圓內接奇數邊多邊形正弦定律的推廣(上)

圓內接奇數邊多邊形正弦定律的推廣(上)

李輝 j賓

嘉義縣私立同濟高級中學 ~ ~~ 宣、削昌 本文是作者在中研院數學所發行的數學傳播季刊 148 期 2013 年 12 月期刊中，所發 表的圓內接奇數邊多邊形正弦定律的推廣、補充及完整證明;主因是許多讀者來信，表 明作者只有在該文中證明圓內接五邊形的正弦定律，其餘則以節略方式帶過，最後將歸 納出的結果一筆敘述出來。讀者希望看到推廣的正弦定律的完整證明 i 因此，作者重新 整理文稿，將其一般化的推理驗證過程，在本篇正文中詳實呈現出來。 篇正文中所有方程式的敘述都以位階較高的符號意象表達其一般式，建議一般讀 者需要先閱讀上述數學傳播季刊 148 期的文稿，再與本篇內容真體相互對照比較後始能 體驗明確清晰導證過程。 三角形的正弦定理是三角函數、幾何學及測量學領域中必備的基本數學知識。此定 理成立的主要原因之一是任意一個三角型必內接於一圓。根據此特徵來探討圓內接多邊 形是否也具有相同類似的正弦關條式?經分析研究後，發現所有圓內接奇數邊多邊形的 幾何結構都具有這種完美、對稱且令人欣賞、讚譽有加、極具簡明比例型態的正弦公式 1 研究內容是將凸多邊形的內角分配成偶數標內角集合及奇數標內角集合兩部份， 再以設定一個角度修正參數做為媒介來聯繫這兩集合，據此推證出平面凸多邊形的正 弦、餘弦公式。更有甚之，進而發現圍內接奇數邊多邊形的完美比例型正弦公式!全篇 內文中詳盡之觀察對照、歸納研析及推理演繹的探索脈絡，在以下正文的敘述中將完整 的呈現出來，請仔細參閱作者精心鑽研，思路明晰的論述過程!

貳、本文

一、平面凸多邊形的向量性質

任給一個平面凸 n 邊形，其各頂點依序為 Ap Az， 冉，...

...,

An小A，，-p

A"

A

_n-

₂' 並令一 邊 A，Az 的向量為門 ，

Az

A

_J= 凡 ， ~A4 = 門，

... ... ,

Am

A",

+1 = 凡，

... ... , A,,

-J

A"

-九 I '

AnAl

= 丸，

則此平面凸 n 邊形即為門，吭，門，

... ,

V 等 n 個向量按序箭頭接箭尾相加而成的封

閉凸 n 邊形。依向量加法性質知;

ZZ=0= 之(几 cos 成恥之(九 sin 月')J

31

-θ117 為凡在直角座標平面上的方位角。 t 為正 X 軸方向的單位向量 I j 為正 Y 軸方向

的單位向量。

再由平面正交座標系性質知;三(九 cos 丸)= 0 且主(九月In丸，) =0

引理1. 任給一個平面凸 n 邊形 A， A

₂

A)

···A

Il • 令 A， A

2

= 們 •

A

2

A)

= 門 .

A)A

4 = 門\.

Ail_IAn

= 几，

.

AliA

,

= 凡。將頂點 Al 置於直角座標平面上的原點 o· 使 A

j

A

2

邊完

全重疊並貼置於_X軸，以便此 n 邊形完全落在第 l

_及第

2象限區域內(含 X軸 )， 如下圖 (I) ，則 Y A X 圖 (I) 凸 n 邊形 司L AU \Ill--II/ A 月

m寸

[]J

戶

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,

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且

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m寸

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叫

一一 V 川 證明:由圖 (I) 知凸 n 邊形的內角依次為爪，宅，冉"..

...,

An

' 故們的方位角 θl 為零，同的 方位角 θz 為 π -A

₂

' 門的方位角())為 π -A

₂

+ π -A) I 凡的方位角也為 π -A

₂

+

π -A) + π -A

₄

I • • • • • •

'凡的方位角成為(n 一 I)π 一 (A

2

+

A)

+

A

₄

+. ..+

All) 。

將這 n{固方位角全部代人以下方程式中:之 (v，，，

co

玄川J州)抖川=卅鬥恥叭叫+叫巾仇叫門吵加叭

c∞ω

叫

Oω叫s叫(川叫仇

c∞削Oω仙

s

將上列等式逐項展開、化簡後再縮減改寫成下式;

得叫=安1)117

.

V， 咕AJ)...(IJ

另名川丸)=几 sin(叫2川叫2 卅叫十

圍內接奇數邊多士是形正弦定律的推廣(上) 勻，­ nu 、、 Illi---1 ，/ AA

m寸

J]J

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n寸

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式

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將

再

引理 2. 平面凸 n 邊形 A

_I

A

₂

A

₃

···

An

' 其所有內角的總和恰為 (n-2) π; 證明(略)。

引理 3 圓內接偶數邊 (2n

+

2 邊)多邊形，其 2n

+

2 個內角中 L

A

2k = 三心一I

=n:Jr 證明:由圖 (2) 、 (3) 知 AI =θ'2+03+...+θ'2n+1 = π 一吭一 θ2n+2

A

₂= θ3+θ4 +...+鈍11+2 =π -°2 一副

A

_{3 = 吭+冉+...+問 =π 一 θj}

-0

₂

A

4= θ's +θ'6 +...+θ2 =π 一吭一 θ3'"

.

A

2n +1= θ'211+2 +叭 +...+θ'211-1 =π 一 θ'2n+1-0211

A

211+2= 的 +θ2 +...+θ'2n = π 一 θ2n+2 一 θ211+1 則很容易得證出

L

A

2k =

L

A

2k一l=n:Jr

A,....

..4,....

A,

..4,

.+2

..4,

.+2 圖 (2) 圖 (3) 現在要利用這三個引理來推導圍內接奇數邊多邊形的正弦公式。

二、平面凸 n 邊形的正弦公式及餘弦公式

四邊形以上的平面凸多邊形恰可分成四種類型;即n= 的 ，

n=

4k刊 ，

11=

4k+2

,

n=

4k+3

,

k 為自然數。以下敘述內容是欲將此四種類型的正弦、餘弦關你式尋找出來: (一)第一類型 ，

n=

4k

請參閱圖(4) (B-l-s-l).由引理 1 的方程式(2) ，寫成下式; 、， J 勻， ι '，.、 nu

--\lIll--/ ., J AA

m寸缸片

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人

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圖 (4) 圖 (5)

Key

idea: 將上式(2)拆成四部份，並他簡使任一項的內角數目少於0/2個，如下; \lll--fi/ EJ AA

m寸

-M

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J]

叫

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+

觀察 (2-1b)式中的第三項、第四項內的內角，發現每一 SIO 項中內角的數目皆超過 0/2 個，因此將其作一個轉換，轉換成內角數目少於 0/2 個，運算過程如下; 由 n 邊形的內角總和為 (0- 2)π=

(4k-

2 沛，故 sio(n

-

2)π=

0

,

cos(o -

2)π-

1

，則第 三項的

Sl悟+，in[(n-2)π卅一對]~- 'i++ 剖

且

咕A

_j

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,

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2)π -A

I

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圍內接奇數邊多邊形正弦定律的推廣(上) 將 n 邊形的所有內角分配成偶數標內角及奇數標內角兩部份，而 n 邊形的所有內角 總和為 (0- 2)π ，此偶數標內角總和及奇數標內角總和約略各視為接近 (0- 2)π 的一 半;現在，令，為角度的修正參數，

~[2n-I+(-州，、

~ rn I

並取 A2+4+

+Ajlbl+(-1)"l=

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)

n rhkt l-2 A

+

+

句3 A

+

A 將 (3-a) 式及 (3-b)式代人 (3)式中，經他簡、整理時，發現有下列兩種情形;

(i).

當 m 是偶數， (3)式中第二項內的 sin 項內的角度和轉換為下式

去J=(?l)JELlJ手 +2

而同樣在第三項內的 SIO 項內的角度和則轉換為下式 、

..

J + 、川 ydn

lh

寸

L]M

+ 八 Jydn

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AMY

+

π 、、 Ill-JJ

n-2

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n寸何如

+

4 月

(i

i). 當 m 是奇數， (3)式中第二項內的 S In項內的角度和轉換為下式

ZAJ=(1一l)JELl-4一字m+2i-1

而同樣在第三項內的 S In項內的角度和則轉換為下式 +

八叮

Am

…

ZM

+ ), A

urZM

AMY

+

π \1l1i/

n-2

ftIll--\

Al

n寸臼叫

+

A 觀察比對上述 (i) ，

(i

i) 兩情況，無論 m 是偶數或奇數，皆可組合成統一的表示式如 下;即 (3) 式中第二項內的 S In項內的角度和轉換為下列統一的表示式

ι'

、

~[2m-3-(- ，r]

~[2(…抖(-叫

于 =l%一 I)什可計划十可 ZAm+2i4

ρ

而 (3) 式中第三項內的 sin 項內的角度和則轉換為下列統一的表示式 35

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現在將(ρ3-a吋)， (ρ3-b吋)， (ρ3-c吋)， (ρ3-d刮)四式一併代人方程式(ο3) 中，即得下式

I

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II

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圍內接奇數邊多邊形正弦定律的推廣(上) 「Ill-Ill-Ill-Id ---llll 」 l

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(B-l-c).key idea

:llt(6)式中有 sin ¢與 cos ¢兩項，要解出此兩者分別與p J， R

_I

關條而

得方程式(9)與 (10) ，需再尋找另一方程式(8) ，過程於下;做效前述(B-l-s-l).的推導 過程，由引理 1 的方程式(1) .將其展開並他簡後，可得下式; 、111ll1ll/

Aj

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卜

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(B-l-d). 求出 n= 4k 多邊形的正弦公式、餘弦公式

(

±[2n-州r

n

(±[2n-l斗Ir ]J

圍內接奇主主邊多邊形正弦定律的推廣(上)

將此兩式代人方程式 (9)與方程式 (IO) ，再移項，整理成正弦公式、餘弦公式，如下，

(

~[2n_I+(_I)n]

I

1

~[2n-I+(-I)"]

1

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L

A

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L

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...(12)

以上所得證之方程式(

II

)為 n= 4k 平面凸多邊形的正弦公式，而另一個方程式(

12)

則為此 n =4k 平面凸多邊形的餘弦公式。 (二)第二類型 n= 的₊₁ 請參閱圖₍₅₎

_,

key

idea: 以下完全仿效第一類型的推演過程， (B-2-s-1). 做效(B-l-s-l). 的作法，由引理1.的方程式(2)，將其寫成下式， 39

-、‘，'， 勻，'缸 ，，.‘、 nu

--、、、巴 BEE--BElla--J ., J AA

m寸缸卅

/!ill-\

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,

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再將上式 (2) 拆成五部份，如下;

~[2"山(-Ir]

(

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n 、、 .. , J '， 1. 、

+

將此(

2-1

c

)式中之第三、四、五項的內角作轉換，再經運算後即得下式呼

i抉h叫+斗(←-Ir叫]

(

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)展開並重新組合各項，提出 sIn "，與 cos"， '整理成下

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) :

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(B-2-c).傲照前述 (B-l-c). 的推導過程，由引理1.的方程式(1) ，將其展開並他簡 後，可得下式;

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接下來，將此方程式 (B-2-7 )展開並重新組合各項，整理成下式(B-2-8)

;

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此處見與馬恰和方程式(

B-2-6

)者完全相同。

(B-2-d).

求出 n= 4k+1多遍形的正弦公式、餘弦公式 聯立解出方程式(

B-2-6

)與方程式(

B-2- 8 )

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與口式剖+++∞一一一推划

用兩片片所叫

利此;上別

再將下以仙