98學測數學

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九十八學年度學科能力測驗試題

數學考科

作答注意事項

考試時間：

100 分鐘

題型題數：

單選題 6 題，多選題 5 題，選填題第 A 至 I 題共 9 題

作答方式：‧

用 2B 鉛筆在「答案卡」上劃記，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液

　　　　　‧

答錯不倒扣

作答說明：

在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。

（一）填答選擇題時，只用 1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到

，，以及

6，7，8，9，0 等格子。

例：若第 1 題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

解 答 欄

例：若多選題第 10 題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列的

與 劃記，如：

（二）選填題的題號是 A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 B 題的答案格式是

，而依題意計算出來的答案是

8 3

，則考生

必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 劃記，如：

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

7 50 

時，則考生必須分別在答 案卡

的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的參考數值、對數值與常用對數表

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   1

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   3 18 3

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

21

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   3 7  8 20 21 50 19

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔 5 5 分 ）

一 、 單 選 題 （ 佔 3 0 分 ）

說明：第 1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題

答對得 5 分，答錯不倒扣。

1.

數列a12, , ak 2 , ,k  a1020共有十項，且其和為 240，則a1ak a10之值為 (1) 31 (2) 120 (3) 130 (4) 185 (5) 218

2.

令 _acos(2_{)，試問下列哪一個選項是對的？}

(1)

a 1

(2)

1 1 2 a    

(3)

1 0 2 a   

(4)

0 1 2 a  

(5)

1 1 2 a

3.

已知 f(x),g(x)是兩個實係數多項式，且知 ( )f x 除以 ( )g x 的餘式為_x4 _1_{。試問下列哪一個} 選項不可能是 ( )f x 與 ( )g x 的公因式？

(1)

5

(2)

x1

(3)

_x2 _1

(4)

_x3 _1

(5)

_x4 _1

4.

甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 3、4、5 個班級。從這 12 個班級中隨機選取一班參加國文抽 考，再從未被抽中的 11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩個班級在同一 所學校的機率最接近以下哪個選項？ (1) 21% (2) 23% (3) 25% (4) 27% (5) 29%

5.

假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、

乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為45 ，則丙、丁兩鎮間 的距離約為 (1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里

6.

試問坐標平面上共有幾條直線，會使得點 (0 0)O , 到此直線之距離為 1，且點 (3 0)A , 到此直線之 距離為 2？ (1) 1 條 (2) 2 條 (3) 3 條 (4) 4 條 (5) 無窮多條

二 、 多 選 題 （ 佔 2 5 分 ）

說明：第 7 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，

選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對

者得 5 分，只錯一個選項者可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。

7.

試問下列哪些選項中的數是有理數？

(1)

3.1416

(2)

3

(3)

log10 5 log 10 2

(4)

sin15 cos15 cos15 sin15 _   

(5)

方程式_x3_2x2_{   的唯一實根x 1 0}

8.

坐標平面上四條直線L L L L 與1, , ,2 3 4 x軸、y軸及直線y x 的相關位置如圖所示，其 中L 與1 L3垂直，而L 與3 L 平行。設4 L L L L 的方程式分別為1, , ,2 3 4 ym1x, y  m2x,

y m x 3 以及ym4xc。試問下列哪些選項是正確的？

(1)

m3 m2 m1

(2)

m m1 4  1

(3)

m1< 1

(4)

m m2 3  1

(5)

c0

9.

某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為 「知名度」)。結果如下：在 95% 信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]

、

[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？

(1)

甲地本次的參訪者中， 54% 的人聽過該產品

(2)

此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(3)

此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於 95%

(4)

若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有 95% 的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]

(5)

經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在 95% 信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即 0.04)

10.

設a,b,c為實數，下列有關線性方程組 2 1 3 4 1 2 10 7 x y az x y bz x y z c            _{  }  的敘述哪些是正確的？

(1)

若此線性方程組有解，則必定恰有一組解

(2)

若此線性方程組有解，則11a3b7

(3)

若此線性方程組有解，則c14

(4)

若此線性方程組無解，則11a3b7

(5)

若此線性方程組無解，則c14

11.

如圖所示，正立方體ABCD EFGH 的稜長等於 2 (即- AB )， K 為正方形 ABCD 的中心，2

M 、 N 分別為線段 BF 、 EF 的中點。試問下列哪些選項是正確的？

y

L₁ L₃ L₂ L₄

x

y=x

(1)

Com b i n 1 2  Com b i n 1 2  Com b i n 1 2  Com b i n

(2)

(內積) Com b i n Com b i n1

(3)

KM 3

(4)

ΔKMN 為一直角三角形

(5)

ΔKMN 之面積為 10 2

第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 佔 4 5 分 ）

說明：1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–33)。

2.每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.

從 1 到 100 的正整數中刪去所有的質數、2 的倍數及 3 的倍數之後，剩下最大的數為 。

B.

坐標平面上有四點 (0,0)O , ( 3, 5)A   , (6,0)B , ( , )C x y 。今有一質點在 O 點沿Com b i n方向前進 AO 距離 後停在P ，再沿Com b i n方向前進 2BP 距離後停在 Q 。假設此質點繼續沿 Com b i n方向前進3CQ 距離後回到 原點 O ，則 ( , )x y =（ , ）。

C.

抽獎遊戲中，參加者自箱中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者可得消費劵， 其金額分別為(抽得藍色球者)2000 元、(抽得紅色球者)1000 元。箱中已置有 2 顆藍色球及 5 顆紅 色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單位希望參加者所得消費劵金額的期望值為 300 元，則主辦單位應於箱內再置入 顆其他顏色的球。

D. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的

x

截距相差

20

，

y

截距相差

15

。則這兩條平行直線

的距離為 。

12 13 18 19 20 21 14 15 16 17 A D K B M F G E N C H

E.

假設Γ 為1

坐標平面上

一開口向上的拋物線，其對稱軸為 3 4 x 且焦距（焦點到頂點的距離） 為1 8。若Γ 與另一拋物線1 2 2 Γ: y x 恰交於一點，則Γ 的頂點之 y 坐標為 。(化成最簡分1 數)

F.

某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的 % 75 。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若 要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少 . % 的二氧化碳的排放量。(計算到小 數點後第一位，以下四捨五入。)

G.

坐標空間中xy平面上有一正方形，其頂點為 (0,0,0)O , (8,0,0)A , (8,8,0)B , (0,8,0)C 。另一點P 在 xy_{平面的上方，且與 O, A, B, C 四點的距離皆等於 6。若 x by cz d}  _{ 為通過 A , B , P 三點的平} 面，則 ( , , )b c d _{ ( , , )。}

H.

有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F 、1 F ，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。設2

P

為此 橢圓與雙曲線的一個交點，且PF PF₁ ₂64，則F F = 。_{1 2} 29 30 23 22 27 28 26 24 25

I.

在 ABC 中，AB10, AC , 9 cos 3 8 BAC   。設點 P、Q 分別在邊 AB 、AC 上使得 APQ 之面 積為 ABC 面積之一半，則PQ 之最小可能值為 。(化成最簡分數)

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1. 一元二次方程式 _ax2_{bx c  的公式解：0} a ac b b x 2 4 2_    2. 平面上兩點P₁



x

₁

, y

₁



，P₂



x y2, 2



間的距離為P P_{1 2}  (x₂x₁)2 (y₂y₁)2 31 32 33

3. 通過



x

₁

, y

₁



與



x y₂, ₂



的直線斜率 2 1 2 1 y y m x x    , x2  .x1 4. 首項為a , 公差為 d 的等差數列前 n 項之和為₁ ( 1 ) (2 1 ( 1) ) 2 2 n n a a n a n d S     

5. 三角函數的和角公式： sin(A B ) sin cos A Bsin cosB A

cos(A B ) cos cos A Bsin sinA B

6. ABC 的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c R A B  C  ABC 的餘弦定理： _c2_a2_b2_2abcosC 7. 95%信心水準下之信賴區間：[p 2 p(1 p ), p 2 p(1 p )] n n     8. 參考數值： 2 1 414 ; 3 1 732 ; 5 2 236 ; .  .  . 6 2 449 ; .  3 142.

9. 對數值： log 2 0 3010, log 3 0 4771, log 5 0 6990, log 7 0 845110  . 10  . 10  . 10  . 常用對數表 log N10 …

.

74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5 75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5 76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5 …

.

93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4 94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4 95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4 96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4 註 1. 表中所給的對數值為小數點後的值。 　 2. 表中最左欄的數字表示 N 的個位數及小數點後第一位，最上一列的數字表示 N 的小數點後第 二位。