利用解析連續法分析小角度彎曲波導的反射係數與場型
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(2) 誌. 謝. 本篇論文的完成，首先要感謝我的指導教授 張弘文博士，在他悉 心的教導之下，使我可以在數值理論的基礎上紮根，並且對於論文理論 以及程式方面給予多方的協助，並使我在對學習研究以及為人處事上獲 益良多。另外還要感謝所上的老師在學業上所提供的協助，由於他們的 教誨，使我獲得不少知識以及幫助。 同時要感謝在實驗室中的二位博士班學長盛夢徽學長、吳祚倫學 長，兩年來照顧我的學業以及生活的照顧，同時在作論文過程時更是提 供了不少寶貴的建議。也感謝同學林政衛、張世明、吳宙秦、曹碩芳， 在口試期間的幫忙，讓我能安心準備口試。 最後要感謝我父母辛苦的養育和栽培，有了他們在背後的大力支 持，我才能夠完成碩士學業以及論文研究。 本論文感謝南台灣光電卓越研究中心（二）NO-1 高容量通訊系統用 先進光電學元件（91H10042）的贊助。. 許峻源 2004,6 于西子灣. I.
(3) 中文摘要 光波導的製作在積體光學中是極為重要的一環，因此如何分析各種 形式的光波導是當前的重要課題。彎曲光波導在以往的分析中是一個困 難的問題，傳統上波導計算方式是光束傳播法(Beam Propagation Method，BPM） ，但是因為 BPM 使用大量近似，會因為在彎曲所造成的 斜面左右兩側的座標系統不完全匹配，而造成計算上的困難。 此論文中引入解析連續法去處理因為彎曲所導致的斜面邊界問 題，可以處理原本斜面兩側座標系統的不匹配，計算量與誤差可以大幅 降低，再配合上連續條件與微分連續的邊界條件，推得兩組積分方程矩 陣。但推導出的積分方程矩陣，計算上較複雜，所以利用波導具有對稱 結構的特性，簡化計算過程與矩陣繁衍，可以有效地降低計算量。為了 克服彎曲的角度過大時，推衍出來的矩陣會奇異(singular)的問題，而造 成計算的誤差會加大，所以推導矩陣元素均以積分正解公式來計算，再 配合上特殊的數值方法，將所能計算的彎曲角度範圍擴大。利用我們理 論，微波波導可以計算到彎曲 30 度的結構，介電質波導可以計算到彎 曲 15 度的結構，且可算出相當小的反射係數，大約為-60dB，這是其他 方法無法做到的。透過場型的計算分析後，可以發現到波導中能量傳播 的情況也與我們理論預期的結果相符。 II.
(4) Abstract Dielectric waveguides are crucial devices in the making of integrated-optical circuits. It is very important to analyze this type of waveguides so we can optimize the design for better performance. Analysis of bent waveguides has been a difficult problem in the past. In a bent waveguide, two coordinate systems are needed to fully describe the ongoing complex scattering process in the transition region of the waveguide.. It is extremely hard to analyze such problems for methods. built on a single coordinate system such as the finite-difference, finite-element methods and the beam propagation method (BPM). In this thesis, we adopt dual mode-field representations (for all the low and higher-order modes), one for the incident and reflected waves and the other for the transmitted waves, to study bending effects.. To calculate. the wave fields, we apply the analytic continuity principle to allow the waves to analytically extend and join smoothly on the bordering line.. By. matching the two continuity conditions of both the fields and their normal derivatives we get two matrix equations for the reflection and transmission coefficients. For symmetrical bending waveguide, the task can be further reduced to solving two smaller problems each with even or odd symmetry on the bordering line. As the bent angle increases the governing matrix equation becomes more singular.. As a result, all the elements in the matrix are calculated. with closed-form formulae to minimize the stability problem. In addition, special numerical methods are used to extend the range of the bending angles that this method can handle.. In conclusion, our theory can. calculate microwave bending waveguides up to 30 degrees and for dielectric slab waveguide with 15 degree bent angle.. With this method we. are able to compute small reflection coefficients of about -60dB and less. II.
(5) 目錄 I. 誌謝 中文摘要. II. 英文摘要. III. 目錄. IV. 圖表目錄. VI. 第一章. 導論. 1. 第二章. 彎曲微波波導的理論推導. 4. 2-1：解析連續法的理論模型. 4. 2-2：對稱結構的理論模型. 5. 2-3：彎曲對稱結構的分析. 8. 第三章. 彎曲微波波導數值計算結果. 18. 3-1：數值積分的結果. 18. 3-2：特殊數值分析的結果. 21. 第四章. 彎曲三層介電質波導的理論推導. IV. 24.
(6) 4-1：三層結構的模態的分析. 24. 4-1-1：二層結構的模態的分析與歸一化係數的推導 26 4-1-2：二層結構轉對稱三層結構的分析 4-2：三層彎曲對稱結構的分析. 43 48. 第五章. 彎曲三層介電質波導數值計算結果. 66. 第六章. 結論與未來研究. 76. 參考文獻. 78. 中英對照表. 80. V.
(7) 圖表目錄 Fig1.彎曲微波波導. 2. Fig2.彎曲介電質波導. 2. Fig3.彎曲波導示意圖. 4. Fig4.平行板波導場量示意圖. 5. Fig5.平行板波導電牆與磁牆對稱示意圖. 6. Fig6.彎曲 20 度微波波導左側的場型（奇對稱，電牆）. 18. Fig7.彎曲 20 度微波波導左側的場型（偶對稱，磁牆）. 19. Fig8.彎曲 20 度微波波導左側的場型（電牆解+磁牆解）. 19. 表 1.不同角度情況的反射係數與穿透係數. 20. Fig9.彎曲 40 度微波波導左側的場型（奇對稱，電牆）. 21. Fig10.彎曲 40 度微波波導左側的場型（偶對稱，磁牆）. 22. Fig11.彎曲 40 度微波波導左全區的場型. 23. Fig12.三層介電質彎曲波導示意圖. 25. Fig13.彎曲 5 度介電質波導左側的場型（奇對稱，電牆）. 66. Fig14.彎曲 5 度介電質波導左側的場型（偶對稱，磁牆）. 67. Fig15.彎曲 5 度介電質波導全區的場型. 67. Fig16.彎曲 15 度介電質波導左側的場型（奇對稱，電牆）. 68. VI.
(8) Fig17.彎曲 15 度介電質波導左側的場型（偶對稱，磁牆）. 68. Fig18.彎曲 15 度介電質波導全區的場型. 69. 表 2.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數. 70. (n1=1.5,. n2=1,. V=4.3545,. #Guiding mode=2,. 表 3.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數 (n1=1.5,. n2=1,. V=7.1645,. #Guiding mode=3,. 表 4.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數 (n1=1.5, n2=1.48,. V=0.9508,. #Guiding mode=1,. 表 5.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數 (n1=1.5, n2=1.48,. V=1.5644,. #Guiding mode=1,. 表 6.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數 (n1=3.5,. n2=3,. V=7.0215,. #Guiding mode=3,. 表 7.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數 (n1=3.5,. n2=3,. V=11.5524,. #Guiding mode=4,. 表 8.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數 (n1=3.5,. n2=1,. V=13.0636,. #Guiding mode=5,. 表 9.不同角度下不同介電係數下的反射與穿透係數 (n1=3.5,. n2=1,. V=21.4934,. d=1.5497) 70 d=2.5497) 71 d=1.5497) 71 d=2.5497) 72 d=1.5497) 72 d=2.5497) 73 d=1.5497) 73. #Guiding mode=7,. d=2.5497). Fig19.彎曲 10 度介電質波導全區的場型(n1=1.5，n2=1). 74. VII.
(9) Fig20.彎曲 10 度介電質波導全區的場型(n1=1.5，n2=1). 74. Fig21.彎曲 10 度介電質波導全區的場型(n1=3.5，n2=1). 75. Fig22.彎曲 10 度介電質波導全區的場型(n1=1.5，n2=1). 75. VIII.
(10) 第一章. 導論. 1-1 簡介 光波導(optical waveguides)的製作在積體光學中是極為重要的一 環，以半導體製程技術所製作平面光波導(Planner Light wave Circuit， PLC)是一種可以在平面上製作許多光波導線路，使其具有分/合光、光 學切換(Optical switch)等功能的技術，而且具有良好的穩定性、可量產， 與可積體化的特性，在光通訊產業中扮演著非常重要的角色，因此如何 分析各種形式的光波導是我們當前的重要課題。我們常見的光波導計算 方式是光束傳播法(Beam Propagation Method，BPM)，模態偶合法 (Couple-mode theory，CMT)，傳輸矩陣法(Transfer matrix method)，以及 有限元素法(Finite element method，FE)，有限差分法(Finite difference method，FD)等，其中以BPM進行分析是較簡單快速的方法，但是因為 BPM使用大量近似，對於彎曲的波導( bending waveguide)，會因為在彎 曲所造成的斜面左右兩側的座標系統不完全匹配，而造成計算上的困 難。如果利用有限元素法或者是有限差分法去分析彎曲波導結構，則會 有計算量過大的問題，導致分析的結果不夠精確。此外，像FD-TD等方 法也會因為所考慮的結構過於複雜使其精確度受到質疑。彎曲的光波導. 1.
(11) 在以往的分析中是一個困難的問題，是因為在彎曲的介面左右兩側上的 邊界條件(boundary condition)不易處理，所以我們提出利用解析連續 (analytic continuity method)的方法，克服這個問題。下面的兩個圖為本 論文中主要的分析結構。. Fig1. 彎曲微波波導. -. Fig2.彎曲介電質波導. 2.
(12) 1-2 馬克思威爾方程式 描述場量是一個很基本的問題，在本篇論文中我們利用電磁波的 波動方程式來描述，而就一定會用到馬克思威爾方程式(Maxwell’s equations)，以下我們把馬克思威爾方程式列出來： G G ∂B ∇×E = − ∂t. (1.2-1). G G G ∂D ∇×H = J + ∂t. (1.2-2). G ∇⋅D = ρ. (1.2-3). G ∇⋅B = 0. (1.2-4). 在無源的情況下： G G ∂B ∇×E = − ∂t. (1.2-5). G G ∂D ∇×H = ∂t. (1.2-6). G ∇⋅D = 0. (1.2-7). G ∇⋅B = 0. (1.2-8). 在時變量為 e jω t 時，這四式可變為： G G ∇ × E = − jωµ H. (1.2-9). G G ∇ × H = jωε E. (1.2-10). G ∇⋅D = 0. (1.2-11). G ∇⋅B = 0. (1.2-12) 3.
(13) 第二章. 彎曲微波波導的理論推導. 2-1 解析連續法的理論模型. x’ z’. x z. θ Fig3.彎曲波導示意圖. 圖 3 是一個彎曲波導結構示意圖，彎曲的角度為θ度。 在此，我們利用此結構說明解析連續法，首先，我們可以發現左 右兩側的座標系統是不相同的，左側為 x,z 的座標系統，右側為 x’,z’ 的座標系統，但是這兩個座標系統在各自的區域中是連續的，由波導 理論可知左右兩側場量的函數是解析函數，所以我們可以利用此特 性，使左側的場由綠色邊界解析連續到藍色的斜線，使右側的場由紅 色邊界解析連續到藍色的斜線，再配合上斜線上的邊界條件，使左側 的場連續到右側區域，如此便克服了左右兩側座標系統不匹配的問 題。. 4.
(14) 2-2 對稱結構的理論模型. 入射波:. 入射波: 0. a sin k x x exp(− jk z z ). x z. 反射波: 0. 0. 反射波:. a sin k x x exp(− jk z z ). Fig4:平行板波導場量示意圖 在本篇論文中使用的一個重要的求解觀念，便是如何將一個具有 對稱性結構的問題，利用對稱性的觀念將問題簡化，並求出實際結構 的結果這樣可以將原本有方向轉變的問題變成單一方向的問題。以下 將以一個最簡單的平行板波導(planar waveguide)作為例子，如 Fig4， 首先假設只有左邊有入射波(incident wave)入射，因此我們可以將左 邊的電場入射波根據上下為電牆的邊界條件寫成: a sin k x x exp(− jk z z ) ， 由於整個波導為均勻介質，其反射波(reflected wave)將為零。對於右 邊的電場，其右邊並沒有入射波，因此入射波為零，反而其反射波因 為左邊有入射波入射，因此場量將和左邊的入射波相同。 由於平行板波導具有左右對稱性的特性，對場量而言可以區分為 奇對稱與偶對稱，因此可以假設在 z=0 上有電牆或磁牆的存在，如 Fig5 所示。以對稱軸為電牆時，首先我們假設左邊的電場入射波是同 5.
(15) 樣為: a sin k x x exp(− jk z z )，由於電場在電牆上的值為零，因此反射波必 須為: −a sin k x x exp( jk z z )，以符合在 z=0 上電牆的邊界條件。由於電牆 有奇函數對稱的特性，因此在右邊的場量須變號並且依照行進的方向 分別對應於右邊的入射波與反射波，我們可以得到右邊的入射波是 為: −a sin k x x exp( jk z z ) ，反射波為: a sin k x x exp(− jk z z )，如 Fig5 所示。同樣 的在以對稱軸為磁牆時，假設入射波為: a sin k x x exp(− jk z z ) ，對磁牆而 言是電場對法線微分為零的關係，因此反射波為: a sin k x x exp( jk z z )，以 符合磁牆的邊界條件。而磁牆有偶函數對稱的特性，其右邊的場量為 同號並且依照行進方向對應於右邊的入射波以及反射波，可以得到入 射波為: a sin k x x exp( jk z z )，以及入射波為:a sin k x x exp(− jk z z ) 。 入射波:. a sin k x x exp( − jk z z ). 入射波:. − a sin k x x exp( jk z z ). 電牆. x z. 反射波:. 0. 反射波:. a sin k x x exp( − jk z z ). − a sin k x x exp( jk z z ). 入射波:. a sin k x x exp( − jk z z ). 入射波: a sin k x x exp( jk z z ). 磁牆. x z. 反射波:. 0. 反射波:. a sin k x x exp( − jk z z ). a sin k x x exp( jk z z ). Fig5.平行板波導電牆與磁牆對稱示意圖 6.
(16) 將此結果對應 Fig3 所示的波傳播情形時，可以發現以下結果: 實際解=(磁牆解＋電牆解)÷2 穿透係數解=(磁牆反射係數－電牆反射係數)÷2 反射係數解=(磁牆反射係數＋電牆反射係數)÷2 因此根據以上推導結果，我們可以發現任何一個擁有對稱性的結 構均可以利用其特性，在對稱軸上分別加上電牆以及磁牆的邊界條件 後便只須計算其半邊結構，然後將兩者計算出來的結果加以合併便可 以算出實際結構的結果。這樣對於彎曲的結構可用對稱拆成兩半後， 並只需要計算其中一種方向，而無須去考慮彎曲部分的問題。 雖然對稱性解法解決了波導彎曲時，電磁波在整個結構上有兩個 行進方向的問題，然而這個理論只能用以有對稱性的結構作為計算模 型，一旦波導的結構為非對稱性結構時，此理論將無法適用，如此就 必須要另找其他數學理論加以解決。. 7.
(17) 2-3 彎曲對稱結構的分析 我們先考慮 TM mode 的情況，由於波導中介值連續，需滿足連續條 件與垂直微分連續條件。. x’ z’. x z. θ. 由波導理論可推得方程式(2-3-1)(2-3-2) u1 ( x, z ) = H y ( x, z ) =. ε 1 − j β1z N (n − 1)π x + j βn z e + ∑ rn n −1 cos e L L L n =1 N. ε n −1. n =1. L. u2 ( x′, z′) = H y ( x′, z′) = ∑ tn. cos. (n − 1)π x′ − jβn z′ e L. (2-3-1). (2-3-2). 1 n=0 2 n ≥ 1. εn = . 由解析連續條件，可知斜面的場量與垂直微分場量需滿足下列方程式 連續條件 u1 = u2 垂直微分連續條件 ∇u1 ⋅ n = ∇u2 ⋅ n 8.
(18) 我們重新設定座標系統，如此可以將原本斜面兩側座標系統不匹配， 轉換為同座標系統，計算量與誤差可以大幅降低。 X (-Lz,L). Ls L=Lx. θ (0,0). Z. Lz. 在 x = − z tan θ 的線上其長度參數 其中 Ls ， Lz 與 L 的關係為. Lz =. L L , Ls = tan θ sin θ. 將 x，z 座標轉換成一維的 s 座標：. 9. z = − s cos θ x = s sin θ.
(19) （一）根據連續條件 ∞. e − jkz + ∑ rn cos n=0. ∞ nπ x + j β n z nπ z − j β n x e e = ∑ t n cos L L n=0. 再座標變換，以 s 參數代入 e. − jk ( s cos θ ). ∞. + ∑ rn cos n=0. nπ ( − s sin θ + L ) + j β n ( s cos θ ) e L. nπ ( s cos θ ) − j β n ( − s sin θ + L ) = ∑ t n cos e L n=0 ∞. (2-3-3). （二）根據微分連續邊界條件 斜線的單位法向量： nˆ =. 1 (1,1) 2. ∞ ∂ nπ x + j βn z ∂ e ∇u1 = xˆ + zˆ e − jkz + ∑ rn cos L ∂z ∂x n=0 . nπ = ∑ rn − L . nπ x + j βn z nπ x e xˆ + ( − jk ) e− jkz + ∑ rn cos ( + j β n ) e+ jβn z zˆ sin L L . ∂ ∞ nπ z − j βn x ∂ ∇u2 = xˆ + zˆ ∑ tn cos e ∂z n =0 L ∂x nπ z − j βn x ∞ nπ ∞ ˆ = ∑ tn ( − j β n ) cos + e x ∑ tn − L L n =0 n =0 . nπ z − j βn x e zˆ L . ∇ u1 ⋅ nˆ = ∇ u 2 ⋅ nˆ ∞ nπ (−s sinθ + L) + jβn (scosθ ) nπ nπ (−s sinθ + L) + jβn (scosθ ) − jk ( s cosθ ) r − sin e + − jk e + rn ( + jβn ) cos e ( ) ∑ ∑ n L L L n=0 n=0 ∞ nπ (s cosθ ) − jβn (−ssinθ +L) ∞ nπ nπ (s cosθ ) − jβn (−ssinθ +L) e e = ∑tn ( − jβn ) cos + ∑tn − sin L L L n=0 n=0 ∞. (2-3-4). 10.
(20) 令 ϕm* ( s ) = cos. mπ ( s cos θ ) L. 根據 ⟨ LHS ϕm* ⟩ = ⟨ RHS ϕm* ⟩ 及(2-3-3) (2-3-4)式，可得兩個積分方程式： N. e − jk ( s cos θ ) ϕ m* + ∑ rn cos n=0. =. N. ∑. n=0. t n cos. nπ ( − s sin θ + L ) + j β n ( s cos θ ) * e ϕm L. nπ ( s cos θ ) − j β n ( − s sin θ + L ) * e ϕm L. N. ( − jk ) e− jk (s cosθ ) ϕm* + ∑ n =0. N. nπ nπ (−s sin θ + L) + jβn ( s cosθ ) * rn − sin e ϕm L L. +∑ rn ( + jβn (s cosθ ) ) cos n =0. N. nπ (−s sin θ + L) + jβn ( s cosθ ) * e ϕm L. = ∑ tn (( − jβn (s cosθ ) ) cos n=0. nπ (s cosθ ) − jβn ( − s sinθ + L) nπ nπ (s cosθ ) − jβn ( − s sinθ + L) * + − sin e e ) ϕm L L L . n=0,1, " ,N ， 其中 m=0,1, " , N. 2. nπ k − = βn L 2. 再以矩陣的形式來表示上列結果： e. − jkz. 令. nπ x − j βn z ∞ nπ z − jβn x e e + ∑ rn cos = ∑ tn cos L L n=0 n =0 ∞. φnΙ ( x ) = cos. nπ x L. φnΙΙ ( x ) = e − j β x n. ψ nΙ ( z ) = e− j β z n. ψ nΙΙ ( z ) = cos. nπ z L. 根據 ⟨ LHS ϕm* ⟩ = ⟨ RHS ϕm* ⟩ 可得： N. N. n=0. n=0. e − jkz ϕm* + ∑ rnφnΙ ( x )ψ nΙ ( z ) ϕ m* = ∑ tnφnΙΙ ( x )ψ nΙΙ ( z ) ϕ m*. 11.
(21) e − jkz ( s )ϕ0∗ ( s ) ds r0 t0 ∫ r t e− jkz ( s )ϕ ∗ ( s ) ds 1 1 ∫ + Aij = Bij 1 將上式化為矩陣形式： # # # − jkz ( s ) ∗ rN t N e ϕ s ds ∫ N ( ) φ nΙ ( x ( s ) ) = cos. 其中. nπ ( − s sin θ + L ) L. φ nΙΙ ( x ( s ) ) = e − j β. n. ψ nΙ ( z ( s ) ) = e − j β. n. nπ ( s cos θ ) L. ψ nΙΙ ( z ( s ) ) = cos. ( − s sin θ + L ). ( s cos θ ). Aij = φ Ιj ( x ( s ) )ψ Ιj ( z ( s ) ) ϕi* ( s ) [ Aij ] = φ0Ι ( x(s))ψ 0Ι ( z(s))ϕ0∗ ( s ) ds ∫ φ0Ιψ 0Ιϕ1∗ds ∫ # Ι Ι ∗ ∫φ0 ψ0 ϕN ds. ∫φ (x(s))ψ Ι 1. Ι 1. ( z(s))ϕ0∗ ( s ) ds "". %. %. %. %. ∫φ ψ ϕ. Ι Ι ∗ 1 1 N. ds. ∫φ. "". N. Ι. ( x(s))ψ N Ι ( z(s))ϕ0∗ ( s ) ds # # Ι Ι ∗ ds φ ψ ϕ ∫N N N. Bij = φ ΙΙj ( x ( s ) )ψ ΙΙj ( z ( s ) ) ϕi* ( s ) Bij = φ0ΙΙ ( x(s))ψ 0ΙΙ ( z(s))ϕ0∗ ( s ) ds ∫ ΙΙ ΙΙ ∗ ∫φ0 ψ 0 ϕ1 ds # ΙΙ ΙΙ ∗ ∫φ0 ψ 0 ϕN ds. ∫φ. ΙΙ 1. ( x(s))ψ1ΙΙ ( z(s))ϕ0∗ ( s ) ds "" %. %. %. %. ∫φ ψ ΙΙ 1. ϕ ds. ΙΙ ∗ 1 N. "". ∫φ. N. ΙΙ. ( x(s))ψ N ΙΙ ( z(s))ϕ0∗ ( s ) ds # # ΙΙ ΙΙ ∗ ∫φN ψ N ϕN ds. 同理可得，我們可由另一邊界條件 ∇ u1 ⋅ nˆ = ∇ u 2 ⋅ nˆ 推得另一組積分方 程矩陣。但推導出的積分方程矩陣，計算上較複雜，所以利用此波導 具有對稱結構的特性，對稱性可用以簡化計算過程與矩陣繁衍，將其 分解為兩部分計算，可以有效地降低大約四分之一計算量。. 12.
(22) 實際上的解=(電牆的解＋磁牆的解)÷2 實際上的穿透係數=(電牆的反射係數－磁牆的反射係數)÷2 實際上的反射係數係數=(電牆的反射係數＋磁牆的反射係數)÷2. （三）奇對稱 u ( x, z ) = 0. L +. 在邊界上, u1 ( x, z ) =. φn ( x) =. ε n −1 L. cos. 1 − j β1z N e + ∑ rnφn ( x )ψ n ( z ) = 0 L n =1. (n − 1)π x , ψ n ( z ) = e jβn z L. r1 r (i , j ) 2 a = −bm 上式可化成矩陣形式： # rN . 其中. ϕ1* ( s ) e − j β1 z ( s ) ds ∫ ϕ * ( s ) e − j β1 z ( s ) ds bim = ∫ 2 = # * − jβ z( s ) ∫ ϕ N ( s ) e 1 ds . 1 j β1 ( s cosθ ) e ds ∫ LS π s j β1 ( s cosθ ) 2 e ds cos 1 ∫ LS LS L # 2 ( N − 1)π s j β1 ( s cosθ ) e ds cos Ls ∫ LS . 13.
(23) ε n −1. ϕn (s) =. Ls. ϕ1∗φ1 ψ1 ds ∫ ϕ ∗φ ψ ds A= ∫ 2 1 1 # ∗ ∫ ϕN φ1 ψ1 ds. cos. ( n − 1)π s Ls. ∫ϕ φ ψ ∗ 1 2. ds "". 2. ∫ϕ φ. ∗ 1 N. ψ N ds . % % # % % # ∗ ∗ φϕ ψ ds "" ϕ φ ψ ds ∫ N2 2 ∫ N N N . a ( i , j ) = ∫ ϕ i* ( s ) φ j ( x ( s ) )ψ j ( z ( s ) ) ds , i , j = 1," , N Ls. 0. a (i , j ) = ∫. εi −1 (i − 1)π sin θ ε j −1 ( j − 1)π sin θ − jβ j s cos θ cos cos e ds Ls L L L. Ls. 0. =. 1 εi −1 ε j −1 Ls (i − 1)π( s sin θ) ( j − 1)π( s sin θ) [cos( ) + ∫ 2 Ls L 0 L L + cos(. =. ( j − 1)π( s sin θ) (i − 1)π( s sin θ) − jβ j s cos θ )]e − ds L L. 1 εi −1ε j −1 Ls (i + j − 2)πs sin θ ( j − i )πs sin θ − jβ j s cos θ (cos + cos )e ds ∫ 2 L Ls 0 L L. = f1(i , j ) + f 2(i , j ) Ls. f1( i , j ) = a1(i , j ) ∫ cos(q1(i , j ) s ) e q2. (i, j ). s. ds. s. ds. 0. Ls. f 2( i , j ) = a1(i , j ) ∫ cos(q3(i , j ) s ) e q2 0. a1(i , j ) =. 其中. (i, j ). 1 ε j-1 εi-1 2 L Ls. (i + j − 2)π sin θ L = − jβ j cos θ. q1(i , j ) = q2(i , j ). q3(i , j ) =. ( j − i )π sin θ L. 14.
(24) （四）偶對稱. ∂u ( x, z ). =0 +. ∂n L +. u ( x, z ) =. 1 − j β1z N e + ∑ rˆnφn ( x )ψ n ( z ) L n =1. 1 2. n=0 n ≥1. εj = φn ( x ) =. ε n-1 L. cos. ( n − 1)π x , ψ n ( z ) = e jβn z L. ∂ ∂ π π 在邊界上， ∇ u ⋅ n = 0 ⇒ ( zˆ + xˆ )u ⋅ cos − θ ,sin − θ = 0 ∂z. ∂x. . 2. . 2. . r1 r (i , j ) 2 b =b 可整理成矩陣形式 # e rN 其中 1 j β1 ( s cosθ ) e ds ∫ Ls ϕ1* ( s ) e − j β1z ( s ) ds ∫ 2 π s j β1 ( s cosθ ) ϕ 2* ( s ) e − j β1z ( s ) ds cos e ds 1 π bie = ∫ = j β1 cos( − θ ) ∫ Ls Ls 2 L # # * − jβ z( s ) ∫ ϕ N ( s ) e 1 ds 2 ( N − 1)π s j β1 ( s cosθ ) ∫ cos e ds Ls Ls ε ( n − 1)π s ϕ n ( s ) = n −1 cos Ls Ls. 15.
(25) π ' φ1 ψ1 cos( 2 −θ ) ∫ϕ1* ds π ' +φψ sin( −θ ) 1 1 2 φ ψ ' cos(π −θ ) * 1 1 2 ϕ ds B = ∫ 2 ' π +φψ 1 1 sin( −θ ) 2 # π φ1 ψ1' cos( −θ) 2 ∫ϕN* ds π ' +φψ 1 1 sin( −θ ) 2 . π φ2 ψ2' cos( −θ ) 2 * ∫ϕ1 ' π +φ2ψ2 sin( −θ) 2 . π φN ψN' cos( −θ) 2 * ∫ϕ1 ' π +φNψN sin( −θ ) 2 . ds % % # % % # π π φ2 ψ2' cos( −θ ) φN ψN' cos( −θ ) 2 2 * * ds "" ∫ϕN ds ∫ϕN ' π π ' +φ2ψ2 sin( −θ ) +φNψ N sin( −θ ) 2 2 ds "" . s b( i , j ) = ∫ ϕi* ( s ) (φ j ( x )ψ 'j ( z ) ) cos θ + (φ 'j ( x )ψ j ( z ) ) sin θ ds,. L. 0. b(i , j ). i, j = 1," , N. ( j − 1)πx jβ j z jβ j (cos e ) cos θ Ls εi −1 (i − 1)πx ε j −1 L ds =∫ cos 0 ( j − 1)π ( j − 1)πx jβ j z L L L e ) sin θ +(− sin L L ( j − 1)π( s sin θ) − jβ j s cos θ jβ j (cos e ) cos θ ε L ε (i − 1)πs sin θ S j −1 L = i −1 cos ds Ls L ∫0 L −( ( j − 1)π sin (j − 1)π( s sin θ) e − jβ j s cos θ ) sin θ L L . 為便於推導，我們將上式分為兩項分析 ε j −1 Ls ε π (i − 1)πs sin θ ( j − 1)π( s sin θ) − jβ j s cos θ jβ j cos( − θ) i −1 e ds cos cos ∫ 0 2 Ls L L L π 1 εi −1ε j −1 Ls ( j + i − 2)π( s sin θ) (j − i )π( s sin θ) − jβ j s cos θ = jβ j cos( − θ) ds cos( ) + cos( ) e ∫ 0 2 2 L Ls L L = g1(i , j ) + g 2(i , j ) Ls. g1(i , j ) = a1(i , j ) ∫ cos(q1(i , j ) s ) e q2. s. ds. Ls. s. ds. (i , j ). 0. g 2(i , j ) = a1(i , j ) ∫ cos(q3(i , j ) s ) e q2 0. (i , j ). 16.
(26) ε j −1 Ls ε π (i − 1)πs sin θ ( j − 1)π (j − 1)π( s sin θ) − jβ j s cos θ sin( − θ) i −1 cos ( sin e ) ds ∫ 2 Ls L 0 L L L εi −1ε j −1 ( j − 1)π Ls π (i − 1)π( s sin θ) ( j − 1)πs sin θ − jβ j s cos θ = sin( − θ) cos sin e ds ∫ 0 2 L Ls L L L. (i + j − 2)π( s sin θ) sin( ) ε ε L π 1 i −1 j −1 ( j − 1)π s − jβ s cos θ L = sin( − θ) ds e j ∫ 0 − π θ j i s ( ) ( sin ) 2 2 L Ls L + sin ( ) L = g3(i , j ) + g 4(i , j ) Ls. g 3( i , j ) = a5( i , j ) ∫ sin(q1(i , j ) s ) e q2. s. ds. Ls. s. ds. (i, j ). 0. g 4( i , j ) = a5( i , j ) ∫ sin(q3(i , j ) s ) e q2 0. a1(i , j ) = a5(i , j ) =. (i, j ). jβ j. ε ε π cos( − θ) j −1 i −1 2 2 L Ls. ε ε π ( j − 1)π sin( − θ) j −1 i −1 2L 2 L Ls. (i + j − 2)π sin θ L = − jβ j cos θ. (i , j ) 其中 q1 =. q2(i , j ). q3(i , j ) =. ( j − i )π sin θ L. 17.
(27) 第三章. 彎曲微波波導數值計算結果. 3-1 數值積分的結果 經過詳細的理論分析後，我們利用 matlab 程式計算出在彎曲波 ，以 導兩側的 TM wave 場型（彎曲角度以 20D 為例 λ = 1µ m ， L = 2.3µ m ） 證明我們提出的理論是正確可行的。. . 2.5 2. 1.5 1 0.5 0 -0.5 -3.5. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. 0. 0.5. Fig6.彎曲微波波導左側的場型（奇對稱，電牆） 由圖可看到在斜邊上確實滿足邊界連續條件 u ( x, z ) = 0 的情況. 18.
(28) 2.5 2. 1.5 1 0.5. 0 -0.5 -3.5. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. 0. 0.5. . Fig7.彎曲微波波導左側的場型（偶對稱，磁牆） 由圖可看到在斜邊上確實滿足邊界微分連續條件 ∂u ( x, z ) = 0 的情況 ∂n. 2.5. 2. 1.5. 1. 0.5. 0. -0.5 -3.5. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. 0. 0.5. . Fig8.彎曲微波波導左側的場型（電牆解+磁牆解）. 19.
(29) 表 1.不同角度情況的反射係數與穿透係數. . 由計算的結果中，可以發現很有趣的現象，當彎曲角度在 0 D 時穿. 透係數為 1，在 3 D 以下 t 0 大於 t1 ，但是在大於 3 D 則 t1 大於 t 0 。 我們透過計算分析場型，可以發現到在邊界上的情況與我們原先 預期的連續條件與微分連續條件結果相符合，計算的速度也因為對稱 性觀念的引入，降低了計算量，因而提升。但是，經過我們的測試發 現當彎曲的角度過大時，計算的誤差會加大，但可以透過修正而克服 此問題。所以由程式繪出的場型，證明我們計算出彎曲的波導的模態 與場型。. 20.
(30) 3-2 特殊數值分析的結果 前一章節所使用的數值積分程式，經過我們的測試發現當彎曲的 角度過大時，推衍出來的矩陣會奇異(singular)，計算的誤差會加大， 但可以透過修正而克服此問題。 為了克服彎曲的角度過大時，推衍出來的矩陣會奇異(singular)， 計算的誤差會加大，我們推導出方程式的 closed-form solution 來降低 計算誤差，在配合上特殊的數值方法作修正，順利的將所能計算的彎 曲角度範圍擴大。 利用 matlab 程式計算出在彎曲波導兩側的 TM wave 場型（彎曲 角度以 60D 為例 λ = 1µ m ， L = 2.3µ m ）. 2.5 2. 1.5. 1 0.5. 0 -0.5 -4.5. -4. -3.5. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. Fig9.彎曲波導左側的場型（奇對稱，電牆） 由圖可看到在斜邊上確實滿足邊界連續條件 u ( x, z ) = 0 的情況. 21.
(31) 2.5 2. 1.5. 1. 0.5 0. -0.5 -4.5. -4. -3.5. -3. -2.5. -2. -1.5. -1. -0.5. Fig10.彎曲波導左側的場型（偶對稱，磁牆） 由圖可看到在斜邊上確實滿足邊界微分連續條件 ∂u ( x, z ) = 0 的情況 ∂n. 22.
(32) 第四章. 三層介電質彎曲波導的理論推導. 在三層介電質波導的結構中，牽涉到模態分析的問題，通常我們 研究波導的結構有好幾種方法，最為人熟知的即是 BPM 及 FDTD， 但在分析彎曲波導的問題上，因為有彎曲介面兩側不匹配的問題，使 得 BPM 在大角度或是小角度都不適用，若是使用 FDTD 的方法，. FDTD 是很好的方法，但會有精確度問題，我們需要的精確度必須到 千分之一，且在頻率變化如此快的情況計算時間會拖很長，且有一些 色散誤差及邊界問題，所以我們希望可以發展出一套更好的方法，可 以做到更精細及更少的計算量，這個方法我們稱之為統一標準方式表 示法。. (一) 統一標準方式表示法的觀念 原先我們利用微波波導的分析方式，但因為此分析方式中所 反演的矩陣會產生奇異(singular)，所以在計算時的準確度需完全數值 精確，因此需要方程式矩陣元素的積分以 close-form 的方式來計算， 以求得其精密與速度。延伸至分析介電質波導時，close-form 積分方 程式的結果非常的複雜，包括 TE、TM、奇模、偶模、電牆、磁牆、. guiding mode、radiation mode，以及各區段分區定義，各個變化公式 十分複雜，因此我們再開發一種新的分析方式－－用統一標準方式表 23.
(33) 示各種不同的情形。 X'. X'=2L+2d. x '''. L. X'=L+2d X=0. x ''. d. X'=L. x' X'=0. Fig12.三層介電質彎曲波導示意圖. 24.
(34) 4-1 三層結構的模態的分析與模態歸一化係數的推導 我們首先必須分析三層結構的模態，但如果直接分析，會得到 相當複雜的結果，導致分析的過程中會產生錯誤。因此我們利用對稱 性求解的方式來解決此問題，所以我們先推導出二層結構的模態，再 將其擴充至三層結構的模態。. 4-1-1 二層結構的模態的分析. 1. H y (TE ) even mode 我們先考慮 TE wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分區 的定義。首先考慮偶對稱的情況，對稱的邊界條件為磁牆 PCW (0,d+L). ε2 (0,d). . PMW. . ε1. (0,0). ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式 . sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L EW Φ e,MW ( x ) = cos px 0< x<d cos pd 25. x>d.
(35) cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or x>d cos cosh α qL L MW Φ e ,MW ( x ) = cos px 0< x<d cos pd n12 k 02 − β 2 ,. p=. p is always positive. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . . α =. n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件. 切面電場連續 . 切面磁場連續. p. cos px cos pd sin px cos pd. x=d. x=d. =. =. sin q[( d + L ) − x ] sin qL. q cos q[(d + L) − x] sin qL. x=d. (4-1-1-1). x=d. (4-1-1-2). 接著我們將方程式(4-1-1-2)除以(4-1-1-1) 將 x = d 代入 EW E y ,MW : ⇒ MW E y ,MW :. q cot qL = p tan pd q tan qL = − p tan pd. 將上式同乘於 d ⇒ qd cot qL = pd tan pd 令 X = pd 當 V < X < ∞ 時: . p 2 − q 2 = (n12 − n22 )k02. 26. . (4-1-1-3).
(36) 2. 左右同乘於 d. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = ( n12 − n22 )k02 d 2 2 2 2 2 令 V = ( k1 − k 2 ) d. ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2. ⇒ qd = X 2 − V 2. L d. Y = qL = X 2 − V 2 Y = X 2 −V 2 d L. 所以 qd = Y. . V = k0 d. L d. (n. 2 1. − n22 ) …………normalized frequency. ⇒. d Y cot Y = X tan X L. ⇒. d cos Y sin X Y =X L sin Y cos X. 同乘 sin Y cos X 當 V < X < ∞ 時:. d EW E : Y cos X cos Y = X sin X sin Y y ,MW L ⇒ E MW : d Y cos X sin Y = − X sin X cos Y y ,MW L 27. (4-1-1-4).
(37) 當 0 < X < V 時:. Y = qL = X 2 − V 2 所以 Yi = V 2 − X 2. L = −iα L = −iYi d. L d. 利用 cot(−iYi ) = i coth Yi. d 將 Y cot Y = X tan X L. d Yi coth(Yi ) = X tan X L d EW E Yi cos X coth(Yi ) = X sin X : y ,MW L => E MW : d Y cos X tanh(Y ) = X sin X i i y ,MW L. 改寫成. 28.
(38) 2.E y (TE ) odd mode 接下來我們考慮奇對稱的情況，對稱的邊界條件為電牆. PCW (0,d+L). ε2 (0,d) PCW. ε1. (0,0). . ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式. . sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L EW E y ,EW ( x ) = sin px 0< x<d sin pd. x>d. cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or x>d α cos cosh qL L MW E y ,EW ( x) = sin px 0< x<d sin pd p=. . n12 k 02 − β 2 ,. p is always positive. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. α = β 2 − n22 k 02 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 29.
(39) 個方程式，自然滿足下列兩個條件. 切面電場連續 . 切面磁場連續 p. sin px sin pd. cos px sin pd. x=d. x=d. =. =. sin q[( d + L ) − x ] sin qL. x=d. − q cos q[(d + L) − x] sin qL. x=d. (4-1-1-5). (4-1-1-6). 接著我們將方程式(4-1-1-6)除以(4-1-1-5)，同理推得 EW E y ,EW : q cot qL = − p cot pd ⇒ MW E y ,EW : q tan qL = p cot pd. (4-1-1-7) . 當 V < X < ∞時:. d EW E : Y sin X cos Y = X cos X sin Y − y ,EW L ⇒ E MW : d Y sin X sin Y = X cos X cos Y y ,EW L 當 0 < X < V 時:. d EW E Yi coth(Yi ) = − X cot X : y ,EW L 改寫成 E MW : − d Y tanh(Y ) = X cot X i i y ,EW L 或是. d EW E : Yi sin X coth(Yi ) = − X cos X y ,EW L => E MW : − d Y sin X tanh(Y ) = X cos X i i y ,EW L. 30. (4-1-1-8).
(40) 3. H y (TM ) even mode 我們再考慮 TM wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分區 的定義。首先考慮偶對稱的情況，對稱的邊界條件為電牆 . PCW (0 ,d+L). ε2 (0,d) PCW. ε1. (0,0). . ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式 cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L Φn ( x ) = cos px 0< x<d cos pd. p=. . n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . α =. x>d. p is alway positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件，同理推得 當 V < X < ∞時: 31.
(41) ε1 d EW H y ,EW : ε L Y tan qL = − pd tan pd 2 ⇒ H MW : ε1 d Y cot qL = pd tan pd y ,EW ε2 L. (4-1-1-9). 或是. EW H y ,EW : ⇒ H MW : y ,EW. ε1 d Y cos X sin Y = − X sin X cos Y ε2 L ε1 d Y cos X cos Y = X sin X sin Y ε2 L. (4-1-1-10). 當 0 < X < V 時:. ε1 d EW H : Yi tanh qL = pd tan pd y ,EW ε L 2 ⇒ H MW : ε1 d Y coth qL = pd tan pd y ,EW ε2 L i. (4-1-1-11). 或是. EW H y ,EW : ⇒ H MW : y ,EW. ε1 d Y cos X tanh Yi = X sin X ε2 L i ε1 d Y cos X coth Yi = X sin X ε2 L i. 32. (4-1-1-12).
(42) 4.H y (TM ) odd mode 接下來我們考慮奇對稱的情況，對稱的邊界條件為磁牆 . PCW (0,d+L). ε2 (0,d) PMW. ε1. (0,0). . ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式 . cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L Φn ( x) = sin px 0< x<d sin pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. . p is alway positive. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . α =. x>d. n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件. 切面磁場連續 . sin px sin pd. x=d. =. cos q[( d + L ) − x ] cos qL 33. x=d. (4-1-1-13).
(43) 切面電場連續 . 1. ε1. p. cos px sin pd. x=d. =. 1 q sin q[(d + L) − x] cos qL ε2. x=d. (4-1-1-14). 接著我們將方程式(4-1-1-14)除以(4-1-1-13) ，同理推得. . 1. ε2. q tan qL =. 1. ε1. p cot pd. (4-1-1-15). 當 V < X < ∞ 時: =>. ε1 d Y sin Y sin X = X cos X cos Y ε2 L. (4-1-1-16). 當 0<X<V 時:. ε1 d (−Y ) tanh(Yi ) = X cot X ε2 i L i ε d ⇒ − 1 Yi sin X tanh Yi = X cos X ε2 L ⇒. 同理推得,. 當 V < X < ∞時:. ε1 d EW : H q tan qL = p cot pd ,MW y ε2 L ⇒ H MW : ε1 d q cot qL = − p cot pd y ,MW ε 2 L. (4-1-1-17). 或是. EW H y ,MW : ⇒ H MW : y ,MW. ε1 ε2 ε1 ε2. d Y sin X sin Y = X cos X cos Y L d Y sin X cos Y = − X cos X sin Y L 34. (4-1-1-18).
(44) 當 0 < X < V 時:. ε1 d EW H Yi tanh(Yi ) = − pd cot pd : y ,MW ε L 2 ⇒ H MW : ε1 d Y coth(Y ) = − pd cot pd i y ,MW ε 2 L i. (4-1-1-19). 或是. EW H y ,EW : ⇒ H MW : y ,MW. ε1 d Y sin X tanh Yi = − X cos X ε2 L i ε1 d Y sin X coth Yi = − X cos X ε2 L i. 35. (4-1-1-20).
(45) 6.當上邊界為無窮遠的情況，下邊界為電牆. TM mode 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式. β E ( ) Ae−αt x − j β z = η 0 0 x k0 E = (η β ) A cos px e − j β z 1 x1 k1 cos pd 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件推得. ε0 X tan X = V 2 − X 2 ε1. TE mode 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式. β −α t d − j β z sin px H ( η ) Ae = − x 1 1 k1 sin pd H = j (η p ) Ae −αt d − j β z cos px 1 Z 1 sin pd k1 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件推得. − X cot X = V 2 − X 2. 36.
(46) 7.當上邊界為無窮遠的情況，下邊界為磁牆. TM mode 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式. β −α t x − j β z Ex 0 = (η0 k ) Ae 0 E = (η β ) A sin px e − jβ z 1 x1 k1 sin pd 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件推得. −. ε0 X cot X = V 2 − X 2 ε1. TE mode 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下式. β −α t d − j β z cos px = − H ( η ) Ae 1 1 x k1 cos pd H = j (η p ) Ae −αt d − jβ z sin px 1 Z 1 cos pd k1 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件推得. X tan X = V 2 − X 2 我們將上述的分析作整理，將所有推導出的場型、特徵方程式以及歸 一係數依照不同的邊界條件，得出下列的表格。. 37.
(47) TE even mode/E Wall. 場型. EW E y ,MW. sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α [( L + d ) − x] = x>d sinh α L cos px 0< x<d cos pd . TE odd mode/E Wall sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α [( L + d ) − x] = x>d sinh α L sin px 0< x<d sin pd . EW E y ,EW. V<X<∞ 特徵. ⇒. d L. 方程. Y cot Y = X tan X. ⇒. d L. 0<X<V ⇒. 場型. V<X<∞. MW E y ,MW. d L. 0 < X <V. Yi coth Yi = X tan X. ⇒. d L. Yi coth Yi = − X cot X. TE even mode/M Wall. TE odd mode/M Wall. cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α [( L + d ) − x] = x>d cosh α L cos px 0< x<d cos pd . cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α [( L + d ) − x] = x>d cosh α L sin px 0< x<d sin pd . MW E y ,EW. V<X<∞ 特徵. Y cot Y = − X cot X. ⇒. d L. 方程. V<X<∞. Y tan Y = − X tan X. ⇒. d L. 0<X<V ⇒. d L. Y tan Y = X cot X. 0<X<V. Yi tanh Yi = X tan X. 38. ⇒. d L. Yi tanh Yi = − X cot X.
(48) TM even mode/E Wall. 場型. EW H y ,EW. cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α [( L + d ) − x] = x>d cosh α L cos px 0< x<d cos pd . TM odd mode/E Wall. EW H y ,MW. cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α [( L + d ) − x] = x>d cosh α L sin px 0< x<d sin pd . V<X<∞ 特徵. ⇒. ε1 d Y tan Y = − X tan X ε2 L. 方程. ⇒. ε1 d Y tanh Yi = − X cot X ε2 L i. ε1 d Y tanh Yi = X tan X ε2 L i. ⇒. TM even mode/M Wall. TM odd mode/M Wall. MW H y ,EW. sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α [( L + d ) − x] = x>d sinh α L cos px 0< x<d cos pd . MW H y ,MW. V<X<∞ 特徵. ε1 d Y tan Y = X cot X ε2 L. 0<X<V. 0<X<V ⇒. 場型. V<X<∞. ⇒. 方程. V<X<∞. ε1 d Y cot Y = X tan X ε2 L. ⇒. ε1 d Y cot Y = − X cot X ε2 L. 0<X<V. 0<X<V ⇒. sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α [( L + d ) − x] = x>d sinh α L sin px 0< x<d sin pd . ε1 d Y coth Yi = X tan X ε2 L i. 39. ⇒. ε1 d Y coth Yi = − X cot X ε2 L i.
(49) TE even mode/E Wall 0<X<V ⇒. ( Cew mw ). -2. d. 0 < X <V ⇒. tan pd d + 2p 2cos2 pd V L coth αL − E= 2α 2sinh2 αL. ( Cew ew ). =A+E A =. 係數 <X<∞ ⇒. ( Cew mw ). Yi coth Yi = X tan X. L. 歸一. d L. Y cot Y = X tan X tan pd d + 2p 2cos2 pd cot qL L C=− + 2q 2sin 2 qL. -2. TE odd mode/E Wall. =A+C A =. -2. -2. TE even mode/M Wall 0<X<V ⇒. ( Cmw mw ). -2. tan pd d + 2p 2cos2 pd tanh αL L + F= 2α 2cosh 2 αL. 係數 V<X<∞ ⇒ -2. L. Yi tanh Yi = X tan X. =A+F A =. 歸一. ( Cmw mw ). d. d L. Y tan Y = − X tan X. tan pd d + 2p 2cos2 pd L tan qL + D= 2q 2cos2 qL. =A+D A =. 40. L. Yi coth Yi = − X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd coth αL L E= − 2α 2sinh2 αL. =B+E B = −. V < X < ∞⇒. ( Cew ew ). d. d L. Y cot Y = − X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd L cot qL + C=− 2q 2sin2 qL. =B+C B = −. TE odd mode/M Wall 0<X<V ⇒ mw ( Cew ). -2. -2. L. Yi tanh Yi = − X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd tanh αL L + F= 2α 2cosh2 αL. =B+F B = −. V<X<∞ ⇒ mw ( Cew ). d. d L. Y tan Y = X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd L tan qL + D= 2q 2cos2 qL. =B+D B = −.
(50) TM even mode/E Wall 0<X<V ⇒. ( Cew ew ). -2. ε1 d Yi tanh Yi = X tan X ε2 L tan pd d + 2p 2cos2 pd L tanh αL + F= 2α 2cosh2 αL. A=. =A+F. 歸一 係數 V<X<∞ ⇒. ( Cew ew ). -2. ε1 d Y tan Y = − X tan X ε2 L tan pd d + 2p 2cos2 pd tan qL L D= + 2q 2cos2 qL A=. =A+D. TM odd mode/E Wall 0 < X < V⇒. ( Cew mw ). -2. mw ( Cew ). -2. ε1 d Yi coth Yi = X tan X ε2 L tan pd d + 2p 2cos2 pd L coth αL − E= 2α 2sinh2 αL A=. =A+E. 歸一 係數 V<X<∞ ⇒ mw ( Cew ). -2. ε1 d Y cot Y = X tan X ε2 L. =A+C. X = pd , Y = qL = X 2 − V 2. tan pd d + 2p 2cos2 pd L cot qL + C=− 2q 2sin 2 qL A=. L , qd = X 2 − V 2 , V = d. =B+F. V<X<∞ ⇒. ( Cew mw ). TM even mode/M Wall 0<X<V ⇒. ε1 d Yi tanh Yi = − X cot X ε2 L. -2. =B+D. cot pd d + 2 p 2sin2 pd L tanh αL + F= 2α 2cosh2 αL B= −. ε1 d ε2 L. Y tan Y = X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd L tan qL + D= 2q 2cos2 qL B= −. TM odd mode/M Wall 0<X<V ⇒. ( Cmw mw ). -2. =B+E. V<X<∞ ⇒. ( Cmw mw ). (n. 2 1. -2. =B+C. ε1 d Yi coth Yi = − X cot X ε2 L. cot pd d + 2p 2sin2 pd L coth αL − E= 2α 2sinh2 αL B= −. ε1 d Y cot Y = − X cot X ε2 L. cot pd d + 2p 2sin2 pd cot qL L C=− + 2q 2sin2 qL B= −. − n22 ) k0 d. sin(iz ) = i sinh( z ), cos(iz ) = cosh( z ), tan(−iz ) = −i tanh( z ), cot(−iz ) = i coth( z ). 41.
(51) 4-1-2 二層結構轉對稱三層結構的推導 二層結構轉為三層結構之步驟： 1. 依據邊界條件分別定義二層結構之場型。 2. 定義出三層結構之座標 ( x ', x '', x ''' , 其原點為各座標區之底線)。 3. 依據對稱性代入二層結構之場型定義，則可得到三層結構之場型 定義(第一區之場型定義由第三區之場型 x 代 − x 得到,奇模態時， 需加負號)。 4. 我們可將三層結構場型定義作化簡，求出係數 A、B。 X'. X'=2L+2d. x '''. L. x X'=L+2d. X=0. x ''. d. X'=L. x' X'=0. x = x' − L − d x = x '' − d. x = x ''' + d 42.
(52) sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or x>d sin qL sinh α L Φn ( x ) = sin px cos px or 0< x<d sin pd cos pd. 第一區的推導，. Step 1. 由 Φn ( x) =. sin qn [( L + d ) − x] , d < x < L+d sin qn L. 接下來, 我們轉換 x 與函數的符號, 推得 Φn ( x ) =. − sin qn ( L + d + x) , − L − d < x < −d sin qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '− L − d 代入得到 Φ n ( x ') =. − sin qn x ' , 0 < x' < L sin qn L. 第二區的推導，. Step 1. 由 Φn ( x ) =. sin px sin pd. 0< x<d. 接下來, 我們將 x 以 x ''− d 代入得到 Φ n ( x ') =. sin pn ( x ''− d ) , 0 < x '' < 2d sin pn d. 43.
(53) 第三區的推導，. Step 1. 由 Φn ( x) =. sin qn [( L + d ) − x] , d < x < L+d sin qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '''+ d 代入得到 Φ n ( x ') =. sin qn ( L − x ''') , 0 < x ''' < L sin qn L. 接著我們就利用上述的方法去推導出不同邊界條件情況下的方程式. TE (odd mode) EW/EW sin q n x ' sinh α n x ' − or − sin q L sinh α n L n sin p n ( x '' − d ) ' Φ n ( x ) = Cn sin p n d sin q ( L − x ''' ) sinh α n ( L − x ''' ) n or sin q n L sinh α n L . 0 < x' < L 0 < x '' < 2 d 0 < x ''' < L. 第一區. Case1. −. sin qn x ' = AΙ cos qn x ' + B Ι sin qn x ' sin qn L. AΙ = 0 B Ι = − csc qn L Case2 '. '. ' ' sin h α n x ' eα n x − e −α n x − = − = − A Ι e −α n ( L − x ) + B Ι e −α n x sin h α n L 2 sin h α n L. 44. (因 奇 模 態 產 生 負 號 ).
(54) AΙ =. eαnL 2 sinh α n L. BΙ = −. 1 2 sinh α n L. 第二區 s in p n ( x '' − d ) s in p n x '' c o s p n d − c o s p n x '' s in p n d = s in p n d s in p n d = A Ι Ι c o s p n x '' + B Ι Ι s in p n x ''. AΙΙ = −1 B ΙΙ = cot pn d. 第三區. Case1. ''' ''' sinh α n ( L − x ''' ) = A ΙΙΙ e − α n ( L − x ) + B ΙΙΙ e − α n x sinh α n L. A. ΙΙΙ. eαnL = sinh α n L. B ΙΙΙ = −. 1 sinh α n L. Case2 s in q n ( L − x ''' ) s in q n L c o s q n x ''' − c o s q n L s in q n x ''' = s in q n L s in q n L = A Ι Ι Ι c o s q n x ''' + B Ι Ι Ι s in q n x '''. AΙΙΙ = 1 B ΙΙΙ = − cot qn L. 45.
(55) TE (even mode) EW/EW sin q n x ' sinh α n x ' or sin q n L sinh α n L cos p n ( x '' − d ) Φ n ( x' ) = Cn cos p n d sin q ( L − x ''' ) sinh α n ( L − x ''' ) n or sin q n L sinh α n L . 0 < x' < L 0 < x '' < 2 d 0 < x ''' < L. 第一區. Case1. sin qn x ' = AΙ cos qn x ' + B Ι sin qn x ' sin qn L. AΙ = 0 B Ι = csc qn L Case2 '. '. ' ' sin h α n x ' eα n x − e −α n x = = A Ι e −α n ( L − x ) + B Ι e −α n x sin h α n L 2 sin h α n L. eαnL A = 2 sinh α n L Ι. BΙ = −. 1 2 sinh α n L. 第二區 c o s p n ( x '' − d ) c o s p n x '' c o s p n d + s in p n x '' s in p n d = cos pn d cos pn d = A Ι Ι c o s p n x '' + B Ι Ι s in p n x ''. 46.
(56) AΙΙΙ = 1 B ΙΙΙ = tan pn L 第三區. Case1. ''' ''' sinh α n ( L − x ''' ) = A ΙΙΙ e − α n ( L − x ) + B ΙΙΙ e − α n x sinh α n L. A ΙΙΙ =. eαnL sinh α n L. B ΙΙΙ = −. 1 sinh α n L. Case2 s in q n ( L − x ''' ) s in q n L c o s q n x ''' − c o s q n L s in q n x ''' = s in q n L s in q n L = A Ι Ι Ι c o s q n x ''' + B Ι Ι Ι s in q n x '''. AΙΙΙ = 1 B ΙΙΙ = − cot qn L. 最後我們將不同邊界條件情況下的方程式推出，利用推出的方程式撰 寫程式計算三層結構的模態。. 47.
(57) 4-2 滿足 EW/MW 解析連續法反射係數矩陣方程式的推導 我們已經在前一節分析出三層結構的模態，接著就利用解析連續 的觀念去分析電牆與磁牆兩種邊界條件的反射係數，找到反射係數與 穿透係數之後，便可以分析出整個彎曲波導的場型。. − jβ z jβ z 首先定義入射波 u ( x, z ) = φi ( x)e i + ∑ rnφn ( x)e n. φnΙ ( x) d < x< L+d ΙΙ φn ( x) = φn ( x) −d < x < d φ ΙΙΙ ( x) −d − L < x < − d n 分為 TE，TM，even，odd，guiding mode，radiation mode. u = 0 在斜邊上須滿足 兩個邊界條件，可推得 rn 矩陣方程式 ∇u ⋅ n = 0. { }. ∂u ( x, z ) =0 ∂n. u ( x, z ) = 0. L. L. +. d. d. +. d. d. +. L. L. r1e b1e [ Ae ] # = # = −be 邊界條件為電牆的矩陣方程 rNe bNe 48.
(58) r1m b1m [ Am ] # = # = bm 邊界條件為磁牆的矩陣方程 rNm bNm Ae = AeΙ + AeΙΙ + AeΙΙΙ Am = AmΙ + AmΙΙ + AmΙΙΙ 我們便利用上述的方式，以 TM even mode 為例分析 由上圖可定義出 L s =. 2d sin θ. − jβ z jβ z 入射波 H y = φi ( x)e i + ∑ rnφn ( x)e n. φnΙ ( x) φn ( x) = φnΙΙ ( x) φ ΙΙΙ ( x) n. H y ( s ) = 0 兩個邊界條件，可推得 rn 方程矩陣 在斜邊上須滿足 ∇H y ( s ) ⋅ n = 0. { }. ϕ H y (s) = 0. r1e b1e [ Ae ] # = # = −be 邊界條件為電牆的矩陣方程 rNe bNe r1m b1m [ Am ] # = # = bm 邊界條件為磁牆的矩陣方程 rNm bNm . 49.
(59) 其中 ϕi ( s ) =. z = − s cos θ. 2 iπ s cos LS Ls. x = s sin θ 1 j β ( s' cosθ ) ' ∫ LS e 1 ds 2 π s j β1 ( s' cosθ ) ' cos e ds 1 ∫ LS LS L # 2 ( N − 1)π s j β1 ( s' cosθ ) ' cos e ds Ls ∫ LS . ϕ * s ' φ x s e − j β1 z ( s ) ds ' 1 ( ( )) ∫ 1 * ' − j β1 z ( s ' ) ds ' ϕ 2 s φ2 ( x ( s ) ) e ∫ bm = = # * ' − j β1 z ( s ' ) ' ϕ s φN ( x ( s ) ) e ds ∫ N . ( ) ( ). '. ( ). 1 jβ1 ( s cosθ ) e ds ∫ Ls ϕ1* ( s ) φ1 ( x ( s ) ) e − j β1z ( s ) ds ∫ π s j β1 ( s cosθ ) 2 ϕ2* ( s ) φ2 ( x ( s ) ) e− j β1z ( s ) ds e ds cos π 1 be = ∫ = j β1 cos( − θ ) Ls ∫ Ls L 2 # # * − jβ z( s) ∫ ϕ N ( s ) φN ( x ( s ) ) e 1 ds 2 ( N − 1)π s j β1 ( s cosθ ) ∫ e ds cos Ls Ls . Am = AmΙ + AmΙΙ + AmΙΙΙ ϕ1∗φ1Ιψ1 ds ∫ ϕ ∗φ Ιψ ds Ι Am = ∫ 2 1 1 # ∗ Ι ∫ ϕN φ1 ψ1 ds Ls. ∫ϕ φ ψ ∗ Ι 1 2. 2. ds "". ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ds , Ls. f1( i , j ) = a1( i , j ) ∫ cos(q1(i , j ) s ' ) e q2. (i, j ) '. s. ds '. (i, j ) '. ds '. 0. Ls. f 2( i , j ) = a1( i , j ) ∫ cos(q3(i , j ) s ' ) e q2 0. ψ N ds . ∗ Ι 1 N. % % # % % # ∗ Ι ∗ Ι "" ϕ φ ψ ds ϕ φ ψ ds ∫ N 2 2 ∫ N N N . a ( i , j ) = ∫ ϕ i* s ' φ j x s ' ψ j z s ' 0. ∫ϕ φ. s. 50. '. i , j = 1, " , N.
(60) 其中 a1(i , j ) = q1(i , j ) = (i , j ) 2. q. sec( q j L) ε j-1 εi-1 2. L Ls. ((i − 1)π + Lq j ) sin θ. L = − jβ j cos θ. q3(i , j ) =. ((i − 1)π − Lq j ) sin θ L. ϕ1∗φ1ΙΙψ1 ds ∫ ϕ ∗φ ΙΙψ ds ΙΙ Am = ∫ 2 1 1 # ∗ ΙΙ ∫ ϕN φ1 ψ1 ds a (i, j ) = ∫. Ls. 0. =. ∫ϕ φ. ψ 2 ds "". ∗ ΙΙ 1 2. ∫ϕ φ. ψ N ds . ∗ ΙΙ 1 N. % % # % % # ∗ ΙΙ ∗ ΙΙ "" ϕ φ ψ ds ϕ φ ψ ds ∫ N 2 2 ∫ N N N . εi −1 (i − 1)π( s '' + 2d ) sin θ ε j −1 − jβ s '' cos θ cos (cos pn x '' + tan( pn d ) sin pn x '' )e j ds '' Ls 2d L. εi −1 ε j −1 Ls (i − 1)πs '' sin θ (i − 1)π2d sin θ (i − 1)πs '' sin θ (i − 1)π2d sin θ − cos cos sin sin ∫ 0 Ls 2d 2d 2d 2d 2d ''. tan( pn d ) sin( pn s '' sin θ) + cos( pn s '' sin θ) e − jβ j s cos θ ds ''. =. εi −1 ε j −1 (i − 1)π2d sin θ tan pn d cos Ls 2d 4d ((i − 1)π sin θ + 2dPn sin θ) s '' ((i − 1)π sin θ − 2dPn sin θ) s '' − sin ] ∫0 2d 2d (i − 1)π2d sin θ + cos 4d Ls ((i − 1)π sin θ + 2dPn sin θ) s '' ((i − 1)π sin θ − 2dPn sin θ) s '' + cos ] ∫0 [cos 2d 2d Ls. [sin. (i − 1)π2d sin θ tan pn d 4d Ls ((i − 1)π sin θ + 2dPn sin θ) s '' ((i − 1)π sin θ − 2dpn sin θ) s '' [cos − cos( ] ∫0 2d 2d. + sin. 51.
(61) (i − 1)π2d sin θ 4d Ls ((i − 1)π sin θ + 2dPn sin θ) s '' ((i − 1)π sin θ − 2dpn sin θ) s '' − jβ j s'' cos θ '' [sin sin( ] e ds + ∫0 2d 2d . − sin. = ( f1(i , j ) − f 2(i , j ) ) + ( f3(i , j ) + f 4(i , j ) ) + ( f5(i , j ) − f 6(i , j ) ) − ( f 7(i , j ) + f8(i , j ) ) Ls. f1( i , j ) = a1( i , j ) ∫ sin(q1( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) ''''. s. 0. Ls. f 2( i , j ) = a1( i , j ) ∫ sin(q3( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 3( i , j ) = a2( i , j ) ∫ cos(q1( i , j ) s ''' ) e q2. ds ''' ds '''. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 4( i , j ) = a2( i , j ) ∫ cos(q3( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 5( i , j ) = a2( i , j ) ∫ cos(q1( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 6( i , j ) = a3( i , j ) ∫ cos(q3( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 7( i , j ) = a4( i , j ) ∫ sin(q1( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f8( i , j ) = a4( i , j ) ∫ sin(q3( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. 0. ε j-1 εi-1. a1(i , j ) =. 2d Ls ε j-1 εi-1. a2(i , j ) =. 2d Ls ε j-1 εi-1. a3(i , j ) =. 2d Ls ε j-1 εi-1. a4(i , j ) = 其中. q1(i , j ) =. 2d Ls. ds ''' ds ''' ds '''. ds ''' ds '''. cos. (i − 1)π2d sin θ tan pn d 4d. cos. (i − 1)π2d sin θ 4d. sin. (i − 1)π2d sin θ pn d 4d. sin. (i − 1)π2d sin θ 4d. (i − 1)π sin θ + 2dpn sin θ = q4 = q6 = q8 2d. q2(i , j ) = e q3(i , j ) =. s. ds '''. − jβ j cos θ. (i − 1)π sin θ − 2dpn sin θ = q5 = q7 = q9 2d 52.
(62) ϕ1∗φ1ΙΙΙψ1 ds ∫ ϕ ∗φ ΙΙΙψ ds ΙΙΙ Am = ∫ 2 1 1 # ∗ ΙΙΙ ∫ ϕN φ1 ψ1 ds. ∫ϕ φ. ψ 2 ds "". ∗ ΙΙΙ 1 2. ∫ϕ φ. ψ N ds . ∗ ΙΙΙ 1 N. % % # % % # ∗ ΙΙΙ ∗ ΙΙΙ "" ϕ φ ψ ds ϕ φ ψ ds ∫ N 2 2 ∫ N N N . Ls ε (i − 1)π( s ''' + 2d + L) sin θ ε j −1 − jβ s ''' cos θ a ( i , j ) = ∫ i −1 cos (cos qn x ''' + tan(qn L ) sin qn x ''' )e j 0 L L Ls. ''' ds . εi −1 ε j −1 Ls L. =. ∫. Ls. 0. [cos. (i − 1)πs ''' sin θ (i − 1)π(2d + L) sin θ (i − 1)πs ''' sin θ (i − 1)π(2d + L) sin θ cos − sin sin ] L L L L cos( qn s ''' sin θ) + tan( qn L) sin(qn s ''' sin θ) e − jβ j s. =. '''. cos θ. ds '''. εi −1 ε j −1 (i − 1)π( L + 2d ) sin θ cos Ls L 2L ((i − 1)π sin θ + Lqn sin θ) s ''' ((i − 1)π sin θ − Lqn sin θ) s ''' cos ] + ∫0 L L (i − 1)π( L + 2d ) sin θ + cos tan(qn L) 2L Ls ((i − 1)π sin θ + Lqn sin θ) s ''' ((i − 1)π sin θ − Lqn sin θ) s ''' [ sin − sin ] ∫0 L L Ls. [cos. (i − 1)π(2d + L) sin θ 2L Ls ((i − 1)π sin θ + Lqn sin θ) s ''' ((i − 1)π sin θ − Lqn sin θ) s ''' [sin +sin( ) ∫0 L L. − sin. (i − 1)π(2d + L) sin θ tan(qn L) 2L Ls ((i − 1)π sin θ + Lqn sin θ) s ''' ((i − 1)π sin θ − Lqn sin θ) s ''' − jβ j s''' cos θ ''' [cos − cos( ] e ds ∫0 L L . + sin. = ( f1( i , j ) + f 2( i , j ) ) + ( f 3( i , j ) − f 4( i , j ) ) − ( f 5( i , j ) + f 6( i , j ) ) + ( f 7( i , j ) − f8(i , j ) ) Ls. f1( i , j ) = a1( i , j ) ∫ cos( q1( i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) ''''. s. 0. Ls. f 2( i , j ) = a1( i , j ) ∫ cos( q3( i , j ) s ''' ) e q2 0. ( i , j ) '''. s. ds ''' ds '''. 53.
(63) Ls. f3(i , j ) = a2(i , j ) ∫ sin(q1(i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 4(i , j ) = a2(i , j ) ∫ sin(q3(i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f5(i , j ) = a2(i , j ) ∫ sin(q1(i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 6(i , j ) = a3(i , j ) ∫ sin(q3(i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f 7(i , j ) = a4(i , j ) ∫ cos(q1(i , j ) s ''' ) e q2. ds ''' ds ''' ds ''' ds '''. ( i , j ) '''. s. 0. Ls. f8(i , j ) = a4(i , j ) ∫ cos(q3(i , j ) s ''' ) e q2. ( i , j ) '''. 0. s. ds ''' ds '''. 其中 a1(i , j ) = a2(i , j ) =. a3(i , j ) = a4(i , j ) =. ε j-1 εi-1 L Ls ε j-1 εi-1 L Ls. cos. (i − 1)π(2d + L) sin θ 2L. cos. (i − 1)π(2d + L) sin θ tan(qn L) 2L. ε j-1 εi-1 L Ls ε j-1 εi-1 L Ls. sin. (i − 1)π(2d + L) sin θ 2L. sin. (i − 1)π(2d + L) sin θ tan(qn L) 2L. (i − 1)π sin θ + Lqn sin θ = q4 = q6 = q8 L − jβ cos θ =e j. q1(i , j ) = q2(i , j ). q3(i , j ) =. (i − 1)π sin θ − 2dpn sin θ = q5 = q7 = q9 L. 54.
(64) Ae = AeΙ + AeΙΙ + AeΙΙΙ ϕ1∗φ1Ιψ1 ds ∫ ϕ ∗φ Ιψ ds Ι Ae = ∫ 2 1 1 # ∗ Ι ∫ ϕN φ1 ψ1 ds b(i , j ) = ∫. ∫ϕ φ ψ ∗ Ι 1 2. ds "". 2. ∫ϕ φ. ψ N ds . ∗ Ι 1 N. % % # % % # ∗ Ι ∗ Ι "" ϕ φ ψ ds ϕ φ ψ ds ∫ N 2 2 ∫ N N N . εi −1 (i − 1)πs ' sin θ ε j −1 − jβ s ' cos θ cos [ jβ j sec(qn L) cos(qn x ' ) cos θe j Ls L L. Ls. 0. − sec(qn L) sin(qn x ' )qn sin θe ε j −1. εi −1 Ls. = −. L. 0. ε j −1. εi −1 Ls. L ε j −1. εi −1 Ls. =. Ls. jβ j cos θ sec(qn L) ∫ cos( qn sin θ sec( qn L). 2 εi −1 Ls. −. ε j −1. qn sin θ sec(qn L). L. 2 εi −1 Ls. =. ε j −1. 0. ∫. −. Ls. 0. ε j −1 L. qn sin θ sec(qn L). 2 (i , j ) (i , j ) = ( g1 + g 2 ) − ( g3( i , j ) − g 4( i , j ) ) Ls. [. [. ∫. (i − 1)πs ' sin θ − jβ s ' cos θ ) sin( qn s ' sin θ)e j ]ds ' L. [cos(. [sin(. jβ j cos θ sec(qn L). L. 2 εi −1 Ls. ∫. Ls. Ls. 0. ∫. ((i − 1)π sin θ + Lqn ) s ' ((i − 1)π sin θ − Lqn ) s ' − jβ j s' cos θ ) + cos( )]e L L. ((i − 1)π sin θ + Lqn ) s ' ((i − 1)π sin θ − Lqn ) s ' − jβ j s' cos θ ) − sin( )]e L L. cos(. Ls. sin(. 0. Ls ((i − 1)π sin θ + Lqn ) s ' ((i − 1)π sin θ − Lqn ) s ' − jβ s ' cos θ ) + ∫ cos( )] e j 0 L L. Ls ((i − 1)π sin θ + Lqn ) s ' ((i − 1)π sin θ − Lqn ) s ' − jβ s ' cos θ ) − ∫ sin( )] e j 0 L L. g1( i , j ) = a1( i , j ) ∫ cos(q1( i , j ) s ) e q2. s. ds. g 2( i , j ) = a1( i , j ) ∫ cos(q3( i , j ) s ) e q2. Ls. s. ds. g3( i , j ) = a2( i , j ) ∫ sin(q1( i , j ) s ) e q2. Ls. s. ds. Ls. s. ds. (i, j ). 0. (i, j ). 0. (i, j ). 0. g 4( i , j ) = a2( i , j ) ∫ sin(q3( i , j ) s ) e q2 0. (i, j ). ]ds '. (i − 1)πs ' sin θ − jβ s ' cos θ ) cos(qn s ' sin θ)e j L. cos(. 0. jβ j cos θ sec(qn L). L. ∫. Ls. − jβ j s ' cos θ. 55.
(65) 其中. a1( i , j ). a2( i , j ) q1( i , j ) q2( i , j ). εi −1 ε j −1 jβ j cos θ sec(qn L) Ls L = 2 εi −1 ε j −1 qn sin θ sec(qn L) Ls L = 2 (i − 1)π sin θ + Lqn = = q4(i , j ) L = − jβ j cos θ. q3( i , j ) =. (i − 1)π sin θ − Lqn = q5( i , j ) L. 56.
(66) ϕ1∗φ1ΙΙψ1 ds ∫ ϕ ∗φ ΙΙψ ds ΙΙ Ae = ∫ 2 1 1 # ∗ ΙΙ ∫ ϕN φ1 ψ1 ds. ψ 2 ds "". ∗ ΙΙ 1 2. ∫ϕ φ. 0. % % # % % # ∗ ΙΙ ∗ ΙΙ "" ϕ φ ψ ds ϕ φ ψ ds ∫ N 2 2 ∫ N N N . − sin( pn x '' ) pn sin θe ε j −1. εi −1 Ls. =. L. Ls. jβ j tan( pn d ) cos θ ∫ cos( 0. −. εi −1 Ls. ε j −1. +. εi −1 Ls. ε j −1. L L ε j −1. εi −1 Ls. =. L. pn sin θ. ∫. Ls. 0. cos(. ∫. pn tan( pn d ) sin θ. Ls. 0. Ls. 0. L. Ls. pn sin θ ∫ [cos 0. εi −1 Ls. ε j −1 L. εi −1 Ls. ε j −1. Ls. 0. L. jβ j tan( pn d ) cos θcos. −. εi −1 Ls. ε j −1. −. εi −1 Ls. ε j −1. +. εi −1 Ls. ε j −1. +. εi −1 Ls. ε j −1. −. εi −1 Ls. ε j −1. L L L L L. ds '' . (i − 1) π( s '' + L) sin θ − jβ s '' cos θ ) cos( pn s '' sin θ)e j ds '' L. (i − 1)πs '' sin θ (i − 1)πL sin θ cos − L L. (i − 1) πs '' sin θ (i − 1)πL sin θ − jβ s '' cos θ sin ]sin( pn s '' sin θ)e j ds '' L L. (i − 1) πs '' sin θ (i − 1)πL sin θ − jβ s '' cos θ sin ]sin( pn s '' sin θ)e j ds '' L L. pn tan( pn d ) sin θ ∫ [cos sin. =. − jβ j s '' cos θ. (i − 1)πs '' sin θ (i − 1)πL sin θ cos − L L sin. +. + tan( pn d ) cos( pn x '' ) pn sin θe. (i − 1) π( s '' + L) sin θ − jβ s '' cos θ ds '' ) sin( pn s '' sin θ)e j L. cos(. jβ j tan( pn d ) cos θ ∫ [cos. ε j −1. εi −1 Ls. − jβ j s '' cos θ. (i − 1) π( s '' + L) sin θ − jβ s '' cos θ ds '' ) sin( pn s '' sin θ)e j L. sin −. ψ N ds . ∗ ΙΙ 1 N. εi −1 (i − 1)π( s '' + L) sin θ ε j −1 − jβ s '' cos θ cos jβ j tan( pn d ) sin( pn x '' ) cos θe j Ls L 2d . Ls. b (i , j ) = ∫. ∫ϕ φ. (i − 1)πs '' sin θ (i − 1)πL sin θ cos − L L. (i − 1) πs '' sin θ (i − 1)πL sin θ − jβ s '' cos θ sin ]cos( pn s '' sin θ)e j ds '' L L. (i − 1) πL sin θ Ls (i − 1)πs '' sin θ − jβ s '' cos θ cos sin( pn s '' sin θ)e j ds '' ∫ 0 L L. jβ j tan( pn d ) cos θ sin. (i − 1)πL sin θ Ls (i − 1)πs '' sin θ − jβ s '' cos θ sin sin( pn s '' sin θ)e j ds '' ∫ 0 L L. pn sin θcos. (i − 1) πL sin θ Ls (i − 1)πs '' sin θ − jβ j s '' cos θ '' cos sin( p s sin θ ) e ds '' n ∫ 0 L L. pn sin θ sin. (i − 1)πs '' sin θ (i − 1) πL sin θ Ls − jβ s '' cos θ sin( pn s '' sin θ)e j ds '' sin ∫ 0 L L. pn tan( pn d ) sin θcos. (i − 1) πL sin θ Ls (i − 1)πs '' sin θ − jβ s '' cos θ cos cos( pn s '' sin θ)e j ds '' ∫ 0 L L. pn tan( pn d ) sin θ sin. (i − 1) πs '' sin θ Ls (i − 1)πs '' sin θ − jβ s '' cos θ sin cos( pn s '' sin θ)e j ds '' ∫ 0 L L 57.
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