3D改變未來 泛談數學的 3D 應用

以這二十年來，我參與了很多工程科學的研究。我 不單研究幾何在3D 科技上的發展，也參與過控制 論等應用理論的研究。我今天的演講將以3D 科技 為主。 這些年來，我很欣慰看見從前做的一些純數學研 究，可以在實際應用上得到發展。可是我也看到不 少讀工程和應用數學的學生，並不注重基礎科學， 導致成果比不上從前的同行。其實基礎科學是應用 科學之母，假如對基礎科學沒有很好的理解，在工 業上就不可能發揮基礎科學的巨大潛力。 兩千多年來，中國人在科學上的重要貢獻主要還 是應用科學。反觀西方從文藝復興以後，就特別注 重基礎科學，所以他們的科技發展極為迅速。不幸 的是，這四百年來中國人對基礎科學了解不夠，造 成今天科技發展比不上歐美，我期望學工程和應用 科學的中國年輕人，多花一點時間去注意基礎科學 的發展。 2D 到 3D 今天我講的題目是應用科學中的一門，希望能從 中看到基礎科學在應用科學的重要性。十多年來， 我帶領一個團隊做3D（三維的縮寫，2D 為二維， 後同）的研究，我們見證了近代影像技術逐漸成 高興來到雲南西南聯大的舊址。早上參觀了 西南聯大博物館，我深受鼓舞，在那段艱難的歲月 裏，一批學者還能夠堅持科學研究和教育，這是了 不起的事情。尤其聽了西南聯大的校歌，我更深受 感動，相信海外的學者如果聽了也會有與我同樣的 感覺。 這一百多年來，中國遇到的很多困難，一個主要 的原因是科技發展沒有達到期望的水準。抗戰時， 西南聯大培養了很多年輕人，他們畢業後無論在學 術界或工業界，都影響整個中國近幾十年來的科技 發展。可是，在西南聯大留下來的歷史和科技基礎 上，我們還需要發揚光大，繼往開來。我們要問我 們能夠做什麼事，中國科技的發展要走什麼路？中 國的年輕人，在科技的發展道路上能夠走出自己的 新方向嗎？ 今天我講的這個題目，就是從這個觀點出發。 我從小就學習基礎科學，從純數學開始到現在， 已經40 多年了。我學習數學從微分幾何開始，再 學微分方程，以後發展到物理的廣義相對論、高能 物理和弦論。我學習這些學問，一貫帶著熱情，希 望看到基礎科學的發展，能對人類有貢獻，對大自 然有深入的了解。可是我也慢慢感覺到，基礎科學 其實對工業技術和社會科學也有很重要的幫助。所

很

作者：丘成桐 作者簡介：丘成桐為美國哈佛大學數學與物理教授，費爾茲獎、克拉福德獎、沃爾夫獎得主。為幾何分析學之大師，並出入於數學與 物理之間。中央研究院院士。科普著作有《丘成桐談空間的內在形狀》。 21 世紀物理學

泛談數學的 3D 應用

數學與應用

的。自從萊特兄弟把飛機飛上天後，短短十年內， 飛機居然可以用來載客和打仗。到了今天，飛機對 商業、旅行和求學上的貢獻都是無與倫比的。可是 無論汽車、輪船和飛機，都是從大工廠製造出來 的，對個人來說，還是沒有太大的自由度，因為個 人沒有能力製造這些大型機器，而運作這些大型機 器的自由度又遠遠比不上個人電腦。 個人電腦的興起，改變了很多事情，包括通訊、 計算和資料儲存，這是半個世紀前無法想像的事 情，極少人預料到個人電腦可以有這麼大的儲存 量，可以做這麼好的通訊，全世界的工業和經濟因 此轉型。這個潮流是無法遏止的，世界上所有的國 家，如果不能適應潮流，經濟很快就會陷入困境。 熟，已經由2D 突破到 3D，對工業界來說，這是 很重要的突破，它會改變未來的工業走向。 讓我們來反思一下，為什麼從2D 科技發展到 3D 這麼重要。人類在地球上行走只有兩個自由度1 ，因而受到不少的限制，直至發明了飛機，人們才 獲得更多的自由度。一百多年前，人類開始用機器 在空中飛翔，在當時這是很令人驚訝的事情。因為 19 世紀時，有些物理學家基於錯誤的流體力學計 算，認為人類不可能用機器飛上天去。可是人類畢 竟超越了這個錯誤的思維，成功的遨翔在天空。 自由度的增加，讓我們對本身的環境和遙遠的太 空都有更深入的了解。進入太空以後，我們可以回 首看自己生存的地球，比在地球上看要清楚得多。 從衛星看萬里長城，看北京城，看昆明，都比在地 上看有更宏觀的感覺。 由三維空間產生的科學和經濟效益也是無可限量 圖1 1903 年 12 月 7 日，萊特兄弟首次成功駕著具動力且重於空氣的航空器飛行。（維基提供） 1 從二維空間到三維空間，就是增加一個自由度，一個自由度是一 個維度，兩個自由度叫二維，三個自由度是三維。

不遠的將來，工業界將會突破3D 的門檻，正如 飛機發明後，整個世界為之改觀一樣。2D 的產業 將被3D 產業取代，這會是工業界一個很重要的變 化，可是這個過程還沒有完成，這個突破應當會成 為未來工業轉型的關鍵之一。我今日的講題是「3D 改變未來」，就是想解釋這些相關的課題。 3D 的未來與挑戰 從2D 產業轉型到 3D 產業的一瞬間，我們不見 得能看到3D 產業的重要性。就好像海嘯來的時候， 波浪在深海裏移動時，海面只增加不到一公尺的高 度，但當波浪到達淺海岸邊，突然間會變成幾十公 尺的大浪。我們現在採用2D 技術，卻還沒有看到 3D 技術的普及，是因為我們正處於大海裏，還看 不到大波浪的發生。可是一旦3D 技術普及到整個 工業界，我們就來不及追上這門技術，整個工業將 會被其他國家壟斷。這就像柯達當年不願意推行他 們的數位照相機，等到數位照相機風行全球，柯達 已經沒有能力在市場上競爭了。 最近美國總統歐巴馬講了一句話，他宣稱3D 技 術會引起第三次工業革命。身為美國總統講這番 話，當然是因為有專家幕僚提供意見，才敢大膽做 出這個結論。所以，我認為發展3D 技術很值得我 們去思考、去探討。趁現在3D 技術還沒有大量發 展時，中國的年輕工程學家和科學家都應當注意這 門技術。 就拿電影來說，迪士尼（Disney）的 3D 動畫電 影，這七、八年來有出色的表現，標誌著整個動畫 電影工業受到3D 技術的影響。《阿凡達》開拍的 時候，他們的技術顧問曾經邀請我們團隊去幫忙開 發所需的3D 技術。當時我不知道《阿凡達》是什 麼東西，所以沒有答應，沒想後來會成為這麼成功 的電影，打破世界的票房紀錄。因為3D 技術更能 逼真表現物像，很多人喜歡看。所以，3D 技術對 於電視、電影和動畫產業起著很大的作用。 1980 年代時，IBM 算是世界上最大的電腦製造 公司，當時一台大型電腦價值超過千萬美元，大公 司或大學校都需要購買IBM 的電腦，他們一賺就 是幾十億，所以並不想做個人電腦。但是IBM 的 生產線很快就受到個人電腦的衝擊，20 年前差不 多接近破產，假如當時他們轉型的不夠快，可能早 就已經倒閉了。 再看另外一間公司，20 多年前，照相的膠捲底 片都由美國柯達（Kodak）公司壟斷，他們的膠捲 通行全世界。最先發明數位相機的也是柯達，但 是由於膠捲生意實在太好，據說有很長一段時間， 柯達公司80% 的生意都來自膠捲市場，所以他們 不願意大力推銷數位相機。等到其他公司的數位相 機控制了市場，柯達應變無方，最終以破產收場。 IBM 和柯達都是雄霸世界幾十年的大公司，卻都 因為不能迅速轉型，遇到巨大的危機。 相機的數位化是很重要的事情，現在連手機都可 以照相，而且品質相當不錯。由於電腦技術不斷革 新，資料儲存量更大，計算速度也比從前快得多， 現代工業界因此有了基礎性的變革。記得才十多年 前，想要在電腦上看電影還很麻煩，可是現在連手 機都可以播放電影，這都歸功於電腦技術這十多年 來的快速發展。 現在的手機也可以看3D 圖片，但解析度比較低。 筆記型電腦可以處理一些3D 資訊，可是也還不能 運用自如。3D 照相機和 3D 影像技術為什麼會遇 到困難？一個主要的原因是，電腦在處理3D 數據 時有相當的技術困難。從2D 到 3D，除了硬體以 外，還有很多軟體技術需要開發。這裏面有很多技 術問題，都是工業界想做但還沒有達成的事情。 只要3D 技術成熟，工業界就會進入重要的轉型 期。現在電腦處理2D 的技術已經達到幾乎完美的 境地。20 年前，處理 2D 圖片還很困難，可是到了 今天，由於硬體和軟體技術的突破，處理2D 的資 訊技術已經沒有任何困難。

我們也可以用網路將藍圖傳送到遠端伺服器，讓 遠方的朋友將我們希望製造的東西很快複製出來。 這個技術顯然對醫療和軍事有很大的用途。人們希 望通過多元結構完成一個新工業，3D 技術很快就 會成為這個工業的基礎。 由於製造業面臨轉型，資訊化和工業化的深度融 合，成了工業界一個很大的挑戰，但也帶來很大的 機會。正如手機、筆記型電腦取代了桌上型電腦， 進入普羅大眾的家庭一樣，3D 印表機也將會發揮 同樣的功能。 但我們必須懂得如何處理3D 資料，懂得如何做 幾何計算和電腦技術，我們也要將硬體技術和軟體 技術合併發展。記得在12 年前，我們團隊想找實 際的3D 資料測試我們的軟體時，遇到很大的困難。 當時一台3D 照相機要價 75 萬美金，這不是普通 人能負擔的，甚至實驗室想買一台也很困難。可是 到了今天，價錢已經比從前便宜很多。 3D 硬體的技術已經大有進步，常常登上新聞媒 體或網路的報導，可是3D 印表機只是 3D 技術理 論的一小部分，還有很多3D 軟體問題需要解決。 雖然近代電腦極為發達，很多困難的計算都已不成 問題，但是3D 軟體工程仍然還未成熟。 3D 計算的數學之路 下面我會談一談怎麼處理3D 軟體。我們的團隊 最開始是以顧險峰和張松為主。顧險峰是我在哈佛 大學資訊科學系指導的博士生，張松是我指導的博 士後。我和顧險峰用微分幾何的想法，發展出處理 3D 圖形的理論。 我 們 先 用 到 的 重 要 數 學 工 具 是 保 角 幾 何 （conformal geometry） 1 的 單 值 化 理 論 （uniformization theory）， 這 是 龐 卡 赫（Henri Poincaré）推廣黎曼的想法所證明的理論。所謂保 另外最近，大家對3D 印表機有很大的興趣，3D 列印是1990 年代就已經開始快速成型的技術。根 據物品的3D 資料，用材料累加的方法製成實物。 如何做3D 列印呢？第一步是做 3D 照相，照了相 後，將資料放進電腦分析，再由電腦根據結果指 揮機器將原料堆印起來。原料可以用塑膠或其他材 料，慢慢地堆塑成原來物品的立體形像。 這裏有張很漂亮的圖片（圖2），是複製立在霍 去病墓前的石雕牛。我們先用自製的3D 照相機對 石雕拍照，再用3D 印表機列印出來。我們可以用 不同的材料，將它做成一個實物。除了好看的模型 以外，我們也可以做零件或模具，這是一門由新型 材料、生物控制等多種技術融合而成的技術，是多 面向的、很重要的一門工業技術。 3D 印表機用的材料有金屬、陶瓷、塑膠、砂、 石膏、蠟糖等，與電腦連接後，通過電腦控制把列 印材料一層層疊印。印表機可以將3D 照相機照下 來的圖形表現出來，但也可以將物體本來的設計藍 圖變成實物。 這機器有很多用途，舉例來說，如果看到一個小 孩子很喜歡的玩具，卻不知去哪裡購買。如果你想 做一個給小孩子玩，就可以用3D 照相機把它拍照 下來，然後用3D 印表機把它製造出來。除了玩具 外，3D 印表機也可以用來列印機器人之類的模型。 所以，3D 列印技術可以應用在很多不同的領域， 像是製造業、文物保護、建築、牙科、醫療、教育、 文創、配件飾品等行業，都可以生產3D 產品。 圖2 霍去病墓前石雕牛之 3D 圖像。 1 譯註：「保角」或譯「共形」。

優秀的照相軟體可以幫忙取得 更 多 有 用 的 數 據。 目 前 有 很 多 出 色 的 年 輕 博 士 參 加 我 們 的 研 究團隊，包括羅鋒、王亞霖、雷 樂 銘、 林 文 偉 等。 在 香 港 中 文 大 學、 北 京 清 華 大 學、 新 竹 交 通 大 學 和 臺 灣 大 學， 都 有 很 多 傑 出 的 數 學 家 和 計 算 數 學 家 參 與。我們的3D 技術研究用到了 現代的數學成果，包括泰希穆勒 （Teichmüller）理論等高深的學 問。另外我們也在醫學影像處理獲到突破，對人 腦、肝臟、肺、腎的3D 影像處理，得到很不錯的 結果。 3D 與保角幾何 3D 照相機得到的資料其實是一大堆點的集合。 這個點集是離散的空間，一點一點的可能有百萬 點，我們需要將這麼多的點局部連結起來， 才能找到幾何資訊。因此必須研究離散 曲面上的數學，從離散點集計算出很 多抽象的幾何概念，包括曲面的度量 （metric）和曲率。 我們的計算理論有兩個不同方向， 第一個方向是保角幾何和黎曼面的理 論，用到了150 年前黎曼發現的數學 成果，第二個方向是最優運輸（optimal transport）理論，後者用到前述的蒙日 / 安培方程。 保角幾何的理論已經發展了一百多 年。讓我先說明在3D 圖形處理上使 用保角幾何的幾個主要優點：首先 是單值化。從數學知道任何複雜圖形 角指的是處理圖形時，用到的映 射必須保持映射前後圖形角度不 變。保角幾何是一門古典數學理 論，到現在仍是純數學的重要分 支，但我們發現它在應用數學尤 其是3D 影像的刻劃，有很重要 的貢獻。 最近幾年，我們也開始研究如 何 以 蒙 日/ 安 培 方 程（Monge-Ampére equation）來處理 3D 圖 形，由它所得出的映射可以保持 圖形局部面積不變。30 年前，鄭紹遠和我研究過 這個重要方程，當時我們研究的原因只不過是因為 它有很漂亮的理論，沒想到今天可以應用到3D 計 算方法上。 我們發展出處理3D 圖像的軟體方法後，需要做 實驗來驗證。但是想要得到3D 資料必須先有 3D 照相機。當時3D 照相機很貴，幸好張松進入我們 的團隊，他是結構光原理的專家。於是我們 自己研發3D 照相機的技術，將成本從數 十萬美金大大降低到幾千美金以內， 同時一秒鐘可以取得超過60 幀的 3D 影像。從前的昂貴3D 照相機幾個鐘 頭才能拍一幀照片；而目前其他公司 製造的3D 照相機，最快的也只有兩 秒鐘一幀。 為什麼需要速度快的照相機？因為人 的面部表情會不停改變，獵取面部表情 時，如果照相機不夠快，就得不到最 好的3D 數據。尤其是想取得運動員 動作的3D 照片，不論跳水也好，跑 步也好，這些動作都比面部表情變動 速度更快，一秒鐘60 幀還是不夠快。 現在我們研發的3D 照相機已經快達 一秒鐘數百幀，只是造價稍嫌昂貴。 圖3 龐卡赫。（維基提供） 圖4 蒙日（左）與安培（右）。（維基提供）

臉上的流動就是一個例子。另外對於資訊科學，無 論是是計算幾何、計算圖學、電腦視覺、影像處理 等，也都可以用到保角幾何。 我們的團隊在這方面發展了基礎理論、演算法， 以及高效能軟體。可以計算度量曲面的保角不變量 （conformal invariant），以及曲線間的保角映射。 在處理圖形計算時，會用到許多保角不變量。計算 這些量可以協助我們高效率處理3D 圖像。譬如處 理人臉圖形，如果要決定哪兩張圖形相同，可以計 算這些不變量，就知道你的臉為什麼會跟其他人不 同。反過來，也可以找出兩種形體最相近之處。有 了這樣的辨識方法，就可以有效率的應用到工程及 醫學上。 所謂保角映射是一種一對一的對應，同時保持角 度不變。在這種映射下，長度和面積或許會改變， 但夾角的角度保持相同。在我們的研究裏，用到一 個很重要的基本事實：任何二維的曲面都有唯一的 保角結構。 來看一下人臉的實際例子（見圖5），如前述用 單值化原理將它映射到圓盤上，也可以放在正方形 上。假設在平面正方形上，有一組類似棋盤的方 格，我們就可以反過來將方格映射回原來的人臉 上，因此人臉上會出現一格格的棋盤狀分布。仔細 檢視，會發現雖然這些格面形狀彎曲，但是人臉上 的格線卻都互相垂直的，宛如平面棋盤。這是因為 我們使用的是保角映射。 再觀察最右邊的圖，平面上有一些排列整齊的小 圓，這些圓映射回人臉後，仍然是圓，這也是保角 映射的基本性質。為什麼要畫這些格點呢？因為我 們可以針對每一個方格或圓，畫一些我們感興趣的 圖樣，再映回人臉上，同時保證不會大幅改變原來 的圖樣，這對動畫是很有用的技術。 都可以保角變形到標準的曲面來處理，這些標準曲 面包括單位球面、歐氏平面、雙曲面（hyperbolic surface）1。 第二項優點是降低維度。當我們用單值化理論將 三維人臉攤平到二維平面時，就可以從2D 圖形來 量度各種3D 的資訊，並利用 2D 的成熟技術。 第三項優點是資訊保留。保角變形映射的過程保 留了所有幾何資訊，因此可以倒過來，從處理完的 2D 圖形重新構造原始的 3D 圖形，不會遺漏任何 資訊。如果人的臉部資訊可以存成2D 圖形，比存 成3D 圖形要方便得多。 最後一項優點是普適性，因為所有圖片都用保角 幾何的方法來表示和處理。 將所有的圖形放在一起甚至可以構造出各種不同 的空間。譬如將全世界不同的臉孔資訊放在一起， 就形成一個形狀空間。而且如果研究臉孔之間的映 射空間，就可以解決臉孔的辨識問題。 我要強調保角幾何本身是純數學許多不同分支的 匯流之處，包括複變分析、代數拓樸、黎曼面、代 數曲線、泰希穆勒理論、微分幾何、偏微分方程。 因此應用的潛力非常豐厚。例如很多數學理論在工 業界很有用，像計算流體力學、計算空氣動力學、 計算電磁學都可以用到保角映射這套方法。這些計 算方法以前只有在平面上才能做出良好的結果，可 是有了保角映射方法，就可以處理三維空間中曲面 上的相應問題。譬如利用偏微分方程計算眼淚在人 _次曲面。1 譯註：這裡的雙曲面是曲率為常數 1的黎曼面，不是普通的二 圖5 利用保角映射可以將平面上的棋盤格或小圓格映回（人臉） 曲面上，仍然保持格線垂直或小圓的結構。

這個圖形映射到右方的圖形。另外，拓樸型態更複 雜的圖形，依照龐卡赫定理，則可以保角變形到雙 曲面。

利用龐卡赫單值化定理，可以將看起來複雜的圖 形一致變成比較簡單的圖形。其中實際的計算方法 則來自球面調和映射（spherical harmonic map）。 像圖7 左邊是用 3D 照相機照出來的圖像，透過調 和映射的計算法，可以近乎逐點的映射到右邊的球 面上。 我 們 也 發 展 了 其 他 的 圖 形 表 示 法， 其 中 之 一 是 利 用 赫 吉（William Hodge） 理 論 的 調 和 形 式 （harmonic form），這是赫吉在 20 世紀初發現的， 他的想法來自流體力學。這個幾何上的概念，竟然 也可以運用到圖像處理。圖9 就是利用赫吉調和一 維形式的方法，我們發現用不同的一維形式，可以 得到很多不同的圖形，而且都是很漂亮的圖形，對 3D 動畫很有啟發。 這些方法都有很美妙的數學理論為基礎。到目前 為止，能夠處理這種有複雜拓樸圖形計算工程的只 有我們的團隊。 再看圖6。中圖就是前述的保角映射，可以局部 保持圓的形狀。可是右圖由於使用的是任意的微分 同胚映射（diffeomorphism），得出來的就只是橢 圓，而且還有大有小，不容易進行圖像處理。這是 保角映射的優勝之處。 圖形的標準表示 前面說過，我們用到龐卡赫很出名的單值化定 理。龐卡赫是十九世紀末的大數學家，他證明任 何緊緻的二維度量曲面，都可以保角地映射到二 維的常曲率曲面。圖7 左方是兒童雕像的 3D 照 片，可以保角映射到球面上。依據龐卡赫的重要 定理，任何二維曲面的圖形，只要它和球面同胚 （homeomorphic），就可以保角變換成圓球上的 圖形（右圖）。 圖8 左方是貓玩偶的 3D 照片，跟圖 7 不同的是 它有一個柄，不能收縮成一個球。龐卡赫的定理說 這樣的曲面可以保角變形成平坦的二維圖形，所以 圖6 沒有保角特性的映射，將小圓格映回人臉後只能呈現小橢 圓格。 圖7 依照單值化定理，任意虧格（genus）0 的曲面可以保角映 射到曲率為 1 的單位球上。 圖8 依照單值化定理，任意虧格 1 的曲面可以保角映射到曲率為 0 的平面上。 圖9 左邊兩圖是用調和一維形式為基底所畫的圖形，右邊兩圖則 是用全純一維形式（holomorphic 1-form）為基底。

（CAD）、電腦圖學、3D 列印的幾何逼近論、網際 網路（internet）上的黎曼幾何、雲端計算資源配 置的傳輸理論等等，都用到上述這些技術。 醫學診斷 我們可以從醫學影像數據重建器官形狀，腦也 好，心臟也好，都可以處理，得到影像以後再計 算其幾何特徵。研究器官的變動是重要的問題。醫 生替病人診斷，可能要觀察器官十天數月的變化， 需要比較前後器官圖形的變化。假如有比較的好方 法，醫生就可以比較容易的診斷病因，而我們的方 法已經可以比較大腦在不同時期出現的影像 大腦表面很複雜，處理腦部的幾何形狀有一定的 困難。我們可以將腦部皮層保角映射到單位球面 （見圖11）。由於球面上有像地球儀的經緯度， 因此腦上任何一點都可以用經度和緯度來標定，就 像船在大海航行，如果船長向陸地報告自己的位置 是東經20°、北緯 18°，就可以知道船的位置。有 了保角映射，腦上任何一點都有經緯度。假如大腦 長了腫瘤，只要知道它的經緯度，一個月過後，可 以很容易觀察腫瘤的變化，這對醫療很有幫助。 蒙日 / 安培方程 保角映射可以保持圖形的角度。保持角度的好處 是微小的正方形還是對應到正方形，微小圓形還是 對應到圓形，可以表現在人臉映射的處理上。可是 我們還發現其他的重要方法，除了保角映射，也可 以要求構造出局部面積不變的映射。 圖10 從左邊區域映到右邊區域的映射

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，將這 兩個區域一一對應起來，但面積局部要求保持不 變。想構造這類映射時，需要解底下的蒙日/ 安培 方程：

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ru(x)) = µ(x)

蒙日/ 安培方程經常出現在 微分幾何，可以用來構造局部 保面積的映射。解這個方程的 一個重要方法，出自我和鄭紹 遠當年的研究。目前我們團隊 已經可以從電腦應用我和鄭紹 遠的方法。這個方程也和所謂 最優運輸問題有關，後面將會 再談到。 實際的應用 我 們 研 究 的 實 例 包 括 醫 學 影像與腫瘤診治、3D 人臉辨 識、3D 動畫與電腦輔助設計 圖10 圖11（a）大腦皮層曲面可以保角映射到單位球面，藉由單位球面的同胚，便可建立皮層曲面間 的對應。利用球面的經緯坐標更可為皮層精確定位。（b）將大腦皮層曲面沿主要的腦溝或腦回 切開，再計算其保角模，即可檢查異常的變化。（c）將大腦皮層曲面保面積映射到平面，測量 腦功能區的面積變化，可以判斷其萎縮程度，協助診斷阿茲海默症。（d）從 X 光和 MRI 數據可 以重建虛擬大腸鏡，協助醫生診斷息肉或腫瘤的變化，減輕內視鏡侵入性檢查的風險。

據 以 保 角 映 射 攤 平 並 從 中 尋 找 息 肉 跡 象 的 軟 體。 西 門 子 公 司 （Siemens Inc.）應用在他們的 大機器上，效果很好。這樣就可 以用典型的幾何映射去研究息肉 的變化。我們從大腸的正面和背 面做X 光映射，再互相校正，得 到效果很好的3D 影像。 3D 人臉辨識 我們的人臉辨識方法跟一般方 法不同，是因為使用了保角映射理論。圖12 中有 四張小圖，上方兩圖是用3D 照相機照下來的，這 兩個圖形是不同的人臉，當然我們也可以考慮同一 個人的不同表情。下方兩圖是將上方的圖用保角映 射映到圓盤上。人臉都表現在圓盤上就容易進行比 較。注意上方的人臉是三維空間裏面真實的立體人 臉，就好像你和弟弟兩個不同的人臉，我們將這些 臉攤平在桌上，變成二維的平面圖形。保角映射所 得到的像基本上是唯一的。因此進行人臉比對時， 即使是不同人臉的表情，都可以更有效的在平面圖 形上做比較分類。 同一個人的臉在不同場合會有不一樣的表情，有 時帶著笑容，有時沒有。我們想判斷某張人臉是否 你本人，無論是否帶著笑容，同 時又要知道這不是你弟弟的臉， 這就需要有很好的技術。同一個 人的臉部表情有小變化時，如何 找出共同之處是基本的問題。我 們 的 方 法 是 將3D 圖形變成 2D 圖 形， 就 像 下 方 兩 個 圓 盤 的 圖 形。由於我們的2D 圖形保留了 所 有3D 資訊，所以 3D 圖像的 辨識可以用2D 技術來解決又不 失真。 研究大腦的形狀不只是表面， 醫生也很重視腦褶紋間的曲線位 置，從圖11（b）可以看到右圖 中幾個空心圓圈區域的圓周，就 對應到左圖的褶紋線，因此可以 很清楚的理解褶紋線的分布。 很 多 重 要 的 疾 病 如HIV 病毒 會在大腦皮層上造成變化，我們 可 以 通 過 保 角 變 化 的 表 示 法， 利 用 貝 特 拉 米 係 數（Beltrami coefficient）來研究，找到病毒 對腦部影響最大的地方。也就是從大腦的變化，找 到愛滋病影響最嚴重的部位。 除了愛滋病，我們也可以在不同時間掃描腦部， 找出皮層比較厚的地方，也可以區分大腦不同的功 能區，找出它的變化。例如將大腦皮層用保持面積 的映射，映射到平面上，測量每個功能區面積的變 化，從而判斷各個腦區的萎縮程度，協助判斷是否 為阿茲海默症。 除了大腦，這項技術也可以用到其他器官。眾所 周知，做大腸鏡必須用管子侵入大腸去，透過內視 鏡檢視有沒有腫瘤。可是，大腸鏡在大腸裏面移動 往往會有風險，尤其是年齡大的老人，大腸鏡有把 大腸戳破的危險。最近，我一個朋友做大腸鏡檢 查，就因為這個疏失當天就發炎 過世。 我們不用大腸鏡，改用X 光和 MRI（核磁共振造影）的技術， 得到大腸局部的一張張圖片，然 後用我們的方法重組成3D 影像， 透過3D 影像檢視腸子中腫瘤的 跡象和位置。這個方法不但有效 率，還可以免去麻醉與直接接觸 的危險。 我們已經完成了將腸壁曲面數 圖12 不同人臉的圓盤表示。 圖13 不同表情之追蹤。

建模，減少特徵點的個數，控制特徵點的位置，並 使特徵點更有效的控制表情（圖14（a）的眼睛附 近、嘴巴、鼻子的部位，都是重要的控制點，就是 所謂的特徵點）。我們希望能控制特徵點的變化， 使得往後能夠有效的處理電玩遊戲中的圖形或其他 圖形的表現。 臉部表情的動態表現在動畫技術上非常重要。例 如圖14（c）的微笑的女子，我們捕捉她的表情， 然後將表情自然的分割，就可以利用動畫技術加強 其表現。從前製作人臉表情的動畫要靠手繪，得花 幾天工夫，而我們的方法基本上是全自動的，很快 就可以做出來。你看這些從左到右的人臉表情，可 以映射到下方的圖像，得到效果良好的圖像追蹤。 我們甚至可以把表情變化轉移到動畫的虛擬人物 上，可以用自己的臉部表情來驅動虛擬角色的表 情，甚至驅動貓或狗等動物角色的表情。用人臉的 表情來驅動，讓貓狗跟著笑或哭是很有趣的事情。 這些技術在動畫電影上也看的到，但電影的影像是 用手工繪製，我們卻是自動化的。我們將圖形恰當 我們的方法也可應用於對電腦視覺。能夠同時計 算幾何特徵、分析其形狀並進行分析比對，這對於 曲面追蹤（tracking）的技術很重要。我們一樣將 曲面投射在平面上，建立互相追蹤的方法。 一連串臉部變化的圖像，如圖13 左上嘴巴微開 的人臉，到左下嘴巴張開的人臉，右邊則是保角映 射後得出的圖形。比較右邊這兩個圖形，利用影像 處理模式和機器學習就可以實現人臉辨識。若能夠 儲存在公共的3D 人臉資料庫，效果會很好。 幾何建模與 3D 動畫 CAD 幾 何 建 模 的 核 心 技 術 是 計 算 曲 面 的 仿 射 結 構 （affine structure），我們需要有效的控制特徵點 或奇點。人臉圖像就有很多需要控制的特徵點。 做動畫或玩具時，專家都希望能控制一些操控表情 的特徵點，移動這些點能夠讓面部表情更豐富。 我 們 團 隊 利 用 黎 奇 流（Ricci flow）和拓樸阻礙 （topological obstruction ）理論，發明了流形樣條 （manifold spline）的理論和方法，可以實現整體 圖14 （a）幾何建模的核心是計算曲面的仿射結構，有效控制特徵點。我們的流形樣條法可以整體建模，減少並控制特徵點。（b）單網格 （single mesh）法可以將表情轉移到動畫電影的虛擬人物。（c）捕捉人臉動態表情後，再將表情分割並以動畫技術強化。

這些成果對工業、動畫、電影都很 重要。 3D 列印 現在來看一些相機取得的圖像 （圖16）。左圖的雕像頭像是用 3D 照相機照下來的圖。3D 照相 列印技術要靠幾何逼近論：因為相 機照下來的只不過是一個點集的 資料，有時候照不清楚的部分，就必須將其中的雜 訊去掉，再用我們的軟體去做後製處理。最後的目 標是得到一個很均勻、很漂亮的網絡，方法是用三 角剖分法（triangulation method）將左邊漂亮光滑 的圖上的點和線恰當的連起來。 製造良好的三角剖分是很重要的問題，3D 列印 技術需要良好控制曲面的三角剖分，使影像更清 楚，三角形的長度和角度都在持續變化，我們希望 將適當的點用直線連起來，形成一堆勻稱而接近正 三角形的剖分。三角形的勻稱對計算很重要，因為 可以提高數值穩定性。 例如人臉上可以放一百萬個點，如果將3D 人曲 面以保角映射攤平到平面區域，再用狄勞尼（Boris Delaunay）方法計算三角剖分，映回人臉，這時得 到的三角形接近正三角形。我們的三角剖分法在數 值收斂時，效果非常好。而且理論可以證明這種方 法的離散曲率會收斂到連續曲率 。 建立連結，再驅動它變化，這種將3D 轉成 2D 來 自動化處理的方法很有效率，效果也很好。 電腦圖學 電腦圖學有很多不同的問題都可以運用我們的方 法來解決。無論是曲面參數化、紋理貼圖（texture mapping）、紋理合成和轉移、向量場設計等等， 我們的方法都提供了重要的協助。將圖形保角投影 到平面區域，減少它的變化，可以很快的採用不同 的紋理將圖形重新表現出來，或者將某曲面的紋理 轉貼到其他曲面上。 這種方法可以用來做服裝設計，用戶可以決定特 徵點的位置和指數，模擬創作者的畫作或者衣服的 底色。如果你看到喜歡的雕塑，想找出製作方式， 也可以透過我們的方法來計算。我們也可以讓曲面 變成編織的形體，做出漂亮的藝術品。這些全都是 用保角映射或保面積映射來處理的。 另外我們的流形樣條法還可以解決機床的設計問 題。我們可以將3D 掃描的資料， 轉換為曲面的樣條，這在工業上有 許多應用，其中之一是製造機器， 譬如可以將機器重新複製成一個 山寨機器。我們的三維映射，可以 一體的重製。另外，對於將立體形 體轉換成多面體網格，我們的樣條 曲面法可以做出各種不同的成果。 圖15 用我們的方法可以協助模擬畫作、時尚設計、曲面編織、轉移紋理。圖中衣服上的 黃色點就是特徵點。 圖13 3D 照相數據三角剖分的兩個例子。

結論 科技的發展為數學提供了挑戰，不單推動數學發 展，也推動了工程和醫學等領域種種基本技術的發 展。今天介紹的計算保角幾何與離散最優運輸理 論，就是結合純數學的理論與先進的電腦設備和演 算法。這種數學與應用結合的成功，希望能讓大家 更家重視基礎科學的成就，以及它在工業應用的重 要潛力。謝謝。 本文出處　 本文改寫自作者2014 年 5 月在雲南師範大學（原西南聯大）之講 辭，演講後之問答部分已刪除。 延伸閱讀

▼Gu, Xiangfeng & Yau, Shing-Tung Computational Conformal Geometry

（2008）, International Press. 顧險峰和丘成桐合著的《計算保角幾 何》。 ▼顧險峰石溪大學（紐約州立大學石溪分校）個人網頁中的講義 頁，有許多講義或教材可供下載瀏覽。 http://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/tutorial/index.html 網際網路―離散黎曼幾何 大規模網際網路的拓樸和幾何是網絡（network） 領域的基本問題。古典黎曼幾何假定我們的臉是光 滑的，黎曼度量、聯絡（connection）和曲率的概 念都是從光滑的微分結構推導出來的。我們將古典 調和分析推廣到網絡圖上，再利用曲率/ 維度不等 式可以定義網絡的離散黎奇曲率。我們發現網絡曲 率可以決定網絡結構的重要特性，譬如網絡核心的 擁擠、網絡傳輸的穩定性，都可以通過這些想法來 釐清。 我們用這個方法研究現在網際網路實際數據的網 絡幾何，結果發現網際網路的整體結構可以透過幾 何方法來分析，負曲率的部分是主幹，連接許多正 曲率的局部叢集。網絡擁擠的地方和負曲率很有相 關。網絡上負曲率區域的測地線比較穩定，網絡結 構的局部擾動影響不大。但是透過羃次律（power law）隨機產生的網絡圖，雖然曲率分佈類似，卻 沒有這些特性。可以看出這些數學觀念對網際網路 的研究將會產生很大的作用。 雲端計算資源配置 在網際網路上設置計算中心，並恰當的分配計 算的任務，這是一般大量的生產者和消費者的配 置問題。圖10 可以想成兩個測度空間（measure space）：一個是消費者的空間，一個是生產者的 空間，其中

µ

_{是生產率，}

⌫

是消費率。我們要考 慮保證生產/ 消費平衡（即保局部面積）的映射

f

，並希望

f

_{能夠極小化運輸的成本，這就是所謂} 的最優運輸問題。 如前述，這個問題可以用蒙日/ 安培方程來幫忙。 我和鄭紹遠30 年前研究凸幾何時的工作，現在正 好可以用在雲端計算上。我們覺得很高興，因為我 們根本沒想到，當年看來漂亮的幾何問題竟然會有 實際的用途。

3D 幾何剪影

各種曲面的流形樣條圖形。