國小數學科試題編製及其分析研究-以小數乘法單元為例-
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(2) 計算」領域有關乘法計算的學習是主要的課程重點之一，從二年級下學期開始接 觸乘法概念一直到五年級上學期進入到小數的乘法，對於乘法真正的用意及使用 時機仍有著模糊的概念，大部份學童在乘法學習初期使用連加法來解決乘法的問 題，待九九乘法表教學後，雖增進了學童解決乘法問題的速度，但一味的只是機 械式的背誦九九乘法表來求出答案，並無法解決生活中有關乘法的問題，尤其是 小數的乘法，學童更難以用「幾的幾倍」來解決乘法問題，所以，從「小數乘法」 教學中，去找出學童學習乘法問題的癥結，是目前乘法教學一個重要問題。 故本研究想藉試題分析方法，分析試卷內容，進而做試題修正參考，並利用 試題選項特徵曲線，分析學生作答情形，再由試題關聯結構圖中瞭解試題間之關 聯結構及學生對學習概念之認知。. 第二節. 研究目的. 根據上述之研究動機，本研究旨在以現代測驗理論為基礎，配合 TestGraf98 軟體，將學生作答情形分類為四種錯誤類型，加上正確作答共五種選項，依此繪 出此測驗各試題之試題選項特徵曲線，進而由此試題選項特徵曲線分析試題內容 及學生學習之迷思概念，藉以提昇試題編製之品質及數學教學之成效。最後並由 次序理論結構分析法分析試題關聯結構，以瞭解試題與試題之間的關聯性。具體 而言，本研究之目的有以下三點： 一、整份測驗的試卷分析與試題分析特性之探討。 二、藉由 Testgraf98 軟體，繪製各試題選項特徵曲線，據此分析試題作答情形， 以瞭解學童在此單元之迷思概念。 三、利用次序理論結構分析法，配合 OT 繪圖軟體(林原宏、黃國榮, 2005)繪製 試題關聯結構圖，據此分析試題間之關聯結構。. 2.
(3) 第三節. 待答問題. 壹、此測驗的信度為何？ 貳、此測驗的效度為何？ 參、此測驗的難易度為何？ 肆、此測驗的鑑別度為何？ 伍、學生作答情形為何？ 陸、試題之關聯結構圖為何？ 柒、由此測驗分析國小高年級學童在「小數的乘法」的迷思概念為何？. 第四節. 名詞釋義. 以下對本研究所使用的名詞，分別說明其定義： 壹、小數 本研究所謂的小數只以一、二位的純小數與帶小數為研究範圍，並且只限於 有理數的範圍內。對於三位以上的小數、循環小數或無理數則不包括在內。 貳、國小高年級學童 本研究施測時間為九十五學年度第二學期，施測對象為國小高年級五年級的 學生，基於地緣的關係，以台中縣某公立小學的高年級學生為受試者。 參、點二系列相關試題鑑別指數 點二系列相關鑑別指數(Point-biserial correlation item discrimination index)簡記為 R，這種方法適用於試題的選項為二分名義變數(dichotomy nominal variable)，如正確選答則指示值為 1，否則以 0 表示；而效標是屬於等距(interval) 或比率變數(ratio variable)，如 0 分到 100 分不等的情況，計算公式如下：. 3.
(4) R=. X j − Xt St. p q. 其中 S t ：全體受試者在效標得分之標準差 X j ：第 j 題第 m 選項選項選答 1 的受試者在效標上的平均得分. X t ：全體受試者在效標上的平均得分. p ：第 j 題第 m 選項選項選答 1 的受試者在佔全體受試者之百分比 q ：第 j 題第 m 選項選項選答 0 的受試者在佔全體受試者之百分比. ，即 1 − Pjm 。. 第五節. 研究限制. 本研究以國小數學科小數的乘法單元為例編製試題，並利用試題分析法，探 究試題之關聯結構及學童對小數乘法之迷思概念。茲將研究限制以研究工具、研 究對象與教材內容分別說明如下： 壹、研究工具 本研究僅以紙筆測驗的結果，利用試題關聯結構分析試題之關聯結構，及試 題選項特徵曲線分析學童作答之錯誤類型情形，因時間關係，無法進一步做多元 評量如晤談觀察等；且可再配合試題反應理論(IRT)作更深入的分析與探討，以 更加深入的瞭解學童解題思考的過程與知識結構，對學童小數乘法概念有更周延 的瞭解。 貳、研究對象 本研究旨在透過編製紙筆測驗結果分析學童對小數乘法之迷思概念及知識 結構，限於研究人力、經費與時間因素，僅以台中縣某所採用南一版之學校，採 4.
(5) 樣五年級男女學童 302 名為研究對象，選取樣本有其地域性限制，雖可代表多數 常態學生，但推論的結果仍不宜過度解釋，亦無法將分析的結果做為普遍性的類 推，是故，對於其它地區之學童是否有無差異，不在本研究之範圍內。 參、教材內容 本研究之教材內容是根據南一版五上之單元內容，至於其他版本之教材是否 與本研究有無差異性，則不在本研究範圍內。. 5.
(6) 第二章 文獻探討 第一節. 試題分析理論. 測驗的組成元素是試題，有良好的試題才能構成優良的測驗，國內的學者簡 茂發(1991)指出在測驗的編製過程中，逐一檢驗個別試題的性能是重要的步驟。 近年來，隨著 IRT 的誕生，其試題特徵曲線(ICC)已成為試題分析的利器，除此 之外，試題編製理論、試題選項特徵曲線分析及試題關聯結構分析亦成為編製良 好試題必備的方法。一言以蔽之，不論基於何種測驗理論，測驗所有試題均須經 過各種試題分析，方能顯示其特性及相對效力之高低，藉以決定試題的取捨，完 成一份可靠又有效的測驗，進而發揮測驗與評量的功能。. 壹、試題編製理論 一、測驗、測量、評量與教學評量的意義 關於測驗(test)、測量(measurement)與評量(evaluation)的意義及差異，茲 說明如下(陳英豪、吳裕益，1994)： 測驗：測量學生行為樣本之工具(instrument)或系統的方法(systematic procedure)。 測量：獲得個體具有某種特質之數量的過程，也就是以數量來描述個體具有某種 特質之程度的過程。 評量：用來搜集、分析和解釋有助於決定學生達成教學目標之程度的系統過程。 教學評量則是指基本的教學模式(teachering model)中的一環，教學模式是指 有系統整理整個教學歷程的過程(張春興、林清山，1984)。一個最簡單、最基本 的教學模式，如圖 2-1 所示(Glaser,1962)：. 6.
(7) 教學目標. 起點行為. 教學活動. 教學評量. 圖 2-1 基本教學模式 二、教學評量的目的 教學評量的目的有下列幾項(Airasian,1994)： (一)了解起點行為及適當安置學生 在教學前就進行評量，可以幫助教師了解學生的起點行為，以便安排適合學 生程度的教學活動，或者安置在適當程度的班級裡學習。 (二)規劃教學活動及調整教學步調 教學一段時間後，教師可以透過教學評量的結果，了解教學目標是否已達 成？教學方法或教學策略是否有缺失？以便檢討教學中的每項活動是否適當？ 規畫更完善的教學活動。教師也可以利用每一次的教學評量，隨時調整教學步調。 (三)診斷學習困難及激勵學習動機 教學評量所提供的回饋訊息，可以幫助教師了解學生的學習類型及學習困 難，進而採取適當的補救措施。學生也可以了解自己的學習情況，激勵學生的學 習動機。 (四)評定學習成就及報告學習成績 教師可以將學生的學習表現評定等第，應將評定結果視為學生的學習成就， 製作學習成績報告單，供學生及家長參考，亦可提供教育學者當作研究的變項資 料，甚至作為升學參考的輔助依據。 三、教學評量的種類 教學評量的種類很多，若依據教學歷程及評量的目的來分，可以分成四種： 安置性評量(placement evaluation)、形成性評量(formative evaluation)、診. 7.
(8) 斷性評量(diagnostic evaluatuon)和總結性評量(summative evaluation)；若 依據解釋評量結果的方式來分，可以分成兩種：常模參照評量(norm-reference test)和效標參照評量(criterion-reference test)；若依據所使用的工具和形式來 分，可以分成兩種：紙筆測驗和實作評量 (邱淵等譯，1991)。 (一)依據教學歷程及評量的目的來分 1.安置性評量 在單元教學開始之前便實施，用來決定班級教學的起點、決定選擇何種適當 的教材、以及確定學生的精熟程度後，調整教學計畫、進行分組教學或安排學生 在特殊的班級中學習。 2.形成性評量 教師在教學過程中，想了解學生的學習情況如何？因此進行形成性評量。根 據評量結果來改進教學及學習，確保學習朝教學目標前進。 3.診斷性評量 教師在形成性評量後，仍無法矯正學生的學習障礙時，診斷性評量可提供更 精密的診斷訊息，以作為實施治療性補救措施的參考。 4.總結性評量 教師在教學結束後實施總結性評量，以便針對教學目標達成的程度及學生的 學習成果進行總檢討，並評定成績等第。 (二)依據解釋評量結果的方式來分 1.常模參照評量 在解釋個別評量結果時，所參考的對象是以該樣本團體的平均數為標準，依 其在團體中所占的相對位置來解釋個別評量結果的教學評量方式，稱為「常模參 照評量」。是在比較個人得分與他人得分之間的高低。目的是區分學生的成就水 準高低，作為教育決策之用(例如：分班編級、擇優錄取和評定等級等)。. 8.
(9) 2.效標參照評量 在解釋個別評量結果時，所參考的對象是以教師在教學前早已設定好的效標 為依據，依其是否達到標準，來解釋個別評量結果的教學評量方式，稱為「效標 參照評量」。效標的選取，可以依教師的教學經驗、學校政策或政府的法令來決 定。是在比較個人得分與預定效標之間的高低。目的是關心學生是否已經學會教 學的內容？ (三)依據所使用的工具和形式來分 1.紙筆測驗(paper-and-pencil performance) 是指以書面形式的測驗工具，作為評定學生在學科知識方面學習成就高低， 或在認知能力方面發展強弱的評量方式。此種測驗工具通常使用紙張印刷來呈現 ，要求學生以書寫工具來填寫答案，所以又稱「紙筆測驗」。 2.實作評量(performance assessment) 是指使用其他工具或形式，作為評定學生在學科情意與動作技能方面學習表 現好壞的評量方式。此種測驗工具或形式包括：觀察與軼事紀錄、表演、口試、 作品、評定量表、檢核表、檔案紀錄、社交測量或投射測驗等。此種評量方式， 需要實際觀察與紀錄學生在真實或模擬的施測情境中的實際表現，或根據學生實 際表現行為的過程或最後的成果作品，來加以評定成就等第，所以稱為「實作評 量」。. 貳、試題選項特徵曲線分析理論 隨著測驗需求量的日益增加以及測驗型式的不斷改變，測驗理論已從「古典測驗理 論」(classical test theory; 簡稱 CTT)改良至「推論性理論」(generalizability theory;簡 稱 GT)，然後再發展為「試題反應理論」(item response theory; 簡稱 IRT)。古典測驗理 論也叫「古典信度理論」(classical reliability theory)，因為其主要目的是在估計某一個 測驗實得分數(observed score)間的關聯程度。因此，有時也稱作「真實分數理論」(true. 9.
(10) score theory)，因為理論的來源都建立在以真實分數模式(true score model)為名的數學模 式基礎上(Suen,1985)。而試題反應理論的主要目標是在大範圍中找出一起始值來針對 試題的選項特徵函數(option characteristic function)作有效的估計。所謂的選項特徵函數 是將受試者能力與試題選項反應結果之間的關係以數學模式表示。如果將此模式所要表 達的關係以圖形化方式表示，稱為選項特徵曲線(Option Characteristic Curve;簡稱 OCC) (林子幼,2002)。. 根據許天維在民國八十三年的「數學試題分析法」一文中，將正答選項無參 數特徵曲線依其形狀，可歸納為五種類型： 一、A 型：「試題特徵曲線」呈現嚴格遞增凹向下之曲線。 此種類型對能力值低的受試者較具鑑別度，而能力值在前二分之一或 三分之一的受試者則幾乎無鑑別度可言，如圖 2-2。 二、B 型：「試題特徵曲線」呈現嚴格遞增凹向上之曲線。 此種類型曲線正好與 A 型曲線相反，對能力高的受試者，較具鑑別度， 而對能力值在後二分之一或三分之一的受試者則幾乎無鑑別度可言， 如圖 2-3。 三、C 型：「試題特徵曲線」呈現嚴格遞增趨向於直線。 此種類型曲線主要特徵是其大部分能力值範圍內之斜率變動不大(幾 乎維持固定值)，只有在小部份能力範圍內之曲線斜率有稍微的變動而 已，如圖 2-4。 四、D 型：「試題特徵曲線」呈現嚴格遞增 S 型曲線(即先呈凹向上後呈凹向下有 一個反曲點之曲線)。 此種類型曲線與 Logistic model 所得的「試題特徵曲線」十分相似， 其主要特性為中區段的能力值範圍受試者，其鑑別度特別高，如果離 開此一範圍(更高或更低)，則其鑑別度明顯下降，甚至趨近於 0，如圖 2-5。 10.
(11) 五、E 型：「試題特徵曲線」呈現嚴格遞增反 S 型曲線(即先呈凹向下後呈凹向上 有水平反曲點之曲線)。 此種類型曲線恰好與 D 型曲線意義相反，亦即對中間某一段能力值的 受試者幾乎不具鑑別度(曲線呈平行)，而對兩端的受試者則具有相當 的鑑別度，如圖 2-6。. 圖 2-2 A 型試題特徵曲線圖例. 圖 2-3 B 型試題特徵曲線圖例. 圖 2-4 C 型試題特徵曲線圖例. 圖 2-5 D 型試題特徵曲線圖例. 圖 2-6. E 型試題特徵曲線圖例. 11.
(12) 參、試題關聯結構分析理論 要瞭解試題關聯結構圖，首先需要瞭解試題之間的順序性關係，而美國學者 Airasian & Bart(1993)的「次序理論」是最常用來定義試題之間順序性的方法。 因此本研究採用次序理論來繪製試題關聯結構圖，茲將有關的次序理論加以說明 如下(郭伯臣,1995)：. 假設. P( X j = 1) 表試題 j 題答對人數的機率 P( X k = 1) 表試題 k 題答對人數的機率 P ( X j = 0) 表試題 j 題答對人數的機率 P ( X k = 0) 表試題 k 題答對人數的機率 P ( X j = 1, X k = 1) 表試題 j 題試題 k 均答對人數的機率 P( X j = 0, X k = 1) 表試題 j 題答錯且試題 k 答對人數的機率 P( X j = 1, X k = 0) 表試題 j 題答對且試題 k 答錯人數的機率 P ( X j = 0, X k = 0) 表試題 j 題試題 k 均答錯人數的機率. 以上可表示為機率四分割表如表 2-1。 依照 Airasian & Bart 的理論指出當 P ( X j = 0, X k = 1) < ε (且 ε 為定數)，有順 序性存在。至於 ε 的選定，Airasian & Bart(1973)以容忍水準(tolerance level)決定試 題 j 與試題 k 的次序關係，簡言之， P (x j = 0, x k = 1) 必須在容忍水準的範圍內。在 實證研究中，研究者可自行決定容忍水準的值是多少（林原宏，2007）。但通常. 12.
(13) 設定介於 0.02 和 0.04 之間（郭伯臣，1996；郭伯臣、許天維、劉湘川，2004） 。 表 2-1 機率四分割表 試題 k. 試題 j. 對(1). 錯(0). 合計. 對(1). P ( X j = 1, X k = 1). P( X j = 1, X k = 0). P( X j = 1). 錯(0). P( X j = 0, X k = 1). P ( X j = 0, X k = 0). P ( X j = 0). 合計. P( X k = 1). P ( X k = 0). 1. 第二節. 教材分析. 本研究施測的對象是五年級學童，從一年級至五年級都是使用南一書局版本 的數學教材，研究者的主題係以南一書局數學教師手冊五上第九冊第四單元「小 數的乘法」為內容範圍，茲根據民國九十二年公佈的九年一貫課程綱要(教育 部，2003)，有關數學領域的課程重點，作以下的介紹：. 壹、基本理念： 數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此，過去國內外數學教材的演進， 概遵循此邏輯結構，以保證數學教育的穩定性。其次，數學是較能進行國際性評 比的學習領域，教學的成效亦有較客觀的標準，因此，數學教育成效的評估應有 其客觀基礎。 數學之所以被納入國民教育的基礎課程，有三個重要的原因： 一、數學是人類最重要的資產之一 數學被公認為科學、技術及思想發展的碁石，文明演進的指標與推手。數學 結構之精美，不但體現在科學理論的內在結構中，而且顯示於建築、工技與藝術. 13.
(14) 作品上，其自身亦呈現一種獨特的美感。 二、數學是人類的一種語言 簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊 的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是 理性與自然界對話時最自然的語言。 三、數學是人類天賦本能的延伸 人類出生之後，即具備嘗試錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能，並具備 形與數的初等直覺。經過文明累積的陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數 學知識，並形成更有力量的思維能力。 九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身 學習為教育的目標。在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及 數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。基於以上的認知， 國民教育數學課程的目標，必須能反映下列理念：(一)數學能力是國民素質的一 個重要指標；(二)培養學生正向的數學態度，了解數學是推進人類文明的要素；(三) 數學教學（含教材、課本及教學法）應配合學童不同階段的需求，協助學童數學 智能的發展；(四)數學作為基礎科學的工具性特質。 基於上述理念，國民教育階段協助學童數學智能的發展，最為需要長期及多 面向的關照。. 貳、課程目標 九年一貫數學領域的課程綱要，是由下列四個原則來界定： 一、參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材。 二、採用國際間數學課程必備的核心題材。 三、考慮數學作為科學工具性的特質。 四、現有學生能夠有效學習數學的一般能力。. 14.
(15) 具體而言，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為： 一、培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。 二、學習應用問題的解題方法。 三、奠定下一階段的數學基礎。 四、培養欣賞數學的態度及能力。 其中，國民小學階段的目標為： 一、在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。 二、在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的 數字感。 三、在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決 日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公 式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。. 參、能力指標 九年一貫數學領域的課程綱要能力指標係參酌施行有年且有穩定基礎的傳 統教材、國際間數學課程必備的核心題材、數學作為科學工具性的特質、現有學 生能夠有效學習數學的一般能力等原則進行修訂。 數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為 四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數 與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。 前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、 A、D 表示「數與量」 、 「幾何」 、 「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示 階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則是能力指標的 流水號，表示該細項下指標的序號。 與第二階段小數乘法有關的能力指標，共有六項，茲將整理後如表 2-2，其 中 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題，是本研究主 15.
(16) 要根據的能力指標。 表 2-2 第二階段小數乘法有關的能力指標 N-2-10 能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。 N-2-05 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、 除之估算。. N-2-06 能將分數、小數標記在數線上。 N-2-13 N-2-7 能以二位小數描述具體的量，並解決二位小數的合成、分解 簡單整數倍問題。. 肆、本單元教學目標： 一、能解決一、二位小數的簡單整數倍問題。(N-2-7) 1-1 經驗小數的累加，用整數倍的想法記錄。 1-2 解決一位純小數的簡單整數倍問題。 1-3 解決二位純小數的簡單整數倍問題。 1-4 解決一、二位帶小數的簡單整數倍問題。 二、經驗整數乘以一、二位小數的問題。(N-2-7) 2-1 經驗整數乘以一位小數的問題。 2-2 經驗整數乘以二位小數的問題。. 伍、雙向細目表 根據本單元活動內容，由教學者分析小數的乘法，擷取六個重要概念，c一 位純小數與一位整數乘法、d一位純小數與二位整數乘法、e二位純小數與一位 整數乘法、f二位純小數與二位整數乘法、g帶小數與一位整數乘法、h帶小數 與二位整數乘法。 根據六個概念內容與三種計算類型，編製紙筆測驗試題雙向細目表，整理後 16.
(17) 如下表 2-3： 表 2-3. 小數紙筆測驗雙向細目表. 類型. 試題. 無進位. 一位進位. 二位進位. 教材內容. c一位純小數與一位整數乘法 d一位純小數與二位整數乘法 e二位純小數與一位整數乘法 f二位純小數與二位整數乘法 g帶小數與一位整數乘法 h帶小數與二位整數乘法. 第三節. 3,13 18 1,4. 5, 10 6 19. 7,14,17 2,11,21,23,25 8,9,15,20,26 12,16,22,24,27,28. 小數乘法概念研究. 壹、知識結構分析： 認知心理學者(Gagne’ ,1993;Mayer,1987；LeFevre et al.,1993； Hiebert & LeFevre,1986;Silver,1986)參考 Anderson(1983)的認知理論，認為人類知識的表 徵分為陳述性知識和程序性知識(declarative & procedural knowledge)兩種，陳述 性知識表徵一般事實性的知識、理論、事物和這些知識的功用與含意。陳述性知 識通常是靜態的，很容易學習及修正。程序性知識表徵人類產生行為的知識，即 從事某件事的知識，通常指一連串的動作或步驟。陳述性知識和程序性知識雖然 不同，但彼此關係密切。例如：解決乘除問題的程序性知識，必須使用加法、減 法、乘法、除法的陳述性知識，而乘除問題的陳述性知識也在程序性知識不斷執 行當中逐漸發展形成。 一、陳述性知識的形成 陳述性知識是以命題網絡(proposition)為主要的表徵形式。. 17.
(18) (一)命題網絡的形成 根據 Gagne’ et al.(1993)理論的說明中，陳述性知識的記憶結構就像命題網絡 一樣，是由節點及節點與節點間的連結所組成的網絡，不同之處在於網絡中的節 點包含不同類型的陳述性知識單元。要形成一個新的命題首先要將新的知識轉換 成命題結構，結合舊的相關命題，再透過精心推敲(elaboration)的過程，使新舊 命題產生連結，形成新的命題或知識。 (二)基模的形成和精煉過程 基模(schema)與命題網絡的形成可以說是同時產生，而且息息相關的，而兩 者的形成歷程也大致相同，都是把關聯的事物連結在一起，然而基模的形成歷程 還需要找出相關事例的共同特徵，並對這些共同特徵形成一個表徵。所以命題網 絡的組識把相關的命題知識串在一起，而基模則更進一步的把知識的共同特徵串 聯在一起，剛形成的基模比較粗糙，而且有過度類化的現象，所以基模的精煉過 程(schema refinement)是必要的過程。 學習者開始學習乘除法的時候，在形成乘除法的基模歷程中，會根據已有的 加減法知識解決乘除法問題，從解題歷程中，逐漸連結相關的命題而形成命題網 路的結構。而乘除法基模的形成則是更進一步的把乘除法或甚至把乘除法和加減 法知識依照共同特徵串結在一起，以便訊息提取和精練知識結構。學習者剛開始 可能會過度類化，以為除法與減法一樣都是大數減小數而誤認為除法就是減法。 等到學了有理數除法和或其他的學習經驗，可能才發現到被除數不一定大於除 數，進而修正或精練除法的基模。 二、程序性知識(Procedural Knowledge)的形成 程序性知識是指得到認知技能，或能運用知識或策略來解決問題、思考和作 決策。程序性知識分為一般性程序和領域特定的程序。自動化基本技能的形成有 三個階段，分別是認知、連結和自主階段： (一)認知階段(cognitive stage) 18.
(19) 學習者在執行程序時，需要很專心而且不斷的監控執行的每個步驟及結果。 當程序不對時，還會隨時修正，在嘗試錯誤中學習。 (二)連結階段(associative stage) 學習者把原本靠陳述性知識主導的一連串行動，逐漸轉換成由較少意識監控 的一系列動作。也就是學習者把一些個別的程序步驟合成一個步驟。在程序不斷 的執行過程中，連接的部分慢慢增強，達到技巧步驟化的地步，而不會過度依賴 陳述性知識的線索，學習者就不需思考下一步是什麼？而會自動執行。 (三)自主階段(autonomous stage) 自主階段是連結階段的延續，在連結階段建立、組識、步驟化的特定領域程 序，在這個階段不需要有意識的控制。在這個階段，不需要使用口語來輔助執行 任何程序，執行程序更細微，透過不斷的練習，技巧更純熟。 三、陳述性知識和程序性知識的關聯 (一)陳述性知識和程序性知識兩者在互動中同時發展 Hiebert ＆ Lefevre(1986) 認為概念性和程序性知識不可以截然劃分，兩者 在互動中同時發展。作者以除法概念發展的內容來說明兩者的關聯性。在發展過 程可分為兩個階段。在第一階段中學習者觀察並理解問題情境，首先以陳述性知 識的形式表徵問題的情境、條件，並且思考如何解題，同時執行解題的程序，此 時除法的陳述性知識也和程序性知識一起同時開始發展。在第二階段中學習者以 逐漸成形的陳述性知識辨識出問題的條件後，就依照程序性知識來執行解題程序 ，陳述性知識的表徵便與程序連結。除法的陳述性知識轉換成適當的程序形式來 解決問題，而在不斷執行程序的歷程中，除法的陳述性知識同時也形成基模。 (二)數學概念需要結合陳述性和程序性知識才能穩固發展 數學概念必須結合陳述性和程序性知識來發展，才會穩固。如果陳述性和程 序性知識兩者缺一，或者兩者知識都已具備，但彼此卻沒有關聯，就會造成學習 者只會在非常類似於學習時的脈絡中運用數學知識，無法類推到其他情境解決新 19.
(20) 的問題，或不知道為什麼執行某個程序。當學習者解決加、減、乘、除法的計算 題時，只要執行正確的計算程序，經由反覆練習就可以正確而快速的解決問題， 但如果不具備相關的陳述性知識，遇到應用題時，就不知道要用加、減、乘、除 法哪一個方法來解題。 (三)數學陳述性和程序性知識關係的發展 Hiebert & LeFevre(1986)整理有關數學能力發展的相關研究，歸納出陳述性與 程序性知識間關係的發展，可分學齡前及學齡期兩部分。學齡前兒童陳述性與程 序性知識的關係幾乎是密不可分的。這個時期的兒童有時會從他們生活的脈絡中 學習計數，像從數糖果中他們學到了「數」的意義，也就是在計數程序中理解「數」 的陳述性知識。而他們從計數的程序和數的概念，也可以理解問題的語意，進而 選擇適當的解題程序。學齡期兒童在在課堂上學習正式的數學符號語言，如果他 們能將這些符號及符號所指的意義與他的經驗結合在一起，那麼具有意義的符號 就是記錄及溝通數學思考活動很好的工具。但是，如果學生進入學校學習符號 後，由於不清楚符號的意義，造成符號與符號所表徵的陳述性知識各自獨立，就 會使本來同時發展的陳述性和程序性知識沒有連結。例如二、三年級學生會從事 等分活動，也有相關的陳述性知識，但是不了解表徵解題活動的累減算式和解題 活動有什麼關係(游麗卿，1998)，可見學生的算式表徵並沒有與相關陳述性知識 和經驗結合。 Hiebert & LeFevre(1986) 認為這個現象可能的原因是一般教學一直把重心放 在程序性知識上，強調符號及操作符號規則的學習和演練，這些操作規則跟符號 相結合，但沒有與支持規則原理的陳述性知識相結合，所以等到三、四年級時， 學生學了很多符號的使用規則，才比較了解這些符號使用規則的限制，而非規則 所隱含的概念意義。即使有陳述性知識存在，也對解題程序的選擇沒有影響。儘 管學生沒有結合陳述性和程序性知識，仍然可以正確的解決一些自己並不理解的 問題。但是缺乏陳述性知識的程序性知識，可能很快的瓦解而且無法再重建，學 20.
(21) 生只記得部分程序。這些程序性知識往往侷限於學習時特定的情節．不容易遷移 到新的情境中解決問題。所以雖然具有程序技巧，可以增加解決問題的效率，但 是只有連結相關的陳述性知識，才可以學得有效且穩定的程序性知識。. 貳、小數乘法問題相關研究 目前國內學者有關小數乘法問題的相關研究，整理如下表 2-4： 年代. 作者. 1997. 甯自強. 1996. 杜建台. 2004. 陳麗婷. 2002. 江愛華. 2000. 許美華. 2000. 邱裕淵. 2000. 曹郁玲. 2000. 陳瓊瑜. 2002. 陳淑琳. 2002. 林子幼. 表 2-4 小數乘法問題的相關研究 研究主題概述 學童利用多單位來組織數概念，即在學習印-阿記數系統的位 值概念，因為位值概念的使用就是乘法性的對單位因素分解。 學童的小數概念會受到先前經驗及課程內容的影響，雖然如 此，學童仍會建構出自己對小數理解的獨特方式。 透過符號表徵與圖像表徵雙向轉譯來探討國小四年級學童的 二位小數概念。 課前分析學生迷思概念的可能成因，有助於教學者運用適當的 教學策略，來製造學生的認知衝突，及調整其原有的認知。 研究的目的在深入探討國小二年級學童正整數乘法問題解題 活動的類型和在不同時間的變化過程。資料蒐集以筆試和訪談 為主，資料分析則以文件分析法為主。 本研究以研究者自編的「乘法文字題筆試測驗」為研究工具， 探討國小六年級學生在各種情境模式的乘法文字題 之解題表 現，並比較不同城鄉地區的學生在乘法文字題的解題表現。 以自編的數學解題溝通測驗為研究的工具，探討國小六年級在 乘法概念上的數學解題溝通表現。 旨在比較國小三年級高數學能力學生與低數學能力學生在乘 法應用問題之解題歷程的差異，進而探索低數學能力學生在解 乘法應用問題時可能遭遇的障礙。研究方法為放聲思考與晤談 兩種。 探討國小二年級學童乘法文字題的解題歷程，以自編的乘法文 字題測驗為工具，進行筆試後再抽取六名學童個別晤談。 本研究旨在編製國小三年級數學科正整數乘法概念之測驗，並 經由分析工具了解受試者與試題之各個選項間的反應情形，來 了解受試者的正整數乘法概念和迷思概念，進而補救教學。. 21.
(22) 2002. 蕭美琪. 2004. 曾清文. 2004. 倪玫娟. (續)表 2-4 小數乘法問題的相關研究 本研究的目的旨在編製一份具有信度及效度的國小學童乘法 解題評量，藉由這份評量得以探討二年級學童在解答國小數學 乘法問題時的解題歷程與整合認知運作情形。 本研究旨在研發一套適用於四年級學生的數學診斷測驗，探討 四年級學生在數學乘法能力的學習困難類型，供教師在教學上 的參考，並協助學生克服學習困難。 本研究旨在探究在九年一貫課程數學領域第一階段，一位國小 教師在數學課程中選取乘法有關的單元進行教學，描述在教學 中所遇到的困難與解決方法，及如何運用教學策略去幫助學生 提升解決乘法問題的能力。. 綜觀以上有關小數的乘法研究中，有些研究者研究乘法的概念，有些研究小 數的概念，研究方法與研究對象也不盡相同，但尚無研究小數的乘法，所以研究 者決定研究小數的乘法問題。. 22.
(23) 第三章 研究方法 為了研究試題分析在國民小學數學科上的應用，本研究乃編製小數乘法單元 試卷，將測驗結果利用 EXCEL、SPSS、TestGraf98 軟體及 OT 繪圖工具軟體，來 分析試題的優劣良窳，探討學生的迷思概念，以及建立試題關聯結構。本章分別 就研究架構、研究流程、研究工具、研究樣本、資料分析等五節加以說明研究的 方法。. 第一節. 研究架構. 本研究依據研究動機、研究目的、研究問題，提出如圖 3-1 之研究架構。所 謂「研究架構」係指研究概念之間的連結構造，首先本研究進行九年一貫數學領 域第二階段小數乘法相關之能力指標的整理，並對小數乘法測驗題型部分加以分 類而獲得六個類型：1.一位純小數與一位整數乘法；2.一位純小數與二位整數乘 法；3.二位純小數與一位整數乘法；4.二位純小數與二位整數乘法；5.帶小數與 一位整數乘法；6.帶小數與二位整數乘法。然後根據此六個類型，編製小數乘法 試題，共有 28 題，經過預試、修題、審題以及信度、效度分析合適後，始進行 正式施測。測驗完成後，透過 EXCEL 及 SPSS 進行數量方法的試題基本分析，再 以 TestGraf98 分析學生各種錯誤類型，並採用 OT 理論繪製試題關聯結構圖，以 獲得試題之間的上下位關係，最後總結：1.小數乘法試卷上之質和量的分析結 果；2.學生在小數乘法上之作答情形以及學習上的迷思概念；3.瞭解學生小數乘 法試題之間的試題關聯結構。以獲得學童學習小數乘法的訊息，並針對學童的各 種學習情況，進行補救教學或改善措施。. 23.
(24) 小數乘法題型： 1.一位純小數與一位整數乘法 2.一位純小數與二位整數乘法 3.二位純小數與一位整數乘法 4.二位純小數與二位整數乘法 5.帶小數與一位整數乘法 6.帶小數與二位整數乘法. 九年一貫數學領域第二階段 小數乘法相關之能力指標. 編製小數的乘法試題. 進行施測. EXCEL 及 SPSS 進行 試題基本分析. TestGraf98 進行學 生錯誤類型分析. 利用 OT 理論進行試 題關聯結構分析. 1.探討編製小數的乘法試卷之質和量的分析。 2.探討學生在小數的乘法作答情形及學習之迷思概念。 3.探討編製小數的乘法試題之試題關聯結構。. 圖3-1 研究架構圖. 第二節. 研究流程. 研究流程圖如圖 3-2： 24.
(25) 蒐集相關文獻及國小數學課程資料. 編製一份小數乘法之測驗. 以國小五年級學生為研究對象進行預試. 修正成正式試題. 選定樣本，正式施測. 資料分析. 試題基本分析(SPSS). 試題選項分析. 撰寫報告. 圖3-2 研究流程圖. 25. OT 試題關聯結構分析.
(26) 第三節. 研究工具. 本研究以「小數乘法試題」為研究工具，並使用由林原宏和黃國榮所研發 的 OT 繪圖軟體以及加拿大麥克基爾大學（McGill University）心理計量學教授. Ramsay(2000)設計的 TestGraf98 軟體等工具進行分析。茲將各項工具說明如下：. 壹、小數乘法試卷 根據文獻探討所列教師編製測驗的步驟，編製試作試卷試題，敘述如下： 一、決定測驗目的 編製「小數的乘法試題」，是為了探討國小學童對於小數的乘法問題概念的 瞭解情形。為能更深入瞭解學生的錯誤類型，編製的試題採填充題及應用問題， 由學生作答情形將其分為五種(小數點位置標錯、計算一位數錯誤、計算兩位數 錯誤、全對、其他錯誤)，來了解學童的迷思概念，進而提供教師作為教學的參 考。而編製試題的題目類型分別為一位純小數與一位整數乘法、一位純小數與二 位整數乘法、二位純小數與一位整數乘法、二位純小數與二位整數乘法、帶小數 與一位整數乘法、帶小數與二位整數乘法共六種。 二、設計雙向細目表(two-way table or specification) 根據九年一貫數學領域正式綱要中有關第二階段小數的乘法的能力指標，對 於小數的乘法結構分為六類如下： (一) 一位純小數與一位整數乘法 (二) 一位純小數與二位整數乘法 (三) 二位純小數與一位整數乘法 (四) 二位純小數與二位整數乘法 (五) 帶小數與一位整數乘法 (六) 帶小數與二位整數乘法. 26.
(27) 各類再細分為有進位及沒有進位兩種題目，設計出試作試卷雙向細目表(參 見表 2-3)。 三、決定試題類型 為了充分瞭解學生作答情形，所以試卷的試題類型為文字題，作答時由學童 列出算式及直式，並計算出答案。 四、編擬測驗試題 編擬試作試題時，兼顧雙向細目表和命題原則，編擬 28 題文字題，測驗時 間約需 40 分鐘。 五、審查與修改測驗試題 編擬試作試題後，請同學年的十位同事幫忙審題，針對試題的遣詞用字是否 清楚明白？試題內容是否適當？提出修正意見。然後參考他們的意見馬上修改。 六、編輯測驗試題 為了提高測驗的信度與效度，所以仔細的編輯試題。 (一) 試題編排 注意各項試題的編排原則。 (二) 試題指導語 告訴小朋友這份試卷主要目的是要了解他們的小數的乘法概念，測驗成績不 影響學業成績，只供參考用，所以請放心作答。作答時間約 40 分鐘，考試當中 可舉手問問題。請仔細看題目，使用鉛筆書寫，數字要寫清楚，每一題都要作答。 七、試作試題編製完成 根據上述六個步驟將試作試卷編製完成，完成時間為 96 年 2 月 19 日。試卷 的內容請參見附錄一及附錄二。. 貳、TestGraf98 軟體 本研究使用的 TestGraf98 是加拿大麥克基爾大學（McGill University）心理. 27.
(28) 計量學教授 Ramsay(2000)發展的軟體，用於二元和多元計分的試題，可以繪製 成試題選項特徵曲線 IOCC(Item Option Characteristic Curve)，用來分析試題和試 題選項的特徵。在程式估計上，Ramsay 以受試者答對的題數來決定受試者之能 力次序關係，而遇到答對題數相同之受試者則給一極小之隨機亂數值以決定先後 次序。研究者將其學生作答情形分為五種，使用 TestGraf98 繪製出正式試卷的試 題選項特徵曲線，以分析學童在每一道試題作答的情形。. 第四節. 研究樣本. 本研究因受限於研究的時間、人力和經費等因素，採用的抽樣方法是方便 抽樣(convenience sampling)，以個人最便利的方式，選擇研究對象的樣本(王文 科、王智宏，2005)。所以本研究選擇的對象為研究者個人的服務學校中五年級 九個常態編班的學童，樣本數共 302 位。選取五年級學童的原因是他們已學完 小數的乘法課程，可以在下學期進行施測。. 第五節. 資料分析. 本研究中所採用的小數乘法試題，經由筆試的結果，來分析學童對於小數的 乘法概念理解情形及試題的關聯結構。使用電腦軟體 EXCEL、SPSS、TestGraf98 與 OT 繪圖軟體為分析工具。將分析的項目敘述如下：. 壹、使用 EXCEL 分析的項目 使用 EXCEL 來輸入學童作答情形，計算出得分、統計各選項作答人數，並 求出每道試題的難度與鑑別度，同時繪製相關圖形。. 28.
(29) 貳、使用 SPSS 分析的項目 使用 SPSS 來分析整份試卷的信度、效度。. 參、使用 TestGraf98 軟體分析的項目 將其學生作答情形分為五種，使用 TestGraf98 繪製出正式試卷的試題選項特 徵曲線，以分析學童在每一道試題作答的情形。. 肆、使用 OT 繪圖軟體分析的項目 利用 OT 繪圖軟體(林原宏、黃國榮，2005)繪出試題關聯結構圖，由試題關 聯結構圖分析試題間之關聯結構。. 29.
(30) 第四章 研究結果與討論 本 研 究 根 據 研 究 問 題、研 究 目 的 及 研 究 方 法，以 研 究 者 編 製 的 小 數 乘 法 試 卷，對 國 小 五 年 級 學 童 進 行 施 測，以 探 討 國 小 學 童 對 於 小 數 乘 法 問 題 的 解 題 表 現 及 試 題 間 之 關 聯 結 構。本 章 依 施 測 結 果，分 成 試 題 基 本 分析與學生作答錯誤類型分析及試題關聯結構分析三節加以說明研究 結果。. 第一節. 試題基本分析. 試題編製完成後，由研究者服務學校五年級的九個班級的學童進行施測(樣 本數 302 人)。施測時間為 96 年 3 月 10 日～3 月 17 日。施測結束後，將學童作 答答案輸入 EXCEL 軟體，然後分析正 式 施 測 試 題 及 試 卷 的 特 性，包 括 難 度、 鑑 別 度、信 度 與 效 度，以 檢 驗 試 題 的 品 質 是 否 優 良 ？ 以下將分析結果分別 加以說明：. 壹、試題難度與鑑別度分析 本研究之試題難度與鑑別度分析，是將測驗結果以二元計分方式將資料輸入 電腦，並利用SPSS軟體選取約27%高分者(81人)與27%低分者(94人)資料，分成高 分組與低分組兩組，再應用EXCEL軟體求出每一道試題的難度及鑑別度，並計算 每一道題與總分之關聯係數，除第2題未達.01顯著相關外，其餘各題皆達.01顯 著標準。最後整理資料結果如表4-1，各試題難度統計表詳見表4-2、及試題鑑別 度統計表可參考表4-3，另表4-4是由美國的測驗學者Ebel & Frisbie(1991)提出 鑑別度的判斷標準。. 30.
(31) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28. 表 4-1 試題難度及鑑別度表 鑑別度 難度 PL (PH + PL)/2 (PH - PL). PH. rpb. .9. .31. .605. .59. .388**. .99. .4. .695. .59. .450**. 1. .96. .98. .04. .143*. 1. .93. .965. .07. .208**. .98. .68. .83. .3. .463**. 1. .87. .935. .13. .385**. .99. .79. .89. .2. .496**. .96. .59. .775. .37. .540**. .98. .78. .88. .2. .454**. .98. .6. .79. .38. .448**. .99. .51. .75. .48. .582**. .98. .66. .82. .32. .386**. .99. .91. .95. .08. .318**. .98. .74. .86. .24. .394**. .98. .71. .845. .27. .445**. .9. .52. .71. .38. .439**. .94. .66. .8. .28. .455**. .99. .53. .76. .46. .463**. .98. .76. .87. .22. .521**. .99. .72. .855. .27. .579**. .96. .56. .76. .4. .573**. .98. .55. .765. .43. .500**. .98. .54. .76. .44. .594**. 1. .47. .735. .53. .565**. .94. .6. .77. .34. .467**. .98. .65. .815. .33. .459**. .77. .12. .445. .65. .451**. .74. .12. .43. .62. .436**. **p< .01 下表4-2則是試題難度統計表，平均難度是 .78，屬於中間偏易之題目，難 度 .8以上有14題，佔50%，屬於較易之題目。. 31.
(32) 難度 題數 百分比 平均難度. 0～.19 0 .00% .78. 表 4-2 試題難度統計表 .20～.39 .4～.59 .6～.79 0 2 12 .00% 7.00% 43.00%. .8～1 合計 14 28 50.00% 100.00%. 下表 4-3 則是鑑別度統計表，平均鑑別度是 .34，根據鑑別度的判斷標準(表 4-4 鑑別度的評鑑標準)，本試卷的試題整體而言，屬於鑑別度優良的試題。其 中.19 以下的較差試題有 4 題，佔 14%，.2 到.29 間的尚可試題有 7 題，佔 25%，.3 到.39 間的優良試題有 7 題，佔 25%，.4 以上的非常優良試題有 10 題，佔 36%。 所以本試卷屬於鑑別度優良的試題有 17 題，佔 61%，表示此測驗試題鑑別度良好。. 鑑別度 題數 百分比 平均鑑別度. 0 以下 0 .00% .34. 表 4-3 試題鑑別度統計表 0～.19 .2～.29 .3～.39 4 7 7 14.00% 25.00% 25.00%. .4 以上 10 36.00%. 合計 28 100.00%. 表 4-4 鑑別度的評鑑標準 鑑別度指標. 試題評鑑結果. .40以上. 非常優良. .30 — .39. 優良，但可能需要修改. .20 — .29. 尚可，但需要作局部修改. .19以下. 劣，需要刪除或修改. 貳、信度分析 利用 SPSS 統計軟體分析正式試卷的信度，整份試卷的 Cronbach α 信度係數 為.85。教師自編測驗的信度通常介於.60 到.85 之間(鄒慧英，2003)，所以這份 正式施測試卷仍為信度良好的試卷。. 32.
(33) 參、效度分析 本研究請五年級的各班導師共十位教師檢驗試題內容。結果顯示這份施測試 卷具有良好的內容效度。同時利用內部一致性分析法來驗證建構效度，求出每道 試題的二分化得分和該測驗總分之間的點二系列相關係數。研究者使用 SPSS 統 計軟體求出每道試題的點二系列相關係數(請參見表 4-1)，除了第 3 題未達.01 顯著水準，其餘題目皆達顯著水準，顯示這份正式施測試卷具有良好的內部一致 性，即是具有良好的建構效度。. 第二節. 學生作答情形分析. 本節根據學童的作答情形，分別探討學生正確作答情形，及學生作答錯誤類 型分析。. 壹、正確作答情形 表4-5及圖4-1分析每一試題正確選項的選答人數及選答率。資料顯示大部分 試題正確選項選答率高於50%，表示多數題目是屬於難度適中或較簡單的題目。 第27題答對率為36.42%及第28題答對率為35.76%，屬於綜合應用題，必須連乘兩 個整數及一個小數，是屬於較難的題目；第3題答對率為98.68%與第4題答對率為 97.36%，因此二題屬於小數乘法基本觀念題，是屬於較簡單之題目，所以答對率 高達97%以上，幾乎所有學童皆答對，表示大部份學童皆在學習完此單元後，已 具備小數乘法之基本概念，能夠做小數乘法基本運算；第1題答對率為58.94%與 第2題答對率為68.87%，此二題必需運用小數乘法分配律來計算，表示大約一半 的學童對小數乘法分配率仍具有迷思概念，導致此二題無法正確作答，教師可針 對此一概念再加強教學。. 33.
(34) 表4-5 正確作答人數及答對率統計表 題號. 正確作答人數. 答對率. 1. 178. 58.94%. 2. 208. 68.87%. 3. 298. 98.68%. 4. 294. 97.35%. 5. 259. 85.76%. 6. 287. 95.03%. 7. 275. 91.06%. 8. 253. 83.77%. 9. 271. 89.74%. 10. 245. 81.13%. 11. 238. 78.81%. 12. 245. 81.13%. 13. 289. 95.70%. 14. 263. 87.09%. 15. 259. 85.76%. 16. 223. 73.84%. 17. 255. 84.44%. 18. 228. 75.50%. 19. 273. 90.40%. 20. 273. 90.40%. 21. 250. 82.78%. 22. 239. 79.14%. 23. 246. 81.46%. 24. 232. 76.82%. 25. 240. 79.47%. 26. 253. 83.77%. 27. 110. 36.42%. 28. 108. 35.76%. 34.
(35) 100.00% 答對率. 80.00% 60.00% 40.00% 20.00% 0.00% 1. 3. 5. 7. 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 題號. 圖 4-1 各試題答對率圖. 貳、學生作答錯誤類型分析 研究者將學生試卷作答情形分為五種，第一種為小數點位置標錯，以選項1 代表；第二種為計算錯誤一位數，以選項2代表；第三種為計算錯誤二位數，以 選項3代表；第四種為正確作答，以選項4代表；第五種為其它錯誤類型(包括未 作答、抄寫錯誤等)，以選項0代表；再使用TestGraf98軟體繪製出試卷的試題選 項特徵曲線IOCC(Item Option Characteristic Curve)，以分析學童在每一道試 題各選項的作答情形。 大致可將繪製出之試題選項特徵曲線，分為四大類型，第一類型為所有錯誤 選項與正確選項特徵曲線沒有呈現交叉情況；第二類型為有一錯誤選項與正確選 項特徵曲線呈現大角度交叉；第三類型為幾個錯誤選項與正確選項特徵曲線呈現 交叉情況，但角度並不大；第四類型為正確選項較不具鑑別度，錯誤選項誘答力 相當低。 由各題之試題選項特徵曲線，可知學童作答之情況，在錯誤類型中以選項 1 小數點位置標錯之情況最少，而以選項 0 其它錯誤類型之情況最多。 以下列出每一試題的選項特徵曲線，並針對學童的作答情形，來分析每一錯 誤類型選項的作答情形：. 35.
(36) (一) 試題1. 圖4-2 試題1之試題選項特徵曲線. 題目：0.78 × 9 = 0.7 × 9 + (. ) × 9. 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：沒有計算錯誤一位數之答案 選項3：對中低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種錯誤， 而此題是利用乘法分配律不須計算，可見中低能力者對乘法分配律不甚了 解。 選項4：正確作答。對中能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：低能力者此錯誤情形相當高，可見低能者因不瞭解乘法分配律，而無法 作答，以致答案未填或是隨便寫一個答案。. 36.
(37) (二) 試題2. 圖4-3 試題2之試題選項特徵曲線. 題目：60 × 0.28 = 60 × (. ) + 60 × 0.08. 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中能力者有此錯誤情形，表示對乘法分配律不甚了解。 選項3：少數中、低能力者有此錯誤情形，表示對乘法分配律不甚了解。 選項4：正確作答。對中能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：低能力者此錯誤情形相當高，可見低能者因不瞭解乘法分配律，而無法 作答，以致答案未填或是隨便寫一個答案。. 37.
(38) (三) 試題3. 圖4-4 試題3之試題選項特徵曲線. 題目：8 × 0.1 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：沒有計算錯誤一位數之答案 選項3：少數低能力者有此錯誤類型，表示少數低能力者對基本九九乘法不熟， 需再加強。 選項4：正確作答。鑑別度較低。 選項0：沒有其他錯誤類型。. 38.
(39) (四) 試題4. 圖4-5 試題4之試題選項特徵曲線. 題目：8 × 0.01 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：沒有計算錯誤一位數之答案 選項3：少數低能力者有此錯誤類型，表示少數低能力者對基本九九乘法不熟， 需再加強。 選項4：正確作答。鑑別度低。 選項0：少數中能力者有此錯誤類型。. 39.
(40) (五) 試題 5. 圖4-6 試題5之試題選項特徵曲線. 題目：0.9 × 7 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中能力者有此錯誤類型，表示少數中能力者容易計算錯誤。 選項3：對低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則少數出現這種錯誤， 而此題是基本乘法計算，可見低能力者對九九乘法不熟。 選項4：正確作答。對低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：無其他錯誤類型。. 40.
(41) (六) 試題 6. 圖 4-7 試題 6 之試題選項特徵曲線 題目：0.03 × 9 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：沒有計算錯誤一位數之答案 選項3：對少數低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則機乎沒有出現這 種錯誤，而此題是乘法基本計算，可見少數低能力者對乘法基本計算不了 解。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：少數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未填。. 41.
(42) (七) 試題 7. 圖 4-8 試題 7 之試題選項特徵曲線. 題目：0.27 × 5 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案，可能不小心計算錯誤。 選項3：多數低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：少數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未填或是亂填。. 42.
(43) (八) 試題 8. 圖 4-9 試題 8 之試題選項特徵曲線. 題目：3.6 × 8 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案，表示基本計算能力須加強。 選項3：少數低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種錯誤， 而此題是帶小數乘以一位整數，可見少數低能力者對小數乘法計算不熟。 選項4：正確作答。對低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未填或是亂填。. 43.
(44) (九) 試題 9. 圖 4-10 試題 9 之試題選項特徵曲線. 題目：2.65 × 3 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案，高能力者則無此種錯誤類型。 選項3：少數低能力者出現計算錯誤二位數之答案，高能力者則無此種錯誤類型。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未填或是亂填。. 44.
(45) (十) 試題 10. 圖 4-11 試題 10 之試題選項特徵曲線. 題目：52 × 0.2 = (. ). 選項1：少數低能力者出現小數點位置標錯之答案，中高能力則較少出現此種錯 誤類型。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案。 選項3：對中低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對中低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未填或是亂填。. 45.
(46) (十一) 試題 11. 圖 4-12 試題 11 之試題選項特徵曲線. 題目：16 × 0.25 = (. ). 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案，高能力者則幾乎沒有出現這 種錯誤。 選項3：對少數中低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種 錯誤。 選項4：正確作答。對中低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未填或是亂填。. 46.
(47) (十二) 試題 12. 圖 4-13 試題 12 之試題選項特徵曲線. 題目：13 × 5.78 = (. ). 選項1：少數中低能力者出現小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：少數低能力者出現計算錯誤二位之情形，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未填或是亂填，因此題是二 位數乘以帶小數，難度稍高。. 47.
(48) (十三) 試題 13. 圖 4-14 試題 13 之試題選項特徵曲線. 題目：礦泉水 1 瓶 0.2 公升，3 瓶礦泉水共有多少公升？ 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：沒有計算錯誤一位數之答案 選項3：少數低能力者計算錯誤二位之情形稍高，高能力者則幾乎沒有出現這種 錯誤，而此題是較簡單之計算，可見少數低能力者可能是不小心計算錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型，可能不會作答未寫。. 48.
(49) (十四) 試題 14. 圖 4-15 試題 14 之試題選項特徵曲線. 題目：將一條繩子切為 6 段，若每段長 0.82 公尺，則原來一條繩子有多少公尺？ 選項1：少數中能力者出現小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：多數低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則幾乎沒有出現這種 錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型。. 49.
(50) (十五) 試題 15. 圖 4-16 試題 15 之試題選項特徵曲線. 題目：哥哥買 9 袋水果，每袋水果重 3.25 公斤，哥哥共買了多少公斤的水果？ 選項1：少數低能力者出現小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案。 選項3：少數低能力者出現計算錯誤二位之答案。高能力者則幾乎沒有出現這種 錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者有此錯誤類型。. 50.
(51) (十六) 試題 16. 圖 4-17 試題 16 之試題選項特徵曲線. 題目：靜香每天喝 2.38 公升的牛奶 ，14 天共喝多少公升的牛奶？ 選項1：少數低能力者出現小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：少數低能力者出現計算錯誤二位之之答案，高能力者則幾乎沒有出現這 種錯誤。 選項4：正確作答。對中低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：低能力者出現此種錯誤類型相當高，表示大部份低能力者對此題無法做 答而未寫。. 51.
(52) (十七) 試題 17. 圖 4-18 試題 17 之試題選項特徵曲線. 題目：橘子 1 袋重 0.74 公斤，9 袋橘子共重多少公斤？ 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：多數低能力者出現計算錯誤二位之之答案，高能力者則幾乎沒有出現這 種錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫。 52.
(53) (十八) 試題 18. 圖 4-19 試題 18 之試題選項特徵曲線. 題目：妹妹一個月喝了 21 杯果汁，每杯果汁 0.3 公升，妹妹共喝了果汁多少公升？ 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：對中低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種錯誤，。 選項4：正確作答。對中低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫，而少數中能力者出現此錯誤類型，大多是答案抄寫錯誤。. 53.
(54) (十九) 試題 19. 圖 4-20 試題 19 之試題選項特徵曲線. 題目：西瓜 1 個重 2.8 公斤，3 個西瓜共重多少公斤？ 選項1：少數低能力者小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：少數低能力者出現計算錯誤二位之情形，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫。. 54.
(55) (二十) 試題 20. 圖 4-21 試題 20 之試題選項特徵曲線. 題目：姊姊拿一支長 9.8 公分的筷子，連續接了 5 支，共接了多少公分？ 選項1：少數中能力者出現小數點位置標錯之答案。 選項2：沒有計算錯誤一位數之答案。 選項3：少數中低能力者出現計算錯誤二位之情形，高能力者則較少出現這種錯 誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有較高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫。. 55.
(56) (廿一) 試題 21. 圖 4-22 試題 21 之試題選項特徵曲線. 題目：小華家到學校的距離是 60 公尺，小明的家到學校的距離是小華家到學校的距離 的 0.85 倍，請問小明的家到學校的距離是多少公尺？. 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：少數中低能力者出現計算錯誤二位之情形，高能力者則較少出現這種錯 誤。 選項4：正確作答。對中低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數中低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份中低能力者對此題無法 做答而未寫。. 56.
(57) (廿二) 試題 22. 圖 4-23 試題 22 之試題選項特徵曲線. 題目：弟弟每天練習跑步 2.74 公里，30 天共跑多少公里？ 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：對中低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對中低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫。. 57.
(58) (廿三) 試題 23. 圖 4-24 試題 23 之試題選項特徵曲線. 題目：胖虎的體重是 64 公斤，大雄的體重是胖虎的 0.65 倍，大雄的體重是多少公斤？ 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案。 選項3：少數低能力者出現計算錯誤二位之情形，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫。. 58.
(59) (廿四) 試題 24. 圖 4-25 試題 24 之試題選項特徵曲線. 題目：簿子 1 疊有 50 本，老師發了 3.86 疊，共發了多少本？ 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：對中低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則幾乎沒有出現這種 錯誤。 選項4：正確作答。對中低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫。. 59.
(60) (廿五) 試題 25. 圖 4-26 試題 25 之試題選項特徵曲線. 題目：水桶的容量是 0.65 公升， 35 個水桶容量是多少公升？ 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中低能力者出現計算錯誤一位數之答案。 選項3：少數中低能力者出現計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這 種錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者對此題無法做答 而未寫。. 60.
(61) (廿六) 試題 26. 圖 4-27 試題 26 之試題選項特徵曲線. 題目：洗一件衣服需用掉 7.86 公克的洗衣粉，洗 9 件衣服共用掉多少公克的洗衣粉？ 選項1：少數低能力者出現小數點位置標錯之答案。 選項2：少數低能力者出現計算錯誤一位數之答案 選項3：對中低能力者計算錯誤二位之情形較高，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對低能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：多數低能力者及少數中能力者出現此種錯誤類型，表示大部份低能力者 及少數中能力者對此題無法做答而未寫。. 61.
(62) (廿七) 試題 27. 圖 4-28 試題 27 之試題選項特徵曲線. 題目：繩子一條 15 公分，綁一件禮物需要 2.85 條，小華綁了 3 件禮物，共需要多少公 分的繩子？. 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中能力者出現計算錯誤一位數之答案。 選項3：少數中能力者出現計算錯誤二位之情形，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對中高能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：大多數低能力者及中能力者出現此種錯誤類型，表示大部份中低能力者 對此題無法做答而未寫。. 62.
(63) (廿八) 試題 28. 圖 4-29 試題 28 之試題選項特徵曲線. 題目：彩帶一條 16 公分，做一個彩球需要 3.52 條，小美做了 4 個彩球，共需要多少公 分的彩帶？. 選項1：沒有小數點位置標錯之答案。 選項2：少數中能力者出現計算錯誤一位數之答案。 選項3：少數中能力者出現計算錯誤二位之情形，高能力者則較少出現這種錯誤。 選項4：正確作答。對中高能力者具有相當高的鑑別度。 選項0：大多數低能力者及中能力者出現此種錯誤類型，表示大部份中低能力者 對此題無法做答而未寫。. 63.
(64) 第三節. 試題關聯結構圖分析. 壹、 一位純小數與一位整數乘法 一、原題目 題號. 題目. 3. 8 × 0.1 = (. ). 5. 0.9 × 7 = (. ). 13. 礦泉水1瓶0.2公升，3瓶礦泉水共有多少公升？. 二、試題關聯結構圖. 5. 3. 13. 圖 4-30 一位純小數與一位整數乘法試題關聯結構圖 三、試題分析 由圖 4-30 發現第 5 題為第 3 題及第 13 題之上位概念，這 3 題雖同為一位純 小數與一位整數乘法，但第 5 題乘積需進位，而第 3 題及第 5 題乘積不需進位， 故第 5 題為第 3 題及第 13 題之上位概念，實屬合理。. 貳、 一位純小數與二位整數乘法 一、原題目 題號. 題目. 10. 52 × 0.2 = (. 18. 妹妹一個月喝了 21 杯果汁，每杯果汁 0.3 公升，. ). 妹妹共喝了果汁多少公升？. 64.
(65) 二、試題關聯結構圖. 18. 10. 圖 4-31 一位純小數與二位整數乘法試題關聯結構圖 三、試題分析 圖 4-31 發現第 18 題為第 10 題之上位概念，這 2 題雖同為一位純小數與二 位整數乘法，但第 18 為應用問題，而第 10 題純為計算題，由此可知，學生對於 應用問題的理解能力還須加強。. 參、 二位純小數與一位整數乘法 一、原題目 題號. 題目. 1. 0.78 × 9 = 0.7 × 9 + (. ) × 9. 4. 8 × 0.01 = (. ). 6. 0.03 × 9 = (. ). 7. 0.27 × 5 = (. 14. 將一條繩子切為 6 段，若每段長 0.82 公尺，則. ). 原來一條繩子有多少公尺？. 17. 橘子1袋重0.74公斤，9袋橘子共重多少公斤？. 65.
(66) 二、試題關聯結構圖 1. 14. 7. 17. 4. 圖 4-32 二位純小數與一位整數乘法試題關聯結構圖 1. 7. 17. 6. 圖 4-33 二位純小數與一位整數乘法試題關聯結構圖 2. 三、試題分析 圖 4-32 發現第 1 題為第 7 題之上位概念，實屬不合理，因第 1 題不需計算 出答案，只需了解乘法分配律即可作答，應屬較容易之題目，但卻成為第 7 題之 上位概念，分析其原因，可能學生對小數乘法分配律尚有迷思概念，才會造成如 此的結果。 另第 14 題為第 7 題之上位概念，因第 14 題為應用問題，所以成為第 7 題計. 66.
(67) 算題之上位概念，實屬合理。 圖 4-33 中第 6 題為第 7 題及第 17 題之下位概念，實屬合理，因第 6 題為不 進位之二位純小數與一位整數乘法，而第 7 題及第 17 題則為進位之二位純小數 與一位整數乘法，且第 17 題為應用問題，所以，第 6 題為第 7 題及第 17 題之下 位概念。. 肆、 二位純小數與二位整數乘法 一、原題目 題號. 題目. 2. 60 × 0.28 = 60 × (. ) + 60 × 0.08. 11. 16 × 0.25 = (. 21. 小華家到學校的距離是60公尺，小明的家到學校的距離是. ). 小華家到學校的距離的0.85倍，請問小明的家到學校的距 離是多少公尺？. 23. 胖虎的體重是64公斤，大雄的體重是胖虎的0.65倍，大雄 的體重是多少公斤？. 25. 水桶的容量是0.65公升， 35個水桶容量是多少公升？. 二、試題關聯結構圖 2. 11. 25. 21. 23. 圖 4-34 二位純小數與二位整數乘法試題關聯結構圖. 67.
(68) 三、試題分析 圖 4-34 發現第 2 題為第 11 題之上位概念，實屬不合理，因第 2 題不需計算 出答案，只需了解乘法分配律即可作答，應屬較容易之題目，但卻成為第 11 題 之上位概念，分析其原因，可能學生對小數乘法分配律尚有迷思概念，才會造成 如此的結果。 另第 21 題為第 11 題之下位概念，這兩題雖同為二位純小數與二位整數乘 法，但第 21 題的乘法中，60 雖為二位整數，但可看成乘以一位整數 6，然後再 將小數點往後移一位，如此計算，等於二位純小數與一位整數乘法，因此，成為 第 11 題之下位概念。 第 25 題為第 23 題之上位概念，實屬不合理，因第 23 題的整數數字大於第 25 題整數數字，理應第 23 題之難度應高於第 25 題，不可能成為第 25 題之下位 概念，分析其原因，學生可能對於乘法中，乘積會出現 0 的計算較不易出錯，因 此題 64 乘以 0.65，十位 6 與個位 4 乘以 0.05 都會出現 0 如下：. ×. 0.65 64 260 390 416. 乘積出現 0. 在最後結果之相加，有 0 之加法較不易加錯，因任何數加 0，還是等於它本 身，故第 23 題才成為第 25 題之下位概念。. 伍、 帶小數與一位整數乘法 一、原題目. 68.
(69) 題號. 題目. 8. 3.6 × 8 = (. ). 9. 2.65 × 3 = (. ). 15. 哥哥買9袋水果，每袋水果重3.25公斤，哥哥共買了多 少公斤的水果？. 19. 西瓜1個重2.8公斤，3個西瓜共重多少公斤？. 20. 姊姊拿一支長9.8公分的筷子，連續接了5支，共接了 多少公分？. 26. 洗一件衣服需用掉7.86公克的洗衣粉，洗9件衣服共用 掉多少公克的洗衣粉？. 二、試題關聯結構圖 15. 26. 19. 20. 圖 4-35 帶小數與一位整數乘法試題關聯結構圖 1. 8. 9. 19. 20. 圖 4-36 帶小數與一位整數乘法試題關聯結構圖 2. 69.
(70) 三、試題分析 圖 4-35 發現第 19 題為第 15 題及第 26 題之下位概念，這三題原屬帶小數乘 以一位整數乘法，但第 19 題之帶小數為帶一位小數，而第 15 題及第 26 題之帶 小數為帶二位小數，因此，第 19 題為第 15 題及第 26 題之下位概念，實屬合理， 因帶小數二位與整數之乘法計算比帶小數一位與整數之乘法計算複雜。 圖 4-36 中，第 8 題為第 9 題、第 19 題、第 20 題之上位概念，第 8 題為第 9 題之上位概念，實不合理，因第 8 題為帶小數一位與整數乘法之計算，第 9 題為 帶小數二位與整數乘法之計算，理應第 9 題為第 8 題之上位概念，分析其原因， 可能是數字大小干擾計算，第 8 題之數字大於第 9 題，使得第 8 題計算困難度增 加，成為第 9 題之上位概念。而第 19 題為第 8 題之下位概念，實屬合理，因此 兩題皆為帶一位小數乘以整數，且第 19 題之數字小於第 8 題，故成為第 8 題之 下位概念。同時，第 8 題亦為第 20 題之上位概念，這兩題同為帶一位小數乘以 整數，且第 20 題數字大於第 8 題，理應第 20 題為第 8 題之上位概念，分析其原 因，從計算過程中發現，第 20 題的計算 9.8 × 5，0.8 × 5 之乘積出現 0，使得此題之 計算簡化許多，因此，成為第 8 題之下位概念。 由此可知，在帶小數與一位整數的乘法中，帶小數的小數位數多寡並非影響 作答正確之主要因素，只要學童小數基本概念清楚，便可正確作答；但數值大小 確會影響學童是否正確作答，可能學童之計算能力需加強，教師可多給予學童計 算之練習。 70.
(71) 陸、 帶小數與二位整數乘法 一、原題目 題號. 題目. 12. 13 × 5.78 = (. 16. 靜香每天喝 2.38 公升的牛奶 ，14 天共喝多少. ). 公升的牛奶？. 22. 弟弟每天練習跑步2.74公里，30天共跑多少公里？. 24. 簿子 1 疊有 50 本，老師發了 3.86 疊，共發了多少 本？ 繩子一條 15 公分，綁一件禮物需要 2.85 條，小華. 27. 綁了3件禮物，共需要多少公分的繩子？ 彩帶一條 16 公分，做一個彩球需要 3.52 條，小美. 28. 做了4個彩球，共需要多少公分的彩帶？. 二、試題關聯結構圖 27. 16. 12. 22. 24. 圖 4-37 帶小數與二位整數乘法試題關聯結構圖 1 28. 16. 22. 12. 24. 圖 4-38 帶小數與二位整數乘法試題關聯結構圖 2. 71.
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