股利價格比與股票報酬之非線性研究
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(2) 誌. 謝. 拿在手裡這一本薄薄幾頁的論文，在心中卻是有格外的份量。這一路走來始 終顛簸，逝去的流金歲月，摻上了悵然若失的苦澀，夢想的代價，是點滴心頭的 箇中辛酸，有幸我走了過來，感謝在這段佇足良久的途中陪伴我、引導我的人， 特別感謝指導教授翁銘章老師不論在日常生活、課業或是論文寫作對我的包容及 教導，老師的熱忱態度更是我最佳榜樣。感謝印永翔教授與李揚教授對於本篇論 文的建議與指導，讓本篇論文能夠完整嚴謹，也感謝應經系的授課教授們於平日 課堂上引導我一窺高等學術領域的殿堂。 感謝為我研究所生活妝點色彩的同學們，與我一起同甘共苦的光原、俊豪與 芷瑜，那些日子一起在研究室努力的聖凱、昱欣、欣廣、新強、彬絜、昆憲與兆 宏，一起值班，總是熱情洋溢的啟銘，還有燕菁、欣怡、曉娟，以及同門的君女、 尚瑩、育昇、得成與昆照學長的勉勵與協助。感謝最珍惜的大學老友閔翔、威呈、 品立與全展的友情與鼓勵，更感激一路陪伴我走過最低潮的憶芹。 最後，感謝總是刀子口豆腐心的父親與堅毅的母親，你們的栽培讓我今天能 夠取得學位，也感謝我的兩個妹妹憶萍與憶菁，為我注入一份家裡歸屬的溫暖， 也期盼我們都能走出一片天。. 雲霧已逐漸掩進林中 此去的長路上. 雨潤煙濃. 所有屬於我的都將一去不還 只留下. 在回首時. 這滿山深深淺淺的悲歡 (席慕容). 感謝這兩年我所有的。 王瑞宏 2007 盛夏 于高大經管所.
(3) 股利價格比與股票報酬之非線性研究 指導教授：翁銘章博士 國立高雄大學應用經濟系 學生：王瑞宏 國立高雄大學經濟管理研究所 摘 要 文獻上對於股利價格比與股票報酬間的關係傳統上都是採用線性的現值 (present value) 模型來估計，但是線性的現值模型是跟基於預期股票報酬以及折 現率皆為固定的假設，這與 Campbell, Lo, and MacKinlay (CLM, 1997) 認為預期 股票報酬為隨時間而變且可以預測的到的實證結果相左。因此本研究欲以平滑轉 換的非線性迴歸估計方法 (smooth transition regression, STR) 來探討較為可靠的 股利價格比與股票報酬間的關係。Granger and Teräsvirta (1993) 也曾提到大部分 的經濟變數皆具有非線性的特性，這也更加說明了為何線性的現值模型無法用來 說明股價股利的函數行為關係。本研究是根據 CLM 股利價格比與股票報酬的 對數線性關係為基礎，重新以 Bacon and Watts (1971) 首先提出，並為 Tong (1978, 1990)、Granger and Teräsvirta (1993) 等所陸續加以發揚光大的 STR 估計 方法來探討股利價格比與股票報酬的非線性關係，並將線性與非線性兩者迴歸估 計的樣本內配適度以及樣本外預測能力結果加以比較。而本文實證研究的對象為 全球前兩大經濟體―美國與日本的股市，資料蒐集的研究期間則自 1978 年 1 月 起至目前最近期由 Datastream 財務資料庫中所取得的月資料。. 關鍵詞：股利價格比、現值模型、平滑轉換迴歸估計、非線性模型.
(4) STR Analysis of Stock Dividend-Price Ratio and Returns Advisor: Dr. Ming-Jang Weng Department of Applied Economics National University of Kaohsiung Student: Rui-Hung Wang Institute of Economics and Management National University of Kaohsiung Abstract Most of the prior studies used the linear present value (PV) model to estimate the relationship between stock dividend-price ratio and returns. However, the linear PV model is based on the assumption of constant expected stock returns and fixed discount rate that contradicts the empirical evidence discussed in Campbell, Lo, and MacKinlay (CLM, 1997) supporting the predictability and time-variation of expected stock returns. Therefore, we try to explore the more reliable relationship between dividend-price ratio and returns by utilizing the smooth transition regression (STR), a nonlinear econometrics model. Granger and Teräsvirta (1993) also added that most of the economic variables presenting nonlinear process, hence the linear PV model fails to explain the behavior of stock prices as a function of dividends. This study is based on the CLM model, and utilizes the STR estimation originated by Bacon and Watts (1971) and exalted later by Tong (1978, 1990), Granger, and Teräsvirta (1993) to examine the nonlinear relation between dividend-price ratio and stock returns, then to make comparison of the in-sample fitness and out-of-sample forecastability between our nonlinear STR model and CLM loglinear model. The empirical investigation interested are two developed economies, i.e., the US and Japan. The data span the period January 1978 to present using monthly data from Datastream.. Keywords: Dividend-price ratio, Present value model, Smooth transition regression, STR, Nonlinear model.
(5) 目. 錄. 第一章 緒論..............................................................................................1 第一節 前言......................................................................................1 第二節 研究動機與目的..................................................................1 第三節 研究架構..............................................................................2 第二章 文獻回顧......................................................................................3 第一節 股價與股利研究相關文獻..................................................3 第二節非線性模型相關文獻............................................................4 第三章 理論模型......................................................................................7 第四章 實證研究方法............................................................................10 第一節 單根檢定............................................................................11 第二節 Fully-Modified OLS...........................................................13 第三節 平滑轉換迴歸模型............................................................15 第四節 線性檢定............................................................................18 第五節 模型評估............................................................................18 第六節 樣本內配適與樣本外預測能力........................................22 第五章 實證結果....................................................................................27 第一節 實證資料之選取................................................................27 第二節 實證結果與分析................................................................28. I.
(6) 第六章 結論............................................................................................44 參考文獻..................................................................................................77. II.
(7) 表目錄 表 4.1 Augmented Dickey-Fuller 檢定摘要..........................................12 表 5.1 ADF 單根檢定—美國................................................................29 表 5.2 ADF 單根檢定—日本................................................................29 表 5.3. 線性模型最適自我迴歸落後期數之選取.................................30. 表 5.4. 線性檢定 p-value 與模型之選取—美國....................................31. 表 5.5. 線性檢定 p-value 與模型之選取—日本....................................31. 表 5.6 線性模型之 Ljung-Box Q 序列相關檢定..................................32 表 5.7 線性模型之異質變異 ARCH-LM 與常態分配 Jarque-Bera 檢定.......32 表 5.8 非線性模型之序列相關(SC)與參數不變性(PC)檢定 p-value-美國...36 表 5.8 非線性模型之序列相關(SC)與參數不變性(PC)檢定 p-value-日本...36 表 5.10 非線性模型之無剩餘非線性檢定 (NRN Test)—美國............37 表 5.11 非線性模型之無剩餘非線性檢定 (NRN Test)—日本............38 表 5.12 非線性模型之異質變異 ARCH-LM 檢定.................................39 表 5.13 非線性與線性模型結果之 MSE 與 RMSE 比較........................40 表 5.14 樣本外預測能力比較 (依 DM 檢定結果為依據).....................41 表 5.15 樣本外預測準確性檢定―美國.................................................42 表 5.16 樣本外預測準確性檢定―日本.................................................43. III.
(8) 圖目錄 圖 4.1. 實證研究方法流程圖.................................................................10. 圖 4.2. 單根檢定程序.............................................................................13. 圖 4.3 LSTR1 模型之轉換函數............................................................16 圖 4.4 LSTR2 模型之轉換函數............................................................17 圖 4.5 ESTR 模型之轉換函數..............................................................17 圖 4.6. 線性檢定流程.............................................................................19. 圖 5.1. 美國 r1 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換變 數為 r1(t − 1) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適.........................47. 圖 5.2. 美國 r 3 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換 變數為 r1(t ) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適..........................48. 圖 5.3. 美國 r 6 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換 變數為 r 6(t − 1) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適.....................49. 圖 5.4. 美國 r12 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換變 數為 r12(t − 2) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適......................50. 圖 5.5. 美國 r 24 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換 變數為 r1(t ) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適..........................51. 圖 5.6. 日本 r1 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換變 數為 r1(t − 1) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適.........................52. IV.
(9) 圖 5.7. 日本 r 3 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換 變數為 r 3(t − 4) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適....................53. 圖 5.8. 日本 r 6 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換 變數為 r 6(t − 7) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適....................54. 圖 5.9. 日本 r12 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換變 數為 r12(t − 1) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適.......................55. 圖 5.10 日本 r 24 樣本內配適，上、中、下圖依序為線性模型、非線性轉換 變數為 r 24(t − 2) 與非線性轉換變數為 x(t ) 時之模型適..................56 圖 5.11 轉換變數 r1(t − 1) 下之美國 r1 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線 性與非線性模型...........................................................................57 圖 5.12 轉換變數 x(t ) 下之美國 r1 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................58 圖 5.13 轉換變數 r1(t ) 下之美國 r 3 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................59 圖 5.14 轉換變數 x(t ) 下之美國 r 3 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................60 圖 5.15 轉換變數 r 6(t − 1) 下之美國 r 6 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線 性與非線性模型...........................................................................61 圖 5.16 轉換變數 x(t ) 下之美國 r 6 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性. V.
(10) 與非線性模型...............................................................................62 圖 5.17 轉換變數 r12(t − 2) 下之美國 r12 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期 線性與非線性模型.......................................................................63 圖 5.18 轉換變數 x(t ) 下之美國 r12 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................64 圖 5.19 轉換變數 r1(t ) 下之美國 r 24 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線 性與非線性模型...........................................................................65 圖 5.20 轉換變數 x(t ) 下之美國 r 24 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................66 圖 5.21 轉換變數 r1(t − 1) 下之日本 r1 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線 性與非線性模型...........................................................................67 圖 5.22 轉換變數 x(t ) 下之日本 r1 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................68 圖 5.23 轉換變數 r 3(t − 4) 下之日本 r 3 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期 線性與非線性模型.......................................................................69 圖 5.24 轉換變數 x(t ) 下之日本 r 3 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................70 圖 5.25 轉換變數 r 6(t − 7) 下之日本 r 6 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期 線性與非線性模型.......................................................................71. VI.
(11) 圖 5.26 轉換變數 x(t ) 下之日本 r 6 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................72 圖 5.27 轉換變數 r12(t − 1) 下之日本 r12 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期 線性與非線性模型.......................................................................73 圖 5.28 轉換變數 x(t ) 下之日本 r12 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................74 圖 5.29 轉換變數 r 24(t − 2) 下之日本 r 24 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性與非線性模型....................................................................75 圖 5.30 轉換變數 x(t ) 下之日本 r 24 樣本外預測，依序為 12、30 與 60 期線性 與非線性模型...............................................................................76. VII.
(12) 第一章. 第一節 前. 緒. 論. 言. 股市是經濟的櫥窗，被視為一國經濟表現的領先指標，而股票市場指數的強 弱更是反映了上市公司的獲利願景。公司的經營者所預期未來營運前景的訊息會 直接反映在股利發放政策上，另一方面，投資人藉由公司股利的發放來瞭解公司 所預期的前景，進而影響投資者的投資決策，是投資人衡量公司經營價值的重要 指標。在財務經濟學上，已經有許多學者致力於探討股價與股利之間關係，而大 多數的實證結果也顯示股價會受到股利資訊變動的影響。Pike et al. (1993) 的研 究認為本益比 (price/earning ratio) 與股價對每股現金流量比 (price/cash flow ratio) 等股利資訊對於股票價值的評定有著重要的影響。Lonie, et al. (1996) 的實 證研究則指出股價與股利間呈現正向關係。. 第二節 研究動機與目的 在先前的研究中，多是以線性的現值模型來探討股價與股利之間的關係。然 而線性現值模型的固定股票期望報酬與固定折現率假設，與 Campbell et al. (1997，以下簡稱 CLM) 所提出的股票期望報酬的可預測性以及隨時間變異的實 證結果相左，因此，股價與股利之間的關係應為非線性。Granger and Teräsvirta (1993) 也指出由於經濟變數所呈現多為非線性過程，因此線性現值模型無法解 釋股價為股利的函數。此外，一些理論模型也證實股價與股利間的關係確實為非 線性，例如 fads model (Summer, 1986) 、 trigger strategies model (Krugman, 1987) 以及 intrinsic bubbles model (Froot and Obstfeld, 1991) 等。 在理性預期的模型背景下，股利價格比 (dividend-price ratio) 通常被用來反 映未來股利的前景，和表示為未來股利折價成現值的折現率。當股利被預期下降. 1.
(13) 時，股利價格比應該會較高。Campbell and Shiller (1988a,b) 建議將 Gordon 的 股利以固定成長率 (g ) 成長、折現率 (r ) 固定的股利價格比模型 (D / P = r − g ) 做. loglinear 動態化。然而股利成長與折現率隨時間而改變，股價與股利之間的關係 應為非線性。而存在股價、股利與報酬間 loglinear 關係可提供良好的會計架構： 高報酬必定聯繫著期望股利的向上修正，期望報酬的向下修正。. CLM 採用 Campbell and Shiller 對現值模型的 loglinear 近似法來估計股 利價格比對於股票報酬的預測能力，而且結論出，當期數越長時，股利價格比對 於股票報酬的預測能力越佳。. Kanas (2005) 延續 Campbell and Shiller 的 loglinear 現值模型，以無母數非 線性方法以及局部加權迴歸 (locally weighted regression, LWR) 來對英國、美 國、日本及德國等四國的股市進行樣本外預測的比較。他的實證結果強力支持股 價股利比與股票報酬間的非線性關係，而且局部加權迴歸的樣本外預測能力也優 於 Campbell and Shiller 的 loglinear 迴歸。 本文的研究以 CLM 的模型為基礎，引用 Bacon and Watts (1971) 首先提出 的平滑轉換迴歸 (smooth transition regression, STR) 來探討股價股利比與股票報 酬間的非線性關係，並且將我們的非線性 STR 模型與 CLM 的 loglinear 模型 進行樣本內配適與樣本外預測的比較。而本文實證研究的對象為全球前兩大經濟 體—美國與日本，資料蒐集的研究期間則自 1978 年 1 月起至目前最近期由. Datastream 財務資料庫中所取得的月資料。. 第三節 研究架構 本文架構可分為六章，第一章為緒論，說明本文的研究動機、目的與架構。 第二章為文獻回顧，概述股價股利比與非線性 STR 模型相關文獻。第三章為理 論模型的推導，詳述本文相關理論模型及所使用的計量方法。第四章為本文實證 方法之介紹。第五章為實證結果與分析。第六章為結論。. 2.
(14) 第二章 文獻回顧. 第一節 股價與股利研究相關文獻 目前已經有很多的實證研究顯示股票報酬是可以預期的。Fama and French. (1988a) 採用股利價格比來預測在紐約證券交易所交易的市值加權與均等加權有 價證券為期一個月到四年的股價報酬，並且利用迴歸模型的 R 2 來衡量股利對 於股票報酬的預測能力，隨著報酬期數愈長，預測能力愈佳。他們提出兩部份的 解釋，第一，高度自我相關導致期望報酬的變異速度快過報酬期數。第二，折現 率於期望報酬的影響會對現值產生相反的效果，減緩了非期望報酬變異的成長。 他們的迴歸模型顯示期望報酬隨著時間改變可小部份說明短期報酬的變異。 而關於股價利股價比的實證研究也改變了財務經濟學者研究資產市場的方 法。Campbell and Shiller (1988a) 採用股利價格比模型來探討股價與股利的時間 變異，並且在現值的未來股利成長率以及折現率為理性預期下，Campbell and. Shiller 建議使用對數股利價格比 (log dividend-price ratio)。他們研究證實股利價 格比的確隨著未來股利成長的理性預期而變動。. Campbell and Shiller (1988b) 採用向量自我迴歸 (vector autoregression, VAR) 來探討股價跟股票報酬間的關係。Campbell and Shiller 運用他們的現值模型， 估算變動幅度更大、幾乎無相關的股價利股價比對數值對於預測報酬的影響， 其結果顯示股價超過一般變動幅度的部份會直接影響到長期報酬的預測能力。. Hodrick (1992) 探討在長期預期下導引推論以及衡量的三種方法。他採用最 小平方法 (ordinary least squares, OLS) 迴歸做為他的第一種方法，並以 Fama. and French (1988b) 所發展的迴歸模型為標準範例。第二種方法是以 Jegadessh (1990) 所提倡的改良式 OLS 迴歸來評定預測的統計顯著性。如果 OLS 迴歸的 斜率係不等於零，則迴歸因與迴歸值的共變數必定為非零。第三種方法認為可藉 由 Campbell and Shiller (1988) 、 Kandel and Stambaugh (1988) 以及 Campbell 3.
(15) (1991) 所採用的 VAR 反覆往前線性預期一期而產生長期線性預測。他的研究 顯示股利的變動對於股票期望報酬的持續變動的預測相當顯著。. Nasseh and Strauss (2004) 探討股價與股利間是否存在穩定的關係。作者使用 panel cointegration 檢定與估計方法，以在 S&P 100 中的 84 家公司在 1979 至 1999 期間的季資料來探討股價與股利的長期關係並且檢定現值模型。實證研究 結果顯示在所研究的期間，這些公司的股價與股利間存在近乎一對一的長期關 係。而且超過三分之一的股利短期變動可由股價來解釋。. Lettau and Ludvigson (2005) 發展了一個以消費為基礎，為股利成長函數的 現值關係，並發展一條將由總合財富衍生的總合消費、股利支付，與預期未來所 得流量的成長率結合在一起的算式，藉由觀察變數，這條算式闡釋了未來股利成 長的現值關係。他們採用 1948–2001 期間美國股市的年資料來進行實證研究。研 究顯示股利成長預測的改變對於美國股市的波動有很大的影響，總合消費、股利 和勞動工資有共整合現象，並且股利成長可預測的變動可以導正這三項共同的偏 誤趨勢。. Kanas (2005) 延續 CLM 的研究，並且探討英國、美國、日本與德國的長期 股票報酬除了本身過去的報酬之外，是否可以預測變數來預期。接著運用三種非 線性無母數方法來檢定上述四國的靜態以及動態的股利價格非線性關係，這三種 方法分別是非線性共整合 (nonlinear cointegration) 、 LWR 與非線性 Granger 因果檢定關係 (nonlinear Granger causality tests)。研究結果支持股價股利間存在 非線性關係。. 第二節 非線性模型相關文獻 Bacon and Watts (1971) 與 Quandt(1985) 提出轉換迴歸模型 (switching regression model)，而門檻自我迴歸模型 (threshold autoregressive model, TAR) 長 久以來被視為即是單變量形式的轉換迴歸模型，門檻自我迴歸模型是由 Tong. 4.
(16) (1978) 與 Tong and Lim (1980) 首先提出，其以轉換變數 (transition variable) 及 門檻值 (threshold value) 來轉換模型中不同的狀態 (regime)。Tiao and Tsay (1994) 針對美國 1947 年至 1991 年之調整後實質 GNP (real gross national production) 資 料，分別以 TAR 模型及線性自我迴歸 (autoregressive, AR) 模型進行分析比 較，其研究結果顯示，相較於僅能反應資料一般性質的線性 AR 模型，TAR 模 型能夠有效的擷取到美國景氣衰退以及擴張期間實質 GNP 資料所呈現的不對 稱特性，並且作者也發現 TAR 模型擁有較佳的，以均方差 (mean square error) 所衡量的樣本外預測能力。 而 一 個 二 狀 態 轉 換 迴 歸 模 型 即 為 標 準 平 滑 轉 換 迴 歸 (smooth transition. regression, STR) 模型的特例。STR 模型最早是由 Goldfeld and Quandt (1972, p.263-264) 與 Maddala (1977, p.396) 所提出，不同於 TAR 模型變數之調整速度 為瞬間變動， STR 模型變數之調整速度為隨著轉換函數而平滑變動，近期. Granger and Teräsvirta (1993) 、 Teräsvirta (1998) 以及 Franses and van Dijk (2000) 針對 STR 模型都有詳盡的探討。Teräsvirta and Anderson (1992) 採用平滑轉換 自我迴歸 (smooth transition autoregressive, STAR) 模型，針對十三個 OECD. (Organization for Economic Cooperation and Development) 國家進行景氣循環相關 指標之驗證，其研究結果發現這些國家景氣循環呈現非線性之性質。Teräsvirta. (1994) 考慮兩個不同轉換變數形式的 STAR 模型，LSTAR (logistic STAR) 與 ESTAR (exponential STAR)，並且進一步建構完整的線性檢定步驟來判定所估計 之時間序列資料最適計量模型為線性或是非線性，包括決定採用何種非線性模 型。. Lütkepohl, Teräsvirta and Wolters (1999) 使用德國 1960 年至 1995 年季資 料，並且採用 STR 模型來研究德國 M1 貨幣需求之穩定性與其資料所呈現之 線性或非線性性質，其研究結果發現德國 M1、所得、利率與通貨膨脹之間在. 1990 德國貨幣尚未統一前呈現穩定之線性關係，但在德國貨幣統一後，卻顯示 其時間序列資料呈現符合 LSTR (logistic STR) 模型，作者也據此提出德國 M1 5.
(17) 不適合做為貨幣政策之操作的建議。. van Dijk, Teräsvirta and Franses (2002) 探討近來 STAR 時間序列模型的發展 與其一些衍生模型，包括多重狀態 (regimes)、隨時間變異 (time-varying) 非線 性特性與向量時間序列形式的平滑轉換模型，並且進一步採用新的 STAR 非線性 檢定與模型估算的方法，包括樣本外 (out-of-sample) 預測方法與脈衝反應分析. ( impulse response analysis)，以及非線性平滑轉換模型之外可能的影響變數及其 對模型分析的影響，對 STAR 模型與其分析系統建立了更完整的架構。. Baharumshah and Liew (2006) 使用六個東亞國家貨幣對日圓匯率的季資 料，包括印尼盾、韓圜、馬來西亞幣、菲律賓披索、新加坡幣以及泰銖，進行. STAR 模型、AR 模型與簡單隨機漫步 (simple random walk, SRW) 模型的預測能 力比較。實證發現購買力平價說 (Purchasing Power Parity) 偏離呈現非線性的平 均數復歸 (mean reversion)，其結果顯示匯率的調整為非線性，且 STAR 模型與. AR 模型的預測能力較 SRW 模型佳，其中非線性的 STAR 模型預測能力更是 優於線性的 AR 模型。. 6.
(18) 第三章. 理論模型. 在第 t + 1 期的簡單毛股票報酬可以定義為. Rt +1 ≡. Pt +1 + Dt +1 Pt. (3.1). 其中， Pt 為第 t 期股票價格， Dt +1 為第 t + 1 期的股利， Rt +1 為第 t 期到 第 t + 1 期持有股票的報酬。 根據 CLM 的實證研究顯示，股票期望報酬具有可預測以及隨著時間變動 的特性，且股價與股票報酬間存在非線性關係。Campbell and Shiller (1988a) 與. CLM 以 (3.1) 式推導出隨時間變異的期望報酬的現值關係的 loglinear 近似 值。. Loglinear 近似值的起始點為股票報酬對數值的定義，則由 (3.1) 式可得. rt +1 ≡ log(Pt +1 + Dt +1 ) − log(Pt ) = pt +1 − pt + log(1 + exp(dt +1 − pt +1 )). (3.2). 其中英文字母小寫表示變數的對數值，(3.2) 式右邊最後一項為股利價格比的非. (. ). 線性函數， f (dt +1 − pt +1 ) 。在平均數 d t +1 − pt +1 處做一階泰勒展開，(3.2) 式變 成：. rt +1 ≈ k + ρpt +1 + (1 − ρ )dt +1 − pt 其中， ρ. 與 k. (3.3). [. (. 為 線 性 化 參 數 ， 分 別 定 義 為 ρ ≡ 1 + exp dt +1 − pt +1. )]. −1. 與. k ≡ − log(ρ ) − (1 − ρ )log(ρ −1 − 1) 。 為 了 消 除 理 性 泡 沫 ， 加 入 條 件 式 lim ρ j pt + j = 0 ，代入前期求解可得 j →∞. pt =. [. ∞ k + ∑ ρ j (1 − ρ )d t +1+ j − rt +1+ j 1 − ρ j =0. ]. (3.4). 因為 pt 在第 t 期為未知，且 pt = Et [ pt ] ，則對 (3.4) 式取期望值可得下式： pt =. ⎡∞ ⎤ k + E ⎢∑ ρ j (1 − ρ )d t +1+ j − rt +1+ j ⎥ 1 − ρ t ⎣ j =0 ⎦. [. 7. ]. (3.5).
(19) 接著 (3.5) 式可以對數股利價格比取代股價對數值改寫成下式： d t − pt = −. ⎡∞ ⎤ k + E ⎢∑ ρ j − Δd t +1+ j + rt +1+ j ⎥ t 1− ρ ⎣ j =0 ⎦. [. ]. (3.6). 當股利呈現 loglinar 單根過程時， (3.6) 式中股利對數值與股價對數值為定態. (. ). (stationary)。在這個的例子裡，股利對數值的變動為定態，也就是 Δdt ~ 0,σ 2 ， 且 由 (3.6) 式 ， 對 數 股 利 價 格 比 為 定 態 使 得 股 票 期 望 報 酬 也 為 定 態 ， 即. (. ). r ~ r , σ r 。因此股價對數值與股利具有共整合 (CLM, page 264)。故 (3.6) 式可 2. 改寫為 ∞. d t − pt = E ∑ ρ j (rt +1+ j ) t. j =0. 接著我們取 K (K > 1) 期，可得. [. ]. E ρrt +1 + ρ 2 rt + 2 + ... + ρ K rt + K = β (K )(d t − pt ) t. [. ]. ⇒ ρrt +1 + ρ 2 rt + 2 + ... + ρ K rt + K = β (K )(dt − pt ) + ε t + K. [. ]. or ρr + ρ 2 r + ... + ρ K r = β (K )(d t − pt ). (3.7) (3.7a). 其中 CLM 指出當期數 K 趨向無限大時，係數 β (K ) 會趨近於 1。Campbell. and Shiller (1988a) 限制折現因子 ρ 由平均股利對數值所決定，因此 ρ 會趨 近於但小於 1。 故當 ρ = 1 時， (3.7) 式變成 K. [rt +1 + ... + rt + K ] = ∑ rt + k = β (K )(dt − pt ) + ε t + K. (3.8). k =1. 此外，由 (3.7a) 式我們可得. r=. 1− ρ ⋅ β (K )(dt − pt ) ρ (1 − ρ K ) K. 當期數 K 趨向無限大時， lim ∑ K →∞. rt + k. k =1. 為 r 的不偏估計式。. K. 我們將 (3.8) 式做整合並改寫為 K [rt +1 + ... + rt + K ] = ∑ rt + k = K (1 − ρK) β (K )(dt − pt ) + υt + K ≡ β ′(dt − pt ) + υt + K k =1. ρ (1 − ρ. ). 8. (3.9).
(20) 其中 β ′ ≡. K (1 − ρ ) β (K ) ， υt + k 為白噪音 (white noise)。CLM 以 (3.8) 式進 ρ (1 − ρ K ). 行實證研究，並且證實對數股利價格比對於未來股票報酬有預測能力，而且當期 數愈長，預測能力愈佳。 本文試著取消 ρ = 1 的限制，合理的假設 ρ 會隨著時間而變動，並且採 用由 Bacon and Watts (1971) 與 Quandt (1985) 提出的平滑轉換迴歸來處理 (3.9) 式的非線性迴歸。標準的 STR 模型定義如下：. yt = φ ′zt + θ ′zt G (γ , c, st ) + ε t ′ = [φ + θ ⋅ G (γ , c, st )] zt + ε t ,. t = 1,..., T. 其中 yt 為應變數， zt 為一個解釋變數向量， φ 與 θ 為參數向量，. ε t ~ iid (0,σ 2 ) 。 G (γ , c, st ) 為轉換函數，並且在任意的轉換變數 st 之下，在參 數空間裡為連續。 γ 為斜率參數，或稱為轉換函數的調整速度，而 c 為位置 參數，稱為門檻值 (threshold value)。 因此我們可由 (3.9) 式導出一個 STR 模型如下： K. ∑r k =1. t +k. = β ′ ⋅ (d t − pt ) + θ ⋅ (d t − pt ) ⋅ G (r , c, st ) + υ t + K = (β ′ + θ ⋅ G ( st ) ) ⋅ (d t − pt ) + υ t + K. ⇒ dt − pt = 其中 s t 可能為. ∑r. t +k. K 1 rt + k + υt + K (β ′ + θ ⋅ G ) ∑ k =1. (3.10). 或 d t − pt 之落遲項，不同於 CLM 的估計式，我們假. 設 ρ 隨著時間而變動，並且估算 (3.10) 式來探討對數股利價格比與股價報酬 期數之間更合理的關係。此外為了通過模型檢定 (Misspecification Tests)，如序列 相關檢定 (serial correlation test)、參數不變性檢定 (parameter constancy test) 及無 剩餘非線性檢定 (no remaining nonlinearity test) 等，我們於 (3.10) 式解釋變數中 亦加入應變數 ( ∑ rt +k ) 的落遲項，並且以 AIC (Akaike Information Criterion) 與. SBC (Schwartz Bayesian Information Criterion) 等準則來選取最適落後期數。. 9.
(21) 第四章. 實證研究方法. 原始資料. 單根檢定. 線性檢定. 線性模型(樣本內). 非線性模型(樣本內). K. ∑ rt+k = β (K )(dt − pt ) + ε t +K. ∑rt+k = ∑αi rKt−i + (β′ +θ ⋅ G)(dt − pt ) +υt+K. 模型評估. 模型評估. k =1. K. n. k=1. i=1. Ljung-Box Q, ARCH-LM, JB Tests. SC, NRN, PC, ARCH-LM Tests. 樣本內配適比較 MSE, RMSE. 樣本外預測 Point and Interval Forecasts. 樣本外預測力比較 Diebold & Mariano (1995) test. 結論. 圖 4.1 實證研究方法流程圖 圖4.1 為本文實證研究方法流程圖。首先，單根檢定是用來檢驗時間序列資. 10.
(22) 料是否為定態，然後根據單根檢定的結果判定使用 OLS 或是 Phillips and. Hansen (1990) 所提出的 fully-modified OLS (FM-OLS) 來找出股利價格比與股 票報酬間的長期經濟意涵。第二，我們採用 Teräsvirta (1994, 1998) 的輔助迴歸， 並進行線性檢定來判定最適之計量模型為線性或非線性。如果檢定出 STR 為最 適模型，我們將使用一些診斷檢定針對非線性模型進行模型之評估，包括序列相 關檢定 (serial correlation test) 、無剩餘非線性檢定 (no remaining nonlinearity. test)、參數不變性檢定 (parameter constancy test) 以及 ARCH-LM 檢定，另一方 面我們也估計線性模型做為非線性 STR 模型的對照基準。第三，雖然誤差均方 根(root mean square error) 原來是設計做為樣本外的評估，但是本文我們用來比 較線性與非線性模型的樣本內配適程度。並且我們採用 Rapach and Wohar (2006) 的 bootstrapping approach 來取得線性與非線性模型的樣本外點預測與區間預 測。最後我們使用 Diebold and Mariano (1995) 的預測準確性檢定來比較線性與 非線性模型的預測能力。. 第一節 單根檢定 時間序列模型通常被用來分析各種總體經濟議題。大部份近期的研究指出經 濟或財務上時間序列變數的資料產生過程 (data generating process, DGP) 可能會 有隨機漫步 (random walk) 的特性，如此這些變數即為非定態 (nonstationary)。 在變數為非定態的情形下，使用傳統 OLS 可能會產生假性迴歸的情況 (Granger. and Newbold, 1974)。假性迴歸有高的 R 2 值與顯著的 t 檢定統計量，但是卻沒有 任何的經濟意涵。本文我們使用 Augmented Dickey-Fuller 檢定 (ADF test) 來檢 定時間序列變數是否為定態。 假設一個服從 AR(p) 過程的 y 序列，其一般式可以表示如下：. yt = a0 + a1 yt −1 + a2 yt −2 + ... + a p−1 yt − p+1 + a p yt − p + ε t. (4.1). ADF 檢定考慮三條以 (4.1) 式為基礎的迴歸式，並且用來檢定是否存在單根： 11.
(23) p. Δyt = γyt −1 + ∑ β i Δyt −i+1 + ε t. (4.2). i =2. p. Δyt = a0 + γyt −1 + ∑ β i Δyt −i+1 + ε t. (4.3). i =2. p. Δyt = a0 + γyt −1 + a2t + ∑ β i Δyt −i+1 + ε i. (4.4). i =2. p p ⎛ ⎞ 其中 γ = −⎜⎜1 − ∑ ai ⎟⎟ ， β i = −∑ a j 。Dickey and Fuller 針對 (4.2)、(4.3) 與 (4.4) j =i ⎝ i=1 ⎠. 式的非定態虛無假設發展了三個檢定統計量，依序為 τ 、 τ μ 與 τ τ 。另外他 們也提供了三個 F 檢定統計量 — φ1 、 φ2 與 φ3 來檢定聯合假設的係數。. φ1 、 φ2 與 φ3 的定義與普通 F 檢定統計量相同，如下：. φi =. [SSRrestricted − SSRunrestricted ]/ r SSRunrestricted / (T − k ). 其中 r 為限制式的數目， T 為未受限制模型所估計的參數個數，而 T − k 為未受限制模型的自由度。完整的 100 個樣本的檢定統計量與臨界值摘要如表. 4.1 ， Enders (2004) 根據 Doldado et al. (1990) 建議如圖 4.2 所示的單根檢定程 序來檢定當 DGP 完全未知時時間序列變數是否存在單根。. 表 4.1 Augmented Dickey-Fuller 檢定摘要 模. 型. 5% 與 1%. 統計量. 顯著水準臨界值. γ =0. ττ. -3.45 與 -4.04. γ = a2 = 0. φ3. 6.49 與 8.73. a0 = γ = a2 = 0. φ2. 4.88 與 6.50. γ =0. τμ. -2.89 與 -3.51. a0 = γ = 0. φ1. 4.71 與 6.70. γ =0. τ. -1.95 與 -2.60. 虛無假設. p. Δy t = a 0 + γy t −1 + a 2 t + ∑ β i Δy t −i +1 + ε t i=2. p. Δyt = a0 + γyt −1 + ∑ β i Δyt −i+1 + ε t i =2. p. 檢定. Δyt = γyt −1 + ∑ β i Δyt −i+1 + ε t i =2. 12.
(24) 估計(4.4)式. 拒絕 H 03. yt 為定態. H 03 : γ = 0. 否. 不拒絕 H 03. H 0 : a 2 = 0 | H 03 : γ = 0. 以常態分配 檢定 γ = 0. 拒絕 H 0. 是. yt 為非定態. 不拒絕 H 0 估計(4.3)式. 拒絕 H 02. yt 為定態. H 02 : γ = 0. 否. 不拒絕 H 02. H 0 : a0 = 0 | H 02 : γ = 0. 以常態分配 檢定 γ = 0. 拒絕 H 0. 是. yt 為非定態. 不拒絕 H 0 估計(4.2)式. 拒絕 H 01. yt 為定態. H :γ = 0 1 0. 不拒絕 H 01. yt 為非定態. 圖 4.2 單根檢定程序. 第二節 Fully-Modified OLS 如果對數股利價格比與股票報酬的期數皆為定態，則可直接以 OLS 來估計. (3.8) 式 ， 若 為 非 定 態 ， 則 應 用 Phillips and Hansen (1990) 所 提 出 的 fully-modified OLS (FM-OLS) 來估算 (3.8) 式並找出長期關係。FM-OLS 適合 用來處理像 (3.9) 式不考慮資料有 I (1) 與 I (0) 特性的時間序列迴歸。非定態 變數使用 FM-OLS 的優點在於以 FM 迴歸為基礎的假設檢定近似於常態，因此. 13.
(25) 我們可以正式檢定是否 β ( K ) = 1 ，也就是檢定是否 ρ = 1 。. Phillips and Hansen (1990) 與 Phillips (1995) 所發展的基本模型如下： yt = Axt + u0t. (4.5). 其中 yt 為獨立變數， A 為一 n × m 的係數矩陣， xt 為一 m(= m1 + m2 ) 維的 共整合向量或是根據下列式子所定義的可能定態迴歸值。. H1′xt = x1t = u1t. (m1 × 1). H 2′ xt = Δx2t = u2t. (m2 × 1). 其中 H = [H1 , H 2 ] 為 m × m 直交而且將 (4.5) 式的迴歸值快速旋轉，所以模型 可以改寫成：. yt = AH1 x1t + AH 2 x2t + u0t. (4.5a). 然後 (4.5a) 式 可以資 料矩陣的 形式改寫為 Y ′ = AH1 X 1′ + AH 2 X 2′ + U 0′ ，其中 X 1′ = U1′ ， ΔX 2′ = U 2′ ，且 Y ′ = [ y1 ,K, yT ] 為一 1× T 矩陣。創造一個新的向量. ut = (u0′ t , u1′t , u′2t )′ 為平均數為零的嚴格定態，有限共變數矩陣 Σ > 0，與“長期＂ 共變數矩陣 Ω ，其中 ∞. Ω = Σ + Λ + Λ′ = Δ + Λ′ 、 Σ = E (u0u0′ ) 、 Λ = ∑ E (u0u0′ ) 和 Δ = Σ + Λ 。 k =1. 我們接著以 ut 分割 Ω 、 Σ 、 Λ 與 Δ ，因此我們可以得到下列 Ω 與 Λ 的例子： ⎡Ω 00 ⎢ Ω = ⎢ Ω10 ⎢⎣Ω 20. ′ Ω10 Ω11 Ω 21. Ω′20 ⎤ ⎡Ω Ω′21 ⎥⎥ ≡ ⎢ 00 Ω Ω 22 ⎥⎦ ⎣ 0 x. ⎡Λ 00 Ω′0 x ⎤ ⎢ 、 Λ = ⎢ Λ10 Ω xx ⎥⎦ ⎢⎣Λ 20. ′ Λ10 Λ11 Λ 21. Λ′20 ⎤ ⎡Λ Λ′21 ⎥⎥ ≡ ⎢ 00 Λ Λ 22 ⎥⎦ ⎣ 0 x. Λ′0 x ⎤ Λ xx ⎥⎦. 序列相關修正項可以推導為 ˆ Ω ˆ −1Δˆ Δˆ +0 x = Δˆ 0 x − Ω 0x xx xx ˆ ˆ 其中 Δˆ 0 x 、 Δˆ xx 、 Ω 0 x 與 Ω xx 依序為長期共變數 Δ 0 x 、 Δ xx 、 Ω 0 x 與. Ω xx 的核心估計值。這個 OLS 迴歸的修正項被用來考慮在 u2t 衝擊下序列共變 數的影響，而 u2t 主導非定態迴歸值 x2t (也就是在 x2t 的單根) 和在誤差 u0t 14.
(26) 與 u2t 過去歷史間的任何序列共變數。接著內生性修正可以藉由轉換如下式的. (4.5)式變數 yt 而完成。 ˆ Ω ˆ −1Δx yt+ = yt − Ω 0x xx t. 最後結合內生性與序列相關修正，FM-OLS 估計式變為 Aˆ + = (Y +′ X − TΔˆ +0 x )( X ′X ) −1. (4.6) K. 現在我們可以簡單的將 (4.5) 式中的 yt 與 xt 依序替換成. ∑r k =1. t +k. 與 (d t − pt ). 來得到 β ( K ) 的 FM-OLS 估計式，為 βˆ ( K ) + 。. 第三節 平滑轉換迴歸模型 本文我們以 Teräsvirta (2004, p.222) 所建議的 STR 模型為根據。標準的. STR 模型定義如下： yt = φ ′zt + θ ′zt G (γ , c, st ) + ε t ′ = [φ + θ ⋅ G (γ , c, st )] zt + ε t ,. t = 1,K, T. (4.7). 其中 yt 為獨立變數， zt = ( wt′, xt′ )′ 為一解釋變數向量， wt′ ≡ (1, yt −1 ,K, yt − p )′ ，. xt′ ≡ ( x1t ,K, xkt )′ 。此外， φ = (φ0 , φ1 ,K, φm )′ 與 θ = (θ 0 ,θ1 ,K,θ m )′ 為 ((m + 1) ×1) 參數向量， m = p + k ，且 ε t ~ iid (0, σ 2 ) 。轉換函數的一般式為 −1. N ⎛ ⎧ ⎫⎞ G (γ , c, st ) = ⎜⎜1 + exp⎨− γ ∏ (st − cn )⎬ ⎟⎟ , γ > 0 ⎭⎠ ⎩ n=1 ⎝. (4.8). 其中 γ 為斜率參數，或稱為轉換函數的調整速度，而 ct 為位置參數，稱為門 檻值 (threshold value)， st 為轉換變數，通常為 zt 的要素。G (γ , c, st ) 在 N = 1 與 N = 2 時最常被運用，分別描述如下：. (1) N = 1 : LSTR1 當 N = 1 時，轉換函數的形式如下： 15.
(27) GL1 (γ , c1 , st ) = (1 + e −γ ( st −c1 ) ) −1 ,. γ >0. 它具有單調遞增轉換與不對稱的特性。將上式代入 (4.7) 式的 G (γ , c, st ) ，即為 有一個門 檻 值 的 對 數 平 滑 轉 換 迴 歸. regression)(LSTR1) 。 當. st. (logistic smoothed transition. 遞增時，轉換函數由. 0 變動到. 1，即. φ + θ ⋅ GL1 (γ , c1 , st ) 由 φ 單調變動到 φ + θ 。轉換變數 st 與轉換函數間的關係 描繪在圖 4.3。 圖 4.3 顯示當平滑參數 γ 非常大，GL1 (γ , c1 , st ) 在 st = ct 時幾乎是瞬間由. 0 變動到 1 (圖中實線部份)，因此當 γ → ∞ 時，LSTR1 模型即為 Tong (1978) 所提出的門檻自我迴歸模型 (threshold autoregressive model, TAR)。TAR 模型的 轉換函數二分為非 0 即 1。然而當 γ = 0 時，STR 模型則簡化為線性模型。. 圖 4.3 LSTR1 模型之轉換函數. (2) N = 2 : LSTR2 當 N = 2 時，即有兩個門檻值 ( c1 與 c2 )，轉換函數可表示為. GL 2 (γ , c1 , c2 , st ) = (1 + e −γ ( st −c1 )( st −c2 ) ) −1 ,. γ >0. 如圖 4.4 所示，對數函數在中點 (c1 + c2 ) 2 達到最小值，並且沿著中點兩旁對 稱變動，在 st 最大與最小值時，兩邊局部動態過程是相似的，但是在 st 的中 點則不一樣。將 GL 2 (γ , c1 , c2 , st ) 代入 (4.7) 式中的轉換函數，即定義為有兩個 門檻值的對數平滑轉換迴歸—LSTR2。當 γ → ∞ 時，則為另一個有三個狀態的 16.
(28) 轉換迴歸，其中處於外邊的兩個狀態是相同的，而中間的狀態則與外邊兩個狀態 不同。另一方面當 γ = 0 時， GL 2 (γ , c1 , c2 , st ) =. 1 ，而 LSTR2 與 LSTR1 一樣 2. 簡化為線性模型。. 圖 4.4 LSTR2 模型之轉換函數. LSTR2 模型的另一種可能的型式為指數 STR (exponential STR, ESTR) 模 型，其轉換函數定義如下： 2. GE (γ , c1 , st ) = 1 − e −γ ( st −c1 ) , GE (γ , c1 , st ). 如 圖 4.5 所 示 沿 著. st = ct. γ >0. 兩 旁 對 稱 ， 與 LSTR2 模 型 的. GL 2 (γ , c1 , c2 , st ) 有相似的圖形。當 γ = 0 時， GE (γ , c1 , st ) = 1 ，ESTR 也簡化為 線性模型。. 圖 4.5 ESTR 模型之轉換函數 17.
(29) 而 ESTR 有個缺點，當 γ → ∞ 時 ESTR 幾乎變成一條直線，因為在. st = ct (中間狀態為一個點)時，GE (γ , c1 , st ) = 0 ，其他部份則成為一體(外邊狀態包 含了 st = ct 以外所有 st 的範圍)。由於上述情況幾乎為線性，所以我們選擇. LSTR2 模型來描繪有對稱特性的經濟變數。. 第四節 線性檢定 由上述 STR 的分析，我們了解當轉換函數的速度參數 γ 接近無限大時，. STR 模型會變成線性模型，因此必須要檢定 γ 是否消失來確認迴歸模型的線 性。 回 想 (4.7) 與 (4.8) 式 的 標 準 STR 模 型 ， 現 在 假 設 轉 換 變 數 st 為. zt = ( wt′, xt′ )′ 的一個要素。Luukkonen, Saikkonen, and Teräsvirta (1998) 建議使用 二階以及三階泰勒展開式對 LSTR1 與 LSTR2 模型分別在 γ = 0 處展開，然 後我們可以得到線性檢定的輔助迴歸式如下： 3. yt = β 0′ ⋅ zt + ∑ β ′j ⋅ zt ⋅ stj + ε t* , j =1. t = 1,K, T. (4.9). 其中 β ′j 與 β 0′ 為係數矩陣， ε t* = ε t + R3 (γ , c, st ) ⋅θ ′ ⋅ zt 為白噪音。虛無假. ~ 設為 H 0 : β1 = β 2 = β 3 = 0 ，因為每一個 β j (j=1, 2 ,3) 都是 γ ⋅ β j 的形式，其中 ~. β j ≠ 0 是 θ 與 c 的函數。圖 4.6 是線性檢定的流程。. 第五節 模型評估 如果線性檢定結果為線性模型較適合所研究的時間序列資料，則接著根據資 料的定態與否來決定執行 FM-OLS 或是 OLS，來探討對數股利價格比與股票報 酬的長期關係。此外一些診斷檢定可以用來完成殘差檢定，包括檢定序列自我相 關的 Ljung-Box Q，ARCH-LM 檢察條件異質變異數以及 Jarque-Bera 檢定常態 性，三個檢定簡單介紹如下： 18.
(30) H 0 : β1 = β 2 = β 3 = 0. 不拒絕 H 0. ( SSER − SSEU ) 3 p F= SSEU T − (4 p + 1). Linear model. 拒絕 H 0. Test 1. H 01 : β3 = 0 F1 =. 拒絕 H 01 LSTR1 model. ( SSE2 R − SSE3U ) p SSE3U T − (4 p + 1) 不拒絕 H 01. Test 2. H 02 : β 2 = 0 | β 3 = 0 F2 =. 拒絕 H 02. ( SSE1R − SSE2U ) p SSE2U T − (3 p + 1). LSTR2 model. 不拒絕 H 02. Test 3. H 03 : β1 = 0 | β 2 = β 3 = 0 F3 =. 拒絕 H 03 LSTR1 model. ( SSE0 R − SSE1U ) p SSE1U T − (2 p + 1) 不拒絕 H 03 Linear model 圖 4.6 線性檢定流程. ( 1 ) Ljung-Box Q 檢定 在迴歸估計的基本假設中，殘差必需符合無自我相關與常態分配，而在財務 金融方面的時間序列實證研究較常使用 Q 統計量來針對所估計模型之殘差進 行自我相關檢定，我們採用 Ljung-Box Q 統計量，其計算式為 p. Q( p ) = T (T + 2)∑ ρ (i ) 2 (T − i ) , i =1. 19.
(31) 其中殘差 εˆt 的第 i 階自我相關係數 ρ (i ) =. T. ∑ εˆ εˆ. t =i +1. t t −i. T. ∑ εˆ t =1. 2 t. ， T 為樣本數， p. 為落後期數， Q( p) ~ χ 2 ( p) ，虛無假設為 H 0 : 殘差變數自 1 至 p 階皆無自我 相關。. ( 2 ) ARCH-LM 檢定 除了殘差存在自我相關會造成所估計參數會不具有效性之外，迴歸的殘差條 件異質變異亦會造成所估計參數會不具有效性，故模型的條件異質變異數檢定是 模型診斷必要的步驟。ARCH-LM 檢定是文獻上常見的檢定，其檢定步驟如下：. 1. 首先以 OLS 估計一實證模型 yt = xt a ，計算得其殘差 εˆt = yt − xt aˆ ，並 取得時間序列 εˆt2 。. 2. 估計輔助迴歸式 εˆt2 = a0 + a1εˆt2−1 + a2εˆt2−2 + ... + aqεˆt2−q + υt ，並計算其 R 2 ， 其中 q 為落後期數。. 3. 將樣本總數 T 乘以輔助迴歸 R 2 即可得 ARCH-LM 統計量 TR 2，其中. TR 2 ~ χ 2 (q ) ， 虛 無 假 設 為 殘 差 無 條 件 異 質 變 異 ， 即 H 0 : a0 = a1 = ... = aq = 0 。. ( 3 ) Jarque-Bera 檢定 Jarque-Bera 統計量是針對所估計模型之殘差檢定其是否服從常態分配，首 先需計算出殘差之偏態係數 (skewness) S 與峰態係數 (kurtosis) K，其計算式為. JB =. T −n⎛ 2 1 2⎞ ⎜ S + ( K − 3) ⎟ , 6 ⎝ 4 ⎠. 其中 T 為殘差總樣本數，n 為模型待估計參數個數，而 JB ~ χ 2 (2) ，虛無假設 為殘差服從常態分配。 就像任何線性模型一樣，被估計的 STR 模型在用來做樣本外預測或是其他 目的前也需要先評估，序列相關檢定 (serial correlation test)、參數不變性檢定 20.
(32) (parameter constancy test) 與無剩餘非線性檢定 (no remaining nonlinearity test) 被用來評估被選定的 STR 模型的合適性。三個檢定簡單介紹如下：. ( 4 ) 序列相關檢定 (serial correlation test, SC test) 由於時間序列模型經常出現自我相關的現象，即使模型所估計的參數仍然具 有不偏性與一致性等統計特性，但卻不具有效性，因此我們採用序列相關檢定來 檢定殘差是否存在自我相關的現象。假設一模型如下：. yt = M ( zt ;ψ ) + ut ,. t = 1, ... , T,. 其中 u t = α ′υt + ε t ，而 α = (α1 ,..., α q )′ ， υt = (ut −1 ,..., ut −q )′ ， ε t ~ iidN (0, σ 2 ) 。虛 無假設為殘差無序列相關，即 H 0 : α = 0 。. ( 5 ) 參數不變性檢定 (parameter constancy test, PC test) 為檢定非線性時間序列模型是否存在時間趨勢，我們採用參數不變性檢定來 檢定參數隨著時間的改變是否平滑，若所估計的參數值不會隨著時間趨勢而變 動，則稱之為參數具有不變性。考慮一 STR 模型如下：. yt = φ (t )′ zt + θ (t )′ zt G (γ , c, st ) + ut , γ > 0 , 其中 φ (t ) = φ + λφ H φ (γ φ , cφ , t * ) ，θ (t ) = θ + λθ Hθ (γ θ , cθ , t * ) ， H φ 與 H θ 的型式為 K ⎛ ⎫⎞ ⎧ Hψ (γ ψ , cψ , t * ) = ⎜⎜1 + exp⎨− γ ψ ∏ (t * − cψk )⎬ ⎟⎟ ，其中 t * 為時間趨勢項，ψ = φ ,θ ， k =1 ⎩ ⎭⎠ ⎝. 對 Hψ 在 γ ψ = 0 處進行一階泰勒展開可得參數不變性檢定輔助迴歸式如下： K. K. j =1. j =1. yt = β 0′ zt + ∑ β ′j {zt (t * ) j } + ∑ β ′j + K {zt (t * ) j }G (γ , c, st ) + ut* ,. 虛無假設為參數不隨時間變動，即 H 0 : β j = 0, j = 1,..., K 。. ( 6 ) 無剩餘非線性檢定 (no remaining nonlinearity test, NRN test) 藉由線性檢定，我們找出配適時間序列資料最適合的非線性模型，接著我們 21.
(33) 進行無剩餘非線性檢定，來檢定時間序列資料在我們所估計的非線性模型配適之 後是否仍然存在非線性，故我們將每一應變數所對應的模型中另一個未採用的轉 換變數代入模型裡進行無剩餘非線檢定。考慮一 STR 模型如下：. yt = φ ′zt + θ ′zt G (γ 1 , c1 , s1t ) + ψ ′zt H (γ 2,c2 , s2t ) + ut , 其中. H (γ 2 , c2 , s2t ). 為模型中另一個未採用的轉換函數，其型式為. K ⎛ ⎧ ⎫⎞ H (γ 2 , c2 , s2t ) = ⎜⎜1 + exp⎨− γ 2 ∏ ( s2t − c2 k )⎬ ⎟⎟ ，對 H 在 γ 2 = 0 處進行一階泰勒展 k =1 ⎩ ⎭⎠ ⎝. 開可得無剩餘非線檢定輔助迴歸式如下： K. yt = β 0′ zt + θ ′zt G (γ 1 , c1 , s1t ) + ∑ β ′j ( ~ zt s2jt ) + ut* , j =1. 虛無假設為無剩餘非線性存在，即 H 0 : β j = 0, j = 1,..., K 。. 第六節 樣本內配適與樣本外預測能力 我們將資料分為樣本內與樣本外兩組資料。根據理論模型，樣本內資料是用 來估計線性與非線性模型，而樣本外資料則被視為未知，並且將會被利用來比較 線性與非線性模型的樣本外預測能力。接著均方差 (mean square error, MSE) 與 誤差均方根 (root mean square error, RMSE) 被用來比較線性與非線性模型，例如. STR 模型，的樣本內配適。雖然 MSE 與 RMSE 原本是為樣本外預測所設計， 但是我們追隨 Camacho (2004) 透過 MSE 與 RMSE 來檢察樣本內配適與樣本 外預測力。 接下來我們根據 Rapach and Wohar (1995) 的 Bootstrapping Approach 來產 生線性與非線性模型的點預測與區間預測，其建議步驟如下：. 1. 估計樣本內共 t 期之模型 yt = f ( I t −1 ) ，其中 I t −1 為至 t − 1 期所有影 響 y 之變數集合。. 2. 設欲建立 n 期樣本外預期值，假設干擾項服從常態分配，接著模擬出 n. 22.
(34) 期服從標準常態分配之隨機誤差值，並乘上樣本內估計值誤差 ( yt − yˆ t ) 之標準差，可得 n 個模擬殘差 (εˆ1 , εˆ2 ,..., εˆn ) 。. 3. yˆ t+1 = f ( I t ) ，則樣本外估計值為 yˆˆ t +1 = yˆ t +1 + εˆ1. yˆˆ t +2 = f ( I t , yˆˆ t +1 ) + εˆ2 M. yˆˆ t +n = f ( I t , yˆˆ t +1 , yˆˆ t +2 ,..., yˆˆ t +n−1 ) + εˆn 4. 將所估計之 yˆˆ t +1 , yˆˆ t +2 ,..., yˆˆ t +n 與 yt +1 , yt +2 ,..., yt +n 作比較，以評估模型優 劣。. 5. 重複步驟 2 至步驟 4 達 1000 次，即為 Bootstrapping ，可得 t + 1 至. t + n 期 y 之樣本外預測值各 1000 個。 6. 由 1000 個預測值可計算得 yˆˆ t +1 , yˆˆ t +2 ,..., yˆˆ t +n ，將各期之 1000 個預測值由 小至大排列，即可找出 1 − α 信賴區間之上下界。. 接著我們採用 Diebold and Mariano (1995) 提出的六個樣本外預測準確性檢 定來比較它們的預測能力，包括 Diebold-Mariano (DM) 檢定、符號檢定 (the sign. test) 、 Wilcoxon’s signed-rank 檢定 、 Chow 檢定 、 Morgan-Granger-Newbold (MGN) 檢定與 Meese-Rogoff (MR) 檢定，這些檢定廣泛適用於檢定兩個預測準 確性無差異的虛無假設，並且這六個檢定被預期可以發現相對較小的預測誤差。 上述所有方法都包含時間序列 { yt }Tt=1 的兩個預測 { yˆ it }Tt=1 與 { yˆ jt }Tt=1，令預測誤 差為 {eit }Tt=1 與 {e jt }Tt=1 ，其中 eit = yt − yˆ it 與 e jt = yt − yˆ jt 為預測誤差。在許多 的 應 用 中 ， 失 誤 的 函 數 也 將 是 預 測 誤 差 的 直 接 函 數 ， 即 T. T. t =1. t =1. g ( yit , yˆ it ) ≡ g (eit ) = ∑ (eit ) 2 與 g ( y jt , yˆ jt ) ≡ g (e jt ) = ∑ (e jt ) 2 。六個檢定的檢定統計 量簡單介紹如下：. 23.
(35) ( 1 ) Diebold-Mariano (DM) 檢定. St =. 其中 d = 2πfˆd (0) =. γˆd (τ ) =. d ~ N (0,1) 2πfˆd (0) T. 1 T ∑ dt ， dt ≡ [ g (eit ) − g (e jt )] ， 有 效 樣 本 自 我 共 變 數 的 加 權 總 合 T t =1 T −1. ∑ l (τ. τ =− (T −1). S (T ) ) ⋅ γˆd (τ ) ， S (T ) = k − 1 ， k 表 示往前預測 k 期，. 1 T ∑ (dt − d )(dt −|τ | − d ) 。當 τ S (T ) ≤ 1 時， l (τ S (T )) = 1 ，其他情況下則 T t =1. 等於 0。虛無假設為 { yˆ it }Tt =1 與 { yˆ jt }Tt=1 擁有相同的預測能力，即 H 0 : d t = 0 。. ( 2 ) 符號檢定. S2a =. S 2 − 0.5T ~ N (0,1) 0.25T. T. 其中 S 2 = ∑ I + (d t ) ， d t ≡ [ g (eit ) − g (e jt )] 。當 d t > 0 時， I + (d t ) = 1 ，其他情況 t =1. 0 。虛無假設為失誤差異的中位數等於. 下則等於. 0 ，即. H 0 : med [ g (eit ) − g (e jt )] = 0 。. ( 3 ) Wilcoxon’s signed-rank 檢定 S3a =. S3 − (T (T + 1) 4 ) ~ N (0,1) T (T + 1)(2T + 1) 24. T. 其中. S3 = ∑ I + (d t ) ⋅ rank (| d t |) ， d t ≡ [ g (eit ) − g (e jt )] ， 且 當 t =1. dt ≠ 0. 時，. rank (| d t |) = 1，其他情況下則等於 0。虛無假設為失誤差異的中位數等於 0，即 H 0 : med [ g (eit ) − g (e jt )] = 0 。. ( 4 ) Chow 檢定 虛無假設為 H 0 : ei = e j 。假設 ( i ) 失誤函數為二次式，( ii ) 預測誤差的平 24.
(36) 均數為 0。其檢定統計量為 F=. ei′ei T e′e = i i ~ F (T , T ) e′j e j T e′j e j. 其中 ei′ei 與 e′j e j 為均方殘差合。 上述四個檢定如果檢定統計量小於左尾臨界值，我們可以拒絕虛無假設並且 下預測誤差 {eit }Tt=1 較小且 { yˆ it }Tt=1 的預測能力較佳的結論。另一方面，如果檢 定統計量大於右尾臨界值，我們也拒絕虛無假設，並可得知預測誤差 {e jt }Tt=1 較 小且 { yˆ jt }Tt=1 預測能力較佳。. ( 5 ) Morgan-Granger-Newbold (MGN) 檢定 定義兩個新的序列 xt ≡ (eit + e jt ) 與 zt ≡ (eit − e jt ) 。相等的預測準確性的虛 無假設等於 x 與 y 之間的零相關，即 ei = e j 或 ρ xz = 0 。檢定統計量為. MGN =. 其中 ρˆ xz = x′z. ρˆ XZ 1 − ρˆ xz2 T − 1. ~ t(T −1). ( x′x)( z ′z ) 。. ( 6 ) Meese-Rogoff (MR) 檢定 MR 檢定的虛無假設與 MGN 檢定相同，檢定統計量為 MR =. 其中 γˆxz = x′z T ~ N (0, Σ T ) ， Σ = 估. 計. 量. 為. Σˆ =. Σˆ T. ∞. ∑ [γ. τ =−∞. xx. ∑ [1 − (| τ | T )]⋅ [γˆ. ~ N (0,1). (τ ) ⋅ γ zz (τ ) + γ xz (τ ) ⋅ γ zx (τ )] 。 Σ 的一致性. S (T ). τ =− S (T ). γˆxx (τ ) =. γˆxz. xx. (τ ) ⋅ γ zz (τ ) + γˆxz (τ ) ⋅ γ zx (τ )]. 1 T 1 T ˆ x x γ τ = ( ) ， ∑ t t −τ zz ∑ zt zt −τ ，當 T t =τ +1 T t =τ +1 25. τ ≥ 0 時， γˆxz (τ ) =. ，. 其. 中. 1 T ∑ xt zt−τ ，其 T t =τ +1.
(37) 他情況下則 γˆxz (τ ) = γ zx (τ ) ，另外當 τ ≥ 0 時， γˆzx (τ ) =. 1 T ∑ zt xt−τ ，其他情況下 T t =τ +1. 則 γˆzx (τ ) = γ xz (τ ) 。 對於 MGN 與 MR 檢定，如果 ρ xz 顯著大於零，表示預測誤差 {e jt }Tt=1 較 小且 { yˆ jt }Tt=1 預測能力較佳，相反的，則 { yˆ it }Tt=1 的預測能力較佳。. 26.
(38) 第五章 實證結果. 第一節 實證資料之選取 一、實證資料來原與實證期間 本文實證研究的對象為全球前兩大經濟體—美國與日本股市，並使用道瓊工 業股價指數與東京日經指數及其平均股利資料。資料蒐集的研究期間自 1978 年. 1 月起至目前最近期由 Datastream 財務資料庫中所取得的月資料，是為全部樣 本 (full-sample)。另外為了評估模型的預測能力，我們取 12 、 30 與 60 期， 分別做為短期、中期與長期樣本外預測能力之比較，並且以樣本內資料進行模型 之配適。美國全部樣本期間為 1978 年 1 月至 2004 年 12 月，其中樣本內資 料期間為 1978 年 1 月至 1999 年 12 月，樣本外資料期間為 2000 年 1 月至. 2004 年 12 月。日本全部樣本期間為 1978 年 1 月至 2004 年 7 月，其中樣 本內資料期間為 1978 年 1 月至 1999 年 7 月，樣本外資料期間為 1999 年 8 月至 2004 年 7 月。. 二、資料處理與變數 首先我們將名目股價與股利除以消費者物價指數得到實質股價與股利，然後 再將實質股價與股利取自然對數，如此實質股利對數值減實質股價對數值可得我 們的自變數―對數股利價格比。另外將當期名目股價加名目股利後，除以前一期 的名目股價，再取自然對數可得當期實質股票報酬對數值，並依短期到長期取五 個不同的股票報酬預測期數 K ， 1 分別為K= 1 、 3 、 6 、 12 與 24 期，依序 可得五個應變數— r1 、 r 3 、 r 6 、 r12 與 r 24 。我們將分別對這五個應 變數與對數股利價格比進行線性與非線性模型的估算。. 1. K. n. k =1. i =1. rK t ≡ ∑ rt + k = ∑ α i rK t −i + ( β ′ + θ ⋅ G )(d t − pt ) + υ t + K ，其中 n 依線性模型 SBC 選取。 27.
(39) 第二節 實證結果與分析 一、單根檢定 為避免產生假性迴歸現象，首先我們採用 ADF 檢定，並對各變數之時間序 列依照圖 4.2 Enders (2004)所建議之程序進行單根檢定，來檢定時間序列變數是 否為定態。如表 5.1 與表 5.2 之單根檢定結果所示，美日兩國的 r1 、 r 3 、 r 6 變數皆拒絕 H 03 : γ = 0 ，為定態序列，而 r12 變數皆拒絕 H 02 : γ = 0 ，亦為定態 序 列 。 美 國 的 r 24 與 d t − pt. 變數雖然無法拒絕. H 03 : γ = 0 ， 但 拒 絕. H 0 : a2 = 0 | H 03 : γ = 0 並通過以常態分配檢定 γ = 0 ，為一定態序列。日本的 r 24. 變 數 拒 絕 H 01 : γ = 0 ， 為 定 態 序 列 ， 而 d t − pt 變 數 雖 然 無 法 拒 絕. H 02 : γ = 0 ，但拒絕 H 0 : a0 = 0 | H 02 : γ = 0 並通過以常態分配檢定 γ = 0 ，故亦 為一定態序列。. 二、線性模型最適落後期數之選取 我們在 (3.10) 式解釋變數中亦加入應變數 ( ∑ rt +k ) 的落遲項，並且使用. JMulTi 時 間 序 列 軟 體 進 行 最 適 落 後 期 數 之 選 取 ， 其 中 包 括 AIC (Akaike Information Criterion) 、 SBC (Schwartz Bayesian Information Criterion) 、 HQ (Hannan-Quinn Criterion) 以及 Final Prediction Error 等選取準則，由於當模型待 估計參數較少且樣本數愈大時，採用 SBC 做為模型選擇的準則較佳 (Enders,. 2004)，故我們根據 SBC 來選取最適之落後期數。表 5.3 為選取準則所判斷的美 國與日本各應變數線性模型之最適落後期數 n，依 SBC 判斷，不論美國或日本 應變數之落後期數皆為 r1 落後期數 1 期、 r 3 落後期數 8 期、 r 6 落後期數 8 期、 r12 落後期數 2 期與 r 24 落後期數 2 期。. 28.
(40) 表 5.1 ADF 單根檢定—美國. ADF : βτ. t 值： γ = a2 = 0. t 值： γ =0. ADF : β μ. t 值： γ = a0 = 0. t 值： γ =0. ADF : β. r1. -11.926 (0)***. -. -. -. -. -. -. r3. -5.106 (3)***. -. -. -. -. -. -. r6. -4.003 (0)***. -. -. -. -. -. -. r12. -3.044 (0). -1.034. -. -2.870 (0)*. -. -. -. r 24. -2.157 (0)*. -1.716*. -2.157**. -. -. -. -. **. ***. -. -. -. -. d t − pt -2.387 (0). -2.539. -2.387. 註：1. ADF : βτ 、 ADF : β μ 與 ADF : β 分別表示含截距項與時間趨勢項、含截距項與不含 截距項與時間趨勢項下之 ADF 統計量。 2. ( ) 為 AIC 選取之 ADF 檢定最適落後期數。 3. *** 、 ** 與 * 分別表示檢定值達 1%、5% 與 10% 顯著水準。. 表 5.2 ADF 單根檢定—日本. ADF : βτ. t 值： γ = a2 = 0. t 值： γ =0. ADF : β μ. t 值： γ = a0 = 0. t 值： γ =0. ADF : β. r1. -3.887 (10)**. -. -. -. -. -. -. r3. -3.959 (6)**. -. -. -. -. -. -. r6. -4.029 (0)***. -. -. -. -. -. -. r12. -2.668 (0). -0.642. -. -2.594 (0)*. -. -. -. r 24. -2.305 (1). -1.362. -. -1.916 (1). -0.065. -. -1.973 (1)**. d t − pt -1.360 (1). 0.157. -. -1.790 (1). -1.873*. -1.79**. -. 註：1. ADF : βτ 、 ADF : β μ 與 ADF : β 分別表示含截距項與時間趨勢項、含截距項與不含 截距項與時間趨勢項下之 ADF 統計量。 2. ( ) 為 AIC 選取之 ADF 檢定最適落後期數。 3. *** 、 ** 與 * 分別表示檢定值達 1%、5% 與 10% 顯著水準。. 三、線性檢定 為了決定最適的計量模型為線性或非線性，我們進行線性檢定，並且分別以 對數股利價格比 (d t − pt = x(t )) 與實質股票報酬對數值 (ri (t − n)) 做為可能轉 換變數，且 n 值依 SBC 所選取之最適自我迴歸落後期數進行轉換變數之選 取，其中由於我們所選取之五個股票報酬預測期數均包含預測期數 1 期 ( r1 )，. 29.
(41) 表 5.3 線性模型最適自我迴歸落後期數之選取 美國. 日本. r1. r3. r6. r12. r 24. r1. r3. r6. r12. r 24. AIC. 1. 8. 10. 10. 2. 1. 11. 11. 10. 3. SBC. 1. 8. 8. 2. 2. 1. 8. 8. 2. 2. FPE. 1. 8. 10. 10. 2. 1. 11. 11. 10. 3. HQ. 1. 8. 10. 2. 2. 1. 11. 8. 2. 2. 因此我們在應變數為 r 3 、 r 6 、 r12 與 r 24 時，亦將 r1(t ) 納入可能轉換 變數之選取。 首先，估計輔助迴歸式 (4.9) 式， H 0 : β1 = β 2 = β 3 ，檢定結果如表 5.4 與 表 5.5 所示。其中美國在轉換變數為 r1(t − 1) 與 x(t ) 時的應變數 r1 、在轉換 變數為 r1(t ) 與 x(t ) 時的應變數 r 3 以及在轉換變數為 x(t ) 時，應變數 r 6 與 r12 皆無法拒絕 H 0 ，因此判定適合模型為線性模型，而日本在轉換變數為. x(t ) 時，所有應變數也有相同之檢定結果，故亦判定線性模型較合適。此外美 國在轉換變數為 r 6(t − 1) 時的應變數 r 6 、轉換變數 r12(t − 2) 時的應變數. r12 、在轉換變數為 r1(t ) 與 x(t ) 時的應變數 r 24 以及日本在轉換變數為 r1(t − 1) 時的應變數 r1 與轉換變數為 r 6(t − 7) 時的應變數 r 6 皆拒絕 H 0 ，並且拒絕 Test 1 的 H 01 ，判定適合模型為 LSTR1 模型，而日本在轉換變 數為 r 3(t − 4) 時的應變數 r 3 、轉換變數為 r12(t − 1) 時的應變數 r12 與在轉 換變數為 r 24(t − 2) 時的應變數 r 24 無法拒絕 Test 1 的 H 01 ，但拒絕 Test 2 的 H 02 ，故判定適合模型為 LSTR2 模型。. 四、線性模型診斷分析. ( 1 ) Ljung-Box Q 檢定 當所估計之模型殘差存在自我相關時，即使模型所估計的參數仍然具有不偏 性與一致性等統計特性，但可能不具有效性，故我們採用 Ljung-Box Q 檢定來 30.
(42) 表 5.4 線性檢定 p-value 與模型之選取—美國 線性檢定. Test 1. Test 2. Test 3. 建議模型. r1(t − 1). 1.5436e-01. -. -. -. Linear. x(t ). 7.6067e-01. -. -. -. Linear. r1(t ). 2.7055e-01. -. -. -. Linear. x(t ). 6.9933e-01. -. -. -. Linear. r 6(t − 1). 3.6631e-02*. 2.0673e-01. 4.7100e-01. 1.2139e-02*. LSTR1. x(t ). 4.4047e-01. -. -. -. Linear. r12(t − 2). 3.3635e-04**. 3.0513e-01. 5.6929e-01. 1.3390e-05**. LSTR1. x(t ). 3.8055e-01. -. -. -. Linear. r1(t ). 7.8238e-03**. 7.9889e-03**. -. -. LSTR1. x(t ). 3.1184e-03**. 4.5004e-03**. -. -. LSTR1. 應變數 轉換變數. r1 (1) r3 (8) r6 (8). r12 (2) r 24 (2). 註：1. 應變數下方括弧內之數字為線性模型中依 SBC 所選取最適之自我迴歸落後期數。 2. ** 與 * 分別表示表中檢定結果之 p-value 小於 1% 與 5% 顯著水準。. 表 5.5 線性檢定 p-value 與模型之選取—日本 線性檢定. Test 1. Test 2. Test 3. 建議模型. r1(t − 1). 1.3833e-02*. 1.2209e-02*. -. -. LSTR1. x(t ). 3.4768e-01. -. -. -. Linear. r 3(t − 4). 1.9568e-05**. 3.8288e-03**. -. LSTR2. x(t ). 3.0153e-01. -. -. -. Linear. r 6(t − 7). 1.5903e-03**. 1.3166e-02*. -. -. LSTR1. x(t ). 5.3316e-01. -. -. -. Linear. r12(t − 1). 2.1621e-03. 7.1183e-01. 1.4637e-03**. -. LSTR2. x(t ). 7.3025e-01. -. -. -. Linear. r 24(t − 2). 3.0413e-02*. 8.5023e-01. 8.4325e-03**. -. LSTR2. x(t ). 5.4780e-01. -. -. -. Linear. 應變數 轉換變數. r1 (1) r3 (8) r6 (8). r12 (2) r 24 (2). 4.5432e-03**. 註：1. 應變數下方括弧內之數字為線性模型中依 SBC 所選取最適之自我迴歸落後期數。 2. ** 與 * 分別表示表中檢定結果之 p-value 小於 1% 與 5% 顯著水準。. 31.
(43) 表 5.6 線性模型之 Ljung-Box Q 序列相關檢定 美國. 日本. r1. r3. r6. r12. r 24. r1. r3. r6. r12. r 24. Lag=1 (0.000). 25.660. 148.74 (0.000). 210.77 (0.000). 235.48 (0.000). 247.89 (0.000). 19.033 (0.000). 146.56 (0.000). 204.69 (0.000). 235.78 (0.000). 249.28 (0.000). Lag=2 (0.000). 25.942. 184.06 (0.000). 346.61 (0.000). 428.48 (0.000). 471.27 (0.000). 19.043 (0.000). 186.38 (0.000). 339.11 (0.000). 435.09 (0.000). 482.44 (0.000). Lag=3 (0.000). 27.285. 184.76 (0.000). 422.20 (0.000). 580.10 (0.000). 672.72 (0.000). 19.154 (0.000). 189.75 (0.000). 422.34 (0.000). 601.92 (0.000). 701.52 (0.000). Lag=4 (0.000). 27.289. 184.77 (0.000). 455.76 (0.000). 695.50 (0.000). 855.03 (0.000). 22.319 (0.000). 191.52 (0.000). 469.98 (0.000). 743.34 (0.000). 907.28 (0.000). Lag=4 (0.000). 27.340. 184.87 (0.000). 464.59 (0.000). 778.36 (0.000). 1019.9 (0.000). 23.031 (0.000). 192.57 (0.000). 488.75 (0.000). 858.58 (0.000). 1098.9 (0.000). Lag=6 (0.000). 27.456. 185.00 (0.000). 465.15 (0.000). 833.08 (0.000). 1166.8 (0.000). 23.561 (0.000). 192.68 (0.000). 493.33 (0.000). 949.61 (0.000). 1277.7 (0.000). Lag=7 (0.000). 27.469. 185.01 (0.000). 465.15 (0.000). 865.99 (0.000). 1296.8 (0.000). 23.561 (0.000). 192.81 (0.000). 496.82 (0.000). 1020.2 (0.000). 1444.8 (0.000). 27.891. 185.22 (0.000). 465.26 (0.000). 882.11 (0.000). 1411.7 (0.000). 23.589 (0.000). 193.88 (0.000). 500.82 (0.000). 1074.1 (0.000). 1600.0 (0.000). Lag=8 (0.000). 註：1. ( ) 為檢定結果之 p-value，** 表示檢定值達 5% 顯著水準。 2. Ljung-Box Q Test H0 : 殘差變數無自我相關。. 表 5.7 線性模型異質變異 ARCH-LM 與常態分配 Jarque-Bera 檢定 美國. ARCH-LM Test. 日本. Jarque-Bera Test. ARCH-LM Test. Jarque-Bera Test. r1. 3.348145** (0.0012). 89.14338** (0.0000). 5.201603** (0.0000). 63.17062** (0.0000). r3. 34.16202** (0.0000). 121.8900** (0.0000). 23.17835** (0.0000). 40.76052** (0.0000). r6. 109.0984** (0.0000). 7.887939** (0.0194). 40.63733** (0.0000). 12.37461** (0.0021). r12. 143.3965** (0.0000). 0.926218 (0.6293). 102.0795** (0.0000). 12.93682** (0.0015). r 24. 231.0297** (0.0000). 2.616183 (0.2703). 298.4955** (0.0000). 3.905671 (0.1419). 註：1. ( ) 為檢定結果之 p-value，** 表示檢定值達 5% 顯著水準。 2. ARCH-LM Test H0 : 殘差無條件異質變異。Jarque-Bera Test H0 : 殘差符合常態分配。. 32.
(44) 檢定線性模型殘差是否存在自我相關。檢定結果如表 5.6 所示，美國與日本模型 落後 1 至 8 期的 Q 統計量在 10% 顯著水準下皆拒絕殘差沒有自我相關的假 設。. ( 2 ) ARCH-LM 檢定 我們採用 ARCH-LM 檢定來檢定我們所估計模型之殘差是否有異質變異的 現象進行檢定，表 5.6 之檢定結果顯示，在 5% 顯著水準下，美國與日本的五個 線性模型皆拒絕需無假設，即美國與日本的五個線性模型之殘差顯著存在異質變 異現象。. ( 3 ) Jarque-Bera 檢定 另外我們針對所估計模型之殘差是否具常態性進行 Jarque-Bera 檢定，表. 5.7 之檢定結果顯示，美國的 r1 、 r 3 與 r 6 及日本的 r1 、 r 3 、 r 6 與. r12 模型在 5% 的顯著水準下皆拒絕殘差符合常態分配的虛無假設，即殘差顯著 不具常態性，而美國的 r12 與 r 24 模型與日本的 r 24 模型皆無法拒絕虛無 假設，顯示殘差具有常態性。 由上述三個線性模型診斷檢定結果可以發現，(3.8) 式 CLM 的線性模型無 法通過大部份之模型診斷檢定，也顯示在時間序列實證研究中，線性模型的設定 可能造成例如有效性等問題。. 五、非線性模型診斷分析. ( 1 ) 序列相關檢定 (serial correlation test, SC test) 若時間序列模型經常出現自我相關的現象，模型所估計的參數則不具有效 性，因此我們採用序列相關檢定來檢定殘差是否存在自我相關的現象。由表 5.8 與表 5.9 之 p-value 可知，美國轉換變數為 x(t ) 時的應變數 r 3 ，落後期數 8 期、轉換變數為 r 6(t − 1) 與 x(t ) 時的應變數 r 6 ，落後期數 5 到 8 期以及轉 33.
(45) 換變數為 x(t ) 時的應變數 r12 與轉換變數為 r1(t ) 時的應變數 r 24 ，在 1% 的顯著水準下，落後期數 1 到 8 期，皆拒絕殘差無序列相關的虛無假設，即殘 差有序列相關的現象，而美國其餘轉換變數下之應變數皆無法拒絕殘差無序列相 關的虛無假設，顯示殘差無序列相關的現象。 而日本轉換變數為 r1(t − 1) 時的應變數 r1，落後期數 1 到 8 期、在轉換 變數為 r 3(t − 4) 時的應變數 r 3，落後期數 1 到 8 期、在轉換變數為 x(t ) 時 的應變數 r 3 ，落後期數 4 到 8 期、轉換變數為 r 6(t − 7) 時的應變數 r 6 ， 落後期數 1 與 6 到 8 期、轉換變數為 r12(t − 1) 時的應變數 r12 ，落後期數. 1、 4 到 8 期、轉換變數為 x(t ) 時的應變數 r12 ，落後期數 2 到 5 與 8 期 與轉換變數為 x(t ) 時的應變數 r 24 ，落後期數 1 期，皆拒絕虛無假設，顯示 殘差皆有序列相關的現象，日本其餘轉換變數下之應變數皆無法拒絕殘差無序列 相關的虛無假設，顯示殘差無序列相關的現象，另外轉換變數為 x(t ) 時的應變 數 r 6，落後期數 1 到 8 期、轉換變數為 x(t ) 時的應變數 r12，落後期數 6 、. 7 期，有奇異矩陣 (singular matrix) 的現象，故顯示為 NaN (not-a-number)。. ( 2 ) 參數不變性檢定 (parameter constancy test, PC test) 表 5.8 與表 5.9 中 PC Test 的 H1 、 H2 與 H3 分別表示針對時間趨勢項 t * 之一次、二次與三次方進行檢定，檢定結果顯示，美國應變數 r1 在轉換變數為. r1(t − 1) 時，在 5% 的顯著水準下，拒絕一次方時間趨勢項的虛無假設，轉換變 數為 r 6(t − 1) 時的應變數 r 6 ，在 1% 的顯著水準下，拒絕二次與三次方時間 趨勢項的虛無假設，轉換變數為 x(t ) 時的應變數 r 6 與轉換變數為 r1(t ) 時 的應變數 r 24 ，在 5% 的顯著水準下，拒絕一次與三次方時間趨勢項的虛無假 設，而轉換變數為 x(t ) 時的應變數 r 3 、而轉換變數為 r12(t − 2) 與 x(t ) 時 的應變數 r12 ，在 1% 的顯著水準下皆拒絕一次、二次與三次方時間趨勢項的 虛無假設，顯示其參數顯著隨著時間改變而變動。 另外日本在轉換變數為 r1(t − 1) 時的應變數 r1，拒絕一次與二次方時間趨 34.
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