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# 國小中年級資優生數學解題歷程分析

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### 博碩士論文授權書

(國科會科學技術資料中心版本，93.2.6)

ˇ 同意 □ 不同意

（親筆正楷） （務必填寫）

1. 本授權書 (得自

### http://www.stic.gov.tw

2. 授權第一項者，請確認學校是否代收，若無者，請個別再寄論文一本至台 北市(106)和平東路二段 106 號 1702 室 國科會科學技術資料中心 黃善平 小姐。(電話:02-27377606 傳真：02-27377689)

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(5)

### 國小中年級資優生數學解題歷程分析 摘要

(6)

Analysis of Mathematical Problem Solving Processes of Middle Grade Gifted and Talented (GT) Elementary School Students

### Summary

The purpose of this research is to study the mathematical problem solving processes, strategy use and success factors of middle grade gifted and talented (GT) elementary school students.

This research is based on 9 mathematical problems edited by the author and divided into the following categories: “numbers and quantity,” “shape and space,” and “logical thinking.” Seven GT students from Ta-Tung elementary school in Kaohsiung were selected as target students in the study. Besides, the seven students were translated into original cases using a thinking aloud method. Here are the conclusions:

First of all, when facing non-traditional problems, GT students may use different problem solving steps to solve different problems and may not show all detailed steps for every single problem. The same types of problems may not have the same problem solving steps. Missing any single step would have no impact on the answers. Problem solving sequence may not fully follow the traditional 5-step sequence: study the problem, analyze, plan, execute, and verify, and, instead, may dynamically adjust the steps according to the thinking.

(7)

Secondly, GT students’ problem solving strategy includes more or less the following 19 methods: trial and error, tabling, looking for all possibilities, a combination of numbers, listing all possible answers, classifying the length of each side, classifying graphics, classifying points, adding extra numbers (the triangle problem), drawing, identifying rules and repetition, summarizing, forward solving, backward solving, remainder theory, polynomials, organizing data, direct solving, and making tallies.

Finally, problem solving success factors are tightly coupled with problem solving knowledge, mathematical capability, and problem solving behavior. Problem solving knowledge includes knowledge of language, understanding, basic models, strategy use, and procedural knowledge.

Instances of mathematical capability are capability of abstraction, generalization, calculation, logical thinking, express thinking, reverse thinking, dynamic thinking, memorizing, and space concept. Problem solving behavior includes the sense of understanding the problem and mathematical structure, keeping track of all possible pre-conditions, good understanding of the relationship between the problems and the objectives, applying related knowledge or formulas, verifying the accuracy of the answers, and resilience for problem solving.

In addition to discussing the research results, future directions and recommendations for teaching mathematics for GT and regular students are highlighted.

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(9)

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(12)

### 第一節 研究動機

「問題解決」列為重點之一(NCTM, 2000)。歷年來國際組織 PME

(13)

(Psychology of Mathematics Education)發表的研究報告中數學解題也 是研究重點之一。

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### 第一節 數學解題的意義

1962)

(17)

1.求解題(problems to find)：求解題最主要的目的是要求出確定的對象 (certain object)—問題的未知數(unknown)，這未知數要能夠滿足問 題的條件(condition)把問題未知量與已知量(data)的條件聯繫起來。

2.求證題(problems to prove)：求證題最主要目的是發現假設 (hypothesis)和結論(conclusion)之間的邏輯連繫(binding logical line)。

4.接近研究級的問題。

1.例行的問題(one rule under your nose 或 routine problems)：把正在 學的或討論的規則（或運算），拿來作機械式的應用(mechanical application)就能解決的問題。

2.有選擇的應用題(application with some choice)：要應用以前學過的 規則或步驟才能解決，但以前學過的不只一種，所以解題者需要作 一些判斷以選擇適用的規則或步驟。

3.選擇一種組合(choice of a combination)：要求解題者把二個以上的 學過的規則或例子組合起來才能解出來的題目。

4.接近研究級的問題(approaching research level)：這種題目要求解題 者把二個以上的規則或例子作有創意的組合才能解題，但此種組合 會有許多分支(ramifications)，且要求相當高層次的獨立思考，以及 使用到擬真推理(plausible reasoning)。

1.單一步驟問題(one-step problems)。

2.多步驟問題(multiple-step problems)。

3.歷程問題(process problems)。

(18)

4.應用問題(applied problems)。（孫達剛，民81，頁9）

Thomas 則將數學問題的種類分為下列五項：

1.認知的問題：認知或回憶特殊事實、定義或定理敘述之問題。

2.運算法則的問題：可以一步一步用運算規則或程序解出來的問題。

3.應用問題：可以將問題化為符號式，再解此代數式的問題。

4.探索式問題(open-search)：不含解題策略提示的問題。

5.情境問題(problem situation)：提出一個問題的情境，然後要求學生 思考，或自行提出問題而後回答。（孫達剛，民81，頁9）

Kilpatrick(1985)曾以三個不同觀點來敘述數學解題的意義（引自涂金 堂，民 84）：

(19)

Lester 認為倘若問題的解答須涉及數學技能、概念和程序便是數學問 題。（孫達剛，民 81，頁 9）而數學解題即是指個人面臨一種沒有算式可 以保證獲得解答的情境，而個人必須利用所擁有的相關訊息，去獲得問題 解答所涉及數學技能、概念之過程。

### 第二節 數學解題的歷程

Polya(1945)是最早有系統提出解題策略的學者，他在其所著的「怎樣 解題」(How to solve it)一書中，強調解題的重要性，並將解題歷程分為四 個階段：1.瞭解問題(understanding the problem)；2.擬定計劃(devising a plan)；3.執行計劃(carrying out the plan)；4.回顧解答(1ooking back)。

Lester(1980)以六階段來描述數學解題，並強調這六個階段相互的關 係。如下所述：

（一）察覺問題(problem awareness)：解題者對所面臨的情境，能覺察到 是一個問題，並且有意願解決問題。

（二）理解問題(problem comprehension)：這個階段包含兩個子階段：

(20)

1.轉譯(translation)：解題者將問題提供的訊息譯成自己可以理解的 語句。

2.內化(internalization）：解題者選取相關的訊息，並判斷其相關的 程度。

（三）目標分析(goal analysis)：將問題變形以便應用熟悉的策略與技巧。

1.任何子目標可以幫助達成目標嗎？

2.這些目標有一定的次序嗎？

3.這樣的次序編排恰當嗎？

4.能正確認清運算條件嗎？

（四）計畫發展(plan development)：解題者擬定一個可行計畫、清楚可行 的策略，將子目標編列程序和詳細運算。解題者要能了解解題進行 的程序和方法，並注意下列事項：

1.是否有其他的方法可以解這個題目？

2.是否有更好的方法？

3.曾經解過這個問題嗎？

4.這樣的計畫能達成目標或子目標嗎？

（五）計畫執行(plan implementation)：解題者執行擬定的計畫，並且注意 下列事項：

1.使用這個策略正確嗎？

2.計畫的步驟順序正確嗎？是否能使用不同的順序？

（六）程序和解答評估(procedures and solution evaluation)：此階段不僅要 檢查答案是否有意義，而且從目標分析到發現解答的整個程序，皆 屬評估範圍。

(21)

1.轉譯(translation)：解題者將問題提供 的訊息譯成自己可以理解的語句。

2.內化(internalization)：解題者選取相 關的訊息，並判斷其相關的程度。

1.任何子目標可以幫助達成目標嗎？

2.這些目標有一定的次序嗎？

3.這樣的次序編排洽當嗎？

4.能正確認清運算條件嗎？

(plan development)

1. 是 否 有 其 他 的 方 法 可 以 解 這 個 題 目？

2.是否有更好的方法？

3.曾經解過這個問題嗎？

4. 這 樣 的 計 畫 能 達 成 目 標 或 子 目 標 嗎？

1.使用這個策略正確嗎？

2.計畫的步驟順序正確嗎？是否能使 用不同的順序？

(22)

Schoenfeld(1985)強調數學解題的研究方向需要考慮四個變項：資源 (resources)、捷思(heuristics)、控制(control)及信仰信系統(belief system)。

(23)

R1：注意到問題所有條件嗎？條件是明顯的？或是模 糊的？

R2：正確了解目標狀態嗎？目標狀態是明顯的？或是 模糊的？

R3：是否評估解題者現有知識與問題的關係？

A1：選擇什麼觀點？選擇是明顯的或是不明顯的？

A2：選擇問題條件採取行動嗎？

A3：根據問題目標採取行動嗎？

A4：條件和目標有何關聯？

A5：解題者的行動（A1-A4）合理嗎？

E1：本階段是問題的條件引起的？或目標引起的？

E2：所採行動有方向或重點嗎？行動有目的嗎？

E3：有無監視行為？監視行為的有無對解答的結果有 何影響？

E4：解題者所採取的行為是否合理？

(planning-implementation)

PI1：是否有計畫行為？

PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？是否有良好 架構？

PI3：學生是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？

PI4：執行是否依計畫有系統的進行？

PI5：是否在局部或整體層次評估執行？

PI6：評估之有無對結果的影響如何？

V1：解題者是否重新檢查解答？

V2：有無考驗解答？如果有的話，如何考驗？

V3：有無歷程及解答的評估？對結果的信心有多少？

T1：對解題的當前狀態有無評估？若放棄一種解題途 徑，是否企圖利用其中有用的部份？

T2：有無評估先前放棄的解題途徑，對解答產生的局 部與整體影響如何？所採行動適當而必要嗎？

T3：是否評估採取新途徑的短程或長程的影響？或直 接跳入新的方法？

T4：採用新途徑後有無評估短程及長程影響如何？行 動是否適當而必要？

(24)

Mayer(1992)將解題歷程分為兩個步驟，每個步驟又包含二個子步 驟，分述如下：

（一）問題表徵(problem representation)：即將文字或圖案轉換成心理表 徵，又包含二個子步驟。

1.問題轉譯(problem translation)：將每一個句子或主要的詞句轉變為 內在心理表徵。問題轉譯需要有良好的陳述性與程序性知識，而且 將問題從文字表徵轉換成心理表徵是不太容易的。

(25)

2.問題整合(problem integration)：問題整合要求學生將問題的敘述組 合成連貫的表徵，為了整合問題的訊息，需要具有基模知識

(schematic knowledge)，以區分問題的類型。

（二）問題解決：即從問題的心理表徵進行到最後答案的過程，含二個步 驟如下：

1.解答的計畫與監控(solution planning and monitoring)：計畫與監控需 要具有如何解決問題的策略知識。

2.解答的實施(solution execution)，需要以程序性知識正確且有效的應 用算則，以執行計算工作。

(26)

1.要求解（證）的問題是什麼？它是哪種類型的問題？

2.已知條件（已知數據、圖形、事項、及其與結論部份的聯繫方 式）是什麼？要求的結論（未知事項）是什麼？

3.所給圖形和式子有什麼特點？能否用一個圖形（幾何的、函數 的或示意的）或數學式子（對文字題）將問題表示出來？能否 在圖上加上適當的記號？

4.有什麼隱含條件？

1.這個題目以前做過嗎？

2.這個題目以前在哪裡見過嗎？

3.以前做過或見過類似的問題嗎?當時走怎樣想的？

4.題中的一部份（條件、或結論、或式子、或圖形）以前見過嗎？

5.題中所給的式子、圖形，與記憶中的什麼式子、圖形相像？它 們之間可能有什麼聯繫？

6.解這類問題通常有哪幾種方法？哪種方法較方便？試一試如 何？

7.由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求未知結論，需知 道哪些條件？

8.與這個問題有關的知識（基本概念、定理、公式等）有哪些？

(27)

1.能否將題中複雜的式子化簡？

2.能否對條件進行劃分，將大問題化為幾個小問題？

3.能否將問題化歸為基本命題？

4.能否進行變量替換、恆等變換或幾何變換，將問題的形式變得 較為明顯一些？

5.能否形—數互化？利用幾何方法來解代數問題？利用代數方法 來解幾何問題？

6.利用等價命題律（逆否命題律、同一法則、分斷式命題）或其 他方法，可否將問題持化為一個較為熟悉的等價問題？

7.最終目的：將未知轉化為已知。

(28)

1.閱讀（R）：先將問題讀過 問題的覺察 閱讀 觀察

2.分析（A）：將問題徹底理解，並將問 題轉譯為內在心理表徵，整合問題成 連貫一致的表徵

3.計畫（P）：將題目與欲解之問題聯結 擬定計劃 計劃的發展 計劃 解 答 的 計 畫 與 監控

4.執行（I）：依擬定之計主選擇策略執

5.驗證（V）：再驗證解答是否正確 回顧解答 程 序 和 解 答 的

(29)

1.讀題（R）

Rl 閱讀題目：閱讀全部或部份題目的敘述。

R2.重讀題目：將題目重新閱讀。

2.分析（A）

A1.重述題意。

A2.辨別條件：知道已知數、未知數、和隱含的條件。

A3.畫圖表徵。

A4.以字詞、圖形、或符號等方式來簡化問題。

A5.回憶相關訊息（如相關的概念、問題、或方法）。

A6.尋找規則：解題者在未確定如何解題前，探求條件的規則性。

A7.測試或嘗試錯誤：解題者先以數字代入測試。

3.計畫（P）

P1.確定目標。

P2.根據已知條件及所求的條件，列出運算的式子。

4.執行（I） I1.依照計劃，運用公式或以往學過之程序進行解題。

5.驗證（V）

V1.檢查結果是否合理（可用逆推法或代入法）。 V3.檢查解題步驟或計算過程。

Kilpatrick(1978)在比較了當時在美國及蘇俄的不同數學教育研究法 後發現，蘇俄的 Krutetskii (1976)所採用的質的研究法雖然不若美國所採 用的量的研究法般的嚴謹、科學，但他們卻深入探討了數學教育中的重要

(30)

「內省法」(introspection)，後有「歷程追蹤法」(process tracing)、「回溯 法」（retrospection）與「放聲思考法」(thinking aloud)的相繼應用(Ericcson

& Simon,1980)。這些研究法所處理的都是意識層面的內容，其功能除心 理歷程外在化之外，尚能引導學生注意自己的思考。從研究法的角度而 言，內省法與回溯法易受到主試者主觀解釋與推論的影響。因此近年來較 不受研究者的歡迎，取而代之的是有聲思考法（劉錫麒，民 86）。

1.反映實際解題行為，而非行為之解釋及理由。2.因受試者未被強迫作記 憶性的回憶，故除可運用在簡單工作上外，又可探究複雜工作的解題行

(31)

### 第三節 數學解題的策略

Polya(1945)是最早有系統提出解題策略的學者，他在其所著的「怎樣 解題」（How to solve it）一書中，強調解題的重要性，並將解題歷程分為 四個階段：1.瞭解問題；2.擬定計劃；3.執行計劃；4.回顧解答（表 2-6），

◎未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？

◎可能滿足條件的各個部份嗎？條件足夠決定未知數嗎 不夠嗎？過多嗎？矛盾嗎？

◎做一個圖，導入適當的計劃。

◎分開條件的各部份，你能把它們分別寫下來嗎？

1.找出未知數 和 已 知 數 之 間 的 關 係 ， 如 果 找 不 到 就 只 得 考 慮

◎你以前見過它嗎？或者見過形式稍微不同的相似問題 嗎？你知道什麼相關的問題嗎？你知道有什麼可用的 定理嗎？

◎注視未知數！試著想出一個有相同或相似未知數的熟 悉問題。

(32)

2.想辮法擬定 一 個 解 題 計 劃。

◎這裡有一個相關的，以前你解過的問題，你能否應用它 嗎？你能用它的結果嗎？你能應用它的方法嗎？你是 否該導入一些輔助元素以便應用。

◎你能改述這個問題嗎？你能將它改述的更不同些嗎？

◎回到定義！你若解不出這個問題，就試著先解個相關的 問題。

◎你能想出一個更相關的問題嗎？一個更一般的問題 嗎？一個更特殊的問題嗎？一個類似的問題嗎？你能 決定問題的一部份嗎？保留一部份條件，丟開其餘部 份；這樣決定的未知數會如何？你能從已知數得出什麼 有用的東西嗎？有沒有其它已知的東西可以用來決定 未知數？你能改變未知故、或已知數，必要時兩者同時 改變，使新未知數和新已知數能更加接近嗎？

◎你用了所有已知數嗎？你用了全部條件嗎？問題中研 包含的重要觀念都已考慮到了嗎？

◎執行你所擬定的計劃，驗證每一步驟。

◎你能清楚地看出哪些步驟是正確的嗎？你能證明它是 正確的嗎？

◎你能驗證結果嗎？你能驗證論證嗎？你能用不同的方 法得出結果嗎？你能一眼看出來嗎？

◎你能把這個結果或方法應用到別的問題上去嗎？

(33)

1.辨認未知資料或條件。

2.畫圖。

3.引入符號。

1.重新敘述問題。

2.考慮相關問題。

1.使用連續漸進的方法。

2.發現結果前檢查步驟。

1.檢查結果是否合理。

2.檢查結果是否合乎條件。

3.回溯論證的步驟。

4.使用其它的方法獲得結果。

(Kilpatrick,1967)

(Stimulation)等五個策略。

(34)

1.盡可能地畫圖。

2.檢查特例：

（1）取特殊值代入，以獲得較具體的瞭解。

（2）檢查極端狀況，以探討可能範圍。

（3）令問題中的整數為 1、2、3、4 與 5 等小值，看看是否 可歸納出一些規律。

3.嘗試簡化問題：

（1）利用對稱性。

（2）採取「假定……」而不失問題的一般性討論方式。

1.考慮基本上一樣的問題：

（1）用等價的條件取代問題中的條件。

（2）以不同的方式重組問題中的資料。

（3）引入輔助的元素。

（4）用下列的方式重述問題：

A.改變題目的背景或符號。

B.考慮歸謬法或例置法。

C.假定你已有解答，由此導出解答的性質。

2.考慮稍微修改的問題：

（1）選擇子目標（想辦法得到部份的結果，或滿足部份條 件的解答）。

（2）放寬問題中的某一條件，然後再將之重新收緊。

（3）把問題分解成不同狀況的情形，再對每一狀況逐一解 答。

3.考慮大幅修改的問題：

（1）以較少的變數建構類似的問題。

（2）改變一個變項，決定該變項的影響。

（3）想辦法用有相似的形式、已知條件或結論相關的題目 結果或其解法。

1.你的解答能通過下列的特殊檢定嗎？

（1）你是否用到了問題中所有的相關資料？

（2）結果是否合理的被估計或預測？

（3）利用對稱、維度分析與比例等原則來檢查時，你的結 果是否站得住腳？

2.你的解答能通過下列的一般檢定嗎？

（1）這樣的解答可以用不同的方式得到嗎？

（2）這個抽象的答案能放在特別的狀況，使變得具體些嗎？

（3）這個解答能否簡化成已知的結果嗎？

（4）我們能由此解答推出一些已知的結果嗎？

(Schoenfeld，1985)

(35)

backwards)；2.發現規律(Finding a pattern)；3.採取不同觀點(Adopting a different point of view)；4.解簡單、類似的問題(Solving a simpler, analogous problem)；5.考慮特殊實例(Considering extreme cases)；6.繪圖（視覺表 徵）(Making a drawing (visual representation))；7.慧的推測與測試（包含概 算）(Intelligent guessing and testing (including approximation))；8.描述所有 可能（詳列）(Accounting for all possibilities (exhaustive listing))；9.組織資 料(Organizing data)；10.邏輯推理(Logical reasoning)。

6.使用連續漸進法；7.從現狀向目標倒退思考；8.使用演繹法；9.使用歸 納推理法；10.運用類化和隱喻法；11.常常詢問自己問題解決方法的存在 性與唯一性；12.以不同的方式提出問題，並口述問題；13.常自問所提問 題的前提是否具有可靠性；14.以算式檢查解答是否合乎條件；15.與人談 論問題等方法。

(36)

### 第四節 影響數學解題相關因素之探討

Lester (1980)認為有以下四個解題本質相關的因素可破確認：

(37)

Mayer(1992)就針對解題過程進行分析，而將解題時所需的知識分為 下列五個範疇：

(38)

(39)

(40)

Krutetskii (1963, 1976)的研究中指出，資賦優異學生解題時，在心理特 徵方面包括：1.具有敏捷的推理和心理定向；2.具有邏輯思維，以及有系 統、有順序的思考能力；3.具有數學抽象思考的能力，且能迅速面廣泛地 組織材料；4.具有靈活的思維；5.能任意地從正面的思維歷程轉換到反面 的思維歷程；6.解答問題時，其有迅速且簡捷的推理能力，亦具有「壓縮」

(41)

4.邏輯推理能力；5.簡捷思考能力；6.逆向思考能力；7.彈性思考能力；8.

1.資賦優異學生傾向於用自己的語句重述問題以求理解，而普通學生傾 向於逐字重讀問題，而不加以重組。

2.資賦優異學生傾向於應用推理及評鑑（例如：核對，即使用另一種方 法解題以核對結果是否相同）之歷程，而普通學生傾向於猜測答案，

3.資賦優異學生傾向於採用類化的策略，而普通學生傾向於採用嘗試錯 誤或其他較無效的策咯。

4.資賦優異學生在每一解題過程中所使用之時間少於普通學生。

(42)

（一）難度低的題目學生所用的解題策略較少，難度高的題目策略較多。

（二）學生在做選擇策略時大多是根據先前的知識和經驗做隨機的猜 測，而不能做合理的猜測這是在教學時可加以努力的地方。

（三）解題能力高者會嘗試從不同猜測起點形成多種的解題策略。

（四）資優生的解題策略顯得相當多樣化。

（五）學生解題策略的良窳與否與學生的數學知識有密切的關係。

（一）是否理解題意；

（二）能否了解目標狀態；

（三）數學知識完備與否；

（四）能否注意到問題中所有的條件；

（五）能否摒除無用的條件；

(43)

（六）能否應用相關知識或公式；

（七）是否有完備的程序性知識；

（八）能否評估自己的解題過程；

（九）自信心；

（十）是否有彈性思考的能力；

（十一）解題的耐力；

（十二）是否有頓悟的歷程；

（十三）是否能看出題目的深層結構；

（十四）學生的身心情緒；

（十五）對數學的態度或信念等。

（一）對數學材料能夠迅速而牢固的記憶。

（二）數學知識較完備。

（一）具有很好的抽象思考能力（甚至幾何的問題也可以用抽象的方式 來解）。

（二）具有敏捷的推理思考和心理定向能力。

（三）具有邏輯思維，以及有系統、有順序的思考能力。

（四）具有靈活的思維能力，能自如地從正面的思維歷程轉換到反面的 思維歷程。

3.數學解題策略

（一）能全面掌握題目中的所有的條件。

（二）能正確地統整題目所提供的訊息。

(44)

（三）具頗強的視覺能力（如：能很快而正確地看出問題的結構，甚至 抽象的問題也可以用視覺的方式來解）。

（四）能將大範圍類似的問題一般化。

（五）會自行將較難的字彙換掉。

（六）會將句子的長度縮短。

（七）會將無關資料刪除。

（八）會做出輔助圖表。

（九）解題方法能變通，且解題策略多變化。

(45)

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(47)

### 第三節 研究工具

（一）試題取材：

（二）試題編選標準：

1.和日常生活經驗相關的題目。

2.非單一步驟，需要數個步驟的推理才能解答的題目。

2.避免機械式的計算即可獲得答案的題目。

4.非唯一的方式作答，可顯現較多解題行為的題目。

5.題目的選擇對程度高的解題者具挑戰性。而對程度較低的解題者仍有 成功解題的機會。

（三）試題效度：

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