B1-3-4 多項式函數 班號: 姓名:
本章提要
本節介紹多項式函數的基本概念及其圖形。
函數
絕對值函數 x = x 當x R 0 Kx 當x ! 0
•
f+g s g+f (不一定相等)
•
線性函數
形如f x =
ax Cb的式子,稱為線性函數
•
二次函數
二次函數y = f x = a xK
h
2Ck圖形的頂
點在h, k
,對稱軸為xKh = 0 x = h•
二次項係數
a
影響開口大小•
二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 之圖形 為頂點在 Kb
2a , 4acKb2
4a ,對稱軸為
x =
Kb2a 的抛物線
•
多項式函數(n次函數) 形如
f x = anxnCanK1xnK1C...Ca2x2Ca1x Ca0 ans 0
的函數,稱為"多項式函數"
•
• 1 函數 2 線性函數
•
3 二次函數
•
4 多項式函數(n次函數)
•
1 函數
1-1 函數的定義
重點
函數 設A, B為兩個非空集合,如果集合A中的每一個元素x,在集合B中都各有 唯一的元素y與其相對應.就稱這樣的對應關係(Mapping)f為A對應到B的 函數(Function),以f : A / B表示,記為y = f x
•
c x 2 A,d!y 2 B H f x = y
•
例1: 正方形的面積(A)是其邊長(a)的函數0A = f a = a2
•
例2: 圓面積(A 是其半徑(r)的函數0A = f r =p$r2
•
例3: 計程車的車資(y)是搭乘公里數(x)的函數0 y = f x = 70 C5 # xK1.5
0.3 C1
•
例4: 溫度計上的刻度,華氏溫度(F)是攝氏溫度(C)的函數0 F = 9
5 # C C32
•
例5: 若不計空氣阻力,則自由落體自高處落下的距離(s)是其落下時間(t) 的函數0s = 1
2gt2
•
定義域與對應
域 函數f : A / B中,集合A稱為函數f的定義域(Domain),集合B稱為函數 f的對應域(Co-Domain)
•
自變數與應變
數 函數y = f x 中,變數x因為可以任意指定,故稱為函數f的自變
數(Independent Variable),而變數y由於得隨自變數x先指定後才能確定, 故稱為函數f的應變數(Dependent Variable),又叫自變數x所對應的函數 值,記為y = f x
•
值域 • 全體函數值f x 所成的集合,稱為函數f的值域(Range)
全體函數值全體函數值f(x)所成的集合稱為f的值域(Range),記為 =f(A)
={f(x)|x A, f(x) B}.
•
1-2 函數的限制
重點
函數的禁忌 • 通通有奬(定義域中所有的x通通要有與其對應的y)
不可腳踏兩條船(同一個x不可同時對應兩個以上的y)
•
函數的限制 當說明變數y是變數x的函數時,除了描述y與x的對應關係外,也應指明 變數x的變化範圍.
例1: 函數y = 1
xK3 中,變數x應限在xK3 s 0的範圍內 例2: 函數y = xK2 中,變數x應限在xK2 R 0的範圍內
•
1-3 函數的圖形
重點
函數的圖形 如果把x和f x 看成直角坐標系中的橫坐標 x 和縱坐標 y ,那麼所有滿 足對應關係y = f x 的所有點 x, y = x, f x 所連成的圖形就是函數的 圖形
•
函數的圖形判
別法 通過函數y = f x 之橫軸(定義域)中的任意點x,作垂直橫軸的直線L,則 L與函數圖形只能有一個交點
•
例題
例題1 函數的圖形判別法
老師講解 學生練習
下面的圖形中,哪些可能是函數圖形 的一部分?
(1)
(2)
(3)
(4)
1-4 查表函數
重點
查表函數 函數的表示不一定只是單一的式子
例: 絕對值函數 x = x 當x R 0 Kx 當x ! 0
•
例題
例題2 查表函數
老師講解 學生練習
設f n 表"1
7 化成小數,小數點後第n位 數字",試求f 1999 =?
1-5 函數的種類
重點
函數的種類
線性函數 f x = ax Cb
二次函數 f x = ax2Cbx Cc
n次函數(多項式函數) f x = anxnCanK1xnK1C...Ca2x2Ca1x Ca0 ans 0
絕對值函數
f x =
x
= x 當x R 0 Kx 當x ! 0有理函數 f x = q x
p x
p x s 0 根式函數 f x =g x
g x R 0 高斯函數(最大整數函數) f x = x
指數函數 f x = ax a O 0, a s 1
對數函數 f x = loga
x a O 0, a s 1, x O 0
三角函數 f x = sin x , f x = cos x ,...1-6 函數的性質
重點
遞增函數與遞
減函數 遞增函數 若函數y = f x 的圖形由左往右逐漸升高,便稱為"遞增函 數"
•
遞減函數 若函數y = f x 的圖形由左往右逐漸下降,便稱為"遞減函 數"
•
奇函數與偶函
數 奇函數 如果對於函數f x 定義域內的任意實數x都滿足
f Kx =Kf x , 便稱為"奇函數"
•
y = f x = x y = f x = x3
偶函數 如果對於函數f x 定義域內的任意實數x都滿足
f Kx = f x
, 便稱為"偶函數"•
y = f x = x2 y = f x = x
1-7 合成函數
重點
合成函數 先後經由兩個函數f與g之連續對應而得的函數g f x ,稱為f與g的合成 函數, 記為g + f x
•
若f :
A
/ B, g : B /C, 則g + f : A / C
•
f+g s g+f (不一定相等)
例: f x = 2x C1, g x = xK1 中,
f+g x = f
g x
= fxK1
= 2xK1
C1 = 2xK1 g+f x = gf x
= g 2x C1 = 2x C1 K1 = 2x f+g s g+f•
2 線性函數
重點
線性函數 形如f x =
ax C b的式子,稱為線性函數(Linear Function),其圖形為坐標平
面上二元一次方程式y = ax Cb所代表的直線(斜直線或水平直線).•
線性函數的圖形不可能是垂直線 x = k)
•
一次函數 • 線性函數y = f x =
ax Cb中,當a s 0時,又稱為一次函數.
a O 0時,圖形自左而右上升,函數值呈遞增現象.
•
a ! 0時,圖形自左而右上下降,函數值呈遞減現象.
•
常數函數 線性函數y = f x = ax Cb中,當a = 0時,y =
f x = b, 又稱為常數函數
y = f x = b .
•
常數函數的圖形恆為水平直線,不受x值的影響,y值恆為一個定數 b
•
例題
例題3 常數函數的圖形
老師講解 學生練習
畫出y = f x = 3的圖形 畫出y = f x = 2的圖形
[簡答] : 略
例題4 一次函數的圖形
老師講解 學生練習
畫出y = f x = 3xK2的圖形 畫出y = f x = 2x C1的圖形
[簡答] : 略
例題5 線性函數
老師講解 學生練習
設f x 為一次函數,且f 1 = 5, f 2 = 8, 求f 3 =?
3 二次函數
3-1 二次函數及其圖形
重點
二次函數 形如f x = ax2Cbx Cc a s 0 的式子,稱為二次函數,其圖形為坐標平 面上一元二次方程式y = ax2Cbx Cc所代表的抛物線
•
二次函數 y = f x
= ax2的圖 形特徵
二次函數y = f x = x2圖形的頂點在原點 0, 0 ,對稱軸為y軸(x = 0)
•
二次函數y = f x = a xK
h
2Ck圖形的頂點在h, k
,對稱軸為xKh = 0 x = h•
二次項係數a影響開口方向
•
a O 0 開口朝上
a ! 0 開口朝下
二次項係數
a
影響開口大小•
a 愈大 開口愈小(愈 窄)
例題
例題6A 二次函數的圖形
老師講解 學生練習
畫出y = f x = 3x2的圖形 畫出y = f x = 2x2的圖形
[簡答] : 略
例題6B 二次函數圖形之平移
老師講解 學生練習
畫出y = f x = 3x2C2的圖形 畫出y = f x = 2x2+3的圖形
[簡答] : 略
例題6C 二次函數圖形之平移
老師講解 學生練習
畫出y = f x = 3 xK1 2的圖形 畫出y = f x = 2 x C1 2的圖形
[簡答] : 略
例題6D 二次函數圖形之平移
老師講解 學生練習
畫出y = f x = 3 xK1 2+2的圖形 畫出y = f x = 2 x C1 2+3的圖形
[簡答] : 略
例題7 二次函數圖形應用
老師講解 學生練習
設y = f x 是x的二次函數,且知其圖形通 過 K1, 0 , K9, 0 及 0, 9 三點,求 f x 及其頂點坐標
例題8 二次函數圖形應用
老師講解 學生練習
若函數f x = ax2Cbx Cc的圖形如上圖 ,則 下列各數哪些為負數?
(1)a (2)b (3)c
(4)D = b2K4ac (5)aKb Cc
3-2 二次函數的標準式及極值
重點
二次函數的標
準式 任何一個二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 都可經由配方法化成形如 y = a xKh 2Ck的標準式
y =
ax
2Cbx Cc =a
x2C ba
x Cc = a x 2C2 b2a x C
b
2a2
CcK
b
2 4a = a x C b2a
2
C 4acKb2 4a = a xK Kb
2a
2
C 4acKb2 4a = a xK
h
2Ck
•
二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 之圖形為頂點在 Kb
2a , 4acKb2 4a ,對 稱軸為
x =
Kb2a 的抛物線
•
形如y = a xKh 2Ck的標準式,其圖形可經由將y = ax2的圖形經左右平移 h 及及上下平移 k 的方式逐步產生
•
二次函數的極
值 二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0 之極值(極大值或極小值)都發生在其 頂點處
•
a O 0
二次函數y = ax2Cbx Cc 在x =K
b
2a 處有最小值y =
4acKb
2 4a a ! 0二次函數y = ax2Cbx Cc在x =K
b
2a處有最大值y =
4acKb
2 4a例題
例題9A 利用二次函數的標準式作圖
老師講解 學生練習
畫出y = f x = 3x2K6x C5的圖形,並指 出其頂點,對稱軸及極值
畫出y = f x = 2x2C4x C5的圖形,並指出 其頂點,對稱軸及極值
[簡答] : 頂點 K1, 3 ,對稱軸x =K1, 最小值3
例題9B 利用二次函數的標準式作圖
老師講解 學生練習
畫出y = f x =K2x2C3x C4的圖形,並 指出其頂點,對稱軸及極值
畫出y = f x = 2x2C4x C5的圖形,並指出 其頂點,對稱軸及極值
[簡答] : 頂點 K1, 3 ,對稱軸x =K1, 最小值3
例題10A 二次函數的極值(範圍不含頂點)
老師講解 學生練習
設二次函數y = 2x2K4xK1, 求當 2 % x % 3時y之最大值與最小值
設二次函數y =K2x2C4x C3, 求當 2 % x % 4時y之最大值與最小值
[簡答] : 最大值3,最小值K13
例題10B 二次函數的極值(範圍包含頂點)
老師講解 學生練習
設二次函數y = 2x2K4xK1, 求當 K1 % x % 2時y之最大值與最小值
設二次函數y =Kx2C2x C5, 求當 K3 % x % 3時y之最大值與最小值
[簡答] : 最大值5,最小值K11
例題11 二次函數的極值
老師講解 學生練習
已知二次函數y = f x = ax2Cbx C 1 a 在x = 3時有最大值8,求實數a, b的值
3-3 二次函數的恆正或恆負
重點
二次函數的圖 形與其判別式 有關
二次函數y = ax2Cbx Cc a s 0)的恆正或恆負,與其平方項係數a及其 判別式D = b2K4ac有關.
•
二次函數的恆
正或恆負 恆正
a O 0
D ! 0
恆負
a ! 0
D ! 0
例題
例題12A 二次函數恆正
老師講解 學生練習
已知對任意實數x, x2K6x Ck的值恆正, 求實數k的範圍
例題12B 二次函數恆負
老師講解 學生練習
設k為實數,若不論x為任意實數, kx2C2x Ck 的值恆負,求k 的範圍
若二次函數f x =K2x2C8x C kK3 的值 恆負,則實數k的範圍為何?
[簡答] : k !K5
3-4 二次函數之應用
例題
例題13 二次函數之應用
老師講解 學生練習
某人有繩子全長12公尺, 擬在空地上圍 一個長方形當作花園, 則應如何才可得 到最大的面積?
設有二個正數之和為10, 求此二正數之積 的最大值
[簡答] : 25
4 多項式函數(
n次函數)
重點
多項式函數(
n次函數) 形如f x = anxnCanK1xnK1C...Ca2x2Ca1x Ca0 ans 0 的函數,稱為"多 項式函數"
•
多項式函
數的圖形特徵 • 多項式函數的圖形都是連續不斷的 n次多項式函數的圖形與x軸至多n個交點
•
n次多項式函數,若首項係數為正,則其圖形的最右方必定是上揚的;反之, 若首項係數為負,則其圖形的最右方必定是下沉的;
•
例題
例題14 n次函數的圖形
老師講解 學生練習
畫出函數y = f x =1x3K3x2C2的圖形
詳解
f := x/x
3K3 x2C2M :=
x
K12 0 1
2 1 3
2 2 5 2
f(x)
98 2 11
8 0 K11
8 K2 K9 8
(1.5.2.1.1.1)