算幾不等式
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*108.02.09
∼ 108.02.09
中學生都會的不等式,但是本質是甚麼呢?
1.
定理敘述與證明
定理:設 a, b 是兩個正數,則 a + b 2 ≥ √ ab (1) 證明的方法有好幾種。 【幾何證法一】: 圖 1 想想看:等號何時成立。 【幾何證法二】: 圖 2 想想看:等號何時成立。【代數證法一】: a + b 2 − √ ab = ( √ a−√b)2 2 ≥ 0 (2) 【代數證法二】:設 a≤ b。因為公比 r = √ b √ a ≥ 1,所以 a + b 2 ≥ √ ab (3) 關於證法二可能需要說明,不過就是關鍵一句話:【因為公比大於 1】。 還是看圖形方便點: 圖 3 從圖 3 可知: • 從算術平均數的觀點: ⟨ a,a + b 2 , b ⟩ 是等差數列,從 a 到 b 須走兩步,每一步長都是 a + b 2 。 • 從幾何平均數的觀點: ⟨ a,√ab, b ⟩ 是等比數列,從 a 到 b 須走兩步,因為【公比大於 1】,所以第二步比第一步長,即 √ ab(r− 1) > a(r − 1) (4) 所以由上面的討論可知:a + b 2 比 √ ab更接近 b,即 a + b 2 ≥ √ ab (5) 算幾不等式看起來很簡單,那為何我們要用這樣多的證明方法呢?又其本質為何呢?
2.
本質與推廣
本文想表達的是: 算幾不等式的本質是【公比大於 1】。
同時想證明:當 a, b, c 均為正數時, a + b + c 3 ≥ 3 √ abc (6) 這從兩個數的算幾不等式變成三個數的算幾不等式,是一個推廣,看起來是正確的,但是 為何是正確的呢?我們想用【公比大於 1】這一個性質來證明這件事。 證明三個變數的算幾不等式,有一個簡易的幾何證法,如圖 4: 圖 4 圖 4 中點 P 是 ∆ABC 的重心,因為 y = 10x之圖形【凹口向上】,所以 P 點的位置比 Q點高, 又點 P 的 y 坐標為 a + b + c 3 ,點 Q 的 y 坐標為 3 √ abc,因此得 a + b + c 3 ≥ 3 √ abc。 這一個圖解雖然精彩,但是,看不出來算幾不等式的本質,這和【公比大於 1】有關係 嗎? 在證明兩個變數時,我們知道算術平均數是【每一步都一樣大】,而幾何平均數是【越 走越大 步】,所以 a + b 2 與 b 的距離比較近,因此比 √ ab大。我們想知道,那三個變數時也是一 樣的情形嗎? 從圖 4 可以看到,如果從 A 到 D 走 3 步,每步都一樣,那第 2 步就走到 P 點,即 P 點 是離 D 點僅一步之遙,事實上 Q 點也是離 B 點僅一步之遙,只不過從 A 經過 Q 走到點 B 是越走越大步。怎說呢? 詳細看一下:D 點的 y 坐標是 b + c 2 ,在圖上 b + c 2 > b,如果從 A 到 D 走三步,每步 都一樣大,考慮【等差型態】,那麼每一步都是 b+c 2 − a 3 = b + c− 2a 6 (7) − 2a
麼每一步就是 3 √ √ bc a = (bc)16 a13 (8) 因為 3 √ √ bc a > 1 (9) 我們以此為公比,從 A 點出發,走三步恰好走到 B 點,而路途經過的 Q 點,因為離 B 點 恰好一步,故 Q 點的坐標為 √ bc bc16 a13 =√3abc (10) 因為 A 到 D 是三步,每步一樣大,A 到 B 也是三步,卻越來越大步,又 B 的 y 坐標比 D 的 y 坐標為小,因此 Q 點的 y 坐標必須比 P 點的 y 坐標來的小,故可得 3 √ abc < a + b + c 3 (11) 且僅當 a = b = c 時,√3 abc = a + b + c 3 。(上面的說法很囉嗦!)
3.
寫成代數證法
我們把上面的想法寫成代數證明如下1: 【代數證明】:設 a, b, c 均為正實數,且 a≤ b ≤ c。 已知兩個數的算幾不等式成立,即 b + c 2 ≥ √ bc (12) 現令 r = (√ bc a )1 3 ≥ 1,d = √ bc− a 3 。 因為 r≥ 1,所以 a× r2 ≤ a + 2d (why?) (13) 1這件事不是很容易,讀者可以自行先試試看!利用 (13) 式,我們有 3 √ abc = a× (√ bc a )2 3 = a× r2 ≤ a + 2d = a + 2 (√ bc− a 3 ) ≤ a + 2 ( b+c 2 − a 3 ) = a + b + c 3 雖然上面這些推論看起來很繁雜,不過只是將圖形的精采處寫成數學式,如果懂得圖 形的意義,其繁雜處就顯得簡單,而其間的關鍵是:因為 r ≥ 1,所以距離較遠,其值自 然比較小。 那我們可以將上面的方法推廣至 n 個變數的算幾不等式嗎?即 a1+ a2+· · · + an n ≥ n √ a1a2· · · an (14) 請讀者先自行先試試看!
4.
n
個變數的代數證法
設 a1, a2,· · · , an均為正實數,且 a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an。 已知 n− 1 個數的算幾不等式成立,即 a2+· · · + an n− 1 ≥ n−1√a 2· · · an (15) 現令 r = ( n−1√ a2· · · an a1 )1 n = ( (a2· · · an) 1 n−1 a1 )1 n ≥ 1,d = n−1 √ a2· · · an− a1 n− 1 。 因為 r≥ 1,所以 a1× rn−1 ≤ a1+ (n− 1)d (16)利用 (16) 式,我們有 n √ a1a2· · · an= a1× ( (a2· · · an) 1 n−1 a1 )n−1 n = a1× rn−1 ≤ a1+ (n− 1)d = a1+ (n− 1) ( n−1√ a2· · · an− a1 n ) ≤ a1+ (n− 1) (a 2+···+an n−1 − a1 n ) = a1+ a2+· · · + an n