3B07 平面向量的運算

Google 的新聞服務是從各個新聞網站整理、分類 而來。這麼多則新聞，如果靠人工處理，必然耗費相 當大的人力，也很難「即時」，那是怎麼辦到的呢？ 事實上，這些工作都是靠計算機「算」出來的，那新 聞怎麼算呢？這算法與本單元要介紹的向量內積有關， 我們留待本單元最後再作介紹。

甲 向量的內積

前一單元我們學習了向量的加法、減法與係數積三種運算，現在再介紹一種 與兩向量的夾角及長度有關的運算─內積。 （一）向量的夾角 給定兩個非零向量

a b

,

，我們可以將其中一個向量平移，使兩個向量的始 點重合，如圖 2 所示，此時角



（

0

  



180

）稱為向量

a

與

b

的夾角。 ▲圖 2 ▲ 圖 1

例如：在圖 3 中，△ABC 為正三角形。 (1)

AB

與

AC

的夾角為 60。 (2)

AB

與

BC

的夾角為 120。 (3)

BC

與

AC

的夾角為 60。 特別地，當向量

a

與

b

方向相同時，夾角



 

0

；而當向量

a

與

b

方向 相反時，夾角



 

180

。 【隨堂練習】 如圖，已知四邊形 ABCD 為正方形， 求向量

AB

與下列各向量的夾角： (1)

AC

。 (2)

BD

。 (3)

CD

。 Ans： 【詳解】 因為 ABCD 為正方形，所以 (1) 夾角為 45。 (2) 夾角為 135。 (3) 夾角為 180。 ▲ 圖 3

（二）向量的內積 在物理學中，用定力推動一物體，如果施力

f

的方向與物體移動的方向成



角，且物體在力

f

的作用下產生的位移為

d

，那麼力

f

在位移

d

方向上的分 力為

f

cos



（當

90

  



180

時，此分力為負值），如圖 4 所示。此時力

f

對 該物體所作的功為

cos

cos

W







f







d



f d







。 ▲圖 4 在數學上，我們將

f d

cos



定義為向量

f

與向量

d

的內積。 內積的定義 當兩個非零向量

a

與

b

的夾角為



（

0

  



180

）時，定義

a

與

b

的內積 為

a b

cos



，以

a b

表示（讀作

a

dot

b

），即

cos

a b



a b



。 另外，規定任意向量

a

與

0

的內積為 0，即

a

0



0

a



0

。 要注意的是： (1) 因為

a

,

b

與

cos



都是「實數」，所以內積

a b

不是「向量」，而是一個 「實數」。

的含義，但在本單元中不作介紹。 【例题 1】 已知向量

a

與

b

的夾角為 120，且

a



2,

b



3

， 求

a b

的值。 Ans： 【詳解】 根據內積的定義，得

1

cos120

2 3

3

2

a b



a b

    

 

 

 

。 【隨堂練習 1】 如圖，已知

a



4,

b



5

，求

a b

的值。 Ans： 【詳解】 根據內積的定義，得

1

cos60

4 5

10

2

a b



a b

   

。 計算內積時，兩向量的夾角常是關鍵，舉例如下。

【例题 2】 如圖，已知正六邊形 ABCDEF 的邊長為 1，求下列各值： (1)

AB BE

。 (2)

AB FC

。 Ans： 【詳解】 (1) 因為

AB

與

BE

的夾角為 120，所以

1

cos120 1 2

1

2

AB BE AB BE



    

 

 

_{ }

。 (2) 因為

AB

與

FC

的夾角為 0，所以

cos0 1 2 1 2

AB FC AB FC



   

。 【隨堂練習 2】 如圖，已知正三角形 ABC 的邊長為 2，且 M 為

AB

的中點， 求下列各值： (1)

AB BC

。 (2)

AB CM

。

Ans： 【詳解】 (1) 因為

AB

與

BC

的夾角為 120，所以

1

cos120

2 2

2

2

AB BC AB BC



    

 

 

_{ }

。 (2) 因為

AB

與

CM

的夾角為 90，所以

cos90

2

3 0 0

AB CM AB CM



   

。 再練習求內積。 【例题 3】 已知△ABC 的三邊長為

AB



5,

BC



6,

CA



7

， 求下列各值： (1)

AB AC

。 (2)

AB BC

。 Ans： 【詳解】 根據內積的定義及餘弦定理，得 (1) 2 2 2

5 7 6

5 7 cos

35

19

2 5 7

AB AC

  

A

 

 

_{ }



。 (2) 令



ABC





。 因為

AB

與

BC

的夾角為

180





， 所以





cos 180

AB BC AB BC











5 6

cos



   

2 2 2

5 6 7

30

2 5 6



 



  

_

_{ }

_





6



。 【隨堂練習 3】 如圖，已知在平行四邊形 ABCD 中，

2,

1

AB



AD



,

  

A

60

，求下列各值： (1)

AB AD

。 (2)

AB BC

。 (3)

AB CD

。 Ans： 【詳解】 根據內積的定義，得 (1)

AB AD  

2 1 cos60 1



。 (2)

AB BC  

2 1 cos60 1



。 (3)

AB CD  

2 2 cos180



4

。

（三）內積的坐標表示 如同向量的加法、減法與係數積，向量的內積也可以用坐標表示。設

a

 

1

,

2

,

 

1

,

2

OA a a

b OB b b

 

 

為坐標平面上兩不平行的向量，且其夾角為



， 如圖 5 所示。 ▲圖 5 在△OAB 中，利用餘弦定理

AB

2



OA OB

2



2



2

OA OB

cos



，得 2 2 2

2

cos

AB



OA OB





a b



， 即 2 2 2

2

a b

cos





OA OB





AB



_{2 2}

 

_{2 2}







 

2



2



1 2 1 2 1 1 2 2

a

a

b

b

a b

a b





 





 



1 1 2 2



2 ab ab





。 因為

a b



a b

cos



，所以



1 1 2 2



2





_

a b





_

2

ab ab



。 故 1 1 2 2

a b ab ab

 

。 至於當

a

與

b

平行或有一為零向量時，上式仍成立（請自行驗證）。因此，兩個 向量的內積等於它們對應分量的乘積之和。

內積的坐標表示 若

a



 

a a

₁

,

₂

,

b



 

b b

₁

,

₂ 是坐標平面上任意兩向量，則

a

與

b

的內積為 1 1 2 2

a b ab ab

 

。 當已知向量

a

與

b

的坐標時，內積

a b

就可利用以上公式直接求得，並 無須知道

a

與

b

的夾角；而且此時還可以利用內積的定義

a b



a b

cos



， 反求兩向量的夾角，即

cos

a b

a b





。 舉例如下。 【例题 4】 已知

a



 

7,1 ,

b



 

3, 4

，求 (1)

a b

的值。 (2)

a

與

b

的夾角。 Ans： 【詳解】 (1) 利用內積的坐標表示，得

7 3 1 4 25

a b     

。 (2) 設

a

與

b

的夾角為。因為

25

1

cos

5 2 5

2

a b

a b











。 故



 

45

。 【隨堂練習 4】 已知

a

 

 

2,0 ,

b



 

3,1

，求 (1)

a b

。 (2)

a

與

b

的夾角。 Ans： 【詳解】 (1) 利用內積的坐標表示，得

 

₂

_{3 0 1}

_{2 3}

a b   

  

。 (2) 設

a

與

b

的夾角為。 因為

a

   

 

2

2

0

2

2,

b



 

3

2

 

1

2

2

， 所以

cos

2 3

3

2 2

2

a b

a b









_



。 故＝150。 利用向量的內積，可以求坐標平面上的三點所成的角度。

【例题 5】 在△ABC 中，已知三頂點坐標為

A

     

2,3 ,

B



2,1 ,

C

5, 2

，求 (1)

AB AC

的值。 (2)



BAC

的度數。 Ans： 【詳解】 (1) 因為

AB

  



4, 2 ,



AC

 

 

3, 1

，所以

     

4 3

2

1

10

AB AC       

。 (2) 因為

   

2 2 ₂

 

2

4

2

2 5,

3

1

10

AB

    

AC



  

， 所以

cos

10

1

2 5

10

2

AB AC

BAC

AB AC









_



。 故



BAC

 

135

。 【隨堂練習 5】 在△ABC 中，已知三頂點坐標為

A

     



2,3 ,

B

0, 2 ,

C

1, 4

，求 (1)

AB AC

的值。 (2)



BAC

的度數。 (3) △ABC 的面積。 Ans： 【詳解】 (1)

AB AC

   

2, 1 3,1 6



   

 

1 5

。

(2) 因為

cos

5

1

5

10

2

AB AC

BAC

AB AC







_



， 所以



BAC

 

45

。 (3) △ABC 的面積為

1

1

1

5

sin45

5

10

2

  

AB AC

  

2

 

2

2

。 向量的內積具有下列性質。 內積的性質 設 r 為實數，

a b c

, ,

為向量。 (1) 2

a a



a

。 (2)

a b



b a

。 (3)





r a





b r a b



















。 (4)

a





_

b



c





_



a b a c



。 這些性質都可由內積的定義直接證得，我們只證明性質(4)如下：設

 

1

,

2

,

 

1

,

2

,

 

1

,

2

a



a a

b



b b

c



c c

。 因為



1

,

2

 

1 1

,

2 2



a





_

b



c





_



a a

b c b c







 



1 1 1 2 2 2

a b c

a b c



 



1 1 1 1 2 2 2 2

ab ac a b a c









，

       

1

,

2 1

,

2 1

,

2 1

,

2

a b a c





a a

b b



a a

c c

1 1 2 2 1 1 2 2

ab a b ac a c









，

所以

a





_

b c







_



a b a c



。 這些性質可以幫助我們計算內積及求向量的長度，舉例如下。 【例题 6】 已知

a



2,

b



3

，且

a

與

b

的夾角為 60， 求下列各值： (1)





a b



 

 

a b









 



。 (2)

3

a



2

b

。 Ans： 【詳解】 (1) 由內積的性質，得

a b

a b

a a a b b a b b



_

 

_





 





 











2 2 2 2

2 3

5

a

b





  

。 (2) 由內積的性質，得 2

3

a



2

b



_





3

a



2

b

 

 

_{ }

3

a



2

b





_

9

a a

6

a b

6

b a

4

b b









2 2

9

a

12

a b

4

b







2 2

9 2 12 2 3 cos60 4 3

     

 

36



。 故

3

a



2

b



6

。

【隨堂練習 6】 已知

a



2,

b



4

，且

a

與

b

的夾角為 120， 求下列各值： (1)





a b



 

 

2

a b









 



。 (2)

a



2

b

。 Ans： 【詳解】 (1) 由內積的性質，得



 



2 2

2

2

a b



a b





a



a b



b

2 2

2 2 2 4 cos120 4

12

    

 

。 (2) 由內積的性質，得 2 2 2

2

4

4

a



b



a



a b



b





2 2

2 4 2 4 cos120

4 4 52

   

   

， 即

a



2

b



2 13

。 再練習內積的性質。 【例题 7】 已知向量

a b

,

滿足

a



3,

b



2,

a

_





a



2

b





_



3

， 求下列各值： (1)

a b

。 (2)

2 a b



。 Ans：

【詳解】 (1) 由內積的性質，得 2

2

3

2

3

a





a



b





 

a



a b







， 因為

a 

3

，所以

9 2



a b



3

， 解得

a b 

3

。 (2) 由內積的性質，得 2

2

a b









_

2

a b



 

 

_{ }

2

a b







_

2 2

4

a

4

a b

b







2 2

4 3 4 3 2

    

52



。 故

2

a b

 

2 13

。 【隨堂練習 7】 已知向量

a b

,

滿足

a



4,

b



5, 2

a b

 

7

，求 (1)

a b

的值。 (2)

a

與

b

的夾角。 Ans： 【詳解】 (1) 由內積的性質，得 2 2 2

2

a b





4

a



4

a b



b

，

即

49 4 4 4

  

2

a b



5

2。 解得

a b 

10

。 (2) 設

a

與

b

的夾角為。 因為夾角



滿足

10

1

cos

4 5 2

a b

a b







_



， 所以＝60。 利用圖形坐標化，可以將幾何問題轉為代數問題來處理，舉例如下。 【例题 8】 如圖，已知每一小格都是邊長為 1 的正方形，求 (1)

AB AC

。 (2)



BAC

。 Ans： 【詳解】 (1) 將圖形放在坐標平面上， 並標示

_{A B C}

_{, ,}

的坐標，如圖所示。 因為

AB



 

1,2 ,

AC



 

3,1

，所以

1 3 2 1 5

AB AC    

。

(2) 因為

5

1

cos

5

10

2

AB AC

BAC

AB AC











， 所以



_BAC

 

₄₅

。 【隨堂練習 8】 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 6， M 為

BC

的中點，N 為

CD

的三等分點，求 (1)

AM AN

。 (2)



NAM

。 Ans： 【詳解】 (1) 將圖形放在坐標平面上， 並標示

A M N

, ,

的坐標， 如圖所示。 因為

AM



 

6,3 ,

AN



 

2,6

， 所以

AM AN     

6 2 3 6 30

。 (2) 因為

cos

30

1

45

40

2

AM AN

NAM

AM AN







_



， 所以



_NAM

 

₄₅

。

（四）兩向量垂直的判定 很自然的，對於兩向量的垂直，定義如下。 兩向量垂直的定義 當向量

a

與

b

的夾角為直角時，我們稱

a

與

b

垂直，記作

a



b

。 內積可以用來判定兩向量是否垂直，說明如下：設

_{a b}

_,

為兩個非零向量。 若

a



b

，則

a

b



a b

cos90



0

；反之，若

a b 

0

，則

cos





0

， 得



 

90

，即

a



b

。 因此，我們有以下的結論。 兩向量垂直的判定 設

a b

,

為兩個非零向量。 若

a



b

，則

a b 

0

；反之亦成立。 由上可知，兩個非零向量是否垂直，可以由其內積是否為 0 來判定。

【例题 9】 設向量

a

 

 

1, 3 ,

b

 

 

2, 1 ,

c



 

3,

s

。 (1) 已知

a



c

，求實數 s 的值。 (2) 已知





a t b









b





，求實數 t 的值。 Ans： 【詳解】 (1) 因為

a



c

，所以

a c 

0

，即

 

1 3

    

3

s

0

， 解得

s

1

。 (2) 因為





_

a t b







_



b

，又

    

1, 3

2, 1

1 2, 3



a t b



  

t

    

t

t

， 所以



1 2 , 3

  

t

t

  

2, 1 0

 

， 即

 

1 2

       

t

2



3

t

  

1 0

。 整理得

5 5 0

t  

， 解得

_{t }

₁

。 【隨堂練習 9】 已知

a



 

k

, 2

與

b

 



4,3 1

k





垂直，求實數 k 的值。 Ans：1 【詳解】

所以

a b 

0

， 即

_k

        

 

_{4 2 3 1 0 2 2 0}



_k



_k

， 解得

k 

1

。 此外，當兩非零向量的夾角



為銳角時，

cos





0

，且內積為正數；當夾角



為鈍角時，

cos





0

，且內積為負數。 【隨堂練習】 如右圖，△ABC 為直角三角形，且

  

_B

₉₀

。 選出與

AB

的內積為正數的向量。 (1)

AC

(2)

CA

(3)

BC

(4)

CB

。 Ans： 【詳解】 在 4 個選項中，與

AB

的夾角為銳角的只有

AC

故選(1)。 利用向量內積的性質，可以證明「半圓的圓周角為直角」。 【例题 10】 右圖是以

_AB

為直徑的半圓，P 為圓周上一點， 證明：



APB

 

90

。 【證明】 令圓心為 O，半徑為 r。因為

PA PB







PO OA



 

 

PO OB









 



PO OA

PO OA



 





_

_



_{ }

_{ }



_

_

2 2

PO

OA





2 2

₀

r r

  

， 所以

PA PB



。 故



APB

 

90

。 仿造例題 10 的方法，我們也可以證明熟悉的畢氏定理。 【隨堂練習 11】 在△ABC 中，已知

  

C

90

， 證明：

AB

2



AC

2



BC

2。【畢氏定理】 【證明】 因為

  

C

90

，所以

CA CB

0

。因此 2 2 2 2 2

2

AB



AB



CB CA





CB



CB CA CA



2 2 2 2

CB

CA

AC

BC









。

乙 正射影

日正當中時，大砲的砲管受太陽直射在地面 上產生影子，如圖 6 所示。這砲管影子的長度比 砲管本身的長度來的短些。這生活經驗有助於對 正射影的理解，介紹如下。 設

a OA b OB



,



是平面上兩個非零向量， 且其夾角為



。自 A 點向直線 OB 作垂線交於 C 點，此時向量

OC

稱為向量

a

在

b

上的正射影， 如圖 7 所示。因此，一個向量在另一個向量的正射影仍是向量。



為銳角



為直角



為鈍角 ▲圖 7 當



為銳角時，

OC

的長度為

a

cos



。因為

OC

與

b

方向相同，且

OC

的長度是

b

長度的

cos

a

b



倍，所以

cos

a

OC

b

b





























。 將

cos

a b

a b





代入，得 ▲ 圖 6

2

a

a b

a b

OC

b

b

b

a b

_b





_

_





_

_







_

_

















_

_

。 仿照上述方法可推得，當



為鈍角時，上式仍成立。 至於當



為直角，乃至於



 

0

或

180

時，上式仍然成立。因此，我們有以 下的公式。 正射影公式 若

_{a b}

_,

為兩個非零向量，則

a

在

b

上的正射影為

a b

₂

b

b





















。 練習使用正射影公式，並求正射影的長。 【例题 11】 已知

a



 

7, 4 ,

b



 

1, 2

， 求

a

在

b

上的正射影及正射影的長。 Ans： 【詳解】 (1) 利用正射影公式，得

a

在

b

上的正射影為 2

7 8

5

a b

_b

b

b





























_



_

。

(2) 由(1)知，正射影的長為

3 6

2

 

2

3 5

。 【隨堂練習 11】 如圖，

OA



 

3, 4 ,

OB



 

7,1

，由 A 點往

OB

作垂線， 垂足為 C 點，求

OC

及

OC

。 Ans： 【詳解】 因為

OC

為

OA

在

OB

上的正射影， 所以利用正射影公式，得

 

2

21 4

1

50

2

1

7 1

7,1

,

2

2 2

OA OB

OC

OB

OB

OB

OB





























_

_

_

_









_

_

_

_

。 且 2 2

7

1

5 2

2

2

2

OC



   

   

_{   }





。 我們在處理物理問題時，經常需要把作用力分解為兩個互相垂直的分力。這 在數學上是指將一非零向量分解為兩個互相垂直的分量。現在就利用正射影公式 來幫助我們做這種分解，舉例如下。

【例题 12】 將向量

a 

 

4,7

分解成兩個向量的和，其中一個向量與

 

2,1

b 

平行，另一個向量與

b

垂直。 Ans： 【詳解】 如圖所示，

a

 

c

d

，且

c

為

a

在

b

上的正射影； 此時

c

會與

b

平行，

d

會與

b

垂直。 利用正射影公式，得

 

2

8 7

3

6,3

5

a b

c

b

b

b

b





_

_

_







_

_



_

_

















。 又因為

a

 

c

d

，所以

     

4,7

6,3

2, 4

d

  

a c



 

。 故

a 

   

6,3

 

2, 4

， 其中

 

6, 3

與

b

平行，

 



2, 4

與

b

垂直。 【隨堂練習 12】 將向量

a 

 

8, 0

分解成兩個向量的和， 其中一個向量與

b 

 

1,1

平行，另一個向量與

b

垂直。

【詳解】 如圖所示，

a

 

c

d

， 且

c

為

a

在

b

上的正射影。 利用正射影公式，得

 

2

8 0

4

4, 4

2

a b

c

b

b

b

b





_

_

_







_

_



_

_

_

_













。 又因為

a

 

c

d

， 所以

_d

  

_{a c}

    

_8,0



_4,4

 

_{4, 4}



。 故

a 

  

4, 4

 

4, 4



， 其中

 

4, 4

與

b

平行，



4, 4





與

b

垂直。 「三向量和為零向量」是常見的問題，舉例如下。 【例题 13】 父母親各拉一手將小孩提起，如右圖所示。 已知呈現平衡狀態時，爸爸的拉力為 10 公斤重，媽媽的拉力為 6 公斤重，且兩拉 力的夾角為 60，求小孩的體重。 Ans：

【詳解】 設小孩體重 W 公斤，

,

a b

分別為爸爸與媽媽的拉力，

c

為小孩的重量，則

10,

6,

a



b



c



W

。 因為呈現平衡狀態， 所以爸爸的拉力、媽媽的拉力與 小孩的重量的合力為零，即

0

a b

  

c

，且

a b

 

c

。 由向量加法的定義得知，

,

a b

與

a



b

形成一個三角形。 因此

a b

,

與

c

恰圍出一個三角形， 如下圖所示。 利用餘弦定理，得 2 2

_{10 6 2 10 6 cos120 196}

2 2

W



c

     



， 解得

_W

₁₄

。 故小孩的體重為 14 公斤。

【隨堂練習 13】 如右圖，在平滑的木板上有

_{A B C}

_{, ,}

三個洞，取三 條繩子紮結於一點 O，穿過洞各吊掛一隻猴子， 且呈現平衡狀態。已知掛在

A B C

, ,

洞下方的猴子 分別重 3 公斤、8 公斤與 7 公斤，求



_AOB

的度 數。 Ans： 【詳解】 設



_AOB





，

, ,

a b c

分別為

A B C

, ,

洞下方猴子的重量。 且

a



3,

b



8,

c



7

。 因為呈現平衡狀態，三重量的合力為零， 即

a b

  

c

0

， 得

a b

 

c

。 由向量加法的定義得知，

,

a b

與

a



b

形成一個三角形。 因此

a b

,

與

c

恰圍出一個三角形， 如下圖所示。 利用餘弦定理，得





_{3 8 7}

2 2 2

_{24 1}

cos 180

2 3 8

48 2



 

 

_{ }

 

，

即 180－＝60。 故AOB＝＝120。

丙 兩直線的夾角

第二冊時，我們利用直線的斜角求兩直線的夾角。現在，我們要介紹另一個 求兩直線夾角的方法，它有一個簡潔美麗的公式。討論之前，先定義直線的法向 量。 直線法向量的定義 設

_{A B}

_,

為直線 L 上相異兩點。若非零向量

n

與

AB

垂直，則稱向量

n

為直線 L 的一個法向量。 因為不限制法向量的長度，且一個法向量的反向量還是法 向量，所以一直線的法向量有很多個，不過它們都互相平 行。 我們來找直線

L ax by c

:

  

0

的一個法向量：首先 令

:

0

L ax by



 

。 它是一條與 L 平行（或重合），且通過原點 O 的直線，如 圖 8 所示。其次，在

L

上取一點

P b a

 



,

，得向量

OP

 

 

b a

,

。最後，在平面 上另取一點

Q a b

 

,

，得向量

OQ a b



 

,

。因為

   

,

,

0

OP OQ

 

b a

a b

  

ab ab

， 所以

OP OQ



。因此，向量

 

a b

,

是直線

L

的一個法向量。又因為 L 與

L

平行（或 重合），所以向量

 

a b

,

也是直線 L 的一個法向量。 直線的法向量 向量

n



 

a b

,

為直線

L ax by c

:

  

0

的一個法向量。 ▲ 圖 8

練習找給定直線的法向量。 【隨堂練習】 設直線

L x

: 2 3 4 0

  

y

。下列哪些向量可為 L 的法向量？ (1)

n 

₁

 

2, 3



(2)

n  

₂

 

2,3

(3)

n 

₃



6, 9





(4)

n  

₄

 

3, 2

。 Ans： 【詳解】 因為

n 



2, 3





是 L 的一個法向量， 所以與

n

平行的向量均是 L 的一個法向量。 故選(1)(2)(3)。 交於一點的兩直線

L

1_與

L

2_{共有二對夾角，分別為}



1_與



2_{，如圖 9(1)所示。} 因為

 

₁

  

₂

180

，所以只須求出其中任一個夾角，另一個夾角就可求出。 (1) (2) ▲圖 9 在圖 9(2)中，設

n

₁與

n

₂分別為 L1與 L2的一個法向量，且其夾角為



。圖中 顯示

90

 

   

 

，

即

n

₁與

n

₂的夾角等於

L

₁與

L

₂的一個夾角。因此只要求得兩法向量的夾角，就可 求得兩直線的夾角。 【例题 14】 求兩直線

L

₁

: 3

x y

  

3 0

與

L

₂

: 2

x y

  

1 0

的夾角。 Ans： 【詳解】 直線

L

₁與

L

₂的法向量分別為

 

1

3,1

n 

與

n 

₂

 

2, 1



。 因為

_n

₁與

_n

₂的夾角



滿足

 

1 2 1 2

3 2 1

1

5

1

cos

10

5

5 2

2

n n

n n







   







， 所以



 

₄₅

。 故

L

₁與

L

₂有一夾角為 45， 而另一夾角為

_{180 45 135}

  

。 【隨堂練習 14】 求兩直線

L

₁

: 3

x y

  

1 0

與

L x

₂

:



3

y

 

2 0

的夾角。 Ans： 【詳解】 直線

L

₁與

L

₂的法向量分別為





1

3, 1

n 



與

n  

₂



1,

3



。 因為

n

₁與

n

₂的夾角



滿足 1 2 1 2

3

3

3

cos

2 2

2

n n

n n







_





，

所以



 

30

。

故

L

₁與

L

₂有一夾角為 30， 另一夾角為

180 30 150

  

。

向量在現實生活中有廣泛的應用，舉例如下。 （一）新聞歸納演算法 2002 年 Google 推出新聞服務，這些新聞是由計算機從各個新聞網站整理、 分類而來，而且都是自動生成的，如圖 10 所示。 ▲圖 10 真是超乎想像，計算機根本讀不懂新聞，怎麼對新聞分類呢？其實計算機不 是「讀」出來，而是「算」出來的，它的方法是將每一條新聞所含的重要語詞轉 換成一個向量，如圖 11 所示。 ▲圖 11

這麼一來，計算機便將文字型資料轉換成為數值型資料，那就可以「算」了。舉 例來說，假設新聞 A 和新聞 B 都轉換成有 1000 個分量的向量，且分別為



1

, , ,

2 1000



,



1

, , ,

2 1000



a



a a

a

b



b b

b

。 如同平面向量的內積，向量

a

與

b

的夾角



滿足 1 1 2 2 1000 1000 2 2 2 2 2 2 1 2 1000 1 2 1000

cos

a b

ab a b

a b

a

a

a

b

b

b

a b









 

  

  

。 當兩個新聞向量夾角的餘弦值等於 1 時，這兩個向量的夾角為零度，表示兩條新 聞完全相同；當兩個新聞向量夾角的餘弦值接近 1 時，這兩個向量的夾角接近零 度，表示兩條新聞相似，可以歸成一類；夾角的餘弦值愈小，夾角愈大，兩條新 聞愈不相關。 這種新聞歸類方法，準確性很好，是廣泛被使用的方法。 （二）商品交易 某超商共販賣 1000 種商品，我們可以依序將這 1000 種商品的單價排成一列， 構成一個有 1000 個分量的向量，記為



1

, , ,

2 1000



a



a a

a

。 然後將某顧客購買商品的數量也依此次序排成一列（未購買記為 0），也構成一個 有 1000 個分量的向量，記為



1

, , ,

2 1000



b



b b

b

。 則此顧客付款的金額就等於向量

a

與

b

的內積 1 1 2 2 1000 1000

a b ab ab





 

a b

。 因此，只需把上述的運算程序寫成電腦程式，此超商的交易將更快速便捷。

（三）應聘者篩選 某儀隊海選隊員，對應聘者的身體條件提出 10 項數字要求（如身高、腿長、 腰圍）。我們可以依序將這 10 個數字排成一列，構成一個有 10 個分量的向量， 記為



1

, , ,

2 10



a



a a

a

。 然後將某應聘者的 10 項數據也依此次序排成一列，也構成一個有 10 個分量的向 量，記為



1

, , ,

2 10



b



b b

b

。 令



 

2



2





2 1 1 2 2 10 10

d



a b



 

a b

 

a



b

。 數值 d 代表向量

a



b

的長度。我們用 d 來評估此應聘者的條件與公司要求的條 件之差異。顯然，應聘者的 d 值愈小就愈接近公司的要求。這個方法只需利用基 本資料便可篩選出進入下一階段的應聘者，可節省甄選工作的時間與人力。 （四）臉部辨識 臉部辨識是廣被大家接受的非侵犯性辨識方法，它的演算法有很多種，這裡 我們僅介紹較簡單的一種，並舉例說明如下。 首先，辨識機器根據被辨識人的臉部特徵建構一個特徵圖形（樣式由測試者 自訂），如圖 12 所示。

▲圖 12 接著，由特徵圖形上的點，決定 n 個（數量由測試者自訂）向量

     

a a

1

,

1



,

a a

2

,

2



, ,

a a

n

,

n



。 最後，逐一從資料庫內抽取人臉資料來進行比對，方式如下：假設某次抽取的人 臉所對應之 n 個向量為

     

b b

1

,

1



,

b b

2

,

2



, ,

b b

n

,

n



， 計算





₂

 

2





₂

 

2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

d



w a b





w a

  



b



w a b





w a

  



b







₂

 

2 n n n n n n

w a b

w a

 

b











的值，其中

w w w w

₁

,

₁



, ,

_{2 2}



, , ,

w w

n n



分別代表各分量的權值（測試者會事先依各 分量的重要性而賦予不同的值）。 我們用 d 表示被辨識人的臉部特徵與資料庫內該人臉的臉部特徵之差異。顯 然，d 的值愈小代表差異愈小，兩圖形相似度愈高，愈有可能是我們要找的人 臉。 向量的應用非常廣泛，同學們應好好學習，將來可應用在自己擅長的領域上。

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 若

a



 

1, 2 ,

b



 

3, 4

，則

a b 

11

。 (2) 若

a b

的值小於 0，則

a

與

b

的夾角為銳角。 (3) 向量

a 

 

2,3

與

b  

 

3, 2

垂直。 (4) 若向量

a

與

b

平行，則

a b

 

a



b

。 (5) 可以找到一個向量，使其在向量

 

3, 4

上的正射影為

 

4, 3

。 Ans： 【詳解】 (1) ○：

a b     

1 3 2 4 11

。 (2) ╳：應為鈍角。 (3) ○：因為

a b      

2

 

3 3 2 0

， 所以

a



b

。 (4) ╳：當

a

與

b

反向時，

a b

 

a



b

。 (5) ╳：因為向量

 

3, 4

與

 

4, 3

不平行， 所以

 

4, 3

不會是向量

 

3, 4

上的正射影。

一、基礎題

1. 如右圖，已知 ABCDEF 是邊長為 2 的正六邊形， 求下列各值： (1)

AB AD

。 (2)

AB AE

。 (3)

AB AF

。 Ans： 【詳解】 (1)

AB AD  

2 4 cos60 4



。 (2)

AB AE 

2 2 3 cos90 0





。 (3)

AB AF  

2 2 cos120



2

。 2. 已知

A

     



2, 2 ,

B



1, 4 ,

C

7,5

為坐標平面上三點，求 (1)

AB AC

的值。 (2)



BAC

的度數。 Ans： 【詳解】 (1)

AB AC

   

1, 2

9,3 1 9 2 3 15

    

。

(2) 因為

cos

15

15

1

5

90 15 2

2

AB AC

BAC

AB AC







_





， 所以



BAC

 

45

。 3. 已知

a



1,

b



2

，且

a

與

b

的夾角為 60，求下列各值： (1)





a



2

b

 

 

3

a b









 



。 (2)

a



2

b

。 Ans： 【詳解】 (1)



 



2 2

2

3

3

5

2

a



b

a b

 

a



a b



b

2 2

3 1 5 1 2 cos60 2 2

     

 

3 5 8 0

   

_。 (2) 因為



 



2

2

2

2

a



b

 

a

b

a



b

2 2

4

4

a

a b

b







2 2

1 4 1 2 cos60 4 2

    

 

1 4 16 21

   

， 所以

a



2

b



21

。

4. 已知向量

a

與

b

滿足

a



b



2

，且

a



b

，求 (1)

a b



。 (2)

a





a b











。 (3)

a

與

a b



的夾角。 Ans： 【詳解】 (1) 因為 2 2 2 2 2

2

2 2 0 2 8

a b





a



a b



b

    

， 所以

a b

 

2 2

。 (2)





2 2

2 0 4

a

a b





a



a b

  

。 (3) 設

a

與

a



b

的夾角為。 因為

cos





4

1

2 2 2

2

a

a

b

a a

b















。 所以＝45。 5. 已知向量

a



 

3,1 ,

b



 

1, 2

，且





a t b









b





， 求實數 t 的值。 Ans： 【詳解】 因為



a t b







b

，

所以



a t b





b

   

0

_

3 ,1 2

t

t

_{  }

1, 2 0



 

3

t

1 1 2



t



2 0

      

5 5 0

t

  

。 解得

_{t }

₁

。 6. 已知

a



 

x

, 4

在

b 

 

1,2

上的正射影為



 

2, 4



， 求實數 x 的值。 Ans： 【詳解】 利用正射影公式，得

a

在

b

上的正射影為

 

2

8

8

1, 2

5

5

a b

x

x

b

b

b





_

_

_

_

_

_



_{ }

_

_

_

_

_





















。 因此，

8

2

5

x 

，解得

_x

₁₈

。 7. 已知

a



 

4,5 ,

b



 

1, 2

，且

a

 

u

v

， 其中

u

//

b

，

v



b

，求向量

u

與

v

。 Ans： 【詳解】 如圖所示，

a

 

u

v

， 且

u

為

a

在

b

上的正射影。 利用正射影公式，得

2

4 10

14

14 28

,

5

5

5 5

a b

u

b

b

b

b





_

_

_

_

_







_

_



_

_

_

_





_

_

_

_









。 又因為

a

 

u

v

，所以

 

_4,5

14 28

_,

6

_,

3

5 5

5

5

v

  

a u







_

 

 

_{ }









_

。 8. 如右圖，一根細繩穿過兩個定滑輪

_{A B}

_,

，且兩端分別繫有 3 公斤與 4 公斤的重物。現在兩個滑輪之間的繩上掛一個 5 公斤的重物，並呈現平衡狀態，求此時



AOB

的度數。 Ans： 【詳解】 設



AOB





，

a b

,

分別為

_{A B}

_,

的張力，

c

為掛上重物的重量， 且

a



3,

b



4,

c



5

。 因為呈現平衡狀態，三重量的合力為零， 即

a b

  

c

0

，得

a b

 

c

。 由向量加法的定義得知，

因此

a b

,

與

c

恰圍出一個三角形， 如圖所示。 利用餘弦定理，得





_{3 4 5}

2 2 2

cos 180

0

2 3 4



 

 

_{ }



， 即

180

  



90

。 故



AOB

  



90

。 9. 設



為兩直線

L x y

₁

:

  

2 0

與

L

₂

: 2

x y

  

3 0

的一個夾角， 求

cos



的值（兩解）。 Ans： 【詳解】 直線

L

₁與

L

₂的法向量分別為

 

1

1, 1

n  

與

n 

₂

 

2,1

。 設

n

₁與

n

₂的夾角為



₁。 因為 1 2

 

1 1 2

1 2

1 1

1

10

cos

10

2

5

10

n n

n n







   

_





， 所以

cos 180



₁



cos

₁

10

10





 



。 又因為

L

₁與

L

₂的夾角為



₁或

180





₁， 所以

cos

10

10





。

二、進階題

10. 已知

a



1,

b



2,

c

 

a b

，且

c



a

，求 (1)

a b

的值。 (2)

a

與

b

的夾角。 Ans： 【詳解】 (1) 因為

c



a

，所以





2

0

0

0

1

0

c a

a b

a

a

b a

b a

  









 



。 因此，

a b 

1

。 (2) 因為

a

與

b

的夾角滿足

1

1

cos

1 2

2

a b

a b









_



， 即＝120。 故

a

與

b

的夾角為 120。

11. 在△ABC 中，已知

AB k



 

,1 ,

AC



 

2,3

及

  

C

90

。 (1) 以實數 k 表示

BC

。 (2) 求實數 k 的值。 Ans： 【詳解】 (1) 由向量的拆解，得

    

2,3

,1

2

, 2



BC AC AB



 



k

 

k

_。 (2) 因為C＝90，所以

AC BC



。 因此

  







0

2,3

2 , 2 0

2 2

3 2 0

AC BC

k

k









     

10 2

k

0

  

_， 解得 k＝5。 12. 設△ABC 是邊長為 3 的正三角形，D 是

BC

上的點，且

_BD

₁

。 (1) 已知

AD xAB yAC





，求

x y

,

的值。 (2) 求

AB AD

的值。 Ans： 【詳解】 (1) 如下圖，利用分點公式，得

2

1

3

3

AD



AB



AC

。 故

2

,

1

3

3

x



y



。

(2) 由(1)得 2

2

1

2

1

3

3

3

3

AB AD AB







_

AB



AC





_



AB



AB AC

2

₉

1

_{3 3 cos60}

15

3

3

2

     



。 13. 已知向量

a  

 

3, 4

，且

a

 

u

v

， 其中

u

與向量

 

1, 2

平行，

v

與向量

 

3,1

垂直， 求向量

u

與

v

。 Ans： 【詳解】 設

u



 

t t v

, 2 ,

 



k

, 3

k



。 因為

a

 

u

v

，所以

    



  



3, 4

, 2

, 3

3, 4

, 2 3

t t

k

k

t k t

k





 

 

 



。 因此

3

2 3

4

t k

t

k

 



  



， 解得

_t

 

_1,

_k

₂

， 即

u

  



1, 2 ,



v

 

 

2,6

。