圖，P（X≦2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝0.4

5.

臺灣的媽祖廟有擲筊求籤的習俗：每個筊有正反兩面（假設出現正反面的機率相等），手持兩個筊擲向地面，只有擲出聖筊（一正面一反面）才能求籤。否則就要繼續擲，直到出現聖筊為止，但以擲 3 次為限，若 3 次都沒有出現聖筊，就不能求籤。擲出聖筊後，要從 60 支「甲子靈籤」中隨機抽出一支籤詩，這 60 支籤當中，上籤、中籤、下籤的比例是 35％、35％、30％。今天張三到媽祖廟擲筊求籤。則他抽到上籤的機率為【】。【臺南女中】答案：

160

49

解析：擲出聖筊機率為

2

1

×

2

1

×2!＝

2

1

，可求籤機率為









_

_

_

_

第三次擲出聖筊第二次擲出聖筊第一次擲出聖筊

＋

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

















＝

8

7

∴抽到上籤機率為

8

7

×35％＝

160

49

(7)

Sec 1-2

一、單一選擇題

1.

( )有一箱子，內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲，從箱子中任取出一球。假設每一顆球被取出的機率都相同，若取出黑球可得獎金 50 元，而取出白球可得獎金 100 元，則下列哪一個選項是此遊戲的獎金期望值？ (Ａ) 70 元 (Ｂ) 75 元 (Ｃ) 80 元 (Ｄ) 85 元 (Ｅ) 90 元。答案：(Ａ) 解析：所求為

5

3

×50＋

5

2

×100＝70 故選(Ａ)

2.

( )袋中有大小相同的 1 到 4 號球各 1 顆，一次由袋中取兩球，其球號乘積的期望值為 (Ａ)

6

35

(Ｂ)

4

5

(Ｃ)

3

5

(Ｄ)

2

5

(Ｅ) 5。答案：(Ａ) 解析：依題意可知有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）等 6 種可能 所求為

6

1

×（2＋3＋4＋6＋8＋12）＝

6

35

故選(Ａ)

3.

( )一袋中有 100 元鈔票 5 張，500 元鈔票 3 張，1000 元鈔票 2 張，每張大小均相同，自其中任取兩張，其數學期望值為幾元？ (Ａ) 160 (Ｂ) 320 (Ｃ) 400 (Ｄ) 800 (Ｅ)

3 3200

。答案：(Ｄ) 解析：取一個的期望值為 100×

10

5

＋500×

10

3

＋1000×

10

2

＝400 所求為 2×













_

10

2 1000

10

3

500

10

5

100 ＋

＋

＝800 故選(Ｄ)

4.

( )單一選擇題測驗中，欲求公平，使完全不會而瞎猜的考生得分的期望值為 0，因此採用答錯倒扣之計分方式，題中有 4 個選項，其中只有 1 個是正確的選項，若答對得 4 分，答錯應倒扣幾分？ (Ａ)

3

4

(Ｂ)

4

5

(Ｃ) 1 (Ｄ)

3

2

(Ｅ)以上皆非。【高雄中學】答案：(Ａ) 解析：設答錯倒扣 x 分 ∴

4

1

×4＋

4

3

×（－x）＝0  x＝

3

4

故選(Ａ)

(8)

5.

( )有一箱子，內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲，從箱子中任取出一球。假設每一顆球被取出的機率都相同，若取出黑球可得獎金 50 元，而取出白球可得獎金 100 元，則下列哪一個選項是此遊戲的獎金期望值？ (Ａ) 70 元 (Ｂ) 75 元 (Ｃ) 80 元 (Ｄ) 85 元 (Ｅ) 90 元。答案：(Ａ) 解析：隨機變數 X 表示可得的獎金，則 X 的機率分布表如下： X 50 100 pX

5

3

5

2

得期望值 E（X）＝50×

5

3

＋100×

5

2

＝70（元），故選(Ａ)

二、多重選擇題

1.

( )某人站在數線的原點，投擲一顆公正的骰子多次。若每投擲出 1 或 2 點就朝負向移動 1 個單位長，投擲出其他點數就朝正向移動 1 單位長，那麼下列敘述何者正確？ (Ａ)投擲 5 次後，恰走到 2 的情形共有 10 種不同的過程 (Ｂ)投擲 5 次後，恰走到－1 的情形共有 10 種不同的過程 (Ｃ)投擲 2 次後，仍留在原點的機率為

9

2

(Ｄ)投擲 1 次骰子之位置的期望值為

3

1

(Ｅ)投擲 2 次骰子之位置的期望值為

3

2

。答案：(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：設擲出 1 或 2 點 a 次、擲出其他點數 b 次

(Ａ)╳：a＋b＝5 且－a＋b＝2  a、b 無整數解，故不可能恰走到 2

(Ｂ)○：a＋b＝5 且－a＋b＝－1  a＝3、b＝2

有

!

2 !

3 !

5 

＝10 種走法

(Ｃ)╳：a＋b＝2 且－a＋b＝0  a＝1、b＝1 機率為

6

2

4

2 



＋

＝

9

4

(Ｄ)○：所求為

3

2

×1＋

3

1

×（－1）＝

3

1

(Ｅ)○：所求為

3

1

×2＝

3

2

故選(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ)

(9)

2.

( )從 1 到 10 的自然數中任選一數（每個數被選到的機會均等），設隨機變數 X 為所選數字的正 因數個數，則下列哪些選項是正確的？ (Ａ) P（X＝1）＝

10

1

(Ｂ) P（X＝2）＝

10

1

(Ｃ) P（X ＝a）＝

10

3

，則 a＝3 (Ｄ) E（X）＝

10

27

(Ｅ) Var（X）＜1。【臺中一中】 答案：(Ａ)(Ｄ) 解析：1 的因數：1；2 的因數：1，2；3 的因數：1，3；4 的因數：1，2，4；5 的因數：1，5；6 的因數：1 ，2，3，6；7 的因數：1，7；8 的因數：1，2，4，8；9 的因數：1，3，9；10 的因數：1，2，5，10 由上述可知 (Ａ)○：P（X＝1）＝

10

1

(Ｂ)╳：P（X＝2）＝

10

4

＝

5

2

(Ｃ)╳：P（X＝a）＝

10

3

，a＝4 (Ｄ)○：E（X）＝

10

1

×1＋

10

4

×2＋

10

2

×3＋

10

3

×4＝

10

27

(Ｅ)╳：Var（X）＝ 2

10

27

1 











－

×

10

1

＋ 2

10

27

2 











－

×

10

4

＋ 2

10

27

3 











－

×

10

2

＋ 2

10

27

4 











－

×

10

3

＝

100

289

×

10

1

＋

100

49

×

10

4

＋

100

9

×

10

2

＋

100

169

×

10

3

＝

1000

1010

＞1 故選(Ａ)(Ｄ)

3.

( )已知隨機變數 X 滿足期望值 E（X）＝27，標準差σ（X）＝6，則下列何者正確？ (Ａ)期望 值 E













5

3 －

X

＝4 (Ｂ)期望值 E













5

3 －

X

＝9 (Ｃ)變異數 Var（X）＝

6

(Ｄ)變異數 Var













5

3 －

X

＝4 (Ｅ)變異數 Var













5

3 －

X

＝12。【新竹高中】答案：(Ａ)(Ｄ) 解析：E（X）＝27，σ（X）＝6 (Ａ)○：E













5

3 －

X

＝

3

1

E（X）－5＝9－5＝4 (Ｂ)╳：承(Ａ)，E













5

3 －

X

＝4 (Ｃ)╳：Var（X）＝（σ（X））2_＝36 (Ｄ)○：Var













5

3 －

X

＝ 2

3

1 











Var（X）＝

9

1

×36＝4 (Ｅ)╳：承(Ｄ)，Var













5

3 －

X

＝4 故選(Ａ)(Ｄ)

(10)

4.

( )有兩粒公正的特殊骰子：一粒為四面分別標示 1，2，3，4 的正四面體骰子 A，另一粒為六面分 別標示 1，2，3，4，5，6 的正六面體骰子 B。同時擲兩粒骰子，設隨機變數 X 為 A 出現的點數， 隨機變數 Y 為 B 出現的點數，下列何者正確？ (Ａ) E（2X＋1）＝6 (Ｂ) E（X 2_）＝

4

25

(Ｃ) Var（X）＝

4

5

(Ｄ) P（X＋Y＝3）＝

9

1

(Ｅ) E（X＋Y）＝6。【武陵高中】 答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○：E（2X＋1）＝2E（X）＋1，其中 E（X）＝

2

5

∴E（2X＋1）＝6 (Ｂ)╳：E（X 2_）＝

4

1

（1＋4＋9＋16）＝

2

15

(Ｃ)○：Var（X）＝

4

1 





























































2 2 2 2

2

3

2

1

2

1

2

3 ＋

＋

－

＋

－

＝

16

20

＝

4

5

(Ｄ)╳：P（X＋Y＝3）＝

24

2

＝

12

1

(Ｅ)○：E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝

2

5

＋

2

7

＝6 故選(Ａ)(Ｃ)(Ｅ)

5.

( )設 X 為一隨機變數，且 X 的期望值 E（X）＝3，變異數 Var（X）＝16，則下列何者正確？ ( Ａ) X 的標準差為 4 (Ｂ) E（2 X－3）＝3 (Ｃ) Var（2 X－3）＝32 (Ｄ) E（3X＋7）＝15 (Ｅ) Var（3X＋7）＝144。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○：標準差 Var（X）＝ 16 ＝4 (Ｂ)○：E（2 X－3）＝2E（X）－3＝2×3－3＝3 (Ｃ)╳：Var（2 X－3）＝22_{Var（X）＝4×16＝64} (Ｄ)╳：E（3X＋7）＝3E（X）＋7＝3×3＋7＝16 (Ｅ)○：Var（3X＋7）＝32_{Var（X）＝9×16＝144} 故選(Ａ)(Ｂ)(Ｅ)

(11)

三、填充題

1.

同時投擲三顆公正的骰子一次，當三顆同點數時可得 100 元，恰兩顆同點數時可得 50 元，三顆點數均相異時可得 30 元，試問投擲一次骰子所得期望值為【】元。答案：

18

725

解析：所求為 100× ₃ 6 1

6 C

＋50× ₃ 6 2 3 2

6 P

C



＋30× ₃ 6 3

6 P

＝

18

725

（元）

2.

設甲、乙、丙三人考上大學的機率分別為

5

3

、

4

3

、

3

1

，令隨機變數 X 表示考上大學的人數，試求： (１)隨機變數 X 的機率質量函數為【】。 (２)隨機變數 X 的機率分布表為【】。 (３)隨機變數 X 的期望值為【】。 (４)隨機變數 X 的變異數為【】。 (５)隨機變數 X 的標準差為【】。 答案：(１) P（X＝0）＝

15

1

，P（X＝1）＝

3

1

，P（X＝2）＝

20

9

，P（X＝3）＝

20

3

；(２)略；(３)

60

101

；( ４)

3600

2339

；(５)

60 2339

解析：(１)依題意可知考上大學的人數為 0、1、2、3 之機率依序為

5

2

×

4

1

×

3

2

＝

60

4

、

5

3

×

4

1

×

3

2

＋

5

2

×

4

3

×

3

2

＋

5

2

×

4

1

×

3

1

＝

60

20

、1－

60

4

－

60

20

－

60

9

＝

60

27

、

5

3

×

4

3

×

3

1

＝

60

9

 P（X＝0）＝

15

1

，P（X＝1）＝

3

1

，P（X＝2）＝

20

9

，P（X＝3）＝

20

3

(２)

_X

₀

₁

₂

₃

pX

15

1

3

1

20

9

20

3

(３) E（X）＝0×

15

1

＋1×

3

1

＋2×

20

9

＋3×

20

3

＝

60

101

(４) Var（X）＝ 2

60

101

0 











－

×

15

1

＋ 2

60

101

1 











－

×

3

1

＋ 2

60

101

2 











－

×

20

9

＋ 2

60

101

3 











－

×

20

3

＝

3600

2339

【另解】 Var（X）＝













_

20

3

20

9

2

3

1

15

1

0

2

＋

2

＋

2

＋

2 － 2

60

101 











＝

3600

2339

(５)σ＝

Var

（X

）

＝

60 2339

(12)

3.

甲、乙兩人比賽網球，每局甲勝的機率為

5

3

（無和局）。今約定先累積勝 3 局者可獨得獎金 10000 元，但第一局比完由乙獲勝後，因故無法繼續進行比賽。若依最後獲勝機率來分配獎金，則乙應得【】元。【高雄中學】答案：5248 解析：p＝







乙連勝兩場

5

2

5

2 _

＋







甲有勝一場

5

2

5

2

5

3

2 



_＋



 



 



甲有勝兩場

5

2

5

2

5

3

5

3

3 



_＝

625

328

故所求為

625

328

×10000＝5248（元）

4.

一袋中 5 紅球、4 白球，今從袋中任意取出兩球，若兩球皆為紅色，則可得 20 元，若兩球皆為白色，則 可得 10 元，設隨機變數 X 表示自袋中隨意取出兩球可得的金額，則隨機變數 X 的 (１)期望值為【】元。 (２)變異數為【】。 (３)標準差為【】元。答案：(１) 9 65 ；(２)

81 6125

；(３) 9 5 35 解析：隨機變數 X 的機率分布表如下： X 20 10 pX 9 2 5 2

C

＝

18

5

9 2 4 2

C

＝ 6 1 (１) X 的期望值 E（X）＝20×

18

5

＋10× 6 1 ＝ 9 65 （元） (２) X 的變異數 Var（X）＝E（X 2_{）－（E（X））}2_＝













_

6

1

10

18

5

20

2

＋

2 － 2

9

65 











＝

9 1150

－

81 4225

＝ 81 6125 (３) X 的標準差 Var（X）＝ 81 6125 ＝ 9 5 35 （元）

(13)

5.

在一盒箱子中，有 3 顆白球和 4 顆紅球。從箱子中隨機取球，一次一個且取後不放回，直到取得紅球就停止不取，求所取出球個數的期望值為【】個。【臺中一中】答案：

5

8

解析：依題意，先排列紅球將白球插入，有

5

1

的機率會放在第 1 顆紅球前故第一顆紅球前，白球個數期望值為

5

1

×3 ∴停止之期望球數＝第一個紅球 5 1 ×3＋ 1 ＝ 5 8

(14)

Sec 1-3

一、單一選擇題

1.

( )設 A，B 為互斥事件，若 P（A）＝0.5，P（A∪B）＝0.8，則 P（B）＝ (Ａ) 0.3 (Ｂ) 0.4 (Ｃ) 0.5 (Ｄ) 0.6 (Ｅ) 0.7。答案：(Ａ) 解析：依題意可知 0.8＝0.5＋P（B）－0  P（B）＝0.3 故選(Ａ)

2.

( )高三 5 班有 40 位同學，導師為了獎勵同學整潔比賽冠軍舉辦抽獎活動，已知 40 支籤中，有 10 支是有獎品的，其餘則沒中獎。試問下列敘述何者正確？ (Ａ)班長吵著要第一個抽，因為他覺得第一個抽的中獎機率最大 (Ｂ)班長排第一個，結果沒抽中，副班長很高興，因為她覺得她中獎的機率提高了 (Ｃ)班長第一個抽，結果沒中；副班長第二個抽，結果中獎，學藝股長覺得無所謂，因為她認為第一個沒中，第二個中，剛好抵消了，不影響她原來中獎的機率 (Ｄ)風紀股長認為前面的人抽獎的結果都不會影響她中獎的機會，所以自願最後一個抽 (Ｅ)上述四個事件為獨立事件，即中獎的結果互不影響。答案：(Ｂ) 解析：(Ａ)╳：中獎機率與次序無關，皆為

40

10

＝

4

1

(Ｂ)○：此時中獎機率為

39

10

(Ｃ)╳：此時中獎機率為

38

9

(Ｄ)╳：由(Ｂ)(Ｃ)可知會影響中獎機率 (Ｅ)╳：會互相影響故選(Ｂ)

3.

( )取兩顆公正骰子連續投擲三次，每次出現的點數和大於或等於 8 之機率為何？ (Ａ)

729

8

( Ｂ)

729

64

(Ｃ)

1728

125

(Ｄ)

2637

380

。答案：(Ｃ) 解析：兩顆骰子點數和大於或等於 8 的機率為 ₂

6

1

2

3

4

5 ＋

＋

＝

12

5

所求為 3

12

5 











＝

1728

125

故選(Ｃ)

(15)

4.

( )某公司對於 180 個顧客所做的市場調查中得知，對於某商品的滿意人數如下表。已知對於該商 品的滿意度與顧客的性別為獨立事件，且 x＞y，則數對（x，y）＝？ 滿意不滿意男性 60 x 女性 y 32 (Ａ)（256，15） (Ｂ)（128，45） (Ｃ)（48，40） (Ｄ)（96，40） (Ｅ)（36，32）。【師大附中】答案：(Ｃ) 解析：依題意 ① x＋y＋60＋32＝180 ② P（滿意｜男性）＝P（滿意｜女性） 

x

＋

60

＝

32 ＋

y

∴x＋y＝88 且（60＋x）y＝60（y＋32） （60＋88－y）y＝60（y＋32）  y2_{－88y＋1920＝0}  y＝40 或 48







48

40 ＝

＝

x

y

或







40

48 ＝

＝

x

y

，但 x＞y ∴數對（x，y）＝（48，40） 故選(Ｃ)

5.

( )甲、乙兩人同打一靶，各打一發，設甲、乙兩人命中率各為

3

1

、

4

1

，並設兩人打靶互不影響，若靶面恰中一發，則是由甲命中的機率為 (Ａ)

5

3

(Ｂ)

5

2

(Ｃ)

5

1

(Ｄ)

6

1

(Ｅ)

4

1

。答案：(Ａ) 解析：所求為 4 1 3 2 4 3 3 1 4 3 3 1    ＋＝

5

3

故選(Ａ)

(16)

二、多重選擇題

1.

( )下列敘述何者正確？ (Ａ)設 A，B 為獨立事件，則 A，B' 也是獨立事件，因此當 P（A∩B） ＝P（A）P（B）時，P（A∩B'）＝P（A）P（B'） (Ｂ)設 A，B 為獨立事件，且 B，C 也是獨立 事件，則 A，C 也是獨立事件 (Ｃ)設 A，B 為兩事件且 P（A∩B）＝0，則 A，B 為獨立事件 (Ｄ )從 1 到 10 的正整數中，任取一數，以 A 表示取得的數為 4 的倍數的事件，B 表示取得的數為 3 的 倍數的事件，則 A，B 為獨立事件 (Ｅ)甲、乙兩人投籃的命中率分別為 0.6、0.5，設投籃時命中與 否是獨立事件，則甲連續投兩球，至少進一球的機率大於乙投兩球至少進一球的機率。答案：(Ａ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○：顯然正確 (Ｂ)╳：設樣本空間 S＝｛1，2，3，4，5，6｝，A＝｛1，2｝，B＝｛2，3，4｝，C｛1，4｝，則 P（A∩B）＝

6

1

＝P（A）P（B），P（B∩C）＝

6

1

＝P（B）P（C），但 P（A∩C）＝

6

1

，P（A）P（C）＝

3

1

×

3

1

， ∵P（A∩C）≠P（A）P（C）， 故 A，C 不是獨立事件 (Ｃ)╳：A，B 應為互斥事件 (Ｄ)╳：設樣本空間 S＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝，A＝｛4，8｝，B＝｛3，6，9｝，則 P（A∩B）＝0≠P（A）P（B），故 A，B 不是獨立事件 (Ｅ)○：甲投兩球至少進一球的機率為 1－（0.4）2_＝0.84 乙投兩球至少進一球的機率為 1－（0.5）2_＝0.75 故甲至少進一球的機率大於乙至少進一球的機率故選(Ａ)(Ｅ)

2.

( )設 A 與 B 為獨立事件且 P（A）＝

6

5

，P（A∩B）＝

3

1

，則下列何者正確？ (Ａ) P（B）＝

18

5

(Ｂ) P（B）＝

5

2

(Ｃ) P（A∪B）＝

10

9

(Ｄ) P（A'｜B）＝

6

5

(Ｅ) P（B'｜A）＝

5

3

。【臺南二中】答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：(Ａ)╳：A，B 為獨立 P（B）＝P（B｜A）＝

）

（

）

（

A

P

B

A

P



＝ 6 5 3 1 ＝

5

2

(Ｂ)○ (Ｃ)○：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B） ＝

6

5

＋

5

2

－

3

1

＝

10

9

(Ｄ)╳：A，B 為獨立 P（A'｜B）＝P（A'）＝1－P（A）＝1－

6

5

＝

6

1

(Ｅ)○：A，B 為獨立 P（B'｜A）＝P（B'）＝1－P（B）＝1－

5

2

＝

5

3

故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ)

(17)

3.

( )甲、乙、丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲，每一局三人各擲銅板 1 次；在某局中，當有一人投擲結果與其他兩人不同時，此人就出局且遊戲終止；否則就進入下一局，並依前述規則繼續進行，直到有人出局為止。試問下列哪些選項是正確的？ (Ａ)第一局甲就出局的機率是

3

1

(Ｂ)第一局就有人出局的機率是

2

1

(Ｃ)第三局才有人出局的機率是

64

3

(Ｄ)已知到第十局才有人出局，則甲出局的機率是

3

1

(Ｅ)該遊戲在終止前，至少玩了六局的機率大於

1000

1

。答案：(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ)╳：所求為 ₃ 2

2

1

2 

＝

4

1

(Ｂ)╳：所求為 1－ ₃

2

＝

4

3

(Ｃ)○：所求為

4

1

×

4

1

×

4

3

＝

64

3

(Ｄ)○：所求為

4

3

4

1

4

1

4

1

9 9





























＝

3

1

(Ｅ)╳：所求為 5

4

1 











＝

1024

1

＜

1000

1

故選(Ｃ)(Ｄ)

4.

( )設 A，B 為獨立事件，P（A）＝

2

1

，P（A∪B）＝

3

2

，則下列何者為真？ (Ａ) P（B）＝

3

1

(Ｂ) P（A∩B）＝

4

1

(Ｃ) P（B'│A'）＝

3

2

(Ｄ) P（A'∪B'）＝

6

5

(Ｅ) P（B'│A∪B）＝

2

1

答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B） 

3

2

＝

2

1

＋P（B）－

2

1

P（B） ∴P（B）＝

3

1

(Ｂ)╳：P（A∩B）＝

6

1

(Ｃ)○：P（B'│A'）＝P（B'）＝

3

2

(Ｄ)○：P（A'∪B'）＝P（A'）＋P（B'）－P（A'∩ B'） ＝

2

1

＋

3

2

－











 

3

2

1

＝

6

5

(Ｅ)○：P（B'│A∪B）＝

）

（

））

（

B

A

P

B

A

B

P







＝

3

2 ）

（

）－

（

A

P

A

B

P



＝ 3 2 6 1 2 1 －＝

2

1

故選(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ)

(18)

5.

( )甲、乙、丙三人同射一靶，每人各射一發，已知三人的命中率分別為 0.4、0.3、0.2，且三人命中靶面的事件均為獨立事件，下列敘述哪些是正確的？ (Ａ)三人同時命中靶面的機率為 0.4×0.3 ×0.2 (Ｂ)恰一人命中靶面的機率為 0.4＋0.3＋0.2 (Ｃ)恰兩人命中靶面的機率為 0.4×0.3＋0.3×0.2 ＋0.2×0.4 (Ｄ)三人均未命中靶面的機率為（1－0.4）（1－0.3）（1－0.2） (Ｅ)靶面至少中一發的機率為 1－（1－0.4）（1－0.3）（1－0.2）。【新竹高中】答案：(Ａ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○：因三人命中靶面為獨立事件，故同時命中的機率為 0.4×0.3×0.2 (Ｂ)╳：恰一人命中的機率為 0.4×0.7×0.8＋0.6×0.3×0.8＋0.6×0.7×0.2＝0.452≠0.4＋0.3＋0.2 (Ｃ)╳：恰兩人命中的機率為 0.4×0.3×0.8＋0.4×0.7×0.2＋0.6×0.3×0.2 (Ｄ)○：三人均未命中靶面的機率為（1－0.4）×（1－0.3）×（1－0.2） (Ｅ)○：P（至少中一發）＝1－P（全沒中）＝1－（1－0.4）（1－0.3）（1－0.2） 故選(Ａ)(Ｄ)(Ｅ)

三、填充題

1.

設 A，B，C 為三個獨立事件，P（A）＝

3

1

，P（A∩B'∩C）＝

20

1

，P（A∩B'∩C'）＝

10

1

，P（B）＞P （C），則 P（B）＝【】，P（C）＝【】。 答案：

20

11

；

3

1

解析：設 P（B）＝y，P（C）＝z，其中 y＞z 













10

1

3

1

20

1

3

1 ）＝

－

（

）

－

（

）＝

（

＝

）

－

（

）＝

（

z

y

C

B

A

P

z

y

C

B

A

P





z

－

1

＝

2

1

 z＝

3

1

 1－y＝

20

9

 y＝

20

11

2.

小毅今年欲申請 A、B、C 三所大學，其申請成功的機率分別為 0.2、0.3、0.4 且互不影響，則今年小毅 能順利申請到大學的機率為【】。【新竹高中】答案：0.664 解析：P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（A∩B）－P（B∩C）－P（C∩A）＋P（A∩B∩C） ＝0.2＋0.3＋0.4－0.2×0.3－0.3×0.4－0.4×0.2＋0.2×0.3×0.4 ＝0.664 【另解】1－0.8×0.7×0.6＝0.664

(19)

3.

某校數學教師針對高三學生隨機選出 30 名男學生及 20 名女學生，做新教材適應性的調查，每一位學生都要填答，且只能填答適應或不適應。結果有 35 名學生填答無法適應新教材內容。假設學生性別與適應狀況獨立，請完成下列表格，使其最能符合上述假設。適應狀況性別適應不適應（35 人）男生（30 人）【①】人【②】人女生（20 人）【③】人【④】人答案：9；21；6；14 解析：如表適應狀況性別適應（15 人）不適應（35 人）男生（30 人） x 人 （30－x）人 女生（20 人） y 人 （20－y）人 由題意知 x＋y＝15 ∵學生性別與適應狀況獨立 ∴P（學生適應）＝P（適應∣男生）＝P（適應∣女生） 

50

15

＝

30 x

＝

20 y

∴x＝9，y＝6  30－x＝21，20－y＝14

4.

有一射手平均 5 發可命中 3 發，則： (１)射擊 2 發皆不中之機率為【】。 (２)若欲使該射手最少命中 1 發之機率大於 0.999 時，至少要射擊【】發。（log2  0.3010）答案：(１)

25

4

；(２) 8 解析：(１)所求為

5

2

×

5

2

＝

25

4

(２)設至少要射擊 n 發 依題意可知 1－ n













5

2

＞

1000

999



1000

1

＞ n













5

2

 log

1000

1

＞log n













5

2

－3＞n（log2－log5）  n＞

5 log

2 log

3 －

－

＝

1

2 log

2

3 －

－

＝

1

301 .

0

2

3 －

－



 7.54  n 取 8

(20)

5.

電器圖上電流圖如圖所示，A、B、C、D 四開關之電流流通率依次為

2

1

、

5

3

、

10

3

、

5

2

，且彼此無關，試 求電流自 L 至 R 之通電率為【】。 答案：

125

18

解析：所求為 P（上通∪下通） ＝P（上通）＋P（下通）－P（上通∩下通） ＝

2

1

×

5

3

×

5

2

＋

2

1

×

10

3

×

5

2

－

2

1

×

5

3

×

10

3

×

5

2

＝

2

1

×

5

2

×













_

10

3

5

3

10

3

5

3 －

＋

＝

125

18

(21)

Sec 1-4

一、單一選擇題

1.

( )甲、乙兩隊比賽，平均甲隊五場勝兩場，今甲、乙兩隊比賽五場，甲隊恰勝三場之機率應 ( Ａ)等於

5

3

(Ｂ)等於 3

5

3 











(Ｃ)大於

5

3

(Ｄ)小於

5

3

(Ｅ)小於 3

5

3 











。答案：(Ｄ) 解析：甲恰勝三場之機率為 5 3

C

3

5

2 











2

5

3 











＜

5

3

故選(Ｄ)

2.

( )芳如參加圍棋比賽，每場比賽得勝機率為

3

1

，失敗機率為

3

2

，今參加五場比賽，規定勝一場獎金 1000 元，敗一場罰款 400 元，則芳如總共至少贏得 3000 元的機率為 (Ａ)

243

1

(Ｂ)

243

10

( Ｃ)

243

11

(Ｄ)

243

40

(Ｅ)

243

51

。【明倫高中】答案：(Ｃ) 解析：至少贏得 3000 元的可能有 5 勝、4 勝 5 勝： 5

3

1 











＝

243

1

4 勝：

！

4

5

4

3

1 











×

3

2

＝

243

10

∴所求機率為

243

1

＋

243

10

＝

243

11

故選(Ｃ)

3.

( )一個骰子連擲 50 次，么點的次數出現 r 次的機率為 Pr，當 Pr 為最大時，則其 r 的值為何？ ( Ａ) 7 (Ｂ) 8 (Ｃ) 9 (Ｄ) 10 (Ｅ)以上皆非。【臺中一中】答案：(Ｂ) 解析：Pr＝ 50 r C r













6

1

50－r

6

5 











， 1 ＋ r r

P

＝ ₁ ₅₀ ₁ 50 1 50 50

6

5

6

1

6

5

6

1

－－＋＋－ r r r r r r

C

















































＝

r

－

＋

50

5

當 0≦r≦7， 1 ＋ r r

P

＜1  Pr＜Pr＋1，即 P0＜P1＜P2＜……＜P7＜P8 當 8≦r≦50， 1 ＋ r r

P

＞1  Pr＞Pr＋1，即 P8＞P9＞……＞P49＞P50 ∴P8 為最大值故選(Ｂ)

(22)

4.

( )設 p1 表示丟 2 枚均勻硬幣時，恰好出現 1 個正面的機率；p2 表示擲 2 顆公正骰子時，恰好出現 1 個偶數點的機率；p3 表示丟 4 枚均勻硬幣時，恰好出現 2 個正面的機率。試問下列選項何者正確 ？ (Ａ) p1＝p2＝p3 (Ｂ) p1＝p2＞p3 (Ｃ) p1＝p3＜p2 (Ｄ) p1＝p3＞p2 (Ｅ) p3＞p2＞p1。答案：(Ｂ) 解析：p1＝ 2 1 C













2

1 











2

1

＝

2

1

p2＝C₁2













6

3 











6

3

＝

2

1

p3＝ 4 2 C 2

2

1 











2

1 











＝

16

6

＝

8

3

 p1＝p2＞p3 故選(Ｂ)

5.

( )某公司促銷活動辦法：每位顧客從裝有 4 顆白球、1 顆紅球的箱子中抽一球（每球被取到的機率均等，且取後放回），抽到紅球的顧客可以得到福袋。設當天有 1600 位顧客，試問得到福袋的人數期望值為何？ (Ａ) 16 (Ｂ) 256 (Ｃ) 320 (Ｄ) 400 (Ｅ) 1280。【板橋高中】答案：(Ｃ) 解析：p＝

5

1

，E（X）＝np＝1600×

5

1

＝320 故選(Ｃ)

(23)

二、多重選擇題

1.

( )羿彣每天走同一條路上學，共需經過 5 個紅綠燈，已知 5 個紅綠燈是互相獨立運作的，且羿彣每個路口碰到紅燈的機率是

3

1

，則下列選項哪些是正確的？ (Ａ)羿彣上學都沒遇到紅燈的機率為 1－ 5

3

1 











_＝

243

242

(Ｂ)羿彣至少碰到 4 個紅燈的機率為

243

11

(Ｃ)羿彣至少碰到 1 個紅燈的機率為

243

211

(Ｄ)羿彣每天上學時，平均會遇到 2.5 個紅燈 (Ｅ)羿彣上學每個路口都遇到紅燈的機率為 1 － 5

3

1 











＝

243

242

。【明倫高中】答案：(Ｂ)(Ｃ) 解析：(Ａ)╳： 5

3

2 











(Ｂ)○：

！

4

5

4

3

1 











_











3

2

＋ 5

3

1 











＝

243

10

＋

243

1

＝

243

11

(Ｃ)○：1－ 5

3

2 











＝

243

211

(Ｄ)╳：

3

5

(Ｅ)╳： 5

3

1 











故選(Ｂ)(Ｃ)

(24)

2.

( )已知一枚不均勻的硬幣出現正面的機率為 p。今重複丟擲此硬幣 5 次，令 Pk 表示出現 k 次正面 的機率。若 P0＝ 5

5

3 











，則下列敘述哪些正確？ (Ａ) p＝

5

3

(Ｂ) P1＜P2 (Ｃ)

1

5 0



＝

k k

P

(Ｄ)至少出現 4 次正面的機率小於 0.2。【臺中女中】答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：依題意可知，Pk＝ 5 k

C

pk_（1－p）5－k_{，其中 p 為出現正面之機率} (Ａ)╳：P0＝ 5

5

3 











＝ 5 0

C

p0_（1－p）5 5

5

3 











＝（1－p）5 p＝

5

2

(Ｂ)○：P1＝ 5 1 C × 1

5

2 











× 4

5

3 











＝ ₅

5

810

P2＝C₂5× 2

5

2 











× 3

5

3 











＝ ₅

5 1080

故 P1＜P2 (Ｃ)○：



5 0 ＝ k k

P

＝P0＋P1＋P2＋……＋P5，機率和為 1 (Ｄ)○：P4＋P5＝ 5 4 C × 4

5

2 











× 1

5

3 











＋ 5 5

C

× 5

5

2 











＝ ₅

5

32 240＋

＝ ₅

5

272

 0.087＜0.2 故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

(25)

3.

( )連續投擲一枚均勻硬幣 4 次，以隨機變數 X 表示硬幣出現正面的次數，令 E（X）＝μ為 X 的 期望值，

Var

（X

）

＝σ為 X 的標準差，則下列敘述哪些是正確的？ (Ａ) P（X＝2）＝

16

3

(Ｂ ) P（X≧2）＝

16

11

(Ｃ) X 的期望值 E（X）＝μ＝2 (Ｄ) X 的標準差

Var

（X

）

＝σ＝1 (Ｅ) P （μ－σ≦X≦μ＋σ）＝

8

7

。答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)╳：P（X＝2）＝ 2 2 4 2

2

1

2

1 























C

＝

16

6

＝

8

3

(Ｂ)○：P（X≧2） ＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4） ＝

16

6

＋

























2

1

2

1

3 4 3

C

＋ 4 4 4

2

1 











C

＝

16

11

(Ｃ)○：E（X）＝μ＝np＝4×

2

1

＝2 (Ｄ)○：

Var

（X

）

＝σ＝ np 1（－p）＝ 2 1 2 1 4  ＝1 (Ｅ)○：P（μ－σ≦X≦μ＋σ） ＝P（2－1≦X≦2＋1） ＝P（1≦X≦3） ＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3） ＝ 3 1 4 1

2

1

2

1 























C

＋

16

6

＋

16

4

＝

16

14

＝

8

7

故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ)

(26)

4.

( )設投擲一枚不均勻的銅板，出現正面的機率為

3

2

，出現反面的機率為

3

1

。令 Pk 表示擲 10 次中 恰好出現 k 次正面的機率，Qk 表示擲 10 次中恰好出現 k 次反面的機率，則： (Ａ) P8＝5 8

3

2 











₍ Ｂ) P4＞Q6 (Ｃ) P5＝Q5 (Ｄ) P10＝

3

2

(Ｅ) P6＞P7。答案：(Ａ)(Ｃ) 解析：(Ａ)○：P8＝ 10 8

C

8

3

2 











2

3

1 











_＝5 8

3

2 











(Ｂ)╳：P4＝Q6 (Ｃ)○：P5＝Q5 (Ｄ)╳：P10＝ 10 10

C

10

3

2 











＝ 10

3

2 











(Ｅ)╳：P6＝ 10 6

C

6

3

2 











4

3

1 











＝

4

3

2

1

7

8

9

10 



× 6

3

2 











× 4

3

1 











P7＝ 10 7

C

7

3

2 











3

1 











＝

3

2

1

8

9

10 



× 7

3

2 











× 3

3

1 











 7 6

P

＝ 3 2 4 3 1 7   ＝

8

7

＜1  P6＜P7 故選(Ａ)(Ｃ)

5.

( )隨機變數 X 是一個參數為（20，0.2）的二項分布（即重複操作成功機率為 0.2 的白努利試驗 20 次，20 次中成功的次數為 X）。則下列敘述哪些為正確？ (Ａ) X 的期望值μ為 4 (Ｂ) X 的標準 差σ大於 2 (Ｃ) Var（－5X）＝16 (Ｄ) P（X＝2）＞P（X＝18） (Ｅ) P（X＝2）＞P（X＝3） 。【臺南女中】答案：(Ａ)(Ｄ) 解析：(Ａ)○：μ＝E（X）＝np＝20×0.2＝4 (Ｂ)╳：σ＝

Var

（X

）

＝ np 1（－p）＝ 200.20.8＝ 3.2＜2 (Ｃ)╳：Var（－5X）＝（－5）2_Var（X）＝25×3.2＝80 (Ｄ)○：P（X＝2）＝ 20 2 C （0.2）2_（0.8）18 P（X＝18）＝

C

1820（0.2） 18_（0.8）2 比較可知 P（X＝2）＞P（X＝18） (Ｅ)╳：P（X＝3）＝ 20 3

C

（0.2）3_（0.8）17 

）

＝

（

）

＝

（

3

2 X

P

X

P

＝ ₂₀ ₃ ₁₇ 3 18 2 20 2

8 .

0

2 .

0

8 .

0

2 .

0 ）

（

）

（

）

（

）

（

C

＝

2 .

0 1140

8 .

0

190 



＜1  P（X＝2）＜P（X＝3）故選(Ａ)(Ｄ)

(27)

三、填充題

1.

同時擲 2 顆公正的骰子 30 次，以 X 表示至少有一顆骰子出現 6 點的次數，則： (１) X 的期望值為【】次。 (２) X 的標準差為【】次。【北一女中】 答案：(１)

6

55

；(２)

36

330

5

解析：每次擲 2 顆公正骰子時，沒有出現 6 點的機率為 2

6

5 











＝

36

25

則至少出現一次 6 點的機率為 1－

36

25

＝

36

11

由題意可知 X 的機率分布為二項分布 B













36

11 30，

，則： (１) E（X）＝30×

36

11

＝

6

55

(２)

Var

（X

）

＝ 36 25 36 11 30  ＝

36

330

5

2.

無尾熊媽媽每天讓小無尾熊練習爬大樹，依過去經驗得知小無尾熊平均每 2 次練習中有 1 次會成功爬上大樹頂端，若小無尾熊在一次練習中成功爬上大樹頂端則晚餐多加 10 片尤加利葉；若小無尾熊在一次練習的過程中從大樹上掉下來，則晚餐扣 4 片尤加利葉，若今天小無尾熊練習爬大樹 10 次，試問今晚小無尾熊的晚餐至少可以多增加 30 片尤加利葉的機率為【】。【武陵高中】答案：

512

319

解析：成功，失敗 10，0 9，1 8，2 機率

C

1010 10

2

1 











10 9

C

10

2

1 











10 8

C

10

2

1 











成功，失敗 7，3 6，4 5，5 機率

C

710 10

2

1 











10 6

C

10

2

1 











10 5

C

10

2

1 











所求為（ 10 10

C

＋ 10 9

C

＋ 10 8

C

＋ 10 7

C

＋ 10 6

C

＋ 10 5

C

）× 10

2

1 











＝638× 10

2

1 











＝

512

319

3.

投擲 10 個均勻之硬幣，恰出現四個正面，六個反面之機率為【】。答案：

512

105

解析：所求為 10 4

C

6 4

2

1

2

1 























＝

512

105

(28)

4.

袋中有白球 3 個，紅球 5 個，球大小一致且被取出的機會均等，連續自袋中取球 5 次，每次取一球，放回後再取，求取得紅球次數的期望值為【】。答案：

8

25

解析：此為 n＝5，p＝

8

5

的二項分布 ∴E（X）＝5× 8 5 ＝ 8 25

5.

有一小鋼珠從圖之入口 Q 落下，若在分叉點滾左或滾右之機率相等，則小鋼珠由出口 A、B、C、D、E 滾出之機率分別為 pA＝【】、pB＝【】、pC＝【】、pD＝【】、pE ＝【】。答案：

8

1

；

16

9

；

8

1

；

32

5

；

32

1

解析：如圖所示

(29)

Sec 1-5

一、單一選擇題

1.

( )某人想了解某地區擁有手機的人的比率有多少，他想要信心水準為 95％，而抽樣誤差在 0.03 之內，請問他至少需要調查多少人？ (Ａ) 900 人 (Ｂ) 1068 人 (Ｃ) 1112 人 (Ｄ) 1222 人 ( Ｅ) 2500 人。【師大附中】答案：(Ｃ) 解析：在 95％信心水準下，抽樣誤差 e＝2 n p pˆ（1－ˆ）＝2

n

p

ˆ

2

＋

ˆ

－

＝2

n

p

4

1

2

1 ˆ

2

＋

－













≦2

n

4

1

＝

n

1

若抽樣誤差在 0.03 內，則

n

1

≦0.03  n≧ 2

03 .

0

1

 1111.11  n≧1112 故選(Ｃ)

2.

( )若某校 1000 位學生期中考數學成績的平均數是 60 分，標準差 10 分，且成績呈常態分布，則成績介於 50～80 分的人數約有多少人？ (Ａ)約 475 人 (Ｂ)約 680 人 (Ｃ)約 750 人 (Ｄ)約 815 人 (Ｅ)約 950 人。答案：(Ｄ) 解析：













2

68

2

95 ％

＋

％

×1000＝815（人）故選(Ｄ)

3.

( )當信賴區間變短時，則下列何者正確？ (Ａ)信心水準變大 (Ｂ)信心水準變小 (Ｃ)信心水準不變 (Ｄ)無法判斷。答案：(Ｂ) 解析：信賴區間變短，表示實際值會落在信賴區間範圍內的機率會變小，故信心水準會變小故選(Ｂ)

(30)

4.

( )張三所就讀的高中有 200 位學生，學生的體重分布呈常態，平均體重是 50 公斤，體重的標準差為 5 公斤，張三的體重為 65 公斤，請問張三體重在全校學生中的排名（體重最重的為第 1 名，次重者為第 2 名，依此類推）大約在哪一區間？ (Ａ) 1～10 (Ｂ) 11～20 (Ｃ) 21～32 (Ｄ) 33～ 64 (Ｅ) 65～80。答案：(Ａ) 解析：65＝50＋3×5＝μ＋3σ，故張三體重在全校學生中的排名約為 200×

2

7 .

99

1 －

％

＝0.3  1 故選(Ａ)

5.

( )某地區市長選舉，有甲和乙兩位候選人，選前民調抽樣，結果樣本不是支持甲就是支持乙，若 在 95％信心水準下，甲支持率的信賴區間為[ a，b ]，則在相同信心水準下，乙支持率的信賴區間為 (Ａ)[ a，b ] (Ｂ)[ b，a ] (Ｃ)

_



_



2

1

2

1 a

＋

b

，

＋

(Ｄ)[ 1－a，1－b ] (Ｅ)[ 1－b，1－a ]。【師大 附中】答案：(Ｅ) 解析：甲信賴區間[ a，b ]＝

_











n

p

n

p

ˆ

－

2 ˆ

（

1 －

ˆ

）

，

ˆ

＋

2 ˆ

（

1 －

ˆ

）

乙信賴區間

_











n

p

n

p

ˆ

2

1 ˆ

ˆ

1 ˆ

2

1 ˆ

ˆ

1 －

）－

（

－

）

，

（

－

）＋

（

－

）

（

＝[ 1－b，1－a ] 故選(Ｅ)

(31)

二、多重選擇題

1.

( )請選出正確的選項： (Ａ)隨機亂數表的任一列中，0 到 9 各數字出現的次數皆相同 (Ｂ)擲一枚均勻的銅板 10 次，若前 5 次出現 3 次正面與 2 次反面，則後 5 次必定出現 2 次正面與 3 次反面 (Ｃ)投擲一枚均勻的銅板 2 次，在正面至少出現 1 次的條件下，2 次都出現正面的條件機率等於

3

1

(Ｄ)投擲 6 顆公正的骰子，1、2、3、4、5、6 點都出現的機率小於

6

1

(Ｅ)從一副 52 張的撲克牌（紅黑各有 26 張）中，隨機抽取相異的兩張，這兩張牌都是紅色的機率為

4

1

。答案：(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ)╳：因亂數表的數字是隨機產生，故出現次數不一定相同 (Ｂ)╳：後 5 次是隨機的，未必是 2 正面 3 反面 (Ｃ)○：P（2 正∣至少 1 正）＝

高三下(社)第一次期中考數學題庫(50)

Sec 1-1

一、 單一選擇題

1.

5

1

28

7

4

1

28

6

14

3

28

5

28

4

7

1

28

3

28

2

14

1

28

1

5

1

2.

10

1

50

9

50

8

50

7

50

6

50

5

50

4

50

3

50

2

50

1

3.

4.

5

1

28

7

28

6

28

5

28

4

28

3

28

2

28

1

5

1

5

1

5.

5

1

5

1

5

2

一、單一選擇題

二、多重選擇題

三、填充題