心算教學活動實踐於小一數學課室之研究

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 125 教育科學研究期刊第五十七卷第二期 2012 年，57（2），125-154

心算教學活動實踐於小一數學課室之研究

楊德清

*

黃瓊賢

國立嘉義大學數理教育研究所數理教育研究所國立嘉義大學

摘要

本研究採質性研究法探討國小一年級學生進行心算教學活動之成效、策略改變情形及教學活動的實施歷程。研究樣本為實驗組學生 21 人，進行二位數加減一位數的心算策略教學。對照組學生 16 人，依照教科書規劃的方式進行二位數加減一位數的教學，兩班各進行 12 節課教學。研究結果顯示：教學後實驗組學生在心算之表現顯著優於對照組學生。同時，結果亦顯示教學後實驗組學生能夠發展多元之解題策略，如分離策略、集合策略，以及整體策略等。相反地，對照組學生在教學前、後，所使用之策略以數數策略、圖像與直式心像為主，改變較少，且少有心算策略的使用。教學過程中，藉由高分組學生的回答帶動中分組與低分組學生的思考，同時學生對於能夠上臺分享自己的策略感到興奮。最後根據研究結果，針對心算教學活動融入一年級數學課程及未來研究提出建議。關鍵字：心算、加減法問題、國小一年級通訊作者：楊德清，E-mail: dcyang@mail.ncyu.edu.tw 收稿日期：2011/10/11；修正日期：2012/05/03；接受日期：2012/06/14。

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126 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢

壹、研究動機

減少對紙筆計算的依賴，並強調心算的重要性是數學教育改革的重要主張之一（Department for Education and Employment [DfEE], 1998; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000; Queensland Studies Authority [QSA], 2003）。臺灣在九年一貫數學課程綱要中亦提出「學生應該養成簡單心算與驗算的習慣」，以作為日後計算的基礎（教育部， 2003）。此外，近年的研究亦強調心算在數學課程中的重要性（Blöte, Klein, & Beishuizen, 2000; Heirdsfield, 2004; Maclellan, 2001; NCTM, 2000; Varol & Farran, 2007），除了可以讓學生學習數字的運算、在運算過程中做適當的決定及發展不同的解題策略外（NCTM, 2000），亦可促進學生對數字結構及性質的瞭解（Blöte et al., 2000）。同時，能夠彈性與靈活的運用心算策略，是發展個體概念性瞭解的根基，進而作為提升學生數學思考能力的根本（Varol & Farran, 2007）。由此可知，心算近年來在數學課程與研究中的重視程度已與日俱增。然而，研究者在一年級數學教學現場的觀察卻發現，學生在面臨「加減法問題」（例如「5＋9」）時，即使經過重複練習，仍然偏好拿出手指頭，使用數數的方式得到答案，這不禁讓研究者思考自己的教學策略是否缺少了什麼？導致學生需要持續依靠手指的協助作答，而無法發展與運用心算策略以有效解題。研究指出，在低年級介紹正式的加減法紙筆計算，恐導致學生作答時求助於紙筆計算，而不願意進行思考以發展心算策略（Beishuizen, 2001; Cooper, Heirdsfield, & Irons, 1996）。Varol 和 Farran（2007）指出，探討心算教學相關之實務研究目前很少；然而目前國際間心算之相關研究以國小二、三年級為主，如 Blöte 等（2000）以 60 位荷蘭國小二年級的學生為樣本、Heirdsfield 與 Lamb（2006）以澳洲 21 位二年級學生為樣本；Heirdsfield（2004）以澳洲 58 位三年級學生為樣本，目前並未發現以一年級的學生為樣本。然而，依據我國 2003 年數學領域課程正綱一年級細目指出： 1-n-04 能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、－、＝作橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。一年級的直式紀錄只是提供直式計算的前置經驗，沒有計算意涵，可在一年級下學期才引入。 1-n-05 能熟練基本加減法。本細目目的在養成學童簡單心算的能力和習慣，作為日後計算的基礎。熟練的意思是，能夠不透過數數就知道答案。教師在基本加減法可以使用的情況或問題中，可鼓勵學童使用心算。但是這不表示一年級的加減法問題僅限於基本加減法，例如學童還是要會用數數或其他

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 127 合成分解的策略去計算 12＋9 之類的問題。（教育部，2003, pp. 81-82）研究者基於下述三個原因認為心算應在一年級下學期引入數學教學中：一、由於 2003 年正綱一年級細目期望一年級學生能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、－、＝做橫式紀錄與直式紀錄（1-n-04），並在一年級下學期引入直式紀錄以提供直式計算的前置經驗，且鼓勵學童使用心算，進而能熟練基本加減法（1-n-05）；二、二年級上學期已正式引入直式計算，教師若只教心算而延後直式計算可能會有面對家長壓力與進度壓力；三、一年級上學期學生剛進入學校，學生必須適應新的學校生活，而老師亦需時間與學生磨合。因此，一年級下學期將心算教學融入數學課室是非常適當的。有鑑於此，研究者期望藉由二位數加減一位數的心算策略教學，以協助學生發展心算策略解題，並探討心算教學實施可能遭遇的困境。是故，本研究之研究目的為探討國小一年級學童分別接受心算教學與一般教學之後，在加減法問題心算策略表現的差異，以及心算教學融入小一數學課室之教學歷程與省思。本研究之研究問題說明如下：一、國小一年級學童分別接受心算教學與一般教學後，在回答加減法問題時所使用之心算策略的差異為何？二、心算教學融入小一數學課室之歷程與省思為何？

貳、文獻探討

一、何謂心算

B. J. Reys、Reys 與 Hope（1993）指出，心算（mental computation）是指在腦（心）中求出精確結果的過程，但並非在心中進行算則的運算，而是運用對數與計算之理解來簡化問題的思考策略。Maclellan（2001）指出心算與紙筆計算之最大差別在於：紙筆計算鼓勵學生遵循步驟解題而不思考為什麼這麼做，心算則允許兒童決定題目中數字所代表的意義。例如，求 54＋28＝？時，我們可以將問題拆成 54＋20＝74，74＋8＝82 或 28＋2＝30，30＋52＝82。如此一來，不需經由紙筆計算即可以得到正確答案。同時，如此的解題方法亦顯示出思考方式並不是唯一的，因為解題者可以依據數字的特性，以發展不同的思考模式與解題策略（Blöte et al., 2000; Heirdsfield, 2004; Varol & Farran, 2007）。

二、心算的重要性與融入低年級數學課程的必要性

美國數學教師協會（NCTM, 1989）出版的「課程與評量標準」（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）中指出心算是多元化計算方法中的一種，也是解決問題的策略之一。心算之所以重要，在於植基於對概念的瞭解而非算則的記憶，有助於思考、推理等

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128 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢能力的提升。對於能夠有效地使用心算策略的學生而言，可以在不同的情境下使用不同的心算策略解題（Heirdsfield & Cooper, 2004a, 2004b）。相關文獻（Blöte et al., 2000; Heirdsfield, 2004; Maclellan, 2001; NCTM, 2000; Varol & Farran, 2007）亦指出，心算對於多位數加減法之所以扮演非常重要的角色，在於它教導學生瞭解數字與運算的意義、如何在計算過程中選擇策略，以及如何創造不同的策略解決問題。

R. E. Reys、Reys、Nohd 與 Emori（1995）指出，許多學者把心算看成一種基本技巧，是使用紙筆算則或估算的先前條件。Cooper 等（1996）亦指出，課程中一旦引入紙筆計算的教學，不管其有效性與否，學生易侷限於固定的計算步驟，而無法激發他們自發性的思考與彈性策略的發展。Heirdsfield（2004）以及 Heirdsfield 和 Lamb（2006）的研究顯示，小學數學教學中教導學生以心算策略解決加減法問題，則兒童較能夠發展與彈性的使用心算策略。因此，在課程尚未引入紙筆計算之前，教師應先協助學生心算能力的發展。這說明了心算能力應該建立於算則和估算之前，亦即先有好的心算能力，才能發展算則和估算技巧（Varol & Farran, 2007）。

三、加減法心算策略

（一）加減法心算策略之「分類一」

Blöte 等（2000）將心算策略分成 1010、N10、間隔跳躍（short-jump）三個類別，1010 的策略細分成 1010、u-1010、10s 三個子類別；N10 的策略細分成 N10、u-N10、N10C、A10 四個子類別，舉例說明如表 1。 Blöte等（2000）指出，美國課程中，教導學生將數字分解成十位和個位，因此學生最常使用的策略是 1010。但是使用 1010 解決退位的減法問題時，有兩個缺點：記憶工作量較大、增加錯誤機會（Varol & Farran, 2007），以 54－18 為例，50－10＝40，8－4＝4，40＋4＝44，即為 Baroody（1987）所指「小數減大數」的錯誤。而相較於 1010 的策略，N10 是較有效率且值得發展的策略，因為兒童使用 1010 策略時容易發生錯誤（Heirdsfield & Cooper, 2004a, 2004b），以解決 32－15 為例，使用 1010 策略時，容易出現「大減小」的問題（Heirdsfield, 2004），但使用 N10 策略時，學生透過 32－10＝22，22－5＝17 的過程，則不會發生這樣的問題。研究（Heirdsfield & Cooper, 2004a, 2004b; Varol & Farran, 2007）指出，歐洲國家強調 N10 在心算策略上的使用，因為 N10 策略可以減少學生犯錯的機會。另一方面，間隔跳躍適用於差值很小的減法問題中，以「65－59」為例：若以 65 為橋的起點，減掉 6 即到達橋的終點 59，所以答案為 6，記為 65∩59＝6；另外，若以 60 為參考點，65→60 需要減 5，60→59 需要減 1，共減了 6，記為 65∩60∩59＝5＋1＝6。Varol 和 Farran（2007）的研究指出，100 以內有兩種比較普遍的心算策略，分別為「以十為基礎」的「1010」策略及「N10」策略。因此，進行心算教學時，可以此兩種策略作為學生學習時的參考。

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 129 表 1 加減法心算策略之三類別及其子類別類別1 子類別加法：25＋19 減法：35－29 （後退位）30－20＝10, 5－9＝（！） 30－20＝10→0, 15－9＝6 0＋6＝6 1010 （Bl11） 20＋10＝30, 5＋9＝14 30＋14＝44 （先退位）20－20＝0, 15－9＝6 0＋6＝6 u-1010 （Bl12） 5＋9＝14, 20＋10＝30 30＋14＝44 5－9＝（！）, 15－9＝6 20－20＝0, 6＋0＝6 20＋10＝30, 30＋5＝35 35＋9＝44 30－20＝10, 10＋5＝15 15－9＝6 1010 （Bl1） 10s （Bl13） 20＋10＝30, 30＋9＝39 39＋5＝44 30－20＝10, 10－9＝1 1＋5＝6 類別2 子類別加法：25＋19 減法：35－29 N10（Bl21） 25＋10＝35, 35＋9＝44 35－20＝15, 15－9＝6 u-N10 （Bl22） 25＋9＝34, 34＋10＝44 35－9＝26, 26－20＝6 N10C （Bl23） 25＋20＝45, 45－1＝44 35－30＝5, 5＋1＝6 N10 （Bl2） A10 （Bl24） 25＋5＝30, 30＋14＝44 35－5＝30, 30－24＝6 類別3 減法：35－29 間隔跳躍（Bl3） 29∩35＝6 35∩29＝6 29∩30∩35＝1＋5＝6 35∩30∩29＝5＋1＝6 ∩表示兩個數字之間的差。

（二）加減法心算策略之「分類二」

部分學者（Beishuizen, 1993; Cooper et al., 1996; Thompson, 1999）將加減法心算策略分為五類，分別為數數（counting）、分離（separation）、集合（aggregation）、整體（wholistic）、直式心算，再各自細分數個子類別，舉例說明如表 2。

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130 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢表 2 加減法心算策略之五類別及其子類別類別子類別加法：28＋35 減法：52－24 數數（Be1） 28, 29, 30…...（往上數） 52, 51, 50…...（往下數）從右到（u-1010）（Be21） 8＋5＝13, 20＋30＝50, 63 12－4＝8, 40－20＝20, 28 從左到右（1010）（Be22） 20＋30＝50, 8＋5＝13, 63 40－20＝20, 12－4＝8, 28 分離（Be2） 10s （Be23） 20＋30＝50, 50＋8＝58 58＋5＝63 50－20＝30, 30＋2＝32 32－4＝28 從右到左（u-N10）（Be31） 28＋5＝33, 33＋30＝63 52－4＝48, 48－20＝28 集合（Be3）從左到右（N10）（Be32） 28＋30＝58, 58＋5＝63 52－20＝32, 32－4＝28 補償（Be41） 30＋35＝65, 65－2＝63 52－30＝22, 22＋6＝28 整體（Be4） _平衡（Be42） 30＋33＝63 58－30＝28 直式心像（Be5）使用傳統的方法，將數字上下放置，由右到左算出答案。例如 28 ＋35 由表 2 可知 1010 策略與 Blöte 等（2000）所提之分類相似，而集合策略所分從右到左（u-N10）、從左到右（N10）在 Blöte 等提及的 N10 策略中及細分的子類別亦包含這兩個。另一方面，Heirdsfield 與 Cooper（2004a）和 Thompson（1999）認為直式心像是最沒有效率的策略，容易使學生進行計算時，侷限於固定的進位、退位步驟。Maclellan（2001）亦提出：使用直式心像時，學生將數字視為單獨的個體，僅採取一樣的動作進行運算。此外，Thompson 認為集合和整體是最高階的心算策略；Heirdsfield 與 Cooper（2004b）也指出從右到左（u-1010）、從左到右（N10）、集合、整體依序代表低階到高階的心算策略。高學習成就學生可以很自然地使用各式各樣的心算策略（Heirdsfield & Cooper, 2004b）。然而，低成就學生只能停留於數數階段（Heirdsfield & Cooper, 2004a）。因此，提供豐富的學習環境，讓學生能夠依據自己的能力學習有效的心算策略是非常重要的（Varol & Farran, 2007）。

依上述文獻探討，將心算策略分為六類：數數、分離、集合、整體、間隔跳躍及直式心像，以作為本研究分析學童加減法心算策略之理論基礎，說明如表 3。

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 131 表 3 整合後的加減法心算策略六類別及其子類別類別子類別加法：28＋35 減法：52－24 數數（Be1） 28, 29, 30……（往上數） 52, 51, 50……（往下數）從右到左（u-1010）（Be21）（Bl12） 8＋5＝13, 20＋30＝50, 63 12－4＝8, 40－20＝20, 28 從左到右（1010）（Be22）（Bl11） 20＋30＝50, 8＋5＝13, 63 40－20＝20, 12－4＝8, 28 分離（Be2） 10s （Be23）（Bl13） 20＋30＝50, 50＋8＝58 58＋5＝63 50－20＝30, 30＋2＝32 32－4＝28 從右到左（u-N10）（Be31）（Bl22） 28＋5＝33, 33＋30＝63 52－4＝48, 48－20＝28 集合（Be3）從左到右（N10）（Be32）（Bl21） 28＋30＝58, 58＋5＝63 52－20＝32, 32－4＝28 補償（N10C）（Be41）（Bl23） 30＋35＝65, 65－2＝63 52－30＝22, 22＋6＝28 平衡（Be42） 30＋33＝63 58－30＝28 整體（Be4） A10 （Bl24） 28＋2＝30, 30＋33＝63 52－2＝50, 50－22＝28 間隔跳躍（Bl3）以65－59為例：59∩65＝6或65∩59＝6 59∩60∩65＝1＋5＝6或65∩60∩59＝5＋1＝6 直式心像（Be5）使用學校教的方法，將數字上下放置，由右到左算出答案。例如 28 ＋35 表 3 在整體策略部分加入 A10，因為 A10 策略藉由「整十」的數字進行運算，研究者認為應該屬於整體策略中；另外，表 1 中的 N10C 與補償策略相似，差異點在於：補償策略針對算式中任一個數字進行「接近整十」數字的動作，N10C 只針對算式中的第二個數字，所以補償策略涵蓋的範圍較大。因此，表 3 中使用補償而非 N10C；最後，表 3 加入間隔跳躍策略，因為對於差值很小的減法問題而言，這個方法可以提供學生不同的想法。

四、心算教學之相關研究

Blöte等（2000）針對 60 位荷蘭國小二年級的學生進行二位數心算加減法教學實驗研究，

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132 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢以「真的數學情境實問題」為主，使用空白數線作為輔助教具。主要研究發現有五點：第一是學生在加減法心算策略的表現和問題中數字的特徵有關，N10 是最常被使用的方法，其次是間隔跳躍，使用最少的是 N10C 的策略（僅用於被減數的個位是 9 的時候）。第二是解決心算問題時，學生對於使用何種策略解決特定的題目有不同的想法與解法，然而 N10 仍然是最常被使用的方法。第三是學生在解減法問題的表現比加法問題時較有彈性，解決減法問題時，多數學生使用 N10 策略，即使連 67－33 也不例外；解決加法問題時，則大多使用 1010 策略。第四是學生在情境題中的表現比計算題來得有彈性。第五是經過 1010 心算策略的教學後，使用 1010 策略的學生增加了，在加法的問題中則更為明顯。基於上述研究結果，Blöte 等（2000）進一步指出可能影響學生策略選擇的因素有三個：第一個因素是課室的教學會影響學生心算策略的表現，在此研究中，引導學生使用 1010、N10、間隔跳躍等策略的時間遠比 N10C 與 A10兩種策略多，因此學生使用 1010、N10、間隔跳躍等策略的機會就較高。因此 Blöte 等認為如果亦花費相同的時間引導學生使用 N10C 與 A10，則相信學生使用 N10C 與 A10 策略的機會會增加。第二個因素是學生選擇 N10 策略是因為它不會產生「以小減大」的問題，適用於解決所有問題，是個全面性的好方法。第三個因素是從「認知經濟」的角度來看，如果有比 N10 策略更簡單的策略，學生會選擇那個更簡單的策略，例如解決 81－7＝？時，學生會使用間隔跳躍的策略；然而在 N10C 的使用上卻相反，解決 84－29＝？時，若使用 N10C 需要考慮＋1 或－1 的問題，學生較容易產生錯誤（Blöte et al., 2000）。 Heirdsfield（2004）與澳洲 2 位國小三年級教師合作，針對 58 位三年級學生進行為期 6 週的短期教學實驗，以檢視教學實驗對提升兒童心算能力的成效；實驗過程中使用百格板和空白數線作為輔助教具；在課程設計上，鼓勵學生透過討論，發展策略性的心算能力。同時，透過心算課程教學的進行，讓老師對心算策略有深入的瞭解，並思考如何促進兒童心算策略的發展。本研究在心算教學過程中發現：（一）教師透過閱讀心算文獻、與研究者討論相關課程及自我的省思，可以促進教師瞭解如何進行有效的心算教學。（二）心算教學後，大多數學生在答對率及策略選擇上獲得改善，例如：有 4 位學生在教學前時使用 1010 或直式心像的策略解題；但是，在教學後他們能夠使用較高階的策略（如：N10、補償策略）解題。（三）教學後，雖然很多學生使用更有效的心算策略，例如：樣本學生可以使用法轉化的方式（transforming）（246＋199＝245＋200）以快速地獲得答案；或者是採用混合法（mixed method）（46＋28：40＋20＝60，60＋6＝66，66＋8＝74）。（四）教學後，學生可以發展出較多元化的心算策略。（五）直式算則會影響學生心算策略的發展（Heirdsfield, 2004）。 Heirdsfield與 Lamb（2006）和二年級老師合作，針對 21 位學生進行為期八週提升學生心算能力的教學課程，研究結果顯示：（一）當教室的學習氣氛可以接受學生不同的解題方式時，學生會更熱烈地參與課室討論，透過討論可以讓學生分享他人的思考方使與解題策略；（二）教學後，學生的心算策略有明顯的進步，從原本多數的學生採用數數策略，進步至能夠發展

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 133 與使用分離策略、集合策略或整體策略；（三）對於學習成就較低的學生而言，心算教學可以幫助他們連結數學觀念，有助於他們對解題方式的瞭解；（四）對於學習成就高的學生而言，討論有助於他們在心算策略上的思考與發展較高層次的心算策略；（五）透過輔助教具的使用可以幫助學生發展有效的心算策略。上述的研究結果顯示，心算教學可以有效的提升學生發展與使用多元的心算策略，以及可以促發學生發展高層次與有效率的心算策略；心算教學中透過討論與分享；可以有效促進學生心算策略的學習；透過輔助教具的使用可以幫助學生發展有效的心算策略；而直式算則的教學則會影響學生心算策略的發展；同時，教師的教學與引導會影響學生心算策略的發展與使用。基於上述論點，本研究之教學者與研究者進行為期 1 年之心算文獻的閱讀，以及在研究者的引導下，瞭解心算的內涵，不同之心算策略的意義，以及學習如何進行心算的教學，同時瞭解過早引入直式算則的教學將影響學生心算策略的發展與使用。

參、研究方法

一、研究設計

本研究採質性研究法進行資料之蒐集與分析。蒐集之資料包括兩部分：訪談資料與教學介入之資料。在訪談資料部分採半結構式晤談法，於心算以及一般教學前，對實驗組及對照組的學生進行加減法問題之訪談，以瞭解學生在教學介入前回答加減法問題時所使用之心算策略；之後於實驗組進行每週 3 節，共 12 節課的二位數加減一位數心算策略教學；同時對照組班級亦依據原來數學教科書內容所規劃之進度，進行 12 節課的二位數加減一位數教學。最後，進行教學介入後之訪談，以瞭解心算策略教學以及一般教學後，對於學生在回答加減法問題之心算表現的改變情形。在教學介入部分包括實驗組與對照組的學生之實際教學錄影資料、課室觀察、教學省思札記、課後學習單等。本研究之研究架構如圖 1。

二、研究對象

本研究採立意取樣選取南部某偏遠小學一年級某班為實驗組，共有 21 位學生（男生 8 位，女生 13 位）；該校位處漁村地區，家長主要以養殖業為生，部分家庭的經濟狀況不理想，課後參與安親班及珠心算的學生各 1 位；另外，選取鄰近學校附近之另外一所小學之另一班一年級學生為對照組，該班有 16 位學生（男生 10 位，女生 6 位），此學校之背景與上述學校類似，部分家庭的經濟狀況不佳，該班只有 1 位學生參與課後安親班。兩班學生在教學前之加減法問題訪談結果，經 SPSS 統計軟體比較後，p＝ .47 ＞ .05，無顯著差異；同時在教學前，實驗組學生與對照組學生所使用之策略主要以圖像與數數策略為主，顯示兩班學生在心算能力具同質性。

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134 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢圖1. 研究架構實驗班教學者小賢老師，即本研究之研究者之一，為某師院數學教育學系畢業。進行研究時為研二碩士生，有 3 年之教學經驗。研究者平日上課時會鼓勵學生舉手發言，分享解題想法；因此，班上小朋友大多喜愛舉手表達自己的想法。控制班教學者小真老師，為某師院教育系畢業，有 4 年之教學經驗。小真老師上課時亦會鼓勵學生舉手發言，表達想法。因此，班上小朋友上數學課時，亦喜愛舉手表達自己解題的想法。因此，實驗班與控制班 2 位老師在教學方式上之差異不大。

三、教學設計

本研究透過提問、空白數線、學習單的方式進行二位數加減一位數的心算策略教學，藉由提問方式，以引導學生發展 A10、分離、補償三種策略；在教學過程中為了讓學生表達心算的想法，引入空白數線的教學，讓他們藉此記錄心中計算的步驟，同時，透過空白數線與算式記錄讓學生瞭解心算策略的使用，藉由上臺分享與比較，以提升學童的心算能力。依據研究者教學班級使用之教科書，一年級上學期的教學目標是讓學生熟練 2 到 10 以內各個數的合成分解，及透過數數與畫圈圈的方式進行 10 以內的加減法運算，進而以心算卡訓練學生熟練度；一年級下學期的教學目標有兩個，其中之一，希望讓學生熟練 18 以內的加減法運算，並以心算卡訓練熟練度，教學策略分析如表 4。

四、研究工具

本研究參考 Blöte 等（2000）之研究以及南一版一下教科書中與加減法問題相關的內容，編製「加減法心算訪談問題」，前後訪談採用相同之問題。訪談工具共有 16 題，其中加減法後測訪談分析教學活動前學生所使用的心算策略探討心算教學可能遭遇的困境及其解決途徑分析教學活動後學生所使用之心算策略的差異前測訪談心算策略教學活動一般教學活動實驗組對照組

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 135 表 4 18以內加減法運算教學策略分析教學策略：以9＋6為例與心算策略之比較策略1： 9＋6＝15 為「數數」策略策略2： 9＋1＋5＝15 把6分成1和5，可以將第一個數9湊成10，屬於「A10策略」。 18_{以內的加法} 策略3： 5＋4＋6＝15 把9分成4和5，是為了將第二個數6湊成10，與 A10將第一個數湊成10不同，但是非常類似。教學策略：以15－8為例與心算策略之比較策略1：把8分成3和5之後，先用15－5得到10，再用10 －3，屬於「A10策略」。 18_{以內的減法} 策略2：將15分成10和5，用10－8得到2，再用2＋5，屬於「分離」策略。各 8 題，並將題目分成 20 以內的加減、二位數加減一位數／二位數類型，問題內容之雙向細目表如表 5。本工具選取南部某校一年級 30 位學生進行預試，預試結果顯示工具可行，並透過 SPSS 12.0分析，Cronbach α 係數為 .884，具有良好信度。上述雙向細目表經 2 位國小教師以及兩位數學教育專家檢視，一致同意內容符合小一學習範疇。因此本研究工具具良好之內容效度與專家效度。 15－ 8 10－ 8＋ 5＝ 7 10 5 15－ 8 5 3 15－ 5－ 3＝ 7 9＋ 6 5 4 9＋ 6 1 5 9 10 11 12 13 14 15 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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136 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢表 5 前後訪談內容之雙向細目策略種類題目類型（計算題）加法減法 20以內的加減（1） 7＋5 （3） 8＋6 （2）13－6 （14）11－9 二位數加減一位數／二位數（5）26＋8 （4）42－7 A10 （15）38＋24 20以內的加減（7） 9＋9 （6）13－9 補償二位數加減一位數／二位數（13）29＋15 （12）52－29 20以內的加減（8）18－5 二位數加減一位數／二位數（9）34＋5 （10）57－24 分離（11）26＋31 （16）51－49 註：（1）內之 1 代表訪談問題第 1 題，（2）代表訪談問題第 2 題；其餘依此類推。

五、資料的蒐集與分析

（一）資料的蒐集

每一位學生之訪談過程進行約 30～35 分鐘，訪談者每次提問一個問題，並將問題呈現於一張 A4 的紙上，問題呈現次序如表 5 之問題（1）至（16）。若學生要求則同意其使用紙筆以記錄其解題過程於 A4 的紙上；同時每一個訪談皆有錄影，以作為日後資料分析之用。同時，教學過程之資料方析採課室觀察、教學錄影、教學省思札記、上課紀錄單、課後學習單等。每一節課之教學錄影，皆將其轉譯成逐字稿，以作為日後資料分析之用。

（二）資料的分析

研究者為了能夠更有效地分析所蒐集之資料，乃依據訪談問題的主題性質，對逐字稿資料進行資料分析的編碼工作，原始資料編碼的意義如表 6。 2位研究者持續反覆閱讀轉譯編碼的資料，以使研究者能更確實釐清研究對象的想法與解題策略，並依據文獻探討所歸納之心算常見策略歸類為：數數策略、分離策略（包括 u-1010、 1010與 10s）、集合策略（u-N10、N10）、整體策略（補償、平衡與 A10）、間隔跳躍策略直式心像策略，以及不屬於上述策略之非典型心算策略。

六、研究的信度與效度

在訪談資料分析部分本研究採不同人員之三角檢正法；在教學介入之資料分析部分本研究採人員之三角檢正法與資料來源的三角檢正法，以建立本研究的信度與效度。在人員之三

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 137 表 6 原始資料編碼的意義編碼代號編碼的代表意義 T：代表教師談話 ES1, CS2：訪談過程學生之編碼方式 E代表實驗班，1代表編號1號之學生； C代表對照組；2代表編號2號之學生。 EH1, EM7, EL15：教學活動中學生之編碼方式

E代表實驗，H, M, L分別代表心算教學前訪談表現高分組（前30%）、中分組（30%～70%）與低分組（後30%）學生，1代表編號1號之學生 970411教學省思代表97年4月11日教學省思札記 970312上課學習單省思代表97年3月12日閱讀學生上課紀錄單後的省思 970414課後學習單省思代表97年4月14日閱讀學生課後學習單後的省思角檢正方面，2 位研究者反覆閱讀訪談逐字稿文本，並分別依據上述所歸類之常見心算策略，進行獨立分析與歸類；2 位研究者之策略分類一致性達 93%，其餘不一致的部分進行共同討論，以達一致性。在教學資料之分析方面，2 位研究者亦反覆閱讀逐字稿文本教學錄影資料逐字稿、課室觀察、教學省思札記、課後學習單等文本，以達人員之三角檢正（2 位研究者之分析一致性達 90%）與資料來源的三角檢正。透過上述方法顯示本研究具有良好之信度與效度。

肆、研究結果與討論

一、實驗組與對照組學生所使用之心算策略的差異

（一）非典型心算策略

分析訪談資料發現一些學生使用的策略與文獻探討所分析的策略不同，本研究將這些策略稱為非典型心算策略，共有「找五」、「找整十」、「借十」與「不適當」等四類，說明如下：「找五」部分，以「34＋5」為例，部分學生的想法為 34＋1＝35，35＋4＝39，解決「9 ＋9」的想法為 5＋5＝10，10＋4＝14，14＋4＝18，上述兩個例子都是先找出 5，再進行之後的運算；同樣地，在解決「18－5」時，部分學生的想法為 18－3＝15，15－2＝13，也是先找出 5，再進行之後的運算。此種心算策略與 A10 策略有異曲同工之妙，A10 策略的想法是先找出整十的部分，而此種心算策略是先找出 5，所以將它歸類在整體策略，並命名為找五。「找整十」部分，解決「26＋31」時，有 1 位學生的想法為 26＋24＝50，50＋7＝57，先找出讓被加數變成整十的部分，再進行運算，但此數並非「最小數」，與 A10（26＋4＝30，30

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138 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢＋27＝57）略有不同；同樣地，在解決「57－24」時，學生的想法為 57－17＝40，40－7＝33，也是找出讓被減數變成整十的部分，再進行運算，但此數亦非「最小數」。此種心算策略與 A10 的想法相近，都是先找出讓被加（減）數變成整十的部分，再進行運算，只是學生找出來的數並非為「最小數」，所以將它歸類在整體策略，並命名為找整十。「借十」部分，部分學生解決「42－7」的想法為 10－7＝3，3＋32＝35，學生的回答多為「2 不夠減 7，所以借 10 來減 7」，可見學生的想法是將 42 分成 10 和 32，再進行之後的運算。研究者認為學生最重要想法為「2 不夠減 7，所以需要用 10 來減」，與 1010 策略（12－7 ＝5，5＋30＝35）不相同，但符合分離策略的基本精神（將 42 分成 10 和 32），所以將它歸類在分離策略，並命名為借十。「不適當」部分，少數學生使用心算策略不甚理想，以「7＋5」為例，想法為 7＋2＝9， 9＋3＝12，解決「26＋8」的想法為 26＋6＝32，32＋2＝34，上述過程可以發現，這樣的分解方式對於運算並無特別的幫助，所以將其歸類為不適當。

（二）實驗組與對照組學生教學前後心算策略之差異

為進一步分析與比較實驗組與對照組學生在教學前後心算策略之差異，以下分別從學生在教學前後心算策略之個別改變情形與學生在教學前後心算策略整體百分比之變化情形兩部分做說明：

1. 學生在教學前後心算策略之個別改變情形

表 8 分別分析實驗組與對照組學生在教學前後策略未改變與策略出現改變之情形。從表 8 之資料可以發現實驗組學生在教學後產生錯誤、使用圖像或數數策略之學生的人數大幅度降低；同時實驗組學生在教學後使用分離策略與整體策略之人數大幅度增加，同時使用集合策略的人數由 2 位增加為 4 位；此結果顯示實驗組學生在教學後較能夠使用心算策略解題。表 8 之結果亦顯示對照組學生在教學後使用數數策略的人數大幅度增加，使用心算策略，如分離策略有小幅度增加，沒有人使用集合策略，使用整體策略之人數小幅度減少，使用直式心像的人數變化亦不大，此顯示心算教學未介入之對照組學生，在教學後未能發展較多元之心算策略。

2. 學生在教學前後心算策略整體百分比之變化情形

表 9 報告實驗組與對照組學生教學前後心算策略之差異情形。結果顯示心算教學前、後，實驗組學生以圖像策略解題的比率從 22.32%降至 4.16%，大幅減少了 18.16%；但對照組學生以圖像策略解題的比率從 22.66%降至 13.28%，減少了 9.38%。此結果顯示，在心算教學後實驗組學生使用圖像策略之比例比對照組學生大幅度減少。同樣地，在數數策略之使用上，實驗組學生使用的比率從 21.72%降至 11.01%，減少了 10.71%；亦即教學後約有一半的學生不再使用數數策略。但對照組學生以數數策略解題的比率從 21.09%增加至 35.94%，增加了

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 139 表 8 實驗組（對照組）學生教學前、後策略未改變與出現改變之情形教學後錯誤圖像數數分離集合整體間隔 _跳躍直式 _心像錯誤 41 （22） 0 （0） 0 （19） 38 （2） 1 （0） 3 （0） 0 （0） 0 （0）圖像 0 （0） 14 （34） 0 （14） 29 （10） 0 （0） 31 （0） 1 （0） 0 （0）數數 0 （0） 0 （0） 37 （54） 0 （0） 1 （0） 35 （0） 0 （0） 0 （0）分離 0 （0） 0 （0） 0 （0） 32 （27） 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0）集合 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0） 2 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0）整體 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （2） 0 （0） 71 （14） 0 （0） 0 （0）間隔跳躍 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （0）教學前直式心像 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （4） 0 （0） 0 （0） 0 （0） 0 （49）註：（）內之數值代表對照組學生教學前後策略未改變與出現改變之次數。 14.94%。此結果顯示，心算教學後實驗組學生已大幅減少數數策略之使用；但對照組學生隨著訪談問題的難度增加，使用數數策略的比例亦大幅增加。在心算分離策略方面（包括 u-1010、1010、10s 以及借 10），實驗組學生在心算教學前、後之使用比率增加了 19.93%（9.53%→29.46%）；對照組學生在心算教學前、後之使用比率增加了 7.02%（10.56%→17.58%）。此結果顯示，實驗組學生在分離策略的使用上較對照組學生使用的比率增加 10.91%。亦即實驗組學生在心算分離策略的使用上較對照組學生好。在集合策略方面（包括 u-N10 及 N10），實驗組學生在教學前、後，從 2 個人次增加為 4 個人次使用此策略；但對照組學生在教學前、後皆無人使用此策略。在整體策略方面（包括補償及 A10），實驗組學生在教學前無人使用補償策略，但在教學後有 6 個人次使用補償策略。但對照組學生在教學前、後皆無人使用此策略。此外，在 A10 策略方面，實驗組學生在心算教學前、後使用此策略解題之比率大幅增加了 19.65%（18.45% →38.10%）；但對照組學生在教學前、後使用此策略解題之比率減少了 1.17%（5.86%→ 4.69%）。且在教學後實驗組學生有 128 人次使用 A10 策略，但對照組學生只有 12 人次使用 A10策略。在非典型心算找五與找整十策略方面，對照組學生在教學前、後分別有 1 人次及 2 人次使用此策略；實驗組學生在教學前、後分別有 9 人次及 6 人次使用此策略。在間隔跳躍策略方面，實驗組學生在教學後只有 1 位學生使用此策略，對照組學生無人使用此策略。較特別的是，在直式心像策略方面，由於實驗組學生未被教授直式算則的方式，

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140 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢表 9 實驗組（N＝21）與對照組（N＝16）學生教學前、後心算策略之差異實驗組對照組心算策略前後前後錯誤 83（24.70%） 41（12.20%） 43（16.80%） 22（ 8.59%）0 圖像 75（22.32%） 14（ 4.16%） 58（22.66%） 34（13.28%）數數 73（21.72%） 37（11.01%） 54（21.09%） 92（35.94%） u-1010 10（ 2.98%）0 39（11.60%） 4（ 1.56%） 13（ 5.08%）0 1010 12（ 3.57%）0 33（ 9.82%） 12（ 4.69%）0 12（ 4.69%） 10s 0 06（ 1.79%） 0 4（ 1.56%）分離借10 10（ 2.98%）0 21（ 6.25%） 11（ 4.30%）0 16（ 6.25%）0 u-N10 0 0 0 0 集合 N10 2（ 0.60%） 4（ 1.19%） 0 0 補償 0 6（ 1.79%） 0 0 A10 62（18.45%） 128（38.10%） 15（ 5.86%）0 12（ 4.69%）0 找五 5（ 1.49%） 4（ 1.19%） 1（ 0.39%） 2（ 0.78%）整體找整十 4（ 1.19%） 2（ 0.60%） 0 0 間隔跳躍 0 1（ 0.30%） 0 0 直式心像 0 0 58（22.66%） 49（19.14%）總次數 336 336 256 256 註：總題數＝16；（）內之數值代表使用該策略之百分比。因此，教學前後皆無人使用此策略解題。但對照組學生在教學前、後分別有 22.66%及 19.14% 的學生使用此策略解題。綜合上述分析可以發現，實驗組學生在教學前所使用之策略主要以圖像（22.32%）與數數策略（21.72%）為主，以及 A10 策略（18.45%）為輔；在心算教學後，實驗組學生所使用之策略主要以 A10 策略（38.10%）為主，有高達 128 人次使用此高階之心算策略；同時發展多元之解題策略，例如有 11.6%的實驗組學生使用 u-1010 策略，9.82%的學生使用 1010 策略， 6.25%的學生使用非典型之借 10 策略，以及 1.79%的實驗組學生使用高階的補償策略。相較之下，對照組學生在心算教學前所使用之策略主要以圖像（22.66%）、數數策略（21.09%）與直式心像（22.66%）為主；在教學後，對照組學生仍然以數數策略（35.94%）、圖像（13.28%）與直式心像（19.14%）為主，少有心算策略之使用。此結果顯示心算教學對實驗組學生之心算策略的多元發展有正面之效益，特別是在高階心算策略如補償策略與 A10 策略，實驗組學生能夠發展這些策略，但卻少有對照組學生能夠使用此種策略解題。此發現正回應先前相關

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 141

文獻之結果，心算教學可以引導學生瞭解數字與運算的意義，進而協助學生發展不同的策略解題（Blöte et al., 2000; Heirdsfield, 2004; Heirdsfield & Cooper, 2004a; Maclellan, 2001; NCTM, 2000; Varol & Farran, 2007）。此外，誠如一些研究（Cooper et al., 1996; Maclellan, 2001; Reys, R. E. et al., 1995）指出：教學中過早引入紙筆計算的方式，不管其有效性與否，學生易侷限於固定的計算步驟，而無法激發學生彈性心算策略的發展。本研究之對照組學生，由於教師在教學中已教導學生如何使用直式算則的方法解題，因此，對照組學生較習慣於使用數數或直式心像的策略解題，而少有心算策略的發展。此亦回應先前之相關研究，

二、心算教學活動的實踐歷程

本研究實驗組心算教學活動的實踐歷程共有四個教學活動，每個活動皆分成教學活動歷程、上課紀錄單及課後學習單表現以及教學省思等三部分。活動一有四節課，主要目的在引導學生發展 A10 及補償策略解決二位數加減一位數的問題；活動二有四節，主要目的在引導學生發展分離策略解決二位數加減一位數的問題；活動三有兩節，主要目的是嘗試讓學生用空白數線表達自己的心算過程；活動四有兩節，主要希望學生能依據數字的特性使用適當的策略解題，以下舉活動二說明如下。活動二進行四節課，第一節先引導學生發展分離策略解決二位數加一位數問題，第二節檢討第一節的課後學習單，第三節引導學生發展分離策略解決二位數減一位數的問題，第四節檢討第三節的課後學習單。

（一）實驗組心算教學活動歷程

1. 引導學生發展「分離策略」解決二位數加一位數的問題

請小朋友上臺解：12＋6 時，EH5 與 EM14 皆以 2＋6＝8、8＋10＝18 的方式記錄算法，研究者藉由她們的方式引入分離策略教學，以畫積木的方式（如圖 2）。圖2. 利用積木計算12＋6 引導學生注意零散的 2 個積木和 6 個積木，將其相加得 2＋6＝8，再加上旁邊的一條積木（10 個），總計為 8＋10＝18，一開始少數學生似乎無法將 12 的 1 視為 10，進行 8＋10 的運算，但是經過研究者提示 12 的 1 是十位，代表 10 之後，已不再困惑。過程中，研究者發現 EM7的列式為 12＋3＝15，15＋3＝18，研究者特地請 EM7 上臺將算式寫在黑板上，讓小朋

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142 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢友認識其他的算法，教學過程如下： T：老師剛才發現 EM7 的算式好像跟大家不太一樣哦！我們請她上來寫寫看！ EM7：（上台寫 12＋3＝15、15＋3＝18） T：這個方法也可以哦！EM7 先加 3 讓 12 變成多少？ S：15（多位小朋友同時回答）。 T：再來呢？ S：再加 3 變成 18。 T：這兩個方法都可以哦！由 EM7 的解法可知，EM7 藉由加 3 找出「5」，再進行運算，研究者在教學過程中亦發現，有些學生習慣找出「5」的運算方式，此策略不同於過去相關研究的分類，但精神雷同於 A10 策略找出 10 的部分，因此研究者將其命名為找五。接著，請學生上臺解：8＋34 時，主要有兩種策略，分別為分離策略（8＋4＝12，12＋30 ＝42）及 A10 策略（34＋6＝40，40＋2＝42），透過教師的引導、同儕分享解題過程以及課室討論，學生發現不同的方法亦可以有效率地解決問題，而研究者亦鼓勵學生選擇自己喜歡且容易理解的策略。

2. 引導學生發展「分離策略」解決二位數減一位數的問題

請小朋友上臺解：26－5 時，EL20、EH5、EH3 三位小朋友寫出了三種方法，如圖 3。圖3. 26－5的解題方式解法一為 A10 策略，將數字變成整十後，再將多減的部分加回去，在這個題目中利用 A10 策略，雖然較為複雜，但 EL20 能夠利用 A10 策略解題已是相當大的進步，研究者給予鼓勵，並請他參考其他小朋友的算法，選出較簡單的心算方式。解法二為分離策略，是本節課的教學重點，研究者藉由 EH5 的解法，引導學生利用分離策略進行運算，先以畫積木的方式（如圖 4）讓學生注意零散的 6 個積木，問其夠不夠減 5 個，學生皆表示「夠」，將其記為算式 6－5＝1，最後加上旁邊剩下的兩條積木（20 個），記為算式 1＋20＝21。解法一 26－6＝20 20＋1＝21 解法三 26－1＝25 25－4＝21 解法二 6－ 5＝1 1＋20＝21

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 143 圖4. 利用積木計算26－5 解法三為找五策略，在活動一的進行中亦曾出現這個方法，部分學生解題時習慣找出「5」再進行運算，以這題為例，EH3 先用 26－1＝25，找出 5 之後，再用 25－4＝21。當學生利用找五策略時，研究者通常不會加以禁止，而是請學生判斷在題目中使用何種方法較合適。接著，分別請 EH4、EM11、EH6 3 位學生上臺解 45－7 時，解法如圖 5。圖5. 45－7的解題方式由圖 5 可知，EH4 的解法一是典型「大減小」的錯誤類型，一開始研究者先請小朋友找找看，三種解法中哪一個是錯誤的，再進行討論，過程如下： T：三種解法中有一種是錯誤的，請小朋友找找看！ S：第一個（多位小朋友同時回答）。 T：很多人說第一種哦！我請小朋友告訴我為什麼錯了？請 L4 說說看！ EL19：40－2。 T：那還有其他地方錯誤嗎？ EL19：……。 T：有沒有其他人知道，請 EL20 上台說說看。 EL20：指著 7－5。此時 EL20 指出 7－5 不對，亦即題目是 45－7，使用 7－5 是不對的；教師繼續追問，並企圖引導孩子瞭解為什麼 7－5 是不對的： T：很好，小朋友請看題目是 45－7 哦，那可以用 7 去減 5 嗎？ S：不行。解法一解法二解法三 7－5＝2 40－2＝38 45－10＝35 35＋ 3＝38 45－5＝40 40－2＝38

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144 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢 T：請小朋友看黑板上畫的積木，我們這裡有 5 個積木，夠不夠減掉 7 個？ S：不夠。 T：所以不可以用 7 去減 5！教師透過黑板上積木，讓孩子瞭解為什麼 7－5 是不對的；從孩子宏亮的回答聲中可以知道大多數的孩子瞭解為什麼 7－5 是不對的。教師繼續引導學生解題： EH4：所以要用 5－7。 T：可是 5 減 7 不夠減呢！我們來看看解法三的算法就可以知道囉！ T：45 減 7，我們先減掉多少？（指著黑板上畫的積木） S：5。 T：很好，再用剩下的 40 減 2 等於 38。教師透過解法三的解題方式，引導學生利用 A10 策略解題。解法二為補償策略，45－7 這個題目雖然不是很需要利用補償策略解題，研究者仍與小朋友一起分享 EM11 的解法，希望能夠讓小朋友多多熟悉補償策略。

（二）上課紀錄單及課後學習單表現

1. 處理加法問題時，多數學生利用分離策略，部分學生交互使用分離、A10 及

補償策略

從學習單發現，對學生而言利用分離策略解加法問題容易理解，且經過分離策略教學後，利用分離策略解題的人數明顯增加，部分學生則是交互使用 A10、補償、分離三種策略解題。從課後學習單發現，「分離」策略教學後，使用「分離」策略的人數高達 13 人（高分組 5 人、中分組 7 人、低分組 1 人），其中有 4 人能夠交互使用「分離、A10、補償」策略（高分組 1 人、中分組 3 人）；有 1 位高分組的學生使用 A10 及補償策略解題，以「31＋7」和「9＋37」為例，分別先算 31＋9＝40，40－2＝38 和 9＋31＝40，40＋6＝46...（980527 教學省思）。低分組學生經過第一節的分離策略教學後，可以嘗試利用此策略表達自己的想法實屬一大進步，然而有些小朋友的算法仍屬於較無效率的算法，需多加指導，見圖 6。圖6. EL17在41＋7的解題表現

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2. 處理減法問題時，高分組多數學生利用 A10 策略，中分組多數學生利用分

離策略及借 10 策略，低分組多數採取無效率的分解策略

上完第一節利用分離策略解決減法問題之後，研究者從學生的課後學習單發現，利用分離策略解題的人數並不多，且多數高分組學生利用 A10 策略解題，讓研究者不禁思考為什麼會發現這樣的現象，研究從小朋友的解題發現，他們沒有判斷個位數夠不夠減，而是直接將被減數化為整十，再進行事後加回的動作，見圖 7。圖7. EH1在38－3、37－9的解題表現

由上圖可知，EH1 在處理退位與不用退位的問題時，都使用 A10 策略解題，顯示 EH1 沒有進行判斷即進行運算。中分組學生處理不用退位的減法問題時，多使用分離策略；處理退位減法問題時，多使用借十策略。在退位減法問題方面，由於上課時並未提及借十策略，學生為何使用這樣的策略，不禁讓研究者感到好奇，經過事後訪談發現，使用借十策略的學生皆表示，家長教導：「不夠減的時候可以借 1 個 10 來減」；在不用退位的減法問題方面，因為班上多數中分組學生的功課平日有家長督促，所以處理使用不用退位的減法問題時，能夠適時地使用分離策略解題，見圖 8。圖8. EM13在42－9、38－3的解題表現由圖 8 可知，EM13 在處理退位問題 42－9 時，將 4 劃掉寫上 3，再將 42 分成 32 和 10，再進行運算，EM13 表示這是父親教導的方法；處理不用退位的問題 38－3 時，則採取分離策略。

(22)

146 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢低分組學生已經可以利用算則表達出自己的想法，但是錯誤率仍然偏高，部分小朋友的算法採取較無效率的分解方式。對照組與實驗組教學時間相同，共進行 12 節課，教學的內容主要依據教科書之編排順序進行教學。以下報導活動三二位數的加減，本單元共進行四節課對照組之教學不引入不同心算策略之探討，僅依照教科書指引內說明之方式進行，例如：在進行 2 位數加一位數的問題時，如圖 9。圖9. 對照組之學習方式。引自南一國小數學課本第二冊，南一書局，2008。臺南市：作者。 p. 66。教學中採用畫記與的方式進行解題，並以直式記下來；然後請學生依樣畫葫蘆，練習以相同方式之解練習題（ 17＋5＝？， 25＋8＝？）。然而在實驗組之教學則鼓勵學生發展不同之心算策略解題，如分離策略（8＋4＝12，10＋12＝22）、整體策略（18＋2＝20， 20＋2＝22）或補償策略（20＋4＝24，24－2＝22）。此顯示實驗班學生在此種學習情境下較有可能發展多元之心算策略以解決問題。同樣地在 2 位數減 1 位數之問題中，對照組依照教科書內容之教學如圖 10。對照組在上述問題之解題方式依然採用畫記與的方式進行，進而要求學生以直式方式記下解題答案；然後再請學生依樣畫葫蘆，練習以相同之方式解題（ 25－8＝？， 31 －7＝？）。此種教學方式與實驗組鼓勵學生發展不同之心算策略，如分離策略（11－5＝6，10 ＋6＝16）或整體策略（21－10＝11，11＋5＝16）解題。此亦顯示實驗班學生在此種學習情境下較有可能發展多元之心算策略以解決問題。

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楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 147 圖10. 對照組之解題方式。引自南一國小數學課本第二冊，南一書局，2008。臺南市：作者。 p. 70。

（三）教學省思

1. 需加強利用分離策略處理減法問題的時機點，應引導學生利用分離策略解決

退位減法問題

研究者在課後學習單發現，處理減法問題時，部分學生容易忽略被減數的個位數夠不夠減減數，而直接利用 A10 策略解題或無效率的分解策略。因此，研究者特地於另一節加強學生「夠不夠減」的觀念，及較合適的處理策略。 …...教學過程中強調「夠減」與「不夠減」時，使用策略的不同及其有效性，對於低分組的小朋友，鼓勵他們採取「分離策略」解決問題，以免過多的解題方式造成學習上的錯亂；對於中、高分組的小朋友，希望他們不要再採取將數字分解後一個一個相減的方式，並能夠根據情況使用「A10 或分離」策略。（980605 教學省思）研究者於教學活動結束後發現，教學過程中，研究者忽略引導學生利用分離策略解決退位的減法問題，而是強調學生使用 A10 策略解決退位的減法問題，以 53－8 為例，可以引導學生將 53 分成 13 和 40，先算 13－8＝5，再算 40＋5＝45，但是研究者並未這麼做，可能是因為教學過程中一直著重於「夠不夠減」，且擔心過多策略的教學，導致學生學習上的困擾。

2. 學生解題表現漸趨多元化

教學過程中，研究者發現學生的解題策略並非侷限於分離策略的使用，而能夠交互使用

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148 心算教學於小一之研究楊德清、黃瓊賢各種策略，以「31＋7」為例，使用了三種解題方式，分別為：1＋7＝8，8＋30＝38；31＋9 ＝40，40－2＝38；30＋7＝37，37＋1＝38。以「39－4」為例，則使用了四種解題方式，分別為 40－4＝36，36－1＝35；39－5＝34，34＋1＝35；9－4＝5，5＋30＝35；10－4＝6，6 ＋29＝35。這兩個題目雖然用分離策略較合適，但是學生能夠寫出其他的解題方式，可見他們數字運用的靈活度上已有明顯提升，解題逐漸趨向多元化。由上述可知，這節課看見了學生解題的多樣性，甚至運用已知的知識發展出新的策略，著實令人感到振奮！（980527 教學省思）在教學者的引導下，學生漸漸能夠依據不同的情況使用不同的解題策略。（980605 教學省思）

3. 需提醒學生勿犯「大減小」的錯誤

教學過程中，部分學生處理退位減法問題時，容易出現「大減小」的錯誤算法，研究者以畫積木的方式告訴學生為什麼這樣算是錯誤的，並適時請容易犯錯的小朋友回答應該如何運算，經過教學活動之後，學生的犯錯率已大大降低。學生（璧采）上臺寫第 6 題「32－9」的時候寫出了「9－2＝7，30＋7＝37」，再次提醒是否可以用大數減小數？……學生容易產生「大減小」的迷思，教學者透過反覆的提問及畫積木的方式讓他們瞭解為何不可以這麼做…...（980604 教學省思）

4. 教師教學後之成長

猶如 Heirdsfield（2004）的研究指出教師透過閱讀心算文獻、與數學教育學者討論心算教學活動之設計以及教學進行方式，可以促進教師瞭解如何進行有效的心算教學。同時透過教學實務的經驗，教學研究者可以實際領悟心算教學如何進行，心算教學可以引發學生較多元的解題策略。同時亦如 Heirdsfield 與 Lamb（2006）的研究發現當教室的學習氣氛可以接受學生不同的解題方式時，學生會更熱烈地參與課室討論，透過討論可以讓學生分享他人的思考方使與解題策略。

伍、結論與建議

一、結論

（一）實驗組學生之心算策略表現優於對照組學生

本研究之主要目的在探討國小一年級學童分別接受心算教學與一般教學後，在回答加減

(25)

楊德清、黃瓊賢心算教學於小一之研究 149 法問題時所使用之心之算策略的差異，以及探討心算教學融入小一數學課室之歷程與省思。研究結果發現，接受心算教學之實驗組小一學童與接受一般教學之學生在教學後之心算策略的使用上有差異，在心算教學後，實驗組學生能夠使用多元之解題策略，如分離策略（u-1010, 1010, 10s）、集合策略（N-10）以及整體策略（A10 與補償策略）等，特別是實驗組學生在教學後有超過三分之一的學生能夠使用較高層次之心算 A10 策略，以及有將近三分之一的實驗組學生能夠使用 u-1010 策略、1010 策略、10s 策略、借 10、或者是 N10 策略。此結果與 Heirdsfield 與 Cooper（2004b）的研究指出心算教學後，學生可以很自然地使用各式各樣的心算策略，特別是高學習成就之學生。此發現亦回應先前相關文獻之結果，心算教學可以引導學生瞭解數字與運算的意義，進而協助學生能夠發展不同的策略解決問題（Blöte et al., 2000; Heirdsfield, 2004; Heirdsfield & Cooper, 2004a; Maclellan, 2001; Murphy, 2004; NCTM, 2000; Varol & Farran, 2007）。相反地，對照組學生在教學前、後，所使用之策略以數數策略、圖像與直式心像為主，改變不多，且少有心算策略的使用。此結果顯示心算教學對實驗組學生之心算策略的多元發展有正面之效益，特別是在高層次之心算策略，如補償策略與 A10 策略，實驗組學生能夠發展這些策略，但卻少有對照組學生能夠使用這些高層次之心算策略解題。誠如一些心算相關之研究指出（Cooper et al., 1996; Heirdsfield & Cooper, 2004a; Maclellan; 2001; Reys, R. E. et al., 1995; Thompson, 1999），教學中過早引入算則計算的方式，學生較容易侷限於固定的計算步驟，而難以激發學生發展彈性之心算策略。本研究之對照組學生，由於教師在教學中已教導學生如何使用直式算則的方法解題，因此，對照組學生較習慣於使用數數或直式心像的策略解題，而少有心算策略的發展。整體而言，心算教學融入小一數學課室，對兒童心算策略之發展有正面之效益此結果與先前之相關研究相呼應，如 Blöte 等（2000）指出將心算活動融入數學課室對學生心算策略的表現有正面之效益；以及回應如 Heirdsfield（2004）的研究，經過心算教學活動之後，大多數學生在回答心算問題時，心算策略之使用上可以有效提升。同時過早引入直式算則的教學將有礙於心算策略之發展，此亦回應先前相關研究之發現（Cooper et al., 1996; Heirdsfield & Cooper, 2004a; Maclellan; 2001）。

（二）教學省思

1. 學生的解題策略逐漸具有多樣性

教學過程中，研究者發現，中、高分組學生的解題策略不會侷限於單一策略的使用，而是依據數字特性使用不同的心算策略，以分離、整體策略為主，整體策略中，使用 A10 策略占多數，部分學生使用補償策略解題；除此之外，部分中、高分組學生能夠自行創造不同的心算策略，如：以找出 5 為目的的「找五」策略及以找出整十為目的的「找整十」策略，解題具有多樣性。然而，低分組學生常常以單一策略解題，運算時較缺乏彈性。

(26)

2. 學生對於上臺分享自己的策略感到興奮

心算教學活動的進行，主要藉由學生原始的解題策略，引入研究者欲教導的心算策略，因此需要學生上臺寫出自己的算法，學生相當熱衷於在臺上向大家解釋自已的算法，覺得很有趣，臺下的學生亦能仔細觀察臺上小朋友的算法，指出相同及不相同處，進而記錄自己喜愛的心算策略。如同 Mardjetko 與 Macpherson（2007）所言，進行心算教學活動時，培養學生上臺分享的能力，讓他們有信心的告訴大家不同的心算策略，將讓學生感受到學習環境充滿心算氣氛，有助於學習。

3. 藉由高分組學生的回答帶動中、低分組學生的思考

心算教學屬於較高階的教學活動，教學過程中，高分組學生的反應一開始就相當熱絡，且能清楚說出運算的背後原因，Heirdsfield 與 Lamb（2006）亦提出，對於學習成就高的學生而言，討論有助於他們心算策略的思考；隨著教學活動的進行，中分組學生逐漸能夠加入討論活動，且仔細觀察臺上學生的解題策略；然而，低分組學生一直到教學活動尾聲，研究者才從他們學習單的解題中察覺他們能夠用算式記錄自己的想法。整個活動過程中，藉由高分組學生的解題策略、上課的回答，能夠帶動其他小朋友的思考，進而提升全班的心算能力，此正呼應 Vygotsky（1978）之論點，經由同儕之間的互相刺激與鼓勵，是團體學習中最大學習效能的來源。

（三）主要貢獻與對數學教育之啟示

本研究之突破性結果，即主要之研究貢獻有下列幾點： 1.先前之研究以國小二年級學生為主，本研究以國小一年級學生為主，研究發現，國小一年級開始融入心算教學可以鼓勵孩子發展多元的心算策略，以及高階之心算策略，如 A10、 N10等策略。對於兒童未來數概念之發展應有正面之效益。 2.本研究發現部分國小一年級學童能夠發展不同於先前文獻所探討之心算策略，並能夠運用這些非典型之心算策略，如「找五」、「找整十」與「借十」等策略進行解題。此顯示孩子的想法可以是多元的，教師教學中若能夠鼓勵孩子發展不同的解題策略，而不侷限於某種策略，對孩子的學習是有正面助益的。 3.一般之教學由於是以學習如何以直式算則方式解題為主，因此，學生較少能夠發展多元之解題策略，更遑論是發展較高層次之 A10 策略。本研究對數學教育之啟示為心算教學融入國小一年級數學課室對國小一年級學童發展多元之心算策略有正面之助益，而過早引入直式算則之教學，將會侷限孩子的解題模式，進而阻礙孩子發展多元的解題策略與概念的理解。誠如先前之許多研究指出，直式算則的學習不但會限制數學解題多元的缺點，同時亦會阻礙孩子思考與推理能力的發展（Burns, 2004; Heirdsfield & Cooper, 2004a; Maclellan, 2001; NCTM, 1989, 2000; Reys, R. E. & Yang, 1998; Varol & Farran, 2007）。

(27)

二、建議

（一）應引導學生利用分離策略解決退位減法問題

教學後訪談結果發現，部分實驗組學生在二位數減二位數退位減法問題的表現不甚理想，只有部分學生能夠成功作答。此結果顯示，學生在較複雜之二位數減二位數退位減法問題，無法有效發揮心算彈性策略解題，因此，未來教學實驗可以再加強此部分。推究其原因可能是因為教學過程中處理二位數減一位數的退位減法問題時，研究者引導學生利用 A10 策略（如：42－8，為 42－2＝40，40－6＝34），未引導學生利用分離策略解題（如：42－8，可以用 12－8＝4，30＋4＝34），導致學生處理 52－29 時，缺少另一種解題策略的選擇，產生既無法活用 A10 策略，亦缺少將 52 分成兩個數之後再進行運算的想法，所以無法成功作答。因此，當心算教學活動過程中學生能夠以 A10 策略作答二位數減一位數的退位減法問題之後，可以詢問學生「怎麼做才可以一次把減數減完？」（以 42－8 為例，詢問如何一次把 8 減完？），且教學者可以引導學生將 42 分成 12 和 30，用 12 減 8 等於 4，再用 4 加 30 等於 34。當學生能夠嘗試以分離策略解決二位數減一位數的退位減法問題後，可能有助於二位數減二位數的退位減法問題。

（二）加強補償策略的應用

雖教學活動將結束時已有不少學生能夠自動想到利用補償策略處理數字有「9」的題目，但後測結果發現只有相當少數的學生利用補償策略處理像「11－9」、「29＋15」等題目，可見補償策略對於學生而言仍然是較為陌生的方式，而 Thompson（1999）亦指出補償策略是比較複雜的方法。此外，學生認為「加減法問題紙筆測驗」是考試，偏向於使用自己有把握的策略，較不願意使用不確定的策略（如：補償策略），即 Murphy（2004）指出，學生在運用已知的策略解題時，部分學生習慣於他們有信心的策略時，不願意改變。鑑於此，研究者認為教學中可利用十元硬幣，讓學生體會題目數字有「9」時最接近哪個整十的數字，如：29＋5，先讓學生思考 29 最接近哪個數字？可以拿出幾個 10？再加上 5 等於多少？還要再減掉多少？先利用具體物（十元硬幣）引入，再透過空白數線記錄想法進而寫出算則，藉以加深學生對於使用補償策略的認識和成功經驗。

誌謝

本研究蒙行政院國家科學委員會專題計畫補助（計畫編號：NSC100-2511-S-415-008- MY3），特誌申謝；文中所提論點純屬研究者個人之意見，並不代表行政院國家科學委員會之立場。研究者衷心感謝審查委員對本研究所提供之寶貴意見，由於您們的協助，方能使本研究能夠以更清楚、更結構化的方式呈現。

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參考文獻

一、中文文獻

南一書局（2008）。南一國小數學課本第二冊。臺南市：作者。

【Nani Educational Publishing Group. (2008). Nani elementary school mathematics textbook 2nd. Tainan, Taiwan: Author.】

教育部（2003）。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。臺北市：作者。

【Ministry of Education. (2003). The learning domain of mathematics of grade 1-9 curriculum guidelines. Taipei, Taiwan: Author.】

二、外文文獻

Baroody, A. J. (1987). The development of counting strategies for single-digit addition. Journal for Research in Mathematics Education, 18(2), 141-157.

Beishuizen, M. (1993). Mental strategies and materials or models for addition and subtraction up to 100 in Dutch second grades. Journal for Research in Mathematics Education, 24(4), 294-323. Beishuizen, M. (2001). Different approaches to mastering mental calculation strategies. In J.

Anghileri (Ed.), Principles and practices in arithmetic teaching (pp. 119-130). Buckingham, UK: Open University Press.

Blöte, A. W., Klein, A. S., & Beishuizen, M. (2000). Mental computation and conceptual understanding. Learning and Instruction, 10(3), 221-247.

Burns, M. (2004). 10 big math ideas. Instructor, 113(7), 16-19.

Cooper, T. J., Heirdsfield, A. M., & Irons, C. J. (1996). Children’s mental strategies for addition and subtraction word problem. In J. Mulligan & M. Mitchelmore (Eds.), Children’s number learning (pp. 147-162). Adelaide, AU: Australian Association of Mathematics Teachers.

Department for Education and Employment. (1998). The implementation of the national numeracy strategy: The final report of the numeracy task force. London, UK: Author.

Heirdsfield, A. M. (2004, November-December). Enhancing mental computation teaching and learning in year 3. Proceedings Australian Association for Research in Education, Melbourne. Retrieved from http://eprints.qut.edu.au/archive/00002804/

Heirdsfield, A. M., & Cooper, T. J. (2004a). Inaccurate mental addition and subtraction: Causes and compensation. Focus on Learning Problems in Mathematics, 26(3), 43-65.

Heirdsfield, A. M., & Cooper, T. J. (2004b). Factors affecting the process of proficient mental addition and subtraction: Case studies of flexible and inflexible computers. Journal of

(29)

Mathematical Behavior, 23(4), 443-463.

Heirdsfield, A. M., & Lamb, J. (2006). Teacher actions: Enhancing the learning of mental computation in year 2. In J. Novotna, H. Moraova, M. Kratka, & N. Stehlikova (Eds.), Proceedings of PME 30 16-21 July mathematics in the centre (Vol. 3; pp. 281-288). Prague, Czech Republic: Faculty of Education, Charles University.

Maclellan, E. (2001). Mental calculation: Its place in the development of numeracy. Westminster Studies in Education, 24(2), 145-154.

Mardjetko, E., & Macpherson, J. (2007). Is your classroom mental? Australian Primary Mathematics Classroom, 12(2), 4-9.

Murphy, C. (2004). How do children come to use a taught mental calculation strategy? Educational Studies in Mathematics, 56(1), 3-18.

National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). The principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

Queensland Studies Authority. (2003). Mathematics years 1 to 10 syllabus. Pre-publication version. Retrieved from http://www.qsa.qld.edu.au/yrs1_10/kla/mathematics/files/draft.pdf

Reys, B. J., Reys, R. E., & Hope, J. A. (1993). Mental computations: A snapshot of 2nd, 5th, and 7th grade student performance. School Science and Mathematics, 93(6), 306-315.

Reys, R. E., Reys, B. J., Nohda, N., & Emori, H. (1995). Mental computation performance and strategy use of Japanese students in grades 2, 4, 6 and 8. Journal for Research in Mathematics Education, 26(4), 304-326.

Reys, R. E., & Yang, D.-C. (1998). Relationship between computational performance and number sense among sixth- and eighth-grade students in Taiwan. Journal for Research in Mathematics Education, 29(2), 225-237.

Thompson, I. (1999). Mental calculation strategies for addition and subtraction: Part 1. Mathematics in School, 28(5), 2-4.

Varol, F., & Farran, D. (2007). Elementary school students’ mental computation proficiencies. Early Childhood Education Journal, 35(1), 89-94.

Vygotsky, L. S. (1978). Mind and society: The development of higher psychological processes. Cambridge, MA: Harvard University Press.

(30)

Journal of Research in Education Sciences 2012, 57(2), 125-154

Mental Computation Activity Implementation

into First-Grade Mathematics Classes

Der-Ching Yang

Cyong-Slan Huang

Graduate Institute of Mathematics and Science Education,

National Chiayi University Graduate Institute of Mathematics and Science Education, National Chiayi University

Abstract

This study employs a qualitative approach to investigate the effect of mental computation activities integrated into first-grade mathematics classes. The mental computation activities, including 2-digit addition and subtraction problems, were used in an experimental group comprising 21 students. The control group comprised 16 students who were following textbook activities, including 2-digit addition and subtraction problems. The teaching intervention lasted for 12 periods for both groups. The results show that students in the experimental group experienced improved performance for mental computation than students in the control group following intervention. Additionally, data indicate that students in the experimental group can develop and use multiple mental strategies, such as separation, aggregation, and holistic strategies following intervention. Conversely, students in the control group preferred using counting and pictorial strategies, as well as images of written computation. Fewer mental strategies were used in the control group. During the instruction of mental computation, students’ problem-solving ability in the mid- and low-level can be improved by high-level students’ explanations. The teaching, learning, and curriculum design of mental computation, as well as directions for future studies, are discussed.

Keywords: mental computation, addition and subtraction problems, first-grade