全国百强名校2020届高三下学期3月考数学（文）答案解析

(1)

2020 年 3 月高三考试

数学（文）卷

第Ⅰ卷（选择题，共

60 分）

一、选择题：本题共

12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求

.

1.已知集合

A  {x | x

2

_

_{x  6  0}}

_，

_{B  (2, 2)}

_，则

C

A

B 

A.

(3,  2)

B.

(3,  2]

C.

(2, 3)

D.

[2,3)

【答案】_B 【详解】因为

A 



x|x

2



x  6  0









3,2



，所以

C

_A

B 



3, 2



，选B. 2.复数

z

(

a

2 )( 1 ) (

i

a R

)

i



 





为纯虚数，则a＝（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】C 【详解】复数z



a

2 i



1 i



a

2 

a

2 

i



 

  





a﹣2+（a+2）i（a∈R）为纯虚数， 则_a﹣_{2＝0，a+2≠0．} ∴_{a＝2 故选 C．} 3.已知命题 p ：角



的终边在直线

y



3 x

上，命题

q

：





3 k



k Z











，那么 p 是

q

的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】_C 【详解】角



的终边在直线

y



3 x

上

2 



3 k



k





 





Z

或

2

3 k







 

 



2 1







3 k



k







Z





3 k



k





 





Z

，故 p 是

q

的充分必要条件，故选：_C. 4.若

a



1,0

  

c b

1

，则下列不等式不正确的是（）

(2)

C.



c b a





c

 



c b a



b D.



a c a





c





a c a





b 【答案】D 【详解】因为

a



1,0

  

c b

1

，所以

a c

 

0

，考查指数函数

y a a



x

(



1)

，所以

a

c



a

b





a c a





c





a c a





b，所以D 不正确. 5.已知两个非零向量

_a



，

_b



满足

2 a b

 

 

 

4,5

，

a





2 b



 



3,5



，则

a b

 

_

的值为（） A. 1 B. －1 C. 0 D. －2 【答案】_B 【详解】因为

1 [2(2

) (

2 )]

1 [2(4,5) ( 3,5)]

1 [(8,10) ( 3,5)]

1 (5,15) (1,3)

5

5 a





a b



  



a



b





 



 



，所以

b





(2

a b







) 2



a





(4,5) (2,6) (2, 1)







，所以

a b



 



(1,3) (2, 1) 1 2 3 1



     

. 故选：_B 6.已知数列

 

a

_n 是首项为

a 

₁

2

，公比

q =

2

的等比数列，且

b

_n



a a

_n



_n_₁.若数列

 

b

_n 的前

n

项和为

S

_n，则

S 

_n （） A.

3 2 3

_{ }

n _B.

_{3 2}

_

n1

_

₃

_C.

_{3 2}

_

n _D.

_{3 2}

_

n1

_

₆

【答案】D 【详解】由题设条件知

a 

_n

2

n，于是

b

_n



2 2

n



n1，即

b  

_n

3 2

n， ∴

S

_n

       

3 2 3 2

2

3 2

n

 

3 2

n1



6

故选：

D

_. 7.已知

a

，

b R



，不等式组

1

1 a

b

  



  



表示的平面区域为

M

，不等式组

2

2 a

b

a

b







   



表示的平面区域为

N

. 在平面区域

M

内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区域

N

的概率是（） A.

7

8

B.

6

7

C.

8

9

D.

4

5

【答案】A

(3)

【详解】如图所示，不等式组

1

1 a

b

  



  



表示的平面区域

M

为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线

a



2 b

 

2

分别交直线

a  

1

与

b

轴于点

1,

1

2 E 

_





_





，

F

 

0,1

. 所以

1

2 BE 

，

BF 

1

. 所以

1 1 1

1

2 2 2

4

BEF

S





BE BF



   

，易得



DHG

≌



BEF

，因此

1

4

DHG BEF

S





S





，故阴影部分的面积

S S



ABCD



2 S

BEF



2 2

2

  

_{4 2}

1 7

，于是豆子始终滚不出平面区域

N

的概率为

_{ }

2

7 7 1 7

2

2 2 4 8

ABCD

S

P A

S



  

. 故选：A 8.如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形, 则该几何体体积为（）

(4)

A.

6 20



B.

9 16



C.

9 18



D.

6

20

3 



【答案】C 【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为

_{3 2}

，高为_{3，而球体的半径为 3，} 所以该组合体的体积为： 3

1 4

₃

1 ₃

1 _{3 2 3 2 9 18}

2 3

3

2 V V



半球体



V

三棱锥

 



    



 



. 故选：_C 9.已知

f x

 

是定义在_{R 上的奇函数，当}

x 

0

时，

f x  

 

2 1

x ，若

f



6 

a

2





f a

 



，则实数

a

的取值范围是（） A.



 

, 2

 



3,





B.





3,2



C.





2,3



D.



 

, 3

 

U

2,





【答案】_C 【详解】

f x

 

是奇函数，当

x 

0

时，

f x  

 

2 1

x 设

x 

0

则

 

x

0

，

f

 

 

x

2

x



1

，故

 

1

2

x

f x

f

 

x



 

_





_





即

 

2 1,

0

1

1 ,

0

2

x x

x

f x

x









   

_

_

  

_{ }



，函数

f x

 

的图像如图所示：

(5)

结合图像可知

f x

 

是

R

上的增函数由

f



6 

a

2





f a

 



，得

6 a



2

 

a

解得

  

2 a

3

，故选：

C

. 10.已知双曲线

C

1： 2 2 2

_{1 4 2}

1 x

y

m





m



，当双曲线

C

1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线

C

2：





2

₂

₀

y



px p



的焦点、若

A

、_{B 是抛物线}

C

₂上两点，

AF



BF



8

，则

AB

中点的横坐标为（） A.

3

2

B. 2 C.

5

2

D. 3 【答案】_B 【详解】由题意可得

4 2



m



0

，即有

m 

2

，由

c

2



m

2

  

1 4 2

m





m



1 

2



4

，可得当

m 

1

时，焦距2c 取得最小值， 所以双曲线的方程为 2 2

1

2

2 x

_

y

_

_，于是

C

₁右焦点为

 

2,0

，即抛物线

C

₂的焦点为

 

2,0

，所以

2

2 p 

，

p 

4

，则抛物线

C

2：

y

2



8 x

，准线方程

x  

2

，设

A x y



₁

,

₁



，

B x y



₂

,

₂



， ∴

|

AF

| |



BF x

|

  

₁

2 x

₂

 

2 8

，解得

x x

₁



₂



4

， ∴线段

AB

的中点横坐标为2. 故选：B 11.已知



ABC

的三个内角

A

，_{B ，}

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，

3 B





，_{b  ，且}₆

_{a c}

_{ }

_{6 2}

，则锐角

A

的大小为（） A.

2

5 

B.

2

7 

C.

5

12 

D. ₁₂ 【答案】D 【解析】【详解】由正弦定理得

6 sin

sin

3 a

c

A

C





sin

_sin

2

3 a c

a c

A

C

_A



_A







_



_











，

(6)

则

4 3 sin

sin

2

3 a c

 



_

A





_





A



_



_









3

1 4 3 sin

cos

sin

2

2 A

A







_



_





3

3 4 3

sin

cos

2 A







_



_





3

1

12 sin

cos

12sin

2 A

A

6 





_

_



_



_



_



_









，又∵

_{a c}

_{ }

_{6 2}

，∴

12sin

6 2

6 A





_



_









，即

2 sin

6

2 A





_



_









，于是

6 4

A

 

 

或

3

4 

（舍），故

12 A





. 故选：D 12.已知函数

 

1

2

ln



1 

2 f x

 

x a x a





x

（其中_{a  ），则函数}1

f x

 

零点的个数为（）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【详解】

f x

 

x

a

1 

x

1 

x a



x





      

（其中

x 

0

）. 故

0  

x

1

或

x a



时

f x



 



0

，

1 x a

 

时

f x



 



0

，即

f x

 

在

 

0,1

和



a 

,



单调递减，在

 

1,a

单调递增. 由于

 

1

2 f

 

a

，而a  ，所以1

f

 

1 0



，又

f a



2 

2 

 

a

ln 2



a



2 



0

，所以函数

f x

 

有唯一零点故选：_{B .}

第Ⅱ卷（非选择题，共

90 分）

二、填空题：本题共

4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13.设函数

 





cos

ax

f x

x a R

x







，若

f



2019





2

，则

f 



2019





_{______.} 【答案】

_

₂

【详解】因为函数

 





cos

ax

f x

x a R

x







的定义域是



x x R

|



且

,

2 x







k k Z



_{ }





，是关于坐标原点对称的，当

a 

0

时，

f x

 

 

x

是奇函数；当

a 

0

时，

f

 

  

x

f x

 

，故

f x

 

是奇函数；

(7)

综上，对任意

a R



，都有

f x

 

是奇函数_.所以

f





2019



 

f



2019



 

2

_.

故答案为：

_

₂

14.

9

₂

1

₂

sin





cos



的最小值为______.

【答案】16

【详解】∵

sin

2





cos

2





1

，∴

9

₂

1

₂



sin

2

cos

2



9

₂

1

₂

sin



cos



sin



cos













_



_





2 2 2 2

sin

9cos

10 10 6 16

cos

sin







 

，当且仅当

sin

2

3

4 



，

cos

2

1

4 



时“=”成立，故

9

₂

1

₂

sin





cos



的最小值为16. 故答案为：16 15.已知四面体

M DEF



中，

3 DEF







，

DF 

2 3

，

ME DE



，

ME EF



，

ME 

4

，则该四面体的外接球的体积为_{______.} 【答案】

64 2

3 

【解析】【详解】∵

ME DE



，

ME EF



，∴

ME 

平面

DEF

，将四面体

M DEF



补成以



DEF

为底面

ME

为侧棱的直三棱柱，该三棱柱的外接球就是四面体

M DEF



的外接球，由题知，球心到平面

DEF

的距离为2，

DEF



外接圆的半径为

2 3

₂

2sin

₂

3

2 BC

r

BAC







， ∴该三棱锥外接球的半径

_{R }

_{2 2}

2

_

2

_

_{2 2}

_， ∴该球的外接球的体积为

4

 

2 2

3

64 2

3

3 



 



. 故答案为：

64 2

3 

(8)

16.在



ABC

中，内角

A

，_{B ，}

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

_.



ABC

的面积

1 

2 2



4 S



a



c

，若

2

sin

B



2 sin sin

A

C

，则角_{B 的值为______.}

【答案】

5

12 

【详解】因为

1 sin

2 S



ac

B

，又

1 

2 2



4 S



a



c

，所以

1 

2 2



1 sin

4 a



c



2 ac

B

所以

a

2



c

2



2 sin

ac

B

，由余弦定理得

a

2



c

2



b

2



2 cos

ac

B

所以

2 sin

ac

B b



2



2 cos

ac

B

由

sin

2

B

_

2 sin sin

A

C

结合正弦定理，得

b

2

_

2 ac

所以

_{2 sin}

_ac

_B

_

₂

_ac

_

_{2 cos}

_ac

_B

，即

2 sin



B



cos

B





1

，所以

sin

1

4

2 B





_



_









，因为

B





0,





，所以得

4 6

B

 

 

，或

5

4

6 B

 



（舍去），所以

5

12 B



 

. 故答案为：

5

12 

三、解答题：本题共

6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知

 

a

n 为等比数列，且各项均为正值，

a 

2

₁₆

1

，

a a

4 6



16 a a

3 9. （_{1）求数列}

 

a

_n 的通项公式；（2）若

b

_n



log

₄

a

_n，数列 1

1

n n

b b















的前

n

项和为Tn，求Tn. 【详解】（1）设数列

 

a

_n 的公比为

q

.由

a a

_{4 6}



16 a a

_{3 9}得

a

₅2



16 a

₆2，所以 2

1

16 q 

由条件可知

q 

0

，故

1

4 q 

，由 ₂

1

16 a 

，得 ₁ 1 4 a  . 故数列

 

a

_n 的通项公式为

1

4

n n

a 

；（2）

log

₄

log

₄

1

4

n n n

b



a



 

n

. 故





1

n n

b b



n n







_



_



_



_

(9)

1 2 2 3 1

1

n n n

T

b b







  

₁

1 1 1

1

2 2 3

n n

1 



 











_

_



_{ }





_

  

_



_

_





 











1 n

n





. 所以数列 1

1

b n

b b















的前

n

项和 n

1 n

T

n





. 18.某气象站统计了 4 月份甲、乙两地的天气温度（单位



C

），统计数据的茎叶图如图所示，（1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性；（2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之和大于或等于

20 C



，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”，求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率. 【详解】（_{1）根据题意可知：}

1 7 8 10 12 13 10





5 x 

甲

 





，





1 9 8 10 11 12 10

5 x 

乙

 



，而 2

1 7 10



 

2

8 10

 

2

10 10

 

2

12 10

 

2

13 10



2

5.2

5 s

甲



_





 













_





，



 

2

 

2

 

2

 

2



2 2

1 8 10

_{9 10}

_{10 10}

_{11 10}

_{12 10}

₂

5 s

乙



_





 













_





， ∵

x

甲

_

x

乙，

s

甲2



s

乙2 ， ∴甲、乙两地的整体气温水平相当，乙地的气温水平更稳定一些. （2）气象主管部门要从甲、乙两地连续 10 天中各随机抽取一天的天气温度，设随机抽取的甲、乙两地天气温度分别为

x

，

y

，则所有

 

x y

,

为：

 

7,8

，

 

7,9

，



7,10



，



7,11



，



7,12



，

 

8,8

，

 

8,9

，



8,10



，



8,11



，



8,12



，



10,8



，



10,9



，



10,10



，



10,11



，



10,12



，



12,8



，



12,9



，



12,10



，



12,11



，



12,12



，



13,8



，



13,9



，



13,10



，



13,11



，



13,12



，共计25 个，而

x y

 

20

的基本事件有



8,12



，



10,10



，



10,11



，



10,12



，



12,8



，



12,9



，



12,10



，



12,11



，



12,12



，



13,8



，



13,9



，



13,10



，



13,11



，



13,12



，共计14 个，

(10)

故满足

x y



20

的基本事件共有_{14（个），} 于是“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率

14

25

19.在四棱锥

S EFGH



中，

EF EH



，EH FG∥ ，

EH



2 FG



2 EF



4

，

_{SH SE}

_

2 2

，平面

SEH 

平面

EFGH

，

M

，

N

分别为

SF

，

GH

的中点_. （1）求证：

MN

∥

平面

SEH

；（2）求

E

到平面

SGH

的距离. 【详解】（1）取

EF

的中点为P ，连接

MP

，

NP

， ∵

M

，

N

分别为

SF

，

GH

的中点，∵

MP SE

，

PN EH

，

∵

MP 

平面

SEH

，

NP 

平面

SEH

，

SE 

平面

SEH

，

EH 

平面

SEH

，

∴

MP∥

平面

SEH

，

PN

平面

SEH

，

∵

MP 

平面

MPN

，

PN 

平面

MPN

，

MP NP P





，

∴平面

MPN

平面

SEH

，∴

MN

∥

平面

SEH

（2）取

EH

的中点为

O

，连接

SO

，

OG

，∵

_{SH SE}

_

_{2 2}

，∴

SO EH



，SO  ，2 ∵平面

SEH 

平面

EFGH

，平面

SEH 

平面

EFGH EH



，∴SO  平面

EFGH

， ∵EH FG∥ ，

EH



2 FG

，∴

EO FG

，∴平行四边形

EFGO

，∴

OG EF

， ∵

EF EH



，

EF 

2

，∴

OG EH



，

OG 

2

，

(11)

在

Rt GOS



中，

_GS

_

_OS

2

_

_OG

2

_

_{2 2}

2

_

2

_

_{2 2}

_， ∴



GHS

为边长为

2 2

的正三角形，∴

3 2 2 2 3

 

2

4

SGH

S









，设

E

到平面

SGH

的距离为

d

， ∵

1 1

4 2 2

1 3 2

    

3 S

GEH



OS



V

S EGH



V

E SGH



1 ₃

S

SGH

  

d

₃

1 2 3



d

，解得

4 3

3 d 

，∴

E

到平面

SGH

的距离为

4 3

3

20.已知椭圆

C

：





2 2 2 2

1

0 x

y

_{a b}

a



b



 

的离心率

3

2 e 

，且圆

x

2



y

2



2

过椭圆

C

的上，下顶点. （1）求椭圆

C

的方程. （2）若直线

l

的斜率为

1

2

，且直线

l

交椭圆

C

于P 、

Q

两点，点P 关于点的对称点为

E

，点

A 



2,1



是椭圆

C

上一点，判断直线

AE

与

AQ

的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理. 【详解】（_{1）因为圆}

x

2



y

2



2

过椭圆

C

的上，下顶点，所以

_{b }

₂

，又离心率

3

2 e 

，所以

2 3

3 a



c

，于是有 2 2 2

2 2 3

3 b

a

c

a

b c

 



 













，解得

_{a }

2 2

，

_{b }

2

.所以椭圆

C

的方程为 2 2

1

8

2 x

_

y

_

_；（2）由于直线

l

的斜率为

1

2

，可设直线

l

的方程为

1

2 y



x t



，代入椭圆

C

：x24y28，可得

x

2

_

2 tx

_

2 t

2

_{ }

4 0

_. 由于直线

l

交椭圆

C

于_{P 、}

Q

两点，所以

 

4 t

2



4 2



t

2



4 



0

，整理解得

  

2 t

2

设点

P x y



₁

,

₁



、

Q x y



₂

,

₂



，由于点_{P 与点}

E

关于原点的对称，故点

E x y



 

₁

,

₁



，于是有

x x

₁



₂

 

2 t

，

x x

_{1 2}



2 t

2



4

.

(12)

若直线

AE

与

AQ

的斜率分别为

k

_AE，

k

_AQ，由于点

A 



2,1



，则 2 1 2 1

1

2

AE AQ

y

k

x



 







 





 











1 2 2 1 2 1

2

1

2

1

2

2 x y

x

y

x



  









，又∵ ₁

1

₁

2 y



x t



， ₂

1

₂

2 y



x t



. 于是有



2 

x y

₁



₂

  

1  

2 x

₂



y

₁



1 



2 

y

₂



y

₁

 



x y

_{1 2}



x y

_{2 1}



  

x x

₁ ₂

4 



2 1 1 2 1 2 1 2

4 x x

x x tx tx

x x



 



  





1 2 1 2

4 x x t x x









_{ }



₂

_t

2

_{  }

₄



_t

 

₂

_t

_{ }

_{4 0}

，故直线

AE

与

AQ

的斜率之和为_0，即

k

_AE



k

_AQ



0

_. 21.已知函数

f x

 



ln

x x



. （1）求函数

f x

 

在点



1, 1

f

 



处的切线方程；（_{2）若函数}

 

1

2

2 h x





f x



x

只有一个极值点，求实数



的取值范围；（3）若函数

 

1

2

2 h x





f x



x

（其中





4

）有两个极值点，分别为

x

₁，

x

₂，且

   

1 2 1 2

h x

k

x x







在区间



0,







上恒成立，证明：不等式

k 

ln 4 3



成立. 【详解】（_1）因为

f x

 



ln

x x



，所以

f x

 

1 1

x



 

，令

x 

1

，得

f 

 

1 0



，而

f

 

1 ln1 1



  

1

，函数

f x

 

在点



1, 1f

 



处的切线方程为

y  

1

. （2）函数

 



ln



1

2

ln

1

2

2 h x





x x





x





x





x



x

，其的定义域为



0,







，

 

x

2

x

h x

x











，因为

h x

 

只有一个极值点，故

h x



 



0

在



0,







上只有一个根x₀，即

x

2





x

 



0

在



0,







上只有一个根x₀，则 2

₄

₀

0 



 











，解得 ，0 又当

x





0,

x

₁



时，

h x



 



0

；当

x





x

₁

,





时，

h x



 



0

， ∴x₀是

h x

 

在



0,







上的唯一一个极值点，此时0

(13)

（_{3）由（2）可知}

x x

₁



₂





，

x x

_{1 2}





，而

   

₁ ₂

ln

₁ ₁

1

₁2

ln

₂ ₂

1

₂2

2

2 h x



h x





x





x



x





x





x



x









2 1 2 1 2

1

1 2 1 2

ln

2 x x x x

x x





 





ln

1

2 











_

 

_





于是

   

1 2 1 2

ln

1

2 h x

h x

x x







 



，令

y

ln

2

1 





 

，则

1 1

2 y



  

∵





4

，∴

y 

0

，∴

ln

1

2 y





 



在



4, 上单调递减，



∴

y 

ln 4 3



，∴

k 

ln 4 3



成立.

请考生在

22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一