第貳章 文獻探討
第二節 數學與專業科目之關聯
二、 專業科目中使用數學的幾個範例
(一) 以機械科專業科目－機械力學為例
範例 1.已知兩力𝐴⃑和𝐵⃑⃑交於一點，夾角為𝜃，兩力之大小分別為 A 和 B，設其合力 為𝑅⃑⃑，試求合力𝑅⃑⃑之大小為何？
應用的數學：三角函數餘弦定理 解法：
𝑅2 = 𝑎2+ 𝑏2− 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(180° − 𝜃)
𝑅2 = 𝑎2+ 𝑏2− 2𝑎𝑏(−𝑐𝑜𝑠𝜃) 圖 2-2-1 應用範例 R = √𝑎2+ 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃
範例 2.如下圖所示，長度 6m 的繩子，將繩子兩端分別固定於天花板上的兩個掛 勾 A 和 B，且 A 和 B 掛勾的距離為 3m，在繩子的中點掛上 120N 的重物，則繩 子所受的張力為多少牛頓？
應用的數學：三角函數正弦定理
解法：由題意可知繩子所成夾角為 60 度，
與重物的左右夾角各 150 度，
根據拉密定理與正弦定理可知
圖 2-2-2 應用範例 A B
120N
60 。 150。 150。
A R
B
ɵ
120
應用的數學：三角函數的圖形與週期
解法：頻率為週期運動中每秒出現的次數(即週期)，單位為赫茲(Hz)，頻率與週 期互為倒數。𝑣(𝑡) = 100 sin (10𝜋𝑡 +𝜋
3)的週期為2π ÷ 10π = 0.2，故頻率為 5 赫 茲(Hz)。且當 10𝜋𝑡 +𝜋
3 = 𝜋
2 時發生最大值，故 t = 1
60秒。
(三) 以土木建築群專業科目－測量應用為例 範例 1.橢圓雙焦點求法－放樣
應用的數學：二次曲線橢圓的定義與性質，短軸頂點至焦點的距離與長軸頂點至 中心點的距離相等。
求法：以短軸的頂點 B 為圓心，長軸的一半長度𝐴𝑂̅̅̅̅為半徑畫弧，與長軸𝐴𝐴′̅̅̅̅̅交於 兩點，即為焦點𝐹和𝐹′。
圖 2-2-3 應用範例
範例 2.拋物線焦點與準線求法－放樣 應用的數學：二次曲線拋物線的定義與性質
求法：(1)作通過頂點 V 與對稱軸垂直之直線 L。(如右下圖所示) (2)取拋物線上任意點 P，作過 P 點平行對稱軸之直線𝐿1。
(3)𝐿1與 L 交於 A 點，取 A 和 V 之中點 B，作過點 B 和 P 之直線𝐿2。 (4)作通過 B 點與𝐿2垂直之直線𝐿3。
(5) 𝐿3與𝐿1的交點為準線的位置，𝐿3與對稱軸的交點即為焦點。
A F
B’
F’ A’
P B
L
A P B L2
L3
圖 2-2-4 應用範例
三、 相關之文獻研究
(一) 光華高工機械、製圖科機械力學行動研究法（光華高工機械科教學研究會，
2009）
機械力學教師於教學時發現機械、製圖科學生在力學基礎－「力的合成及分 解」單元中學習成效低落，觀察學生學習過程由於三角函數換算基礎薄弱所造成，
故一方面探究其原因，再應用理論方法、進行行動研究，設法改善與加強學生三 角函數計算能力，探討以行動研究法改進機械力學教學對於教師與學生所產生的 影響。此行動研究法分為三個步驟：1.三角函數前測，並分析學生三角函數程度 2.進行三角函數課程教學 3.三角函數後測，並分析比較教學前後進度程度。研究 對象為光華高工機械科、製圖科二年級所有 183 名學生。
研究結果顯示，在教學前、後測中，基本三角函數、三角函數邊長比計算、
三角函數應用等部分，學生皆有明顯進度；餘弦定律、正弦定律等部分，學生的 答對率提高。對於有心學習的學生效果較為顯著，因能瞭解三角函數計算關係到 往後的學習，較能用心背誦公式與提升計算能力。對於無心學習的學生，則結果 顯示答錯率仍偏高。研究者認為，在機械力學教學過程中，學生對於三角函數換 算基礎薄弱，導致機械力學學習成效低落，但礙於教學進度安排無法進行三角函 數的複習，使得學生因學習成就低落最後選擇放棄。
此行動研究方案使研究者深刻體認到學生必須先將基礎打好，建構自己的知 識體系，如此獲得的知識才能長久。並研究者建議，三角函數教學過程中應明確 讓學生瞭解𝜃角與三角函數之對應關係(對邊、臨邊、斜邊是相對於𝜃角度而言)，
使學生在計算力學時能加以應用，否則當角度位置轉換後便無法求出正確答案。
(二) 交流電與正弦波（馬雅筠、陳吳煜，2014）
強調理論與實務並重的工科學生在學習專業科目時，經常面臨數學能力的考 驗，需要使用數學工具來幫助學習專業科目，而專業科目教師在課程進度壓力下 常無法協助學生解決專業科目中數學內容的疑惑。研究者為設法瞭解專業科目對 於數學的需求，藉由透過與物理電子科教師的對話，設計編寫教材「交流電與正 弦波」，將電學中需用到的三角函數與平均值、積分概念加以連結。研究者提供 高職數學教師一個實際範例，期望教學者與學習者能重視專業科目與數學的連結，
並使學生瞭解數學的用處進而能欣賞數學。
其教學模組架構設有兩個教學主題：1.正弦函數的圖形與週期、2.平均值、
有效值與積分。前者經由活動理解正弦函數平移、伸縮、週期改變等圖形變化，
並連結正弦函數圖形與交流電的波形，以瞭解電壓、電流瞬間值等相關基礎概念。
後者以網友提問「為何臺灣家用交流電壓為 110 伏特與實際測量不同？」以及
「110 伏特之值意義為何？」引發學習動機，藉由軟體工具 Geogebra 計算面積 近似值，幫助學生理解定積分的概念，進而計算正弦波形的半週期定積分值為 2 倍峰值(最大值)，與探討平均值如何計算之問題。
教學模組試教過程，透過觀課進行教學檢核與學習歷程性評量，以檢視教學 流程與學生學習成效，並關注學生學習之動機與學習投入情形。教材設計著重 1.設計問題引發學生思考 2.藉由讓學生實際手繪圖形或操作電腦繪圖，維持其學 習動機 3.適度結合生活應用實例，使學生體會數學的用處，激發學習動機 4.教材 設計跨領域結合數學與基本電學、電子學 5.教材設計從矩形面積問題計算平均值 延伸至正弦波面積問題計算平均值，由具體可操作漸延伸至抽象積分概念 6.提供 練習題，讓學生課後能再複習統整與歸納。此教學模組設計是首次將數學與電學
教材結合(目前尚無其他相關教材將數學與專業科目內容結合)，提升了數學的實 用價值，研究者提出幾項尚待探討與解決的困難及問題：1.教材實施時間，應在 學習三角函數課程時，或是學習基本電學課程時較為適當？2.部分課程涉及基本 電學，應由數學教師、或是專業教師來實施教學？3.協同教學可行性如何？4.數 學課使用電腦教室的可行性如何？
(三) 工科專業領域中的數學–跨領域教材整合初探（洪醒漢，2015）
目前我國職業學校依其特性共分為十五類群科，現行數學課程綱要雖針對群 科屬性分為 A、B、C 及 S 四類，但仍無針對各群科量身訂做的數學課程或教材。
故研究者所任教的學校開始嘗試為學生人數占多數的電機電子群設計「交流電中 的數學」課程 ，使學生在課程中察覺數學與基本電學之間的連結。課程包含前 半段「正弦函數的圖形與週期」與後半段「交流電的平均值、有效值與積分」，
並因學生尚未學習積分單元，故先帶領學生藉由 Geogebra 理解何謂積分。
教材研發並編寫附錄提供教師與學生參考，分為三部分。1、Geogebra 的簡 介。2、探討正弦函數的圖形與週期，期望學生能在修習交流電單元之前能更深 入理解其意義。3、介紹積分的意義，利用 Geogebra 計算定積分的近似值。但盡 量不涉及微積分的定理介紹或運算性質，以免給予學生不必要的負擔。面對 12 年國教的挑戰，高職的數學課程面臨到課程規劃與專業科目教學並未搭配，數學 課程內容不足以應付專業科目所需之能力，與高職學生學習差異呈現 M 型分布，
差異化教學的進行也是學校要掌握的課題。