高二下期末考數學題庫(40)

(1)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/29

Sec 3-4

一、單選題 ( )01. 選出下圖中正三角形 OAB 經方陣 3 1 2 2 1 3 2 2   −           線性變換後的圖形﹕ (1) (2) (3) (4) 解答 1 解析因為 3 1 cos30 sin 30 2 2 sin 30 cos30 1 3 2 2   −   _ _{ −} __  _{ = } _    _{ } _     為旋轉矩陣﹐ 所以此線性變換為將△OAB 以 O 為中心旋轉 30﹒ 故選(1)﹒ x y O x y O y O x x y O A O x y B

(2)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/29 二、多選題 ( )02. 下列哪些二階方陣可以使△ABC 經該方陣變換後面積保持不變﹖ (1) cos 70 sin 70 sin 70 cos 70  −     _ _   (2) cos 70 sin 70 sin 70 cos 70      _{ −} _   (3) 5 0 0 2       (4) 1 3 0 1       (5) 1 0 3 1   ₋   ﹒ 解答 1245 解析計算 5 個行列式的絕對值﹕

(1)| cos 70 sin 70 | | cos 702 sin 70 | |1| 12

sin 70 cos 70

 − 

=  +  = =

  ﹒

(2)| cos 70 sin 70 | | cos 702 sin 70 | | 1| 12

sin 70 cos 70   = −  −  = − =  −  ﹒ (3)| 5 0 | |10 | 10 0 2 = = ﹒ (4) 1 3 | | |1| 1 0 1 = = ﹒ (5) 1 0 | | |1| 1 3 1 = = − ﹒ 由線性變換的面積比公式﹐得知經行列式的絕對值為 1 的方陣變換後﹐其面積保持不變﹒ 故選(1)(2)(4)(5)﹒ ( )03. 已知二階方陣 A﹐B 滿足 A 在平面上的作用是對直線 :L y= − 3x的鏡射﹐且 1 0 0 1 AB= − _ −  ﹒ 選出正確的選項﹕ (1)AB = BA (2)A + B = O (3)方陣 B 所對應的平面變換為旋轉 (4) − A 是 B 的反方陣﹒ 解答 124 解析因為 L 是過原點且與 x 軸正向夾角為 120°的直線﹐所以 1 3 cos 240 sin 240 ₂ ₂ sin 240 cos 240 ₃ ₁ 2 2 A   − −      _{ } _ =_ _=  −      ₋     ﹒ 因為 1 0 0 1 AB= − _ −  ﹐所以 1 1 3 1 3 1 0 1 2 2 1 0 2 2 0 1 1 ₃ ₁ 0 1 ₃ ₁ 2 2 2 2 B A− A         − −   _ _  _ _ = _ _= _ _= = − − −   −     ₋   ₋         ﹒

(1)AB = A( − A) = ( − A)A = BA﹒ (2)A + B = A + ( − A) = O﹒ (3)因為方陣 B 不能寫成 cos sin sin cos     −      的形式﹐所以不是旋轉矩陣﹒ (4)因為 1 1 3 1 2 2 1 ₃ ₁ 2 2 B− A   − −     = = − −   −     ﹐所以− A 是 B 的反方陣﹒ 故選(1)(2)(4)﹒

(3)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/29 三、計算題 04. 將點 P(2,0)分別作下列各變換﹐求變換後的點坐標﹕ (1)以原點為中心旋轉 30°﹒ (2)對直線x− 3y= 鏡射﹒ 0 (3)以原點為中心﹐沿著 x 軸方向伸縮 2 倍﹐沿著 y 軸方向伸縮 3 倍﹒ (4)沿 y 軸推移 x 坐標的1 2倍﹒ 解答 (1)( 3,1);(2)(1, 3);(3)(4,0);(4)(2,1) 解析 (1)因為 3 1 cos30 sin 30 2 2 2 2 3 sin 30 cos30 0 1 3 0 1 2 2   −   _ _  −        _ _ = _{=  }      _ _ _ _     _ _      ﹐所以變換後的點坐標為( 3,1)﹒ (2)因為直線是過原點且與 x 軸正向夾角為 30°的直線﹐所以利用鏡射的矩陣表示﹐計算 cos 60 sin 60 2 sin 60 cos 60 0          _{ −} _     1 3 1 2 2 2 0 3 3 1 2 2    _{ } _ _   = _{ }_{=  }  _{    } −     ﹐得變換後的點坐標為(1, 3)﹒ (3)因為 2 0 2 4 0 3 0 0       =            ﹐所以變換後的點坐標為(4,0)﹒(4)因為 1 0 2 2 1 0 1 1 2  _{    }  _{   }₌  _{    }     ﹐所以變換後的點坐標為(2,1) 05. 如下圖﹐已知中心為原點 O 的正八邊形之一個頂點為 A(2,4)﹐求此正八邊形的另二個頂點 D 與 G 的坐標 解答 D(−3 2,− 2)﹐G(4, − 2) 解析將 A 以 O 為中心旋轉 135°﹐得點 D﹔將 A 以 O 為中心旋轉 270°﹐得點 G﹒ 利用旋轉的矩陣表示﹐計算 2 2 cos135 sin135 2 ₂ ₂ 2 3 2 sin135 cos135 4 ₂ ₂ 4 ₂ 2 2   − −   _ _  −  −     _ _  = =    _ _   _ _  −     ₋   _ _     ﹐ cos 270 sin 270 2 0 1 2 4 sin 270 cos 270 4 1 0 4 2  −            = =  _ _   ₋     ₋          ﹐得D −( 3 2,− 2)﹐G(4, − 2)﹒ x y O A (2,4) B C D E _F G H

(4)

06. 已知二階方陣 4 5

6 7

M =  _

 ﹐A(3,1)﹐B(2,4)﹐C( − 1, − 2)﹒若△ABC 經 M 線性變換後成△ABC﹐則△

ABC的面積為何﹖ 解答 15 解析因為向量AB = −

(

1,3

)

﹐AC = − −

(

4, 3

)

﹐所以△ABC 的面積為1 | 1 3 | 1 |15 | 15 4 3 2 2 2 −  =  = − − ﹒ 利用線性變換的面積比公式﹐得△ABC的面積為 4 5 | | 6 7 △ABC 的面積 15 | 2 | 15 2 = −  = ﹒ 07. 已知直線 L：y = − x﹐求點 P(3,2)對直線 L 鏡射之對應點 P的坐標﹒ 解答 ( − 2, − 3) 解析因為 L 是過原點且與 x 軸正向夾角為 135°的直線﹐ 所以利用鏡射的矩陣表示﹐計算 cos 270 sin 270 3 sin 270 cos 270 2        _{ −} _       0 1 3 2 1 0 2 3 − −       =_ _{    }= − −      ﹐得對稱點 P的坐標為( − 2, − 3)﹒

08. 已知 cos 25 sin 25 2 0 cos 20 sin 20

sin 25 cos 25 ₀ ₂ sin 20 cos 20

A=_  − _ _  − _      _ _ ﹐且 M = A 4_{﹐求點 P(1,2)經 M 線性變換後所對應} 之點 P的坐標﹒ 解答 ( − 4, − 8) 解析經 A 變換的幾何意涵是﹕將點以 O 為中心旋轉 20後﹐再沿著 x 軸及 y 軸方向皆伸縮 2 倍﹐最後再旋轉 25﹒ 因為 M 變換就是 A 連續變換 4 次﹐所以將 P 以 O 為中心旋轉 4  45 = 180﹐再沿著 x 軸及 y 軸方向皆伸縮 4 ( 2) =4倍﹐就可得對應點 P﹒ 故 P的坐標為( − 4, − 8)﹒ 09. 已知將圓 C﹕(x − 2)2 + y2 = 4 以原點為中心旋轉 120後成另一圓 C﹐求 C的方程式﹒ 解答 (x + 1)2_{+ (y −} ₃₎2_{= 4} 解析因為 1 3 1 cos120 sin120 2 ₂ ₂ 2 sin120 cos120 0 3 1 0 3 2 2   − −   _₋ _  −      _ _  = _{=  }  _ _   _ _      _ ₋ _      ﹐ 所以圓心(2,0)經旋轉後的坐標為( 1, 3)− ﹒又圓 C的半徑與圓 C 的半徑同為 2﹐故 C的方程式為(x + 1)2_{+ (y −} 3)2_{= 4﹒}

(5)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/29 10. 已知點 P(2,1)與 Q( − 1,2)經過二階方陣 A 作線性變換後所對應的點分別為 P(4,10)與 Q(3,5)﹐求二階方陣 A﹒ 解答 1 2 3 4       解析設A a b c d   =    ﹒依題意﹐可列得 2 4 1 10 a b c d       =            ﹐ 1 3 2 5 a b c d −       =            ﹒ 將上列 2 式合併寫成 2 1 4 3 1 2 10 5 a b c d −       =            ﹒ 故二階方陣 A 為 1 4 3 2 1 10 5 1 2 a b c d − −   ₌                4 3 1 2 1 1 2 10 5 5 1 2 3 4       =_ _ _ _{ }= _ −      ﹒ 11. 已知二階方陣 A 滿足 1 1 1 1 A   _{   }= −    ﹐ 1 1 1 1 A   _{   }= −    ﹐求 A﹒ 解答 0 1 1 0 −       解析將題目中 2 式合併寫成 1 1 1 1 1 1 1 1 A_  _{ }= − _ −    ﹒ 故二階方陣 A 為 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 A − − − − −           =_ _{ } _ =_ _ _ _{ }= _ −          ﹒ 12. 已知直線 L﹕x − 2y − 4 = 0 經方陣 1 2 2 3   ₋   線性變換後成直線 L﹐求 L的方程式﹒ 解答 x + 4y = − 28 解析直線 L 的參數式為 x 2t 4 y t = +   =  （t  ）﹒因為 1 2 2 4 4 4 2 3 8 t t t t + +       = ₋    _{− −}       ﹐ 即點(2t + 4,t)經線性變換後的坐標為(4t + 4, − t − 8)﹐ 所以直線 L的參數式為 4 4 8 x t y t = +   = − −  （t  ）﹒ 故 L的方程式為 x + 4y = − 28﹒

(6)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/29 13. 如下圖﹐直線 y = 2x 為兩圖形的對稱軸﹐即對圖形上每一個坐標(x,y)﹐存在一個方陣 a b c d      ﹐使得 1 5 x a b x y c d y        =  _          ﹐求 a﹐b﹐c﹐d 的值﹒ 解答 a = − 3﹐b = 4﹐c = 4﹐d = 3 解析因為 L 是過原點且與 x 軸正向夾角為的直線﹐其中 tan = 2﹐所以 2 1 4

sin 2 2sin cos 2

5 5 5  =  =   = ﹐ 2 1 2 3 cos 2 2cos 1 2( ) 1 5 5 = − = − = − ﹒ 因此﹐ 3 4 cos 2 sin 2 1 5 5 sin 2 cos 2 4 3 5 5 5 a b c d     ₋      ₌ _{= }     ₋            ﹒ 解得 a = − 3﹐b = 4﹐c = 4﹐d = 3﹒ 14. 將點 P ( − 2 , 1)分別作下列各變換﹐求變換後的點坐標﹕ (1)以原點為中心﹐沿著 x 軸方向伸縮 3 倍﹐沿著 y 軸方向伸縮 2 倍﹒ (2)沿 y 軸推移 x 坐標的1 2倍﹒ 解答 (1)( − 6 , 2);(2)( − 2 , 0) 解析 (1)因為 3 0 2 6 0 2 1 2 − −       =            ﹐所以變換後的點坐標為( − 6 , 2)﹒ (2)因為 1 0 2 2 1 1 0 1 2  _{ −}_{   }₋  _{   }₌  _{    }     ﹐所以變換後的點坐標為( − 2 , 0)﹒ x y O y=2x P(x, y) P'(x', y')

(7)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/29 15. 已知長方形 OABC 的四頂點坐標為 O(0,0)﹐A(1,0)﹐B(1,2)﹐C(0,2)﹒若 k  0﹐且此長方形經方陣 1 0 1 k       推移變換後的圖形為菱形﹐則 k 的值為何﹖ 解答 3 解析設四頂點 O﹐A﹐B﹐C 變換後分別為 O﹐A﹐B﹐C﹒ 因為 1 0 1 1 1 0 k k       =            ﹐所以 A(1,k)﹒同樣的方法﹐可得 O(0,0)﹐B(1,k + 2)﹐C(0,2)﹐ 即 O 與 C 兩點的對應點是自己本身﹒ 因為 OABC為菱形﹐所以_OA =_OC ₁2+_k2 = ₂ _k2=₃_﹒ 又因為 k  0﹐所以k = 3﹒

Sec 4-1

一、多選題 ( )01. 下圖中每個方格的邊長為 1﹒一拋物線的焦點為 F﹐頂點為 V﹐下列哪些點也在此拋物線上﹖ (1)A (2)B (3)C (4)D (5)E﹒ 解答 13 解析由圖可知﹕L 為拋物線的準線﹒ 設 d(P,L)表示點 P 到直線 L 的距離﹒因為 (1)AF = =2 d A L( , )﹒ (2)BF  =3 d B L( , )﹒ (3)CF = 32+42 = =5 d C L( , )﹒ (4)DF  2 d D L( , )﹒ (5)EF = 22+32 = 13 =4 d E L( , )﹒ 因此由拋物線的基本定義可知﹐A﹐C 兩點在拋物線上﹐ 故正確的選項為(1)(3)﹒ A B C D E F V x y O A A' B B' C L A B C D E F V

(8)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/29 二、計算題 02. (1)求焦點為 F(4,1)﹐準線為 L：x = − 2 的拋物線方程式﹒ (2)求頂點為 V(2,1)﹐準線為 L：y = 3 的拋物線方程式﹒ 解答 (1)(y − 1)2_{= 12(x − 1);(2) (x − 2)}2_{= − 8(y − 1)} 解析 (1)如下圖所示﹐頂點 V 為AF的中點﹐可得其坐標為(1,1)﹐ 又由焦點 F(4,1)﹑頂點 V(1,1)﹐可得 c = 4 − 1 = 3﹒ 因為拋物線開口向右﹐所以由拋物線的標準式(y − k)2 = 4c(x − h)﹐ 可得其方程式為(y − 1)2 = 4･3･(x − 1)﹐ 即(y − 1)2 = 12(x − 1)﹒ (2)如下圖所示﹐先計算 V 到 L 的距離為 2﹒ 因為頂點 V 在準線 L 的下方﹐所以拋物線開口向下﹐ 且得 c = − 2﹐焦點 F 為(2, − 1)﹒ 因為拋物線開口向下﹐所以由拋物線的標準式(x − h)2 = 4c(y − k)﹐ 可得其方程式為(x − 2)2 = − 8(y − 1)﹒ 03. 已知 2 2 (x+1) +(y−2) = + 的圖形是一個拋物線﹐求此拋物線的頂點﹑焦點坐標﹐準線與對稱軸的方|y 2 | 程式﹒ 解答頂點( − 1,0)﹐焦點( − 1,2)﹐準線 y = − 2﹐對稱軸 x = − 1 解析 (x+1)2+(y−2)2 = +|y 2 |的意思是﹕ 動點 P(x,y)到定點 F( − 1,2)與到直線 L：y = − 2 的距離相等﹐ 因此其圖形為以( − 1,2)為焦點﹐y = − 2 為準線的拋物線﹐如下圖所示﹒ 由上圖可知﹕此拋物線的頂點為( − 1,0)﹐焦點為( − 1,2)﹐ 準線為 y = − 2﹐對稱軸為 x = − 1﹒ V(1,1) x y O A( 2,1) F(4,1) L: x= 2 x y O V(2,1) F(2, 1) L: y=3 x y O F( 1,2) ( 1,0) x= 1 L: y= 2

(9)

04. (1)求拋物線(y − 2)2

= 8(x + 1)的焦點坐標與準線方程式﹒

(2)求拋物線 x2 + 2x + 4y − 7 = 0 的頂點坐標與準線方程式﹒

解答 (1)焦點 F 的坐標 = (1,2)﹐準線 L﹕x = − 3;(2)頂點為( − 1,2)﹐準線 L﹕y = 3

解析 (1)將方程式(y − 2)2_{= 8(x + 1)依標準式(y − k)}2_{= 4c(x − h)改寫成(y − 2)}2_{= 4  2  (x + 1)﹐}

得拋物線的頂點為( − 1,2)﹐c = 2﹐且其開口向右﹒焦點 F 的坐標(h + c,k) = (1,2)﹐準線 L﹕x = h − c﹐即 x = − 3﹒ (2)將 x2 + 2x + 4y − 7 = 0 配方可得 (x + 1)2 = − 4y + 8﹐ (x + 1)2 = − 4(y − 2)﹐ (x + 1)2 = 4  ( − 1)  (y − 2)﹐ 並得拋物線的頂點為( − 1,2)﹐c = − 1﹐準線 L﹕y = k − c﹐即 y = 3﹒ 05. 求通過點 A(3,0)﹐且與直線 L：x = − 3 相切之所有圓的圓心所成圖形的方程式﹒ 解答 y2_{= 12x} 解析假設過點 A﹐且與直線 L 相切之圓的圓心為 P﹐半徑為 r﹒ 因為所求的圓與直線 L 相切﹐所以 d(P,L) = r﹒ 又因為所求的圓通過點 A﹐所以PA=r﹒ 由 d(P,L) =PA=r﹐得點 P 在以 A 為焦點﹐直線L為準線的拋物線上﹒ 且此拋物線的中心為(0,0)﹐焦距為 3﹒ 故由拋物線的標準式﹐得其方程式為 y2 = 4･3x﹐即 y2 = 12x﹒ L:x = 3 x y V ( 1,2) O F(1,2) x y O V ( 1,2) F ( 1,1) L:y =3 x y O P A L

(10)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/29 06. (1)求軸與 y 軸平行﹐且通過(0, − 2)﹐(1,0)﹐(2,0)三點的拋物線方程式及其焦點坐標﹒ (2)求軸與 x 軸平行﹐且通過(2,0)﹐(3,1)﹐(9, − 1)三點的拋物線方程式及其焦點坐標﹒ 解答 (1)拋物線方程式為 y = − x2 + 3x − 2﹐焦點為( , 0)3 2 ;(2)拋物線方程式為 x = 4y 2 − 3y + 2 ﹐焦點為( , )3 3 2 8 解析 (1)因為拋物線的軸與 y 軸平行﹐所以假設此拋物線方程式為 y = Ax2_{+ Bx + C﹒} 將(0, − 2)﹐(1,0)﹐(2,0)三點坐標代入 y = Ax2 + Bx + C﹐得 2 0 0 4 2 C A B C A B C − =   = + +   = + +  解得 A = − 1﹐B = 3﹐C = − 2﹐即拋物線方程式為 y = − x2 + 3x − 2﹒ 將 y = − x2 + 3x − 2 配方得4 ( 1)( 1) ( 3)2 4 y 4 x 2  − − = − ﹐ 可得拋物線的頂點為( , )3 1 2 4 ﹐ 1 4 c = − ﹐開口向下﹐焦點為( , 0)3 2 ﹒ (2)因為拋物線的軸與 x 軸平行﹐所以假設此拋物線方程式為 x = Ay2 + By + C﹒ 將(2,0)﹐(3,1)﹐(9, − 1)三點坐標代入 x = Ay2 + By + C﹐得 2 3 9 C A B C A B C =   = + +   = − +  解得 A = 4﹐B = − 3﹐C = 2﹐即拋物線方程式為 x = 4y2 − 3y + 2﹒ 將 x = 4y2 − 3y + 2 配方得4 1 ( 23) ( 3)2 16 x 16 y 8  − = − ﹐ 可得拋物線的頂點為(23 3, ) 16 8 ﹐ 1 16 c = ﹐開口向右﹐焦點為( , )3 3 2 8 ﹒ 07. 求拋物線 y = x2_{上與直線 y = x − 1 距離最短之點的坐標﹒} 解答 (1 1, 2 4) 解析設拋物線 y = x2_{上的點坐標為(t,t}2_)﹒ 利用點到直線的距離公式﹐得點(t,t2 )到直線 y = x − 1 的距離為 2 2 2 | ( 1) 3| 3 | 1| | 1| ₂ ₄ ₄ 3 2 8 2 2 2 2 t t− −t ₌ t − +t ₌ − + _ ₌ ﹒ 當 t =1 2時﹐ 2 | 1| 2 t− −t 有最小值3 2 8 ﹐此時該點的坐標為( 1 1 , 2 4)﹒

(11)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/29 08. 求下列各拋物線的方程式﹕ (1)焦點 F (0 , − 3)﹐頂點 V (0 , 0)﹒ (2)頂點 V (1 , 1)﹐準線 L﹕x = 4﹒ 解答 (1)x2_{= − 12y;(2)(y − 1)}2_{= − 12(x − 1)} 解析 (1)因為焦點 F 在頂點 V 的下方﹐所以拋物線開口向下﹐且 c = − 3﹐如圖所示﹒ 由拋物線的標準式 x2 = 4cy 可得其方程式為 x2 = − 12y﹒ (2)因為頂點 V 在準線 L 的左方﹐所以拋物線開口向左﹐c = − 3﹐如圖所示﹒ 因為拋物線開口向左﹐ 所以由標準式(y − k)2 = 4c(x − h)可得其方程式為(y − 1)2 = − 12(x − 1)﹒ 09. 設 AB 是拋物線的焦弦﹐F 為焦點﹐V 為頂點﹐如圖所示﹒已知AF =4﹐BF = ﹐求VF 的長﹒ 2 解答 4 3 解析設拋物線的準線為 L﹐依題意及拋物線的定義繪出下圖﹐ 並可知﹕BQ=RT =PS =BF=2﹐AP=AF=4﹐則AS=AP−PS = − =4 2 2﹒ 因為AS//FT﹐所以 2 2 2 (4 2) 3 FT =  = + ﹐即 2 8 2 3 3 RF =RT+FT= + = ﹒ 再由拋物線的定義可得 1 1 8 4 2 2 3 3 VF = RF=  = ﹒ x y F(0, 3) V(0,0) V (1,1) O x y _{L: x = 4} V A F B T V R Q P S A F B L 4 2 2 2 2

(12)

10. 下圖為拋物線：x2

= 4y 的圖形﹐正方形 ABCD 在 的上方﹐且其頂點 A﹐B 在拋物線上﹐另二頂點 C

﹐D 在直線 y = 5 上﹒求正方形 ABCD 的面積﹒

解答 16

解析依題意設點 A(x,y)其中 x  0﹐y  0﹐則 B 為( − x,y)﹐D 為(x,5)﹒

因為 ABCD 是正方形﹐所以5− =y AD=AB=2x﹐即 2x = 5 − y﹐又因為 A 點在拋物線 x2 = 4y 上﹐所以 x2 = 4y﹒ 解聯立方程組 2₂ 5 4 x y x y = −   =  ﹐得 x = 2﹐y = 1﹐ 故正方形 ABCD 的面積為(2x)2 = 16﹒ 11. 求與圓 C：(x + 4)2 + y2 = 4 內切﹐且與直線 L：x − 2 = 0 相切之所有圓的圓心所成圖形的方程式﹒ 解答 y2_{= − 8(x + 2)} 解析由圓的標準式﹐得圓 C 的圓心 M 為( − 4,0)﹐半徑為 2﹒ 假設與圓 C 內切﹐且與直線 L 相切之圓的圓心為 P﹐半徑為 r﹒ 因為所求的圓與圓 C 內切﹐所以PM = −r 2﹒ 又因為所求的圓與直線 L 相切﹐所以 d(P,L) = r﹒ 令直線 L：x = 0（即 y 軸）﹒ 因為 d(P,L) = r − 2﹐所以PM=d P L

(

,

)

﹐ 即點 P 在以 M 為焦點﹐直線 L為準線的拋物線上﹒ 且拋物線的頂點為( − 2,0)﹐焦距為 2﹒ 故由拋物線的標準式﹐得其方程式為 y2 = 4･( − 2)･(x − ( − 2))﹐即 y2 = − 8(x + 2)﹒ x y O A B C D _y=5 x2=4y x y O M P L' L C

(13)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/29 12. 求兩拋物線 y2 + 2y + x − 1 = 0 與− y2 + y + 2x − 2 = 0 的交點坐標﹒ 解答 (1,0)或(2, − 1) 解析將兩方程式聯立為 2 2 2 1 0 2 2 0 y y x y y x  + + − =   − + + − =  ﹐ 並將兩式相加得3y+3x− =3 0﹐即y= −1 x﹒ 將 x = 1 − y 代入 y2 + 2y + x − 1 = 0﹐ 整理得 y2 + y = 0﹐解得 y = 0 或 y = − 1﹐ 並得兩拋物線的交點為(1,0)或(2, − 1)﹒ 13. 求頂點為原點﹐對稱軸在 y 軸上﹐且通過點(2,2)的拋物線方程式﹒ 解答 x2_{= 2y} 解析如下圖所示﹒因為拋物線的頂點為原點﹐對稱軸在 y 軸上﹐所以其方程式為 x2_{= 4cy 的形式﹒將} 點(2,2)代入 x2 = 4cy﹐解得 1 2 c = ﹐ 因此拋物線的方程式為 x2 = 2y﹒ 14. 求拋物線 x2 + 4x + 4y + 8 = 0 的頂點坐標與準線方程式﹒ 解答頂點( − 2, − 1)﹐準線 y = 0 解析將 x2_{+ 4x + 4y + 8 = 0 配方可得} (x + 2)2 = − 4y − 4﹐(x + 2)2 = − 4(y + 1)﹐(x + 2)2 = 4･( − 1)･(y + 1)﹐ 並得拋物線的頂點為( − 2, − 1)﹐c = − 1﹐準線 L：y = k − c﹐即 y = 0（x 軸）﹒ x O y F 0,1 2 L: y= 1 2 x y O F( 2, 2) V( 2, 1) L: y=0

(14)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/29 15. 下圖是一個拋物線造型的拱門﹒已知此拋物線以通過最高點的鉛直線為對稱軸﹐因為沒有梯子﹐現在以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺﹐且距底部3 2公尺高處其寬為 5 公尺﹐求此拱門的高度﹒ 解答 54 11公尺 解析設拋物線的頂點為(0,k)﹐開口向下﹐其方程式為(x − 0)2_{= 4c(y − k)﹒} 由題意可知﹕拋物線的圖形通過點(3,0)﹐( − 3,0)與( , )5 3 2 2 ﹐如下圖所示﹒ 將(3,0)與( , )5 3 2 2 代入(x − 0) 2 = 4c(y − k)﹐得 9 4 25 3 4 ( ) 4 2 ck c k = −    ₌ ₋  ﹐ 將兩式相除﹐得36 3 25 2 k k − = − ﹐解得 54 11 k = ﹐故拱門的高度為54 11公尺﹒ x y O (0,k) (3,0) ( 3,0) , 5 2 3 2

(15)

Sec4-2

一、單選題 ( )01. 下圖中哪一個橢圓是以 F1﹐F2為焦點的橢圓﹖ (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4﹒ 解答 3 解析由圖可知﹕橢圓長軸之半為 5 個單位長﹐兩焦點距離之半為 3 個單位長﹐因此短軸長之半為 2 2 5 −3 = 16=4個單位長﹐故由圖可知正確的選項為(3)﹒ 二、多選題 ( )02. 下圖是以 F1﹐F2為圓心的兩組同心圓﹐各組 4 個同心圓的半徑分別為 1﹐2﹐3﹐4﹐且F F =1 2 4﹒現有一橢圓 以 F1﹐F2為焦點﹐且通過 P 點﹐選出正確的選項﹕ (1) 通過 A 點 (2)  通過 B 點 (3) 通過 C 點 (4) 的長軸長為 5 (5) 的正焦弦長為3 2﹒ 解答 134 解析根據橢圓的定義得知﹐橢圓上任一點到兩焦點的距離和為定值 2a﹒ 因為 P 為橢圓上一點﹐且PF1+PF2 =5﹐所以 2a = 5﹒ (1)因為AF1+AF2= + =3 2 5﹐所以通過 A 點﹒ (2)因為BF1+BF2 = + =3 4 7﹐所以不通過 B 點﹒ (3)因為CF1+CF2 = + =1 4 5﹐所以通過 C 點﹒ (4)的長軸長為2a =5﹒ (5)因為2c=F F1 2=4﹐所以 c = 2﹒ 由 a 2 = b2 + c2可得 2 2 3 2 b= a −c = ﹒ 故正焦弦長 2 2 3 2 2 2 9 5 5 2 b a       = = ﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)(4)﹒ 1 2 3 4 F1 F2 A P C B F2 F1

(16)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/29 ( )03. 已知 2 2 2 2 (x−4) +y + (x−4) +(y+6) =10的圖形是一個橢圓﹐關於此橢圓﹐選出正確的選項﹕ (1)中心為(4, − 3) (2)(4,0)為其焦點 (3)短軸長為 8 (4)長軸在 y = − 3 上﹒ 解答 123 解析 (x−4)2+y2 + (x−4)2+(y+6)2 =10的意思是﹕ 動點 P(x,y)到兩定點 F1(4,0)與 F2(4, − 6)的距離和為 10﹐ 因此其圖形為以 F1與 F2為焦點的橢圓﹐且長軸長為 10﹒ 因為中心為F F1 2 的中點﹐所以中心為(4, − 3)﹐2c = 6﹐2a = 10﹐得 a = 5﹐c = 3﹐ 並由 a2 = b2 + c2可得 b = 4﹐即 2b = 8﹒ 由上面的討論可得﹕ 中心為(4, − 3)﹐焦點為(4,0)與(4, − 6)﹐短軸長為 8﹐長軸在直線 x = 4 上﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)﹒ ( )04. 關於橢圓 2 2 1 4 9 x y + = ﹐選出正確的選項﹕ (1)長軸長為 9 (2)短軸長為 4 (3)焦點到中心的距離為 5 (4)若點(x0,y0)在橢圓上﹐則點( − x0, − y0)也在橢圓上﹒ 解答 24 解析將 2 2 1 4 9 x y + = 改寫成 2 2 2 2 1 2 3 x y + = ﹐ 可知此橢圓的中心為(0,0)﹐長軸在 y 軸上﹒ 又由方程式可知﹕a = 3﹐b = 2﹐並由 a2 = b2 + c2﹐ 解得c = 5﹐其圖形如下圖所示﹒由圖可知﹕ (1)橢圓的長軸長為 6﹒ (2)短軸長為 4﹒ (3)焦點到中心的距離為 5﹒ (4)當點(x0,y0)在橢圓上時﹐ 2 2 0 0 ₁ 4 9 x ₊ y ₌ ﹐即 2 2 0 0 ( ) ( ) 1 4 9 x y − − + = ﹐ 因此點( − x0, − y0)也在橢圓上﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)(4)﹒ x O y ( 2,0) (2,0) (0,3) (0, 3) 0, 5 0, 5

(17)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/29 三、計算題 05. 下圖中﹐圓 C 的圓心為原點 O﹐半徑為 10﹐F 的坐標為(6,0)﹐Q 在圓 C 上﹐且 P 為 FQ 之中垂線與 OQ 的交點﹒問﹕當點 Q 在圓 C 上移動時﹐動點 P 的軌跡方程式為何﹖ 解答 2 ( 3) 25 x − 2 1 16 y + = 解析因為 P 在FQ的中垂線上﹐所以PQ=PF﹐故PO+PF =OQ=10﹐ 即 P 點在以 O﹐F 為焦點的橢圓上﹐且長軸長 2a 為 10﹐故 a = 5﹒ 因為OF的中點(3,0)為橢圓的中心﹐兩焦點距離為 6﹐所以 c = 3﹐ 並由 a2 = b2 + c2推得 b = 4﹒ 由橢圓方程式 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b − − + = 可得動點 P 的軌跡方程式 2 ( 3) 25 x − 2 1 16 y + = ﹒ 06. 在坐標平面上﹐已知到直線 x = − 1 之距離是到點 F(1,0)之距離的兩倍之所有點所形成之圖形是一個橢圓 ﹐其中 F(1,0)為此橢圓的一個焦點﹐求另一個焦點的坐標﹒ 解答 ( , 0)7 3 解析假設點 P(x,y)滿足到直線 x = − 1 之距離是到點 F(1,0)之距離的兩倍﹐ 則點 P 到直線 x = − 1 的距離為|x + 1|﹐點 P 到點 F 的距離為 2 2 (x−1) +(y−0) ﹒ 由題意可列得﹕ 2 2 1 2 ( 1) ( 0) x+ = x− + y− ﹒將此式兩邊平方﹐得 (x + 1)2 = 4(x − 1)2 + 4y2﹐整理得 3x2 − 10x + 4y2 + 3 = 0﹐ 分別對 x﹐y 配方﹐得 5 2 2 16 3( ) 4 3 3 x− + y = ﹐即 2 2 5 ( ) 3 ₁ 16 4 9 3 x y − + = ﹒ 由橢圓的標準式﹐得知橢圓為左右型﹐其中心為( , 0)5 3 ﹐ 4 3 a = ﹐ 2 3 b = ﹒ 由 a2 = b2 + c2得知 2 2 16 4 2 9 3 3 c= a −b = − = ﹒故兩焦點的坐標為(5 2, 0) (1, 0) 33 = 或 7 ( , 0) 3 ﹒

(18)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/29 07. 已知橢圓 的長軸長為 10﹐且與橢圓 2 2 1 3 10 x y + = 有相同的焦點﹒求 (1) 的焦點坐標﹒ (2) 的方程式﹒ 解答 (1)(0, 7 )與(0,− 7);(2) 2 2 1 18 25 x y + = 解析 (1)由方程式 2 2 1 3 10 x y + = 可知﹕橢圓的中心(0,0)﹐長軸在 y 軸上﹐ 且_c= _a2−_b2 = _{10 3}− = ₇_{﹐因此其焦點為}_{(0, 7 )}_與_(0,− ₇₎_﹒ 因為 和橢圓 2 2 1 3 10 x y + = 有相同的焦點﹐所以其焦點坐標為(0, 7 )與(0,− 7)﹒ (2)因為 的中心為(0,0)﹐長軸在 y 軸上﹐所以其方程式為 2 2 2 2 1 x y b +a = 的形式﹒ 由長軸長 2a = 10﹐可得 a = 5﹐又c = 7﹐代入 a2 = b2 + c2﹐解得b = 18﹒ 將 a = 5﹐b = 18代入 2 2 2 2 1 x y b +a = ﹐得 的方程式為 2 2 1 18 25 x y + = ﹒ 08. 求橢圓 4x2 + 9y2 − 16x − 18y − 11 = 0 的頂點與焦點坐標﹒ 解答頂點為(5,1)﹐( − 1,1)﹐(2,3)與(2, − 1)﹐焦點為(2 + 5,1)與(2 − 5,1) 解析將 4x2_{+ 9y}2_{− 16x − 18y − 11 = 0 配方得 4(x − 2)}2_{+ 9(y − 1)}2_{= 36﹐再將等號的兩邊同除以 36﹐改寫} 成 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 3 2 x− y− + = ﹒ 因為 3  2﹐所以 a = 3﹐b = 2﹐再由 a2_{= b}2_{+ c}2_﹐求得_{c =} ₅_﹒ 由方程式知道﹕橢圓的中心為(2,1)﹐長軸與 x 軸平行﹐因此橢圓的 4 個頂點分別為(5,1)﹐( − 1,1)﹐(2,3)與(2, − 1)﹐且焦點為(2 + 5,1)與(2 − 5,1)﹒ ( 1,1) _(2,1) (5,1) (2,3) (2, 1)

(19)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/29 09. 火星繞太陽的軌道是以太陽為焦點的橢圓﹐而且火星軌道上之近日點與遠日點和太陽的距離比是 5：6﹒ 求橢圓軌道之長軸與短軸的長度比﹒ 解答 11： 120 解析設長軸長為 2a﹐短軸長為 2b﹐兩焦點的距離為 2c﹒由下圖可知﹕近日點到太陽的距離為 a − c﹐ 遠日點到太陽的距離為 a + c﹒因此 5 6 a c a c − ₌ + ﹐解得 a = 11c﹒ 由 a2 = b2 + c2﹐得 b2 = a2 − c2﹐b2 = (11c)2 − c2 = 120c2﹐即b= 120c﹒ 故長軸與短軸的長度比為 2a：2b = 22c：2 120c= 11： 120﹒ 10. 求兩頂點為 A (3,5) 與 B (3, 1)− ﹐一焦點為F1

( )

3,0 的橢圓方程式﹒ 解答 2 ( 3) 5 x − ₊

(

2

)

2 1 9 y − = 解析因為橢圓的兩頂點為 A(3,5)與 B(3, − 1)﹐ 所以其中心為(3,2)﹐且長軸平行 y 軸﹐ 即橢圓的方程式為 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k b a − ₊ − ₌ 的形式﹒ 由 a = 5 − 2 = 3﹐c = 2 − 0 = 2 及 a2_{= b}2_{+ c}2_﹐解得_{b =} ₅_﹒ 將 a = 3﹐b = 5及中心(3,2)代入 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k b a − ₊ − ₌ ﹐ 得橢圓的方程式為 2 ( 3) 5 x − ₊ ( 2)2 1 9 y − ₌ ﹒ 太陽近日點遠日點火星 a c a+c c a x y O A(3,5) B(3, 1) (3,2) F1(3,0)

(20)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P20/29 11. 坐標平面上兩點 B(4,1)﹐C( − 2,1)﹐已知所有滿足△ABC 的周長為 20 的 A 點均落在橢圓 上﹐求橢圓  的長軸長﹒ 解答 14 解析利用兩點間距離公式得知﹕BC = (4− −( 2))2+ −(1 1)2 =6﹒ 由題意知△ABC 的周長為 20﹐即 6 20 AB+BC+CA=AB+ +CA= ﹐得AB+CA=14﹒ 因此﹐B﹐C 兩點為橢圓的兩焦點﹐且 2a = 14﹒ 故長軸長為 2a = 14﹒ 12. 下圖中﹐橢圓的兩焦點為 O(0,0)與 F(4,0)﹐P 為橢圓上一點﹒若△POF 是一個正三角形﹐則橢圓的方程式 為何﹖ 解答 2 ( 2) 16 x − 2 1 12 y + = 解析因為OF=2c=4﹐所以 c = 2﹐又因為△POF 是一個正三角形﹐ 所以PO+PF=8﹐可得 2a = 8﹐a = 4﹒ 由 a2_{= b}2_{+ c}2_﹐可得_{b =}_{2 3}_﹒ 因為橢圓的中心為OF的中點﹐所以中心為(2,0)﹐因此橢圓的方程式為 2 2 2 2 ( 2) ( 0) 1 4 (2 3) x− ₊ y− ₌ ﹐即 2 ( 2) 16 x − 2 1 12 y + = ﹒ 13. 已知橢圓 的長軸長是兩焦點距離的 2 倍﹐且正焦弦長為 6﹐求  的長軸長﹒ 解答 8 解析設的長軸長為 2a﹐短軸長為 2b﹐兩焦點距離為 2c﹒ 由題意可知 a = 2c  c2₌ 2 4 a ﹐ 2 2 2 6 3 b b a a =  = ﹒ 將上面兩式代入 a2_{= b}2_{+ c}2_{﹐得 a}2_{= 3a +} 2 4 a ﹐整理得 3a2_{= 12a﹐解得 a = 4﹒} 故的長軸長為 8﹒ x y O F P

(21)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P21/29 14. 求兩頂點為 A(2,3)與 B(2, − 7)﹐一焦點為 F1(2, − 6)的橢圓方程式﹒ 解答 2 ( 2) 9 x − ₍ ₂₎2 25 y + + = 1 解析因為橢圓的兩頂點為 A(2,3)與 B(2, − 7)﹐所以其中心為(2, − 2)﹐且長軸平行 y 軸﹐ 即橢圓的方程式為 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k b a − − + = 的形式﹒ 由 a = 3 − ( − 2) = 5﹐c = ( − 2) − ( − 6) = 4 及 a2 = b2 + c2﹐解得 b = 3﹒ 將 a = 5﹐b = 3 及中心(2, − 2)代入 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k b a − − + = ﹐得橢圓的方程式為 2 ( 2) 9 x − ₍ ₂₎2 25 y + + = 1﹒ 15. 求兩焦點為 F1(3,1)與 F2( − 1,1)﹐長軸長為2 5 的橢圓方程式﹒ 解答 2 ( 1) 5 x − ₍ ₁₎2 1 y − + = 1 解析因為橢圓的兩焦點為 F1(3,1)與 F2( − 1,1)﹐所以其中心為(1,1)﹐且長軸平行 x 軸﹐即橢圓的方程式為 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b − − + = 的形式﹒ 由2a =2 5﹐2c=F F₁ ₂=4及 a2 = b2 + c2﹐解得a = 5﹐c = 2﹐b = 1﹒ 將a = 5﹐b = 1 及中心(1,1)代入 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b − − + = ﹐得橢圓的方程式為 2 ( 1) 5 x − ₍ ₁₎2 1 y − + = 1﹒ x y O A(2,3) B(2, 7) F (2, 6) (2, 2) 1 x y 1 ₅ (1,1) O

(22)

Sec4-3

一、多選題 ( )01. 已知等軸雙曲線 的一條漸近線為 x − y = 0﹐中心的坐標為(1,1)﹐且 通過點(3,0)﹒試問下列敘述哪些是正確的﹖ (1) 的二條漸近線互相垂直 (2)x + y = 0 為 的另一條漸近線 (3) 的貫軸 在直線 y = 1 上 (4)點 (1, 3 1)− 為 的一個頂點 (5)點 (1, 6 1)− 為 的一個焦點﹒ 解答 13 解析 (1)因為為等軸雙曲線﹐所以兩漸近線互相垂直﹒ (2)設另一漸近線為 x + y = k﹒ 因為漸近線通過中心(1,1)﹐所以將其代入 x + y = k﹐ 得到 k = 2﹐即另一漸近線為 x + y = 2﹒ (3)因為的兩漸近線為 x − y = 0﹐x + y = 2﹐ 所以可設的方程式為(x − y)(x + y − 2) = t﹐其中 t 為一非 0 的實數﹒ 由題意知(3,0)為上一點﹐所以代入(x − y)(x + y − 2) = t﹐得 t = 3﹐ 即的方程式為(x − y)(x + y − 2) = 3﹐化成標準式為 2 2 ( 1) ( 1) 1 3 3 x− ₋ y− ₌ ﹒ 因為是左右型且中心(1,1)在貫軸上﹐所以貫軸在直線 y = 1 上﹒ (4)由的方程式 2 2 ( 1) ( 1) 1 3 3 x− ₋ y− ₌ ﹐得a = 3﹐並得頂點的坐標為(1 3,1)﹒ (5)由 c2 = a2 + b2﹐可得c = 6﹐因此焦點坐標為(1 6,1)﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)﹒ ( )02. 已知雙曲線的兩漸近線分別為 x − y = 0﹐x + y = 0﹐且通過點(2,3)﹒ 關於此雙曲線﹐選出正確的選項﹕ (1)中心為(0,0) (2)焦點在 x 軸上 (3)貫軸與共軛軸等長 (4)若 P(a,b)為雙曲線上一點﹐則 a  b (5)雙曲線和直線 x − y = 1 恰有一個交點﹒ 解答 1345 解析 (1)兩漸近線的交點即為中心﹐故中心為(0,0)﹒ (2)因為通過點(2,3)﹐所以由圖可知﹕雙曲線為上下開口﹐焦點在 y 軸上﹒ (3)因為漸近線的斜率分別為 1 與 − 1﹐所以 a = b﹐即貫軸與共軛軸等長﹒ (4)因為雙曲線與漸近線 x − y = 0 沒有交點﹐ 所以若 P(a,b)為雙曲線上一點﹐則 a  b﹒ (5)因為直線 x − y = 1 和漸近線 x − y = 0 平行﹐ 所以雙曲線和直線 x − y = 1 恰有一個交點﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)(4)(5)﹒ x y x y=0 (2,3) x+y=0 O

(23)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P23/29 ( )03. 關於雙曲線(2x − y − 5)(2x + y − 7) = 16﹐選出正確的選項﹕ (1)中心為(3 , 1) (2)貫軸所在的直線為 x = 3 (3)共軛軸所在的直線為 y = 1 (4)直線 2x − y = 5 為雙曲線的一條漸近線 (5)雙曲線上任 一點到兩漸近線的距離乘積為4 5﹒ 解答 14 解析將(2x − y − 5)(2x + y − 7) = 16 整理得 2 2 ( 3) ( 1) 1 4 16 x− ₋ y− ₌ ﹐ (1)可得中心為(3 , 1)﹐a = 2﹐b = 4﹒ (2)貫軸所在的直線為 y = 1﹒ (3)共軛軸所在的直線為 x = 3﹒ (4)兩漸近線分別為 1 4( 3) 2 y− = x− 與 1 4( 3) 2 y− = − x− ﹐整理得 2x − y = 5 與 2x + y = 7﹒ (5)雙曲線上任一點(x0 , y0)到兩漸近線的距離乘積為 0 0 0 0 2 2 2 2 | 2 5 || 2 7 | 16 5 2 ( 1) 2 1 x −y − x +y − ₌ + − + ﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(4)﹒ 二、計算題 04. 求雙曲線 4x2 − y2 − 8x − 2y − 1 = 0 的頂點﹑焦點坐標與漸近線方程式﹒ 解答頂點為(2, − 1)與(0, − 1)﹐焦點為(1+ 5, 1)− 與(1− 5, 1)− ﹐漸近線為 2x − y − 3 = 0 與 2x + y − 1 = 0 解析將 4x2_{− y}2_{− 8x − 2y − 1 = 0 配方得 4(x − 1)}2_{− (y + 1)}2_{= 4﹐再將等號的兩邊同除以 4﹐改寫成} 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 x− y+ − = ﹒ 得 a = 1﹐b = 2﹒再由 c2_{= a}2_{+ b}2_﹐可得_{c =} ₅_﹒ 由方程式知道﹕雙曲線的中心在(1, − 1)﹐貫軸平行 x 軸﹐因此雙曲線的頂點為(2, − 1)與(0, − 1)﹐焦點為 (1+ 5, 1)− 與(1− 5, 1)− ﹐漸近線為 2x − y − 3 = 0 與 2x + y − 1 = 0﹒ x y O (0, 1) (2, 1) 2x y 3= 0 2x +y 1= 0

(24)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P24/29 05. (1)求頂點為 A(2,0)與 B( − 2,0)﹐焦點為 F1(3,0)與 F2( − 3,0)的雙曲線方程式﹒ (2)求頂點為 A(0,4)與 B(0, − 4)﹐共軛軸長為 8 的雙曲線方程式﹒ 解答 (1) 2 2 1 4 5 x y − = ;(2) 2 2 1 16 16 y x − = 解析 (1)由下圖可知﹕雙曲線的中心為(0,0)﹐ 貫軸在 x 軸上﹐因此其標準式為 2 2 2 2 1 x y a −b = 的形式﹒ 因為 a = 2﹐c = 3﹐所以由 c2_{= a}2_{+ b}2_可得_b= _c2−_a2 = ₅_﹒ 將 a = 2﹐b = 5代入 2 2 2 2 1 x y a −b = ﹐得雙曲線的方程式為 2 2 1 4 5 x y − = ﹒ (2)如下圖可知﹕雙曲線的中心為(0,0)﹐ 貫軸在 y 軸上﹐因此其標準式為 2 2 2 2 1 y x a −b = 的形式﹒ 因為 a = 4﹐2b = 8﹐即 b = 4﹐ 所以將 a = 4﹐b = 4 代入 2 2 2 2 1 y x a −b = ﹐得雙曲線的方程式為 2 2 1 16 16 y x − = ﹒ 06. 求兩焦點為( − 1,1)與(9,1)﹐一漸近線的斜率為 4 3 − 的雙曲線方程式﹒ 解答 2 ( 4) 9 x − ₋ ( 1)2 1 16 y − ₌ 解析因為兩焦點在貫軸上﹐所以由兩焦點的坐標可得貫軸所在直線的方程式為 y = 1﹐ 平行 x 軸﹐且雙曲線為左右型﹒ 因為雙曲線為左右型﹐所以兩漸近線的斜率為 b a  ﹒ 又由題意知一漸近線的斜率為 4 3 − ﹐得到 4 3 b a − = − ﹐即 4 3 b= a﹒ 因為兩焦點間的距離為 2c = 9 − ( − 1) = 10﹐解得 c = 5﹐ 所以由 c2 = a2 + b2﹐得 2 2 4 2 5 ( ) 3 a a = + ﹐解得 a = 3﹐ 4 3 4 3 b =  = ﹒ 又雙曲線的中心為兩焦點的中點﹐即為( 1 9 1 1, ) (4,1) 2 2 − + + ₌ ﹒ 故雙曲線的方程式為 2 2 ( 4) ( 1) 1 9 16 x− ₋ y− ₌ ﹒ x y O B( 2,0) A(2,0) F2( 3,0) F1(3,0) x y O A(0,4) B(0, 4)

(25)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P25/29 07. 求以橢圓 2 2 : 1 9 4 x y  + = 的焦點為頂點﹐且以 的頂點為焦點的雙曲線方程式﹒ 解答 2 2 1 5 4 x ₋ y ₌ 解析因為雙曲線以橢圓 2 2 : 1 9 4 x y  + = 的焦點為頂點﹐以的頂點為焦點﹐ 所以雙曲線的形式和中心都與橢圓相同﹒ 由橢圓方程式 2 2 1 9 4 x ₊ y ₌ 得知﹕橢圓為左右型﹐中心為(0,0)﹐ 且 a = 3﹐b = 2﹐ 2 2 5 c= a −b = ﹒ 因此﹐雙曲線的a = =c 5﹐c = a = 3﹐ 並由 c2 = a2 + b2﹐得 2 2 2 3 =( 5) +b ﹐解得 b = 2﹒ 故雙曲線的方程式為 2 2 1 5 4 x ₋ y ₌ ﹒ 08. 求與 2 2 1 25 16 x y − = 有相同的漸近線﹐且通過點(5,8)的雙曲線方程式﹒ 解答 2 2 1 48 75 y x − = 解析將雙曲線方程式改寫成 2 2 2 2 1 5 4 x y − = ﹐可得其漸近線方程式為 4x − 5y = 0﹐4x + 5y = 0﹒ 因為雙曲線與 2 2 2 2 1 5 4 x y − = 有相同的漸近線﹐且通過點(5,8)﹐如下圖所示﹐所以其貫軸在 y 軸上﹐可設其方程 式為 2 2 2 2 1 y x a −b = ﹐且其漸近線方程式為 by − ax = 0 與 by + ax = 0﹒ 因為 by − ax = 0 與 4x − 5y = 0 表示相同的直線﹐所以比較係數可設 b = 5k﹐a = 4k﹐即雙曲線的方程式為 2 2 2 2 1 (4 ) (5 ) y x k − k = ﹒ 將(5,8)代入方程式解得 k2 = 3﹐故雙曲線的方程式為 2 2 1 48 75 y x − = ﹒ (5,8) A(5,0) B( 5,0) 4x 5y=0 4x+5y=0 x y O

(26)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P26/29 09. 已知雙曲線 的兩條漸近線分別為 x − y = 2 與 x + y = 0﹐且通過點(3,0)﹐求 (1) 的方程式﹒ (2) 的共軛雙曲線﹒ 解答 (1) 2 ( 1) 3 x − ₋ ( 1)2 1 3 y + ₌ ;(2) 2 ( 1) 3 y + ₋ ( 1)2 1 3 x − ₌ 解析 (1)因為之兩條漸近線的斜率分別為 1 與− 1﹐所以為等軸雙曲線﹐ 又其中心為兩漸近線 x − y = 2 與 x + y = 0 的交點(1, − 1)﹐ 並可畫出漸近線與點(3,0)的位置如下圖﹒ 由上圖可知雙曲線為左右型﹐其方程式為 2 2 (x 1) a − ₋ 2 2 ( 1) 1 y a + ₌ ﹒ 將(3,0)代入﹐解得 a2 = 3﹐故的方程式為 2 2 ( 1) ( 1) 1 3 3 x− ₋ y+ ₌ ﹒ (2)由的方程式 2 2 ( 1) ( 1) 1 3 3 x− ₋ y+ ₌ ﹐ 可得其共軛雙曲線的方程式為 2 2 ( 1) ( 1) 1 3 3 y+ ₋ x− ₌ ﹒ 10. 下圖是一個以 F1﹐F2為焦點的雙曲線﹐A﹐B 為雙曲線上的點﹒若AF = ﹐₁ 5 AF₂+BF₂=12﹐則BF 的長₁ 為何﹖ 解答 7 解析由雙曲線的定義可知﹕AF₂−AF₁=BF₁−BF₂﹐ 即AF₂+BF₂=AF₁+BF₁﹐因此12= +5 BF₁﹐解得BF =₁ 7﹒ x y O (3,0) (1, 1) x+y=0 x y =2 F2 F₁ A B

(27)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P27/29 11. 求兩頂點為 A(1, − 3)與 B(1,5)﹐一焦點為 F(1,6)的雙曲線方程式﹒ 解答 2 ( 1) 16 y − ₋ ( 1)2 1 9 x − ₌ 解析因為雙曲線的兩頂點為 A(1, − 3)與 B(1,5)﹐ 所以其中心為(1,1)﹐且貫軸平行 y 軸﹐ 即雙曲線的方程式為 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b − ₋ − ₌ 的形式﹒ 由 a = 5 − 1 = 4﹐c = 6 − 1 = 5 及 c2 = a2 + b2﹐可得 b = 3﹒ 將 a = 4﹐b = 3 及中心(1,1)代入 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b − ₋ − ₌ ﹐ 得雙曲線的方程式為 2 2 ( 1) ( 1) 1 16 9 y− ₋ x− ₌ ﹒ 12. (1)求頂點為(1,1)﹐(1,9)﹐焦點為(1,0)﹐(1,10)的雙曲線方程式﹒ (2)求一焦點為(3,8)﹐共軛軸在 y = 3 上﹐共軛軸長為 8 的雙曲線方程式﹒ 解答 (1) 2 ( 5) 16 y − ₍ ₁₎2 1 9 x − − = ;(2) 2 ( 3) 9 y − ₍ ₃₎2 1 16 x − − = 解析 (1)由頂點為(1,1)﹐(1,9)﹐焦點為(1,0)﹐(1,10)﹐可知中心為(1,5)﹐a = 4﹐c = 5﹐並由 c2_{= a}2_{+ b}2_可 得 b = 3﹒ 因為貫軸平行 y 軸﹐所以其方程式為 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b − − − = 的形式﹐ 將各值代入 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b − − − = ﹐得方程式為 2 ( 5) 16 y − ₍ ₁₎2 1 9 x − − = ﹒ (2)由一焦點為(3,8)﹐共軛軸在 y = 3 上﹐可知中心為(3,3)﹐並得 c = 5﹐ 因為共軛軸長為 8﹐即 b = 4﹐並由 c2 = a2 + b2可得 a = 3﹒ 因為共軛軸在 y = 3 上﹐所以其方程式為 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b − − − = 的形式﹐ 將各值代入 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b − − − = ﹐得方程式為 2 ( 3) 9 y − ₍ ₃₎2 1 16 x − − = ﹒ x y O (1,1) F(1,6) A(1, 3) B(1,5)

(28)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P28/29 13. 已知一雙曲線與橢圓 2 2 1 6 36 x ₊ y _{= 有共同的焦點﹐且其共軛軸長為 2 3 ﹐求此雙曲線的方程式﹒} 解答 2 2 1 27 3 y ₋ x ₌ 解析因為雙曲線與橢圓 2 2 1 6 36 x ₊ y ₌ 共焦點﹐ 所以雙曲線的形式﹐c 和中心都與橢圓 2 2 1 6 36 x ₊ y ₌ 相同﹒ 假設雙曲線的貫軸長為 2a﹒ 由題意知雙曲線的共軛軸長為2b =2 3 ﹐即b = 3﹒ 由橢圓的標準式 2 2 1 6 36 x ₊ y ₌ ﹐得橢圓為上下型﹐中心為(0,0)﹐ 且 a = 6﹐b = 6﹐ 2 2 30 c= a −b = ﹐並得雙曲線的c = 30﹒ 再由雙曲線的性質 c2 = a2 + b2﹐得 2 2 2 ( 30) =a +( 3) ﹐ 即 30 = a2 + 3﹐解得a = 27=3 3﹒ 故雙曲線的方程式為 2 2 1 27 3 y ₋ x ₌ ﹒ 14. 求漸近線為 y = 2x﹐y = − 2x﹐且通過點(3,8)的雙曲線方程式﹒ 解答 2 2 1 28 7 y x − = 解析因為雙曲線過點(3,8)﹐由圖可知方程式為 2 2 2 2 1 y x a −b = ﹐ 又因為雙曲線的兩漸近線為 y = 2x 與 y = − 2x﹐ 故 a = 2b﹐即可設方程式為 2 2 2 2 1 4 y x b −b = ﹒ 將(3,8)代入方程式﹐解得 b2 = 7﹐ 故雙曲線方程式為 2 2 1 28 7 y x − = ﹒ x y O (3,8) y=2x y= 2x

(29)

1082 高二數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P29/29 15. 求兩焦點為 F1(1,1)與 F2( − 5,1)﹐貫軸長為 4 的雙曲線方程式﹒ 解答 2 ( 2) 4 x + ₋ ( 1)2 1 5 y − ₌ 解析因為雙曲線的兩焦點為 F1(1,1)與 F2( − 5,1)﹐ 所以其中心為( − 2,1)﹐且貫軸平行 x 軸﹐ 即雙曲線的方程式為 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b − ₋ − ₌ 的形式﹒ 由 2a = 4﹐2c=F F1 2=6及 c 2 = a2 + b2﹐解得 a = 2﹐c = 3﹐b = 5﹒ 將 a = 2﹐b = 5及中心( − 2,1)代入 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b − ₋ − ₌ ﹐ 得雙曲線的方程式為 2 2 ( 2) ( 1) 1 4 5 x+ ₋ y− ₌ ﹒ x y O F2( 5,1) ( 2,1) F1(1,1)