第一篇 复变函数
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负 数开平方的情况．在很长时间里，人们对这类数不能理解．但随着数学的发展， 这类数的重要性就日益显现出来．复数的一般形式是： a+ b i ，其中 i 是虚数单位． 以复数作为自变量的函数叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数 论．解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要研究复数 域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论．复变函数论的发展简况
复变函数论产生于 18 世纪（1774 年） ．欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变 函数的积分导出的两个方程．而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流 体力学的论文中，就已经得到了它们．因此，后来人们提到这两个方程，把它们 叫做“达朗贝尔—欧拉方程” ．到了 19 世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流 体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西—黎曼条件” ． 复变函数论的全面发展是在 19 世纪， 就像微积分的直接扩展统治了 18 世纪 的数学那样，复变函数这个新的分支统治了 19 世纪的数学．当时的数学家公认 复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它 是抽象科学中最和谐的理论之一． 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯 也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱． 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家 维尔斯特拉斯．20 世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓 了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献． 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决 的．比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一 个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的． 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼 的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出 了贡献． 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支 也都应用了它的理论．它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，2 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 对它们的发展很有影响．
复变函数论的内容
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数 理论、广义解析函数等方面的内容． 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这 个函数就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数． 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具．由许 多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面．利用这种曲面，可以使多值 函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明．对于某一个多值函 数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数． 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的 函数的解析性质和几何联系起来．近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分 支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质． 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论， 复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明．导数处处不是零的解 析函数所实现的映像就都是共形映像，共形映像也叫做保角变换．共形映像在流 体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用． 留数理论是复变函数论中一个重要的理论．留数也叫做残数，它的定义比较 复杂．应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便．计算实变函 数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被 积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候， 计算更加简洁． 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要， 这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数．广义解析函数所代表的几何图形的 变化叫做拟保角变换．解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于 广义解析函数． 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且像薄 壳理论这样的固体力学部门也在应用．因此，近年来这方面的理论发展十分迅速． 从柯西算起，复变函数论已有近 200 年的历史了．它以其完美的理论与精湛 的技巧成为数学的一个重要组成部分．它曾经推动过一些学科的发展，并且常常 作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业 的必修课程．现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向 前发展，并将取得更多应用．第 1 章 复 数 与 复 变 函 数
第 1 章 复数与复变函数
本章学习目标
l 熟练掌握复数的各种表示方法、模、辐角及其运算 l 明确平面点集、区域等的有关概念 l 理解复变函数的概念 l 掌握复变函数的极限和连续的概念 高等数学和复变函数研究的对象都是变量，所不同的是高等数学中的变量来 自于实数集合，而复变函数中的变量来自于复数集合．本章先介绍复数的概念、 运算、表示法以及复数的模与辐角公式等，最后介绍复变函数的概念、复变函数 的极限与连续性．1.1 复数
1.1.1 复数的概念设 x，y 为两个任意实数，称形如 x+iy 的数为复数，记为 z= + x i y ，其中 i 满 足 2 i = - 1 ，称为虚数单位．实数 x 和 y 分别称为复数 z 的实部和虚部，记为 Re x= z ， y= Im z ． 当 x=0， y ¹ 0 时，复数 z= 称为纯虚数；当 i y y = 0 时，复数 z= 为一个实数 x （实数可看作是复数的特殊情形）；例如，复数 z = + × 3 i 0 就是实数 3．当 x=y = 0 时，复数 z = 0 ，它既可看作实数也可看作纯虚数．全体复数构成的集合称为复数 集，记作 C ，即 { i , } C= z=x+ y x yÎ R ． 设 z1=x1+ i y 1 ， z2=x2+ i y 2 是C 中任意两个复数， 当且仅当 x1=x2， y1= y 2 时， 称 z 与 1 z 相等，记作 2 z1= z 2 ，即 z1= z 2 Û x1=x2， y1= y 2 ．
称复数 x+ 与 i y x- 互为共轭复数，复数 z 的共轭复数记作i y z ，若 z= + x i y ， 则 z = - ． x i y
4 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 1.1.2 复数的代数运算 设复数 z1=x1+ i y 1 ， z2 =x2+ i y 2 ，定义 z 与 1 z 的四则运算如下： 2 加法： z1+z2=(x1+x2) i(+ y1+ y 2 ) ； 减法： z1-z2=(x1-x2) i(+ y1- y 2 ) ； 乘法： z z1 2 =(x x1 2-y y1 2) i(+ x y1 2+ x y 2 1 ) ； 注意：复数 z 与 1 z 相乘，按多项式乘法法则，并利用 2 2 i = - 1 ． 除法： 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i z x y x x y y x y x y z x y x y x y + + - = = + + + + （ z ¹ ） 2 0 ． 注意：复数 z 与 1 z 相除时，先将它写成分数 2 1 2 z z 的形式，然后分子、分母分别 乘以分母 z 的共轭复数 2 z ，再进行化简即得上述结果． 2 复数四则运算规律： （1）加法交换律 z1+z2=z2+ ； z 1 （2）乘法交换律 z z1× 2 =z2× ； z 1 （3）加法结合律 z1+(z2+z3)=(z1+z2) + ； z 3 （4）乘法结合律 z z1( 2×z3)=(z z z 1× 2) 3 ； （5）乘法对于加法的分配律 z z1( 2+z3) =z z1 2+ z z 1 3 ． 复数运算的其他结果： （1） z+0=z， 0× = z 0 ； （2） z 1 z z 1 1 z × = ， × = ； （3）若 z z = ，则 1 2 0 z 与 1 z 至少有一个为零，反之亦然． 2 共轭复数的运算性质： （1）z= z ； （2） z1±z2=z1± z 2 ； （3） z z1 2= z z 1 2 ； （4） 1 1 2 2 z z z z æ ö = ç ÷ è ø （ z ¹ ） 2 0 ； （5） 2 2 [Re ] [Im ] zz = z + z ； （6）Re Im 2 2 i z z z z z= + ， z = - ； （7）z=z Û z 为实数． 复数 实数 虚数 有理数 无理数 纯虚数 非纯虚数
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 例 1 化简 2 (2 3i) 2 i + + ． 解 2 (2 3i) 2 i + = + 4 9 12i 2 i - + = + ( 5 12i)(2 i) (2 i)(2 i) - + - + - 10 12 29i 4 1 - + + = + 2 29i 5 + = ． 例 2 设 1 2i 2 i 3 4i 5i z = - - çæ + ö ÷ - è - ø ，求Re Im z， z 及zz ．
解 1 2i 2 i (1 2i)(3 4i) 2 i 3 4i 5i (3 4i)(3 4i) 5i z = - - + = - + - -
- - - +
11 2i (2 i)( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i( 5i) 25 25 - - - - + = - = + - 16 8 i 25 25 = + ， 所以 Re 16 Im 8 25 25 z= ， z = ， 16 8 16 8 64 i i 25 25 25 25 125 zz =æç + ö æ÷ ç - ö ÷ = è ø è ø ． 1.1.3 复数的各种表示、模与辐角 1．复数的几何表示 由复数 z= + x i y 的定义可知，复数是由一对有序实数 ( , ) x y 唯一确定的，于是 可建立全体复数和 xOy 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为
x ，纵坐标为 y 的点 ( , ) P x y 表示复数 z= + x i y （如图 1.1 所示），这是一种几何表 示法，通常称为点表示，并将点 z 与数 z 看作同义词．
图 1.1 图 1.2
因实数与 x 轴上的点一一对应，故称 x 轴为实轴；纯虚数与 y 轴上的点一一对
应，故称 y 轴为虚轴．这样表示复数 z 的平面称为复平面或 z 平面．
6 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 2．复数的向量表示
复数 z= + x i y 还可以用起点为原点，终点为 ( , ) P x y 的向量 OP uuur 来表示（如图 1.1 所示）， x 与 y 分别是 OP uuur 在 x 轴与 y 轴上的投影．这样，复数与平面上的向量 之间也建立了一一对应关系．
3．复数的模与辐角
（1） 复数的模： 图 1.1 中的向量 OP uuur 的长度称为复数 z= + x i y 的模， 记作 z 或 r ，即 2 2 z =r= x + y ． 关于复数 z 的模 z 有： 1） 2 2 z = x + y ； 2） z = z ，zz = z 2 ； 3） z ≤ x + y ， x ≤ z ， y ≤ z ； 4） z z = 1 2 z 1 z 2 ； 5） z1+ z 2 ≤ z 1 + z 2 ； 6） z1-z2 ≥ z1 - z 2 ． 其中 z1- z 2 又表示点 z 与 1 z 之间的距离． 2 （2）复数的辐角：设复数 z ¹ 0 对应的向量为 OP uuur （如图 1.1 所示），OP uuur 与实 轴正方向所夹的角q ，称为复数 z 的辐角，记作Arg z ，即 Arg z q = ， 并规定q 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负． 显然，一个复数的辐角有无穷多个，任两个辐角彼此之间相差2π的整数倍， 其中满足条件 - < π q 0 ≤ π 的辐角 q ，称为复数 z 的辐角主值，记为0 arg z ，即 0 q =arg z ，于是有 π arg z π - < ≤ ， Argz=argz+ 2 π k （ k =0, 1, 2, ± ± L ） ． 当 z = 0 时，规定 z 的模为 0，辐角无定义． 4．复数的三角表示式 利用复数 z= + x i y 的实部、虚部、模与辐角的下列关系式： r = z = x2+ y 2 ， cos x= r q， y= r sin q ， 还可将复数表示为以下的形式 (cos i sin ) z=r q+ q ， 称为复数 z 的三角表示式（ x+ 可称为复数 z 的代数表示式）i y ． 5．复数的指数表示式 由欧拉（Euler）公式 i eq =cosq+ i sin q ， 复数 z 又可表示为 z re iq = ，
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 称为复数 z 的指数表示式． 复数的各种表示可以互相转换，例如，将复数 z= + x i y 化为三角表示式或指 数表示式，只需计算 r 和q ，即 z 和Arg z ，由 r= z = x2+ y 2 ，易求出 r 的值． 再由 x=rcosq， y= r sin q ，知
tanArgz tan y x q = = ， 从而 Arg z =q =arg z +2 π k （ k =0, 1,± ± 2, L ） ． 在确定主值 arg z 时，必须考虑点 z 所在的象限： ( 0) arctan 0 0 arctan π 0 0 arg arctan π 0 0 π 0 0 2 π 0 0. 2 z y x y x y x y x y z x y x x y x y > < ¹ ì > = ï ï ï + < ï ï ï = í - < < ï ï = > ï ï ï - = < ï î ， 当 ， ； ， 当 ， ； ， 当 ， ； ， 当 ， ； ， 当 ， ≥ 其中 π arctan π 2 2 y x - < < ．
例 3 求 Arg(2 2i) - 和 Arg( 3 4i) - + ．
解 Arg(2 2i) arg(2 2i) 2 π - = - + k arctan 2 2 π 2 k - = + π 2 π 0, 1, 2, 4 k k = - + （ = ± ± L ） ，
Arg( 3 4i)- + =arg( 3 4i) 2 π - + + k arctan 4 2 π π 3 k = + + - 4 (2 1)π arctan 0, 1, 2, 3 k k = + - （ = ± ± L ） ． 例 4 求 z = - + 1 i 3 的三角表示式与指数表示式． 解 因为 x=Rez = - 1 ， y=Imz = 3 ， 所以 r= z = ( 1)- 2+( 3)2 = 2 ． 设 q = arg z，则 tan 3 3 1 q = = - - ， 又因为 z = - + 1 i 3 位于第Ⅱ象限，所以 arg 2π 3 z q = = ，
8 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 于是 z = - + 1 i 3 = 2(cos2π i sin2π ) 3 + 3 = 2π i 3 2e ． 例 5 求 z = 1 2i ， z = ， 2 3 z = - ， 3 1 z = - 的三角表示式与指数表示式． 4 2i 解 z , 1 z , 2 z , 3 z 都是复平面上的特殊点，位于虚轴或实轴上，因此辐角主值 4 可直接求出． 由于 z 位于虚轴上，并且在上半复平面，于是 1 1 1 π arg 2 z q = = ， 又 r = ，所以 1 2 z = 1 2 cosπ i sin π 2 2 æ ö + ç ÷ è ø =2 π i 2 e ． 2 z 位于实轴上，且在右半复平面，因此 q =2 argz 2 = ， 0 又 r = ，所以 2 3 i0
2 3(cos 0 i sin 0) 3e
z = + = ，
3
z 位于实轴上，且在左半复平面，因此 q3 =arg z3 = ， π 又 r = ，所以 3 1
iπ 3 1 (cos π i sin π) e
z = × + = ． 4 z 位于虚轴上，且在下半复平面，于是 4 4 π arg 2 z q = = - ，又 r = ， 4 2 所以 4 =2 cos π sin π 2 2 z éê çæ- ÷ö+i æç- ö ÷ ù ú è ø è ø ë û =2 π i 2 e - ． 例 6 求下列方程所表示的曲线． （1） z + = i 2 ； （2） z-2i = z + 2 ； （3） (1 i)+ z+(1 i)- z = - ． 1 解 （1）由几何可直观看出，方程 z + = i 2 表示中心在点 - i ，半径为 2 的圆 （如图 1.3 所示）．可用代数方法求出该圆在直角坐标系中的方程． 设 z= + x i y ，代入方程为 x+i(y +1) = 2 ，即 x2+(y +1)2 = 4 ． 图 1.3 （2）几何上，方程 z-2i = z + 2 表示到点2i 和 - 2 的距离相等的点的轨迹， 因此该方程表示的曲线是连接点2i 和 - 2 的线段的垂直平分线（如图 1.4 所示）．利 用代数法，设 z= + x i y ，有
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 i( 2) ( 2) i x+ y- = x+ + y ，于是 x2+(y-2)2 = (x+2) 2+ y 2 ，即 x+y = 0 ． （3）设 z= + x i y ，该方程为 (1 i)(+ x-i ) (1 i)(y + - x+i )y = - ，即 1 1 0 2 x+y + = （如图 1.5 所示）． 图 1.4 图 1.5 此例说明平面曲线可用含复数 z 的方程式来表示，反之亦然． 1.1.4 复数的幂与根 1．复数的乘幂 设 n 为正整数，n 个非零相同复数 z 的乘积，称为 z 的 n 次幂，记为 z ，即 n n n z = × ×z z1424L 3 × z ． 若 z=r (cosq+ i sin ) q ，则有 i e (cos i sin ) n n n n z =r q =r nq+ nq ． 当 r = 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre）公式
(cosq+i sin )q n =cosnq+ i sin nq．
例 7 求 4 (1 i) - ． 解 因为 1 i 2 cos π i sin π 4 4 é æ ö æ ö ù - = ê ç- ÷+ ç- ÷ ú è ø è ø ë û ， 所以 4 (1 i)- =4[cos( π)- +i sin( π)]- = - 4 ． 例 8 已知 z =1 3- i ， z = -2 3+ i ，求 8 1 4 2 z z ． 解 因为 z =1 3- = i 2 cos π i sin π
6 6 é æ ö æ ö ù - + - ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û ， 2 3 i z = - + = 2 cos 5π i sin 5π 6 6 é æ ö æ ö ù + ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û ， 个
10 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 所以 8 8 1 4 4 2 8π 8π 2 cos i sin 6 6 20π 20π 2 cos i sin 6 6 z z é æ ö æ ö ù - + - ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û = é æ ö æ ö ù + ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û 4 28π 28π 2 cos i sin 6 6 é æ ö æ ö ù = ê ç- ÷+ ç- ÷ ú è ø è ø ë û 8(1 3i) = - + ． 2．复数的方根 称满足方程 n w = （ z w¹ ， ≥ 0 n 2 ）的复数 w 为 z 的 n 次方根，记作 n w= z 或 记作 1 n w= z ． 当 z = 0 时， w = 0 ；当 z ¹ 0 时，令 (cos i sin ) z=r q+ q ， w r= (cosj+ i sin ) j ， 由棣莫弗公式，可得
(cos i sin ) (cos i sin )
n
n n r
r j+ j = q+ q ，
即有 rn =r， cosnj=cosq， sinnj= sin q， 也即 2 π 0, 1, 2, n r n k k r = ， j=q+ （ = ± ± L ） ， 从而 1 2 π 0, 1 , 2, n k r k n q r= ， j= + （ = ± ± L ） ． 故 n w= z = 1 2 π i e k n n r q + 1 2 π 2 π cos i sin n k k r n n q+ q+ æ ö = ç + ÷ è ø k =0, 1 , 2, ± ± L （ ） 为方程 n w = 的全部根，当z k 取0,1, 2,L ,n - 1 时得到方程 wn = 的 n 个单根，这 n z 个单根在几何上表示以原点为中心， 1 n r 为半径的圆内接正 n 边形的 n 个顶点，当 k 取其他整数值时，得到方程的根必与这 n 个单根中的某个根重合． 方程 n 1 w = （ n=2, 3,L ,z ¹ 0 ）在复数范围内有 n 个单根 2 π 2 π cos k i sin k 0,1, 2, , 1 w k n n n = + （ = L - ） ． 从几何上看，若设 2π i e n n w = ， 方程 n 1 w = 的 n 个单根可记为 2 3 1 1 n n n n n w w w L w - ， ， ， ， ， ． 它们是单位圆内接正 n 边形的 n 个顶点，以 n = 3 为例作图（如图 1.6 所示）， n =6
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 为例作图（如图 1.7 所示）． 图 1.6 图 1.7 例 9 解方程 6 1 0 z + = ． 解 因为 6 1 cos π i sin π z = - = + ， 所以 6 π 2 π π 2 π 1 cos i sin 0,1, 2, 3, 4, 5 6 6 k k k + + - = + （ = ） ． 可求出 6 个根，它们是 0 1 2 3 1 3 1 i i i 2 2 2 2 z = + ， z = ， z = - + ， 3 4 5 3 1 3 1 i i i 2 2 2 2 z = - - ， z = -， z = - ． 例 10 计算 - - ． 1 i 解 因为 - - 1 i = 2 cos 3π i sin 3 π 4 4 é æ ö æ ö ù - + - ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û ， 所以 - - = 1 i 4 3 3 π 2 π π 2 π 4 4 2 cos i sin 0,1 2 2 k k k é ù - + - + ê ú + = ê ú ê ú ë û （ ） ， 即 0 4 2 3π 3π 2 cos i sin 8 8 w = æç - ö ÷ è ø ， 1 4 2 5π 5π 2 cos i sin 8 8 w = æç + ö ÷ è ø ．
1.2 区域
1.2.1 复平面上的点集与区域 在复数集中加入一个非正常的复数称为无穷大，记作 ¥ ，其实部、虚部与辐 角都没有意义，但它的模规定为正无穷大，即 z = +¥．相应地，在复平面上添加 一点，称为无穷远点，它与原点的距离为 +¥ ．12 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面． 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面． 在高等数学课程中已经学习过平面点集的基本概念，下面将其推广到复平面 上． 邻域 平面上以 z 为圆心， 0 d > 0为半径的圆 z-z0 < d 内部所有点的集合称 为点 z 的 d0 邻域，记为 N z d ，即 ( , ) 0 0 0 ( , ) { } N z d = z z-z < d ， 称集合 {z 0< z-z0 < d} 为 z 的去心 d0 邻域，记作 N z d ． ( , ) ˆ 0 内点 设 D 为平面上的一个点集， z0 Î ，如果存在 D z 的一个 d0 邻域，使该 邻域内的所有点都属于 D，则称 z 为 D 的一个内点． 0 边界点 如果点 z 的任一邻域内既有属于 D 的点，也有不属于 D 的点，则称 0 0 z 为 D 的边界点． 外点 平面上既非 D 的内点又非 D 的边界点的点，称为 D 的外点． 图 1.8 中 z 、 0 z 、 1 z 分别表示为 D 的内点、边界点和外点． 2 图 1.8 边界 点集 D 的全部边界点所组成的集合，称为 D 的边界． 注意：D 的内点必属于 D；D 的外点必不属于 D；而 D 的边界点可能属于 D 也可能不属于 D． 开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内点，则称 D 为开集． 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为闭集． 连通集 设 D 是开集，如果对于 D 内任意两点，都可用折线连接起来，且该 折线上的点都属于 D，则称开集 D 是连通集． 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域． 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为闭区域，记为D ． 有界集、无界集 如果点集 D 可以包含在一个以原点为圆心，以有限值为半 径的圆内（即存在一个正数 M，使得对任意的zÎ D ，都有 z≤ M ），则称 D 为有
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 界集，否则称 D 为无界集． 有界、无界区域（闭区域） 区域（闭区域）有界时，称为有界区域（有界 闭区域），否则称为无界区域（无界闭区域）． 例如，圆盘： z- z0 ≤ r 为有界闭区域． 圆环 r1< z-z0 < r 2 为有界开区域． 上半平面 Imz > 0 是无界开区域，Imz ≥ 0 是无界闭区域． 角形域 0<arg z j< 是无界区域． 1.2.2 单连通域与多（复）连通域 1．简单曲线、简单闭曲线 设 ( ) x t 与 ( ) y t 是闭区间[ , ]a b 上的实连续函数，则由方程 ( ) x= x t ， y= y t ( ) （ a≤ ≤ t b ） 或由复数方程 ( ) ( ) ( ) z=z t =x t + iy t （ a≤ ≤ t b ） （参数方程） 所确定的点集 C 称为复平面（Z 平面）上的一条连续曲线，简称曲线． 若存在满足 a≤ ≤ t 1 b ， a≤ ≤ t 2 b 且 t1¹ 的 t 2 t 与 1 t ，使 2 z t( )1 = z t ( ) 2 ，则称 此曲线 C 有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 ( ) ( ) za = z b 外无其他重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如， z=cost+ i sin t 0 t 2π （ ≤ ≤ ） 是一条简单闭曲线（如图 1.9 所示）． 图 1.9 图 1.10 在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲 线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的， 例如，图 1.10 中的 C 是简单曲线， 1 C 是简单闭区域，图 1.11 中的 2 C , 3 C 不是简单 4 曲线，但 C 是闭曲线． 3 2．光滑曲线、分段光滑曲线 设曲线 C 的方程为 ( ) ( ) ( ) z t =x t + iy t （ a≤ ≤ t b ） ， 若 ( ) x t , ( ) y t 在[ , ]a b 上可导且 ( ) x t ¢ , ( ) y t ¢ 连续不全为零，则称曲线 C 为光滑曲线， 由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线．
14 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 例如， 摆线 ( )x t =a t( - sin ) t ， ( )y t =a(1 cos )- t （ a > 0 ） 的一拱为一条光滑曲线， 星形线 x t( )=acos3t， y t( )=asin3 t （ a > 0 ） 为分段光滑曲线． 3．单连通域、多连通域 设 D 是复平面上一区域，如果在 D 内任作一条简单闭曲线 C，其内部的所有 点都在 D 中，则称区域 D 为单连通区域；否则称 D 为多连通区域或复连通区域． 例如，左半平面 Rez < 0 ，水平带域 y1<Im z< y 2 （ y y1, 2 Î R ）；上半平面 0<arg z < 均为单连通区域； π 圆环域 r1< z-z0 < r 2 （ r r 为正实数） 1, 2 为多连通域． 在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而 多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 C 所围成的区域中挖掉几 个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图 1.12 所示）． 图 1.11 图 1.12
1.3 复变函数
1.3.1 复变函数的概念 定义 1 设 D 为给定的平面点集，若对于 D 中每一个复数 z= + x i y ，按照某 一确定的法则 f，总有确定的一个或几个复数 w=u+ i v 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的复变函数 （复变数 w 是复变数 z 的函数）， 简称复变函数， 记作 w= f z ( ) ． 其 中 z 称为自变量，w 称为因变量，点集 D 称为函数的定义域． 如果给定一个函数 w= f z ( ) ，但没有指明函数的定义域，此时约定该函数的 定义域为复变数 z 所能取的使 w= f z ( ) 有意义的值的集合． 当取 z0 Î 时， D 由 w= f z ( ) 确定的值 w0= f z ( ) 0 称为复变函数 w= f z ( ) 在 z 0 处的函数值． 若一个 z 值对应着唯一一个 w 值，则称 w= f z ( ) 为单值函数； 若一个 z 值对应 两个或两个以上 w 的值，则称 w= f z ( ) 为多值函数，如无特别说明，所讨论的函 数均指单值函数． 例如，函数 1 2 w= z 是定义在整个复平面上的多值函数． arg w= z 是定义在除原点外整个复平面上的单值函数．第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 1 w z = ，其中Imz > 0 ，是定义在上半平面的单值函数． 设 z= +x iy， w=u+ i v ，则 w= f z ( ) 可改写为 i ( i ) ( , ) i ( , ) w= +u v= f x+ y =u x y + v x y ， 其中 ( , )u x y， v x y ( , ) 为二元实函数，比较上式的实部与虚部，得到 ( , ) u= u x y ， v= v x y ( , ) ， 所以，一个复变函数 w= f z ( ) 就对应着一对二元实变函数 u= u x y ( , ) 与 v= v x y ( , ) ， 因而 w= f z ( ) 的性质就取决于 u= u x y ( , ) 和 v= v x y ( , ) 的性质． 例 11 将定义在全平面上的复变函数 2 1 w=z + 化为一对二元实变函数． 解 设 z= + x i y ， w=u+ i v ，代入 w=z 2 + ，得 1 i w=u+ v = (x+i )y 2 + 1 = x2-y2 + + 1 2i xy ， 比较实部与虚部得 2 2 1 u=x -y + ， v= 2 xy ． 例 12 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 2 2 2x u x y = + ， 2 2 y v x y = + （ 2 2 0 x +y ¹ ） 化为一个复变函数．
解 设 z= + x i y ， w=u+ i v ，则 w u i v 22x i y 2 x y + = + = + ， 将 1 ( ) 2 x= z+ z ， 1 ( ) 2i y= z- z 以及 x2+y2 = zz 代入上式， 整理后，得 3 1 0 2 2 w z z z = + （ ¹ ）． 1.3.2 映射的概念 在高等数学中，常将函数用几何图形表示，为研究函数的性质提供了许多直 观的帮助．若将复变函数也用图形来表示，就需要通过两个复平面上的点集之间 的对应关系来给出（因为自变量 z 和函数 w 都是复数）． 如果复数 z 和 w 分别用Z 平面和W 平面上的点表示，则函数 w= f z ( ) 在几何 上， 可以看成是将Z 平面上的定义域D 变到W 平面上的函数值域G的一个变换或 映射，它将D 内的一点 z 变为G内的一点 w， w= f z ( ) （如图 1.13 所示）． 例如，函数 2 w= z 将Z 平面上的扇形区域 π 0 4 q < < ， 0<r < 2 映射成W 平面上的扇形区域（如图 1.14 所示）
16 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） π 0 2 j < < ， 0<r< 4． 图 1.13 图 1.14 若将 Z 平面与W 平面重叠起来，则映射 w=z + 1 ，可看成是将Z 平面上每一 点都向右移了一个单位； 映射 w= i z 是将Z 平面上作为向量的每一个点按逆时针旋 转了 π 2 角度；映射w= z 是将复平面上每一点映射到它关于实轴的对称位置． 1.3.3 反函数与复合函数 1．反函数 定义 2 设 w= f z ( ) 定义在Z 平面的点集D 上， 函数值集合G在 W 平面上． 若 对任意zÎ D ，在 G 内有确定的 w 与之对应．反过来，若对任意一点 w G Î ，通过 法则 ( ) f z = ，总有确定的w zÎ D 与之对应，按照函数的定义，在G中确定了 z 为 w 的函数， 记作 1 ( ) z= f- w ， 称为函数 w= f z ( ) 的反函数， 也称为映射 w= f z ( ) 的 逆映射． 例如， w az b cz d + = + 的反函数为 dw b z cw a - = - - ，其中 a b c d , , , 为复常数． 2．复合函数 定义 3 设函数 w= f h ( ) 的定义域为 D ，函数 1 h= j ( ) z 的定义域为 D ，值域 2 1 GÌ D ．若对任一 zÎ D 2 ，通过 h= j ( ) z 有确定的 hÎGÌ D 1 与之对应，从而通过
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 ( ) w= f h 有确定的 w 值与 z 对应， 按照函数的定义， 在 D2 中确定了 w 是 z 的函数， 记作 w= f[ ( )] j z ，称其为 w= f h ( ) 与 h= j ( ) z 的复合函数． 例如，函数 1 1 1 0 w h h = （ ¹ ） ， h1=h2+b， h2 = a z ，（ a b 均为复常数）的复 , 合函数为 w 1 z a b = + ．
1.4 复变函数的极限与连续性
1.4.1 复变函数的极限 定义 4 设函数 ( ) f z 在 z 的某去心邻域内有定义， 0 若对任意给定的正数 e（无 论它多么小），总存在正数 ( ) d e ，使得适合不等式 0< z-z0 < d e( ) 的所有 z ，对应 的函数值 ( ) f z 都满足不等式 f z( ) -A e< ，则称复常数A为函数 ( ) f z 当 z® z 0 时 的极限，记作 0 lim ( ) z® z f z = A 或 f z( ) ®A z® z 0 （ ） ． 注意：定义中 z 趋近于 z 的方式是任意的． 0 极限定义的几何意义可解释为：无论点A的 e 邻域取得多么小，总可以找到 0 z 的一个去心 d 邻域，当变量 z 落在 z 的去心 d0 邻域内（左图圆盘），函数 ( ) f z 的值便落入A的 e 邻域内（右图圆盘）（如图 1.15 所示）． 图 1.15 定理 1 设 f z( )=u x y( , )+ i ( , ) v x y ， z0=x0+ i y 0 ， 则 0 0 0 lim ( ) i z® z f z =A=u + v 的充分必要条件为 0 0 0 lim ( , ) x x y y u x y u ® ® = 且 0 0 0 lim ( , ) y y x x v x y v ® ® = ． 此定理告诉我们，复变函数极限的存在性等价于其实部、虚部两个二元函数 极限的存在性，这样就把复变函数的极限转化为求该函数的实部与虚部的极限， 也就是求两个二元实数的极限．因此，实变函数中的那些关于极限的运算性质， 对于复变函数依然成立．譬如，复变函数的极限四则运算法则，可叙述为：18 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 设 0 lim ( ) z® z f z = ， A 0 lim ( ) z® z g z = ，则 B （1） 0 0 0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
z®z f z ±g z =z®z f z ±z® z g z = A B ± ．
（2）
0 0 0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
z®z f z ×g z =z®z f z ×z® z g z = AB ． （3） 0 0 0 lim ( ) ( ) lim 0 ( ) lim ( ) z z z z z z f z f z A B g z g z B ® ® ® = = （ ¹ ） ． 例 13 试求下列函数的极限． （1） 1 lim z i z z ® + ； （2） 1 1 lim 1 z zz z z z ® - + - - ． 解（1）法 1 设 z= + ，则 x i y z=x- ，且 i y z z = i i x y x y - + = 2 2 2 2 2 2 2 i x y xy x y x y - - + + + ， 得 1 i lim z z z ® + = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2
lim i lim i
y y x x x y xy x y x y ® ® ® ® - - + = - + + ． 法 2 1 i lim z z z ® + = 1 i 1 i lim 1 i i lim 1 i z z z z ® + ® + - = = - + （2） 设 z= + ，则 x i y z=x- ， i y 得 1 1 lim 1 z zz z z z ® - + - - = 1 ( 1)( 1) lim 1 z z z z ® - + - = lim(z ® 1 z +1)= ． 2 例 14 证明函数 f z ( ) z z = 在 z ® 0 时极限不存在． 证 设 z= + ， x i y f z ( ) z z = 2 2 2 2 2 2 2 i x y xy x y x y - - = + + + ， 而 2 2 2 2 ( , ) x y u x y x y - = + ， 2 2 2 ( , ) xy v x y x y - = + ．
考虑二元实函数 ( , ) u x y ，当 ( , ) x y 沿着 y= kx （k 为任意实数）趋向于 0，即
2 2 ( , ) (0,0) 0 ( ) 1 lim ( , ) lim ( , ) 1 x y x y kx k u x y u x y k ® ® = - = = + ． 显然，极限值随k 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义可知， ( , ) u x y 在 ( , ) x y 趋向于 0 时的极限不存在，即得结论． 1.4.2 复变函数的连续 定义 5 设 ( ) f z 在点 z 的某邻域内有定义，若 0 0 0 lim ( ) ( ) z® z f z = f z ，则称函数 ( ) f z 在点 z 处连续．0
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 若 ( ) f z 在区域D 内每一个点都连续，则称函数 ( ) f z 在区域D 内连续． 由定理 1 及定义 5 得如下定理． 定理 2 函数 f z( )=u x y( , )+ i ( , ) v x y ，在 z0=x0+ i y 0 处连续的充要条件是 ( , )
u x y 和 v x y ( , ) 都在点 ( ,x y 处连续． 0 0 )
由此又有以下定理． 定理 3 在 z 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 0 z 处不等于零）在 0 0 z 处仍连续． 例 15 求 i 1 lim 2 z z z ® - + ． 解 因为 1 2 z z - + 在点 z = i 处连续，故 i 1 lim 2 z z z ® - + = i 1 3 i i 2 5 5 - - = - - + ． 显然，关于 z 的多项式函数 2 0 1 2 ( ) n n w=P z =a +a z+a z +L + a z 在复平面上所 有的点处都连续，而有理分式函数 ( ) ( ), ( ) ( ) P z w P z Q z Q z = （ 都是多项式）在复平面上 除使分母为零的点外都连续． 例 16 讨论函数arg z 的连续性． 解 设 z 为复平面上任意一点，则： 0 当 z = 时，0 0 arg z 在 z 无定义，故0 arg z 在 z = 处不连续． 0 0 当 z 落在负实轴上时，由于 0 - < π arg z ≤ π ，在 z 从实轴上方趋于 z 时，0 arg z 趋于 π ，在 z 从实轴下方趋于 z 时，0 arg z 趋于 π - ，所以arg z 不连续．当 z 为其 0 他情况时，由于 0 0
lim arg arg
z® z z= z ，所以arg z 连续． 仿照高等数学中复合函数连续性的讨论方法，给出复变函数中复合函数连续 性定理． 定理 4 若函数 h= g z ( ) 在点 z 处连续，函数 0 w= f h ( ) 在 h0= g z ( ) 0 连续，则 复合函数 w= f g z [ ( )] 在 z 处连续（证略）0 ． 下面将二元实变连续函数在闭区域上的重要性质—有界性、最大值与最小 值性质推广到有界闭区域上连续的复变函数中． 最值性质 当 ( ) f z 在有界闭区域D 上连续时， 则 f z ( ) = u2( , )x y + v2 ( , ) x y 也 在D 上连续，且可以取得最大值和最小值． 有界性 f z 在( ) D 上有界，即存在一正数M ，使对于D 上所有点，都有 ( ) f z ≤ M ． 例 17 讨论 f z( )=e cosx y+ ie sin x y 在闭圆域D ： z ≤ 1 上的连续性，并求 ( ) f z 在D 上的最大值与最小值．
20 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） 解 因为 u x y( , )= e cos x y 和 v x y( , )= e sin x y 在 D 上连续， 故 ( ) f z 及 f z ( ) 在 D 上都连续． 又因为 ( ) f z 2 2 2
e (cosx y sin y ) e x
= + = ，故它在D 上的最大值与最小值分别 就是 e x 的最大值与最小值． 在D 内当 x = 1 时，e x 取到最大值 e ；当 x = - 1 时，e x 取到最小值 e - 1 ，即对 任意zÎ D ，都有 1 ( ) e e ≤ f z ≤ ． 特别指出， ( ) f z 在曲线C 上的点 z 处连续的意义是 0 0 lim ( ) z® z f z = f z ，( ) 0 zÎ C ．
本章小结
本章主要研究了复数的定义、运算、各种表示式、平面点集、区域、复变函 数以及复变函数的极限与连续等，为加深对这些概念的理解，现归纳总结如下： 1．实数域是有序的，因而实数能比较大小，复数域是对实数域的扩张，而复 数是不能比较大小的；不是所有实数都能开偶次方，但任何复数都能开任何次方， 非零复数开 n 次方有 n 个不同的根． 2．复数有各种表示式，如代数式、三角式、指数式，根据研究问题的不同， 选择不同的表示式，如在加、减运算时用代数式，在乘、除或开方运算时用三角 式或指数式较简便，指数式的应用最为广泛． 3．由复数的代数式求其辐角或在代数式与三角式的相互转化时可利用关系式 tan y xq = ，但不能认为总有argz arctan y x = ，两者的关系如下表． 主辐角 x y , 取值范围 反正切表示式 图形 0 0 x y > > arctan y x arg 0 π arg π z z z q = ¹ - < （ ） ≤ 0 0 x y > < arctan y x
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 续表 主辐角 x y , 取值范围 反正切表示式 图形 0 0 x y < > arctan π y x + arg 0 π arg π z z z q = ¹ - < （ ） ≤ 0 0 x y < < arctan π y x - 4．对平面点集的研究，是为今后研究复变函数奠定基础，重点要掌握区域这 个概念，明确其他概念的建立都与这个概念密切相关；简单曲线特别是简单闭曲 线经常作为区域的边界而出现．在复变函数的积分运算中，常常需要把曲线表示 为复变量的形式．通常用的最多的是用一元实参量的复值函数 z=z t( )=x t( ) i ( ) + y t t a b （ ≤ ≤ ） 来表示，其中 x=x t( )， y= y t( ) （ a≤ ≤ t b ） 是该曲线在直角坐标系中 的参数方程． 5．复变函数与一元实函数的定义以及复变函数的极限、连续和下一章即将讨论 的复变函数的导数等概念在形式上几乎是相同的．复变函数的定义域是复平面上的 点集，因此在讨论有关概念时，应注意到变量 z 的变化方式的任意性．例如在极限 定义 0 lim ( ) z® z f z 中，仅当变量 z 在复平面上按任意方式趋于 z 时，上式极限存在且相 0 等，才说 ( ) f z 在 z 处的极限存在．但在一元实函数的极限 0 0 lim ( ) x® x f x 定义中，x 只能 沿实轴趋于 x ．因此，复变函数在一点处极限的存在性比实函数的要求更高． 0 在研究复变函数 ( ) f z 时，经常将其化成 ( , ) i ( , ) u x y + v x y 的形式，将对 z 的一 元复函数 ( ) f z 的研究转化为对两个二元实函数 ( , ), ( , ) u x y v x y 的研究，例如要研究 ( ) f z 在点 z 的极限或连续性， 0 可转化为研究 ( , ), ( , ) u x y v x y 在点 ( ,x y 的极限或连 0 0 ) 续性（在今后的学习过程中，经常要用到 ( ) f z 与 ( , ) i ( , ) u x y + v x y 之间的相互转 化）．在求复变函数 ( ) f z 在点 z 的极限时，除可将其转化为对 ( , ), ( , ) 0 u x y v x y 在点 0 0 ( ,x y 的极限求解外，一般可用高等数学中求实函数极限的方法求解． ) 习题 1 1．将下列复数表示成代数形式．
22 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） （1） 2i 1 3 i- + 3i 1 - ； （2） 5 5i 3 4i - - + ． 2．求下列复数的模、辐角主值及共轭复数，并作图． （1） 3 i + ； （2） 1 i - - ． 3．将下列复数表示成三角形式和指数形式． （1） z =2+ 2i ； （2） z = - 1 3i ； （3） z = 3i ； （4） z = - ．1 4．求下列复数的实部、虚部及模． （1） 1 i ； （2） 1 i 1 i - + ； （3） (1 2i)(2+ + 3i) ； （4） i
(i 1)(i- - 2) ． 5．计算下列各式的值． （1） 6 (1- 3i) ； （2） (1 i) - 4 ； （3） 4 1 i + ； （4） 6 - ． 2i 6．试求方程 3 27 0 z + = 的根． 7．指出下列点集中哪些是区域，哪些是闭区域，哪些是有界区域． （1） z - + ≤ ； 2 i 1 （2） 2z +3> ； 4 （3） Imz > ； 1 （4） Imz = ； 1 （5） z- ≥ ； 4 z （6） 2 π Arg π 2 π 4 k ≤ z≤ + k （ z¹0,k =0, 1, 2, ± ± L ） ； （7） 0 < z-z0 < ，其中 d z 为固定点，0 d 为正数． 8．求下列各方程所表示的曲线． （1） 1 2 2 z z - = + ； （2） 2 Re(z ) = ； a （3） 2 Im(z ) = ； a （4） z a- + z-b = （ , k a b 为复常数，不要解方程） ； （5） 1 2 1 z z z z - = - ； （6） 1 1 z a az - = - ． 9．下列关系式表示点 z 位于何处？是否是区域？并绘其图形． （1） 2z -1< ； 1 （2） π arg - < z < ； π （3） 1 1 1 z a a az - < < - （ ） ； （4） 1 1 1 z a a az - > < - （ ）； （5） 3 1 2 z z - - ≥ ； （6） π π arg( 2i) 6< z - < 2 ． 10．写出函数 3 ( ) 1 f z =z +z + 的 ( )f z =u x y( , )+ i ( , ) v x y 形式． 11．设 f z( )=x2-y2 -2y+i(2x+ 2xy ) ，写出 ( ) f z 关于z 的表达式．
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 12．求下列极限． （1） 3 i i 1 lim i z z z ® - + ； （2） 2 2 1 i 4 lim ( 1) z z z ® - - ． 13．证明极限 0 Im lim z z z ® 不存在． 14．求下列函数的定义域，并判断这些函数是否都是定义域中的连续函数： （1） 3 z= w ； （2） 2 1 2 z w z - = - ． 15．讨论函数 3 2 2 3 2 12 8 ( ) 4 z z z f z z - + - = + 的连续性，对 ( ) f z 不连续的点修改或补充定义 使之连续． 16．证明：若函数 ( ) f z 是连续函数，则 ( ) f z 也是连续函数．
自测题 1
一、填空题 1 ． 设 1 3i i 1 i z = - - ， 则 复 数 z=x+ i y 的 形 式 为 ______________ ， 复 数 的 模 为 ______________，辐角主值为_______________； 2．设复数 1 2i 1 i z = - + ，则其实部为_______________，虚部为_______________，共轭复 数为_______________； 3．设复数 2i 1 i z = - + ，则复数 z 的三角表示式为_______________，指数表示式为 _______________； 4．当 z 满足______________条件时， 2 1 z z + 是实数； 5．一个复数乘以 i - ，它的模_______________，它的辐角_______________． 二、选择题 1．设 z=acost+ i sin b t （ , a b 为实常数） ，则其表示（ ）图形； A．双曲线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 2． Re(i ) z = （ ）； A． Re(i ) - z B． Im z - C． Im z D． Im(i ) z 3． 4 i = （ ）；24 复变函数 与积分 变换（ 第 二版 ） A． π π 2 π 2 π 2 2 cos i sin 0,1, 2,3 4 4 k k k + + + （ = ） B． π π 2 π 2 π 2 2 sin i cos 0,1, 2,3 4 4 k k k + + + （ = ） C． cosπ i sin π 8+ 8 D． π π π π 2 2 cos i sin 0,1, 2,3 4 4 k k k + + + （ = ） 4．设 z = - + 3 4i ，则 z 的辐角主值为（ ）； A． arctan 4 π 3 + B． 4 arctan π 3 - + C． arctan 4 π 3 - D． 4 arctan 3 5．下列不等式所确定的区域为有界单连通域的是（ ）． A． Imz > 0 B． z -1> 4 C． z-1< z + 3 D． z-2+ z + ≤ 2 6 三、计算题 1．将下列复数 z 表示成 x+ i y 的形式，并求出它的实部与虚部、共轭复数、模与辐角． （1） i(2 3i) + ； （2） 3 1 2i - ； （3） i 1 i 1 i i - + - ； （4） 8 21 i -4i + i ． 2．将下列复数化为三角表示式和指数表示式． （1） 3 4i - - ； （2） i ； （3）1+ 3i ； （4） 2 - ． 3．试求等式 1 i( 3) 1 i 5 3i x+ + y - = + + 中的实数 x 和 y． 4．计算下列各题： （1） 10 (1 i) + ； （2） 6 - ； 1 （3） 3 2 ( 3- i) ； （4） 3 1 i - ； （5）设 1 3i 2 z = + ，求 z2， ． z 3 5．求方程 z +3 8= 的所有根，并对 0 z + 进行因式分解． 3 8 6．确定下列方程表示的曲线（t 为参变量），并写出直角坐标系下的方程． （1） i 2 i 3e t z = + + ；
第 1 章 复 数 与 复 变 函 数 （2） z= - + ( 2 i) t ； （3） 2 2 i z t t = + ； （4） z=acht+ i sh b t （ , a b 为实常数）． 7．求极限 2 1 3 3 lim 1 z zz z z z ® + - - - ． 8．讨论函数 2 2 4 4 0 0 ( ) 0 0 ax y a R a z f z x y z ì Î ¹ ¹ ï = í + ï = î ， 且 （ ）, ， 在点 z=x+ i y 的连续性．
