• 沒有找到結果。

ax Cb的式子,稱為線性函數

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "ax Cb的式子,稱為線性函數"

Copied!
24
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

B1-3-4 多項式函數

班號: 姓名:

本章提要

本節介紹多項式函數的基本概念及其圖形。

函數

絕對值函數 x = x 當x R 0 Kx 當x ! 0

f+g s g+f (不一定相等)

線性函數

形如f x =

ax Cb的式子,稱為線性函數

二次函數

二次函數y = f x = a xK

h

2C

k圖形的頂

點在

h, k

,對稱軸為xKh = 0 x = h

二次項係數

a

影響開口大小

二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 之圖形 為頂點在 Kb

2a , 4acKb2

4a ,對稱軸為

x =

Kb

2a 的抛物線

多項式函數(n次函數) 形如

f x = anxnCanK1xnK1C...Ca2x2Ca1x Ca0 ans 0

的函數,稱為"多項式函數"

• 1 函數 2 線性函數

3 二次函數

4 多項式函數(n次函數)

(2)

1 函數

1-1 函數的定義

重點

函數 設A, B為兩個非空集合,如果集合A中的每一個元素x,在集合B中都各有 唯一的元素y與其相對應.就稱這樣的對應關係(Mapping)f為A對應到B的 函數(Function),以f : A / B表示,記為y = f x

c x 2 A,d!y 2 B H f x = y

例1: 正方形的面積(A)是其邊長(a)的函數0A = f a = a2

例2: 圓面積(A 是其半徑(r)的函數0A = f r =p$r2

例3: 計程車的車資(y)是搭乘公里數(x)的函數0 y = f x = 70 C5 # xK1.5

0.3 C1

例4: 溫度計上的刻度,華氏溫度(F)是攝氏溫度(C)的函數0 F = 9

5 # C C32

例5: 若不計空氣阻力,則自由落體自高處落下的距離(s)是其落下時間(t) 的函數0s = 1

2gt2

定義域與對應

函數f : A / B中,集合A稱為函數f的定義域(Domain),集合B稱為函數 f的對應域(Co-Domain)

自變數與應變

函數y = f x 中,變數x因為可以任意指定,故稱為函數f的自變

數(Independent Variable),而變數y由於得隨自變數x先指定後才能確定, 故稱為函數f的應變數(Dependent Variable),又叫自變數x所對應的函數 值,記為y = f x

值域全體函數值f x 所成的集合,稱為函數f的值域(Range)

全體函數值全體函數值f(x)所成的集合稱為f的值域(Range),記為 =f(A)

={f(x)|x A, f(x) B}.

(3)

1-2 函數的限制

重點

函數的禁忌通通有奬(定義域中所有的x通通要有與其對應的y)

不可腳踏兩條船(同一個x不可同時對應兩個以上的y)

函數的限制 當說明變數y是變數x的函數時,除了描述y與x的對應關係外,也應指明 變數x的變化範圍.

例1: 函數y = 1

xK3 中,變數x應限在xK3 s 0的範圍內 例2: 函數y = xK2 中,變數x應限在xK2 R 0的範圍內

(4)

1-3 函數的圖形

重點

函數的圖形 如果把x和f x 看成直角坐標系中的橫坐標 x 和縱坐標 y ,那麼所有滿 足對應關係y = f x 的所有點 x, y = x, f x 所連成的圖形就是函數的 圖形

函數的圖形判

別法 通過函數y = f x 之橫軸(定義域)中的任意點x,作垂直橫軸的直線L,則 L與函數圖形只能有一個交點

(5)

例題

例題1 函數的圖形判別法

老師講解 學生練習

下面的圖形中,哪些可能是函數圖形 的一部分?

(1)

(2)

(3)

(4)

(6)

1-4 查表函數

重點

查表函數 函數的表示不一定只是單一的式子

例: 絕對值函數 x = x 當x R 0 Kx 當x ! 0

例題

例題2 查表函數

老師講解 學生練習

設f n 表"1

7 化成小數,小數點後第n位 數字",試求f 1999 =?

(7)

1-5 函數的種類

重點

函數的種類

線性函數 f x = ax Cb

二次函數 f x = ax2Cbx Cc

n次函數(多項式函數) f x = anxnCanK1xnK1C...Ca2x2Ca1x Ca0 ans 0

絕對值函數

f x =

x

= x 當x R 0 Kx 當x ! 0

有理函數 f x = q x

p x

p x s 0 根式函數 f x =

g x

g x R 0 高斯函數(最大整數函

數) f x = x

指數函數 f x = ax a O 0, a s 1

對數函數 f x = loga

x a O 0, a s 1, x O 0

三角函數 f x = sin x , f x = cos x ,...

(8)

1-6 函數的性質

重點

遞增函數與遞

減函數 遞增函數 若函數y = f x 的圖形由左往右逐漸升高,便稱為"遞增函 數"

遞減函數 若函數y = f x 的圖形由左往右逐漸下降,便稱為"遞減函 數"

奇函數與偶函

奇函數 如果對於函數f x 定義域內的任意實數x都滿足

f Kx =Kf x , 便稱為"奇函數"

y = f x = x y = f x = x3

偶函數 如果對於函數f x 定義域內的任意實數x都滿足

f Kx = f x

, 便稱為"偶函數"

y = f x = x2 y = f x = x

(9)

1-7 合成函數

重點

合成函數 先後經由兩個函數f與g之連續對應而得的函數g f x ,稱為f與g的合成 函數, 記為g + f x

若f :

A

/ B, g : B /

C, 則g + f : A / C

f+g s g+f (不一定相等)

例: f x = 2x C1, g x = xK1 中,

f+g x = f

g x

= f

xK1

= 2

xK1

C1 = 2xK1 g+f x = g

f x

= g 2x C1 = 2x C1 K1 = 2x f+g s g+f

(10)

2 線性函數

重點

線性函數 形如f x =

ax C b的式子,稱為線性函數(Linear Function),其圖形為坐標平

面上二元一次方程式y = ax Cb所代表的直線(斜直線或水平直線).

線性函數的圖形不可能是垂直線 x = k)

一次函數線性函數y = f x =

ax Cb中,當a s 0時,又稱為一次函數.

a O 0時,圖形自左而右上升,函數值呈遞增現象.

a ! 0時,圖形自左而右上下降,函數值呈遞減現象.

常數函數 線性函數y = f x = ax Cb中,當a = 0時,y =

f x = b, 又稱為常數函數

y = f x = b .

常數函數的圖形恆為水平直線,不受x值的影響,y值恆為一個定數 b

(11)

例題

例題3 常數函數的圖形

老師講解 學生練習

畫出y = f x = 3的圖形 畫出y = f x = 2的圖形

[簡答] :

例題4 一次函數的圖形

老師講解 學生練習

畫出y = f x = 3xK2的圖形 畫出y = f x = 2x C1的圖形

[簡答] :

例題5 線性函數

老師講解 學生練習

設f x 為一次函數,且f 1 = 5, f 2 = 8, 求f 3 =?

(12)

3 二次函數

3-1 二次函數及其圖形

重點

二次函數 形如f x = ax2Cbx Cc a s 0 的式子,稱為二次函數,其圖形為坐標平 面上一元二次方程式y = ax2Cbx Cc所代表的抛物線

二次函數 y = f x

= ax2的圖 形特徵

二次函數y = f x = x2圖形的頂點在原點 0, 0 ,對稱軸為y軸(x = 0)

二次函數y = f x = a xK

h

2Ck圖形的頂點在

h, k

,對稱軸為xKh = 0 x = h

二次項係數a影響開口方向

a O 0 開口朝上

a ! 0 開口朝下

二次項係數

a

影響開口大小

a 愈大 開口愈小(愈 窄)

(13)

例題

例題6A 二次函數的圖形

老師講解 學生練習

畫出y = f x = 3x2的圖形 畫出y = f x = 2x2的圖形

[簡答] :

例題6B 二次函數圖形之平移

老師講解 學生練習

畫出y = f x = 3x2C2的圖形 畫出y = f x = 2x2+3的圖形

[簡答] :

(14)

例題6C 二次函數圖形之平移

老師講解 學生練習

畫出y = f x = 3 xK1 2的圖形 畫出y = f x = 2 x C1 2的圖形

[簡答] :

例題6D 二次函數圖形之平移

老師講解 學生練習

畫出y = f x = 3 xK1 2+2的圖形 畫出y = f x = 2 x C1 2+3的圖形

[簡答] :

(15)

例題7 二次函數圖形應用

老師講解 學生練習

設y = f x 是x的二次函數,且知其圖形通 過 K1, 0 , K9, 0 及 0, 9 三點,求 f x 及其頂點坐標

例題8 二次函數圖形應用

老師講解 學生練習

若函數f x = ax2Cbx Cc的圖形如上圖 ,則 下列各數哪些為負數?

(1)a (2)b (3)c

(4)D = b2K4ac (5)aKb Cc

(16)

3-2 二次函數的標準式及極值

重點

二次函數的標

準式 任何一個二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 都可經由配方法化成形如 y = a xKh 2Ck的標準式

y =

ax

2Cbx Cc =

a

x2C b

a

x Cc = a x 2C2 b

2a x C

b

2a

2

CcK

b

2 4a = a x C b

2a

2

C 4acKb2 4a = a xK Kb

2a

2

C 4acKb2 4a = a xK

h

2C

k

二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 之圖形為頂點在 Kb

2a , 4acKb2 4a ,對 稱軸為

x =

Kb

2a 的抛物線

形如y = a xKh 2Ck的標準式,其圖形可經由將y = ax2的圖形經左右平移 h 及及上下平移 k 的方式逐步產生

二次函數的極

二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 之極值(極大值或極小值)都發生在其 頂點處

a O 0

二次函數y = ax2Cbx Cc 在x =K

b

2a 處有最小值y =

4acKb

2 4a a ! 0

二次函數y = ax2Cbx Cc在x =K

b

2a處有最大值y =

4acKb

2 4a

(17)

例題

例題9A 利用二次函數的標準式作圖

老師講解 學生練習

畫出y = f x = 3x2K6x C5的圖形,並指 出其頂點,對稱軸及極值

畫出y = f x = 2x2C4x C5的圖形,並指出 其頂點,對稱軸及極值

[簡答] : 頂點 K1, 3 ,對稱軸x =K1, 最小值3

例題9B 利用二次函數的標準式作圖

老師講解 學生練習

畫出y = f x =K2x2C3x C4的圖形,並 指出其頂點,對稱軸及極值

畫出y = f x = 2x2C4x C5的圖形,並指出 其頂點,對稱軸及極值

[簡答] : 頂點 K1, 3 ,對稱軸x =K1, 最小值3

(18)

例題10A 二次函數的極值(範圍不含頂點)

老師講解 學生練習

設二次函數y = 2x2K4xK1, 求當 2 % x % 3時y之最大值與最小值

設二次函數y =K2x2C4x C3, 求當 2 % x % 4時y之最大值與最小值

[簡答] : 最大值3,最小值K13

例題10B 二次函數的極值(範圍包含頂點)

老師講解 學生練習

設二次函數y = 2x2K4xK1, 求當 K1 % x % 2時y之最大值與最小值

設二次函數y =Kx2C2x C5, 求當 K3 % x % 3時y之最大值與最小值

[簡答] : 最大值5,最小值K11

(19)

例題11 二次函數的極值

老師講解 學生練習

已知二次函數y = f x = ax2Cbx C 1 a 在x = 3時有最大值8,求實數a, b的值

(20)

3-3 二次函數的恆正或恆負

重點

二次函數的圖 形與其判別式 有關

二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0)的恆正或恆負,與其平方項係數a及其 判別式D = b2K4ac有關.

二次函數的恆

正或恆負 恆正

a O 0

D ! 0

恆負

a ! 0

D ! 0

(21)

例題

例題12A 二次函數恆正

老師講解 學生練習

已知對任意實數x, x2K6x Ck的值恆正, 求實數k的範圍

例題12B 二次函數恆負

老師講解 學生練習

設k為實數,若不論x為任意實數, kx2C2x Ck 的值恆負,求k 的範圍

若二次函數f x =K2x2C8x C kK3 的值 恆負,則實數k的範圍為何?

[簡答] : k !K5

(22)

3-4 二次函數之應用

例題

例題13 二次函數之應用

老師講解 學生練習

某人有繩子全長12公尺, 擬在空地上圍 一個長方形當作花園, 則應如何才可得 到最大的面積?

設有二個正數之和為10, 求此二正數之積 的最大值

[簡答] : 25

(23)

4 多項式函數(

n次函數

)

重點

多項式函數(

n次函數) 形如f x = anxnCanK1xnK1C...Ca2x2Ca1x Ca0 ans 0 的函數,稱為"多 項式函數"

多項式函

數的圖形特徵 • 多項式函數的圖形都是連續不斷的 n次多項式函數的圖形與x軸至多n個交點

n次多項式函數,若首項係數為正,則其圖形的最右方必定是上揚的;反之, 若首項係數為負,則其圖形的最右方必定是下沉的;

(24)

例題

例題14 n次函數的圖形

老師講解 學生練習

畫出函數y = f x =1x3K3x2C2的圖形

詳解

f := x/x

3K3 x2C2

M :=

x

K1

2 0 1

2 1 3

2 2 5 2

f(x)

9

8 2 11

8 0 K11

8 K2 K9 8

(1.5.2.1.1.1)

參考文獻

相關文件

從幾何圖形上來看,所有指數函數,在 (0,1) 的切線斜率恰 好為一的函數也只有惟一一個,因此

如果函數是由基本函數所組成,至少需要注意:分式函 數分母會等於 0

從幾何上看,一個在區間上的每一點都連續的函數,其函數 圖形沒有分斷。直觀上,這樣的連續圖形我們可以一筆劃完

相對應的,由於這些函數可以跟雙曲線上的點做對應,所以 稱為雙曲函數,其中主要的奇組合稱為 hyperbolic sine 雙曲 正弦函數,偶組合稱為

可程式控制器 (Programmable Logic Controller) 簡稱 PLC,是一種具有微處理機功能的數位電子 設備

對於給定的一個 x 值,經過某一對應方式後得到「唯一」的 y 值,這種對應方式我們稱 為函數,其中 x 是自變數,y 是應變數。. 而在表

前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋

前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋