大學線性代數數學實驗之研究

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　　　　行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ※　　　　　　※ 　　　　※　　　　大學線性代數數學實驗之研究　　　※ 　　　　※　　　　　　※ 　　　　※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 計畫類別 : 個別型計畫計畫編號 : NSC 88-2511-S-002-002 執行期間 : 87 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日計畫主持人 : 黃漢水執行單位 : 國立台灣大學數學系中華民國 89 年 10 月　31 日

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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 Preparation of NSC Project Reports 計畫名稱 : 大學線性代數數學實驗之研究

(On the Mathmatical Experiments for Linear Algebra) 計畫編號 : NSC 88-2511-S-002-002 主持人 : 黃漢水國立台灣大學數學系執行期間 : 87 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日一、中文摘要 : 對抽象的數學觀念, 學生有時很難把握, 須藉助具体例子的解釋, 才容易了解, 此可稱為作數學實驗. 上數學課時, 須要作數學實驗, 就如同上物理課時, 須要作物理實驗, 上化學課時, 須要作化學實驗一樣. 但傳統的數學實驗, 在教具上有很大的限制, 效果也有限. 如今有了電腦, 數學實驗在數學教學上, 將可發揮很大的功效. 本計畫的目的, 就是在探討電腦在大學線性代數教學上的應用, 尤其在探討如何利用電腦數學實驗教線性代數. 關鍵詞 : 數學觀念, 數學教學, 線性代數, 電腦數學實驗, 二、英文摘要 :

Some mathematical concept is difficult to understand. So mathematical experiment is very important in the mathematics classroom. The main object of this project is how to use mathematical experiment in the course of linear algebra.

Keywords : mathematical concept, mathematical experiment, linear algebra

三、計畫緣由與目的 : 目前大部分的電腦軟体, 在解線性代數的問題時, 都注重在數值分析方面, 因此計算的結果只是近似值, 這對線性代數的教學並沒有多大幫助. 我們的系統軟体可處理有理數的計算, 因此計算的結果不會出現近似值. 此外, 我們在此系統軟体上又加上一些程式, 使此系統軟体可處理 finite field Z_p 的計算.

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用消去法, 即列運算, 解線性方程式, 在線性代數裡, 是很重要也是主要的計算, 我們有許多作列運算的數學實驗. 此外, 我們在此系統軟体上加上一些程式, 可作矩陣的 row reduction 運算.

一個矩陣的 Jordan canonical form 並不好算, 用筆算大慨只能算 3, 4 階而已. 但在我們的系統軟体可計算 6, 7 階以上. 學生若能親手計算一些 Jordan canonical form 的例子, 則有助於他們對 Jordan canonical form 的理解.

線性規劃與 game theory 是線性代數很好的應用例子, 我們也有作線性規劃與 game theory 的數學實驗. 四、結果與討論 : 本計畫有如下幾個線性代數電腦數學實驗 : 1. 矩陣四則運算 : 在本實驗中, 我們將計算矩陣的加, 減, 乘, 除, 轉置, 行列式等運算. 2. 線性方程組 (I) : 在本實驗中, 我們將利用消去法計算線性方程組的解. 3. 線性方程組 (II) : 在本實驗中, 我們將利用消去法計算, 係數為有限体 ( Finite field Z_p) 的線性方程組的解. 4. 反矩陣 : 在本實驗中, 我們將利用消去法計算, 矩陣的反矩陣. 5. 特徵多項式 : 在本實驗中, 我們將計算矩陣 A 的特徵多項式 f(x) ( characteristic polynomial), 並驗証 f(A) = 0. 此外, 並計算矩陣 A 的最低多項式 ( minimal polynomial) 及特徵值 (characteristic value) 與特徵向量 (characteristic vector).

6. Jordan Canonical Form (I) : 在本實驗中, 當矩陣 A 的 minimal polynomial 為 (x - c)k _{時, 我們將計算 A 的 Jordan Canonical Form.}

7. Jordan Canonical Form (II) : 在本實驗中, 當矩陣 A 的 minimal polynomial 為 (x - c)k _{且係數為有限体時, 我們將計算 A 的 Jordan Canonical Form.}

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為 (x - b)k_{(x - c)}l_{. . . 時, 我們將計算 A 的 Jordan Canonical Form.} 9. 二次式的極大、小值 : 在本實驗中, 當 F(x1, x2, . . . , xn) 為實係數二次時, 我們將計算 F(x1, x2, . . . , xn) 的極大、小值. 10. 對稱矩陣 : 在本實驗中, 當矩陣 A 為對稱矩陣時, 我們將計算出一可逆矩陣 P 使得 Pt_{AP 為對角化矩陣 D.} 11. 線性規劃 : 在本實驗中, 我們將計算出線性規劃的解.

12. Game Theory : 在本實驗中, 當某個 game 的 pay-off 矩陣已知時, 我們將計算出此 game 的解. 五、計畫成果自評 : 本計畫的線性代數電腦數學實驗有下列特點 : 1. 我們的系統軟体可處理有理數的計算, 因此計算的結果不會出現近似值. 2. 用消去法, 即列運算, 解線性方程式, 在線性代數裡, 是很重要也是主要的計算, 我們有許多作列運算的數學實驗. 此外, 我們在此系統軟体上加上一些程式, 可作矩陣的 row reduction 運算. 3. 我們在此系統軟体上又加上一些程式, 使此系統軟体可處理 finite field Z_p 的計算.

4. 一個矩陣的 Jordan canonical form 並不好算, 用筆算大慨只能算 3, 4 階而已. 但在我們的系統軟体可計算 6, 7 階以上. 學生若能親手計算一些 Jordan canonical form 的例子, 則有助於他們對 Jordan canonical form 的理解.

5. 線性規劃與 game theory 是線性代數很好的應用例子, 我們也有作線性規劃與 game theory 的數學實驗.