4-2-5排列組合-二項式定理

全文

(1)第四冊 2-5 排列組合-二項式定理【觀察】首先觀察 ( x + y ) n 的展開式中的各種規律：不同類項個數. 二項式. 展開項. 同類項合併. ( x + y )1. +x +y. +x +y. H 12. ( x + y) 2. + xx + xy + yx + yy. + xx + 2 xy + yy. H 22. + xxx + xxy + xyx + yxx + yyx + yxy + xyy. + xxx + 3xxy + 3 yyx. + yyy. + yyy. ( x + y) 3. + xxxx. ( x + y). 4. + xxxy + xxyx + xyxx + yxxx + ( xxyy + xyxy + yxxy + xyyx + yxyx + yyxx) + yyyx + yyxy + yxyy + xyyy + yyyy. H 32. + xxxx + 4 xxxy + 6 xxyy + 4 yyyx + yyyy. 【性質】設 n 為正整數，則 ( x + y ) n 的展開式中： 1. 是每一個括弧中選出一項後再相乘。 2. 共有 2 n 項，也就是係數和。 3. 共有 ( n + 1) 種不同的項。 4. x n − k y k 的係數為 n − k 個 x 與 k 個 y 排列而成， n! = C kn ，稱為二項式係數。即 k!(n − k )!. H 42. 係數表示法 1! = C11 1!0! 4! = C 01 0!1! 2! = C 22 2!0! 2! = C12 1!1! 2! = C 02 0!2! 3! = C 33 3!0! 3! = C 23 2!1! 3! = C13 1!2! 3! = C 03 0!3! 4! = C 44 4!0! 4! = C 34 3!1! 4! = C 24 2!2! 4! = C14 1!3! 4! = C 04 0!4!. 係數和. 21. 22. 23. 24.

(2) 5. 未合併同類項前共有 2 n 項。 6. 合併同類項後共有 H n2 = n + 1 項。 7. ∑ 的表示法不唯一。 8. 展開時注意正負號的問題。【定理】 1. 二項式定理：設 n 為正整數，則 ( x + y) n = C 0n x n y 0 + C1n x n −1 y 1 + " + C kn x n − k y k + " + C 0n x n − n y n n. = ∑ C kn x n − k y k 。 k =0. 可用升冪或降冪排列，一般用對於 x 的降冪來排列。證明：利用數學歸納法當 n = 1 時， ( x + y ) = x + y ，故原式成立。 k. 設 n = k 時，原式成立，即 ( x + y ) k = ∑ C ik x i y k −i i =0. 則 n = k + 1 時， ( x + y ) k +1 = ( x + y) k ( x + y) = (C 0k x k y 0 + C1k x k −1 y 1 + " + C 0k x k − k y k )( x + y ) = (C 0k x k y 0 + (C1k + C 0k ) x k y 1 + " + (C ik + C ik−1 ) x k +1−i y i + " + (C kk + C kk−1 ) x 1 y k + C kk y k +1 ). (利用 C kk = C kk++11 及巴斯卡原理 Cik + Cik−1 = Cik +1 ) = (C 0k +1 x k +1 y 0 + C1k +1 x k +1−1 y 1 + " + C 0k +1 x 0 y k +1 ) 故當 n = k + 1 時，原式也成立 n. n n k k 由數學歸納法可知 ( x + y ) n = ∑ C k x − y ， k =0. 對於任意自然數 n 都成立。註：此公式可以用於估計的問題中。例如： 10. (0.99)10 = (1 − 0.01)10 = ∑ C k10 x 10 − k y k ， k =0. 展開後取近似值即可。 2. 巴斯卡三角形（楊輝三角形） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1. C00 C 01. C11 C 22 C33. C 44. C 34. C 02. C12 C23. C13 C 34. C03. C14. C 04.

(3) 3. 多項式定理： n 設 n 為正整數，則 ( x1 + x2 + " + xk ) =. n! n n n x1 1 x2 2 " xk k 。 n1 + n2 +"+ nk = n n1! n2 !" n k !. ∑. ni ≥ 0,i =1, 2 ,",k. 【問題】 1. 試求 (2 x − 3 y )18 的展開式中， x 5 y 13 的係數為何？ 2. 試求 ( x + y + z + w)10 的展開式中， x 2 y 2 z 3 w 3 的係數為何？ 3. 試證單調性：當 n 為偶數時，有 C0n < C1n < " < C nn 且 C nn > " > Cnn−1 > Cnn 。 2. 2. 當 n 為奇數時，有 C0n < C1n < " < C nn−1 = C nn+1 且 C nn−1 = C nn+1 > " > Cnn−1 > Cnn 。 2 n −1 r. 2. 2. 2. n −1 r −1 n 3. 試證巴斯卡原理： C = C + C 。(註：可配合最短路徑問題說明) 5. 試證： C 0n + C 2n + C 4n + " = C1n + C + C 5n + " 。 n r. 4. 6.. 試證： C 0n + C1n + C 2n + " + C nn = 2 n 。. 7.. 試證： ∑. 8.. n n 試證： ∑ 2 C k =3 n. C kn 3 n =( ) n 2 k =0 2 n. n. k =0 n. 9.. k n 試證： ∑ (−1) C k = 0 。 k =0 n. n n −1 10. 試證： ∑ kC k = n × 2 。 k =0 n. 1 1 ( 2 n +1 − 1) 。 C kn = 1 1 + + k n k =0. 11. 試證： ∑ n. 12. 試證： ∑ (−1) k =0 n. k −1. kC kn = 0 。. 13. 試證： ∑ C kr = C kr++11 。 r =0 n. 2n n 2 14. 試證： ∑ (C k ) = C n 。 k =0. r. m 15. 試證 Vandermonde 恆等式： ∑ C i C rn−i = C rm + n 。. 16. 試證： C. m + n +1` m. =C. m+n m. +C. i =0 m + n −1 m −1. + " + C 0n 。. 17. 試求整數 a, b, c 使得 m 3 = aC1m + bC 2m + cC 3m ，並計算 13 + 2 3 + 33 + " + n 3 的值。.

(4)