2-2-1排列組合-集合與計數原理

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(1)(99 課綱) 第二冊第二章排列、組合 2-1 集合與計數原理【目標】首先能理解基本的邏輯用語中，『或』﹑ 『且』與『敘述的否定』的意義，以及『笛摩根定律』，以便處理『集合』與『集合的計數』相關的問題。再者，能了解『聯集』﹑ 『交集』﹑ 『補集』﹑ 『差集』﹑ 『積集』與『文氏圖』的意義，以及集合之間的運算法則，並結合基本的計數原理，包括：窮舉法﹑加法原理﹑乘法原理﹑取捨原理，來處理生活中常見的計數問題。【定義】 1. 集合：把一些物件放在一起就形成一個集合，通常以大寫英文字母表示。註： (1) 集合有以下特性：確定性，互異性，無序性。 2. 元素：集合裡的每一個體稱為集合的元素，通常以小寫英文字母表示。 3. 「或」、「且」： (1) 兩敘述以「或」連接，表這兩敘述中至少有一個是肯定的。 (2) 兩敘述以「且」連接，表這兩敘述都是肯定的。 4. 否定敘述：兩敘述互為否定敘述時，兩者中恰一成立。【性質】 1. 笛摩根定律： (1) 非( p 且 q )  (非 p )或(非 q )。註：常會寫成(非 p )且(非 q ) (2) 非( p 或 q )  (非 p )且(非 q )。註：常會寫成(非 p )或(非 q ). 1.

(2) 【方法】 1. 描述集合的方法： (1) 列舉法：將集合中的元素逐一列舉在大刮號裡的表示方法。形如 {元素1, 元素2,} 。 (2) 描述法：在集合豎線的右側寫出集合元素的共同性質的表示方法。形如 {元素 | 條件} 。【定義】 1. 屬於：如果 x 是 A 中的元素，記為 x  A 。如果 x 不是 A 中的元素，記為 x  A ，唸成 x 不屬於 A 。 2. 包含於與包含：如果集合 A 中的每一個元素都在集合 B 中，稱 A 是 B 的部分集合(或稱子集)，記為 A  B 讀作 A 包含於 B ，也可記為 B  A ，讀作 B 包含 A ，否則記為 A  B。註： (1) 包含於有含相等的可能情形。 (2) 當命題「若 x  A ，則 x  B 」為真，稱集合 A 包含於 B ，記為 A  B 。 3. 集合相等：若集合 A 與 B 滿足 A  B 且 B  A ，則稱集合 A 與 B 相等，記為 A  B 。 4. 空集合(empty set)：一個集合裡沒有任何元素時，稱為空集合，記為  或 {} 。註：空集合為任意集合的子集。 5. 聯集(union)、交集(intersection)、差集： (1) A  B  {x | x  A 或 x  B} ，讀成 A 聯 B 。 (2) A  B  {x | x  A且 x  B} ，讀成 A 交 B 。 (3) A  B  {x | x  A且x  B} ，讀成 A 減 B 。註： (1) 依序讀作 A 聯 B ， A 交 B ， A 減 B 。 (2) 集合 A, B 的聯集﹑交集﹑差集常用文氏圖表示。. 6.. 互斥：當集合 A, B 的交集 A  B   時，稱 A, B 互斥，也稱 A, B 不相交，可以不重疊的圓盤表示。. 7.. 宇集：討論集合時，若各集合中的元素都是同一個大集合 U 中的元素，則可稱 U 為宇集。. 2.

(3) 8.. 補集(餘集)：集合 A 以 U 為宇集時， A 的補集 A'  {x | x U且x  A}  U  A 。. 積集：設 A, B 是集合，則 A 乘以 B 的積集 A  B  {(a, b) | a  A且b  B} 。 10. 集合的個數：如果集合 A 的元素個數是有限多個時，我們以 | A | 表示 A 中的元素個數。註：也可用 n(A) 或 # ( A) 等表示。 9.. 3.

(4) 【性質】 1. 集合的笛摩根定律： (1) ( A  B)'  A'B' 。表示至少有一個對的相反即全部都錯。 (2) ( A  B)'  A'B' 。表示全部都對的相反即至少有一個錯。 (3) ( A  B  C )'  A'B'C ' 。 (4) ( A  B  C )'  A'B'C ' 。註：可用文氏圖說明或代數法證明。 2. 一一對應原理：兩集合 A, B 在某種對應下成立一一對應關係時，可經由計數集合 B 的元素個數而得到集合 A 的元素個數。 3. 基本計數問題： (1) 窮舉法(枚舉法)：將各種情形一一枚舉列出。 (2) 樹狀圖(樹形圖)：將各種情形依樹狀圖一一列出。註：分類與列舉時注意不可重複、不可遺漏。 4. 加法原理：（一種分割或一種分類後計數之法）：處理計數問題時，依條件的要求分類(分類法可能不是唯一的)，使各類之間不會有重複的情況，然後不遺漏的點算各類的物件，將各類的物件相加，其總和就是所欲計數的物件數，這個計數法則稱為加法原理。 (1) 設 A, B 是有限集合，若 A 與 B 互斥，則 | A  B || A |  | B | 。 (2) 設 A, B, C 是有限集合，若 A, B, C 互斥(即兩兩交集為  )，則 A  B 與 C 亦互斥，故 | A  B  C |  | ( A  B)  C |  | A  B |  | C |  | A |  | B |  | C | 。 (3) 若 A1 , A2 , , An 是互斥 ( 兩兩交集為  ) 的有限集合，則 | A1  A2   An |  | A1 |  | A2 |   | An | 。註： (1) 設 A, B 是有限集合，由於 A  ( A  B)  ( A  B) ，且 A  B 與 A  B 互斥，由加法原理知 | A |  | A  B |  | A  B | ，得到 | A  B |  | A |  | A  B | 。. 5.. 取捨原理(容斥原理或排容原理)：設 A, B, C 是有限集合，則 (1) | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。 (2) | A  B  C | | A |  | B |  | C |  | A  B |  | B  C |  | C  A |  | A  B  C | 。註： (1) 取捨原理的直觀意義就是在計算 | A  B | 時，將 | A |  | B | 再扣除重複的部分 | A  B | 。任意有限集合 A, B ， A 與 B 不一定互斥，而 A  B  ( A  B)  B ，且 A  B 與 B 互斥，故 | A  B |  | ( A  B)  B |  | A  B |  | B |  | A |  | A  B |  | B |  | A|  | B |  | A B | 。. 4.

(5) (2) 圖中共分為七塊區域，在 | A |  | B |  | C | 中各區域計算的次數如圖所標示，從中扣除重複部分 | A  B | ， | B  C |, | C  A | 時， | A  B  C | 被完全扣除，還需再加回。即 | A B C |  | A|  | B |  | C |  | A B |  | B C |  | C  A|  | A B C |。. (3) 兩集合 A, B 互斥時， A  B  ，故 | A  B |  |  |  0 。此時，由取捨原理， | A  B |  | A |  | B |  | A  B |  | A |  | B |  0  | A |  | B |，所以加法原理是取捨原理的特例。 (4) 當三集合 A, B, C 互斥時， A  B  B  C  C  A  A  B  C   ，取捨原理又簡化成加法原理，即 | A  B  C |  | A |  | B |  | C | 。 n. (5) n 個集合 A1 , A2 ,, An 的聯集個數 n( A1  A2    An ) 等於  n( Ai ) 減 i 1. 去任 2 個集合交集的元素個數(即  n( Ai  A j ) )，再加上任 3 個集合的 i j. 元素個數(即.  n( A  A. i  j k. 6.. 7.. i. j.  Ak ) )，…，直到 n 個集合交集的元素個數(即. n( A1  A2    An ) )為止。分割：當一集合 S 可表為 n 個互斥集合 A1 , A2 , , An 的聯集時， A1 , A2 , , An 為集合 S 的一個分割。乘法原理：當解決一件事務的過程可分成 k 個步驟時，若第一個步驟有 n1 種方法完成，其中的每個方法在第二個步驟有 n2 種方法完成，  ；第 k  1 個步驟中的每個方法在第 k 個步驟有 nk 種方法完成，則完成此事務的方法數為 n1  n2   nk ，這個計數法則稱為乘法原理。. (1) 設 A1, A2 ,, An 是有限集合 S 的一個分割，若 | A1 || A2 |  | An | m ，則 | S | m  n 。 (2) 設 A, B 是有限集合，則 | A  B || A |  | B || B |  | A | ，但 A  B  B  A 。 (3) | A1  A2   Ak |  | A1 |  | A2 |   | Ak |。特別地，| Ak |  | A  A   A |  | A |k 。 ( A自乘 k 次). 8.. 註： (1) 乘法原理的意義是這樣：若集合 S 中的元素可分成(互斥的) n 類，其中每一類都有 m 個元素，則集合 S 有 m  n 個元素。乘法原理可以推廣：若集合 S 中的元素可分成 n1 類，其中每一類又可分成 n2 類，…，其中每一類又可分成 nk 1 類，又其中每一類都有 nk 個元素，則集合 S 共有 n1  n2   nk 1  nk 個元素。 (1) ( A  B)  C  A  (B  C )  A  B  C 。 (2) ( A  B)  C  A  (B  C )  A  B  C 。 5.

(6) 【問題】 1. A  A ？ 2. 若 A  B ，則 B  A ？ 3. 若 A  B ，則 B  A ？ 4. 下列各表示何種涵義：  ,{},{},{{}},{0},0,{x | x  x} ？哪些是相等的集合？ 5. 試判別   A ？ 0  {0} ？ 0   ？ 0   ？ 0  {0} ？   {0} ？ 6. n 個元素的集合共有幾種不同的子集？ 7. 試判別矩形、正方形、菱形、平行四邊形、四邊形等集合之間的關係？ 8. 試求 U '  ？  '  ？ A  A'  ？ A  A'  ？ 9. 若 A  B   ，則 A  B  ？ B  A  ？ 10. 若 A  B ，則 A  B  ？ B  A  ？ 11. 若 A  B ，則 B'  A'  ？ 12. 若 A  B 則下列何者為空集合？ A  B' ， A'B ， A'B' ， A  B ？ 13. ( A  B)'  A'  B' ？ ( A  B)'  A'  B' ？ 14. A  B  ( A  B)  B ？ A  B  ( A  B)  ( A  B)  ( B  A) ？【問題】 1. 設有 A, B, C, D, E, F , G 等七人排成一列，問下列各涵意為何？ (1) A, B, C 完全相鄰。(2) A, B, C 完全分開。 (3) A, B, C 不完全相鄰。(4) A, B, C 不完全分開。 2. 設 A, B, C, D, E 分別是下列的集合： A ：四邊形， B ：平行四邊形， C ：矩形， D ：菱形， E ：正方形。試寫出 A, B, C, D, E 之間的包含關係，並以文氏圖表示出來。解答： E  C  B  A 且 E  D  B  A。. 3. 4. 5. 6.. 有 7 件不同的禮物分給 A, B, C, D 四人，若每人至少得一件，求方法有幾種？甲乙丙丁戊五人排成一列，若規定甲乙不排首，且丙丁不排尾之排法有幾種？試求不超過 100 的正整數中，是 2 的倍數或 3 的倍數的數有幾個？設 a, b, c, d , e 表 1,2,3,4,5 之一排列，求滿足 (a  1)(b  2)(c  3)(d  4)(e  5)  0 的 (a, b, c, d , e) 共有幾組？. 6.

(7) 7.. 8.. 如圖，其中 A, B, C, D 四個區域，若有 5 種顏色供選用，將每個區域塗上一種顏色，相鄰區域不得同色，試求共有多少種塗法？. 解答：所有著色的方法可以就 D 的顏色分成 5 類，每一類就 A 的顏色細分 4 類，然後 B 又細分 4 類，最後 C 又有 4 種著色法，所以著色法共有 5  4  4  4  320 種。如圖，其中有 A, B, C, D, E, F 六個區域，若有 5 種顏色供選用，將每個區域塗上一種顏色，相鄰區域不得同色，且 5 種顏色都用，試求共有多少種塗法？. 解答：因為 6 個區域必須塗 5 個顏色，所以其中恰有兩個不相鄰的區域塗同一色，其餘的區域塗另四種顏色。此時，塗同一色的區域可能是 AC , AE , AF , BD, BF , CD, CE, DF 等八種情況，利用乘法原理可知著色方法數共有 8  5  4  3  2 1  960 。【應用】設 n 為自然數，若 n  p1 r1  p2 r1    pk rk 1 ，其中 p1 , p2 ,, pk 為相異質數，. r1 , r2 ,, rk 為自然數，則： 1. n 有 (r1  1)(r2  1)(rk  1) 個正因數。 2. n 的所有正因數總合為 (1  p1  p1    p1 1 )(1  p2  p2    p2 21 )(1  pk  pk    pk k ) 。 2. 3.. r. n 的所有正因數乘積為. 2. ( r1 1)( r2 1)( rk 1). n. 2. r. 。. 7. 2. r.

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