探討高級工業職業學校學生於專題製作中使用數學的情形

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛博士楊凱琳博士. 探討高級工業職業學校學生於專題製作中使用數學的情形. 研究生：方雅靜. 中華民國一百零六年六月.

(2) 致謝從師大數學系畢業再回到師大校園已是 12 年後，在職學生的身分雖體會到工作、家庭與課業必須兼顧的辛苦，但也讓生活變得簡單和充實。尤其最後寫論文那段時間，在咖啡店和圖書館的寧靜角落緩慢安靜地讀書寫字，花費許多時間專注做著同一件事，若能有一點點進度心中便覺得開心和滿足。一直深覺完成論文是一件極為困難的事，彷彿沒有止境，沒想到此刻終於能將它完成！將近兩年時間逐步從無到有，遭遇瓶頸、經歷挫折或受到鼓舞，甚至最後趕論文期間，時常在凌晨兩三點夜深人靜的時刻清醒，開著小燈與我的論文寧靜奮鬥著。這都是過程吧！研究生的求學經驗使得人生更加完整與豐富。謝謝我的指導教授，曹博盛博士，老師是我在大學時印象深刻的一位教授，回想當時我在老師的課堂上第一次嘗試試教，望向講台下方時老師的專注聆聽與和藹笑容，總會帶給我很大的安定與鼓勵。著手寫論文那段期間，老師持續從不間斷地給予我論文上的指導，也給予我精神上的鼓勵，勉勵我實現心中想法，專注著同一件事情並小題大作。老師辛苦了，謝謝您這一路的指導！謝謝口試委員楊凱琳教授、李源順教授，在忙碌工作中抽空出席，提供寶貴的意見，使得論文能在教授們的建議之下修改後更加完整。當教授宣告通過口試的那一刻，我的心中雀躍無比，謝謝您們給了我那樣重要時刻，將是我持續努力充實自我的動力。謝謝我的先生，從我進入研究所就讀、每個暑假期間修課、與論文奮鬥的期間，你總是陪著我一起經歷開心與不開心的事，成就與挫折，以及各種喜怒哀樂的情緒。在我喪失信心、想要放棄而哭泣時給我依靠的肩膀，在我需要時間與同學討論功課、專心寫論文時，獨自在家幫忙帶小孩。沒有你，我無法做到！終於畢業了，你和爸媽是我最想要分享這份喜悅的人！謝謝我的家人，尤其是爸爸媽媽，您們是我永遠的後盾，總是給我最大的支持和幫助，而且永遠不求回報，我好愛您們！.

(3) 謝謝在我寫論文的過程中給予我任何幫助的所有人，包括學生、同事、同班同學和好朋友們。其中要特別向大安高工馬雅筠老師致謝，馬老師總是不厭其煩地回答我的各種問題，以及提供專業知識上的協助。當得知通過口試的那一刻，心中滿滿的感謝，謝謝曾給我幫助的你們給予了我那麼重要的時刻！ 106.7.5.

(4) 摘要本研究目的在探討高工學生於專題製作中所使用的數學為何與使用的情形，藉由使學生瞭解數學於專題製作中的實用價值，用以提升數學課程學生之學習動機。本研究問題包含：學生在專題中使用哪些數學？使用數學的目的為何？與如何使用數學？並不同的就讀群別與研究方法，學生專題中使用數學的情形有何差異？本研究以台北市某所高工修習專題製作課程的學生為調查研究之母群體，根據學生專題作品的分析獲得質性資料，以問卷調查的量化結果作為對照與驗證。本研究自行發展編製「學生專題中使用數學的情形調查問卷」作為調查研究之工具，受限於問卷發放時學生專題完成與否以及畢業生取樣之困難，故同時以該校三年級學生與 104 學年度畢業生為取樣對象進行調查，有效問卷共計 220 份。回收問卷以 SPSS 電腦統計軟體進行統計分析，使用描述性統計分析、t 考驗、變異數分析、相關係數、項目分析、信度分析等工具以獲得研究結果。經由項目分析與信度分析，顯示正式問卷中五點量表題項鑑別能力尚佳，整體而言具有相當的同質性，達內部一致性良好之標準。根據本研究結果，學生對於「在專題完成階段，實際使用數學來幫助解決問題」的同意程度為 3.46，達中高程度。實際使用的數學主要依序為「基本四則運算」、「統計」、「三角函數」、「幾何」、「直線方程式」等。實際使用數學的目的，主要依序為「測量、計算」、「使程式得到數據得以正常運作」、「獲得精確完整的尺寸使得工作零件能產生預期的相對運動」、「統計問卷」，以及「增加可信度」等。如何使用數學，主要依序為「這是專業或數學課程中經常處理的問題，可以熟練地就計算出結果或解決問題」、「使用電腦軟體來處理數據、求值或作圖」、「使用這些數學內容的性質(運算規則、公式、圖形…)」、「使用這些數學內容的定義」、「整理與呈現問卷得到的資料」等。關鍵字：專題製作、數學應用、學習動機.

(5) 目錄第壹章緒論------------------------------------------------------------------------------------1 第一節. 研究動機-------------------------------------------------------------------------1. 第二節. 研究目的暨研究問題----------------------------------------------------------7. 第三節. 名詞解釋-------------------------------------------------------------------------8. 第貳章文獻探討----------------------------------------------------------------------------10 第一節. 專題製作課程之相關理論與研究------------------------------------------10. 第二節. 數學與專業科目之關聯------------------------------------------------------19. 第三節. 情境式學習與數學解題之相關研究---------------------------------------33. 第參章研究方法----------------------------------------------------------------------------48 第一節. 研究架構與設計---------------------------------------------------------------48. 第二節. 研究樣本------------------------------------------------------------------------56. 第三節. 研究工具------------------------------------------------------------------------62. 第四節. 研究步驟與流程---------------------------------------------------------------68. 第五節. 研究限制------------------------------------------------------------------------71. 第肆章研究結果之分析與討論------------------------------------------------------------72 第一節. 專題作品分析------------------------------------------------------------------72. 第二節. 問卷調查項目分析、信度分析與樣本分析------------------------------99. 第三節. 學生專題中使用哪些數學之分析----------------------------------------107. 第四節. 學生專題中使用數學的目的之分析-------------------------------------127. 第五節. 學生專題中如何使用數學之分析----------------------------------------143. 第伍章結論與建議------------------------------------------------------------------------168 第一節. 結論----------------------------------------------------------------------------168. 第二節. 建議----------------------------------------------------------------------------173. 參考文獻---------------------------------------------------------------------------------------176.

(6) 中文部分----------------------------------------------------------------------------------176 英文部分----------------------------------------------------------------------------------183 附錄一「專題中使用數學之情形調查問卷」初稿編制-訪談逐字稿--------------188 附錄二「專題製作中使用數學之情形」調查問卷初稿------------------------------197 附錄三「專題製作中使用數學的情形」預試問卷------------------------------------202 附錄四「專題製作中使用數學的情形」正試問卷------------------------------------208 附錄五 ○○高工 105 學年第 1 學期建築科專題製作課程教學計劃--------------212 附錄六 ○○高工 105 學年第 1 學期電子科專題製作課程教學計劃--------------214 附錄七 ○○高工 105 學年第 1 學期製圖科專題製作課程教學計劃--------------215.

(7) 表次圖表編碼說明：各碼依次為章節表（圖）的序號，例如：表 2-3-1 表示第二章第三節的第一個附表。 1. 表 2-2-1 各專業科目使用數學 C 課程分析表---------------------------------------20 2. 表 2-2-2 數學與機械科專業的關聯---------------------------------------------------24 3. 表 2-2-3 數學與建築科專業的關聯---------------------------------------------------25 4. 表 2-2-4 數學與電機電子科專業的關聯---------------------------------------------25 5. 表 2-3-1 增強學生的應用數學意識之範例------------------------------------------41 6. 表 2-3-2 「大學生專題導向學習之學習成果」問卷之變項---------------------43 7. 表 3-2-1 105 學年度台北市某一所高工三年級學生各科人數--------------------56 8. 表 3-2-2 正式問卷施測方式------------------------------------------------------------57 9. 表 3-2-3 正式施測各科有效樣本數---------------------------------------------------57 10. 表 3-2-4 依專題完成進度五點量表題項的敘述統計值---------------------------58 11. 表 3-2-5 專題完成 80%、已完成、完成後一段時間在五點量表題項的平均數差異------------------------------------------------------------------------------------------59 12. 表 3-2-6. 題項 B1、B2、B3、B5、B6 平均值等式穩健檢定-------------------60. 13. 表 3-2-7. 題項 B4 事後多重檢驗------------------------------------------------------60. 14. 表 3-2-8 作品分析各科樣本數---------------------------------------------------------61 15. 表 3-3-1 本研究調查問卷之發展------------------------------------------------------62 16. 表 4-1-1 專題作品分析------------------------------------------------------------------72 17. 表 4-2-1 項目分析與信度檢測---------------------------------------------------------99 18. 表 4-2-2 就讀類科樣本數一覽表-----------------------------------------------------102 19. 表 4-2-3 數學學科成績次數分配表--------------------------------------------------103 20. 表 4-2-4 專題製作課程成績次數分配表--------------------------------------------103 21. 表 4-2-5 小組人數次數分配表--------------------------------------------------------104.

(8) 22. 表 4-2-6 專題完成進度次數分配表--------------------------------------------------104 23. 表 4-2-7 研究方法次數分配表--------------------------------------------------------104 24. 表 4-2-8 呈現作品形式次數分配表--------------------------------------------------105 25. 表 4-2-9 研究樣本基本資料一覽表--------------------------------------------------105 26. 表 4-3-1 學生於題項 A11 之表現----------------------------------------------------107 27. 表 4-3-2. A12「初步規劃階段嘗試使用哪些數學?」項目次數分配表------108. 28. 表 4-3-3 學生於題項 A21 之表現----------------------------------------------------109 29. 表 4-3-4. A22「完成階段實際使用了哪些數學?」項目次數分配表---------109. 30. 表 4-3-5. A31「回顧階段可增加使用哪些數學?」項目次數分配表---------110. 31. 表 4-3-6 不同階段專題中使用哪些數學一覽表-----------------------------------112 32. 表 4-3-7 各就讀類科、群別之有效樣本數-----------------------------------------113 33. 表 4-3-8 就讀群別對「專題中使用數學來幫助解決問題」之差異分析-----114 34. 表 4-3-9 不同就讀群別在題項 A12 各子項目之差異分析----------------------115 35. 表 4-3-10 不同就讀群別在題項 A22 各子項目之差異分析--------------------116 36. 表 4-3-11 不同就讀群別在題項 A31 各子項目之差異分析--------------------116 37. 表 4-3-12 不同就讀群別與「專題中使用哪些數學」之相關性---------------117 38. 表 4-3-13 學生在專題中採用「問卷調查法」與使用哪些數學之相關------118 39. 表 4-3-14 學生在專題中採用「文獻分析法」與使用哪些數學之相關------120 40. 表 4-3-15 學生在專題中採用「訪談法」與使用哪些數學之相關------------121 41. 表 4-3-16 學生在專題中採用「實際製作或實地觀察法」與使用哪些數學之相關-------------------------------------------------------------------------------------------123 42. 表 4-3-17 學生專題中研究方法與「專題中使用哪些數學」之相關性------124 43. 表4-4-1 A13「初步規劃階段嘗試使用這些數學的目的?」項目次數分配表127 44. 表 4-4-2. A23「完成階段實際使用這些數學的目的?」項目次數分配表---128. 45. 表 4-4-3. A32「回顧階段使用這些數學的目的?」項目次數分配表---------128. 46. 表 4-4-4 不同階段專題中使用數學的目的-----------------------------------------129.

(9) 47. 表4-4-5 不同就讀群別在題項A13各子項目之差異分析------------------------130 48. 表4-4-6 不同就讀群別在題項A23各子項目之差異分析------------------------131 49. 表4-4-7 不同就讀群別在題項A32各子項目之差異分析------------------------132 50. 表4-4-8 不同就讀群別與「專題中使用數學的目的」之相關性--------------133 51. 表4-4-9 學生在專題中採用「問卷調查法」與使用數學的目的之相關-----134 52. 表4-4-10 學生在專題中採用「文獻分析法」與使用數學的目的之相關----135 53. 表4-4-11 學生在專題中採用「訪談法」與使用數學的目的之相關----------136 54. 表4-4-12 學生在專題中採用「實際製作或實地觀察法」與使用數學的目的之相關----------------------------------------------------------------------------------------138 55. 表4-4-13 學生專題中研究方法與「使用數學的目的」之相關性-------------139 56. 表 4-5-1 A14「初步規劃階段如何嘗試使用這些數學?」項目次數分配表--143 57. 表 4-5-2 A24「完成階段如何實際使用這些數學?」項目次數分配表--------144 58. 表4-5-3 初步規劃與完成階段「如何使用數學?」之差異與相關性分析----145 59. 表 4-5-4 專題中使用數學的情形一覽表--------------------------------------------146 60. 表 4-5-5. B 部分題項之敘述統計---------------------------------------------------147. 61. 表4-5-6 不同就讀群別在題項A14各子項目之差異分析------------------------150 62. 表4-5-7 不同就讀群別在題項A24各子項目之差異分析------------------------151 63. 表 4-5-8 不同就讀群別在 B 部分評量之差異分析-------------------------------152 64. 表 4-5-9 進行題項 B4、B5 事後多重檢驗-----------------------------------------154 65. 表4-5-10 不同就讀群別與「專題中使用數學的情形」之相關性-------------155 66. 表4-5-11 學生在專題中採用「問卷調查法」與如何使用數學、B部分評量之相關----------------------------------------------------------------------------------------157 67. 表 4-5-12 學生在專題中採用「文獻分析法」與如何使用數學、B 部分評量之相關----------------------------------------------------------------------------------------158 68. 表 4-5-13 學生在專題中採用「訪談法」與如何使用數學、B 部分評量之相關 ----------------------------------------------------------------------------------------------160.

(10) 69. 表4-5-14 學生在專題中採用「實際製作或實地觀察法」與如何使用數學、B 部分評量之相關-------------------------------------------------------------------------162 70. 表 4-5-15 學生專題中研究方法與「專題中使用數學的情形」之相關性---163.

(11) 圖次 1. 圖 1-1-1 ○○高工製圖科專題製作課程教學活動計畫-----------------------------5 2. 圖 2-2-1 應用範例------------------------------------------------------------------------26 3. 圖 2-2-2 應用範例------------------------------------------------------------------------26 4. 圖 2-2-3 應用範例------------------------------------------------------------------------28 5. 圖 2-2-4 應用範例------------------------------------------------------------------------29 6. 圖 3-1-1 研究架構圖---------------------------------------------------------------------49 7. 圖 3-4-1 研究步驟流程------------------------------------------------------------------68.

(12) 第壹章. 緒論. 本研究旨在探討高級工業職業學校學生在專題中使用數學的情形，藉由使學生瞭解數學於真實生活情境的實用價值，用以提升數學課程學生之學習動機。本章內容依序為第一節研究動機、第二節研究目的暨研究問題、第三節名詞解釋等三節，依序說明之。. 第一節一、. 研究動機. 學習動機的重要性. 在八年的教學生涯中，遇到各式各樣背景與程度的學生，同樣的單元、相同的概念在不同的班級中、不同的年度中，需要重複教學好幾遍。每次上完課，學生的反應與學習上的回饋都使我思考如何修正我的教學方法，使得學生更容易理解教學內容。換句話說，期望學生在學習時是有感覺的，學習的過程是有趣的，進而能獲得較佳的學習成果。雖然教師努力提升自我的教學能力，過程中仍不免出現沒有上課意願、學習動機低落的學生。如何使他們產生學習的意願與興趣、願意翻開課本提起筆勤作練習，對教學者而言是一項具有挑戰性的任務與功課。前教育部長林清江在 1998 年發布的《國民教育九年一貫課程規劃專案報告》中指出：課程宗旨為培養學生具備「帶著走的能力，拋掉背不動的書包與學習繁雜的知識教材」（教育部，1998）。課程綱要中指出十大基本能力指標，其中兩項是「生涯規劃與終生學習」與「主動探索與研究」的能力（教育部，2008）。何謂終生學習？聯合國教育科學文化組織（UNESCO，簡稱聯合國教科文組織）於 1996、2003 年先後提出終身學習的五大支柱為：學會求知、學會做事、學會共處、學會自我發展以及學會改變。五大能力涉及不同面向的學習，但都必須建立在個體「學習如何學習」（learning to learn，簡稱學習力）的能力（張郁雯， 2016）。觀察各國先後提出的國民核心素養架構，關鍵能力雖有不同，但都包含思維、行動及生活能力等面向，重視團隊合作與溝通能力，並且皆以「學習如何學習」（學習力）為核心（張郁雯，2016）。法國教育思想家 Edgar Jean Faure 1.

(13) （1972）在著作《學會生存》中說明學習力的重要性：「未來的文盲不再是不識字的人，而是沒有學會怎樣學習的人」。學習力是三個構成要素：學習動力、學習毅力、學習能力的綜合體現（張聲雄，2003）。學習動力是自覺的內在驅動力，包括學習需要、學習情感和學習興趣；學習毅力即學習意志，是確定學習目標後，克服困難實現預定學習目標的狀態，是學習行為的保持因素；學習能力是由前面兩者驅動產生的接受新知識、用新知識分析與解決問題的智力。學習力教育專家余建祥（2012）提出學習力「六要素說」，認為學習力主要包括學習方法、學習動力、時間管理、學習習慣、學習心智、學習意志六個要素，六個要素互相關聯又相對獨立，任何一個要素的改善都能促進學習能力的提升。以上所述，可知學習的開端與知識的累積，須仰賴學習動機的產生和維持。 Stipek（1995）認為學習動機是學生在學習方面的成就動機，為個體追求成功的一種心理需求，也是影響學業成就的主因之一。張春興（2000）認為學習動機是引起學生學習活動，維持學習活動，並導引該學習活動趨向教師所設定目標的內在心理歷程。簡單地說，每個行為背後都有其產生的原因，即所謂動機。教師在設計課程之初，為使學生能順利銜接整合新知識，教師除了先了解學生的背景知識是否足夠以外，「如何引起學生的學習動機」也是教師需要重視的。如何點燃學生對於學習內容的渴望與興趣，產生有意義的學習，並在課程結束後期許學生能自發性延續學習。Hofer（2006）認為，為了增進教學的成效，教師應深入瞭解如何激勵學生學習動機，並採取有效的激勵策略，正面影響學生的學習動機，使其更加投入於學習活動。Kember（2006）認為教師有責任激勵學生的學習動機，並對於學生有高的期望。可以想像的是，若無法引起學生的學習動機，即便教學者如何認真教學，教學也將只是徒勞無功，學習者的學習動機是啟動學習的首要關鍵之一。進入高職以後，學生發現高職數學比國中數學困難很多，例如：計算變複雜了、概念變抽象了、公式變多了、需要反覆練習的題目也變得更多，需要投注在 2.

(14) 這個學科的時間大大地增加。除了學習態度和方法可能不正確之外，高職數學課程較困難的原因之一是概念更抽象的結果，使得學生較無法以生活實例作為具體想像。對於有些學生來說，即使投入大量時間，也未能獲得對應的學習成效，投入的時間無法反應在成績表現上。當學習動機逐漸消磨殆盡，越來越害怕數學學習與考試。對他們而言學習是痛苦的，很容易就放棄了學習數學。故如何激勵學生的學習動機，教導正確的學習方法與態度，一直是教師長久以來努力的目標。依據各學者的學習動機理論與綜合相關文獻，激發學生學習動機有許多具體的策略（Bogle, 2005；Davis, 1999；Hofer, 2006；Kember, 2006；Newstead & Hoskins, 2003；Small, 2006）（逢甲大學教師教學成長中心，2010）： (一)暸解學生的想法與困難：教師有必要知道學生學習或修讀課程的理由，以及他們對這個科目感興趣與困難之處。 (二)建立學生學習的正向歸因：1.教師應提供學生成功的機會，並給予較高的期望，讓學生能夠期望成功，產生自我效能感及成就導向，並避免給予外在獎賞、多採用內在獎賞。2.幫助學生了解、將成功歸因於自己的能力，將失敗歸因於努力不夠，而努力的意志可以自我控制，讓學生遭遇失敗時，能積極尋找有效策略來解決問題，避免產生無助感。 (三)強調課程的重要性與實用性：教師應善用機會詳述課程的重要性，利用範例來解釋從本課程中學到的知識如何應用在課業、工作及生活。盡可能將課程內容與學生興趣結合，讓學生產生較高的學習動機。 (四)參考學生意見進行課程規劃：教師在進行課程規劃時，可將學生意見列入，特別是學生認為最有價值、感興趣的主題，使其增加參與感，並重視學習自主，提供多樣化、豐富的學習內容。 (五)根據學生能力安排學習活動：教師在安排作業及考試時，應包含困難與簡單的題目，能使學生覺得具有挑戰性但不具威脅性，是可以達成的目標，亦能使不同程度的學生都有體驗成功的機會。. 3.

(15) (六)適時鼓勵與讚美學生：教師適時的正面評價能建立學生信心，以及內在對自身的滿意，這是最好的激勵學習因素。 (七)運用學習探索的技巧：教師應運用多樣化的教學方法，善用學生的好奇心，協助進行學習探索。提出問題然後鼓勵學生分析，適時提供線索、解決方法、創意發想和評斷，但不要限制學生思考方向，讓學生體會學習的樂趣，增強學習的內在動機。 (八)提昇教師與學生之間的互動品質：提昇師生互動品質，使上課氣氛更融洽，是激勵學生學習動機的重要指標。根據以上所述，強調課程的重要性與實用性是具體激勵學生學習動機方法之一。亦是一種工具性的學習動機：學生將目前工作（學好數學）視為有益於未來目標（專業知識、專題製作）之達成，而引發的行為動機（Husman and Lens, 1999）。十二年國民基本教育數學領域課程綱要（教育部，2015）中指出：數學知識雖然本質抽象，卻因此有廣大的應用面向與深刻的應用層級。如何讓學生在不同年齡、不同能力、不同興趣或領域，皆能獲得足以結合理論與應用的數學素養，是國民數學教育的重要目標。. 二、. 專題製作對於高職學生的重要性. 心理學家 J.S.Bruner 指出，在教育上只有傳授知識不能算是完整的教育，應讓學生自己探索、推理思考、解決問題、發現事實或法則，享受學習結果的快樂，進而培養好奇心，鼓勵創造與探索未知世界（陳李綢，1985）。職業學校中的一門重要課程「專題製作」便是以此為課程與學習目標。期使學生能將各科專業知識內化和應用，在真實生活中尋找感興趣的題材，培養學生對於外來的刺激與資訊並非只有被動接受，能運用有限條件思考解決問題的方法，以達成學習具體化、知識實用化的目的。《職業學校群科課程綱要》在總綱校訂科目規劃原則指出：校訂必修科目中須開設符合職場專業需求之「專題製作」科目，培養學生創作及統整能力（教育部，民 97）。 4.

(16) 學生從高一即開始為高三的專題製作課程作準備，包括學習各科專業知識與技能，與一般學科的基礎奠定。不同類科的專題製作課程是由不同類科的專業科目教師任教，在課程之初，任課教師向修課學生介紹課程內容、課程進度、課程目標、課程實施方式等（圖 1-1-1、附錄五、六、七），包含專題製作中常用的研究方法，如：問卷調查法、文獻分析法、訪談法、實際製作或實地觀察法等。學生根據某一特定學科的理論和技術設定研究主題，整合各學科先備知識與蒐集資料，開始進行創作與研究。專題製作課程的進行不侷限在「上課時間」與「教室內」，大部分的課程進行是學生在教室以外的地方獨立完成，教師只負責指導、被詢問、監督進度等。而不同的專題屬性，進行的方法也不同，所以應事先瞭解專題題目的屬性，以決定研究方法（楊仁元、張顯盛、林家德，2008）。臺北市立○○高工 105 學年度第 1 學期製圖科三年甲班(A、B 組)實習教學活動計畫表科目名稱. 教學. 專題製作. 目標. 一、讓學生以團隊合作的方式，培養學生溝通、管理與創造等技巧。二、訓練學生在既有的知識基礎上，透過尋找及設定問題、蒐集資料、應用資訊，更進而養成具有分析、反覆思考與解決問題的能力。. 每週時數. 3 授課 18 星期. 週次. 日期. 預定進度. 1. 8/29~9/2. 單元 01. 作業 01：分組與訂定題目. 2. 9/5~9/9. 單元 02. 作業 02：相關文獻蒐集與探討. 3. 9/12~9/16. 單元 03. 作業 03：研究動機與目的. 4. 9/19~9/23. 單元 04. 作業 04：問卷設計與執行. 5. 9/26~9/30. 單元 05. 作業 05：繪製甘特圖. 評量方法. 6. 10/3~10/7. 單元 06. 作業 06：觀察法之執行與紀. 一、實習技術評量： 1.平時作業2.日常技能成效評量-. 7 10/10~10/14. 教學用書. 單元 07. 8 10/17~10/21. 自編教材. 出版社. (無). 作業 / 測驗. 錄作業 07：訪談法之執行與紀錄 10/20、21(第 1 次模擬考). 9 10/24~10/28. 單元 08. 10 10/31~11/4. 單元 09. 作業 08：小論文初步彙整討論作業 09：電腦繪圖Ⅰ. ※ 11/11 高三實彈射擊. 11 11/7~11/11 12 11/14~11/18. 單元 10. 作業 10：電腦繪圖Ⅱ. 13 11/21~11/25. 單元 11. 作業 11：材料準備. 14 11/28~12/2. 單元 12. 作業 12：模型製作Ⅰ. 15. 單元 13. 作業 13：模型製作Ⅱ. 16 12/12~12/16. 單元 14. 作業 14：模型測試與修正. 17 12/19~12/23. 單元 15. 18 12/26~12/30. 單元 16. 作業 15：分組報告Ⅰ. 19. 1/2~1/6. 單元 17. 作業 16：分組報告Ⅱ. 20. 1/9~1/13. 單元 18. 作業 17：小論文檢討與觀摩. 21. 1/16~1/20. 12/5~12/9. 12/19、20 第 2 次模擬考. 1/17、18(期末考). 教師. ○○○. 教學要求一、上課帶課本及製圖用具。二、準時繳交作業。三、上課「五不」：（1）不睡覺。（2）不聊天。（3）不蹺課。（4）不遲到。（5）不看小說、漫畫、手機四、遵守工場安全規則。五、維持工場整潔及保養儀器。. (1)各單元測驗。 (2)技能評量。. 3.期中術科二、職業道德：學習及出缺勤。三、相關知識：期中、期末。. 成績計算一、實習技術評量：70％ 1.平時作業(20％) 2.日常技能成效評量(40％) (1)各單元測驗。 (2)技能評量。. 3.期中術科(10％) 二、職業道德：10％三、相關知識：20％. 親師配合請家長配合督促學生事項：一、督促「課前預習」。二、督促「課後複習」。三、督促「寫作業」並按時繳交。. 查 ※ 第 18 週實習報告總檢查核. ※ 小論文報名及投稿期程 1.全國①105.9/15～11/15 2.全國②106.2/1～3/31. 圖 1-1-1 ○○高工製圖科專題製作課程教學活動計畫資料來源：○○高工網頁—歷年教學活動檔案。取自 http://ta.taivs.tp.edu.tw/mainteacher/default.asp 數學是有利於解決問題的工具，協助瞭解分析與解決真實生活情境中所面臨的問題。很多生活問題可轉化為數學問題，通過建立數學模型加以解決（肖艷娥， 2007）。十二年國民基本教育數學領域課程綱要中指出：數學是一門密度很高的學問，它能夠以簡馭繁，用簡明的公式與理論，解釋各種繁雜的現象，展現強而 5.

(17) 有效的威力。並指出數學是以「培養學生使用工具，運用於數學程序及解決問題的正確態度」、「培養學生運用數學思考問題、分析問題和解決問題的能力」為課程目標之一（教育部，2015）。因此身為數學教師，我們不免好奇，學生在專題製作的過程中是否能善用本身已學會的數學知識與具備的數學能力？學生在專題中使用哪些數學，並如何使用？以及專題中有哪些地方可以使用數學而學生沒有發現？藉由瞭解數學課程在專題製作中的實用價值與重要性，以激發學生的數學學習動機，和幫助學生學習有用的數學知識，重新定義數學對他們而言的重要性與意義。. 6.

(18) 第二節. 研究目的暨研究問題. 研究目的：探討高級工業職業學校學生於專題製作中所使用的數學為何與使用的情形，藉由使學生瞭解數學於真實生活情境的實用價值，用以提升數學課程學生之學習動機，重新定義數學對他們而言的重要性與意義。. 研究問題： 1. 高工學生在專題製作中使用哪些數學？ 1-1 就讀不同群別的學生在專題中使用哪些數學有何差異？ 1-2 學生專題中採用的研究方法與使用哪些數學之相關性？ 2. 高工學生在專題製作中使用數學的目的為何？ 2-1 就讀不同群別的學生在專題中使用數學的目的有何差異？ 2-2 學生專題中採用的研究方法與使用數學的目的之相關性？ 3. 高工學生在專題製作中如何使用數學？ 3-1 就讀不同群別的學生在專題中如何使用數學有何差異？ 3-2 學生專題中採用的研究方法與如何使用數學之相關性？. 7.

(19) 第三節. 名詞解釋. 1.專題製作：學生以個人或小組分工合作的方式，選擇具有真實的、統整的課程且具挑戰性的問題，藉由發問、預測結果、蒐集資訊、實驗、分析、整理、歸納、形成結論以及呈現研究結果，以追求真實問題的解決。專題製作課程的特色：學習主動、團隊合作、做中學、問題解決、歷程學習。 2.研究方法：利用系統化的方法來蒐集、分析和解釋資料，並解決問題，稱為研究。採用科學方法進行研究，可以讓研究過程更順利，得到的研究結果才能夠說服別人。學生在專題製作中常用的研究方法包括：（楊仁元等人，2008） (1) 問卷調查法：實施步驟為問卷設計、問卷發放與回收、問卷結果統計。獲得問卷結果統計數值為實驗結果。具有簡便、節省時間、回收資料較易整理分析等優點，是社會科學常用的研究方法。 (2) 文獻分析法：有系統地整理分析別人的研究結果(文獻)，並提出自己的新見解。 (3) 訪談法：可採個別訪談或開調查會兩種方式，訪談問答式、討論式必須抱持虛心求教的心態並詳細筆記，才能獲得較真實和深入的資料。訪談過程的錄音或錄影，應取得被訪談者的同意。 (4) 實際製作或實地觀察法：(i)動手完成實體成品，所以成品的規格、動手操作的過程都很重要。 (ii)在自然的情境或控制的情境下，根據研究目的，對現象或個體行為做有計畫與有系統地觀察，依觀察記錄做客觀性的解釋。（黃國彥，2000） 3.專業科目：在研究者任教的高級工業職業學校裡，設有電機科、控制科、冷凍科、機械科、製圖科、汽車科、資訊科、電子科、建築科、圖傳科，以及綜合高中部。 8.

(20) 4.學習動機：學習動機是引起學生學習活動，維持學習活動，並導引該學習活動趨向教師所設定目標的內在心理歷程（張春興，2000）。是學習者在學習過程中，達成某特定心理或生理目標的內在動力，並且在學習活動中，促使學習者能夠自發地主動性學習，是維持學習的原動力。 5.數學工具：知識在情境中的「工具」角色。如同情境學習論者的主張，認為知識如同工具一般，工具的本身並不具備任何用處，唯有透過使用才有意義。在「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」中，強調數學教育的目標是讓數學成為日常生活的一項工具，用以分析了解或解決生活中所面臨的種種問題，意味著「數學是有用的」，使學生能感受到數學在日常生活的真實情境中、或在其他學科領域中的應用性，因此稱為「工具」。學者 Van den Heurrel-Panhuizen M.（2000）指出，當活動設計為一種具有情境脈絡的問題時，學生就可以讓數學成為一種處理事物的工具，並且成為自己內部的一種知識。本研究中所稱的數學工具，廣泛的定義是指在學校教育之數學課程中所習得之數學知識、概念，包含計算與解題技巧，或狹義地指稱為，高職教育的數學課程中所學。 6.工具性動機：是個體賦予當前目標工具性意義所引起的行為動機，亦即將當前任務視為有益於未來目標之達成而引發的行為動機，是一種未來導向的動機（Husman and Lens, 1999）。Raynor（1981）將預期價值理論加入未來時間觀點而形成工具性價值，亦即個體知覺到現在工作對未來目標的價值意義，進一步提升行為動機。工具性動機可分為內在與外在工具性動機，當個體將目前工作視為達成未來目標的手段，若其動機源自內在動機時（例如，對數學求知上的樂趣），即為內在工具性動機；若其動機源自外在報酬所帶來的滿足時（例如，成績表現優異時獲得獎賞），即為外在工具性動機。. 9.

(21) 第貳章第一節一、. 文獻探討. 專題製作課程之相關理論與研究. 專題製作課程之內涵. 針對特定學科的理論及技術設定題目與目標，利用先備知識及技術並綜合內化後進行創作及研究，最後將研究結果轉化為產品或報告，以達到學習具體化、知識實用化的效果（馮靖廷，2006）。主要在啟發學生自主性學習，發展學生對於構思課題、撰寫計畫及邏輯推理等能力。課程亦著重學生在人際關係及團隊合作的處理，老師主要扮演提供學生意見、啟發思考能力及成果評價的角色。 (一)專題製作課程實施的流程 1.高職一年級清楚對學生表明三年級有專題製作課程，並說明專題製作的重要性與益處。一年級許多核心課程將是專題製作的基礎，基礎科目的養成是專題製作中重要的一部份。 2.高職二年級讓學生參加學長姐的專題成果發表會，或者讓學生觀摩學長姊的專題製作分組的學習情況，讓學生能盡早瞭解專題分組學習的方式，並融入專題製作課程的氣氛當中。 3.高職三年級為達合作學習之效，通常以 3~5 人做分組。在教師規劃的目標方向下，由學生自行選定研究問題、任務分配與時程計畫表，結合各科專業知識及技術，開始進行自訂的專題內容製作，最終將研究結果轉化為產品或報告，並以口頭發表、海報或輔以書面報告進行發表。 (二)專題製作課程的特色依據龍騰文化出版社（2008）編著《專題製作》整理出專題製作的特色有： 10.

(22) 1.統整課程「專題製作」是整合各領域知能的應用科學。對高職生而言，結合各科的專業知識，並經由書面報告與口頭報告統整了語文表達能力，是整體學習效果的呈現。 2.合作學習專題製作多採取小組合作的方式，有傳統「單打獨鬥」的學習所無法達到的效果。透過小組的溝通、協調、分工合作來完成一份專題報告，從歷程中體驗「燕行理論」的優點，是培養團隊精神與發展人際關係的良好機會。 3.自主學習以學生為學習的主體，教師站在諮詢者、協助者的立場，學生在教師有限度的規範之下（製作架構、學習成果要求、進度期限），激發自動學習的成效。主動學習是傳統教學中最弱的一環，透過專題製作的歷程進一步引導學生使之具備終生學習的能力。 4.發現學習傳統教學往往是「老師教，學生學」，而專題製作課程中教師提供一些方向、方法與資訊，讓學生有機會探索問題，並經由小組腦力激盪，去尋找問題的答案。 5.分享與回饋專題製作成果發表，可以運用多元的型態呈現。除了書面報告、口頭報告之外，還可以採取多媒體、紀錄片、網頁等多樣的方式，在班上、在科技間、校際間，甚至掛到網站與全世界的人分享。此外，小組在成果發表與觀摩學習活動中，藉由同學的回饋彼此間吸收他人的優點、建議，使學習者有再省思再成長的機會。 (三)專題製作課程的能力指標專題製作的學習方案與學習方法（馮靖廷，民 95）中指出，學生於專題製作課程修畢後應具有的能力指標：學科整合、批判能力、觀察力、文獻蒐集、分. 11.

(23) 析主題、制定計畫、大膽假設、小心求證、想像力、好奇心、團隊討論、第六感、推理能力、看清錯誤、移植能力、展現成果、講求證據。. 二、. 專題製作課程之相關理論. (一)專題製作課程與精熟學習理論「專題製作」在高職生的學業生涯中，是一門不可或缺的課程。這課程包含了許多面向及意義，例如：團隊合作、驗證答案、當高職生面臨製作瓶頸時又該如何解決？這種種問題的出現，將一一帶領我們進入一個未知的領域中。（陳桂美、李依倩、詹昀蓁、洪呈凱、洪啟軒、朱哲佑、張明憲，2010）有別於傳統的填鴨式教育，現代教師開始嘗試各種有助於學生各方面能力學習的教學方法，專題製作是其中之一。並經由研究發現，專題製作課程對於美國教育學者 B.S.Bloom、 D.R.Krathwohl 及 E.J.Simpsom 等人提出的教育目標三大領域：認知領域、技能領域、情意領域，均能有顯著提升。 Bloom（1981）認為對於每一個學生提供相同的教學及相同的學習時間，而沒有提供個別的補救教學，學生的學習成就差異會隨著年齡愈來愈大。Carroll （1963）認為「性向」不是學習成就的指標，而是學習速率（learning rate）的指標。他認為每個學生都有學習能力，不同的只是學習時所需時間的多寡而已。所有學生學習相同教材的結果，沒有所謂成就高低的分別，而只有學習快慢的分別。如果給學生足夠的時間學習，就可以達到相同的或設定的成就目標。Bloom 與 Carroll 提出精熟學習（Mastery Learning）理論：針對不同能力的學生，透過小步驟的教學、提供足夠的練習機會、充裕的學習時間及補救教學，讓學生精熟每一個學習步驟，則每個學生的成就都能達到精熟。這是一種針對個別差異、因材施教，以達到成功學習的教學與學習的方法。精熟的定義是指在一個測驗或評量中得到 80~90%的分數。精熟理論主張：對於無法達到精熟的學生，能夠給予適當的額外幫助。例如，跟同儕小老師一起學習、從合作小組的團隊成員獲得幫助；對於已經達到精熟程度的學生，則進一 12.

(24) 步給予較豐富的活動。例如，獨自作業、電腦模擬學習。精熟學習理論是有效的個別化教學方法，幫助學生克服學習困難、增加成就感與成功學習。專題製作課程的進行可見個別差異與合作學習的重要性，學生根據自己的能力與興趣設定題目與製作進度，需要投注多少時間準備與製作，端看個人或合作小組的學習需求，因為是感興趣的主題，蒐集的相關資料與主動學習得到的知識，也將是他們所感興趣並產生意義的。另一方面，從小組合作中獲得同儕間的幫助，適時獲得教師專業知識的從旁協助，故綜合以上看法，專題製作課程是精熟理論的具體實踐方式之一。 (二)專題製作課程與發現學習理論馮靖廷（2006）在專題製作的學習方案與學習方法中提及，學習的理論有兩個部分，一是「刺激－反應」聯結學說的制約理論：編序教材法、精熟學習法；另一是「洞察－重建」認知學說的認知理論：發現式學習法、合作學習法、有意義的學習。並認為，專題製作課程即屬於認知學習理論。美國心理學家 J.S.Bruner（1960）強調學習時結構（structure）的重要性，教材的結構與學生的認知結構必須能夠互相配合。Bruner 提倡發現學習（learning by discovery），鼓勵學生自己去思考、比較、對照，運用各種策略去發現教材所含的重要概念。Bruner 在教學的應用上提出四個原則： 1.動機原則：學習要有動機，必須先喜歡學習、願意學習，然後教學與學習才會有效果。 2.結構原則：結構是指教材的組織，任何知識的傳授，只要在教材組織結構上能配合學生的認知結構，就會有良好的教學效果。 3.順序原則：順序有兩種意義，「準備」與「教材教法的使用」。「準備」是指教學之初必須先引起學生的學習動機並維持興趣，自然便易於學習。「教材教法的使用」是指，一方面先了解學生是否具備足夠的先備知識或配合學生既有的先備知識，另一方面配合教材學科的性質，由具體到抽象、簡單到複雜、動作表徵. 13.

(25) 到符號表徵，如此既可配合學生的程度與能力，又能使新舊經驗良好銜接，學習便能達到事半功倍。 4.增強原則：Bruner 的增強原則不是外控的，而是內發的，認為教學時應採取啟發的方式，讓學生在學習活動中自己發現原理、原則，因成就感與能夠認知理解而達到自我滿足的狀態，產生繼續學習的信心與興趣，對於學習具有增強的作用。 Bruner 在教學理論中主張教學者必須提供學習者以直接經驗來進行學習，從經驗的形象表現（如圖片、影片）到符號表現（如語言、文字）。Bruner 提出知識學習的三個情況： 1.動作表徵期：「由做中學」的經驗，包括繪圖、設計、演戲、烹飪等直接或有目的的經驗。 2.形象表徵期：「由觀察中學」的經驗，包括參觀、展覽、電視、電影等經驗。 3.符號表徵期：最高層次，「由思考中學」的經驗。教師引導學生學習，避免讓學生學習零星的知識，而是讓學生發現教材與教材之間，事物與事物之間發生有意義關連的結構，了解「結構」之後，因其具有概括性、類化性，於是可以發生較大的學習遷移，有助於將來面臨其他類似情境時的處理能力。Bruner 認為在教育上僅傳授知識不能算是完整的教育，應讓學生自己探索、推理思考、解決問題、發現事實或法則，享受學習結果的快樂，培養好奇心，鼓勵創造與探索未知世界。因此 Bruner 的發現學習理論能夠激發主動學習的態度與行為，對於外來的刺激與訊息，並非被動地接受，而是思考改變或處理問題的方法和步驟，靈活運用限定條件，精細分析與歸納。綜合以上看法，專題製作課程正好體現了發現學習理論的精神，由做中學習、由觀察中學習、由思考中學習。採取啟發的方式讓學生在學習活動中自己發現問題、設法分析與解決問題，因成就感與能夠認知理解而達到自我滿足的狀態，產生繼續學習的信心與興趣，並於下次面臨類似情境時，累積了處理問題的能力。專題製作課程整合各學科的專業知識，使其產生有意義的關聯與結構，因而能發 14.

(26) 生較大的學習遷移。學習者並非被動地接受，而是思考如何改變或處理問題的能力。. 三、. 專題製作課程之相關研究. (一)專題導向學習專題導向學習是專題製作相關議題中，最被熱烈討論的主題之一，依據相關文獻探討，簡要說明其要點： 1.專題是一種複雜的工作，根據具挑戰性的疑問或問題，經由學生的發想設計、問題解決、決策的擬定或是進行研究活動，讓學生有機會進行較長期，且以學生為中心的活動，最終能完成實質的成品或發表（Thomas, 2000）。專題導向學習（project-based learning）以解決專題製作過程中遇到的問題作為學習的主軸，讓學生能進行跨學科領域的「做中學」，透過主動參與、親自找資訊或學技能，進而應用以完成專題，而能對知識內容產生較長遠的記憶。根據研究結果顯示，以學生為中心的專題導向學習活動有助於學生主動學習，並可促使學生對自己的學習負責（Glover, 1993），在創造力思考上也對學生有所助益（謝依婷、周建智、黃美瑤，2009）。 2.專題導向學習（project-based learning）中的重要組成元素即是：問題、產出、學習者以及教師，所強調的理念為：學習源自於問題、學習表現以產出來衡量、以學習者為中心—學習是主動參與知識建構與協商的過程、學習是由教師來促進（Barrett, 2005; Barrows & Tambyln, 1980; Boud & Feletti, 1996; Bridges, 1992; Gijselaers, 1966; Moss & Van Duzer, 1998; Moursund, 1999; Tan, 2000; Trop & Sage, 1998；計惠卿、張杏妃，2001；計惠卿、莊靜圓，2003）專題導向學習目的是在引發學生探究動機，對學生而言能從解決問題得到探索未知的冒險經驗、增加信心，最後得到完成事物的成就感是最重要的（世新大學教學卓越中心, 2010）。. 15.

(27) 3.傳統教學大多以教師為主要講述中心，並且受限於既定的教學材料；然而現代社會更重視培養學生「解決問題」的能力，能連結各知識領域，也強調學生主動參與。專題導向學習立基於此，有以下特色： (1) 以問題為學習之起點 (2) 須注重小組學習 (3) 視對話為學習過程之主軸 (4) 著重學習者之主動性 (5) 教學者為整體課程的催化者課程的最終作品或報告，是專題導向學習的特色，學生除了能在製作過程中，獲得原本相同課程內所包涵的特定知識與技能外，還有可能因為必須解決一些額外的問題，而得到更多的經驗與知識。在教師領導下，專題製作通常是非常有創意與時間自由的，因此最終展現出來的成品與報告往往有著高於目前學生所能完成的水準，而令人感到驚艷（王致遠、林千惠，2011）。專題導向的學習主題較適於學習內容較為抽象、工作任務較複雜且跨學科領域的學習，因為這些知識對學生而言需要較長時間的教導，不易在短時間內吸收（簡幸如、劉旨峰，2009）。 4.專題導向學習是以問題作為學習者學習的起點，觀察其學習脈絡，使在問題解決的過程中能學到知識。以理性主義、認知心理學、建構主義、情境學習與合作學習為理論中心基礎，相信學習者能在適當的脈絡情境中獲得知識，且會主動參與學習的過程（Barrows & Tamblyn, 1980）。 (1) Rankin（1992）與 Schmidt（1993）認為理性主義與認知心理學為專題導向學習、問題導向學習的理論基礎。在理性主義思維中，認為一切知識的本源為人的理性，美國學者杜威認為在學習的過程中，知識是無法被轉移的，學習者必須靠自己本身去精熟內容，才能真正獲得這些知識。認知心理學則是注重學習者在學習時的主動性。學習者本身須知道如何去學習與要學習什麼，且學習的內涵必須與學習者本身具有的知能相關，才能內化為有意義且能活用的知識。此外在認知心理學中的後設認知，主要概念為「思考如何去思考」（Armbruster & Brown, 16.

(28) 1984），即是學習者必須了解自我的認知，進而自我監控與規範，提升自我的知能。專題導向學習藉由小組引導及利用問題來引發新資訊與討論，活化學生舊有內在知識，使得舊知識與新知識進行再組織，與此理論基礎相符合。 (2) 建構主義主張學習者必須自行建構出自己的知識（Blais, 1988）。其內涵與專題導向學習的主張亦是相同的（Marsh, 1999）。專題導向學習（project-based learning）是建立在課程統整、建構主義與認知心理學等理論基礎上所發展出來的一種教學與學習方法（鄒慧英，2000）。在建構主義中認為學習者所建構出來的知識沒有對或錯，而是強調理解與整體觀，經由與他人分享、比較個人對於知識的理解，在此過程中根據所獲得經驗重新確認與建構新知識。 (3) 根據情境學習理論，認為知識必須與情境脈絡相契合。社會情境、文化脈絡中皆有知識的存在，因此教學者應盡量提供一個真實的情境給學習者進行學習，使學習者能將學習與情境結合，藉由做中學的方式進行學習活動，可以增強記憶及平緩遺忘曲線（Claessen & Boshuisen, 1985）。專題導向學習以生活化的真實情境問題為學習起點，強調學習的重點須為真實世界中的問題，使學習者以各種不同角色扮演去體驗不同的互動歷程，融入其中進行學習（王致遠、林千惠， 2011）。 (4) 在問題解決過程中，經由小組討論、確定自我學習目標、收集資訊以驗證其假設並發表結果，同時透過小組合作學習與討論，以培養團隊合作與解決問題的能力，故專題製作課程以合作學習為理論中心基礎。. 四、. 與本研究之關係. 學生於高一時即開始為高三的專題製作課程作準備，修習各專業科目之課程，學習並熟練其專業知識與技能。瞭解高職數學課程在學生專題中的實用性，進而能幫助學生學習有用的數學知識，避免無用的、旁枝末節的零碎知識，藉此提升高職學生的數學學習動機。. 17.

(29) 專題製作課程於高三上學期開始實施，有些科別在上學期結束前即完成專題作品，並專題發表、參與小論文競賽。有些科別須持續至下學期結束前才能完成，花費將近一年的製作時間。製作時間的長短與作品呈現方式有關，必須製作出實物的成品時，通常需要花費較多的時間。本研究根據專題製作與完成的時間，以及課程實施方式，設計合理的研究方法，包括合適的問卷發放、施測時間，以及施測對象。情境學習理論強調：知識必須與情境脈絡相契合，教學者應盡可能提供一個真實情境給學習者進行學習，使學習者能將學習與情境結合。專題製作提供一個進行學習的真實情境，整合各科專業知識，經由書面與口頭報告，呈現整體的學習成果。其中一項是數學領域的學習成果，是本研究所要探討的內容。專題製作課程重視個別差異與合作學習，無論各學科程度能力之好壞，學生發揮所長，根據能力和興趣來設定題目與進度。並在小組合作中獲得幫助，以及教師專業知識的從旁協助，無論學生的起始點為何，都能有所成長。因此經由專題製作的相關文獻探討，可知專題製作課程對於高職學生而言的重要性。 Bruner 在教學的應用原則之一：教學之初，必須先引起學生的學習動機並維持興趣，自然便易於學習。專題導向學習（project-based learning）採取啟發的方式讓學生在學習活動中自己發現問題，透過主動參與、尋找資訊、學習技能以解決問題，因從中獲得成就感與能夠認知理解而達到自我滿足，產生繼續學習的信心和興趣。由文獻探討可知，專題製作課程是以解決問題作為學習的主軸，數學是解決問題的一項重要工具，是否學生能在專題中善用此項工具，以及學生在專題中使用數學來幫助解決問題的情形為何，是本研究想要探討的內容。. 18.

(30) 第二節. 數學與專業科目之關聯. 民國 94 年配合九年一貫課程實施修訂《高級中學課程暫行綱要》，期使高中職課程能與國民中小學九年一貫課程銜接，並為大學教育奠定基礎（教育部，民 94）。《普通高級中學課程暫行綱要》中指出，普通高中數學的課程目標之一為培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。《職業學校群科課程暫行綱要》指出高職數學 C 的課程目標之一為培養學生基本演算與識圖能力，以應用於解決日常實際問題及未來工程專業及資訊應用領域內實務問題；並且在教學綱要的實施要點中指出：教材之編選應顧及日常生活與職業群中現實問題的應用，並在教材中安排隨堂練習，供學生在課堂上演練，使理論與應用並重，在情境中求真實（教育部，民 94）。而後，民國 97 年修正發布《職業學校群科課程綱要》，在數學 C 教學綱要中指出「培養學生應用(繪圖)電算器解決職業群中的現實問題之能力」、「配合各相關專業科目的教學需要，以達學以致用的目的」等教學目標（教育部，民 97）。皆顯示數學課程應用於各學科和專業領域的重要性。在高級工業職業學校中，專業科目多數與工業、科技、物理相關，常需要簡單或是繁複的數學計算與邏輯推演，可能面臨才剛從課堂中學習到的數學工具就須在專業課程中立即使用的情況。對於數學內容還尚未很熟悉時，在其他科目上就有立即或大量應用的需要，對於學生來說是否會造成壓力？或者是什麼感受？也許，因為有實際應用的需要，使得學習有了更加踏實而明顯的動機與目標，並因頻繁使用與不斷練習反而加深了數學內容的熟練度，這樣的結果顯然對學習是有助益勝過阻力的。在研究者任教的班級中曾經在平時課堂上，欲了解高三學生學完高中數學後的看法，進行了一項非正式調查。從這些少量樣本的回答中，得到幾項結論：當學完所有高中數學課程後，多數高三學生認為排列組合、機率統計、三角函數等單元最困難；直線方程式最容易；排列組合、微積分最有興趣；最希望能重新學習排列組合、機率統計；三角函數、微積分、向量等單元對其他 19.

(31) 科目的學習最有幫助；三角函數、排列組合、機率統計的學習過程最印象深刻。身為教師不免好奇與想了解學生在學習完所有課程之後，對於學習過程中或此刻心裡最直接的感受與看法。其中一項問題，哪些單元內容對於其他科目的學習會有幫助？回答三角函數者占了 38%為最多，但細看其他項目則會因學生就讀科系的不同而有差異，顯然學生清楚知道某些數學單元在專業科目中的實用價值。然而，有了這些認知是否對於提升學生數學課程的學習動機會有幫助呢？則需要進一步探討與研究。. 一、高職數學於專業科目中的應用依據馬雅筠老師（現任大安高工數學教師、教育部數學學科中心種子教師、十二年國民基本教育數學領域課程綱要研修小組委員）（2009）在各專業科目使用數學 C 課程分析表中所整理與分析的資料，顯示高級工業職業學校中不同科別所修習的專業科目常常需要使用數學工具來幫助計算、推演或是證明，不同的就讀科別與專業科目較常使用的數學工具也有所不同。為了能使學生在專業科目的學習能順利進行、避免因數學工具的使用造成學習上的困難，數學教師應先瞭解專業科目中使用了哪些數學與如何使用，數學課程與專業課程的授課時間與教學方式是否能順利銜接？符號上的使用與運算方法有何異同？瞭解之後才能協助學生解決專業科目中的數學問題，將數學與各學科領域連結，實際應用於真實情境脈絡之中。經獲得馬雅筠老師同意，引用其研究內容如下。表 2-2-1 各專業科目使用數學 C 課程分析表單元主題. 直線方程式. 三角函數及其應用. 內容綱要. 1. 直角坐標 2. 距離公式. 1.有向角及其度量 2.三角函數的定義與圖形. 3. 分點坐標 4. 直線的斜率與方程式. 3.三角函數的基本性質 4.和差角公式與二倍角公式 5.正弦與餘弦定理 6.解三角形問題(含三角測量). 第一學年第一學期應複習線型函數與二次函數的. 包含直線的斜角與交角。. 備註. 20.

(32) 坐標圖形。節數電機電子群. 12 基本電學/一上/電容及靜電/電容器(斜率) 基本電學/一下/交流電功率(直線). 46 基本電學/一上/電容及靜電/電場及電位/作用力和(餘弦定理) 基本電學/一上/電感及電磁/並聯互感量證明(三角函數) 基本電學/一下/交流電/波形(三角函數圖形) 基本電學/一下/交流電/頻率及週期(和角公式、積化和差、和差化積) 基本電學/一下/基本交流電路/RC 串聯電路(反三角函數) 基本電學/一下/交流電功率(三角函數、積化和差公式) 基本電學/一下/交流電源(餘弦定理). 專業科目機械群. 1. 機械力學/二上/力的分解與結合 2. 機械力學/二上/運動學. 1.機械力學/二上/力的分解與結合 2. 機械力學/二上/摩擦 3. 機械力學/二上/運動學 4. 機械力學/二上/材料力學全部＊最重要的一章，力學每一章幾乎都需要應用。. 土木建築群. 測量/二下/第五週起. 力學/二上/第二週起 (銳角三角函數、反三角函數 𝑡𝑎𝑛−1 、倍角公式) 測量/二下/第一週起. 單元主題. 向量. 式的運算. 內容綱要. 1.向量的意義. 1.多項式的四則運算. 2.向量的加減與實數積 3.向量的內積與夾角 4.點到直線的距離. 2.餘式與因式定理 3.多項方程式 4.分式與根式的運算. 備註節數. 第一學年第二學期包含平方根分式與有理化 14. 26 21.

(33) 電機電. 基本電學/一下/交流電(向量). 子群專業科目. 基本電學/一上/直流網路分析/最大功率轉移定理(二次根式) 基本電學/一上/電感及電磁/互感量(根式運算). 機械群. 1.機械力學/二上/力學物理量向量與純量 2.機械力學/二上/直線運動－相對運動. 土木建築群. 力學/二上/第十週起. 機械力學/二上/運動學. 單元主題. 方程式. 複數. 內容綱要. 1.二元一次聯立方程式. 1.一元二次方程式的虛根. 2.二、三階行列式與 Cramer 公式. 2.複數的四則運算 3.複數平面與極式 4.隸美弗定理及其應用. 18 基本電學/一上/直流網路分析/ 節點電壓法(解聯立方程式、高斯消去法、行列式、Cramer). 14 基本電學/一下/交流電(複數運算、i 和 j 的表示、直角座標和極座標轉換). 備註節數電機電子群專業科目. 基本電學/一下/基本交流電路/RC 串聯電路(複數) 機械群. 機械力學/二上/運動學、動力學. 土木建築群. 力學/二上/第三週起(解二元一次聯立方程式). 單元主題. 不等式及其應用. 數列與級數. 內容綱要. 1.二元一次不等式的圖形 2.線性規劃 3.一元二次不等式. 1.等差數列與等差級數 2.等比數列與等比級數. 4.絕對不等式備註. 節數. 第二學年第一學期應強調將數列規律以一般式表示的操作 14. 8 22.

(34) 電機電專業科目. 子群機械群. 1.機件原理/二下/凸輪 2.機械力學/二上/運動學. 土木建築群. 力學/二上/第十七週起(以Σ符號表示級數). 單元主題. 指數與對數及其運算. 排列組合. 內容綱要. 1.指數與對數及其運算的意義 2.指數函數及其圖形 3.對數函數及其圖形. 1.乘法原理與樹狀圖 2.排列與組合 3.二項式定理. 4.常用對數與其應用備註節數專業科目. 20 電機電基本電學/一下/直流暫態/RC 暫子群態電路(自然指數) 機械群. 16. 機械力學/二上/摩擦－皮帶摩擦. 土木建築群. 單元主題. 機率與統計. 二次曲線. 內容綱要. 1.樣本空間與事件 2.求機率問題 3.數學期望值 4.資料整理與圖表編制 5.算術平均數、中位數、百分等級 6.四分位差與標準差 7.抽樣方法 8.解讀信賴區間與信心水準. 1.圓方程式 2.圓與直線的關係 3.拋物線的圖形與標準式 4.橢圓的圖形與標準式 5.雙曲線的圖形與標準式. 備註. 第二學年第二學期應強調將不含 xy 項之一般式以配方轉換成標準式的操作. 節數專業. 28. 24. 電機電子群 23.

(35) 科. 機械群. 1.機械製圖/一上/圓、橢圓、拋物. 目. 線、雙曲線畫法 2.機件原理/二下/凸輪、等腰連趕機構土木建築群. 單元主題. 微積分及其應用. 內容綱要. 1.極限的概念(數列與函數) 2.無窮等比級數 3.多項函數的導數與導函數 4.微分公式 5.微分的應用 6.積分的概念與反導函數 7.多項函數的積分. 備註節數電機電子群. 專業科目. 48 基本電學/一上/直流網路分析/最大功率轉移定理(微分式最大值) 基本電學/一上/電容及靜電/電場及電位/球面積證明(積分) 基本電學/一上/電感及電磁/並聯互感量證明(微分) 基本電學/一下/直流暫態/RC 暫態電路(微積分、一階微分方程) 基本電學/一下/交流電(弦波積分) 基本電學/一下/基本交流電路/RC 串聯電路(弦波微分) 基本電學/一下/交流電功率(指數積分). 機械群. 1.機械力學/二上/直線運動 2.機械力學/二下/材料力學-剪力圖、彎曲力矩圖 3.機件原理/二下/凸輪. 土木建築群資料來源：馬雅筠（2009 年 11 月）。各專業科目使用數學 C 課程分析表。98 年度第二次職業學校一般科目北區諮詢輔導會議，臺北市立大安高工。表 2-2-2 數學與機械科專業的關聯專業科目/主題機械力學. 所需數學能力力學物理量. 向量. 直線運動. 微積分 24.

(36) 機件原理機械製圖. 力的分解與結合. 直線方程式、三角函數. 摩擦. 三角函數、指數與對數. 運動學. 直線方程式、三角函數、數列與級數. 動力學. 方程式. 材料力學. 三角函數、微積分. 凸輪. 數列與級數、二次曲線、微積分. 等腰連桿機構. 二次曲線. 二次曲線畫法. 二次曲線. 資料來源：馬雅筠、陳吳煜（2014 年 11 月）。臺北市立大安高工 103 年度高職數學教學專業成長實施計畫成果分享。103 年度職業學校一般科目暨藝術群科中心學校北區諮詢輔導會議，臺北市立大安高工。表 2-2-3 數學與建築科專業的關聯專業科目/主題. 所需數學能力. 力學. 三角函數、向量、數列與級數. 測量. 直線方程式、三角函數、方程式、統計. 圖學. 二次曲線. 資料來源：馬雅筠、陳吳煜（2014 年 11 月）。臺北市立大安高工 103 年度高職數學教學專業成長實施計畫成果分享。103 年度職業學校一般科目暨藝術群科中心學校北區諮詢輔導會議，臺北市立大安高工。表 2-2-4 數學與電機電子科專業的關聯專業科目/主題基本電學. 所需數學能力電學概論. 10 的乘冪. 直流網路分析. 連立方程式、高斯消去法、行列式、二次根式、微分式. 電子學. 電容與靜電. 斜率、球面積、餘弦定理. 基本交流電路. 反三角函數、複數、弦波微分(證明). 交流電功率. 積化和差公式、直線、指數積分. 交流電源. 餘弦定理. 交流電. 三角函數圖形、和角公式、複數、向量. 電感與電磁. 根式運算、微分、三角函數. 直流暫態. 自然指數、微積分、微分方程式. 概論. 三角函數、級數展開 25.

(37) 二極體. 自然指數、微分計算. 二極體之應用電路. 弦波積分. 雙級性階面電晶體. 自然指數. 電晶體放大電路. 指數微分. 場效電晶體. 指數微分. 場效電晶體放大電路. 一元二次方程式微分. 運算放大器. 線型函數、三角函數、微積分. 基本振盪電路. 複數、行列式(證明)、自然指數與對數、線型函數微積分. 資料來源：馬雅筠、陳吳煜（2014 年 11 月）。臺北市立大安高工 103 年度高職數學教學專業成長實施計畫成果分享。103 年度職業學校一般科目暨藝術群科中心學校北區諮詢輔導會議，臺北市立大安高工。. 二、專業科目中使用數學的幾個範例 (一) 以機械科專業科目－機械力學為例 ⃑⃑交於一點，夾角為𝜃，兩力之大小分別為 A 和 B，設其合力範例 1.已知兩力𝐴⃑和𝐵 為𝑅⃑⃑ ，試求合力𝑅⃑⃑ 之大小為何？ A. 應用的數學：三角函數餘弦定理. R. ɵ. 解法： 𝑅 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(180° − 𝜃) 𝑅 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏(−𝑐𝑜𝑠𝜃). B 圖 2-2-1 應用範例. R = √𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 範例 2.如下圖所示，長度 6m 的繩子，將繩子兩端分別固定於天花板上的兩個掛勾 A 和 B，且 A 和 B 掛勾的距離為 3m，在繩子的中點掛上 120N 的重物，則繩子所受的張力為多少牛頓？應用的數學：三角函數正弦定理. A. 解法：由題意可知繩子所成夾角為 60 度，. 150. B. 。. 60 。. 150. 。. 與重物的左右夾角各 150 度， 120N. 根據拉密定理與正弦定理可知. 圖 2-2-2 應用範例 26.

(38) 120 𝑠𝑖𝑛60°. =. 𝑥 𝑠𝑖𝑛150°. => 𝑥 =. 120 √3 2. 1. × = 40√3 牛頓 2. (二) 以電機電子群專業科目－基本電學、電子學為例範例 1.已知交流電源 i1(t)=20sin100t 安，i2(t)=20cos100t 安，試求 i1(t)+i2(t)之有效值。應用的數學：三角函數、複數、向量解法：在一段時間 T 內，一個交流電通過電阻 R 所產生的熱能，和直流電源通過同一電阻 R 所產生的熱能相同(等效)時，則稱該直流電的電壓或電流之值，為此交流電的電壓或電流的有效值(以 Veff 或 Ieff 表示)。設交流電的電流函數為𝐼m sin(𝜔𝑡)，Im 為其正弦波的最大值。在單位時間內交流電所產生的熱能為W = (𝐼𝑚 sin(ωt))2 𝑅𝑡，在一段時間 T 內所產生的熱能為 𝑇. ∫0 (𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡))2 𝑅𝑑𝑡 另一方面，設直流電在一段時間 T 內產生的熱能為W = 𝐼 2 𝑅𝑇。所以可得 𝑇. 𝐼 2 𝑅𝑇 = ∫0 (𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡))2 𝑅𝑑𝑡 利用三角函數的二倍角公式與積分，可得與此交流電等效的直流電的電流為 1 𝑇 𝐼𝑚 2 𝑇 2 I = √ ∫ (𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡))2 𝑑𝑡 = √ ∫ 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇 𝑜 𝐼𝑚 2 𝑇 1 − cos(2𝜔𝑡) 𝐼𝑚 2 sin(2𝜔𝑇) 𝐼𝑚 √ =√ ∫ 𝑑𝑡 = (𝑇 − )= 𝑇 0 2 2𝑇 2𝜔 √2 即正弦交流電的有效值為最大值除以√2。利用正弦餘弦的疊合𝑖1 (t) + 𝑖2 (t) = 20√2sin(100𝑡 + 45°)，最大值為20√2，故有效值為 20。 𝜋. 範例 2.已知一電壓瞬間值與時間 t 的關係式為𝑣(𝑡) = 100sin(10𝜋𝑡 + 3 )伏特，則此電壓的頻率為何？若自相位角0°開始繪圖，則何時電壓波形出現第一個峰值 (最大值)？ 27.

(39) 應用的數學：三角函數的圖形與週期解法：頻率為週期運動中每秒出現的次數(即週期)，單位為赫茲(Hz)，頻率與週 𝜋. 期互為倒數。𝑣(𝑡) = 100 sin (10𝜋𝑡 + 3 )的週期為2π ÷ 10π = 0.2，故頻率為 5 赫 𝜋. 茲(Hz)。且當 10𝜋𝑡 + 3 =. 𝜋 2. 1. 時發生最大值，故 t = 60秒。. (三) 以土木建築群專業科目－測量應用為例範例 1.橢圓雙焦點求法－放樣應用的數學：二次曲線橢圓的定義與性質，短軸頂點至焦點的距離與長軸頂點至中心點的距離相等。 ̅̅̅̅̅交於 ̅̅̅̅為半徑畫弧，與長軸𝐴𝐴′ 求法：以短軸的頂點 B 為圓心，長軸的一半長度𝐴𝑂 兩點，即為焦點𝐹和𝐹′。 P. A. B. F’ A’. F. B’. 圖 2-2-3 應用範例範例 2.拋物線焦點與準線求法－放樣應用的數學：二次曲線拋物線的定義與性質求法：(1)作通過頂點 V 與對稱軸垂直之直線 L。(如右下圖所示) (2)取拋物線上任意點 P，作過 P 點平行對稱軸之直線𝐿1 。 (3)𝐿1 與 L 交於 A 點，取 A 和 V 之中點 B，作過點 B 和 P 之直線𝐿2 。 (4)作通過 B 點與𝐿2 垂直之直線𝐿3 。 (5) 𝐿3 與𝐿1 的交點為準線的位置，𝐿3 與對稱軸的交點即為焦點。. 28.

(40) L L3 A. P. B L2. 圖 2-2-4 應用範例. 三、相關之文獻研究 (一) 光華高工機械、製圖科機械力學行動研究法（光華高工機械科教學研究會， 2009）機械力學教師於教學時發現機械、製圖科學生在力學基礎－「力的合成及分解」單元中學習成效低落，觀察學生學習過程由於三角函數換算基礎薄弱所造成，故一方面探究其原因，再應用理論方法、進行行動研究，設法改善與加強學生三角函數計算能力，探討以行動研究法改進機械力學教學對於教師與學生所產生的影響。此行動研究法分為三個步驟：1.三角函數前測，並分析學生三角函數程度 2.進行三角函數課程教學 3.三角函數後測，並分析比較教學前後進度程度。研究對象為光華高工機械科、製圖科二年級所有 183 名學生。研究結果顯示，在教學前、後測中，基本三角函數、三角函數邊長比計算、三角函數應用等部分，學生皆有明顯進度；餘弦定律、正弦定律等部分，學生的答對率提高。對於有心學習的學生效果較為顯著，因能瞭解三角函數計算關係到往後的學習，較能用心背誦公式與提升計算能力。對於無心學習的學生，則結果顯示答錯率仍偏高。研究者認為，在機械力學教學過程中，學生對於三角函數換算基礎薄弱，導致機械力學學習成效低落，但礙於教學進度安排無法進行三角函數的複習，使得學生因學習成就低落最後選擇放棄。. 29.

(41) 此行動研究方案使研究者深刻體認到學生必須先將基礎打好，建構自己的知識體系，如此獲得的知識才能長久。並研究者建議，三角函數教學過程中應明確讓學生瞭解𝜃角與三角函數之對應關係(對邊、臨邊、斜邊是相對於𝜃角度而言)，使學生在計算力學時能加以應用，否則當角度位置轉換後便無法求出正確答案。 (二) 交流電與正弦波（馬雅筠、陳吳煜，2014）強調理論與實務並重的工科學生在學習專業科目時，經常面臨數學能力的考驗，需要使用數學工具來幫助學習專業科目，而專業科目教師在課程進度壓力下常無法協助學生解決專業科目中數學內容的疑惑。研究者為設法瞭解專業科目對於數學的需求，藉由透過與物理電子科教師的對話，設計編寫教材「交流電與正弦波」，將電學中需用到的三角函數與平均值、積分概念加以連結。研究者提供高職數學教師一個實際範例，期望教學者與學習者能重視專業科目與數學的連結，並使學生瞭解數學的用處進而能欣賞數學。其教學模組架構設有兩個教學主題：1.正弦函數的圖形與週期、2.平均值、有效值與積分。前者經由活動理解正弦函數平移、伸縮、週期改變等圖形變化，並連結正弦函數圖形與交流電的波形，以瞭解電壓、電流瞬間值等相關基礎概念。後者以網友提問「為何臺灣家用交流電壓為 110 伏特與實際測量不同？」以及「110 伏特之值意義為何？」引發學習動機，藉由軟體工具 Geogebra 計算面積近似值，幫助學生理解定積分的概念，進而計算正弦波形的半週期定積分值為 2 倍峰值(最大值)，與探討平均值如何計算之問題。教學模組試教過程，透過觀課進行教學檢核與學習歷程性評量，以檢視教學流程與學生學習成效，並關注學生學習之動機與學習投入情形。教材設計著重 1.設計問題引發學生思考 2.藉由讓學生實際手繪圖形或操作電腦繪圖，維持其學習動機 3.適度結合生活應用實例，使學生體會數學的用處，激發學習動機 4.教材設計跨領域結合數學與基本電學、電子學 5.教材設計從矩形面積問題計算平均值延伸至正弦波面積問題計算平均值，由具體可操作漸延伸至抽象積分概念 6.提供練習題，讓學生課後能再複習統整與歸納。此教學模組設計是首次將數學與電學 30.