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國立台中教育大學九十五學年度研究所碩士班招生考試
微積分 科試題
一、選擇題（共 10 題，每題 5 分，共 50 分） 1. 若a0 +a1 +a2 +Λ +ak =0，則(
+ + + + +)
= ∞ → a n a n ak n k n 1 Λ lim 0 1 ？ 1 0 2 1 3 k 4 k 2. 設0≤ t≤1且p>2，若{
p p}
p t t t t t f 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 − + − + = ，則max ( ) 1 0≤t≤ f t 之值為何？ 1 2 1 2 1 3 p 2 1 2− 4 ∞ 3. 令 = ≠ + − = , ) 0 , 0 ( ) , ( 0 , ) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 2 2 3 y x y x y x xy x y x f 則下列何者正確？ 1 f(x,y)在（0,0）連續且可微 2 f(x,y)在（0,0）連續，但在（0,0）不可微 3 f(x,y)在（0,0）之方向導數不存在 4 f(x,y)在（0,0）之方向導數存在且可微 測統統計組、數教理論組 用2 4. 試求
=
−
∫
→ x xt
dt
t
x
x
3 3sin
3
lim
？ 1 3 1 sin 2 3 3 sin 3 sin 1 4 sin 3 5. 關於函數 3 1 ) ( ) , (x y xy f = 之敘述，下列何者錯誤？ 1 f(x ,1)為 x 之連續函數 2 f( y1, )為 x 之連續函數 3 fx(0,0)不存在 4 f(x,y)在（0,0）不可微 6. 試求 →∞=
n
n
n n 1)
!
(
lim
？ 1 0 2 e 1 3 1 4 ∞ 7. 若∫
+=
x edt
e
x
f
t x 0)
(
，試求 f' x( )=？ 1 e x ex e e 2 −2 2 ex ex e e 2 − 2 3 ex ex e e 2 2 2 − 4 e x ex e e 2 −3 8. 試求limsupn→∞(2−0.5 n)=？ 1 －∞ 2 0 3 2 4 ∞ 9. 若
−
−
=
8
)
1
(
exp
)
(
2x
x
f
，試問f(x)共有幾個反曲點（inflection points）？ 1 0 2 1 3 2 4 3 10. Fibonacci 數列的遞迴（recursive）為 f1=1 ,f2 =1, fn = fn−1+ fn−2, ∀n=3,4,5Λ ,試 求∑
∞ = =2 −1 +1 n n n n f f f ？ 1 2 1 2 1 3 2 3 4 2 二、計算及問答題（共三大題，第一題 10 分，第二題 15 分，第三題 25 分，共 50 分） 1. 拋物線 2 ) 1 ( − = x y ，試以x=1為旋轉軸，將拋物線由 A（1,0）到 B（1+ 2,2） 的弧旋轉一圈，請求出該段弧旋轉所產生的弧面面積＝？（10%） 2. 函數 2 :y x f = ； 3 :y x g = ，所圍成的封閉區域以 y 軸為旋轉軸，旋轉 360° 後， 所形成的形體，其體積多少？（15%）4
3. We have the graph of f' and the point intersection with x-axies is (-3,0)、(-1,0)、 (3,0)，the graph of f' has local maximum at x=1 and local minimum at x=−2，
see figure A；（25%）
(a) Where is the function f increasing？Decreasing？ (b) Where is the function f concaveup？concavedown？
(c) Where is the function f local maximum？local minimum？inflection point？ (d) Sketch the graph of f 。
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
