數學 解析

試題答案依據大考中心公布內容

總召集∕陳彥良 出　版∕民國一○九年二月 總編輯∕汪崇愛 發行所∕7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號 主　編∕吳崇欽 編輯部∕7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 -1 號 責　編∕羅蔣偉 電　話∕(_{06)2619621 #312} 美　編∕林婷慧‧陳雅惠 E-mail∕periodical@hanlin.com.tw  本書內容同步刊載於翰林官網  翰林官網 http://www.hle.com.tw 忠明高中•陳冠州 老師

回顧與歷屆試題分析

一

　　首先我們先回顧一下，_{102 年學測是第一次依 99 課綱命題，至 108 年學測各章命題} 數統計如下： 範圍 _{102 年 103 年 104 年 105 年 106 年 107 年 108 年} 數與式 _{1 2 0 1 0 0 1} 多項式函數 _{2 2 1 2 2 1 2} 指數與對數函數 _{2 2 2 1 2 2 2} 數列與級數 1 1 2 1 1 0 1 排列、組合 _{2 2 2 1 2 0 2} 機　率 _{1 1 2 2 1 1 1} 數據分析 _{1 1 1 2 2 2 2} 三　角 _{2 2 2 2 2 3 2} 直線與圓 _{1 2 1 2 2 3 2} 平面向量 _{2 2 2 1 1 3 1} 空間向量 _{0 1 2 1 2 2 1} 空間中的平面與直線 _{2 1 1 2 2 1 1} 矩　陣 1 1 1 1 0 1 1 二次曲線 _{2 0 1 1 1 1 1} 　　由以上考題數分析數點歸納如下： 1　四冊配分大約平均；以章節論，三角考最多；以公式論，餘弦定理考最多。 2　 近年來素養題逐漸增加，在 106、107、108 年各有 4、3、5 題，約占整份學測試卷 1 5 ，學子對於生活事物不能無感，尤其是重要新聞時事，但不用深入，知道大概即 可。此外，加強閱讀能力也是必備解題能力，否則可能因題目看不懂而無法得分。 3　 _{解題著重：（觀念）＋（圖解），幾乎只考課本公式，不愛複雜計算、特殊技巧。基} 本型題目在課本都可找到類似題，先弄懂課本題目就有基本分。 忠明高中 陳冠州 老師

數學考科

109 學測數學試題分析

二

　　大考中心所列數學測驗三目標：概念性知識、程序性知識、解決問題的能力，_{109 學} 測數學占三目標比率依次為 _{15 ％、65 ％、20 ％，主要還是程序性知識，也就是能讀圖、} 查表或運用適當的公式與步驟解題，說白話就是一般考試題目較多。 109 試題分配章節表 範圍 類型 數與式 單選 ₅ 多項式函數 單選 _{7，多選 10} 指數與對數函數 單選 _{6，多選 11} 數列與級數 多選 _{11，選填 A} 排列、組合 多選 ₈ 機　率 單選 6，選填 B 數據分析 多選 12 三　角 單選 1、7，多選 13，選填 D、G 直線與圓 選填 _C 平面向量 單選 _{3，多選 9} 空間向量 單選 _{2，多選 13，選填 E} 空間中的平面與直線 選填 _E 矩　陣 單選 ₄ 二次曲線 選填 _F 　　由上表試題分配章節表可知： 1　配題：每章節都有考到，以三角及空間向量兩章出題數最多。 2　難易度：中間偏易，與去年相同。 3　 素養題：今年有四題素養題，如多選 12 農業就業人口與選填 G 不銹鋼片月亮形狀設 計，但文字用詞說明精確，無以前模稜兩可的文意出現，這很值得稱讚。此外，近年 都有圖表式素養題，呼應大考中心數學測驗目標：程序性知識－能讀圖、查表，所以 同學應該從平時就加強圖表閱讀，培養能力。 4　 _{多選題：105 ∼ 109 年正確選項是兩個的題數依次為 3、4、3、6、6，呈增加趨勢，作} 者認為這是大考中心為增加鑑別度，避免學生亂猜題得分，所以設計 _{2 個答案數，所} 以同學們更應該加強觀念才能在多選題拿分。

110 學測數學展望

三

　　　　　　（b：_{109 年為預估值）} 　　從上表走勢觀察發現心得及展望羅列如下： 1　 _{近兩年不論級分或原始分數都是新高，預估明年也是中偏易，所以建議同學回歸基本} 重要題目，不要在難題上面花太多時間。 2　素養題是目前流行趨勢，加強文字閱讀、圖表理解與注意時事是同學平時就要加強。 3　 明年學測是最後一屆依 99 課綱命題，加上五選四自由選，兩大因素助長重考，109 年 重考生人數約 _{1.8 萬人，預估 110 年重考生會更多，重考生大多目標在頂尖大學夢幻} 學系或醫學系，所以頂大競爭更加激烈，故頂大在面試第二階段多加考筆試，建議程 度好的學子仍須加強數學能力，即使雙圈範圍學測不考，也應認真念，以免在筆試被 刷下，遺珠之憾。

F

數學

考科

第壹部分：選擇題（占 _{65 分）} 一、單選題（占 _{35 分）} 說明： _{第1題至第7題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，} 請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、 未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 1 已知兩個直角三角形三邊長分別為 3，4，5、 5，12，13，α，β分別為它們的一角，如右 圖所示。試選出正確的選項。 1 sinα＞sinβ＞sin30n 2 sinα＞sin30n＞sinβ 3 sinβ＞sinα＞sin30n 4 sinβ＞sin30n＞sinα 5 sin30n＞sinα＞sinβ 答　　案 2 命題出處 第三冊第一章　三角 測驗目標 銳角三角函數的定義　 難 易 度 易 詳　　解 sinα＝3 5＝0.6 sinβ＝ 5 13~0.38 sin30n＝1 2＝0.5 ∴sinα＞sin30n＞sinβ 故選2

試題解析

忠明高中 陳冠州 老師

2 空間中有相異四點 A，B，C，D，已知內積 zAB ．zAC ＝zAB ．zAD 。試選出正確 的選項。 1 zAB ．zCD ＝0 　　　2 _AC＝AD 3 zAB 與 zCD 平行 　　　4 zAD ．zBC ＝0 5 A，B，C，D 四點在同一平面上 答　　案 1 命題出處 第四冊第一章　空間向量 測驗目標 空間向量的內積 難 易 度 易

詳　　解 zAB ．zAD －zAB ．zAC ＝0

! zAB ．（zAD －zAC ）＝0 ! zAB ．zCD ＝0

故選1

3 如右圖所示，O 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的 終點 _{P 落在△ODE 內部（不含邊界）？}

1 zOP ＝zOC ＋zOE 2 zOP ＝1

4 zOC ＋ 1 2 zOE 3 zOP ＝－1 4 zOC ＋ 1 2 zOE 4 zOP ＝ 1 4 zOC － 1 2 zOE 5 zOP ＝－1 4 zOC － 1 2 zOE 答　　案 2 命題出處 第三冊第三章　平面向量 測驗目標 向量係數積、加減法 難 易 度 易 詳　　解 令選項1∼5之 P 點用 P₁，P₂，P₃，P₄，P₅ 代表 由平行四邊形加法知 P₂ 在△ODE 內部 故選2 b： _{設 zOP＝αzOC＋βzOE，其中 0＜α＜β＜1 ⇔ P 落在△ODE 內部}

數學考科

4 令 I＝ 1　0 0　1 ，A＝ 1　1 3　4 ，B＝I＋A＋A —1_{，試選出代表 BA 的選項。} 1 1　0 0　1 2 6　0 0　6 3 4 　－1 －3　 1 4 1　1 3　4 5 6 　 6 18　24 答　　案 5 命題出處 第四冊第三章　矩陣 測驗目標 反方陣 難 易 度 易 詳　　解 BA ＝（I＋A＋A－1）A＝A＋A2＋I ＝ 1　1 3　4 ＋ 1　1 3　4 1　1 3　4 ＋ 1　0 0　1 ＝ 1　1 3　4 ＋ 4 　 5 15　19 ＋ 1　0 0　1 ＝ 6 　 6 18　24 故選5 5 試問數線上有多少個整數點與點 d101 的距離小於 5，但與點 s38 的距離大於 3？ 1 1 個 2 4 個 3 6 個 4 8 個 5 10 個 答　　案 3 命題出處 第一冊第一章　數與式 測驗目標 絕對值 難 易 度 中 詳　　解 d101 ~10.05（只要知道比 10 略大一點點即可），s38 ~6.2 重疊部分：9.2 ∼ 15.05，之間整數有 10，11，12，13，14，15， 共 6 個 故選3

6 連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 a，b。試問發生 log（a2_{）＋logb＞1 的機率為多少？} 1 1 3 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 5 6 答　　案 4 命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數、第二冊第三章　機率 測驗目標 對數律、機率的性質 難 易 度 中

詳　　解 1 log（a2）＋logb＞1 ⇔ log（a2_{b）＞log10 ⇔ a}2_b＞10 2　 _a2_bN10 a 1 2 3 b 1，2，3，4，5，6 1，2 1 共 9 種 ∴P（a2bN10）＝ 9 36＝ 1 4 故所求為 _1－ 1 4＝ 3 4 故選4 〈另解〉

log（a2_{）＋logb＞1 ! log（a}2_{b）＞log10 ! a}2_{b＞10 ! b＞}10

a2 1 當 a＝1 時，b＞10（不合） 2 當 a＝2 時，b＞2 1 2 ! b＝3，4，5，6，共 4 組 3 當 a＝3 時，b＞1 1 9 ! b＝2，3，4，5，6，共 5 組 4 當 a＝4 時，b＞5 8 ! b＝1，2，3，4，5，6，共 6 組 5 當 a＝5 時，b＞2 5 ! b＝1，2，3，4，5，6，共 6 組 6 當 a＝6 時，b＞ 5 18 ! b＝1，2，3，4，5，6，共 6 組 1∼6合計 _{4＋5＋6×3＝27 組} 故所求機率為 27 6×6＝ 3 4 故選4

數學考科

7 坐標平面上，函數圖形 y＝－a3 x3 上有兩點 P，Q 到原點距離皆為 1。已知點 P 坐標為（cosθcsinθ），試問點 Q 坐標為何？ 1（cos（－θ）csin（－θ）） 2（－cosθcsinθ） 3（cos（－θ）c－sinθ） 4（－cosθcsin（－θ）） 5（cosθc－sinθ） 答　　案 4 命題出處 第一冊第二章　多項式函數、第三冊第一章　三角 測驗目標 奇函數，廣義角三角函數的定義 難 易 度 中 詳　　解 y＝－a3 x3 為奇函數，對稱於原點 P（cosθcsinθ）對原點之對稱點就是 Q（－cosθc－sinθ） 選項4：（－cosθcsin（－θ））＝（－cosθc－sinθ） 故選4 二、多選題（占 30 分） 說明： _{第8題至第e題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正} 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 _{5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，} 得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。 8 有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或 （B）兩個條件之一，可得到獎金 100 元；若兩個條件都滿足，則共得 200 元 獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。 （A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數 （B）三個點數由小排到大為等差數列 若已知有兩顆骰子的點數分別為 1，3，且所得獎金為 100 元，則未知的骰子點 數可能為何？ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 答　　案 12 命題出處 第二冊第二章　排列、組合 測驗目標 或、且的用法

詳　　解 _{兩顆骰子 第三顆骰子 滿足（A） 滿足（B）} 1，3 1 L 2 L 3 L 4 5 L L 6 所得獎金 _{100 元 ⇔（A）、（B）恰一個滿足} ∴未知的骰子點數可能為 1，2，3 故選12 9 在坐標平面上，有一通過原點 O 的直線 L，以及一半徑為 2、圓心為原點 O 的 圓 _{Γ。P，Q 為 Γ 上相異 2 點，且 OP，OQ 分別與 L 所夾的銳角皆為 30n，試} 選出內積 _{zOP ．zOQ 之值可能發生的選項。} 1 2a3 2－_2a3 3 0 4－₂ 5－₄ 答　　案 45 命題出處 第三冊第三章　平面向量 測驗目標 內積 難 易 度 中偏難 詳　　解 1 P、Q 在 L 同側： 　 _{當θ＝180n－30n－30n＝120n 　 ! zOP ．zOQ} 　 　 ＝2．2．cos120n 　 　 ＝2．2．

（

－1 2

）

＝－2 2 P、Q 在 L 異側： 　 _當θ1＝_{30n＋30n＝60n}

　 ! zOP ．zOQ₁＝2．2．cos60n＝2．2．1 2＝2 　 當θ₂＝_180n

　 ! zOP ．zOQ₂＝_{2．2．cos180n＝2．2．（－1）＝－4} 綜合1、2得 _{zOP．zOQ＝－2，2，－4}

數學考科

0 考慮多項式 f（x）＝3x4＋_11x2－_{4，試選出正確的選項。} 1 y＝f（x）的圖形和 y 軸交點的 y 坐標小於 0 2 f（x）＝0 有 4 個實根 3 f（x）＝0 至少有一個有理根 4 f（x）＝0 有一根介於 0 與 1 之間 5 f（x）＝0 有一根介於 1 與 2 之間 答　　案 14 命題出處 第一冊第二章　多項式函數 測驗目標 高次方程式 難 易 度 中 詳　　解 1 ○：f（0）＝－4＜0 2 ×　3 ×　4 ○　5 ×： f（x）＝0 ! 3x4＋_11x2－_4＝0 !（_3x2－_1）（_x2＋_{4）＝0 ! x}2＝1 3，－4 ! x＝± 1 a3 ，±2i，其中 1 a3 ~0.58 故選14 q 設 a，b，c 為實數且滿足 loga＝1.1、logb＝2.2、logc＝3.3。試選出正確的選 項。 1 a＋c＝2b 2 1＜a＜10 3 1000＜c＜2000 4 b＝2a 5 a，b，c 成等比數列 答　　案 35 命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數、第二冊第一章　數列與級數 測驗目標 對數律 難 易 度 中偏難

詳　　解 1　 ×： loga＝1.1 ! a＝101.1；logb＝2.2 ! b＝102.2 logc＝3.3 ! c＝103.3 a＋c ＝101.1_＋103.3_＞2

al

₁₀1.1_．103.3 _＝2•102.2_＝2b 2 ×：a＝101.1＞₁₀1＝₁₀ 3　 ○： log1000＝3 log2000 ＝log（2×1000）＝log2＋log1000~0.301＋3＝3.301 　　　　 ∴log1000＜logc＜log2000 ! 1000＜c＜2000 4　 _{×： 2a＝2×10}1.1_₁₀2.2_{＝b，正確為 a}2_＝（101.1_）2_＝102.2_＝b

w 下表是 2011 年至 2018 年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各 年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如 _{2011 年總就業人} 口為 _{1,070.9 萬人，65 歲以上男性農業就業人口為 69.1 千人。試根據表格資料} 選出正確的選項。 就業人口 男性農業就業人口按年齡別分 年別 總就業 人口 （萬人） 農業就業 人口 （萬人） 男性農業 就業人口 （千人） 39 歲以下 （千人） 40∼49 歲 （千人） 50∼64 歲 （千人） 65 歲以上 （千人） 2011 年 1,070.9 54.2 386.3 67.6 85.4 164.2 69.1 2012 年 1,086.0 54.4 394.9 67.5 87.0 169.5 70.9 2013 年 1,096.7 54.4 391.5 66.6 83.9 171.3 69.7 2014 年 1,107.9 54.8 391.2 65.8 79.8 173.0 72.6 2015 年 1,119.8 55.5 403.1 71.7 76.9 181.3 73.2 2016 年 1,126.7 55.7 404.5 77.4 77.4 176.4 73.3 2017 年 1,135.2 55.7 405.1 73.9 78.1 178.3 74.8 2018 年 1,143.4 56.1 415.1 72.0 78.8 184.9 79.4 1從 _{2013 年至 2018 年，65 歲以上的男性農業就業人口逐年遞增} 2從 2013 年至 2018 年，50 歲至 64 歲之男性農業就業人口逐年遞增 3上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五 4 上表中，每一年 _{50 歲至 64 歲之男性農業就業人口都少於 49 歲以下之男性農} 業就業人口 5就 _{65 歲以上之男性農業就業人口而言，2018 年比 2011 年增加了不到一萬人} 答　　案 13 命題出處 第二冊第四章　數據分析 測驗目標 圖表閱讀 難 易 度 易 詳　　解 1 ○ 2 ×：2015 年∼ 2016 年為減少 3 ○：∵每一年總就業人口數都大於 1000 萬 　　　 _{∴每一年總就業人口數的 5 ％都大於 50 萬（＝500 千）} 　　　 因此，亦都大於該年男性農業就業人口數 4 ×：在 2011 年，50 歲∼ 64 歲男性農業就業人口數為 164.2（千） 　　　 _{49 歲以下男性農業就業人口數為 67.6＋85.4＝153（千） 　　　 ∴50 歲∼ 64 歲多於 49 歲以下} 5 ×：增加 79.4－69.1＝10.3（千）＝1.03（萬），超過一萬人 故選13

數學考科

e 如右示意圖，四面體 OABC 中，△OAB 和△OAC 均為正三角形， ∠_{BOC＝30n。試選出正確的選項。} 1 BC＞OC 2△OBC 是等腰三角形 3△OBC 的面積大於△OAB 的面積 4∠CAB＝30n 5平面 _{OAB 和平面 OAC 的夾角（以銳角計）小於 30n} 答　　案 24 命題出處 第三冊第一章　三角、第四冊第一章　空間向量 測驗目標 三角形面積公式、二面角 難 易 度 中偏難 詳　　解 2 ○：∵△OAB、△OAC 為兩全等之正三角形 　　　 ∴設 OA＝OB＝OC＝AB＝AC＝a 　　　 _{△OBC 中，OB＝OC !等腰三角形}

1 ×：△OBC 中，∠O＝30n !∠B＝（180n－30n）÷2＝75n＞∠O ! OC＞BC 3 ×：△OBC 面積＝1 2．a．a．sin30n＝ 1 2 a 2_{sin30n 　　　 △OAB 面積＝}1 2．a．a．sin60n＝ 1 2 a 2_{sin60n 　　　 ∵sin30n＜sin60n　∴△OBC 面積＜△OAB 面積} 4 ○：△ABC 與△OBC 中，BC＝BC，AC＝OC，AB＝OB 　　　 !△ABCw△OBC（SSS 全等） 　　　 !∠CAB＝∠COB＝30n 5 ×：如圖1，作 OA 邊之高 MC，MB 　　　 _{∴∠BMC 為平面 OAB 和平面 OAC 的夾角 　　　 ∵三角形腰變短　∴角度變大 　　　 如圖2示意圖，故∠BMC＞∠BOC＝30n} 圖! 圖@

第貳部分：選填題（占 _{35 分）} 說明：1 第 _{A. 至 G. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的} 列號（_{14 – 36）。} 　　　2 每題完全答對給 _{5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。} A. 網路賣家以 200 元的成本取得某件模型，並以成本的 5 倍作為售價，差價即為 利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調 降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為　rty　元。 答　　案 300 命題出處 第二冊第一章　數列與級數 測驗目標 等比數列 難 易 度 易 詳　　解 最初利潤＝200×（5－1）＝800 元 調降三次後利潤剩下 800×

（

1 2

）

3 ＝100 ∴售價為 200＋100＝300（元） B. 有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白 色的機率各為 1 2；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為 1 3，不同色 的機率為 2 3。今某甲投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為3 　u i　。（化 為最簡分數） 答　　案 1 9 命題出處 第二冊第三章　機率 測驗目標 獨立事件 難 易 度 中 詳　　解 所求機率為 1×1 3× 1 3＝ 1 9 第一次任意 第三次與第二次同 第二次與第一次同

數學考科

C. 設 S 為坐標平面上直線 2x＋y＝10 被平行線 x－2y＋15＝0 與 x－2y＝0 所截的 線段（含端點）。若直線 _{3x－y＝c 與 S 有交點，則 c 的最小值為　op　。} 答　　案 －₅ 命題出處 第三冊第二章　直線與圓 測驗目標 線性規劃 難 易 度 中偏難 詳　　解 由平行線法知： 3x－y＝c 在 A 點發生最小值 2x＋y＝10 x－2y＋15＝0 ! A（xcy）＝（1c8） c 的最小值為 3．1－8＝－5

D. 平面上有一箏形 ABCD，其中 AB＝BC＝a2 ，AD＝CD＝2，∠BAD＝135n。則 AC＝ 6 　 a

al

sd f 　。（化為最簡根式） 答　　案 2s10 5 命題出處 第三冊第一章　三角 測驗目標 餘弦定理、三角形面積公式 難 易 度 難

詳　　解 △ABD 中，BD 2 ＝（a2 ）2＋₂2－2×a2 ×2×cos135n ＝2＋4－2×a2 ×2×

（

－ a2 2

）

＝10 ! BD＝s10 △ABD 面積 ＝1 2×AB×AD×sin135n ＝1 2×a2 ×2× a2 2 ＝1………1 △_{ABD 面積 ＝}1 2×BD×AE＝ 1 2×s10 ×AE ＝ s10 2 AE ………2 由1＝2! AE＝ 2 s10 ＝ s10 5

E. 空間中有三點 A（1c7c2）、B（2c－6c3）、C（0c－4c1）。若直線 L 通 過 _{A 點並與直線 BC 相交且垂直，則 L 和直線 BC 的交點坐標為} （　gh　c　jk　c　l;　）。 答　　案 （－_{3c－1c－2）} 命題出處 第四冊第一章　空間向量、第四冊第二章　空間中的平面與直線 測驗目標 正射影、直線參數式 難 易 度 難 詳　　解 作示意圖如右 zBA ＝（－1c13c－1）， zBC ＝（－2c2c－2）7（1c－1c1）＝zu zBA 在 zu 之正射影為 zBH ＝

（

zBA ．zu ｜zu ｜2

）

zu ＝ －₁₅ 3 （1c－1c1）＝（－5c5c－5） 設 _{H（xcycz），代入 zBH ＝（－5c5c－5）} !（_{x－2cy＋6cz－3）＝（－5c5c－5）} ! H（xcycz）＝（－3c－1c－2） 〈另解〉 zBC ＝（－2c2c－2）7（1c－1c1）＝zu ←→ BC： x＝0＋t y＝－4－t z＝1＋t ，_{t 為實數} 設 _{H（tc－4－tc1＋t）} 則 zAH ＝（t－1c－t－11ct－1） ∵zAH ⊥zu 　∴zAH ．zu ＝0

!（t－1）＋（t＋11）＋（t－1）＝0 ! t＝－3 代回 _{H＝（tc－4－tc1＋t）＝（－3c－1c－2）} F. 坐標平面上有一條拋物線 Γ，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對 稱軸與 _{Γ 的對稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為 4、下底為 6、高為 14，} 則 Γ 的焦距為 4 　 z xc　。（化為最簡分數） 答　　案 5 56 命題出處 第四冊第四章　二次曲線 測驗目標 拋物線

數學考科

難 易 度 中偏難 詳　　解 坐標化，略圖如右圖 設 Γ：x2＝4cy 將（_{2ct），（3ct－14）代入 Γ} ! 4＝4ct ………1 9＝4c（t－14）＝4ct－56c＝4－56c1代入 ∴_c＝－ 5 56，故焦距為｜c｜＝ 5 56 G. 設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一 款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧 QRT 是一個以 O 點為圓 心、QT 為直徑的半圓，QT ＝2a3 。圓弧 QST 的圓心在 P 點，_{PQ＝PT ＝2。圓弧 QRT 與圓弧 QST 所圍出的灰色區} 域 _{QRTSQ 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面} 積為 _{aπ＋ab ，其中π為圓周率，a 為有理數，b 為整數，} 則 a＝ 3 　v b　（化為最簡分數），b＝　n　。 答　　案 1 6，3 命題出處 第三冊第一章　三角 測驗目標 扇形面積、直角三角形的邊角關係 難 易 度 中 詳　　解 直角△POQ 中，PQ＝2，OQ＝ 2a3 2 ＝a3 !∠QPO＝60n，PO＝1 !∠QPT＝2∠QPO＝120n 灰色面積 ＝_－ 　 　 ＝1 2π．（a3 ） 2_－

〔

120 360．（π．2 2_）－1 2．2a3 ．1

〕

＝1 6π＋a3 a＝1 b＝3

參考公式及可能用到的數值 1　 首項為 a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S＝ n（2a＋（n－1）d） 2 首項為 _{a，公比為 r（r_1）的等比數列前 n 項之和為 S＝}a（1－r n_） 1－r 2　 _{三角函數的和角公式： sin（A＋B）＝sinA cosB＋cosA sinB}

cos（A＋B）＝cosA cosB－sinA sinB tan（A＋B）＝ tanA＋tanB 1－tanA tanB 3　 _{△ABC 的正弦定理：} a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ＝2R（R 為△ABC 外接圓半徑） △_{ABC 的餘弦定理：c}2＝_a2＋_b2－_{2ab cosC}

4　 一維數據 X：x₁，x₂，……，x_n， 算術平均數 m_X＝1 n（x1＋x2＋……＋xn）＝ 1 n n

∑

i＝1xi 標準差 _sX＝ 1 n n

∑

i＝1 （_xi－mX）2 ＝ 1 n

（

（ n

∑

i＝1xi 2_）－nm X2

）

5　 二維數據（XcY）：（x₁c_y1），（x₂c_y2），……，（x_nc_yn）， 相關係數 r_XcY＝ n

∑

i＝1 （x_i－mX）（yi－mY） nsXsY 迴歸直線（最適合直線）方程式 _y－mY＝_rXcY sY sX （_x－mX）

6　參考數值：a2 ~1.414，a3 ~1.732，a5 ~2.236，a6 ~2.449，π~3.142 7　對數值：log₁₀2~0.3010，log₁₀3~0.4771，log₁₀5~0.6990，log₁₀7~0.8451 8　角錐體積＝1

指考歷屆試題系列

翰林

精準解析 應考無懈可擊！

鑑往知來：

收錄近_{8 ∼ 9 年大學指定科目考} 題，掌握出題方向與命題趨勢

精準解析：



各科名師完整分析暨精解，迅速 掌握解題技巧與釐清觀念

指考 5 標：



每回皆附指考_{5 標，有助學生了} 解自己的實力

出版科目：

國文、英文、數學甲、數學乙、物理、 化學、生物、歷史、地理、公民與社會