《代数式》全章复习与巩固（提高）知识讲解

(1)

《代数式》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】 1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示； 2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实生活的密切联系； 3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律； 4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念； 5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并熟练运用整式的加减运算法则，进行整式的加减运算、求值； 6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ， 2 n ，₍_a__b₎2_{等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、} ÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写．要点二、整式的相关概念 1．单项式：由数与字母的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

(2)

要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列：　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式．要点三、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．【典型例题】类型一、代数式 1．某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支，书法练习本 x（x≥10）本. (1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额. (2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本 30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．【答案与解析】解:设买练习本 x,则得两种购买方法的代数式为: (1) 代数式分别为: 25×10+5(x-10), (25×10+5x) ×90%

(3)

（元） (25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元）所以选择第一种优惠方式．【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型．类型二、整式的相关概念 2．（2016 春新泰市期中）下列说法正确的是（　　）• A．1 xy﹣ 是单项式 B．ab 没有系数

C．﹣5 是一次一项式 D．﹣a2_{b+ab abc}_﹣ 2_{是四次三项式}

【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案．【答案】D．【解析】解：A、1 xy﹣ 是多项式，故 A 错误； B、ab 的系数是 1，故 B 错误； C、﹣5 是单项式，故 C 错误；

D、﹣a2_{b+ab abc}_﹣ 2_{是四次三项式，故 D 正确；}

故选：D．【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项．举一反三：【变式 1】若单项式

_

₂

_{x y}

a b2_与单项式

₃

_{y x}

2b 5_{的和是单项式，那么}

_{3a b}

_{ }

_．【答案】15 【变式 2 】若多项式

₍

_m

_

₄₎

_x

3

_

_x

n1

_

₅

_x

_

₍

_{n m}

_{ }

₂₎

_{是关于}

_x

_{的二次三项式，则}

________

m



_，

n



________

_{，这个二次三项式为 .} 【答案】



4, 3,

_x

2

_

₅

_x

_

₉

类型三、整式的加减运算 3．若

2

3 1

1

5 2 1

3

5

m n

m

n

x



y

_与

_



x y

 是同类项，求出 m, n 的值，并把这两个单项式相加. 【答案与解析】解：因为

2

3 1

1 5

2 1

3

5

m n

m

n

x



y

与





x y

 是同类项，所以

3 1 5,

2 1 1.

m

n

 





_{ }



解得

2,

1. m

n





 



当

m



2

且

n



1

时，

(4)

5 5 5 5 3 1 5 2 1

2

1

4

2 4 2

14 (

)

(

)

3

5

3

5 3 5

15

m n

m

n

x



y

 



x y





x y



x y





x y



x y

. 【总结升华】本题考查了同类项：含有相同的字母，并且相同字母的指数相等；合并同类项就是把系数相加减，字母部分不变．举一反三：【变式】合并同类项． (1) 2 2 2 2

3 x



4 xy



4 y



5 x



2 xy



2 y

； (2)

5

9

3 2

9

1

3 2

11

3

5

2

4

2

4 xy



x y



xy



x y



xy x y



．【答案】 (1)原式＝ 2 2

(3 5)



x

  

( 4 2)

xy

 

(4 2)

y

2 2

2 x

2 xy

2 y

 





(2)原式

5 9 11

9

3 2

1

3 2 3

5

4

4 xy

2 x y

x y











_

 

_

 

_



_











3 2 3

4 x y

x y

5  



． 4. 从一个多项式中减去

2 ab



3 bc



4

，由于误认为加上这个式子，得到

2 bc



2 ab



1

，试求正确答案. 【答案与解析】解：设该多项式为 A，依题意，

A



(2

ab



3 bc



4) 2



bc



2 ab



1 (2

2 1) (2

3 4)

A



bc



ab

 

ab



bc



(2

3 4) (2

2 1) 2(2

3 4)

A



ab



bc





bc



ab

 

ab



bc



2 bc

2 ab

1 4

ab

6 bc

8 8

bc

6 ab

9 



 



 



答：正确答案是

8 bc



6 ab



9

．【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体来加减．举一反三：

【变式 1】已知 A＝x2_＋2y2_－z2_，B＝－4x2_＋3y2_＋2z2_{，且 A＋B＋C＝0，则多项式 C} 为( )．

　　A．5x2_－y2_－z2_B．3x2_－5y2_－z2 　　C．3x2_－y2_－3z2_D．3x2_－5y2_＋z2 【答案】B 【变式 2】先化简代数式

2

1

2

(3

2

5 1)

1

5

3 a

a

3 a











_



_



 



_

_









，然后选取一个使原式有意义的 a 的值代入求值．【答案】

2 a





_

1 a

2



_



(3

a

2



5 a

 

1)

1 a



5 _



_



_

2 _a

_

_[

1 _a

2

_

₍₃

_a

2

_

₅

_a

_{ }

₁

1 _a

_

_5)]

(5)

2 2

2

1

16 [

(3

4)]

3 a

a

3 a





2 ₍

1

2

₃

2

16 ₄₎

3 a

a

3 a







2

8

16 (

4)

3 a



 



2

8

2

16 ₄

3 a







8

2

14 ₄

3 a





．当

a



0

时，原式＝0-0-4＝-4． 【变式 3】(1) (x＋y)2_{－10x－10y＋25＝(x＋y)}2_{－10(______)＋25;} 　　　　(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]． 【答案】（1）x＋y　　　　（2）－b＋c，－b＋c 类型四、化简求值 5. （1）直接化简代入

　当 时，求代数式 15a2_－{－4a2_＋[5a－8a2_－(2a2_－a)＋9a2_]_{－3a｝的值．} 　（2）条件求值 　　已知(2a＋b＋3)2_{＋｜b－1｜＝0，求 3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1 的值．} 　（3）整体代入 　　(鄂州)已知

_m

2

_{  }

_m

_{1 0}

_，求

_m

3

_

₂

_m

2

_

₂₀₀₉

_的值．　【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行求解. 【答案与解析】

解：（1）原式=15a2_－[－4a2_＋(5a－8a2_－2a2_+a＋9a2_)－3a] 　　　　　　=15a2_－[－4a2_＋(6a－a2_)－3a]

　　　　　　=15a2_－(－4a2_＋6a－a2_－3a) 　　　　　　=15a2_－(－5a2_＋3a)

　　　　　　=15a2_+5a2_—3a=20a2_—3a

　　　　当时，原式= = = 　　（2）由(2a＋b＋3)2_{＋｜b－1｜＝0 可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得 a=} -2，b=1. 　　　　3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1 　　　　=3a－3(2b－8＋3a－2b－1－a)＋1 　　　　=3a－3(2a－9)＋1 　　　　=3a－6a+27＋1 　　　　=28—3a 　　　　由 a= -2 　　　　则原式=28—3a=28+6=34 （3）∵

_m

2

_{  }

_m

_{1 0}

_，∴

_m

2

_{ }

_m

₁

_． ∵ 2 2 2

2 2009

m



m



m



3 2 2

2009

m





_

₍

_m

3

_

_m

2

₎

_

_m

2

_

₂₀₀₉

(6)

2 2

(

)

2009

m m

m





2

2009

m m

 



 

1 2009



2010

．所以 3 2

2 2009

m



m



的值为 2010．【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．举一反三：【变式】（2014 秋越秀区期末）先化简，再求值：• （1）（5x+y）﹣（3x+4y），其中 x= ，y= ；

（2）（a+b）2_{+9（a+b）+15（a+b）}2_{﹣（a+b），其中 a+b= ．}

【答案】解：（1）原式=5x+y 3x 4y=2x 3y﹣ ﹣ ﹣ ，当 x= ，y= 时，原式=1 2= 1﹣ ﹣ ；（2）原式=16（a+b）2_{+8（a+b），} 当 a+b= 时，原式=1+2=3．类型五、综合应用 6. 对于任意有理数 x，比较多项式 2

4 x



5 x



2

与 2

3 x



5 x



2

的值的大小．【答案与解析】解：

₍₄

_x

2

_

₅

_x

_{ }

_{2) (3}

_x

2

_

₅

_x

_

_{2) 4}

_

_x

2

_

₅

_x

_{ }

_{2 3}

_x

2

_

₅

_x

_{ }

₂

_x

2

_

₄

∵ 2

4 0

x

 

∴无论 x 为何值，

₄

_x

2

_

₅

_x

_

₂

_＞

₃

_x

2

_

₅

_x

_

₂

_．【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．举一反三：【变式】如果关于 x，y 的多项式