1−3 整數的乘除與四則運算
本節課程學習重點： ◎能判別兩數乘、除的正負結果並算出其值。 ◎能了解正負整數的交換律、結合律、分配律及簡易應用。 ◎能做整數的四則運算。 一、整數的乘法運算： ◎正整數乘以正整數：正整數乘以正整數，其乘積為正整數，數字部分是原來兩數的數字部分相乘。 ◎正整數乘以負整數：正整數乘以負整數，其乘積為負整數，數字部分是原來兩數的數字部分相乘。 ◎負整數乘以正整數：負整數乘以正整數，其乘積為負整數，數字部分是原來兩數的數字部分相乘。 ◎負整數乘以負整數：負整數乘以負整數，其乘積為正整數，數字部分是原來兩數的數字部分相乘。 練習 1：計算下列各式的值。(1)8×(－9) (2)25×(－4) 練習 2：計算下列各式的值。(1)12×(－3) (2)6×(－7) 練習 3：計算下列各式的值。(1)(－9)×7 (2)(－6)×8 練習 4：計算下列各式的值。(1)(－4)×2 (2)(－15)×6 練習 5：計算下列各式的值。(1)(－12)×(－7) (2)(－4)×(－8) 練習 6：計算下列各式的值。(1)(－8)×(－7) (2)(－11)×(－9) 【觀念釐清】(1)同號的兩整數相乘，其結果為正整數。 (2)異號的兩整數相乘，其結果為負整數。 (3)(＋)×(＋)＝(＋)；(＋)×(－)＝(－)；(－)×(＋)＝(－)；(－)×(－)＝(＋)。 「正正得正」 「正負得負」 「負正得負」 「負負得正」 ◎關於 0 與 1 的乘法：若 a 為任意整數，則 (1) a×0＝0×a＝0。(任何數與 0 的乘積為 0) (2) a×1＝1×a＝a。(任何數與 1 的乘積為自己本身) (3) a×(－1)＝(－1)×a＝－a。(任何數與－1 的乘積剛好會是這個數的相反數) ◎整數的乘法特性： (1)乘法交換律：若 a、b 為整數，則 a×b＝b×a。 (2)乘法結合律：若 a、b、c 為整數，則(a×b)×c＝a×(b×c)。練習 7：計算下列各式的值。(1)(－231)×(－25)×8 (2)(－25)×(－67)×(－4) 練習 8：計算(－125)×11×(－9)×8 的值。 【觀念釐清】連續幾個不為 0 的整數相乘，當連乘的式子中，負數的個數為奇數時，其乘積為負數； 負數的個數為偶數時，其乘積為正數。 二、整數的除法運算：(想法同乘法運算) 【觀念釐清】(1)同號的兩整數相除，其結果為正整數。 (2)異號的兩整數相除，其結果為負整數。 (3)(＋)÷(＋)＝(＋)；(＋)÷(－)＝(－)；(－)÷(＋)＝(－)；(－)÷(－)＝(＋)。 練習 9：計算下列各式的值。(1)(－63)÷7 (2)(－72)÷(－6) 練習 10：計算下列各式的值。(1)(－40)÷4 (2)18÷(－9) 【觀念釐清】除法沒有交換律和結合律。 三、整數的四則運算： (1)若只有加減或只有乘除運算時，通常由左而右計算。 (2)若同時有加、減、乘、除運算時，要先做乘除再做加減。 (3)若有括號時，括號內的運算必須先算，或利用去括號規則去括號後再算。 (4)若算式中有絕對值，應優先計算絕對值內的值，再做其他的運算。 練習 11：計算下列各式的值。(1)(－9)×2÷(－6) (2)72÷(－8)×5 (3)7＋4×(－3) (4)3－30÷(－5) 練習 12：計算下列各式的值。 (1)(－4)×(－9)÷3 (2)12÷(－4)×(－5) (3)(－7)－(－1)×8 (4)(－6)×12＋(－8)
練習 13：計算下列各式的值。(1)(－60)÷[(－7)×2－1] (2)(－7)×[16－7×(－2)] 練習 14：計算下列各式的值。(1)[(－20)＋(－10)]÷(－5)×3 (2)－24＋6×[(－8)－(－7)] 練習 15：計算(－8)×6＋｜(－5)×10－1｜的值。 練習 16：計算下列各式的值。(1)(－3)×｜8×(－2)－5｜÷7 (2)｜6－3×(－5)｜＋25×(－4)÷10 ◎乘法對加(減)法的分配律：若 a、b、c 為任意整數，則 (1) c×(a＋b)＝c×a＋c×b；c×(a－b)＝c×a－c×b。 (2) (a＋b)×c＝a×c＋b×c；(a－b)×c＝a×c－b×c。 練習 17：計算下列各式的值。(1)83×(－5)＋17×(－5) (2)7×(－155)－7×(－55) 練習 18：計算下列各式的值。(1)(－16)×39＋(－16)×61 (2)1009×(－31)－9×(－31) 練習 19：計算下列各式的值。(1)1002×(－195) (2)(－273)×999 練習 20：計算下列各式的值。(1)198×(－18) (2)(－55)×401
練習 21：(1) (－70)÷[(－7)＋2]會不會等於(－70)÷(－7)＋(－70)÷2？
(2) [(－20)＋(－10)]÷(－5)會不會等於(－20)÷(－5)＋(－10)÷(－5)？
◎性質：(1)若 a×b＞0，且 a＋b＞0，則 a＞0，b＞0。 (2)若 a×b＞0，且 a＋b＜0，則 a＜0，b＜0。 (3)若 a×b＜0，且 a－b＞0，則 a＞0，b＜0。 (4)若 a×b＜0，且 a－b＜0，則 a＜0，b＞0。 自我評量 1. 計算下列各式的值。 (1) (－9)×(－8)×4 (2) 72÷(－9)÷2 (3) (－18)÷6＋(－21)÷7 (4) (－30)×[3－(－4)] (5) (－75)×(－105)＋(－75)×5 (6)｜3×(1－13)｜÷(－3) (7)｜2＋3×(－2)｜÷(1－3)＋7×(－3) 2. 判別下列各式的結果是正數、負數或 0。 (1) 11×(－12)×13×(－14)×15×(－16)的結果為 。 (2) (－23)×(－24)×0×(－25)×(－26)的結果為 。 習作 1. 計算下列各式。 (1) 25×8＝ 。 (2) (－25)×8＝ 。 (3) 25×(－8)＝ 。 (4) (－25)×(－8)＝ 。 (5) (－25)×0＝ 。 (6) 0×(－8)＝ 。
2. 計算下列各式的值。(1) (－723)×(－25)×4 (2) 8×(－13)×125×(－3) 3. 計算下列各式。 (1) 28÷7＝ 。 (2) (－28)÷7＝ 。 (3) 28÷(－7)＝ 。 (4) (－28)÷(－7)＝ 。 (5) 0÷28＝ 。 (6) 0÷(－7)＝ 。 (7) (－18)÷6÷(－3)＝ 。 (8) (－18)÷[6÷(－3)]＝ 。 (9) (－36)÷(－3)×6＝ 。 (10) (－36)÷[(－3)×6]＝ 。 4. 下圖俗稱「鬼腳圖」，按照規則算算看，在空格中填入適當的數。 規則：(1)分別從甲、乙、丙、丁、戊、己開始沿縱線往下走，如果碰到橫線必須沿著橫線走到 鄰近的縱線繼續往下走(不能回頭走)。 (2)從甲、乙、丙、丁、戊、己下面的數字開始，依行走路線做運算，直的為數字，橫的 為運算符號，並將最後結果填入空格中。 例如：戊的行走路線及計算方法如下： 9×(－3)＝－27→(－27)－6＝－33→(－33)＋5＝－28→(－28)÷(－2)＝14→□＝14
甲
(－2)
乙
5
戊
9
× ＋ － × ＋ － ÷丁
14
丙
6
己
8
(－3)
5. 某公司去年 1～3 月平均每月虧損 2 萬元，4～6 月平均每月盈餘 6 萬元，7～9 月平均每月盈餘 3 萬 元，10～12 月平均每月虧損 4 萬元，該公司去年總盈虧情況如何？ 6. 計算下列各式的值。 (1) [(－4)×5＋(－3)×2]÷2 (2) (－3)×[(－15)×4＋(－60)×(5－9)] (3) 58－[(－12)＋4×(－6)]－(－72)÷(－4)×2 (4)｜3－(－2)｜×｜(－2)×3｜－6×2 (5)｜(－3)×(4－17)｜－｜(6－15)×2｜ 7. 下面是小芳某次數學小考的考卷，請你幫老師改一改，並訂正錯誤的答案，再算算看小芳共可得 幾分？(滿分 100 分，答對一題得 20 分) 8. 計算下列各式的值。(1) (－86)×84＋(－86)×16 (2)(－252)×1233＋(－252)×769＋(－252)×(－2) ※數學小考考卷※ 姓名： 黃小芳 座號： 8 得分： 1.(－5)×2×(－3)＝ 30 。 2.(－7)×︱ 8－10︱＝ －14 。 3.5－{10－[4＋(－1)]}＝ －10 。 4.(－4)×(－3)×(－2)＝ －24 。 5.[(－2)×3]＋[(－5)×3－2]＝ －23 。
9. 定義新的運算符號「◎」的運算規則為：a◎b＝a－︱ a－b︱×b。 例如：1◎2＝1－︱ 1－2︱×2＝1－1×2＝－1。計算下列各式的值。(1)3◎(－2) (2)(－5)◎(－7) 10. 判斷下列各式的結果為正數或負數。 (1) 10×(－20)×30×(－40)×…×(－180)×190 (2) (－5)×7×(－9)×…×(－17)×19 11. 射飛鏢遊戲共有 10 支飛鏢。射中紅色得 3 分，射中黑色得(－2)分， 飛鏢落地不算分。若承俊的分數是(－9)分，且他只有 1 支飛鏢射中 紅色區域， 那麼他有幾支飛鏢射中黑色區域？ 類題補充 1. 下列何者的運算結果與其他三者不同？ (A) (－36)÷(－3)×6 (B) 36÷(－3)×(－6) (C) 36×6÷3 (D) 36÷[(－3)×(－6)]。 2. 計算下列各式的值。 (1) [(－5)×6＋(－4)×3]÷3＝ 。 (2) (－6)×[(－12)×2＋(－32)×(3－5)]＝ 。 (3) 33－[(－24)＋6×(－6)]－(－56)÷(－4)×2＝ 。 (4)│3－(－5)│×│(－4)×6│－7×3＝ 。 (5)│(－5)×(8－29)│－│(6－25)×9│＝ 。
3. 已知本校兩次月考各 20 題，答對一題得 5 分，答錯一題倒扣 2 分，不作答則不扣分。已知小靖第一 次月考答對了 16 題、答錯了 3 題，第二次月考答對了 18 題、答錯了 2 題，則他這兩次月考的平均 分數為幾分？
4. 設 a、b、c 三數都是負數，且 a×(－3)＝b×(－2)＝c×(－5)，則 a、b、c 三數的大小關係為何？ (A) a＜b＜c (B) a＜c＜b (C) b＜a＜c (D) b＜c＜a。
5. 若 a×359＝54188，則(－54188)＋359×(a－10)之值為何？ (A) 54188 (B) －54188 (C) 3590 (D) －3590。
6. 設甲、乙都是整數，若∣甲－2∣＋4×∣乙＋3∣＝6，則甲＋乙的值不可能為何？ (A) －3 (B) －7 (C) 0 (D) 5。
7. 設 a、b、c 為三個相異整數，且 a×b＝0，a×c＜0，a－c＜0，則 a、b、c 三數的大小關係為何？ (A) a＞b＞c (B) a＜b＜c (C) b＞a＞c (D) b＜a＜c。
8. 在數線上 O 為原點，A 點的坐標為 a，B 點的坐標為 b，利用下列三個已知條件判斷 A、B、O 三點在 數線上的位置關係，則下列圖形何者正確？ 已知條件：(1) a＋b＜0 (2) a－b＞0 (3) a×b＜0。
(A) A B O (B) B O A (C) B A O (D) O B A 。
9. 下列各式的值何者與其他不相等？
10. 小強在數線上玩猜拳遊戲，猜贏向右移動 3 單位長，猜輸向左移動 1 單位長，若小強目前位於數線 上－5 的位置上，則以下哪種輸贏狀況「後」，小強離坐標 1 這個位置最近？ (A) 輸贏輸贏贏 (B) 輸贏贏贏贏 (C) 贏輸贏輸輸 (D) 贏輸輸輸輸。 11. 若 a×539＝84357，則(－84355)＋539×(a＋10)＝ 。 12. 計算下列各式之值。 (1) (－3)×[(－15)×4－(－60)×(5－9)]＝ 。 (2) (－262)×1233＋(－262)×769－262×(－2)＝ 。 (3) ∣5－(－3)∣×∣(－4)×2∣－8×2＝ 。 (4) 17－(－5)×4＝ 。 (5) 16×(2－4)＋7×(－3)＝ 。 13. 將「＋、－、×、÷」四個運算符號適當地填入下面的空格中，使算式左右兩邊的結果相同。 (1) [(5＋3)□4－(－6)]÷(－4)＝－2，則□應填入 。 (2) (－4)＋3□(－2)＝－10，則□應填入 。 14. 若定義運算規則 a b c d ＝a×d－b×c＋(a×b)÷(c×d)，則 －8 6 2 －4 之值為 。
15. 設 a、b 兩個整數的運算符號為a※b＝a－∣a∣×b，例如 5※3＝5－∣5∣×3＝5－15＝－10， 則(－36)※(－24)之值為何？ 16. 若甲＝(－18)÷(－3)×6，乙＝(－18)÷[(－3)×6]，丙＝(－18)÷6÷(－3)，丁＝(－18)÷[6÷(－3)]， 則甲、乙、丙、丁的大小關係為何？ 17. 利用結合律、交換律與分配律的觀念，判別下列各敘述中正確的有幾項？ (甲) (5×3)×2＝(2×3)×5 (乙) 7×(2＋3)＝(7×2)＋(7×3) (丙) (3－2)×4＝3×4－2×4 (丁) (10－8)－3＝10－(8－3) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 18. 已知甲、乙為兩相異整數，且甲×45＝乙×15，則甲、乙兩數的大小關係為何？ (A) 甲＝乙 (B) 甲＞乙 (C) 甲＜乙 (D) 條件不足，無法判斷。 19. 下列敘述何者正確？ (A) a 的倒數是 1 a (B) 0 沒有相反數 (C) 5 的倒數是 1 5 (D) 一個正數的絕對值是它的相反數。 20. 若(－2)×(7＋□)＝－10，則□＝？ (A) 2 (B) －2 (C) 3 (D) －3。 21. 已知 A＝(－5)×(－4)，B＝(－24)÷6，C＝78÷(－13)，則 A×B×C＝ 。
22. 下列算式何者正確？(a、b、c 皆為相異正數)
(A) (a－b)÷c＝a÷c－b÷c (B) a÷b÷c＝a÷(b÷c) (C) a÷(b－c)＝a÷b－a÷c (D) (a－b)×c＝a×c－b
23. 如果 a 是正數，b 是負數，下列哪一式的值一定是負數？ (A) a－b (B) ∣a∣×∣b∣－b (C) －a＋b (D) (－a)÷b－b。
24. 若 a＝969×879，b＝968×880，則 b－a＝ 。
25. 設 A＝－957×890、B＝－959×888，比較 A、B 兩數的大小為 。
26. 如果 a、b 是兩個整數，新的運算符號「＊」的計算方法是 a＊b＝a2－∣a∣×b。
例如 4＊(－3)＝42－∣4∣×(－3)＝16－(－12)＝28，則(－5)＊2＝？
27. 已知 a×12345＝456789，則 a÷(－100)×12345＝？
28. 若 A×499＝54321，則 (1) (A＋1)×499＝？ (2) A×500＋A×498＝？
加強練習 1. 已知 a、b 兩數為整數，◎為新的運算符號，其運算規則如下：a◎b＝a×b－｜a－b｜÷(a＋b)。 例如 3◎(－2)＝3×(－2)－｜3－(－2)｜÷[3＋(－2)]＝－11，依照此運算規則，則(－4)◎6＝ 。 2. 下列各式運算錯誤的為何？答： 。 (A) 1111×(－916)＝1111×(－900)＋1111×(－16) (B) 1111×(－916)＝1111×(－1000)－1111×84 (C) 1111×(－916)＝1111×(－920)＋1111×(－4) (D) 1111×(－916)＝1111×(－900)－1111×16 3. 計算下列各式的值。 (1) 75×63＋37×125＋63×125＋75×37＝ 。 (2) 9＋(－3)×[18－(－3)×2]÷4＝ 。 (3) (－65)×11＋79×(－65)＋65×(－110)＝ 。 (4) 84÷[(－60)÷4＋1]＝ 。 4. 計算(1－2)×(2－3)×(3－4)×……×(99－100)的值為何？ 5. 下列為胖虎、小夫、靜香、大雄四人的演算過程，請問誰的算式有誤？ 胖虎：(－25)×12÷(－5)＝[(－25)÷(－5)]×12 小夫：(－25)÷12÷(－2)＝(－25)÷[12×(－2)] 靜香：(－25)×12÷(－3)＝(－25)÷[12÷(－3)] 大雄：(－25)×12×(－4)＝(－25)×(－4)×12 (A)胖虎 (B)小夫 (C)靜香 (D) 大雄。 6. 若 235×a＝23030，則(a＋2)×235＝ 。 7. 已知甲、乙兩數皆為整數，且∣甲數∣＋∣乙數∣＝6，則下列何者不可能是∣甲數－乙數∣的值？ (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 8. 在－2、－1、0、4 四數中任選三數相乘，若要得到最大的乘積，則下列何者不可能出現在此三數中？ (A)－2 (B)－1 (C) 0 (D) 4。 9. 超商推出夏日飲料促銷活動，凡購買相同飲料 2 瓶，第 1 瓶原價，第 2 瓶六折。小妍在超商買了 一批相同的飲料，已知每瓶飲料的定價為 20 元，則下列何者不可能是這批飲料的售價？ (A) 52 元 (B) 80 元 (C) 96 元 (D) 148 元。 10. 計算下列各式之值： (1) 28－3×[35－(－4)×(－5)]÷5＝ 。 (2) 3×(－2)＋(－8)×9÷(－6)÷2＝ 。 (3) (－38)×(－45)＋24×(－62)－(－25)×38－(－94)×62＝ 。 11. 設 a＝(－3)－(－5)×(－2)，b＝[(－3)－(－5)]×(－2)，則(a－b)×3÷(a＋b)＝ 。 12. 在－8、－5、0、4、5、9 六個數中任選三個數相乘，其中乘積最小的值為 。 13. 已知 m×12345＝－27589，則－(m＋2)×12345＝ 。 14. 已知“＊＂為一個新的運算符號，其規則為 a＊b＝a×a－2×a×b＋3×∣a－b∣÷b，其中 b≠0。 例如：2＊3＝2×2－2×2×3＋3×∣2－3∣÷3＝4－12＋1＝－7。則 5＊(－9)＝？ 15. 若(－4)×[18－3×(2－6)]＋甲數＝0，則甲數＝？
Ans：1.－29；2.(B)(C)；3.(1) 20000，(2)－9，(3)－13000，(4)－6；4.－1；5.(C)；6. 23500；7.(C)； 8.(C)；9.(B)；10.(1) 19，(2) 0，(3) 7000；11. 27 17；12.－360；13. 2899；14. 110 1 3；15. 120。 心得筆記
