小學一般智能資優資源班新生數學解題歷程與策略之分析

(1)

1

小學一般智能資優資源班新生數學解題歷程與策略之

分析

黃家杰1 梁淑坤2 （1. 高雄市明華國中 2. 國立中山大學教育研究所）

摘要

本研究透過Schoenfeld 數學解題歷程六階段，分析小學一般智能資優生數學解題歷程及解題策略，再提供教師具體的教學建議。六位參與者為小學三年級表達能力較佳的資優生。研究者以專家效度方式篩選出四題非例行性數學問題，再讓學生以放聲思考的方式進行數學解題，並採專家信度進行原案分析。研究結果發現，第一，在解題歷程階段與成敗方面，資優生數學解題大都符合Schoenfeld 解題歷程，其中四位呈現較多階段歷程比較會解題；更有一位在各題解題過程中皆無驗證階段，答對二題；還有一位則較少出現分析、計畫、探討、與驗證階段，僅答對一題。第二，在資優生的解題策略方面，資優生的解題策略具多元性且靈活，並非僅嘗試單一策略。研究者發現，資優生在各題解題過程中靈活運用抽象表徵、繪圖表徵、逆推、替代、及嘗試錯誤等策略，來輔助瞭解及探索題意完成解題。至於教學建議，六位學生雖然皆為資優生，但並未所有的一般智能資優生其探討、計畫、與驗證等能力都具備。所以，建議未來資優教育的教學，可利用數學來訓練學生探討、計畫與驗證等能力；善用團體討論的方式，讓學生獲得更多的解題策略。藉由數學解題，培養資優生高層次的思考能力。關鍵字：資優教育、數學解題通訊作者：梁淑坤 law@mail.nsysu.edu.tw

(2)

壹、緒論

一、研究背景

我國資優教育自1973 年實驗計畫至今，歷經三十餘年。吳武典（2003）提到特殊教育基本理念在因材施教，注重個別化教學，無論是能力分班、分化性課程或加速，均可提高資優教育這一類「特殊教育需求」，學生挑戰性經驗或充實的機會，以盡展所能。現今小學階段大都由以往集中式的數理資優班轉為招收一般智能（general intellectual ability）資優資源班，採分散式的模式來進行教學，而不再以「數理」資優生為主。所謂的一般智能資優生（gifted student）依據教育部頒鑑定標準第十四條規定是指在記憶、理解、分析、綜合、推理、評鑑等方面較同年齡具有卓越潛能或傑出表現者，其智力或綜合性向測驗得分在平均數正一點五個標準差或百分等級九十三以上者。在小學階段以發展資優生潛能，拓展資優生在應用、分析、綜合、評鑑等方面高層次的思考能力訓練，而不應僅停留於知識記憶與理解的課程訓練。強調以個別化與高層次思考能力訓練的資優教育觀點，我們發現無論在國內或國外資優教育文獻（Gallagher, 1985; 毛連溫，2001）都強調學生問題解決（problem-solving）能力的培養，它是一種思考能力的訓練。在資優教育教學歷程當中，「數學」也用來訓練學生問題解決與發現問題的能力（Gallagher, 1985）。本研究主要探究國內小學資優班新生在數學解題上的表現，有利於未來資優班教師在規劃從數學解題來訓練小學資優生問題解決思考能力的課程，並讓普通班教師了解資優生在數學解題方面的思考模式。

二、研究目的

根據上述研究背景，本研究目的針對高雄市經一定程序鑑定出來小學一般智能資優班新生，探究資優生數學解題歷程（process）；及探究資優生數學解題的策略（strategies）。

(3)

貳、文獻探討

一、解題歷程與相關研究

Polya (1945)、Schoenfeld (1985)、Lester (1985)及梁淑坤(1999)皆曾提出數學解題歷程。研究者深入各學者所提出的解題歷程的內容發現，其彼此之間是相似的，只是階段分類不同。以Schoenfeld 的解題歷程六階段的分類較為詳細，易於分析小學生的解題歷程，其分別為讀題、分析、探討、計畫、執行、及驗證，適合作為資優生數學解題歷程分析的理論依據。 表 1 數學解題歷程理論比較表 理論提出者階段一階段二階段三階段四階段五階段六 Schoenfeld (1985) 讀題分析探討計畫執行驗證 Polya (1945) 了解問題擬定計劃執行計劃回顧解答定向組織執行驗證 Lester (1985) 問題覺察目標分析問題理解歷程評估計畫發展執行解答評估根據數學解題歷程相關研究(Sriraman, 2003; 孫達剛，1992；劉貞宜，2001) 發現，數學能力高的學生都能符合數學家所提出的解題歷程。就Schoenfeld (1985) 的解題六階段而言，一般智能的資優生，其思考能力優於一般人，在普通班的數學成績亦在全班前20%。所以，資優生的解題歷程應該也符合讀題、分析、探索、計畫、執行、驗證等六階段。

二、解題策略與相關研究

Schoenfeld (1985)在 Mathematical problem solving 一書提到，他在加州大學 Berkeley 分校針對大學生所做的解題相關研究發現，這群大學生常用的解題策略

(4)

包括：類推、引入輔助元素、輔助問題、歸謬法、由已知來推論、分解或重組、執行相關問題、畫圖、類化、使用反論、特殊化、簡化、間接證明、變化問題，逆推。他的研究是針對大學生，而且題目比較複雜。然而，本研究所運用的題目困難度要需與參與者能力相當，小學生能否完全應用上述策略於解題過程，值得疑義。劉貞宜（2001）綜合 Kilpatrick (1967)的解題策略及 Webb (1975)的特殊解題策略歸納成十五種策略。除此之外，劉貞宜（2001）針對建中三位數理資優生研究發現，數學資優生常利用解題策略來理解、探索方向及突破困難，且解題策略的使用多元，也常利用解題策略來幫助自己理解、思考、探索、聯結及推理，讓整個解題變得更順暢及快速。另外，劉貞宜發現能力特優的數學資優生使用策略明顯多於能力中上即能力稍弱的資優生。Cohen 和 Stover (1981)發現，資優學生在解題時，會自行將較難的字彙換掉，將句子的長度縮短，將無關資料刪除及作出輔助圖表。綜合以上所述，及根據研究者之教學經驗，研究者發現資優生曾應用過的解題策略如：繪圖表、逆推、引入輔助元素（替代）歸納找尋規律及嘗試錯誤等策略，符合上述學者所提之數學解題策略。

參、研究方法與設計

一、研究方法

本研究之研究方法採質性研究的方法，以放聲思考（thinking aloud）與紙筆測驗蒐集學生解題歷程的資料，並輔以訪談蒐集相關資料。將資料依據 Schoenfeld (1985)的「讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證」等數學解題六階段編碼分析以了解學生的解題歷程，並分析學生解題歷程中所使用的策略與情意特質。在信效度方面，數學題目的效度採專家效度，另外，採專家評量一致性來增加原案分析之信度。

二、研究對象

(5)

本研究以高雄市2003 年度鑑定合格的某小學三年級資優生為對象。考量研究之方便性，以研究者方便取樣之學校為樣本對象。因學生為鑑定合格之一般智能資優生，其成績表現皆在班級前20%，團體智力測驗在 1.5 個標準差以上。所以，研究對象挑選以語言表達能力較佳的學生為主，有利於放聲思考之資料蒐集。研究對象一共挑選六位學生，其中男生三位，女生三位。

三、研究工具

問題以非例行問題為主，所謂非例行性問題，就是解題者未曾練習過的問題，或者是曾經練習過但時間已久而全然忘記的問題。問題設計主要參考二年級及三年級數學奧林匹克（徐則洲、陳潔雲、李金生、李濟元，2000a，2000b）、黃敏晃（2000）撰寫的規律的尋求，解題相關研究文獻（Schoenfeld, 1985; 謝淡宜，1998，1999）等。研究者挑選出十題非例行性問題，並將該十題問題之數學能力區分為：尋求規律、數的概念、邏輯推理等三類。接著，研究者請三位任教於國小低年級五年以上且具碩士學位之教師，依據自訂問題篩選標準及學生語文能力與數學能力，篩選出適合且非學校內數學教學的例行性問題，也就是非例行性問題。從三位教師勾選的八題題目中挑選六題得票數較高的問題（見表 2。題號：2、3、1、8、5、10）進行預測。在進行預測之前，研究者先請六位三年級普通班學生進行數學題目語意的修正，以符合三年級學生在數學問題題意的理解。題意修正完畢後，研究者請二位資優生進行預測（pilot study）篩選出四題（題號：3、1、8、5）題目作為本研究解題佈題的「數學題目」。題目分別如下：題號一，為九宮格題「請將1、2、3、4、 5、6、7、8、9 這九個數字填入空格中，使橫、直、斜加起來的和相等。」題號三，為月曆題「2003 年 3 月 1 日是星期三，請問 2003 年 7 月 9 日是星期幾？」題號五，為直式加法「下面直式加法算式中△、☆、□這三個符號各代表 0、1、 2、3、4、5、6、7、8、9 中的某一個數字，△、☆、□這三個符號代表的數字不可以重複，請找出△、☆、□這三個符號各代表哪一個數字？」

(6)

題號八，為蝸牛題「一個井有10 公尺深，一隻蝸牛總是在白天往上爬 5 公尺，而在夜晚時往下滑 4 公尺。如果這個蝸牛從井底開始爬，請問蝸牛幾天後就可以爬出井外？（蝸牛爬到井口後就不會再往下滑了）。」 表 2 數學題目分析表 數學能力題號問題名稱備註 2 數三角形練習放聲思考題尋求規律性 3 月曆本研究數學題目 1 九宮格本研究數學題目數的概念 8 蝸牛本研究數學題目 5 直式加法本研究數學題目邏輯推理 10 挑水學生常誤解題意，不列入本研究題目。經三位國小低年級老師勾選後，挑選六題數學題目，請六位三年級學生進行語意修正後，並請二位三年級資優生預測後，篩選出四題作為本研究佈題的數學題目。其中挑水題學生較易誤解題意，不列入本題研究。而三角形題，學生都直接看圖直接在數三角形，且容易數錯，亦放棄該題，將該題列入解題前的放聲思考練習題。其餘月曆、九宮格、蝸牛及直式加法等四題經預試後發現較適合本研究之數學題目。並依其難易度「蝸牛、直式加法、月曆、九宮格」為排序讓學生進行解題。學生在解題過程並無時間限制，主要是要瞭解學生的整個解題歷程，整個解題歷程完成的時間則以學生自行決定該題已完成解題或停止繼續作答。 △ ☆ ＋ ☆ □ ☆ □ ☆

(7)

四、資料分析

根據相關研究文獻分析與研究目的，本研究主要探討一般智能資優生在解題歷程、解題策略等方面為主要架構。在解題歷程方面，探究小學一般智能資優新生在各階段解題歷程表現情形。解題歷程依據Schoenfeld (1985)「讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證」六大階段為主要觀察分析架構。在數學策略方面，主要是分析學生在解題歷程中擅用哪些策略輔助解題，根據文獻整理在數學解題方面的策略包括：繪圖表徵、逆推、歸納找尋規律、嘗試錯誤及替代等。

肆、研究結果與分析

本研究針對六位三年級一般智能資優資源班學生為研究對象，採立意取樣選取三位女生：小姮、小茹、小珍等；三位男生：小迅、小揚、小涂等。施予蝸牛、直式加法、月曆、九宮格等四題非例行性問題。以放聲思考蒐集資料並撰寫文字稿。研究者根據逐字稿進行分析，並抽取小姮蝸牛、小珍月曆、小涂直式加法、小迅九宮格等四題，請曾修過數學解題之研究生，進行專家一致性的信度檢定，二者分析結果完全一致。本研究主要分析資優生「數學解題歷程」與「數學解題策略的應用」等二部分。

一、數學解題歷程分析方面

本研究發現（表 3），三年級資優班新生在解題過程，解題成功較多者，如小姮、小茹、小迅、小涂，他們大都會出現如Schoenfeld（1985）所題的讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證等階段。而解題成功機率較少的小珍可以發現，她較少有分析與計畫的階段。深入探討小珍的解題歷程發現，小珍一看完題目就立即著手解題，四個題目都有一個共同的特徵，就是小珍會讀題後立即寫上數字運算式子，或立即在九宮格上填上數字，結果都會發現自己錯了。在解題後被問各題各種解題方式時，其皆回答「亂猜」的，或是「直覺」要這樣寫，由此可知，其未經過深思的分析與計畫就立即執行解題。至於小揚，則在四題解題後皆無驗證階段。就整體而言，研究者發現，這六位資優生在解題時，不是每次都會出現

(8)

外顯的計畫階段。雖然，本研究希望學生將心中所想的儘量說出來，也透過練習題讓學生練習放聲思考的解題，但在解題過程未顯現出計畫的階段亦未表示學生完全無計畫階段，或許已在心中產生而未外顯表達出來，在本研究中並未對此深入探究，此乃本研究之限制。另外，本研究結果，與劉貞宜（2001）針對三位建中數學資優生的研究結果發現相同，也就是，能力越高的學生解題路徑越多，所呈現的歷程階段越多，而能力較弱的小珍則常常使用無系統的假設或嘗試錯誤來探索題目。 表 3 解題歷程階段統計表 蝸牛直式加法月曆九宮格題目歷程學生姮茹珍迅揚涂姮茹珍迅揚涂姮茹珍迅揚涂姮茹珍迅揚涂成敗成成敗成敗成成成成成成成成成敗敗敗成成敗敗成成成讀題 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 分析 * * * * * * * * * * * * * * * * * 探討監控 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 計畫 * * * * * * * * * * * * * 執行 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 驗證 * * * * * * * * * * * * * * 本研究的解題歷程圖（圖 1）是依據 Schoenfeld（1985）的方式表示。因受限於篇幅，僅以抽象表徵的小迅為例。根據圖 1 可以發現，小迅符合 Schoenfeld(1985)讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證等六個階段階段，唯計畫階段較不明顯。我們亦可發現，小迅依循著讀題、分析、計畫、執行、驗證之順序進行。小迅都以抽象表徵的方式來完成。如「先扣除最後一次直接跳上去的蝸牛」、「十位數著手邏輯推理的直式加法」、「除七餘五的月曆」、「九八七要分開

(9)

的九宮格」等四題。 第一題：先扣除最後一次直接跳上去的蝸牛 「一個井有10 公尺深，一隻蝸牛總是在白天往上爬5公尺，而在夜晚時往下滑4公尺。如果這個蝸牛從井底開始爬，請問蝸牛幾天後就可以爬出井外？（蝸牛爬到井口後就不會再往下滑了）。」小迅在蝸牛題的解題歷程依循著讀題、分析、計畫、執行、驗證等歷程與順序進行，並在過程中展現監控探索階段的行為。然而，在小迅的解題歷程逐字稿中發現，其讀題後，停了一會，就分析並提出計畫說「它說一個井有十公尺，可是蝸牛白天往上爬五公尺」，「那牠最後一次要爬的時候牠直接跳上去，就不會再 圖 1 小迅解題歷程圖 蝸牛題驗證執行計畫探討分析讀題直式加法題驗證執行計畫探討分析讀題月曆題驗證執行計畫探討分析讀題九宮格題

(10)

驗證執行計畫探討分析讀題解題成功解題失敗＊給學生提示註：本表橫軸為階段歷程時間軸往下滑了」，小迅注意到問題的所有條件，亦搜尋條件和目標的關連性。於是小迅以抽象表徵的方式執行，先將他認為最後一次會直接跳上去的計畫，將十公尺先減掉最後一次白天往上爬的五公尺。接著以白天所爬的距離五公尺，減掉晚上滑下的四公尺，得到每天早晚僅能上升一公尺，將扣除最後一次白天爬升五公尺所剩餘的距離，除以每天僅能上升的一公尺，求得剩餘距離需花五天的時間來完成。將五天再加上最後一次往上爬的時間，共花費六天時間來完成。之後，小迅重新檢查其整個計算過程，驗證確定無誤後，表示完成。小迅在整個蝸牛題的解題過程，已覺察並瞭解到題目強調的「蝸牛爬到井口後就不會再往下滑」，並依照其一定計畫，先扣除最後一次白天往上爬的距離來執行完成解題，其所採取的行動具有方向與重點，符合探討階段之行為。另外，筆者發現，小迅在看完題目後，停了一會才進行，筆者認為小迅在那個時間，針對題目進行初步分析與計畫。 第二題：十位數著手邏輯推理的直式加法 「下面直式加法算式中△、☆、□這三個符號各代表0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的某一個數字，△、☆、□ 這三個符號代表的數字不可以重複，請找出△、☆、□這三個符號各代表哪一個數字？」小迅在本題的解題過程，在讀題後，以分析與執行等二階段相互交替的方式進行解題。小迅從十位數著手，分析發現二個十位數字相加，其進位不會超過二，於是執行推得和的百位數字星形為一。接著分析個位數的線索以尋求正方形的答 △ ☆ ＋ ☆ □ ☆ □ ☆

(11)

案為目標，小迅提出「一加多少會是一樣？」，接著執行求得正方形為零。最後再依據三角形加一等於十的方式，求得三角形為九。整體解題行動而言，具有一定的方向，且有掌握到該題解題之重點，符合探討之行為，另外，小迅還是會將整個解題過程在檢查一次後，結束其解題活動。唯在本題解題歷程中，未明顯見到小迅有計畫之行為。 第三題：除七餘五的月曆 「2003年3月1日是星期三，請問2003年7月9日是星期幾？」小迅在本題的表現，亦未聽到明顯的計畫階段，但其仍可依照一定的方向與重點的探討監控階段特質來進行解題。整個解題歷程大至仍依循著讀題、分析、執行、驗證等順序與階段。小迅讀題後，並未立即解題，其停了一下，分析探討大月、小月的日數，與月曆經驗相結合。執行由三月一日到七月九日一共有一百三十一天，以每週七日為單位，將一百三十一除以七，餘五。小迅由星期四開始分配剩餘的五日，答案為星期一。最後小迅檢視自己的計算過程驗證後，並未覺察一百三十一天包含三月一日，剩餘的五日應由星期三開始計算，本題正確答案應為星期日，而非小迅所計算的星期一。 第四題：九八七要分開的「九宮格」 「請將1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字填入空格中，使橫、直、斜加起來的和相等。」小迅在本題的解題歷程，可以看出其充分表現出讀題、分析、計畫、執行、驗證、探討監控等六個階段。小迅讀題後，想了一下，分析「一」到「九」數字間的關係，因為五在這列數字的中間位置，於是決定將五放置在九宮格中間，並計畫從九、八、七等三個較大數字著手，認為這三個數字不會在同一線上。依據此目標開始執行其計畫，一開始尋求以和為十六的組合，不斷地嘗試各種組合尋求解答，後來更改和為十五一次就成功解出。在過程中，小迅不斷地監控其計算過程是否有誤。並且在最後解出答案時，仍將橫直斜再加總一次，以驗證答案是否正確。

(12)

二、數學解題策略之分析

本研究發現這六位一般智能資優班新生最常善用的策略為抽象表徵、逆推、歸納尋找規律性、及嘗試錯誤（表 4）。除此之外，可以發現資優生利用解題策略來理解問題、探索方向，且策略也較為多元（表5），此結果與劉貞宜（2001）針對建中三位數學資優生的研究結果相符合。劉貞宜（2001）表示資優生利用解題策略來幫助自己理解、思考、探索、聯結及推理，讓整個解題更舒暢與快速。 表 4 解題者在各題使用的解題策略 題號策略學生蝸牛直式加法月曆九宮格抽象表徵姮、珍、迅、涂、揚繪圖表徵茹、涂涂逆推迅茹、迅姮歸納尋找規律性姮、茹、迅、揚姮、珍、迅、揚、涂嘗試錯誤茹、珍、涂珍姮、茹、珍、迅、揚、涂替代姮、茹、揚 表 5 六位解題者使用的解題策略 學生策略小姮小茹小珍小迅小揚小涂抽象表徵 * * * * * 繪圖表徵 * *

(13)

逆推 * * * 歸納尋找規律性 * * * * * * 嘗試錯誤 * * * * * * 替代 * * * 以「蝸牛題」與「月曆題」為例：（一）蝸牛題：六位解題者在本題的解題策略大致可分為二類：一為抽象表徵；二為繪圖表徵。另外，還有應用逆推的策略。 1. 抽象表徵：小姮、小珍、小迅、小揚利用抽象表徵的方式進行解題，根據問題「蝸牛白天往上爬五公尺，夜晚往下滑四公尺」，以「加五」代表往上爬五公尺；以「減四」代表往下滑四公尺。另外，小涂雖以繪圖表徵來進行解題，但其亦採用抽象表徵的方式來進行驗證。 2. 繪圖表徵：小茹、小涂以繪圖表徵的方式進行解題，他們依題意先畫下一口十公尺的井，再從井底每日往上畫五公尺、往下畫四公尺，以求得答案為六天。 3. 逆推：這六位解題者當中，小迅還應用了逆推的策略。小迅「那他最後一次要爬的時候他直接跳上去，就不會再往下滑了。他之前無法一口氣跳到上面去，一次只能先跳五公尺，所以十要先減五。」。以目標十公尺先扣除最後一次往上爬行的距離五公尺。剩餘的五日再逐日爬行。（二）月曆題：六位解題者在本題的解題策略的應用大致可分為四類：一為繪圖表徵；二為逆推；三為歸納尋求規律性；四為嘗試錯誤。 1. 繪圖表徵：小涂以繪製月曆的方式來求得七月九日為星期日。 2. 逆推：小姮「我本來要用一百除以七，但是這樣很難，所以我就改成七乘以

(14)

九等於六十三，然後七乘以五等於三十五，然後加二等於一百，再加二十九天就是一百二十九，這樣就可以開始算是星期幾。」 3. 歸納尋求規律性：小姮、小茹、小迅、小揚皆以一週有七天的週期規律性來解題。如小姮、小迅以除七的方式，而小茹、小揚則以加七的方式來解題。 4. 嘗試錯誤：小珍以嘗試錯誤的方式解題，有時加七，有時加每個月的天數，用直覺在解題。

伍、結論與建議

本研究之主要待答問題為：在資優生的解題歷程中，根據Schoenfeld (1985) 的數學解題六階段，資優生的解題的歷程為何？使用哪些解題策略？（一）解題成功率高的資優生程符合Schoenfeld 解題六階段解題成功較多者大都會出現如Schoenfeld (1985)所提出的讀題、分析、探討、計畫、執行、驗證等階段。而解題成功機率低者，較少出現分析與計畫的階段。（二）資優生的解題策略靈活且多元本研究發現這六位一般智能資優班新生最常善用的策略為抽象表徵、逆推、歸納尋找規律性、及嘗試錯誤。策略應用上亦較為靈活且多樣性，並不會僅嘗試單一策略。另外，由上述「蝸牛題」與「月曆題」為例得知，解題者在各題的解題策略應用亦有所差異。最後，研究者根據研究結果，提出教學方面的建議：（一）加強訓練探討、計畫、與驗證等能力本研究發現，雖然這六位學生皆為資優生，但並未所有的一般智能資優生其探討、計畫、與驗證等能力都具備。然而，資優教育著重思考能力的訓練，更需加強其探討、計畫與驗證的能力。所以，在數學方面的教學，可訓練學生探討、計畫與驗證等能力。

(15)

（二）討論分享的機會增進解題策略的學習與應用資優生的解題策略多元且靈活，可藉由討論分享的機會來促進其他成員藉由同儕學習的方式獲得更多的解題策略，靈活學生的思考。學生能解此搭便車的方式增廣其解題策略的能力與應用。

參考書目

毛連塭（2001）。如何實施資優教育。台北：心理出版社。吳武典(2003)。三十年來的台灣資優教育。資優教育季刊，88，1-5。孫達剛（1992）。雄中、雄女學生數學解題之研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。徐則洲、陳潔雲、李金生、李濟元(2000a)。小學奧林匹克讀本(二年級)。新竹市：凡異出版社。徐則洲、陳潔雲、李金生、李濟元(2000b)。小學奧林匹克讀本(三年級)。新竹市：凡異出版社。梁淑坤(1999) 。從擬題研究提出數學教學建議。新典範數學(184-220). 高雄: 高雄市政府公教人力資源發展中心。黃家杰(2004) 。國小一般智能資優資源班新生數學解題歷程之分析。國立中山大學教育學系研究所碩士論文。黃敏晃(2000)。規律的尋求。台北：心理出版社。劉貞宜(2001)。數學資優生的解題歷程分析—以建中三位不同能力的數學資優生 為例。資優教育研究，2(1)，97-120。 謝淡宜(1998)。小學五年級數學資優生與普通生數學解題時思考歷程之比較。臺南師院學報，31,225-268。謝淡宜(1999)。國小數學資優生及普通生「數學解題」歷程之比較(四年級)。臺南師院學報，32,297-367。

(16)

format variables of math word problems. Reading Research Quarterly, 16, 175-199.

Gallagher J.J. (1985). Teaching the Gifted (3rd). Newton, MA:Allpn and Bacon Inc. Goldin G.A. (1982). Department of Mathematical Sciences Northern Illinois

University. In F.K. Lester & J. Garofalo, Mathematical Problem Solving Issues

in Research（pp.87-101）. Philadelphia, Pa.: Franklin Institute Press.

Kilpatrick, J. (1967). Analyzing the solution of word problems in mathematics: An exploratory study. Dissertation Abstracts International, 28(11), 4380A. Polya, G.（1945）. How to solve it. New York: Doubleday.

Schoenfeld, A.H.（1985）.Mathematical problem solving. Orlando, Fla.: Academic Press.

Sriraman B. (2003). Mathematical Giftedness, Problem Solving, and the Ability to Formulate Generalizations: The Problem-Solving Experiences of four Gifted Students. The Journal of Secondary Gifted Education, 3(14), 151-165. Webb, Norman. L. (1975). An Exploration of Mathematical Problem Solving