中「多或少」的察覺

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(1)

許建銘

高雄市立龍華國民中學

一、前言:

現代人工作忙碌,為了替自己安排出更 井然有序的生活步調,「時間管理」、「理財規 劃 」 … … 似 乎 成 為 許 多 人 生 活 中 必 修 的 功 課。尤其近幾年來,這種強調「平實活用」、 「快又有效」的需求與覺察,也帶給在台灣 從事基礎數學教育的有關人員,一股「求新 求變」的訊息和行動,於是許多中學數學教 師正為耕耘更「生活化」、「實用性」、「多采 多姿」的數學教學作改革與努力,而像「精 打細算」、「或多或少」這種與日常生活息息 相關,不會從腦海中消失的思考問題,就成 為設計與解決數學 問題時「永不凋零」的題 材。 記得自己讀國中的時候,曾被問過這道 問題:「若吃剩的糖果紙,收集 3 張可再換一 顆糖果。那麼買 50 顆糖果,最多可吃到多少 顆糖果?」 當時為了解出這個問題,我用耐心和細 心累加得出了「 74 顆」的答案。不過出題的 人卻說我的答案不對。後來即使經我反覆重 算還是:「74 顆」,當然出題者還是說:「不 對!」最後他說了理由:「吃完 74 顆糖果後, 還剩下兩張糖果紙。如果先向朋友借一張而 湊足三張,就可以多換一顆糖果來吃,而這 顆糖果的糖果紙再拿去還朋友,不就可以吃 到 75 顆了嗎!」 或許,我們可以把剛才的解題,用比較 「開放性」與「趣味性」的角度去看待它。 不過事實上,早在數十年前或更早之前,就 有人想出相關問題很完整的代數解法了(不 含借糖果紙的情形)。 例題:某連鎖零食店為了促銷與配合環 保,回收糖果紙。每 3 張特定牌子的糖果紙, 可以換一顆相同的糖果。如果小傑某年吃了 該品牌的糖果 83 顆,那麼他最少買了多少顆 糖果? 讓 我 們 假 設 買

x

顆 時 , 最 多 可 以 吃 到 ) (x f 顆。此時剩下的糖果紙不是 1 張就是 2 張,而且 f(x+2)= f(x)+3,現在讓我先證 明這個式子的正確性: 如果剩下的糖果紙是 1 張,那再買 2 顆 糖果,除了有原先兩顆糖果吃外,還可用 3 張糖果紙再換 1 顆糖來吃,而最後剩 1 張糖 果紙。 如果剩下的糖果紙是 2 張,那再買 2 顆 糖果,除了有原先兩顆糖果吃外,還可用 3 張糖果紙再換 1 顆糖來吃,而最後剩 2 張糖 果紙。 而 f(1)=1,所以買奇數顆糖果 1,3,5, 7,……可以吃到的糖果數為 1,4,7,10,…… 成等差數列;而 f(2)=2,所以買偶數顆糖 果 2,4,6,8,……可以吃到的糖果數為 2, 5,8,11,……也成等差數列。所以歸納得

(2)

到: 若買2n−1顆糖果,可吃到 2 3 3 ) 1 ( 1 ) 1 2 ( n− = + n− × = nf 顆糖果; 若買2n顆糖果,可吃到 1 3 3 ) 1 ( 2 ) 2 ( n = + n− × = nf 顆糖果。 由 此 證 得 f(x+2) = f(x)+3的 式 子 成 立,而例題也就可以這樣來解: (1)若3n−2=83,則 3 1 28 3 85 = = n (不合) (2)若3n−1=83,則n=28 ⇒2n=56 ,所以 買了 56 顆糖果。 當然,我們也可以試著用一般的算術求 解 , 不 過 讓 我 們 先 假 設 糖 果 是 一 顆 一 顆 零 買,而且只要有 3 張糖果紙就拿去換一顆糖 果來吃。同時,也讓我們畫個圖(如 下 圖 )來 輔助說明:83 顆糖果由上而下,由左而右, 每 3 個排成 1 行,而 83 除以 3 得商 27 餘數 2,所以共 28 行。而第 2 行至第 28 行最上面 的一顆糖果( 加 一 條 斜 線 段 作 記 號 的 , 共 有 27 顆)就是表示用三張糖果紙換來的,所以 最少買了 83﹣27=56 顆糖果。

二、本文:

(一)問題 1:

如何在銳角∆ABC的三邊上取四點 M、 N、P、Q,使 MNPQ 為面積最大的矩形?而 P、Q 兩點在BC上,M、N 兩 點 分 別 在 ABAC上。 解法: (1)如圖 1-1,令BC=aBC上的高AH = h。 (2)假設MN=x h NP h a x: =( − :) Q hx NP a ah− × = ∴ ) (a x a h NP= − ⇒ (3)MNPQ 面積 ) ( ) ( x2 ax a h x a a h x⋅ − = − + = 4 4 ) 2 (x a 2 ah ah a h + − = 2 a x= ⇒ 時,MNPQ 有最大面積 4 ah 也就說當 M、N 為

AB

AC

中點時, 矩形 MNPQ 的面積為最大。 另解: (1)剪出與△ABC 為全等形的三張紙。 (2) 摺 出 每 張 紙BC上 的 高 , 也 就 是 摺 痕 線 AH。 (3)○1取第一張紙,並利用直角△斜邊中點至 三頂點等距離的性質進行摺紙活動(如 圖 1-2)。 ○2將紙對摺,並使 A、H 重合。若將紙打 開,就會出現摺痕線MN,且 M、N 分 別為ABAC中點。 ○3以等腰△MBH、△NHC 之對稱軸 MQ 、 NP為界,分別將紙對摺,則 B、C 皆與 H 重合。也就是說,矩形 MNPQ 的面積 恰為原三角形面積的一半。

○ ○ ○……○……○ ○

○ ○ ○……○……○ ○

○ ○ ○……○……○

B

C

A

H

M

N

P

Q

圖 1-1

(A',B',C')

B

C

A

N

M

H

P

Q

B

C

A

N

M

H

P

Q

圖 1-2

(3)

(4)○1取第二張紙。將紙對摺,使 A 落於 AH 延 長 線 上 , 則 摺 痕 線MN∥

BC

(如 圖 1-3)。 ○2ANM=MNA=NCC C ANM =∠ ∠ 可推得∠NCC=∠C C C N ′ ∆ ∴ 為等腰△。 同理∆MBB′也是等腰△。 ○3分別以等腰MBBNCC之對稱軸 MQNP為界,將紙對摺,則 MNPQ 為矩形。但因為斜線部分落在 MNPQ 之 外部,可知 MNPQ 面積小於原三角形面 積的一半。 (5)○1取第三張紙。將紙對摺,使 A 落於 AH 上(不含 A、H 兩點),則摺痕線MN∥ BC(如圖 1-4)。 ○2分別以 等 腰MBBNCC(理由同(4) 之○2)之對稱軸MQ、 NP 為界,將紙對 摺,則 MNPQ 為矩形。而斜線處表示 向內摺的紙,或有部分重疊,或有部分 在 MNPQ 之外部,可知 MNPQ 面積也 是小於原三角形面積的一半。 (6)由以上摺紙活動,可推得當 M 、N 分別為 ABAC中點時,MNPQ 為最大面積 的矩形。 以下問題 2 和問題 3,是我設計給國三 生作統整教學的「開放性問題」:

(二)問題 2:

如 何 在 一 張 20cm×20cm 的 正 方 形 紙 上,作出三個兩股長為 1:2 的直角三角形, 且讓最大的直角三角形面積是另兩個面積的 和,請寫出愈多愈好的作法或想法,同時也 希望你能找到三個面積和為最大的直角三角 形。 解說: 讓我們來看看學生和老師對此問題的各 種解法及說明: (1)如圖 2-1,這是利用「商高定理」的幾何 性質,圖中兩個有虛線邊的正方形面積相 加 會 等 於 另 一 個 有 虛 線 邊 的 正 方 形 面 積。而三個塗上花色的直角三角形面積皆 為該正方形面積的四分之一,且兩股長為 1:2,而其中最大直角三角形面積等於另兩 個面積的和。 (2)如圖 2-2,這是利用直角三角形「母子相 似」性質,圖中先作兩股長為 8 和 16 的 直角三角形,並作其斜邊上的高,此高將 原三角形分成兩個小直角三角形,再運用 「鏡射原理」,由兩個小直角三角形向外 B C A M N A' C' B' P Q 圖 1-3 B C A M N A' C

'

Q B' P 圖 1-4 圖 2-1

5

5

10

10

10

2

2

5

(4)

各作出全等三角形,自然三個塗上花色的 直角三角形的兩股長皆為 1:2,且其中最 大直角三角形面積等於另兩個面積的和。 (3)如圖 2-3,這是利用長寬比為 1:2 的長方 形,作其對角線得兩個全等直角三角形, 並作其中一個直角三角形斜邊上的高,自 然 三 個 塗 上 花 色 的 直 角 三 角 形 的 兩 股 長 皆為 1:2,且其中最大直角三角形面積等 於另兩個面積的和。 (4)如圖 2-4,這是利用等腰三角形底邊上的 高分原三角形成兩個全等直角三角形,並 作其中一個直角三角形斜邊上的高,將得 到 三 個 塗 上 花 色 的 直 角 三 角 形 的 兩 股 長 皆為 1:2,且其中最大直角三角形面積等 於另兩個面積的和。 (5)如圖 2-5,這是利用取線段 BC 的中點 E, 連 線 段 AE 交 線 段 BD 於 P , 則 2 : 1 :DP= BP (證明容易,不另作證明)。 過 P 點作線段 QR 垂直 BD,且分別交 ABBC於 Q、R。因為三角形 BPR 為等 腰直角三角形,所以BP =PR ⇒∆QPDPRD ∆ 皆為 1:2 的直角三角形。若作其中一 個直角三角形斜邊上的高,將得到且其中 最 大 直 角 三 角 形 面 積 等 於 另 兩 個 面 積 的 和。 (6)如圖 2-6,將最大直角三角形的斜邊設法 作在正方形對角線上。假設三角形 PRD 為兩股長 1:2 的直角三角形,作PEBCBC於 E。則三角形 PER 相似於三角形 RCD,因為線段 PR 為線段 RD 的二分之 一長,所以線段 ER 等於二分之一線段 CD 圖 2-3 圖 2-4

A

B

C

D

E

P

Q

R

圖 2-5

16

8

4

圖 2-2

(5)

長,所以ER =20÷2=10公分。 設BE =x公分,則PE= x公分(因為三角 形 BEP 為等腰直角三角形),且RC =2x公 分。因為 3 10 10 2 = ⇒ = + x x x , 3 20 2x= 所 以只要取 3 20 = CR 公分, 2 3 10 = BP 公 分 , 便 可 作 出 兩 股 長 為 1:2 的 直 角 三 角 形。再運用「鏡射原理」,在對角線另一 側作出一個全等直角三角形,並作其斜邊 上的高,則圖中三個塗上花色的直角三角 形的兩股長皆為 1:2,且其中最大直角三 角形面積等於另兩個面積的和。 (7)如圖 2-7,取BC的中點 F,作BE=5公分, 連EFFDDE。則三角形 EBF 與三角 形 F C D 皆為兩股長為 1:2 的兩相似直角三 角 形 。 又∠BFE+∠CFD=90°=∠EFD, 又 FC BF= ,∠FBE+∠FCD=180°,由摺紙性 質 或 簡 單 的 計 算 可 推 得 : ∆EFD面 積 = EBF∆ 面積+∆FCD面積,且圖中三個塗 上花色的直角三角形的兩股長皆為 1:2。 若試著在正方形內放入一根比DF長的木 條(令長為 l ),我們很容易經由實驗發現, 無法再 放 入 另 一 根 長 為 2 l 的木條( 當 然 此 時狀況,兩根木條的一端必須相接且交角 成直角)。由此可以確認三角形 EFD 為正 方形紙上可以作出的最大直角三角形,而 這三個直角三角形的面積和也是最大。

(三)問題 3:

(1)圖 3-1 是 一 塊 由 矩 形 與 正 方 形 合 成 的 木 板,你是否可用三條切割直線將它分成四 部分,再拼成一個正方形?請在圖上畫出 分割的方式, 並在空白處畫 其合併後的完 成圖。 (2)你也可以利用 「 三 角 形 全 等」性質去作分割,看看切割的長度是否 可以少一點,但還是可以切拼成正方形! 也請你想一想,並畫出來。 圖解(1): 此圖解(或問題設計)的靈感來自:「四個 全等的一般直角三角形,加上一個以此直角 三角形之兩股差為邊的正方形,則可拼成一 個正方形。」

A

B

C

D

E

P

Q

R

圖 2-6

A

B

C

D

E

F

圖 2-7 16 4 4 12 10 6 圖 3-1

(6)

圖 4-3 圖解(2): 說明: 圖解(1)和(2)中,雖然都切割成四片,但 (1)的切割線段長度為2 62+102+10=2 136+10 ,而(2)的切割長度為2 62+102=2 136 讀者可以試著找其它的切割方式,看看 有沒有再儘可能小的切割長度。

(四)問題 4:

試 從 尺 寸 為

3

×

3

的 正 方 形 中 劃 出 一 個 圖形(如圖 4-1),使得它是邊長為 1 的正方體 的表面展開圖。 解說: 這是早期莫斯科數學奧林匹克競試題。 國內有許多國中生會知道正方體有十一種展 開圖,甚至還可以將它們一一畫出。但對這 一題,學生卻束手無策。其實它不是一般的 展開方式,我們只要考慮可以摺拼成正方體 的外殼即可。我在幾本書上看到的解答都一 樣,也很有趣(如圖 4-2)。因為圖中所畫的展 開圖,它的長與寬皆為 3 2 2 2 2 2 2 2 < = + + ,所以畫法是可以成立 的。 然而很明顯的,圖 4-2 絕對不是唯一答 案,像圖 4-3 也一定可以摺拼出正方體的外 殼,而且有了這種「東牆西補」的觀念,就 可以找出「更不一樣」的答案。經筆者實際 試驗而找出來的展開圖(如圖 4-4 中,塗黑的 部分),外型像機器人、黑猩猩、變形蟲…… 答 案 不 只 可 以 無 限 構 建 , 而 且 都 可 以 摺 拼 出邊長為 1 的正方體 ( 讀 者 可 以 影 印 此 圖 , 再 從 中 剪 幾 個 摺 摺看)。 10 4 4 10 6 6 6 6 ② ① ③ ③ ② ① 圖 4-4 圖 4-1 圖 4-2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3

3

3

2 2 10 4 4 6 10 6 6 6 6 6 ① ③ ① ② ② ③

(7)

三、結論:

臺灣中學數學教育因為環境與風氣的關 係,大多數的家長和老師強調「做多」的練 習,相對忽略了「多做」的學習。「做多」的 練習指的就是「以量取勝」的練習,「做多」 佔據中學生大部分的學習時間,而其中往往 包含重覆、死板與雜亂的歷程,例如說:做 好幾本參考書,寫各式大量的測驗卷,希望 藉由反覆、不斷的練習達到「少錯多對」的 「好」成績。 但是何謂「多做」的學習呢?它和「做 多 」 的 練 習 有 什 麼 不 同 呢 ? 就 如 同 上 段 講 的,「做多」的練習的唯一目標就是「成績至 上」,而「多做」的學習卻著眼於「有疑必思」、 「窮理致知」、「質量並重」的學習態度和規 劃,除了重視學生的成績表現,也同時考慮 學生理解完整數學知識內涵的教與學,以及 終身學習興趣與獨立思考能力的啟發培養。 簡單說:「做多」只顧做許多問題;「多做」 強調多 花 時 間 思 考 與 解 決 問 題(不 一 定 做 很 多問題,如「一題多解」與「思考啟發」) , 兩者的觀念大不相同。 一道外表毫不起眼的美食為何與一只頂 級名錶一樣,讓許多人爭相追逐發狂,不只 因為「限量」的原因,更重要是這些名廚和 工匠用生命在認真生活,他們將智慧與情感 投注在工作中的每個細節,而且獲得有品味 的人青睞和認證。 教育是百年大計,如果教學者能體認並 實踐:「『做多』可能是反覆而死板;『多做』 才能用心有變化」的道理,「數學之美」才能 深入人心,數學教育才能啟迪人類的「善知 識」並展現萬物之靈思想的卓然不凡。

數據

圖 4-3 圖解(2): 說明:  圖解(1)和(2)中,雖然都切割成四片,但(1)的切割線段長度為262+102+10=2136+10,而(2)的切割長度為262+102=2136。 讀者可以試著找其它的切割方式,看看有沒有再儘可能小的切割長度。 (四)問題 4:  試 從 尺 寸 為 3 × 3 的 正 方 形 中 劃 出 一 個 圖形(如圖 4-1),使得它是邊長為 1 的正方體 的表面展開圖。  解說:   這是早期莫斯科數學奧林匹克競試題。 國內有許多國中生會知道正方體有十一種展 開圖,甚至還可以

圖 4-3

圖解(2): 說明: 圖解(1)和(2)中,雖然都切割成四片,但(1)的切割線段長度為262+102+10=2136+10,而(2)的切割長度為262+102=2136。 讀者可以試著找其它的切割方式,看看有沒有再儘可能小的切割長度。 (四)問題 4: 試 從 尺 寸 為 3 × 3 的 正 方 形 中 劃 出 一 個 圖形(如圖 4-1),使得它是邊長為 1 的正方體 的表面展開圖。 解說: 這是早期莫斯科數學奧林匹克競試題。 國內有許多國中生會知道正方體有十一種展 開圖,甚至還可以 p.6

參考文獻

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