國小中年級資優生數學解題歷程分析

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國立中山大學教育研究碩士在職專班 碩士論文

國小中年級資優生數學解題歷程分析

研究生：蔡啟禎撰 指導教授：梁淑坤

中華民國九十三年五月

博碩士論文授權書

(國科會科學技術資料中心版本，93.2.6)

本授權書所授權之論文為本人在國立中山大學教育研究所 九十二學年度第二學期取得碩士學位之論文。

論文名稱：國小中年級資優生數學解題歷程分析 ˇ 同意 □ 不同意

本人具有著作財產權之論文全文資料，授予行政院國家科學委員會科學技術 資料中心(或其改制後之機構)、國家圖書館及本人畢業學校圖書館，得不限地域、

時間與次數以微縮、光碟或數位化等各種方式重製後散布發行或上載網路。

本論文為本人向經濟部智慧財產局申請專利（未申請者本條款請不予理會）的附 件之一，申請文號為：＿＿＿＿＿＿，註明文號者請將全文資料延後半年後再公 開。

ˇ 同意 □ 不同意

本人具有著作財產權之論文全文資料，授予教育部指定送繳之圖書館及本人 畢業學校圖書館，為學術研究之目的以各種方法重製，或為上述目的再授權他人 以各種方法重製，不限地域與時間，惟每人以一份為限。

上述授權內容均無須訂立讓與及授權契約書。依本授權之發行權為非專屬性 發行權利。依本授權所為之收錄、重製、發行及學術研發利用均為無償。上述同 意與不同意之欄位若未鉤選，本人同意視同授權。

指導教授姓名：梁淑坤

研究生簽名： 學號：9004304

（親筆正楷） （務必填寫）

日 期 ： 民 國 九 十 三 年 六 月 三 十 日

1. 本授權書 (得自

http://sticnet.stic.gov.tw/sticweb/html/theses/authorize.html 下載

http://www.stic.gov.tw

2. 授權第一項者，請確認學校是否代收，若無者，請個別再寄論文一本至台 北市(106)和平東路二段 106 號 1702 室 國科會科學技術資料中心 黃善平 小姐。(電話:02-27377606 傳真：02-27377689)

誌 謝

本研究得以順利完成，首先要感謝指導教授梁淑坤老師的細心引導、

啟發及修正，其次要感謝口試委員姚如芬及許家驊兩位教授，對本論文提 供許多寶貴的意見及指正，讓我有更多的省思與學習，使論文得以更臻完 善。

感謝高雄市大同國小前任校長曾鴻謨與成功國小校長陳建銘給我進 修的機會及大同國小現任校長李德水同意我以大同國小資優班的學生為 研究對象進行研究。另外要感謝屏東師院許朝信教授、大同國小黃義泰主 任、簡木全主任與資優班學生的導師給予協助與鼓勵。也要感謝參與研究 的資優班學生與其家長，尤其是妍萱、藜璟、顥璟、奕亨、奐均、庭睿與 宇軒。對於現在服務的學校高雄市成功國小總務處同仁給予的精神鼓勵與 支持也一併感謝。

最後要感謝家人的支持與關愛，給我進修的動力與支持，謝謝你們不 斷激勵我，讓我完成一個多年的夢想。

本篇論文的完成有周遭的家人、同事及同學的支持與協助，謹以誠懇 的心感謝所有協助的人，不管是學生、同學、同事，還是朋友，謝謝您們。

國小中年級資優生數學解題歷程分析 摘要

本研究的目的在探討國小中年級資優生解題歷程、解題策略及解題成 敗的因素。以研究者自編以「數與量」、「圖形空間」及「邏輯推理」為範 圍的九道數學題為研究工具，以高雄市大同國小中年級資優生七位為研究 對象，以放聲思考的方法轉譯成原案，分析學生解題歷程、解題策略與解 題成敗因素，得到下面的結論。

首先、在解題歷程方面，資優生面對非例行性問題時，會因不同的題 目而有不同的解題階段，每一題的解題過程中未必全部出現所有的解題階 段，而且同類型的題目也未必有相同的解題階段，甚至不會因為缺少其中 一個階段，而影響到解題的結果。解題歷程的的順序也非一定循讀題、分 析、計畫、執行、驗證等五個階段線性進行，會隨著思考而作隨機的調整。

其次，在解題策略方面，國小中年級資優生解題策略，大概有嘗試錯 誤、畫表格、尋找所有可能、數字重組、列式列答、邊長分類、圖形分類、

點分類、外加個數（三角形）、畫圖、發現規律、歸納法、順向求解、逆 向求解、餘式定理、數項數、組織資料、直接解題、畫記等 19 種。

最後，在解題成敗因素方面，解題知識包括：語言知識、語意知識、

基模知識、策略知識和程序知識。至於數學能力則包括：形式化數學題材 能力、一般化數學題材能力、數學運算能力、邏輯推理能力、簡捷思考能 力、逆向思考能力、彈性思考能力、數學記憶力和空間概念能力。解題行 為則包括：題意與數學結構的掌握、注意到問題中所有的條件、了解題意 與目標間的關係、應用相關知識或公式和進行解題後驗算的程序和解題的 耐力。

本研究除對研究結果加以討論之外，並提出在資優生、普通生的數學 科教學及未來的研究建議。

Analysis of Mathematical Problem Solving Processes of Middle Grade Gifted and Talented (GT) Elementary School Students

Summary

The purpose of this research is to study the mathematical problem solving processes, strategy use and success factors of middle grade gifted and talented (GT) elementary school students.

This research is based on 9 mathematical problems edited by the author and divided into the following categories: “numbers and quantity,” “shape and space,” and “logical thinking.” Seven GT students from Ta-Tung elementary school in Kaohsiung were selected as target students in the study. Besides, the seven students were translated into original cases using a thinking aloud method. Here are the conclusions:

First of all, when facing non-traditional problems, GT students may use different problem solving steps to solve different problems and may not show all detailed steps for every single problem. The same types of problems may not have the same problem solving steps. Missing any single step would have no impact on the answers. Problem solving sequence may not fully follow the traditional 5-step sequence: study the problem, analyze, plan, execute, and verify, and, instead, may dynamically adjust the steps according to the thinking.

Secondly, GT students’ problem solving strategy includes more or less the following 19 methods: trial and error, tabling, looking for all possibilities, a combination of numbers, listing all possible answers, classifying the length of each side, classifying graphics, classifying points, adding extra numbers (the triangle problem), drawing, identifying rules and repetition, summarizing, forward solving, backward solving, remainder theory, polynomials, organizing data, direct solving, and making tallies.

Finally, problem solving success factors are tightly coupled with problem solving knowledge, mathematical capability, and problem solving behavior. Problem solving knowledge includes knowledge of language, understanding, basic models, strategy use, and procedural knowledge.

Instances of mathematical capability are capability of abstraction, generalization, calculation, logical thinking, express thinking, reverse thinking, dynamic thinking, memorizing, and space concept. Problem solving behavior includes the sense of understanding the problem and mathematical structure, keeping track of all possible pre-conditions, good understanding of the relationship between the problems and the objectives, applying related knowledge or formulas, verifying the accuracy of the answers, and resilience for problem solving.

In addition to discussing the research results, future directions and recommendations for teaching mathematics for GT and regular students are highlighted.

國小中年級資優生數學解題歷程分析 目錄

中文摘要... I 英文摘要...III 目錄... IV 圖目錄...V 表目錄... VI

第一章 緒論...1

第一節 研究動機...1

第二節 研究目的：...3

第三節 待答問題：...3

第四節 名詞界定...4

第二章 文獻探討...5

第一節 數學解題的意義...5

第二節 數學解題的歷程...8

第三節 數學解題的策略...20

第四節 影響數學解題相關因素之探討 ...25

第三章 研究設計與程序 ...34

第一節 研究設計...34

第二節 研究樣本...35

第三節 研究工具...36

第四節 研究程序...39

第五節 資料分析...42

第四章 研究結果...46

第一節 原案分析...46

第二節 綜合討論...92

第五章 結論與建議 ...105

第一節 結論...105

第二節 建議...107

參考文獻...110

中文部分...110

英文部分...112

附錄...114

附錄一 國小中年級資優資源班數學課程內容 ...114

附錄二 預試試題...118

附錄三 預試得分統計表...134

附錄四 放聲思考試題...138

附錄五 原案資料...148

附錄六 原案分析...190

圖目錄

圖 2-2 Mayer 解題歷程與知識的關係--- 14

圖 2-3 胡炳生的數學解題系統圖--- 28

圖 3-1 解題歷程階段順序圖 --- 45

表目錄

表 2-1 Lester 的數學解題歷程表--- 10

表 2-2 Schoenfeld 之解題階段及相關問題表 --- 12

表 2-3 數學解題思考步驟及程序表 --- 15

表 2-4 解題歷程劃分表：--- 17

表 2-5 解題歷程階段區分表 --- 18

表 2-6 Polya 的解題歷程與解題策略表 --- 20

表 2-7 Kilpatrick 修正之解題歷程與策略表 --- 22

表 2-8 Schoenfeld 之常用解題策略表 --- 23

表 3-1 預試試題對照表--- 37

表 3-2 放聲思考試題對照表 --- 38

表 3-3 答題回顧統計表--- 41

表 3-4 研究程序進度表--- 42

表 3-5 預試統計--- 43

表 3-6 放聲思考樣本得分統計--- 43

表 4-1 直式算式（N-01）解題歷程階段表 --- 49

表 4-2 直式算式（N-01）解題階段順序與時間表 --- 50

表 4-3 圍牆整建（N-02）解題歷程階段表 --- 55

表 4-4 圍牆整建（N-02）解題階段順序與時間表 --- 55

表 4-5 數字分組（N-03）解題歷程階段表 --- 60

表 4-6 數字分組（N-03）解題階段順序與時間表 --- 60

表 4-7 三角形個數（M-01）解題歷程階段表--- 67

表 4-8 三角形個數（M-01）解題階段順序與時間表--- 67

表 4-9 堆積圖形（M-02）解題歷程階段表 --- 71

表 4-10 堆積圖形（M-02）解題階段順序與時間表 --- 72

表 4-11 正方體個數（M-03）解題歷程階段表--- 76

表 4-12 正方體個數（M-03）解題階段順序與時間表--- 76

表 4-13 奇妙數列（L-01）解題歷程階段表 --- 80

表 4-14 奇妙數列（L-01）解題階段順序與時間表 --- 81

表 4-15 硬幣排列（L-02）解題歷程階段表 --- 84

表 4-16 硬幣排列（L-02）解題階段順序與時間表 --- 85

表 4-17 大樓住戶（L-03）解題歷程階段表 --- 91

表 4-18 大樓住戶（L-03）解題階段順序與時間表 --- 91

表 4-19 試題運用解題策略一覽表 --- 98

表 4-20 解題策略一覽表表 --- 99

表 4-21 學生解題策略運用一覽表表 --- 100

表 4-22 學生解題知識一覽表表--- 102

表 4-23 學生數學能力一覽表表--- 103

表 4-24 學生解題行為一覽表 --- 104

第一章 緒論

第一節 研究動機

數學是一門由具體到抽象的學科，是一切科學研究的基礎，也是發展 高級科學技術的必要條件。隨著資訊時代的來臨，各國莫不致力於提升本 國的科技水準，因此各國政府都相當重視數學教育的紮根工作，如何提升 學生數學推理及數學解題的能力，是目前數學教育的重要目標。

不過「問題解決」這一個主題，卻恆久不變；因為不論時間經歷多久，

科技如何發達，人們總是必須去面對諸如職場上或生活上的問題等，而設 法去解決問題，以下決定。人們雖然能藉助科技的幫助，可以找到答案；

但是唯有人類的頭腦和智慧才能思考推理，才能解決問題。我們必須使學 生具備「解決問題」的基本能力，也使得他們將來離開學校，而進入實際 的世界時，會使用這些基本技巧以及思考推理，去解決所面對的問題。（教 育部，民 89）

近一、二十年來有關數學解題能力的研究發展受到特別重視，1977 年 美國數學督導學會(National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM) 指出「學習解題是研讀數學的主要目的」、美國教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)(1980)亦強調「解題是數學教育的中心」、 1989 年 NCTM 在其出版的中小學課程及評量標準中第一項即指出「數學即 解題」(Mathematics as problem solving)、NCTM 在 1991、1995、2000 年所 公佈的課程標準、教師專業標準和評量標準，都延續 1989 年的精神仍把

「問題解決」列為重點之一(NCTM, 2000)。歷年來國際組織 PME

(Psychology of Mathematics Education)發表的研究報告中數學解題也 是研究重點之一。

為因應世界的潮流並配合社會的變遷，在數學教育的領域中「問題解 決」被認為是當今數學教育的主流，透過解題的方式才是數學學習的最好 方式，九年一貫新課程中，亦提出「獨立思考與解決問題」，為國民教育 階段的數學等七個學習領域培養學生具備十大基本能力之一，由此可知學 習數學解題的重要性。

謝淡宜（民 87）亦指出，數學解題思考歷程的探討，是協助老師瞭解 學生認知發展和認知結構的最佳方式。經由解題歷程的探討，老師們可了 解學生如何應用舊有知識結構、如何綜合條件、如何系統化擬定計劃及解 決問題等，並可深刻理解學生數學概念內化的程度。

教育部在民國 89 年所發表基本能力實踐策略專題研究報告中亦指 出：最近數年來，學校教育的課程內容及其教學法有著顯著的改變。在落 實以兒童為本位的觀點之下，只有在學童主動參與教學活動之中，學習才 會發生；有意義的學習，一定要將課程內容由學生具體的感覺經驗和日常 生活情境著手，並且配合其認知發展，由其自然的想法開始，逐步聯結到 形式的知識。是故，解題(problem solving)和推理(reasoning)是當今教育的 主流。

在我任教資優班數學課程當中如何去啟發資優生的數學能力，常是我 想探討的主題。Krutetskii(1976)也指出，數學教師應當發展所有學生的 數學能力，且培養他們對數學的興趣與愛好。在此同時，也應該對數學能 力高的學生給予特別的注意，為他們提供特殊的作業，以便進一步發展他 們的數學能力。因為在數學科領域裡有興趣及有能力的人，才能有傑出的 表現或貢獻，所以，老師應盡其所能的去發掘在數學科領域裡有興趣及有 能力的人，進而發展他們的數學能力。

關於資優兒童的特質的研究，國外學者 Krutetskii(1976)做「數學天才

兒童的個案分析」研究，結果亦發現這些個案的數學概念、思考速率、思 考品質及對數學的愛好等方面皆表現突出。國內學者謝淡宜（民 87）做「小 學五年級數學資優生與普通生數學解題時思考歷程之比較」研究，結果發 現數學資優生在解題時，答題率及思考品質皆優於普通生。這些相關的研 究都是在探討數學能力高的學生之特質。

基於上述理由，本研究期望以更深入的方式探討資優生的解題歷程，

希望藉由研究結果，讓教師對數學資優生有更深一層的瞭解，以便將來更 能去發掘及啟發數學資優生的潛能。而且期盼能從資優生解題歷程之探 討，歸納出他們數學解題之策略及成敗因素，以幫助任教資優班的老師瞭 解資優學生解題之策略及成敗因素，以便能採用有效的教學方法或策略，

去幫助學生思考及解決數學問題。

第二節 研究目的：

本研究的主要目的在探討影響國小中年級資優生數學解題之相關因 素。一方面從理論分析；一方面從實際解題中進行了解。具體而言，本研 究有下面幾項主要目的：

一、探討資優生的解題歷程。

二、探討資優生數學解題時所使用的解題策略。

三、探討影響資優生數學解題成敗的因素。

第三節 待答問題：

依據上述的研究目的，本研究探討下面的問題：

一、資優生的解題歷程有哪些？

二、資優生數學解題時所使用的解題策略有哪些？

三、影響學生數學解題成敗的因素有哪些？

第四節 名詞界定

本研究有關數學解題、資優生、解題歷程等名詞作如下的界定：

一、數學解題

國內學者劉秋木（民 85）認為解題是縮減初始狀態與目標狀態的差 異、是問題表徵的建構與再建構，而數學解題是指解題者在面對數學上一 未知的問題時，無法立即由記憶中檢索出解答，必須統合運用以往的數學 先備知識、原理、原則或方法，以新的程序模式獲得解答的心理歷程。本 研究的解題，是非例行性問題，而所謂非例行性的問題(non-routine problem)，則是我們看到題目後，無法立刻知道求解路徑的題目，或者這 道題目別人講解過，或自己以前曾解過而已經遺忘。此時，解題者探索學 過的數學知識和技能，檢查與綜合能否適當地應用到目前所面對的新情境 上（這就是所謂的學習遷移）。（黃敏晃，民 80）

二、資優生

高雄市新興區大同國民小學九十學年度、九十一學年度經過高雄市資 優生鑑定通過之學生。

三、解題歷程

解題歷程是指解題者在解數學題目時，經過閱讀題目、計劃解題的程 序、運用解題的策略，到求出答案及驗證答案等各步驟的整過運算過程。

第二章 文獻探討

第一節 數學解題的意義

關於數學解題的意義，先從問題的分類談起，再引申至數學解題。

問題的分類有黃敏晃、Polya、Kilpatrick、Lester、Thomas 等人的見解，

茲分述如下：

黃敏晃在「淺談數學解題」中將數學問題分例行性問題與非例行問題 兩類。例行性問題(routine problem)，就是我們熟悉解法的問題。這些題目，

可能是課本上的例題，或是老師講解過，或自己曾經做過這些題目或其類 似題。做這類題目的目的比較重規熟練一些固定的技巧，或是模仿，而不 是將已學會的知識與技能應到未見過的場合，或綜合使用。

非例行性的問題(non-routine problem)，則是我們看到題目後，無法立 刻知道求解路徑的題目，或者這道題目別人講解過，或自己以前曾解過而 已經遺忘。此時，解題者探索學過的數學知識和技能，檢查與綜合能否適 當地應用到目前所面對的新情境上（這就是所謂的學習遷移）。數學解題 的目的是要訓練、培養學生、使他們有能力與自信面對並解決非例行性的 數學問題。（黃敏晃，80）

在我們的生活情境中，訓練學生解決所面對非例行性的問題多於例行 性的問題的能力是有其必要性。

除了黃敏晃之外，國外學者Polya將數學問題分成兩個類型：(Polya，

1962)

1.求解題(problems to find)：求解題最主要的目的是要求出確定的對象 (certain object)—問題的未知數(unknown)，這未知數要能夠滿足問 題的條件(condition)把問題未知量與已知量(data)的條件聯繫起來。

2.求證題(problems to prove)：求證題最主要目的是發現假設 (hypothesis)和結論(conclusion)之間的邏輯連繫(binding logical line)。

而 Kilpatrick(1985)則根據 Polya 的“Mathematical Discovery”，對問題 加以分類，分為 1.例行問題；2.有選擇的應用題；3.選擇一種組合的問題；

4.接近研究級的問題。

1.例行的問題(one rule under your nose 或 routine problems)：把正在 學的或討論的規則（或運算），拿來作機械式的應用(mechanical application)就能解決的問題。

2.有選擇的應用題(application with some choice)：要應用以前學過的 規則或步驟才能解決，但以前學過的不只一種，所以解題者需要作 一些判斷以選擇適用的規則或步驟。

3.選擇一種組合(choice of a combination)：要求解題者把二個以上的 學過的規則或例子組合起來才能解出來的題目。

4.接近研究級的問題(approaching research level)：這種題目要求解題 者把二個以上的規則或例子作有創意的組合才能解題，但此種組合 會有許多分支(ramifications)，且要求相當高層次的獨立思考，以及 使用到擬真推理(plausible reasoning)。

另外，Lester 則認為數學問題至少有下列四種：

1.單一步驟問題(one-step problems)。

2.多步驟問題(multiple-step problems)。

3.歷程問題(process problems)。

4.應用問題(applied problems)。（孫達剛，民81，頁9）

Thomas 則將數學問題的種類分為下列五項：

1.認知的問題：認知或回憶特殊事實、定義或定理敘述之問題。

2.運算法則的問題：可以一步一步用運算規則或程序解出來的問題。

3.應用問題：可以將問題化為符號式，再解此代數式的問題。

4.探索式問題(open-search)：不含解題策略提示的問題。

5.情境問題(problem situation)：提出一個問題的情境，然後要求學生 思考，或自行提出問題而後回答。（孫達剛，民81，頁9）

關於數學解題的意義，許多學者提出其個人的見解，茲將重要者臚列 如下：

美國數學督導協會(The National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM, 1977)將數學解題界定為：「運用個人先前獲得的知識，以解決一個 未知或不熟悉問題之歷程」。（劉宜貞，民 89，頁 10）

Kilpatrick(1985)曾以三個不同觀點來敘述數學解題的意義（引自涂金 堂，民 84）：

一、從心理學層面而言：數學解題常被定義為一個情境，在此情境中，

某人想到達某一目標，但直接通往此目標的路徑被封住了，因而產生問 題，而在尋求答案的過程中，需用到一些數學概念、原理、方法等，亦即 把解題看成「人為了達成某種目的而做的一些活動」。

二、從社會—人類學的層面而言：把一個數學問題當作是老師給學生 的一項任務，學生在接受此項任務時與老師產生的微妙關係，師生雙方根 據自己所關注的焦點，而相互解釋對方的行動和意圖，即從自我觀點出發 來解釋對方的行為。

三、從數學的及數學教學的層面而言：將數學問題當作是數學建構的 泉源及數學教學的工具，亦即透過數學解題的教學，學生可以建構自己的

數學知識。所以，數學解題是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。

Lester 認為倘若問題的解答須涉及數學技能、概念和程序便是數學問 題。（孫達剛，民 81，頁 9）而數學解題即是指個人面臨一種沒有算式可 以保證獲得解答的情境，而個人必須利用所擁有的相關訊息，去獲得問題 解答所涉及數學技能、概念之過程。

除了 NCSM、Kilpatrick 與 Lester 對解題的意義所給的解釋之外，國內 學者劉錫麒（民 86）認為解題是 1.在問題空間中搜尋的歷程，2.問題表 徵的重組歷程，3.不斷省思的歷程。

綜合上述學者的見解可知，數學解題的意義指解題者在面對數學問題 時，無法立即由記憶中檢索出解答，必須統合運用以往的數學先備知識、

原理、原則或方法，產生策略以獲得解答的心理歷程。

第二節 數學解題的歷程

一、Polya 的數學解題歷程模式

Polya(1945)是最早有系統提出解題策略的學者，他在其所著的「怎樣 解題」(How to solve it)一書中，強調解題的重要性，並將解題歷程分為四 個階段：1.瞭解問題(understanding the problem)；2.擬定計劃(devising a plan)；3.執行計劃(carrying out the plan)；4.回顧解答(1ooking back)。

二、Lester 的數學解題歷程

Lester(1980)以六階段來描述數學解題，並強調這六個階段相互的關 係。如下所述：

（一）察覺問題(problem awareness)：解題者對所面臨的情境，能覺察到 是一個問題，並且有意願解決問題。

（二）理解問題(problem comprehension)：這個階段包含兩個子階段：

1.轉譯(translation)：解題者將問題提供的訊息譯成自己可以理解的 語句。

2.內化(internalization）：解題者選取相關的訊息，並判斷其相關的 程度。

（三）目標分析(goal analysis)：將問題變形以便應用熟悉的策略與技巧。

解題者將訊息歸類，並作成細目，而且認清問題的結構，以便更進 一步了解問題的成分，是否符合以下條件：

1.任何子目標可以幫助達成目標嗎？

2.這些目標有一定的次序嗎？

3.這樣的次序編排恰當嗎？

4.能正確認清運算條件嗎？

（四）計畫發展(plan development)：解題者擬定一個可行計畫、清楚可行 的策略，將子目標編列程序和詳細運算。解題者要能了解解題進行 的程序和方法，並注意下列事項：

1.是否有其他的方法可以解這個題目？

2.是否有更好的方法？

3.曾經解過這個問題嗎？

4.這樣的計畫能達成目標或子目標嗎？

（五）計畫執行(plan implementation)：解題者執行擬定的計畫，並且注意 下列事項：

1.使用這個策略正確嗎？

2.計畫的步驟順序正確嗎？是否能使用不同的順序？

（六）程序和解答評估(procedures and solution evaluation)：此階段不僅要 檢查答案是否有意義，而且從目標分析到發現解答的整個程序，皆 屬評估範圍。

表 2-1 Lester 的數學解題歷程表

階段一 察覺問題(problem awareness)

解題者對所面臨的情境，能覺察倒是一個 問題，並且有意願解決問題。

階段二 理解問題(problem comprehension)

這個階段包含兩個子階段：

1.轉譯(translation)：解題者將問題提供 的訊息譯成自己可以理解的語句。

2.內化(internalization)：解題者選取相 關的訊息，並判斷其相關的程度。

階段三 目標分析 (goal analysis)

將問題變形以便應用熟悉的策略與技 巧。解題者將訊息歸類，並作成細目，而 且認清問題的結構，以便更進一步了解問 題的成分，是否符合以下條件：

1.任何子目標可以幫助達成目標嗎？

2.這些目標有一定的次序嗎？

3.這樣的次序編排洽當嗎？

4.能正確認清運算條件嗎？

階段四 計畫發展

(plan development)

解題者擬定一個可行計畫、清楚可行的策 略，將子目標編列程序和詳細運算。解題 者要能了解解題進行的程序和方法，並注 意下列事項：

1. 是 否 有 其 他 的 方 法 可 以 解 這 個 題 目？

2.是否有更好的方法？

3.曾經解過這個問題嗎？

4. 這 樣 的 計 畫 能 達 成 目 標 或 子 目 標 嗎？

階段五 計畫執行(plan implementation)

解題者執行擬定的計畫，並且注意下列事 項：

1.使用這個策略正確嗎？

2.計畫的步驟順序正確嗎？是否能使 用不同的順序？

階段六

程序和解答評估 (procedures and solution evaluation)

此階段不僅要檢查答案是否有意義，而且 從目標分析到發現解答的整個程序，皆屬 評估範圍。

三、Schoenfeld 的數學解題歷程模式

Schoenfeld(1985)強調數學解題的研究方向需要考慮四個變項：資源 (resources)、捷思(heuristics)、控制(control)及信仰信系統(belief system)。

資源是指解題者擁有有關解題的相關數學知識，而這些數學知識包含 了數學事實、程序及技巧等訊息。

捷思是指捷思策略(heuristics strategies)而言，許多的解題研究都非常 重視學生在解題歷程所使用的啟思策略，例如簡化問題、畫表格、尋找組 型、猜測等等。

控制則是著重在解題者解題時，如何決定計畫、如何選擇目標和次目 標評估解題結果等方面。Schoenfeld 認為控制的因素與心理學上的後設認 知有相當大的關連性。信仰系統是指解題者對於數學的觀點，而解題者擁 有的數學觀將會影響其解題行為。

在 Schoenfeld 的相關研究中，他發現在資源、捷思、控制及信仰系統 等四項變項中，控制因素居於較為關鍵的地位。因為如何有效的運用資 源，如何採用適當的捷思策略，常常是由控制因素所主導。所以特別在解 題歷程中，以控制因素的觀點，將解題歷程區分為：1.閱讀；2.分析；3.

探索；4.計畫；5.執行；6.驗證等六個階段，而六個階段中的每個階段又 細分為幾個解題步驟（表 2-2）。

表 2-2 Schoenfeld 之解題階段及相關問題表

階 段 相 關 問 題

一、閱讀(reading)

R1：注意到問題所有條件嗎？條件是明顯的？或是模 糊的？

R2：正確了解目標狀態嗎？目標狀態是明顯的？或是 模糊的？

R3：是否評估解題者現有知識與問題的關係？

二、分析(analysis)

A1：選擇什麼觀點？選擇是明顯的或是不明顯的？

A2：選擇問題條件採取行動嗎？

A3：根據問題目標採取行動嗎？

A4：條件和目標有何關聯？

A5：解題者的行動（A1-A4）合理嗎？

三、探索(exploration)

E1：本階段是問題的條件引起的？或目標引起的？

E2：所採行動有方向或重點嗎？行動有目的嗎？

E3：有無監視行為？監視行為的有無對解答的結果有 何影響？

E4：解題者所採取的行為是否合理？

四、計畫-執行

(planning-implementation)

PI1：是否有計畫行為？

PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？是否有良好 架構？

PI3：學生是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？

PI4：執行是否依計畫有系統的進行？

PI5：是否在局部或整體層次評估執行？

PI6：評估之有無對結果的影響如何？

五、驗證(verification)

V1：解題者是否重新檢查解答？

V2：有無考驗解答？如果有的話，如何考驗？

V3：有無歷程及解答的評估？對結果的信心有多少？

六、遷移(transition)

T1：對解題的當前狀態有無評估？若放棄一種解題途 徑，是否企圖利用其中有用的部份？

T2：有無評估先前放棄的解題途徑，對解答產生的局 部與整體影響如何？所採行動適當而必要嗎？

T3：是否評估採取新途徑的短程或長程的影響？或直 接跳入新的方法？

T4：採用新途徑後有無評估短程及長程影響如何？行 動是否適當而必要？

圖 2-1 Schoenfeld 之解題基模大綱(Schoenfeld, 1985) 四、Mayer 的學解題歷程模式

Mayer(1992)將解題歷程分為兩個步驟，每個步驟又包含二個子步 驟，分述如下：

（一）問題表徵(problem representation)：即將文字或圖案轉換成心理表 徵，又包含二個子步驟。

1.問題轉譯(problem translation)：將每一個句子或主要的詞句轉變為 內在心理表徵。問題轉譯需要有良好的陳述性與程序性知識，而且 將問題從文字表徵轉換成心理表徵是不太容易的。

2.問題整合(problem integration)：問題整合要求學生將問題的敘述組 合成連貫的表徵，為了整合問題的訊息，需要具有基模知識

(schematic knowledge)，以區分問題的類型。

（二）問題解決：即從問題的心理表徵進行到最後答案的過程，含二個步 驟如下：

1.解答的計畫與監控(solution planning and monitoring)：計畫與監控需 要具有如何解決問題的策略知識。

2.解答的實施(solution execution)，需要以程序性知識正確且有效的應 用算則，以執行計算工作。

圖 2-2 Mayer 解題歷程與知識的關係(Mayer, 1992)

在解題過程中，每個步驟所需的知識並不相同：在問題表徵階段，轉 譯過程涉及語言知識和語意知識；整合過程則運用到基模知識。在問題解

決階段，解題計畫與監控和策略知識有關；解題的實施則需運用程序知 識。Mayer 的解題歷程與知識的關係如圖 2-2。

五、胡炳生的解題思考

胡炳生（民 88）認為人大腦中的思維活動是看不見且摸不著的，但大 量解題經驗可表現出人在解題時的思維活動，大致按「觀察—聯想—轉化」

的步驟進行，且思維活動要靠問題來激發，沒有問題就沒有積極的思維活 動。在「觀察—聯想-轉化」的過程中，照著有名數學教育家 G．波利亞的 建議，可以列成表 2-3 的數學解題思考步驟及程序。

表 2-3 數學解題思考步驟及程序表

步驟 思 考 程 序

觀察

1.要求解（證）的問題是什麼？它是哪種類型的問題？

2.已知條件（已知數據、圖形、事項、及其與結論部份的聯繫方 式）是什麼？要求的結論（未知事項）是什麼？

3.所給圖形和式子有什麼特點？能否用一個圖形（幾何的、函數 的或示意的）或數學式子（對文字題）將問題表示出來？能否 在圖上加上適當的記號？

4.有什麼隱含條件？

聯想

1.這個題目以前做過嗎？

2.這個題目以前在哪裡見過嗎？

3.以前做過或見過類似的問題嗎?當時走怎樣想的？

4.題中的一部份（條件、或結論、或式子、或圖形）以前見過嗎？

在什麼問題中見過的？

5.題中所給的式子、圖形，與記憶中的什麼式子、圖形相像？它 們之間可能有什麼聯繫？

6.解這類問題通常有哪幾種方法？哪種方法較方便？試一試如 何？

7.由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求未知結論，需知 道哪些條件？

8.與這個問題有關的知識（基本概念、定理、公式等）有哪些？

轉化

1.能否將題中複雜的式子化簡？

2.能否對條件進行劃分，將大問題化為幾個小問題？

3.能否將問題化歸為基本命題？

4.能否進行變量替換、恆等變換或幾何變換，將問題的形式變得 較為明顯一些？

5.能否形—數互化？利用幾何方法來解代數問題？利用代數方法 來解幾何問題？

6.利用等價命題律（逆否命題律、同一法則、分斷式命題）或其 他方法，可否將問題持化為一個較為熟悉的等價問題？

7.最終目的：將未知轉化為已知。

資料來源：數學解題思維方法（8-9 頁），胡炳生，民 88，台北市，九章

綜合以上國內外數學解題歷程的文獻，Polya 的解題模式（瞭解問題、

擬定計劃、執行計劃、及回顧解答）；Lester 的解題模式（問題的覺察、問 題的理解、目標的分析、計劃的發展、計劃的執行、及程序和解答的評估）； Schoenfeld 的解題模式（閱讀、分析、探索、計劃、執行、及驗證）；Mayer 的解題模式（問題表徵即問題轉譯、問題整合，問題解決即解答的計畫與 監控、解答的執行）；胡炳生的解題思考步驟（觀察、聯想、及轉化）等 人的解題歷程，基於國小階段分析與探索兩階段不易分辨，所以把分析與 探索兩階段合為分析階段，而解題歷程劃分為：讀題（R）、分析（A）、計 畫（P）、執行（I）、驗證（V），整理成表 2-4。

表 2-4 解題歷程劃分表：

學 者

階 段 內 容 Polya Lester Schoenfeld Mayer 胡炳生

1.閱讀（R）：先將問題讀過 問題的覺察 閱讀 觀察

2.分析（A）：將問題徹底理解，並將問 題轉譯為內在心理表徵，整合問題成 連貫一致的表徵

瞭解問題 問題的理解、目

標的分析 分析、探索 問題轉譯、問題

整合 聯想、轉化

3.計畫（P）：將題目與欲解之問題聯結 擬定計劃 計劃的發展 計劃 解 答 的 計 畫 與 監控

4.執行（I）：依擬定之計主選擇策略執

行 執行計劃 計劃的執行 執行 解答的執行

5.驗證（V）：再驗證解答是否正確 回顧解答 程 序 和 解 答 的

評估 驗證

研究者再整理出解題歷程階段區分表（表 2-5）：

表 2-5 解題歷程階段區分表

階 段 內 容

1.讀題（R）

Rl 閱讀題目：閱讀全部或部份題目的敘述。

R2.重讀題目：將題目重新閱讀。

2.分析（A）

A1.重述題意。

A2.辨別條件：知道已知數、未知數、和隱含的條件。

A3.畫圖表徵。

A4.以字詞、圖形、或符號等方式來簡化問題。

A5.回憶相關訊息（如相關的概念、問題、或方法）。

A6.尋找規則：解題者在未確定如何解題前，探求條件的規則性。

A7.測試或嘗試錯誤：解題者先以數字代入測試。

3.計畫（P）

P1.確定目標。

P2.根據已知條件及所求的條件，列出運算的式子。

4.執行（I） I1.依照計劃，運用公式或以往學過之程序進行解題。

5.驗證（V）

V1.檢查結果是否合理（可用逆推法或代入法）。 V3.檢查解題步驟或計算過程。

數學解題歷程研究是個逐步演進的過程。在1960及1970年代，有關相 關性(correlation)，因素分析(factor-analysis)以及「教法A對應於教法B」的 比較性研究佔據了數學教育中所有有關思考，學習以及「數學解題」的研 究。到了1970年代中期，研究者漸漸在如此狹窄，限制性多的數學行為研 究法中感到挫折。

Kilpatrick(1978)在比較了當時在美國及蘇俄的不同數學教育研究法 後發現，蘇俄的 Krutetskii (1976)所採用的質的研究法雖然不若美國所採 用的量的研究法般的嚴謹、科學，但他們卻深入探討了數學教育中的重要

議題如數學思考，數學行為以及數學能力。由於這層認知的影響，數學教 育中的研究開始在 1970 年代後期及 1980 年代漸漸轉向以歷程為導向的 質的研究（謝淡宜，民 87）。

在心理學的研究中，要將內隱的學習歷程外在化，最早使用的方法是

「內省法」(introspection)，後有「歷程追蹤法」(process tracing)、「回溯 法」（retrospection）與「放聲思考法」(thinking aloud)的相繼應用(Ericcson

& Simon,1980)。這些研究法所處理的都是意識層面的內容，其功能除心 理歷程外在化之外，尚能引導學生注意自己的思考。從研究法的角度而 言，內省法與回溯法易受到主試者主觀解釋與推論的影響。因此近年來較 不受研究者的歡迎，取而代之的是有聲思考法（劉錫麒，民 86）。

而近年來，數學解題較重視整個解題歷程的研究，因此，學者在進行 數學解題的研究時，常採用「放聲思考」的研究方法，對解題者在整個解 題歷程中，所表現的解題行為，做較深入的探討。研究者通常會採錄音或 錄影的方式，將解題者口述的語言記錄下來。然後再將記錄下來的語言，

轉譯成為文字，即所謂的原案(Protocol)。（涂金堂，民 85）

國外學者 Schoenfeld(1985)採用巨觀的原案分析，將解題歷程區分為 讀題、分析、探索、計畫、執行及驗證等六階段。巨觀的原案分析主要是 探討解題者在解題的歷程中在每一個階段使用多少時間，並且研究每一階 段與每一階段轉換時，所產生的解題行為，再根據這些解題行為，進一步 分析解題者在資源、捷思、控制與信仰等變項的異同。（涂金堂，民 88）

國內學者王昭明（民 82）認為放聲思考法在解題歷程研究中的優點有：

1.反映實際解題行為，而非行為之解釋及理由。2.因受試者未被強迫作記 憶性的回憶，故除可運用在簡單工作上外，又可探究複雜工作的解題行

為。3.推論解題心理歷程是研究者根據對受試者所蒐集到的資料加以分析 而獲致的，學生不須經歷推理程序。

如上所述，放聲思考法是研究解題歷程常使用的研究方法，而放聲思 考法的原案為分析解題歷程重要的依據，研究者可以藉由原案來分析解題 歷程中每一階段所費的時間與階段間轉換的解題行為，進而分析整個解題 歷程，本研究擬採用此種方式進行解題歷程之分析。

第三節 數學解題的策略

解題的策略常常是解題成功與否的主要因素之一，許多學者提出有關 解題策略的個人見解，茲將重要者敘述如下：

Polya(1945)是最早有系統提出解題策略的學者，他在其所著的「怎樣 解題」（How to solve it）一書中，強調解題的重要性，並將解題歷程分為 四個階段：1.瞭解問題；2.擬定計劃；3.執行計劃；4.回顧解答（表 2-6），

在每一階段中，他提出許多相關的解題策略，稱之為捷思(heuristic)策略。

表 2-6 Polya 的解題歷程與解題策略表

解 題 歷 程 解 題 策 略

第一步：

必須瞭解問題

瞭 解 問 題

◎未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？

◎可能滿足條件的各個部份嗎？條件足夠決定未知數嗎 不夠嗎？過多嗎？矛盾嗎？

◎做一個圖，導入適當的計劃。

◎分開條件的各部份，你能把它們分別寫下來嗎？

第二步：

1.找出未知數 和 已 知 數 之 間 的 關 係 ， 如 果 找 不 到 就 只 得 考 慮

擬 定 計 劃

◎你以前見過它嗎？或者見過形式稍微不同的相似問題 嗎？你知道什麼相關的問題嗎？你知道有什麼可用的 定理嗎？

◎注視未知數！試著想出一個有相同或相似未知數的熟 悉問題。

一 些 補 助 問 題。

2.想辮法擬定 一 個 解 題 計 劃。

◎這裡有一個相關的，以前你解過的問題，你能否應用它 嗎？你能用它的結果嗎？你能應用它的方法嗎？你是 否該導入一些輔助元素以便應用。

◎你能改述這個問題嗎？你能將它改述的更不同些嗎？

◎回到定義！你若解不出這個問題，就試著先解個相關的 問題。

◎你能想出一個更相關的問題嗎？一個更一般的問題 嗎？一個更特殊的問題嗎？一個類似的問題嗎？你能 決定問題的一部份嗎？保留一部份條件，丟開其餘部 份；這樣決定的未知數會如何？你能從已知數得出什麼 有用的東西嗎？有沒有其它已知的東西可以用來決定 未知數？你能改變未知故、或已知數，必要時兩者同時 改變，使新未知數和新已知數能更加接近嗎？

◎你用了所有已知數嗎？你用了全部條件嗎？問題中研 包含的重要觀念都已考慮到了嗎？

第三步：

實行你的計劃

執 行 計 劃

◎執行你所擬定的計劃，驗證每一步驟。

◎你能清楚地看出哪些步驟是正確的嗎？你能證明它是 正確的嗎？

第四步：

驗證所得的解 答

回 顧 解 答

◎你能驗證結果嗎？你能驗證論證嗎？你能用不同的方 法得出結果嗎？你能一眼看出來嗎？

◎你能把這個結果或方法應用到別的問題上去嗎？

資料來源：How To Solve It（xvi-xvii）,G. Polya, 1957, Princeton University, 1957, Princeton, New Jersey.

此外，Kilpatrick(1967)以 Polya 解題四階段為依據，探討八年級學生 解非例行文字題的策略，發覺學生使用的策略有：1.圖畫；2.使用連續漸 進法；3.常常詢問自己問題解決方法的存在性與唯一性；4.演繹；5.運用 算式；6.嘗試錯誤；7.檢查答案等。Kilpatrick 發覺學生所使用的策略不多，

乃將解題歷程中各階段的策略重新修正如表 2-7 所示。

表 2-7 Kilpatrick 修正之解題歷程與策略表

一、瞭解問題

1.辨認未知資料或條件。

2.畫圖。

3.引入符號。

二、擬定計劃

1.重新敘述問題。

2.考慮相關問題。

三、執行計劃

1.使用連續漸進的方法。

2.發現結果前檢查步驟。

四、檢討

1.檢查結果是否合理。

2.檢查結果是否合乎條件。

3.回溯論證的步驟。

4.使用其它的方法獲得結果。

(Kilpatrick,1967)

再者，Gary L. Musser，J. Michael Shaughnessy(1980)則認為在學校中 可以教的解題策略有：嘗試錯誤(Trial)、規律(Patterns)、解簡單的題目 (Solving a simpler problem)、工作回顧(Working backward)與刺激

(Stimulation)等五個策略。

在 Schoenfeld 的相關研究中，在解題歷程的六個階段：1.閱讀；2.分 析；3.探索；4.計畫；5.執行；6.驗證中的分析、探索、驗證三階段常用 的策略如表 2-8。

表 2-8 Schoenfeld 之常用解題策略表

分析

1.盡可能地畫圖。

2.檢查特例：

（1）取特殊值代入，以獲得較具體的瞭解。

（2）檢查極端狀況，以探討可能範圍。

（3）令問題中的整數為 1、2、3、4 與 5 等小值，看看是否 可歸納出一些規律。

3.嘗試簡化問題：

（1）利用對稱性。

（2）採取「假定……」而不失問題的一般性討論方式。

探索

1.考慮基本上一樣的問題：

（1）用等價的條件取代問題中的條件。

（2）以不同的方式重組問題中的資料。

（3）引入輔助的元素。

（4）用下列的方式重述問題：

A.改變題目的背景或符號。

B.考慮歸謬法或例置法。

C.假定你已有解答，由此導出解答的性質。

2.考慮稍微修改的問題：

（1）選擇子目標（想辦法得到部份的結果，或滿足部份條 件的解答）。

（2）放寬問題中的某一條件，然後再將之重新收緊。

（3）把問題分解成不同狀況的情形，再對每一狀況逐一解 答。

3.考慮大幅修改的問題：

（1）以較少的變數建構類似的問題。

（2）改變一個變項，決定該變項的影響。

（3）想辦法用有相似的形式、已知條件或結論相關的題目 結果或其解法。

驗證

1.你的解答能通過下列的特殊檢定嗎？

（1）你是否用到了問題中所有的相關資料？

（2）結果是否合理的被估計或預測？

（3）利用對稱、維度分析與比例等原則來檢查時，你的結 果是否站得住腳？

2.你的解答能通過下列的一般檢定嗎？

（1）這樣的解答可以用不同的方式得到嗎？

（2）這個抽象的答案能放在特別的狀況，使變得具體些嗎？

（3）這個解答能否簡化成已知的結果嗎？

（4）我們能由此解答推出一些已知的結果嗎？

(Schoenfeld，1985)

除以上所述之外，Alfred S. Poamentier，Stephen Krulik(1998)在 Problem-solving for efficient and elegant solutions：A resource for the mathematics teacher一書中提到十個解題策略：1.工作回顧(orking

backwards)；2.發現規律(Finding a pattern)；3.採取不同觀點(Adopting a different point of view)；4.解簡單、類似的問題(Solving a simpler, analogous problem)；5.考慮特殊實例(Considering extreme cases)；6.繪圖（視覺表 徵）(Making a drawing (visual representation))；7.慧的推測與測試（包含概 算）(Intelligent guessing and testing (including approximation))；8.描述所有 可能（詳列）(Accounting for all possibilities (exhaustive listing))；9.組織資 料(Organizing data)；10.邏輯推理(Logical reasoning)。

國內研究者劉貞宜（民89）在其論文中綜合了Kilpatrick、Webb、Cyert 等人的解題策略，將解題策略歸納如下：1.畫圖表徵；2.以字詞、圖形、

或符號等方式來簡化問題；3.回憶相關問題；4.嘗試錯誤；5.應用特殊化；

6.使用連續漸進法；7.從現狀向目標倒退思考；8.使用演繹法；9.使用歸 納推理法；10.運用類化和隱喻法；11.常常詢問自己問題解決方法的存在 性與唯一性；12.以不同的方式提出問題，並口述問題；13.常自問所提問 題的前提是否具有可靠性；14.以算式檢查解答是否合乎條件；15.與人談 論問題等方法。

綜合上述理論，在小學數學解題可歸納下列的解題策略：嘗試錯誤；

以字詞、圖形、或符號等方式來簡化問題；發現規律；列表格輔助解題；

解簡單的題目；繪圖；分類；組織資料；描述所有可能；演繹、歸納法；

邏輯推理；驗證答案；運用算式；工作回顧等等。期望藉由解題策略教學 的訓練，以提昇學生的解題能力。

第四節 影響數學解題相關因素之探討

影響數學解題的因素除了國外學者 Lester 的數學解題本質、Mayer 的 解題知識及胡炳生的解題因素，還有國內李靜瑤、李輝雄及蔡承哲解題歷 程的研究發現，敘述如後：

Lester (1980)認為有以下四個解題本質相關的因素可破確認：

一、問題本身：即工作變項(task variables)，指問題的型態、內容、結構 等。問題（工作）本身的特性，顯然會影響成功解題及解題的行為。

若要致力於問題特性如何影響數學解題的研究路線，應以問題作為測 量解題者能力的工具，且瞭解及分析工作本身的特性如何影響解題結 束。而且還需在問題的語法、內容或結構上稍作更動，以產生問題難 度的改變，藉以引誘出各種不同的解題行為。

二、個人的特徵：即個人變項(subject variables)，顯然不同學生解題時有 個別差異。因此，研究學生變項，大部份是以獨立變項來考慮。一般 而言，對學生變項的分類是以組織解題者的特性，作為解釋或預估他 們的解題表現。包括：認知型態、先前的數學背景、緊張或壓力下的 反應，以及場地獨立等。

三、解題的行為：即過程變項(process variables)，此變項緊緊維繫著解題 者和問題性質這二個特徵，牽涉了與個人解題有關的因素，包括：組 織與處理訊息的方法、用來計劃和執行的認知策略，以及用來評鑑的 方法等。

四、環境特徵：即教學變項(instruction variables)，是問題與解題者外在之 解題環境特色（由於外在壓力，解題者會感覺到被強迫去獲得一個迅

速的解法）。而教學變項正是環境特徵裡最重要的變項。

Mayer(1992)就針對解題過程進行分析，而將解題時所需的知識分為 下列五個範疇：

一、語言知識(Linguistic knowledge)：和語言有關的知識，如：瞭解問題 中的每一個字。

二、語意知識(Semantic knowledge)：與實際生活上的事實有關的知識，如 1 公里等於 1000 公尺。

三、基模知識(Schematic knowledge)：問題型態的知識，如：知道長方形 面積問題的基本公式－面積等於長乘以寬。

四、策略知識(Strategic knowledge)：如何利用不同型態的有效知識來計畫 和監控問題解答的技巧，如：定下子目標。

五、程序知識(Procedure knowledge)：指演算法的知識。例如：在算數應 用問題中，能應用九九乘法表演算問題，並求得結果，這就是程序性 知識。（李靜瑤，民 83，頁 5）

胡炳生（民 88）認為影響數學解題的相關因素如圖（2-3）所示，並 將其因素做了以下的解釋：

一、數學知識：數學知識是解題的基礎，而數學知識包括基本的和較高層 次的兩部份。前者包括：中學數學課本中的概念系統、定理系統和符 號系統三大系統的知識。後者包括：數學競賽中所涉及到的有關初等 數學或介於初、高等數學之間的數學知識，例如：數的整除、多項式 等。

二、數學解題方法：教學解題方法是解題的基本手段，可以泛指數學解題 中的所有方法，它有三個層次。第一層次為解題的具體方法和技巧，

例如：配方法、公式解法、幾何中添加輔助線等。第二層次為數學解

題的一些通法，例如：演繹法和歸納法、直接證法和反證法、座標法 和解析法。第三層次為數學解題中的思考原則和策略。

三、數學思維：數學思維是解題的原則和策略，它是指我們在解題的思維 過程中所應遵循的總原則和總策略。總原則是熟悉化原則、簡單化原 則和多途化原則。總策略是化歸，把要解的數學題化歸為基本的、標 準的數學題。

四、解題經驗：包括成功的經驗和失敗的經驗，對於一個人解題能力的形 成和提高都有重要作用。所謂解題經驗，是指某些數學知識、某種數 學解題方法和題中某些條件的有順序組合。成功的經驗，這種有序組 合是有效的；失敗的經驗，組合是錯誤的。成功的經驗所獲得的有序 組合，就好像是建築上的預製構造，遇到合適的場合，可以原封不動 地把它用上。

五、邏輯：解數學題主要是一種思維活動，要想思維活動進行得有成效，

就必須符合思維的規律－邏輯。數學推理中主要是應遵循形式邏輯，

但在探索性思維活動中，還要有辯證邏輯的幫助。

六、興趣：一個人的思維品質和對數學的興趣，無疑對解數學題有顯著影 響。一個見了數學題就厭煩的學生，是解不好題的。相反，一個對數 學有濃厚興趣的學生，能埋頭幾個小時做題，以解題為樂。思維敏捷 而不細密的學生，解題雖快，但計算容易出錯。思維細密而不靈活的 學生，往往做代數題優於幾何題等。

七、語文知識、社會生活知識以及其他學科知識：對數學解題都有關係。

因為數學題都是用文字來表述的，解題最後結果也要用文字來表述出 來。不少學生的答案卷表述不清，詞不達意，並因此而失分。這說明 數學愛好者，應提高語文知識水平。

圖 2-3 胡炳生的數學解題系統圖

除了上述國外學者及胡炳生之外，國內有關影響數學解題相關因素的 研究，還有下列幾位：

李靜瑤（民 83）年曾對高雄市國二學生進行數學解題歷程分析的研 究，發現解題成敗的因數包括：是否理解題意、是否了解目標狀態、數學 知識完備與否、能否注意到問題中的所有條件、能否摒棄無用的條件、能 否應用相關的知識或公式、是否有完備的程序性知識、能否評估自己的解 題過程、自信心、變通性、解題的耐力及對數學的態度或信念。

李輝雄（民 84）則曾做過高雄市高一學生數學解題歷程之分析研究，

研究結果發現解題成敗的關鍵包括：是否理解題意、能否了解目標狀態、

能否了解數學架構、能否注意到數學中的所有條件、能否應用相關 知識 或公式、變通性、數學知識是否完備、能否評估自己的解題歷程、是否有

錯誤的數學信念。

而蔡承哲（民 85）研究高雄地區高二學生做空間向量的解題歷程分 析，研究結果發現解題成敗的關鍵包括：是否能了解題意、是否能使用正 確的基模知識並整合問題、是否有豐富的策略知識並能適時使用之、是否 有正確的程序性知識、是否能注意到題目中所有條件、是否能畫出正確圖 形來幫助分析解題計畫、是否能恰當的補助線、是否能回憶相關知識和方 法，且能對學過的方法加以活用、是否能隨時監控解題過程有無錯誤、是 否能對最後答案進行檢驗。

以上是相關的解題研究及重要發現，而有關資優生的數學解題研究 中，近年來以俄國的 Krutetskii (1963, 1969, 1976)的研究最受重視。他的 研究主要目的在於：描述數學資優生解不同數學問題時之心智活動的特 徵。此外，他的研究有與解題能力和個別差異有關的主題，即探討在數學 能力的架構上，象徵性能力的差異，並且探究年齡的差異對數學能力的影 響。

Krutetskii (1963, 1976)的研究中指出，資賦優異學生解題時，在心理特 徵方面包括：1.具有敏捷的推理和心理定向；2.具有邏輯思維，以及有系 統、有順序的思考能力；3.具有數學抽象思考的能力，且能迅速面廣泛地 組織材料；4.具有靈活的思維；5.能任意地從正面的思維歷程轉換到反面 的思維歷程；6.解答問題時，其有迅速且簡捷的推理能力，亦具有「壓縮」

的傾向；7.對數學材料能夠迅速而牢固的記憶；8.對數學作業很少感到疲 勞。在解題特徵方面則包括：1.能掌握問題的結構；2.能看出並解釋量的 或空間的關係；3.能有彈性地心理運作；4.能將若干例證加以類化；5.力 求問題的澄清、簡化、經濟，並尋求解題的原則；6.能將數學的關係，爭

論的觀點及證據，結構的特色加以類化以便記憶。在數學能力方面則包 括：1.形式化數學題材的能力；2.一般化數學題材能力；3.數學運算能力；

4.邏輯推理能力；5.簡捷思考能力；6.逆向思考能力；7.彈性思考能力；8.

數學記憶能力；9.空間概念能力。

除了 Krutestkii 之外，Stonecipher (1986)比較資賦優異學生與普通學 生之數學問題解決過程，並依據 Kilpatrick (1967)之編碼系統(coding system)加以分類，其主要發現如下：（汪榮才，民 80）

1.資賦優異學生傾向於用自己的語句重述問題以求理解，而普通學生傾 向於逐字重讀問題，而不加以重組。

2.資賦優異學生傾向於應用推理及評鑑（例如：核對，即使用另一種方 法解題以核對結果是否相同）之歷程，而普通學生傾向於猜測答案，

對問題的情境常常誤解。

3.資賦優異學生傾向於採用類化的策略，而普通學生傾向於採用嘗試錯 誤或其他較無效的策咯。

4.資賦優異學生在每一解題過程中所使用之時間少於普通學生。

除了國外學者 Krutestkii 及 Stonecipher 之外，在國內研究方面，邱芳 津（民 78 年）做國二資優生線型函數概念之研究，選取九十五名國二資 優生為研究對象，實施兩次線型函數單元測驗，根據學生的作答逐題分 析，且歸納出學生所使用的正確解題策略和錯誤類型，再針對解題表現特 殊的十三名學生進行個別面談，進一步探討學生所具有的錯誤線型函數概 念、解題時所涉及的數學能力，與影響解題表現的有關因素。其研究結果 發現學生各項數學能力的表現優劣依序為：數學記憶力→數學演算能力→

逆向思考能力→空間概念能力→彈性思考能力→一般化數學題材能力→

形式化數學題材能力→邏輯推理能力。

此外，謝淡宜（民 87）的研究指出：數學資優生在處理題目中所提供 的資訊（條件）時，更具有統合力及成功率。他們能更有效地整合不同的 條件，而對成功解題做出關鍵的助力。他們對題目更能保持全面的掌握，

而在解題策略、解題歷程及計算準確性上表現其系統性、整合性及持續性 的評鑑，及改正的功能。

國內除了邱芳津、謝淡宜、劉貞宜的解題研究之外，顏榮義（民 90）

以所任教的三十名國一一般能力資優生為研究對象，進行放聲思考解題，

以分析學生的數學能力、解題歷程、解題策略和影響解題成敗的因素。研 究發現雖然是經過正式甄試過程才錄取的資優生，但不同學生的解題表現 差異相當大，而對於解題策略、解題成敗因素方面得到下列結論：

一、解題策略：

（一）難度低的題目學生所用的解題策略較少，難度高的題目策略較多。

（二）學生在做選擇策略時大多是根據先前的知識和經驗做隨機的猜 測，而不能做合理的猜測這是在教學時可加以努力的地方。

（三）解題能力高者會嘗試從不同猜測起點形成多種的解題策略。

（四）資優生的解題策略顯得相當多樣化。

（五）學生解題策略的良窳與否與學生的數學知識有密切的關係。

二、解題成敗因素：

（一）是否理解題意；

（二）能否了解目標狀態；

（三）數學知識完備與否；

（四）能否注意到問題中所有的條件；

（五）能否摒除無用的條件；

（六）能否應用相關知識或公式；

（七）是否有完備的程序性知識；

（八）能否評估自己的解題過程；

（九）自信心；

（十）是否有彈性思考的能力；

（十一）解題的耐力；

（十二）是否有頓悟的歷程；

（十三）是否能看出題目的深層結構；

（十四）學生的身心情緒；

（十五）對數學的態度或信念等。

劉貞宜（民 89）如從國內外的研究中歸納資優生解題有以下的特徵：

一、數學知識：

（一）對數學材料能夠迅速而牢固的記憶。

（二）數學知識較完備。

二、思考能力：

（一）具有很好的抽象思考能力（甚至幾何的問題也可以用抽象的方式 來解）。

（二）具有敏捷的推理思考和心理定向能力。

（三）具有邏輯思維，以及有系統、有順序的思考能力。

（四）具有靈活的思維能力，能自如地從正面的思維歷程轉換到反面的 思維歷程。

3.數學解題策略

（一）能全面掌握題目中的所有的條件。

（二）能正確地統整題目所提供的訊息。

（三）具頗強的視覺能力（如：能很快而正確地看出問題的結構，甚至 抽象的問題也可以用視覺的方式來解）。

（四）能將大範圍類似的問題一般化。

（五）會自行將較難的字彙換掉。

（六）會將句子的長度縮短。

（七）會將無關資料刪除。

（八）會做出輔助圖表。

（九）解題方法能變通，且解題策略多變化。

綜合以上文獻的論點，將影響解題的因素歸納為以下幾項作為本研究 的重點：

一、解題知識：語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、程序知識。

二、數學能力：形式化數學題材能力、一般化數學題材能力、數學演算能 力、.邏輯推理能力、.簡捷思考能力、逆向思考能力、彈性思考能力、

數學記憶力、空間概念能力。

三、解題行為：題意與數學結構的掌握、注意到問題中所有的條件、了解 題意與目標間的關係、應用相關知識或公式、進行解題後驗算的程 序、解題的耐力。

第三章 研究設計與程序

第一節 研究設計

九年一貫的數學課程期望學生達成目標有掌握數、量、型的概念與關 係；發展形成數學問題與解決數學問題的能力等。（教育部，民 88）

最近數年來，學校教育的課程內容及其教學法有著顯著的改變。在落 實以兒童為本位的觀點之下，只有在學童主動參與教學活動之中，學習才 會發生；有意義的學習，一定要將課程內容由學生具體的感覺經驗和日常 生活情境著手，並且配合其認知發展，由其自然的想法開始，逐步聯結到 形式的知識。是故，解題和推理是當今教育的主流。（教育部，89 年）

除此之外，國外學者 Krutetskii(1976)指出：「數學是數的關係與空間 形式的科學，沒有幾何想像力可以學習前者，卻不能學習後者」，而在分 析數學天才兒童的個案研究中亦指出：數學天才在解答數學題時，具有邏 輯思維，以及有系統、有順序的思考能力。

由此可見「數與量」、「邏輯推理」、「圖形空間」，對於數學的學 習有其重要性。

基於上述，僅就「數與量」、「邏輯推理」、「圖形空間」等三個向 度編製預試試題與放聲思考試題。

先以自編之預試試題包含數與量、圖形空間、邏輯推理各五題共十五 題，對研究者所任教過的中年級資優生進行測試，以篩選測驗分數較高者 七位作為放聲思考的樣本，其中三年級三位、四年級學生四位。另自編放 聲思考試題九題作為放聲思考研究包含數與量、圖形、邏輯推理各三題共

九題。

本研究擬採參考 Polya(1945)、Kilpatrick(1967)、Schoenfeld(1985)等所 提出之解題歷程，將解題歷程區分為讀題、分析、計畫、執行、驗證等五 個階段，採用放聲思考法，探討國小中年資優班學生其數學解題歷程的解 題行為。

研究者篩選好放聲思考學生後，利用課餘安排時間，進行數學解題的 放聲思考研究。為了讓學生了解放聲思考的研究法，施測時首先向學生說 明本研究的目的，並且介紹放聲思考的研究方法。而為了讓學生能同步進 行解題工作，並且將腦中的想法用口語表述出來，研究者擬先讓學生練習 三題簡單的範例題「數與量」、「圖形空間」、「邏輯推理」各一題共三題，

讓學生熟悉放聲思考的研究程序後進行實際解題工作。在實際研究過程 中，研究者以錄音的方式，將學生的解題過程，真實的記錄下來，以便將 學生的口語資料轉譯成原案。

第二節 研究樣本

本研究樣本為高雄市新興區大同國民小學九十學年度、九十一學年度 經過高雄市資優生鑑定通過之學生，研究者所任教過的中年級資優生（三 年級十五人、四年級十八人，共三十三人）。

預試以研究者所任教過的中年級資優生 33 人中為樣本，放聲思考樣 本則篩選預試施測得分 130 分以上前四位學生，結果三年級只有三位（二 女一男）及四年級（二女二男）學生四位共七位。

第三節 研究工具

研究工具有自編預試試題、放聲思考試題及記錄放聲思考解題之器 材。

一、試題的編製：

（一）試題取材：

試題編製是參考「Mathematical Enrichment-A Teacher’s Guide」、「數 學練習廣場」、牛頓出版社出版之「舉一反三」、「撥雲見日」、美國AMC 8 數學測驗歷屆試題暨詳解等書中的題目編製而成。

（二）試題編選標準：

試題之編選標準如下：

1.和日常生活經驗相關的題目。

2.非單一步驟，需要數個步驟的推理才能解答的題目。

2.避免機械式的計算即可獲得答案的題目。

4.非唯一的方式作答，可顯現較多解題行為的題目。

5.題目的選擇對程度高的解題者具挑戰性。而對程度較低的解題者仍有 成功解題的機會。

（三）試題效度：

預試試題與放聲思考試題請指導教授及指導教授指導之同儕研究生 十四人，於meeting課堂中，針對語句、試題難度、解題合理性等方面，

採共同討論修正、另外請大同國小、陽明國小和成功國小等校任教的中年 級教師數位給予指正，修正不當之處。修正部分如放聲思考試題「L-02硬 幣排列」原題目為「有五種硬幣：1元、2元、5元、10元、20元，在桌上 由左至右排成一列」，因為我國現行硬幣中無2元硬幣，梁老師建議改成