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96 學科能力測驗試題

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Academic year: 2021

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(1)

第一部分:選擇題(佔 55 分)

壹、單選題(佔 25 分)

說明:第 1 至 5 題,每題選出最適當的一個選項,劃記在答案卡之「解答欄」,每題答對得 5分,答錯不倒扣。 1. 設 f(x)=ax6-bx4+3x- 2,其中 a,b 為非零實數,則 f(5)-f(−5)之值為

(A) –30,(B) 0,(C),2 2,(D) 30,(E) 無法確定(與 a,b 有關)

Ans:(D) 【詳解】 f(5)-f(5)=a[56-(5)6)-b[54-(5)4]+3[5-(5)]-( 2- 2)=30。 2. 詴問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A(n,0)與點 B(0,2)的直線亦通過點 P(7,k),其中 k 為某一正整數? (A) 2 個,(B) 4 個,(C) 6 個,(D) 8 個,(E) 無窮多個。 Ans:(B) 【詳解】 AB的斜率= 2 0 =k 2 0 ( n) 7 0      =BP的斜率,  n(k-2)=14,其中 n,k 為正整數,  n=1,k=16;n=2,k=9;n=7,k=4;n=14,k=3,  共 4 組。 3. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f(x)=t2+10t+11,其中 1≦t≦10,則這段時間 內該地區的最大溫差為 (A) 9, (B) 16, (C) 20, (D) 25, (E) 36。 Ans:(D) 【詳解】 f(x)=t2+10t+11=(t-5)2+36, 當 t=5 時,得 f(x)的最大值 f(5)=36 為最高溫, 當 t=10 時,得 f(x)的最小值 f(10)=11 為最低溫, 故最大溫差為 36-11=25。

(2)

4. 坐標平面上方程式 2 2 x y + =1 9 4 的圖形與 2 2 (x+1) y =1 16  9 的圖形共有幾個交點? (A) 1 個,(B) 2 個,(C) 3 個,(D) 4 個,(E) 0 個。 Ans:(A) 【詳解】 2 2 x y + =1 9 4  4x 2+9y2=36…… 2 2 (x+1) y =1 16  9  9(x+1)2-16y2=144……  ×16+ ×9  64x2+81(x+1)2=36×16+144×9 =36(16+36)  145x2+162x+81-36×52=0  判別式△ =(162)2-4×145×(81-36×52)>0  兩圖形有一個交點(3,0)。 5. 關於坐標平面上函數 y=sinx 的圖形和 y= x 10 的圖形之交點個數,下列哪一個選項是正 確的? (A) 交點的個數是無窮多。 (B) 交點的個數是奇數且大於 20。 (C) 交點的個數是奇數且小於 20。 (D) 交點的個數是偶數且大於或等於 20。 (E) 交點的個數是偶數且小於 20。 Ans:(C) 【詳解】 y=sin10=0,y=sin21 2 =1,而 y= 11 10   >1, 在(0,2]中有 1 個交點,(2,10]中每一週期有 2 個交點,而

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(0,0)也是它們的交點,且對 y 軸左右對稱,故共有 19 個交點。 2 1 -1 -4 -2 2 4 6 調整單位長可清楚看出圖形的交點 g x  = x 10 f x  = sin x 

貳、多選題(佔 30 分)

說明:第 6 至 11 題,每題的五個選項各自獨立,其中至少有一個選項是正確的,選出正確 選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣,五個選項全部答對者得 5 分,只錯一個選 項可得 2.5 分,錯兩個或兩個以上選項不給分。 6. Γ ={zz 為複數且z-1=1},則下列哪些點會落在圖形={ww=iz,z Γ }上?

(A) 2i,(B) 2i,(C) 1+i,(D) 1-i,(E) 1+i。

Ans:(A)(C)(E) 【詳解】 在直角座標平面上,Γ 是以(1,0)為圓心,半徑為 1 的圓; 是把Γ 旋轉 90而得,故是以(0,1)為圓心,半徑為 1 的圓。 代數運算驗證: (A) 2i  2i=iz 2-1=1  z=2 Γ 。 (B) 2i2i=iz 2-1≠1  z=2 Γ 。

(C) 1+i 1+i=iz  z=1+i=i 1

i 1 

=1-i

1-i-1=1  1-i Γ 。

(D) 1-i 1-i=iz  z=1 i=i+1

i 1 

 =1-i

1-i-1≠1 1-i Γ 。

(E) 1+i 1+i=iz  z= 1+i= i 1

i 1

  

=1+i

(4)

7. 坐標平面上有相異兩點 P、Q,其中 P 點坐標為(s,t)。已知線段PQ的中垂線 L 的方程 式為 3x-4y=0,詴問下列哪些選項是正確的? (A) 向量PQ與向量(3,4)平行, (B) 線段PQ的長度等於 6s 8t 5  , (C) Q 點坐標為 (t,s), (D) 過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點 (−s,−t), (E) 以 O 點為原點,則向量OP+OQ與向量PQ的內積必為 0。 Ans:(A)(B)(D)(E) 【詳解】 L 的法向量為 v =(3,4)。 (A) PQ⊥L,故向量PQ與向量 v =(3,−4)平行。 (B) P 到直線 L 的距離為 3s 4t 5  , 故線段PQ的長度等於 6s 8t 5  。 (C) L 的斜率不是 1,故 Q 點坐標不為 (t,s)。 (D) 過 Q 點與直線 L 平行之直線與 L 對稱於原點,故 Q 必過點(−s,−t)。

(E) 向量OP+OQ即為 3x-4y=0 的方向向量,故與向量PQ垂直,當然內積必為 0。

8. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1           (A) 1 2 3 7 0 1 1 2 0 2 3 5           ,(B) 1 3 1 0 1 1 1 0 3 1 7 0              ,(C) 1 2 2 5 1 1 1 2 1 1 2 5           (D) 2 1 3 6 1 1 1 0 2 2 2 1           ,(E) 1 3 2 7 0 1 1 2 0 1 0 1           。 2 -2 4x-3y=0 Q: (2.4, 0.1) P: (0.8, 2.2) R Q P

(5)

Ans:(A)(E) 【詳解】 1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1            1 2 3 7 0 1 0 1 0 0 1 1            1 0 3 5 0 1 0 1 0 0 1 1            1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1           , 表 x=2,y=1,z=1 為方程組的唯一解。 9. 坐標空間中,在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切,設其球心分別為 A,B,C。 今將第四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方,且與這三個球都相切,並保持穩定。設 第四個球的球心為 P ,詴問下列哪些選項是正確的? (A) 點 A,B,C 所在的平面和 xy 平面平行, (B) 三角形 ABC 是一個正三角形, (C) 三角形 PAB 有一邊長為 2 (D) 點 P 到直線AB的距離為 3 (E) 點 P 到xy 平面的距離為 1+ 3。 Ans:(A)(B)(D) 【詳解】 (A) 因為三個球均在 xy 平面(z=0)的上方,且球半徑均 為 1, 所以 A,B,C 三點在 z=1 的平面上,平面與 xy 平 面平行,正確。 (B) 因為三個球兩兩外切,所以, 三角形 ABC 為邊長 2 的正三角形,正確。 (C) 三角形 PAB 亦為邊長 2 的正三角形,錯誤。 (D) 如右圖: ∵d(P,AB)=PM = 2 2 2  1 3,正確。

(6)

(E) 1 3 KMCM= 3 3 , d(P,xy 平面)=PK = 2 2 2 3 2 1 2 6 PM MK = ( 3) ( ) = 3 = 3 3 3 。 10. 設 a 為大於 1 的實數,考慮函數 f(x)=ax與 g(x)=logax,詴問下列哪些選項是正確的? (A) 若 f(3)=6,則 g(36)=6, (B) f(238)=f(38) f(219) f(19) (C) g(238)-g(219)=g(38)-g(19), (D) 若 P,Q 為 y=g(x)的圖形上兩相異點, 則直線PQ之斜率必為正數,

(E) 若直線 y=5x 與 y=f(x)的圖形有兩個交點,

則直線 y=1 5x 與 y=g(x)的圖形也有兩個交點。 Ans:(A)(B)(D)(E) 【詳解】 (A) f(3)=a3=6  a6=62=36 g(36)=logaa6=6。 (B) f(238) f(219)= 19 219 a a  238 a ; 38 19 19 f(38) f(19) a a a   ,故f(238)=f(38) f(219) f(19)。 (C) g(238)-g(219)=loga238-loga219= 238 log 219 a , g(38)-g(19)=loga38-loga19= 38 log log 2 19 aa , 故 g(238)-g(219)≠g(38)-g(19)。 (D) 如下左圖。

(E) 直線 y=5x 與 y=1

5x 對稱於 y=x,

(7)

8 6 4 2 5

r x

 

= x

q x

 

=

x

5

h x

 

= 5

x

g x

 

=

log x

 

log a

 

f x

 

= a

x

a = 4.0

A 11. 設 f (x)為一實係數三次多項式且其最高次項係數為 1,已知 f(1)=1,f(2)=2,f(5)=5, 則 f(x)=0 在下列哪些區間必定有實根? (A) (∞,0),(B) (0,1),(C) (1,2),(D) (2,5),(E) (5,∞)。 Ans:(B)(D) 【詳解】 設 f(x)=x3+ax2+bx+c, f(1)=1+a+b+c=1………… f(2)=8+4a+2b+c=2……… f(5)=125+25a+5b+c=5…… 解得 a=8,b=18,c=10,即 f(x)=x3-8x2+18x-10。 f(0)=10,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=1,f(4)=12,f(5)=5, 由堪根定理知 f(x)=0 在區間(0,1),(2,3),(4,5)中有實根。

第二部分: 選填題(佔 45 分)

說明:1.第 A 至 I 題,將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–41)。 2.每題完全答對給 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

(8)

A. 設實數 x 滿足 0<x<1,且 logx4-log2x=1,則 x=__________。 (化成最簡分數) Ans:1 4 【詳解】 logx4-log2x=1  log 4 log 1 log log 2 x x   (logx)2+log2(logx)-2(log2)2=0  (logx-log2)(logx+2log2)=0

 logx=log2 或 logx=2log2

 x=2 或 x=22=1 4 。 B. 在坐標平面上的ΔABC 中,P 為BC邊之中點,Q 在AC邊上且AQ=2QC。已知 PA =(4, 3),PQ=(1,5),則 BC =__________。 Ans:(1,12) 【詳解】 BC =2PC=2(PAAC), AC =3 3( ) 2AQ2 PQPA =3 2 [(1,5)-(4,3)]=( 9 2  ,3), 故BC=2(4,3)+2( 9 2  ,3)=(1,12)。 【備註】座標化:設 P(0,0),則 A(4,3),Q(1,5), 您是否可算得 C(1 2,6),B( 1 2,6),故 BC =(1,12)。 C. 在某項才藝競賽中,為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大,主辦單位規定:先將 15 位評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數,再將與平均數相差超過 15 分的評審 成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績。現在有一位參賽者所獲 15 位評審 的平均成績為 76 分,其中有三位評審給的成績 92、45、55 應剔除,則這個參賽者的比 賽成績為___________分。 Ans:79 6 4 2 -2 -4 -6 5 C: (-0.5, 6.0) B: (0.5, -6.0) 1 2 P: (0.0, 0.0) Q: (1.0, 5.0) A: (4.0, 3.0) B C Q A P

(9)

【詳解】 (76×15-92-45-55)÷12=79。 D. 某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位,此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在正中 間那一排(即第 13 排),發現此排共有 64 個座位,則此球場 E 區共有__________個座位。 Ans:1600 【詳解】 64×25=1600。 E. 設 P,A,B 為座標平面上以原點為圓心的單位圓上三點,其中 P 點坐標為(1,0),A 點 坐標為( 12 13  , 5 13),且∠APB 為直角,則 B 點坐標為_____________。(化成最簡分數) Ans:(12 13, 5 13  ) 【詳解】 作圖如右, AB必為通過圓心 O 的直徑, 故 B(12 13, 5 13  )。 F. 某公司生產多種款式的「阿民」公仔,各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中 球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色,球衣有白、綠、藍三種顏色,而球鞋有黑、白、灰 三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子,而白色的球衣則必須搭配藍色的帽 子,至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下,最多可有_______種不同款 式的「阿民」公仔。 Ans:25 【詳解】 1(白衣)×3×1(藍帽)+2(衣)×4(帽)×3(鞋)-1(紅帽)×1(灰鞋)×2(衣) =3+24-2=25。 鞋: 黑 白 灰 帽: 黑 灰 紅 藍 衣: 白 綠 藍

(10)

G. 摸彩箱裝有若干編號為 1,2,……,10 的彩球,其中各種編號的彩球數目可能不同。今 從中隨機摸取一球,依據所取球的號數給予若干報酬。現有甲、乙兩案:甲案為當摸得 彩球的號數為 k 時,其所獲報酬同為 k;乙案為當摸得彩球的號數為 k 時,其所獲報酬 為 11-k (k=1,2,……,10)。已知依甲案每摸取一球的期望值為67 14,則依乙案每摸 取一球的期望值為______________。(化成最簡分數) Ans:87 14 【詳解】 設取得 k 號球的機率為 Pk,則 P1+P2+……+P10=1。 E(甲)=P1+2P2+3P3+……10P10= 67 14 ………, E(乙)=10P1+9P2+8P3+……P10=x………… + 得 11(P1+P2+P3+……+P10)=x+ 67 14 =11, 故 E(乙)=x=11-67 14 = 87 14。 H. 坐標平面上有一以點 V(0,3)為頂點、F(0,6)為焦點的拋物線。設 P(a,b)為此拋物線上 一點,Q(a,0)為 P 在 x 軸上的投影,滿足∠FPQ=60,則 b=____________。 Ans:12 【詳解】 x 軸為拋物線的準線, 故PQPF,而∠FPQ=60, 故△PQF 為正三角形。 a2+(b-6)2=a2+36=b2 (b-6)2=36  b-6=±6  b=12。

(11)

I. 在△ ABC 中,M 為BC邊之中點,若AB=3,AC=5,且∠BAC=120,則 tan∠BAM =__________。(化成最簡根式) Ans:5 3 【詳解】 由餘弦定理知 BC2=32+52-2‧3‧5‧cos120 =9+25-30‧(1 2 )=49, BC=7。得 7 2 BM  。 由中線定理知 2 2 2 2 2( ) ABACAMBM  9+25=2(AM2+(7 2 ) 2  2 AM =68 49 19 4  4  4 , 在△ABM 中,由餘弦定理知 cos(∠BAM)= 19 49 3 9 1 4 4 2 19 3 19 2 19 2 3 2        tan(∠BAM)=5 3。

(12)

參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式 ax2+bx+c=0 的公式解:x= a ac b b 2 4 2  

2. 平面上兩點 P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離為P P = (x1 2 1x ) +(y2 2 1y )2 2 。

3. 通過(x1,y1)與(x2,y2)的直線斜率為 m= 1 2 2 2 x x y y   4. 等比數列<arn-1 >的前 n 項之和 Snr r a n   1 ) 1 ( ,r≠1。 5. 三角函數的和角公式: sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

tan (A+B)= tanA+tanB 1 tan A tan B 6. △ABC 的正弦及餘弦定理 (1) R C c B b A a 2 sin sin sin    ,R 為外接原半徑 (正弦定理) (2) c2=a2+b2-2abcosC (餘弦定理) 7. 棣美弗定理:

設 z=r‧(cosθ +isinθ ),則 zn=rn‧(cosnθ +isinnθ ),n 為一正整數。

8. 統計公式: 算術平均數 M(=X)= n 1 (x1+x2+……+xn)=

n i i x n 1 1 標準差 S=

   n i i X x n 1 2 ) ( 1 1 = n 2 2 i i=1 1 (( x ) nX ) n 1

9. 參考數值: 2 1.414, 31.732 , 5 2.236, 6 2.449,π ≒3.142

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