1 乘法公式與多項式

搭配頁數 P.

這學期愛心義賣 晚會的舞台劇，決

定表演灰姑娘！

女主角

非我莫屬啦！

等等，抽籤決 定才公平啦！

1 ^{乘法公式與多項式}

搭配頁數 P.

預計當天門票的票價 為每張 199 元，希望 250

張票可以賣光！

如果 250 張 票全賣完 ，那⋯ 就會有 49750 元

的收入耶！ 你沒在紙上

算，怎麼能算 這麼快啊？

5

搭配頁數 P.

呼∼搞笑版的 灰姑娘表演完

好累喔！

這次的義演大 成功！ 250 張票

全數賣光囉∼

想知道神奇的傑克 是怎麼算的嗎？

練習完 P8 隨堂練習 你就知道囉！

5

搭配頁數 P.

5 × 5 × 5 × 5

＝ 5⁴

1 指數記法 1. 4 是指數

5 是底數

6

搭配頁數 P.

1 指數記法 a × a × a

＝ a³ 2.

6

搭配頁數 P.

課 前 練 習

以指數記法簡記下列各式：

(1)2 × 2 × 2

＝ 2³

解

6

搭配頁數 P.

課 前 練 習

以指數記法簡記下列各式：

(2) x ． x

＝ x²

解

6

搭配頁數 P.

(2x － 4) － (3x ＋ 5)

＝ 2x － 4 － 3x － 5

＝ (2x － 3x) － (4 ＋ 5)

＝－ x － 9

2 一次式的運算與化簡

1. 去括號

6

搭配頁數 P.

2 一次式的運算與化簡 (5x ＋ 7) － (2x － 6)

＝ 5x ＋ 7 － 2x ＋ 6

＝ (5x － 2x) ＋ (7 ＋ 6)

＝ 3x ＋ 13 2.

6

搭配頁數 P.

課 前 練 習

計算並化簡下列各式：

(1) (3x － 9) － (6x ＋ 4)

解

＝ 3x － 9 － 6x － 4

＝－ 3x － 13

6

搭配頁數 P.

課 前 練 習

計算並化簡下列各式：

(2) (7x ＋ 5) － (4x － 3)

解

＝ 7x ＋ 5 － 4x ＋ 3

＝ 3x ＋ 8

6

CH1-1 乘法公式

分配律

1

和的平方公式

2

差的平方公式

3

平方差公式

4

搭配頁數 P.

1 _分配律

　　國小曾學過正 方形與長方形的面 積公式，如右圖，

邊長為 a 的正方形，

其面積為 a × a ＝ a² ；

長為 a 、寬為 b 的長方形，其面積＝ a × b ＝ ab ，

由乘法交換律可得 ab ＝ ba 。 a

a

a

b

7

搭配頁數 P.

　　接下來我們以長方形的面積公式說明七年 級學過的分配律：

在下圖中，一個長為 a 、寬為 (b ＋ c) 的 長方

形，其面積為 a (b ＋ c) ，如果將它切割成 長

為 a 、寬為 b 與長為 a 、寬為 c 的長方 形，其面積分別為 ab 與 ac 。由面積的關 係可知：

由乘法交換律可知：

(b ＋ c) a ＝ a (b ＋ c) ＝ ab ＋ ac

b+c b

c a

b a

c a

＝ ＋

1

7

搭配頁數 P.

在下圖中，一個長為 a 、寬為 (b － c) 的長 方形，其面積為 a (b － c) ，可看作是一個長 為 a 、寬為 b 的長方形切去一個長為 a 、 寬為 c 的長方形。由面積的關係可知：

由乘法交換律可知：

(b － c) a ＝ a (b － c) ＝ ab － ac b － c

c a

b

a c

a

－

＝

2

7

搭配頁數 P.

在 P5 的漫畫中，傑克將 199 看成 200 － 1 快 速算出答案，請依照他的方法以分配律計算 199

× 250 。199 × 250

＝ (200 － 1) × 250

＝ 50000 － 250

＝ 49750

解

8

搭配頁數 P.

　　換季時，威利整理自己的衣櫃，發現有 POLO 衫 2 件、 T 恤 4 件，長褲 1 件，

短褲 3 件，如果威利出門前從衣櫃挑選一件 上衣和一件褲子來穿，不論哪種樣式及顏色 的上衣和褲子都可以搭配，則會有幾種選擇

？

8

搭配頁數 P.

如圖，上衣和褲子的搭配方式共有

(2 ＋ 4) × (1 ＋ 3) ＝ 6 × 4 ＝ 24 ( 種 ) 。由此可知，

(2 ＋ 4) × (1 ＋ 3) ＝ 2 × 1 ＋ 2 × 3 ＋ 4 × 1 ＋ 4 × 3 。

　　我們也可以利用面積公式來說明

(a ＋ b) (c ＋ d) ＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 。

2 × 1 種 4 × 1 種

2 × 3 種 4 × 3 種

8

搭配頁數 P.

如上圖，拿出附件 1 中的甲、乙、丙、丁四 個矩形，將這四個矩形拼成一個大長方形，貼 在下方的黏貼處，並回答下列問題。

圖解 (a ＋ b) (c ＋ d)

a c

b c

a d

b d

甲 乙

丙 丁

9

搭配頁數 P.

(1)

a

c b

c a

d

b d

甲 乙

丙 丁

在上方的大長方形中，①的長度為 ______

，

② 的長度為 ______ 。

①

②

a ＋ b c ＋ d

解

9

圖解 (a ＋ b) (c ＋ d)

搭配頁數 P.

(2)

a

c b

c a

d

b d

甲 乙

丙 丁

由大長方形的面積＝ ( 甲＋乙＋丙＋丁 ) 的 面積可得：

(a ＋ b) (c ＋ d)

＝ _____ ＋ _____ ＋ _____ ＋ _____ 。

①

②

ac ad

解

bc bd

9

圖解 (a ＋ b) (c ＋ d)

搭配頁數 P.

　 由 可知，

(a ＋ b) (c ＋ d) ＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 。

　　事實上，無論 a 、 b 、 c 、 d 為任何數

，由分配律都可得到：

(a ＋ b) (c ＋ d) ＝ a (c ＋ d) ＋ b (c ＋ d)

＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd ，

即 (a ＋ b) (c ＋ d) ＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 。

9

搭配頁數 P.

　　方正國中的八年級學生有 394 人參加今 年的隔宿露營，費用為每人 2499 元，童軍 團團長想知道費用共多少元，他將 394 想成 400 ，將 2499 想成 2500 ，估算出總金額大 約為 400 × 2500 ＝ 1000000 元，你認為團長 所估算的總金額與實際的總金額相差多少元

？

10

搭配頁數 P.

方正國中八年級隔宿露營的總費用 394 × 2499 元

，

團長用 1000000 元來支付，利用乘法對加法的分 配律計算實際總費用，並計算團長會剩下多少元

？

1

394 × 2499

解

＝ 400 × 2500 － 400 × 1 － 6 × 2500 ＋ 6

× 1＝ 1000000 － 400 － 15000 ＋ 6

＝ 984606

所以隔宿露營的總費用為 984606 元，

團長支付完後剩下

1000000 － 984606 ＝ 15394 ( 元 ) 。

可用計算機驗算 答案是否正確。

＝ (400 － 6) (2500 － 1)

10

搭配頁數 P.

阿佑：

199 × 247

＝ ( ______ － 1) ( ______ － 3)

＝ 200 × _____ － _____ × 3 － 1 × _____ ＋ 1 × 3

＝ ________

在 P5 的漫畫中，義演的門票每張 199 元，

如果實際賣出 247 張票，那麼門票收入會是多 少？以下是阿佑、阿臻兩人的算法，請完成他 們的算式。 ( 可利用計算機協助計算 )

250

解

200

200 250

250 49153

10

搭配頁數 P.

阿臻：

199 × 247

＝ ( ______ － 1) × 247

＝ ______ × 247 － 1 ×2 47

＝ ________

在 P5 的漫畫中，義演的門票每張 199 元，

如果實際賣出 247 張票，那麼門票收入會是多 少？以下是阿佑、阿臻兩人的算法，請完成他 們的算式。 ( 可利用計算機協助計算 )

200

解

200 49153

10

搭配頁數 P.

2 _{和的平方公式}

圖解 (a ＋ b)

如上圖，拿出附件 2 中 的甲、乙、丙、丁四個矩 形，

將這四個矩形拼成一個大 正方形，貼在右方的黏貼 處，並回答下列問題。

a a b

a

b

a

b

b

甲 乙 丙 丁

①

② 甲

乙

丙

b 丁 a

a

a b

b a

b

11

搭配頁數 P.

圖解 (a ＋ b)

(1)

如上圖，拿出附件 2 中 的甲、乙、丙、丁四個矩 形，將這四個矩形拼成一個大 正方形，貼在右方的黏貼 處，並回答下列問題。

a b

a

b

a

b

b

甲 乙 丙 丁

①

② 甲

乙

丙

b 丁 a

a

a b

b a

b 在右方的大正方形中，

① 的長度為 _______ ，②的長度為 _______ 。

解

11

a

搭配頁數 P.

圖解 (a ＋ b)

(2)由大正方形的面積

＝ ( 甲＋乙＋丙＋丁 ) 的面積可得：

(a ＋ b)² ＝ _____ ＋ _____ ＋ _____ ＋ _____ 。

解

11

a b

a

b

a

b

b

甲 乙 丙 丁

①

② 甲

乙

丙

b 丁 a

a

a b

b a

b a

如上圖，拿出附件 2 中 的甲、乙、丙、丁四個矩 形，將這四個矩形拼成一個大 正方形，貼在右方的黏貼 處，並回答下列問題。

搭配頁數 P.

　　由 可知，一個邊長為 (a ＋ b) 的正方形，其面積為

(a ＋ b)² ＝ a² ＋ ab ＋ ab ＋ b² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² 。

　　若 a ＝ 20 ， b ＝ 7 ，由上可知：

27² ＝ (20 ＋ 7)² ＝ 20² ＋ 2 × 20 × 7 ＋ 7²

＝ 400 ＋ 280 ＋ 49 ＝ 729

　　事實上，無論 a 、 b 為任何數，都可以由 分配律得到：

(a ＋ b)² ＝ (a ＋ b) (a ＋ b) ＝ a² ＋ ab ＋ ba ＋ b²

＝ a² ＋ ab ＋ ab ＋ b²

＝ a² ＋ 2ab ＋ b² 。

11

搭配頁數 P.

和的平方公式

(a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b²

11

搭配頁數 P.

＝ 400² ＋ 2 × 400 × 3 ＋ 3²

1.

2

解

在計算 403² 時，小琳用 400² ＋ 3² 計算，則 403² 比 400² ＋ 3² 大多少？

利用和的平方公式，計算 (300)

的值。

2.

1. ( a ＋ b )² ＝ 2 ． a ． b 因為 403² ＝ (400 ＋ 3)²

所以 403² － (400² ＋ 3²)

＝ 400² ＋ 2 × 400 × 3 ＋ 3² － 400²

－ 3²＝ 2 × 400 × 3

＝ 2400

故 403² 比 400² ＋ 3² 大 2400 。

12

搭配頁數 P.

1.

2

解

在計算 403

時，小琳用 400

＋ 3

計算，則 403

比 400

＋ 3

大多少？

利用和的平方公式，計算 (300)² 的值。

2.

2. ( a ＋ b )² ＝ 2 ． a ． b (300)² ＝ (300 ＋ )²

＝ 90000 ＋ 400 ＋

＝ 300² ＋ 2 × 300 × ＋ ()²

＝ 90400

12

搭配頁數 P.

1. 在計算 305² 時，如果孟婷用 300² ＋ 5² 計算

，答案會正確嗎？請用計算機算出 305² 與孟 婷算出來的值相差多少？

解

＝ 300² ＋ 2 × 300 × 5

＋ 5² ≠300² ＋ 5²

相差 305² － (300² ＋ 5＝ 3000²)

12

搭配頁數 P.

2. 利用和的平方公式，計算 (600.5)² 的值，並 以計算機檢驗答案是否正確。

解

＝ 600² ＋ 2 × 600 × 0.5 ＋ (0.5)²

＝ 360000 ＋ 600 ＋ 0.25

＝ 360600.25

輸入 600 5 2 ，螢幕顯示

( 2 也可按 )

12

搭配頁數 P.

3 _{差的平方公式}

接下來我們取出面積為 a² 的正方形 色紙，經由以下步驟剪出面積為 (a － b)² 的正方形，並在操作中推導出 (a － b)² 的 乘法公式。

a － ^b a

a a － ^b

b

b

左圖是一個邊長為 a 的正方形色紙。

13

搭配頁數 P.

a － ^b

a

a － ^b

b

b

剪去面積為 ab 的長方形。

a － ^b

a

再剪去面積為 b (a － b) 的長方形。

13

搭配頁數 P.

由上述可知： (a － b)² ＝ a² － ab － b (a

－ b) ＝ a² － ab － ab ＋ b²

＝ a² － 2ab ＋ b² 。 事實上，無論 a 、 b 為任何數，都可以 由分配律得到：

(a － b)² ＝ (a － b) (a － b) ＝ a² － ab － ba

＋ b²

＝ a² － ab － ab ＋ b² ＝ a² － 2ab ＋ b² 。

a － ^b

剩下邊長為 (a － b) 的正方形。

a － ^b

13

搭配頁數 P.

差的平方公式

(a － b)² ＝ a² － 2ab ＋ b²

13

搭配頁數 P.

「和的平方公式」與「差的平方公式」，

合稱「完全平方公式」。

13

搭配頁數 P.

＝ 200² － 2 × 200 × 3

＋ 3²

利用差的平方公式，計算下列各式：

(1)197² (2) (0.99)²

3

解

＝ 40000 － 1200 ＋ 9

＝ 38809

14

搭配頁數 P.

利用差的平方公式，計算下列各式：

(1)197

(2) (0.99)

3

解

0.01)²

＝ 1 － 0.02 ＋ 0.0001

＝ 0.9801

＝ 1² － 2 × 1 × 0.01 ＋ (0.01)²

14

搭配頁數 P.

1. 利用差的平方公式，完成下列各式：

(1)98² ＝ (100 － 2)²

＝ 100² － 2 × 100 × ____ ＋ ____

＝ _______ 　　　　　

(2)303² － 2 × 303 × 3 ＋ 3² ＝ (303 － ______ )² 　　 　　　

解

2

14

2² 9604

＝ ( ______ )²

＝ ________

3 300

90000

搭配頁數 P.

2. 利用差的平方公式，計算下列各式：

(1) 1996²

解

14

＝ (2000 － 4)²

＝ 2000² － 2 × 2000 × 4 ＋ 4²

＝ 4000000 － 16000 ＋ 16

＝ 3984016

搭配頁數 P.

2. 利用差的平方公式，計算下列各式：

(2) (49.9)

解

14

＝ (50 － 0.1)²

＝ 50² － 2 × 50 × (0.1) ＋ (0.1)²

＝ 2500 － 10 ＋ 0.01

＝ 2490.01

搭配頁數 P.

4 _{平方差公式}

圖解 (a ＋ b) (a － b)

1. 如上圖，附件 3 有甲、乙兩個長方形共兩組，將其 中一組長方形拼成丙圖，另一組長方

形拼成丁圖，並完成下列空格。

a a

－ b

15

a

－

甲

乙

丙圖 丁圖

( )

( )

b

a a

－

b

b a－b

甲 乙

( )

( )

a a

－ b

b a

－ b

解 甲

乙 ^{( )}

( )

搭配頁數 P.

由丙、丁兩圖的面積關係可知：

(a ＋ b) (a － b) ＝ ___________ 。

丙、丁兩圖的面積是否相等？ _______

丙圖的面積＝ ________ × ________ ；

圖解 (a ＋ b) (a － b)

2.

(1)

由第 1. 題的拼圖，回答下列問題：

丁圖的面積＝ _______ － _______ 。

(a ＋ b) (a － b) a² b²

是 a² － b²

解

丙圖 丁圖

( )

( )

a ＋

ab

a

－

b a－b

甲 乙

( )

( )

a a

－ b

b a

－ b

bb

( ) ( )

(2) (3)

甲

乙

搭配頁數 P.

　　事實上，無論 a 、 b 為任何數，都可以由分 配律得到：

(a ＋ b) (a － b) ＝ a² － ab ＋ ba － b²

＝ a² － ab ＋ ab － b² ＝ a² － b² 。

15

搭配頁數 P.

平方差公式

(a ＋ b) (a － b) ＝ a² － b²

15

搭配頁數 P.

如下圖，甲是邊長 90 的正方形，乙是長 93

、寬 87 的長方形，則哪一個圖形的面積比較 大？

4

甲面積＝ 90² ，

解

乙面積＝ 93 ×

87 ＝ 90² － 3² ， 所以甲的面積比較大。

90

90

93

87

甲 乙

＝ (90 ＋ 3) (90 － 3)

搭配頁數 P.16

當利用平方差公式 (a ＋ b) (a － b) ＝ a² － b²

，計算一個長 103 、寬 97 的長方形面積時，

你選擇的 a 、 b 為哪兩個數？其中 a 是如何

解

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(1)204 × 196

解

＝ 200² － 4²

16

＝ 40000 － 16＝ 39984

搭配頁數 P.

＝ (100 ＋ ) (100 － )

＝ 100² － ()²

16

＝ 10000 －

＝ 9997

計算下列各式：

(2)101 × 98

解

搭配頁數 P.

右圖是市面上販售的某廠牌

光碟片，其直徑為 118 毫米，

內部小圓之直徑為 22 毫米，

如果要列印一張貼紙將此光 碟片的正面完全覆蓋 ( 不含 內部小圓 ) ，其面積為何？

( 圓周率以 π 表示， 1 公分＝ 10 毫米 )

5

解

17

此光碟片的半徑為 118 ÷ 2 ＝ 59 ( 毫 米 ) ，

其內部小圓的半徑為 22 ÷ 2 ＝ 11 ( 毫 米 ) ，

所以貼紙的面積為

π × 59² － π × 11² ＝ π × (59² － 11²) 。

搭配頁數 P.

右圖是市面上販售的某廠牌

光碟片，其直徑為 118 毫米，

內部小圓之直徑為 22 毫米，

如果要列印一張貼紙將此光 碟片的正面完全覆蓋 ( 不含 內部小圓 ) ，其面積為何？

( 圓周率以 π 表示， 1 公分＝ 10 毫米 )

5

解

17

利用平方差公式可得：

59² － 11² ＝ (59 ＋ 11) (59 － 11)

＝ 70 × 48

＝ 3360

因此貼紙的面積為 3360π 平方毫米。

搭配頁數 P.

如圖，小蘭將他的畫作貼在一個藍色背板上，已 知藍色背板是邊長為 46.5 公分的大正方形，畫 作是邊長為 43.5 公分的小正方形，求圖中藍色 邊框的面積。

解

＝ 90 × 3

＝ 270 ( 平方公分 )

＝ (46.5 ＋ 43.5) (46.5 － 43.5)

17

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(1) a (b ＋ c) ＝ (b ＋ c) a ＝ ab ＋ ac 分配律

8 ( ＋ ) ＝ 8 × ＋ 8 × ＝ 4 ＋ 2 ＝ 6

18

(2) a (b － c) ＝ (b － c) a ＝ ab － ac 8 ( － ) ＝ 8 × － 8 × ＝ 4 － 2 ＝ 2 1

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(3)(a ＋ b) (c ＋ d) ＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 1 分配律

(30 ＋ ) (20 ＋ )

＝ 30 × 20 ＋ 30 × ＋ × 20 ＋ ×

＝ 600 ＋ 10 ＋ 4 ＋

＝ 614

18

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(1) 和的平方公式： (a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² 完全平方公式

103² ＝ (100 ＋ 3)²

＝ 100² ＋ 2 × 100 × 3

＋ 3²

＝ 10609

(2) 差的平方公式： (a － b)² ＝ a² － 2ab ＋ b² 393² ＝ (400 － 7)²

＝ 400² － 2 × 400 × 7

＋ 7²

＝ 154449

18

2

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(a ＋ b) (a － b) ＝ a² － b² 平方差公式

30 × 29 ＝ (30 ＋ ) (30 － ) ＝ 30² － ()²

＝ 899

18

3

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

利用分配律，計算下列各式的值：

(1)567 × 999 1

＝ 567 × (1000 － 1)

解

19

＝ 567000 － 567

＝ 566433

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

1

＝ (200 ＋ ) (100 ＋ )

19

＝ 20000 ＋ 100 ＋ 50 ＋

＝ 20150

利用分配律，計算下列各式的值：

(2)200× 100

解

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

連連看，將左邊與右邊相等的式子連起來：

2

解

19

(1000 ＋ 5)²

(1000 － 5)²

(A)1000² ＋ 5²

(B)1000² ＋ 1000 × 5 ＋ 5²

(C)1000² ＋ 2 × 1000 × 5 ＋ 5² (D)1000² － 5²

(E)1000² － 2 × 1000 × 5

＋ 5²

(F)1000² － 2 × 1000 × 5

－ 5² (1)

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

連連看，將左邊與右邊相等的式子連起來：

2

19

101 × 99

101² － 99²

(A) (100 ＋ 1) (100 － 1) (B) (101 ＋ 1) (101 － 1) (C) (101 ＋ 99) (101 － 99)

(D) (100 ＋ 99) (100 － 99)

(E) (101 － 99)² (2)

解

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 利用乘法公式，計算下列各式的值：

(1)1003²

解

＝ (1000 ＋ 3)²

＝ 1000² ＋ 2 × 1000 × 3 ＋ 3²

＝ 1000000 ＋ 6000 ＋ 9

＝ 1006009

20

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 利用乘法公式，計算下列各式的值：

(2)(200.8)²

解

＝ (200 ＋ 0.8)²

＝ 200² ＋ 2 × 200 × 0.8 ＋ (0.8)²

＝ 40000 ＋ 320 ＋ 0.64

＝ 40320.64

20

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 利用乘法公式，計算下列各式的值：

(3)999²

解

＝ (1000 － 1)²

＝ 1000² － 2 × 1000 × 1 ＋ 1²

＝ 1000000 － 2000 ＋ 1

＝ 998001

20

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 利用乘法公式，計算下列各式的值：

(4)(29)²

解

＝ (30 － )²

＝ 30² － 2 × 30 × ＋ ()²

＝ 900 － 30 ＋

20

＝ 870

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 利用乘法公式，計算下列各式的值：

(5)501 × 499

解

＝ (500 ＋ 1) (500 － 1)

＝ 500² － 1²

＝ 250000 － 1

20

＝ 249999

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 利用乘法公式，計算下列各式的值：

(6)109² － 9²

解

＝ (109 ＋ 9) (109 － 9)

＝ 118 × 100

＝ 11800

20

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

4 如圖，文具店販賣的三角板，是一個腰長為 10.5 公分的等腰直角三角形，其內部中空 的部分是一個腰長為 4.5 公分的等腰直角 三角形，則此三角板不含中空部分的面積是 多少平方公分？

解

20

＝〔 (10.5)² － (4.5)² 〕

＝ (10.5 ＋ 4.5) (10.5 － 4.5)

＝ × 15 × 6 ＝ 45 ： 45 平方公分

。

答

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CH1-1 乘法公式

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解