多項式

高中數學

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第三章多項式 3-1 多項式的四則運算 觀念 定義：設n 為正整數或零且an、an1、…、a1、a0均為實數，則 1 1 1 0 ( ) n n n _n f x a x a x_   … a x a _{，則稱_______的多項式。} 次數﹕設多項式 ( ) n ₁ n 1 _{1 0} n n f x a x a x_   … a x a ，若an 0，則稱 f x( ) 為______次多項式，記作deg ( ) _______f x  ，又

a

_n稱為 f x( )之領導 係數。 註﹕當anan1  … a1 0，則 f x( )a0稱為常數多項式。 (1)若a00﹐則 f x( )稱為_____________。 (2)若a00﹐則 f x( )稱為______________。 多項式的相等﹕ 設兩多項式 ( ) n ₁ n 1 _{1 0} n n f x a x a x_   … a x a 與 　　　　　 ( ) m ₁ m 1 _{1 0} m m g x b x b _ x   … b x b 相等，則 (1)_______與_______ 的最高次數相等。 (2)對應項的係數亦_______。 即若 f x( ) g x( )，則n m 且anbm，a_n1b_m1，…，a1b1， 0 0 a b _。 降冪排列與升冪排列﹕次數由大而小排列者稱為____冪排列。 次數由小而大排列者稱為____冪排列。 例1：下列何者為 x 的多項式. (1)_3x2_{ x 3(2)}4 5 6 1 x x   (3) 1 5x y  _{(4) 5x6} (5) 2x11 5

【練習題】下列何者為x 的多項式 (1)₄ 3 6 2 _{3 0.2} 7 x  x  x ₍₂₎_5x23 _11x₂ (3) 2 5 6 4 1 x x   .　(4) 4x11 (5) 1 2 2 xy y  _ 

例2：設a、 、 、b c d為實數，且 f x( )3x2ax5，g x( )bx3cx22x d 均為x的多項式，若 f x( ) g x( )，則a、 、 、b c d的值為何？ 【練習題】 設a、 、 、b c d為實數，且 f x( ) 2x2ax (b 4)， 3 2 ( ) ( 3) 5 3 g x  c x dx  x 均為x的多項式，若 f x( )g x( )，則 a、 、 、b c d的值為何？ 例3：(講義 3-2，老師講解 2) 設 f x( )ax4bx3cx2dx e 為整係數多項式，且 3 a 4 b2 5 c3 6 d2  e 2 2，試求 f x( )=？

【練習題】(講義 3-2，學生練習 2) 設 f x( )ax4bx3cx2dx e 為整係數多項式，且 2 a 3 b  1 c 2 2，試求deg ( )f x 的值。 同項式的加法與減法 相加==>同次項的係數相加。 相減==>同次項的係數相減。 同項式的乘法 乘法==>兩個單項式的乘積為係數相乘而次方相加。 方式有：直式、橫式、分離係數等方法。 例4：已知多項式 f(x)=3x4_2x2_{+4x5，g(x)=x}3_7x+9， 求 (1)f(x)+g(x) (2)f(x)g(x)，並整理成降次排列的多項式。 【練習題】 計算下列多項式的和或差（以降次排列的方式表示），並求其和或差的次數： (1)(5x4_7x2_+4)+(3x2_{x+10)=？又其次數為何？} 和： 差：

(2)(3x4_+2x2_{5x+6)(3x}4_8x3_{+2x4)=？又其次數為何？}

和： 差：

(3)(3x2_{7x+5)(3x}2_{7x2)=？又其次數為何？}

例5：求多項式 3x2_{+2x5 與多項式 4x+3 的乘積。}

例6：將乘積(2x+3x3_{4)(x5+2x}2_{)乘開，並整理成降次排列的多項式。}

【練習題】

1.已知 f(x)=x+3x2_{+2，g(x)=1+x}3_{2x，求 f(x)．g(x)？又其次數為何？}

【小小 測驗】 1.已知 f x( ) 3 x45x32x，g x( ) 4 x33x2 5 1x ，試求﹕ (1) f x( ) 2 ( ) g x (2)2 ( )f x g x( ) 2. 設 f x( ) 2 x34x2 3x 5，g x( )  x3 6x2 2x3，試求﹕ (1)2 ( ) 3 ( )f x  g x (2)3 ( ) 2 ( )f x  g x 3. 設 f x( ) 2x25x3，g x( ) 5 x34x2x 7，試求 f x( )g x( )_的值. 4. 試展開下列各式. (1)(3x 1) (9x2 3x 1) (3)(x    1) (x 2) (x 3) (2)_(2x2_{  3x 1) (x}2_4x5) 多項式的除法與除法定理： 除法原理設 f x( )_，g x( )_{為二多項式，且}g x( ) 0 _{，則必存在兩多} 項式q x( )_，r x( )_使得______________________. 長除法(可採用分離係數) 綜合除法 例7：以 g(x)=x2_{+2x2 除 f(x)=x}4_7x2_{+5x6，則商式=？餘式=？} 【練習題】求x4_+2x3_3x2_{+4x5 除以 x}2_{x+2 的商式與餘式。}

例8：若多項式 x3_+x2_{+ax+7 除以 x}2_{2x+b 的商式為 x+3﹐餘式為x+1﹐} 則a﹐b 的值為何？ 【練習題】 若多項式x3_+4x2_{+5x3 除以 g(x)的商式為 x+2，餘式為 2x1，} 則g(x)=？ 例9：試求3x2_{x+2 除以 3x2 的商式與餘式。} 【練習題】已知f(x)=2x3_+5x2_{+3x+4﹐g(x)=2x}2_{+2x+1﹐求 f(x)除以 g(x)} 的商式與餘式。 例10：已知x2_{+2x1 整除 x}3_+4x2_{+ax+b，求常數 a、b 的值。}

【練習題】已知2x4_x3_+ax2_{+4x+b 能被 x}2_{x+3 整除，求常數 a、b 的值及} 商式。 綜合除法：當除式為一次式且首項係數為1 時，具有簡便的除法演算即是。 例11：利用綜合除法(3x3_4x2_{3x+5)÷(x2)} 例12：用綜合除法求(x4_+2x3_{+5x7)÷(x+3)的商式及餘式。} 【練習題】利用綜合除法求 (1)(x3_{+2x1)÷(x+4)的商式及餘式。} (2)(2x4_3x3_5x2_{+8x3)÷(x2)的商式及餘式。} 例13：求(4x4_+5x2_{+2x+3)÷(2x1)的商式及餘式。} 【練習題】求(3x3_x2_{+2x+5)÷(3x+2)的商式及餘式。} 例14：設 f(x)=8x3_+4x2_16x+5

(1)將 f(x)表成(x1)的多項式﹐即確定常數 a﹐b﹐c﹐d 的值，使得 f(x)=a(x1)3_+b(x1)2_+c(x1)+d (2)將 f(x)表成(2x+1)的多項式。 (3)求 f(0.999)及 f(0.499)的值到小數點以下第三位（第四位四捨五入）。 【練習題】設f(x)=x3_+5x2_10x+5 (1)將 f(x)表成(x2)的多項式 (2)求 f(2.001)的值到小數點以下第三位(第四位四捨五入）

例15：設多項式 2 4 2 8 0 1 2 8 ( ) ( 1) f x  x  x  a a x a x  _ a x ， 求(1)各項係數總和。(2)偶次項係數總和。(3)奇次項係數總和。 【練習題】設多項式 _{f x( ) ( x2)(x}3_x2_{2x1) ,}3 _求 (1) 各項係數總和。 (2)偶次項係數總和。 (3)奇次項係數總和。

第三章多項式 3-2 餘式與因式定理 觀念 餘式定理： 多項式f(x)除以一次式 axb 的餘式等於       a b f 。 因式定理：設f(x)為多項式﹐axb 為一次多項式 　(1)若       a b f =0﹐則 axb 是 f(x)的因式。 　(2)若 axb 是 f(x)的因式﹐則       a b f =0。 例1：設f(x)=x3+2x2+5x3﹐分別求 f(x)除以 x+2 與 2x1 的餘式 【練習題】設f(x)=x32x22x+5﹐分別求 f(x)除以 x3 與 2x+1 的餘 式

例2：已知 f(x)=123x4_389x3_+68x2_{32x19，求 f(3)的值。} 【練習題】 (1)求 f(x)=3x10_7x5_+6x2_{3 除以 x+1 的餘式。} (2)已知 f(x)=3x5_22x4_12x3_33x2_{+10x+5，求 f(8)的值。} 例3：已知多項式 f(x)除以 x1，得餘式 6；除以 x2，得餘式 4，　　　　　 求f(x)除以(x1)(x2)的餘式 。

【練習題】已知多項式_{f(x)除以 x3 得餘式 16﹔除以 x+4 得餘式19，} 求f(x)除以 x2_{+x12 的餘式。} 例4：設f(x)=2x +x +2x -6x -94 3 2 ，分別判斷x+2 與 2x3 是否為 f(x)一次因 式？ 【練習題】已知a 為常數，且 x3 是 f(x)=x3_{+ax9 的因式，求 f(x)除} 以x+1 的餘式。 例5：已知三次多項式 f(x)滿足 f(1)=f(2)=0，f(3)=16 與 f(4)=66，求 f(x)。 【練習題】已知f(x)是三次多項式，滿足 f(0)=f(1)=f(2)=0 且 f(3)=24，求 f(x)=？

設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一個整係數n 次多項式。若一 次式axb 是 f(x)的因式（其中 a 是正整數，b 是整數且 a，b 互質）﹐則 　a｜an﹐b｜a0 例1：求 f(x)=2x3_3x2_{8x3 的整係數一次因式。} 【練習題】求f(x)=2x -x -2x+14 3 的整係數一次因式。 【測驗題】(請書寫於後面空白處) 一、基礎題 1. 設 f(x)為一多項式﹒下列何者為真？ (1)f(x)除以 x 的餘式剛好與 f(x)的常數項一樣﹒ (2)f(x)除以 x+1 的餘式為 f(1)﹒ (3)f(x)除以 100x+200 的餘式為 f(2)﹒ (4)f(x)除以 x

2

的餘式為f( 2 )﹒ 2. 已知 f(x)=x95_5x9_{+8，求 f(x)除以 x+1 的餘式﹒} 3. 已知 a、b 為常數，設多項式 f(x)=x3_+3ax2_{+bx2 可被 x1 整除，} 且 以x2 除 f(x)得餘式為 2，求 a、b 的值﹒ 4. 計算 125_7．124_58．123_+16．122_{465．12+100 的值。} 5. 設 f(x)為三次多項式

(1)已知 f(1)=f(2)=0，f(1)=6，f(2)=48，求 f(x)=？ (2)已知 f(1)=f(2)=f(3)=5，f(4)=7，求 f(x)=？ 6. 求多項式 f(x)=7x4_+20x3_+18x2_{+11x2 的所有整係數一次因式。} 7. 已知 x2_{+x6 除多項式 f(x)與 g(x)的餘式分別為 3x+2 與 x5。} (1)求 3f(x)+2g(x)除以 x2 的餘式？ (2)求 f(x)．g(x)除以 x+3 的餘式？

二、進階題 8. 若以 x2_{4x5 除多項式 f(x)得餘式 3x2，以 x2 除多項式 f(x)} 得餘式4，則以 x2_{x2 除 f(x)所得的餘式為何？} 9. 若多項式 f(x)分別以 x1、x2、x3 除之，餘式依次為 5、10、17、 則 f(x)除以(x1)(x2)(x3)的餘式為何？ 10. 設三次多項式 f(x)，以 x2_{+x+2 除之得餘式 x+2，以 x}2_+x2 除之得餘式5x2，求 f(x)=？ 11.設 a 為正整數，且多項式 f(x)=x3_ax2_{+x2 有整係數一次因式，} 求a=？ 12. 下式是小明利用綜合除法計算三次多項式 f(x)除以 x1 的算式﹐ 因 不小心將飲料翻倒在計算紙上，所以只能辨識部分數字：（無 法辨識的數字以英文字母代替） a +b +c +d 1 +) 5 +e +f g +3 +h 8 若小明沒有計算錯誤，求a+b+c+d 的值﹒

第三章多項式 3-4 多項式函數 觀念 1. 線型函數﹕ f x( )ax b _{﹐其中a﹐b 為常數﹐因其圖形為一直線﹐} 所以稱為線型函數. 2. 線型函數包含一次函數及常數函數﹕ 0 . (1) 0 0 . ( ) 0 . (2) 0 0 . b a b f x ax b b x a b x     _  _      _    _  _{ }  ﹐圖形為不通過原點的斜直線 ﹐一次函數 ﹐圖形為通過原點的斜直線 線型函數 ﹐圖形為平行 軸的水平線 ﹐常數函數 ﹐圖形為 軸 j k j k 3. 對於線型函數 f x( )ax b _而言﹕ (1)若a 0 圖形為左下至右上的斜直線. (2)若a 0 圖形為水平線. (3)若a 0 圖形為左上至右下的斜直線. 4. 二次函數﹕設 a﹐b﹐c 皆為實數且a0_{﹐則y f x( )ax}2_{bx c 所表} 示的函數﹐就稱為x 的二次函數﹐其圖形為拋物線. 4. 二次函數 _{f x( )ax}2_{bx c 之圖形特性﹕} (1)若a0﹐則圖形開口向上﹐若a0﹐則圖形開口向下. (2)拋物線之頂點坐標為 , 2 4 2 4 b b ac a a _{ }      . (3)拋物線與 y 軸交於(0 , c). 例1：設 f x( )_{為一次函數﹐且} f(2) 1_﹐ f( 4) 3  _﹐試求 f(3)_.

例_{2：試在同一坐標平面上﹐描繪出} 1 2 2 y x ﹐ 2 y x 及 2 2 y x 的圖形﹐並 比較其開口的大小 【練習題】 試在同一坐標平面上﹐描繪出 1 2 3 y  x _{﹐y x}2_{及y 3x}2_{的圖形﹐並比} 較其開口的大小 例3：試分別求出下列各函數的頂點﹐對稱軸﹐及最大值或最小值. (1) _{f x( ) 3 x}2_2x5.　 (2) _{( )} 1 2 3 2 2 f x   x  x _. 【練習題】 試分別求出下列各函數的頂點坐標及對稱軸﹐最大值或最小值. (1) 1 2 3 1 3 y  x  x .　(2)_y2x2_6x1.

例4：(1)設  2 x 1﹐試求 2 ( ) 3 5 f x   x x 的最大值與最小值. 【練習題】設  1 x 3﹐試求 _{f x( ) 3 x}2_{18x31的最大值與最小值}. 例5：試依下列各條件﹐求出二次函數_. (1)圖形過( 1 , 0) _﹐(2 , 3)_﹐(0 , 4)_. (2)頂點(1 , 2)_﹐且過(2 , 6). (3)圖形過( 2 , 3) _﹐( 6 , 13)  _且對稱軸x 3 0. 【練習題】已知二次函數y f x( )_，滿足 f(1) 2 f( 1) 10  _， f(4) 25 _試求 f x( ). 平移概念流程圖： 2

y ax



的圖形 h h



水平右移單位 水平左移單位 2

(

)

y a x h





的圖形 k k



鉛直上移單位 鉛直下移單位 2

(

)

y a x h





的圖形 例1：若將

y



3

x

2的圖形平移才能得到

y



3

x

2 18x29的圖形？

【練習題】若將

y



2

x

2 8x5的圖形向左平移2 個單位，再上移 5 個 單位得到函數

y



f x

( )

的圖形，求

f x

( )

？ 二次函數 _{f x( )ax}2_{bx c 之頂點坐標為} 2 ₄ , 2 4 b b ac a a _{ }      , 與 x 軸相交狀況 由係數a 及判別式的正負來判定。 D>0 D=0 D<0 a>0 開口向上 a<0 開口向下 D a

例1：已知對任意實數x，_x2_{6x k 的值恒正，求實數k的範圍。} 【練習題】若二次函數 f x( ) 2x2 8x (k 3)的值恒負，求實數k的範圍。 推理： (1)多項式函數的圖形都是連續不斷的。 (2) n次函數的圖形與x 軸至多有n_個交點。 (3)首項係數若為正數，則函數圖形的最右方是上揚的。 首項係數若為負數，則函數圖形的最右方是下沉的。

第三章多項式 3-5 多項式方程式 觀念 1. 若 f(x)是一個 n 次多項式﹐我們稱 f(x)=0 為 n 次多項式方程 式﹐簡稱為n 次方程式﹒ 2. α 滿足 f(α)=0﹐就稱 α 是 f(x)=0 的根或解﹒有時候為了強調這 個根α 所在的數系﹐將 α 稱為整數根﹐有理根﹐實根或複數 根﹒ 3. 實係數多項式方程式虛根成對定理﹕設 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x  a x a     …  為實係數 n 次多項式﹐若a bi _為 f x( ) 0 _{的一虛根﹐其中a﹐b 皆} 為實數﹐b0_﹐則a bi 亦為 f x( ) 0 _{的另一根.} 4. 勘根定理﹕設 f x( )_{為一實係數多項式﹐a}﹐b 皆為實數﹐若 f(a) f(b)<0 ﹐則 ﹐ 之a b 間至少有一個實數c﹐使得 f c( ) 0 _. 例1：設 x=2i 為三次方程式 x3_+x2_{+4x+a=0 的一根﹐求 a 的值} 【練習題】下列哪些是三次方程式x32x2+x2=0 的根？ (1) 2 .　　　(2)2.　　　(3)i.　　　(4)i.　　　(5)1+i. 一元二次方程式的解法

(2)公式解﹕ 2 4 2 b b ac x a     ﹐其中_b2_{4ac稱為根的判別式.} 2 2 2 b -4ac>0 . b -4ac=0 b -4ac<0 .       當方程式有相異兩實根 有二實根 當方程式有相等兩實根 當方程式有二共軛虛根 2. 實係數方程式的虛根成對定理 設 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x_   … a x a _{為一實係數n 次多項式﹐若}a bi 為 f x( ) 0 之一虛根﹐其中a﹐b 皆為實數﹐b0﹐則 ( ) 0 f x  _{必有另一虛根} a bi k. 3. 有理係數多項式方程式無理根必成對 設 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x  a x a     …  _{為一有理係數n 次多項式﹐若}a b c （其 中_{a﹐b 皆為有理數﹐}b0﹐ c為無理數）為 f x( ) 0 的一根﹐則 ( ) 0 f x  _{必有另一根 a b c l.} 例1：解方程式_x2_{2x 3 2x}2 _{ 5x 9} 【練習題】解方程式_3x2 _{    x 1 x}2 _5x2 例2：解方程式(x1)(x2)(x3)(x 4) 120 【練習題】試解方程式_(x2_{ 3x 4)(x}2_{  3x 1) 6}

例3：已知實係數方程式x4_3x3_+6x2_{+ax+b=0 有一根為 13i，求} a 與 b 的值，並解此方程式

【練習題】已知2+i 為方程式 x4_5x3_+8x2_{x5=0 的一根，求其他的} 根

例4：設_x4_3x3_6x2_{2x60 0 有一根為1 3i , 試求其他的根.} 【練習題】已知多項式方程式 _{f x( )x}4_5x3_3x2_{19x  30 0有一複數根} 2 i ，試解x. 例5：設有理係數多項方程式 f x( )x48x321x226x 14 0有一根 為3 2，試求此方程式的所有根. 【練習題】設有理係數多項方程式 _{f x( )x}4_22x2 _{72x 13 0有一根為} 3 2 2 ﹐試求方程式的所有根. 一元n 次多項方程式根與係數的關係 1.設 _﹐_{為一元二次多項方程式} 2 0 ax bx c  的二根﹐則 (1)   b_ak.　(2) c a    l. 2.已知 _、_為ax2_{bx c 0}的二根﹐則 2 _{( )( ) [} 2 _{( ) ]} ax bx c a x   x a x    x _. 3.設 _、_、 _{為一元三次多項方程式ax}3_bx2_{cx d 0}的三根﹐則

(1)      b_am.　(2) c a      n.　(3) d a    o. 4.乘法公式﹕ (1) 2 (    )  2 2 2 2( )         p. (2)_3_3_3_{3  (     )(} 2_2_2_{    ) q} 例1：設甲﹐乙二人同解一個一元二次方程式_ax2 _{  bx c 0} ﹐甲看錯一次項係 數﹐解得二根為3_﹐4_{﹐乙看錯常數項﹐解得二根為} 2 5﹐ ﹐試求方程式的正確二根。 例2：設 ﹐﹐ 為一元三次方程式_x3_2x2_{3x  1 0的三根﹐試求下列各} 式的值. (1)_{  }1  1 1. (2)_2_2_2_. (3)_3_3_3_.

設 f x( ) 0 _{為一實係數多項式方程式﹐若a﹐b 皆為實數且} f a( )  f b( ) 0 ﹐則方程式 ( ) 0 f x  _{在a 與 b 之間至少會有一實根.} 註﹕₍₁₎ f a( )  f b( ) 0 _﹐則 f x( ) 0 _{在a 與 b 之間有奇數個實根.} (2) f a( )  f b( ) 0 _﹐則 f x( ) 0 _{在a 與 b 之間可能沒有實根﹐也可能} 有偶數個實根. 例1：方程式_x4_4x3_3x2_{  x 2 0} 在下列哪兩個整數之間有實根. (1)3_與2_{之間　 (2)}2_與1_{之間 (3)}1_{與0 之間　 (4)0 與 1 之間} (5)1 與 2 之間. 【練習題】已知方程式 3 2 12x 8x 21x14 0 有三個相異實根﹐請找出此三實根分 別位於哪兩個連續整數之間。