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G
(圖七) (圖八
)F
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A
D
臺北市立建國高級中學 數學科
問題編號 912001 下圖一為一個七面體的展開圖：含一個 正方形（邊長 1），4 個等腰三角形（斜邊 2） 與 2 個正三角形（邊長 2），試求此七面體 之體積？參考解答一：
此七面體的體積為正方體 ABCDEFGH (圖七)的體積扣掉 E-AFH 及 G-CFH 的體積 1x1x 1 - (1 x 1 x 1 2 x1x 1 3 +1x 1x 1 2 x1x 1 3 ) = 1 – ( 1 6 + 1 6 ) = 1 – 1 3 = 2 3 ，體積為 2 3 立方單位。參考解答二：
依 題 意 可 得 如 圖 八 的七面體： (1)考慮正三角錐 A-CFH 的體積(如圖九) ∵ΔCFH 的高為 2 x 3 2 = 6 2 ， 且重心到邊的距離為 6 2 x 1 3 = 6 6 ∴ ( 6 2 ) 2 – ( 6 6 ) 2 = 6 4 – 6 36 = 4 3 = 2 3 3 (此為正三角錐 A -CFH 的高) =>正三角錐 A -CFH 的 體積： 2 x 6 2 x 1 2 x 2 3 3 x 1 3 = 1 3 (2)考慮 F-ABC 及 H-ADC 兩 直 角 三 角 錐 的 體 積 (如圖十) 其體積為： 2 x (1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 3 ) = 1 3 將 正 三 角 錐 A -CFH 的體積及 F-ABC 及 H-ADC 兩直角 三角錐的體積加起來=>1 3 + 1 3 = 2 3 ，所以此 七面體的體積為 2 3 立方單位。 評析： 本題徵答人數共有 20 人，其中全對者共 19 人，包含建國高中黃彥豪；中山國中許朝 雄；金華國中張皓鈞；江翠國中林鈺傑、侯 天崎、莊智涵、許碩彥、陳建宏、黃俊嘉、 簡農軒；福和國中李志軒、李冠霆、沈彥汝、 周志遠、周育正、林昇誼、梁守辰、梅振群、 黃彥銘等同學。本題平均得分為 6.65 分。其 中，答題優良、解法富參考價值者有建國高 中黃彥豪同學、福和國中林昇誼同學、福和 國中黃彥銘同學等。A
C
F
H
2 2 2 (圖九
) (圖十
)F
A
B
C
H
A
D
C
（圖一）問題編號 912002 凡是可以表示成 p q 形式的數，稱為有理 數（p,q是整數,p≠0），凡是不能表示成 p q 形 式的數，稱為無理數。設a<b，且a,b均為 無 理 數 ， 請 問a,b之間是否存在著無理數？ 若有，請找出一個介於a,b之間的無理數。
參考解答：
∵a < a+b 2 < b (1)若 a+b 2 為無理數，則 a+b 2 即 為 所 求 。 (2)若 a+b 2 為有理數，則繼續取 a+b 2 與 a 的中間數，即 3a+b 4 又 a < 3a+b 4 < a+b 2 < b ，且 3a+b 4 為一 有理數與無理數之和， ∴ 3a+b 4 為無理數，即為所求。 評析： 本題徵答人數共有 19 人，其中全對者共 6 人，包含福和國中吳霽庭、李志軒、周志 遠、林佑蓉、林佑蒔、梁守辰等同學。本題 平均得分為 3.21 分。其中，答題優良或解法 富參考價值者有福和國中周育正同學。 問題編號 912003 CK 先生到處做生意，因此為了方便， 他便在常做生意的地方買了房子，現在知道 他在台北、台中、高雄、香港、上海、北京 皆有房子，而且目前他住在台北，有一天他 跟秘書說，他準備做一次五天的生意旅行， 每天要到另一處據點，且住宿該處，但第二 天一定要前進到別處，問： (1)若每天住的地方都不重複，有 種行程安排。 (2)若只規定隔天要去另一據點，則又有幾種 行程可安排？ （注意：第五天他要回到台北）參考解答一：
(1)共有 5 天的行程要安排：題目明示第 5 天 要在台北→只有 1 種選擇 第 1 天可去除了台北之外的其他 5 個地方 →有 5 種選擇 第 2 天除了台北之外，且不可與第 1 天重 複→有 4 種選擇 依此類推→5x4x3x2x1=120，共有 120 種 安排。 (2)A .將台北除去： 第 1 天可去 5 地→5 種 第 2 天可去 4 地(不與前 1 天重複)→4 種 第 3 天可去 4 地(不與前 1 天，即第 2 天重複)→4 種 依此類推 => 5x4x4x4 x1=320 B.考慮台北： 由 於 相 鄰 兩 天 不 可 在 同 一 地 方 → 台 北 可出現在旅行中的第 2 天與第 3 天 台北若排在第 2 天→5x1x5x4x1=100 台北若排在第 3 天→5x4x1x5x1=100 =>320+100+100=520，共有 520 種安排。(1)共有 5 天，5x4x3x2x1=120，共有 120 種 安排。 (2)台北不可排在第 4 天→所有情形扣去第 4 天在台北的安排 54-5x1x5x1 -5x4x4x1=625-25-80=520，共有 520 種安排。 評析： 本題徵答人數共有 25 人，其中全對者共 18 人，包含江翠國中林鈺傑、侯天崎、莊智 涵、許碩彥、黃俊嘉、簡農軒；福和國中田 雅汶、李志軒、李冠霆、沈彥汝、周志遠、 周育正、林佑蓉、林佑蒔、林瑋詩、梁守辰、 梅振群、黃彥銘等同學。本題平均得分為 5.64 分。其中，答題優良或解法富參考價值者有 江翠國中許碩彥同學、福和國中梁守辰同學 等。 問題編號 912004 小華喜歡畫畫，常常把哥哥的作業亂塗 顏色，哥哥心生一計，便畫了圖形（如下圖 二），告訴小華說〝如果有紅綠黃藍黑五色讓 你去著色，但規定任二格擁有相同線段的不 可以著同一種顏色，則可以怎麼著色？〞小 華 很 快 的 塗 了 一 種 方 式 ， 但 哥 哥 又 說 〝你必須把所 有 可 能 的 圖 案 都 畫 出 來，以後才可以亂 塗 我 的 東 西 〞， 試 三所示，則有多少種著色方法？
參考解答：
(1)設左上為 A 、右上為 B、 左下為 C、右下為 D，如 圖十一依題意，A 與 D 可 同色，也可不同色 =>A=D，ADBC→5x1x4x4=80 =>A≠D，ADBC→5x4x3x3=180 80+180=260，所以小華應畫出 260 種。 (2)設左上為 A 、中上為 B、右上為 C、左下 為 D、中下為 E、右下為 F，如圖十二 (先考慮 ABED 的塗色方法，再加進 C 與 F) 由(1)可知 ABED 的塗色方法共有 260 種， 依題意， B 與 F 可同色，也可不同色 (或也可考慮 C 與 E 之間同色與不同色的 情形) =>B=F ，FC→1x4=4 =>B≠F，FC→3x3=9 260x(4+9)=3380，所以 小華應畫出 3380 種。 評析： 本題徵答人數共有 22 人，其中全對者共 12 人，包含建國高中黃彥豪；江翠國中李育 丞、莊智涵；福和國中吳霽庭、李志軒、沈 彥汝、周志遠、周育正、林佑蒔、林瑋詩、 梁守辰、梅振群等同學。本題平均得分為 4.68 分。其中，答題優良或解法富參考價值者有 建 國 高 中 黃 彥 豪 同 學 、 福 和 國 中李 志 軒 同 學、福和國中沈彥汝同學等。A
B
C
D
(圖十一)A B
C
D E
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(圖十二
) （圖二） （圖三）問題編號 912005 這是一個數字盤，現有紅白兩個神奇按 鈕，每按一次，可令其周圍的四個數字逆時 針旋轉一格，（如圖四，按下紅色鈕，四周的 四個數字 8,10,13,7 逆時針轉一格，將數字的 排列方式變為圖五所示） （圖四） (圖五） 依 照 上 述 的 遊 戲 規則，是否可經過若 干次操作，將圖四中 的數字盤變成下圖六 之數字排列？如果可 以，請告訴我，你是 怎麼做到的？如果不 行，請說明原因。
參考解答：
先 將 按 鈕 做 編 號，上至下、左至右 從 A 編號到 I，一次 步 驟 是 按 一 次 按 鈕 ( 即 周 圍 四 個 數 字 旋 轉一格) 可採取下列步驟： 方式 1 是將數字較小的往上放、大的往 下擺，然後調整位置 1.AAACCFFHHDDAAHHHIIIEECBFFFABC DDDCCEEECCHEEEGGGDEHGHGGHHH EEEFFFBFBBBGHEEEGGGFFFBFBBB → done 方式 2 是先固定出第 1 行、再固定第 2 行，最後調整 3、4 行 2.BBCCABDECCFFC GDHDEEGHGIHIFFIIFFF IGIHHHIIHGIHHGGGIHIIHHGGG→done 方式 3 是先選定一些數字(如 1、2)將其 轉至欲放的位置，再調整其他3.BBACCB FFCDEFFC GDHHDGHIIF HHGHGIHHIIHHHIH→done 評析： 本題徵答人數共有 5 人，其中全對者共 3 人，包含福和國中李志軒、周志遠、林昇 誼等同學。本題平均得分為 4.2 分。 8 10 12 16 7 13 1 2 4 15 3 9 11 5 6 14 10 13 12 16 8 7 1 2 4 15 3 9 11 5 6 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
