比較三種平均數之教學設計
丁斌悅
1* 曹博盛
2陳彥廷
3陳昭地
2 1國 立 政 治 大 學 附 屬 高 級 中 學 2國 立 臺 灣 師 範 大 學 數學 系 3國 立 臺 中 教 育 大 學 數學 教 育 系壹、前言
近 年 來 , 筆 者 參 與 國 家 教 育 研 究 院 國 民 中 學 數 學 教 材 原 型 的 編 撰 , 其 中 , 談 到 數 學 上 常 用 的 三 種 平 均 數 : 算 術 平 均 數 (Arithmetic Mean, 簡 稱 A)、 幾 何 平 均 數 (Geometric Mean, 簡 稱 G)以 及 調 和 平 均 數(Harmonic Mean, 簡 稱 H), 在 中 學 數學 教 材 中 , 似 乎 只 出 現 算 術 平 均 數 與 幾 何 平 均 數。而 這 些 概 念 大 多 出 現 在 高 中 階 段(國 中 有 等 差 中 項 與 算 術 平 均 數 , 但 著 墨 不 深),並 且,調 和平 均 數 已 被遺 落 在 中 學數 學 教 材 之 外 , 實 在 可 惜 ! 有 鑑 於 上 述 這 三 個 數 學 中 常 見 平 均 數 具 其 重 要 性 , 作 者 嘗 試 設 計 一 份 教 學 活 動 , 期 能 透 過 逐 步 引 導 的 方 式 , 讓 學 生 發 現 這 三 個 平 均 數(A、 G 及H)具 有 A G H 及G2 A H的 性 質。 希 望 提 供 中 學 教 師 能 在 面 對 數 學 課 程 日 漸 縮 減 的 現 況 , 思 考 在 適 當 時 機 引 導 學 生 進 行 思 考、探 究,讓 學 生 產 生 對 數 學 的 興 趣, 進 而 發 現 數 學 之 美 。貳、設計的理念與架構
基 於 上 述 想 法 , 本 文 首 先 站 在 八 年 級 *為本 文 通 訊 作 者 學 生 現 有 的 先 備 知 識 基 礎 上 , 透 過 算 術 平 均 數(A)、 幾 何 平 均 數 (G)以 及 調 和 平 均 數 (H)的 性質 發 現 與說 明 介 紹,讓 學 生 理 解前 述 三 種 平 均 數 的 意 義 ; 其 次 引 入 實 例 , 讓 學 生 看 見 三 種 平 均 數 與 其 生 活 的 關 聯 ; 最 後 , 再 提 供 教 師 有 關 這 三 種 平 均 數 延 伸 與 應 用 的 點 子 , 以 作 為 後 續 提 供 學 生 作 業 或 深 層 思 考 的 參 考 。 圖 1 為 本文 課 程 活 動安 排 的 架 構 。參、教學活動內容
以 下 , 茲 依 據 圖 1 的 架 構 依 序 介 紹 本 文 設 計 的 教 學 活 動 內 涵 :活 動 一 : 從 情 境 中 引 入 發 現 三 者 關
係
假 設 情 境 引 入 算 術 平 均 數(Arithmetic Mean, 簡 稱 A) 、 幾 何 平 均 數 (Geometric Mean, 簡 稱 G) 、 調 和 平 均 數 (Harmonic Mean, 簡 稱 H)等 三種 平 均 數;讓 學 生 主動 發 現A G H及G2 A H 的 關 係 。 假 設 某 所 學 校 一 位 素 有 民 主 風 範 的 數 學 老 師 , 在 學 期 即 將 結 束 之 際 , 設 計 了 三 種 平 均 數 要 求 全 班 學 生 投 票 以 決 定 最 有 利 於 自 己 平 時 成 績 的 一 種 算 法 。 這 位 老 師 對 此 班 學 生 總 共 進 行 了 兩 次 的 數 學 平 時 評圖 1、 本 文課 程 活 動 安排 的 架 構 量 , 每 位 學 生 自 己 第 一 次 的 平 時 評 量 成 績 記 作a分,第 二 次 則 記 作b分,他(她)建 議 班 上 同 學 有 如 下 的 三 種 平 時 評 量 成 績 之 平 均 計 算 方 式 : 2 a b A 、 G a b 、 H 2ab a b 為 了 節 省 時 間 , 這 位 數 學 老 師 允 許 學 生 使 用 電 算 器 的 輔 助 , 並 要 求 學 生 兩 分 鐘 內 自 行 計 算 並 記 錄 自 己 個 人 這 三 種 方 案 的 結 果 , 聲 明 若 計 算 之 結 果 遇 有 小 數 點 時 , 以 四 捨 五 入 法 記 錄 到 小 數 點 後 二 位 。 經 過 兩 分 鐘 , 全 體 學 生 都 完 全 正 確 地 記 錄 出 自 己 個 人 在 三 案 上 的 結 果 (A、G、H)。 於 是 這 位 數 學 老 師 要 求 全 班 學 生 舉 手 表 決 , 以 決 定 最 後 的 數 學 平 時 成 績 結 算 方 式,結 果 發 現 全 班 同 學 都 同 意A 案,而 同 意G 案 與 H 案 的 為同 樣 的 3 位 學 生,此 時 老 師 便 問 這3 位 學 生:「 你 們 為 何 三 案 皆 同 意 啊 ? 」這 3 位 學 生 異 口同 聲 回 答:「 因 為 我 在 這 三 案 所 計 算 出 來 的 分 數 都 一 樣 啊 ! 」老 師 進 一 步 問 全 班 同 學:「 為 何 這 3 位 同 學 利 用 這 三 案 所 計 算 出 來 的 分 數 是 一 樣 的 呀 ? 又 為 何 全 班 同 學 皆 同 意A 案 呢? 你 們 知 道 是 什 麼 原 因 嗎 ? 」 隨 堂 練 習 1: (1) 假 設 班 上 的 名 叫 中 明 的 學 生 第 一 次 得 分 25 分 第 二次 得 分 64 分,那 麼 他 的 計 算 結 果 A=_ _ 分 , G= _ _ 分 ,H 又 是_ _ 分 。 (2) 假 設 班 上 另 一 位 學 生 名 叫 志 強 的 , 第 一 次 得 分 81 分 , 第 二次 得 分 49 分, 那 麼 他的 計 算 結 果應 該 是 A=_ _ 分 ,G=_ _ 分 ,而 H= _ _ 分 。 (3) 假 設你 也 是 該 班的 學 生,第 一次 得 分 81 分, 第 二 次得 100 分 ,那 麼 你 計 算 的 結 果 是 181 2 A 或90.5 分 基 本 性 質 介 紹 ◎ 算 術 平 均 數 ◎ 幾 何 平 均 數 ◎ 調 和 平 均 數 活 動 一 從 情 境 中 引 入 發 現 三 者 關 係 平 均 數 的 延 伸 與 應 用 ◎ 投 籃 命 中 率 ◎ 平 均 數 的 幾 何 性 質 活 動 四 平 均 數 的 延 伸 與 應 用 教 材 三 種 平 均 數 在 生 活 上 的 實 例 ◎ 汽 車 買 賣 ◎ 複 利 計 息 ◎ 平 均 速 率 活 動 二 說 明 三 者 關 係 活 動 三 生 活 實 例 示 例
G= 90 分 及 16200 181 H 或 約 89.50 分(A、H 可 以視 情 況 需 要,用 假 分 數 或 小 數 表 示 。 若 遇 有 小 數 點 時,可 以 四 捨 五 入 法 記 錄 到 小 數 點 後 二 位 ) 那 麼 可 以 得 到 A G H 以 及G2 A H 的 關 係 嗎 ? 兩 者都 可 以 ; 只 有一 個 可 以 ; 兩 者都 不 可 以 。 ( 請 擇 一 打 〝〞) (4) 假 設另 一 位 同 學小 雅 也 在 該班,她 的 第 一 次 與 第 二 次 得 分 都 是 90 分,那 麼 她 計 算 的 結 果 A= 分, G= 分 ,H= 分 。 從 上 面 的 投 票 結 果 及 隨 堂 練 習 1 各 小 題 後 , 這 位 數 學 老 師 問 班 上 的 學 生 有 什 麼 發 現 ? 接 著 一 位 反 應 靈 敏 、 思 考 快 速 , 名 叫 大 仁 的 學 生 , 首 先 舉 手 搶 答 :「 老 師 我 發 現 了 A G H及G2 A H 的 關 係 。 」 隨 即 老 師 露 出 微 笑 並 點 頭 表 示 讚 賞 、 同 意 大 仁 的 發 現 。 為 了 更 加 確 定 這 兩 個 結 果 的 真 實 性 , 這 位 數 學 老 師 要 求 全 班 學 生 緊 接 著 再 作 以 下 的 隨 堂 練 習 2: 隨 堂 練 習 2: (1) 若 a=20 , b =80 , 則 A= , G= ,H= 。 (2) 若 a =8 , b =2 , 則 A= , G= ,H= 。 (3) 若 a= b =95 , 那 麼 A= , G= ,H= 。 (4) 若 a= 1 2,b= 1 8, 則 A= , G= ,H= 。 (5) 若a= 1 80,b= 1 20, 則 A= , G= ,H= 。 作 完 以 上 的 隨 堂 練 習 2 各 小 題 後 , 老 師 再 問 全 班 同 學 所 得 的 結 果 是 否 都 符 合 下 列 兩 個 關 係 式 : A G H及G2 A H 全 班 同 學 全 部 都 點 點 頭 表 示 符 合 。 接 著 老 師 便 說:「 同 學 你 們 是 否 更 加 確 定 了 , 隨 意 的 兩 正 數a與b永 遠 符 合 下 列 的 兩 個 關 係 式 : (*)A G H及G2 A H
活動二:說明
(或是證明)
A G H及
2 G A H 步 驟 1: 這 位 老 師 接 續 剛 剛 的 結 果 , 說 : 「 事 實 上,不 僅 上 面 的 關 係 式( *) 正 確,假 設a b時,還 有 下 面 的 關 係 式 : a A,H b 合 併 起 來 可 得 G2 A H , 及 a A GHb, 其 中 A 稱 為 a、b二 正 數 的 算 術 平 均 數 ,G 稱 為 a 、b 二 正 數 的 幾 何 平 均 數 , 而 H 稱 為a、b二 正 數 的 調 和 平 均 數 。 它 們 恆 有 2 G ,A H A G H的 關 係 ! 」步 驟 2: 「 上 面 你 們 大 仁 同 學 所 發 現 的 關 係 式 , 到 目 前 為 止 , 頂 多 只 能 說 是 猜 測 或 是 臆 測 , 會 不 會 有 例 外 ? 可 不 可 能 有 例 外 ? 我 們 應 該 要 有 更 完 整 的 說 明 ( 或 是 證 明 ): 對 任 意 二 正 數a、b, 為 什 麼 A G H 及 G2 A H 的 關 係 式 一 定 正 確 ! 要 更 一 般 性 地 、 完 整 地 說 明 出 理 由 , 以 確 定 不 會 有 以 偏 蓋 全 、 或 有 例 外 發 生 之 可 能 性 。 」 步 驟 3: 同 學 想 了 幾 分 鐘 , 默 默 無 語 , 終 於 有 同 學 舉 手 發 問 :「 老 師 , 那 麼 要 如 何 對 上 面 的 關 係 式 作 出 一 般 性 的 、 完 整 的 說 明 呢 ? 」 於 是 老 師 就 分 成 下 列 3 個 步 驟 說 明 (或 是 證 明 )給 學 生 看 ! 步 驟 4: 直 接 了 當 的 先 從 等 式 著 手 (G2 A H ): 由 2 a b A ,H 2ab a b 於 是 2 2 a b ab A H ab a b 得 其 結 果 即 為ab,G ab 的 平 方 , 所 以 得 到G2 A H 。 那 麼 完 成 其 中 一 個 等 式 的 說 明 ( 或 是 證 明 )。 步 驟 5: 再 看 比 較 頭 痛 的 部 分 (A G H): 只 要 經 過 巧 妙 的 處 理 , 說 明 A G 就 不 難 了,因 為 2 a b ab 相 當 於( )2 ( )2 2 a b ab 即(a b )2 4ab 而 上 式 又 相 當 於a22ab b 24ab 即a22ab b 2 亦即0 (a b )20 而(a b )20對 任 意 二 正 數a 、 b 恆 正 確 ! 於 是 將 上 面 的 說 明 反 方 向 進 行 , 由(a b )20 得 a22ab b 2 , 0 再 得 a22ab b 2 4ab , 又 得 2 ( ) 4 a b ab 隨 即 可 得 2 a b ab ( 即 A G , 稱 作 算 幾 不 等 式 ) 值 得 一 提 的 是 : 當a b 時 , 等 式 成 立 , 即 2 a b ab ,也 就 是 A G 。 步 驟 6: 合 併 以 上 兩 步 驟 得 G2 A H 及 A G 亦 即 A G GH 及 1 A G 故 得 G A 1 H G , 即 得 1 G H 於 是G H , 故 得 A G H。 同 樣 地 , 當a b 時,等式成立, 即GH, 可 得 A G H。 老 師 隨 即 說 : 以 上 三 個 步 驟 ( 步 驟 4~ 步驟 6),就 是G2 A H 與 A G H 的 完 整 說 明( 或 是 證 明)!
活 動 三 : 三 種 平 均 數 在 生 活 上 的 實
例
例 1: 算 術 平 均 ( 數 ) 是 常 聽 到 的 日 常 用 語 ! 例 如 : 買 賣 一 部 二 手 汽 車 , 賣 方 原 本 定 價 42 萬 元,而 買 方 認 為 價 錢 太 高 了 , 心 中 一 再 盤 算 之 後 出 價 38 萬,… …,買 賣 雙 方 經 過 一 番 討 價 還 價 後,雙 方 終 於 同 意 以 40 萬 元 成 交。40 萬 元 就 是 38 萬 元 與 42 萬 元 的 「 算 術 平 均 數 」; 雙 方 各 退 讓 同 樣 的 一 步 : 各 增 減 2 萬 元 。 例 2: 在 數 學 上 使 用 幾 何 平 均 數 的 機 會 , 在 將 來 會 出 現 較 頻 繁 。 其 生 活 上 使 用 的 時 機 , 以 銀 行 業 來 說 就 常 會 遇 上 ! 例 如 , 某 一 銀 行 牌 告 100 萬 元 三 年 期 的 借 款 採 用 年 利 率 5% 並 以 複 利 計 息 , 並 公 告 每 一 年 計 算 一 次 ; 某 人 因 購 屋 之 需 , 就 向 該 銀 行 借 了 100 萬 元 , 那 麼 從 一 開 始 借 款 起 , 其 本 利 和 逐 年 計 算 如 下 :( 單 位 : 萬 元 ) 借 款 當 日 : 100 一 年 期 滿 : 5 5 100 100 100(1 ) 100 100 二 年 期 滿 : 5 5 5 100(1 ) 100(1 ) 100 100 100 2 5 5 5 100(1 )(1 ) 100(1 ) 100 100 100 同 理 , 三 年 期 滿 :100(1 5 )3 100 其 中 的 第 一 年 期 滿 100(1 5 ) 100 就 是 其 前 後 一 年 的 100 , 2 5 100(1 ) 100 的 幾 何 平 均 數 ; 同 樣 地,第 二 年 期 滿 的100(1 5 )2 100 是100(1 5 ) 100 與 三 年 到 期 應 還 的 本 利 和100(1 5 )3 100 之 幾 何 平 均 數。 例 3: 較 難 舉 例 的 是 調 和 平 均 數 , 不 過 看 看 下 面 的 例 子 , 就 可 知 道 了 ! 提 問 : 汽 車 上 山 的 平 均 速 率 為 36 公 里/小 時 , 下 山 沿 原 路 返 回 , 平 均 速 率 為 64 公 里 /小 時,請 問 上、下 山 一 趟 , 全 程 的 平 均 速 率 是 每 小 時 多 少 公 里 呢 ? 說 明 : 全 程 平 均 速 率 等 於 全 程 距 離 除 以 所 花 的 時 間 。 於 是 可 將 此 山 路 的 距 離 設 成s公 里,全 程 則 為 2s公 里;另 將 上 山 所 花 的 時 間 記 為a小 時 , 下 山 所 花 的 時 間 為b小 時 。 因 此 可 以 得 到 上 、 下 山 一 趟 的 平 均 速 率 可 記 為 2s a b 公 里/小 時 。 另 外 , 上 、 下 山 的 平 均 速 率 分 別 是 s a 和 s b , 其 調 和 平 均 數 為 : 2 2( )( ) 2( ) 2 ( ) s s s s a b ab s s s a b a b a b ab 也 就 是 說: 2s a b 恰 好 是 上、下 山 平 均 速 率 s a 和 s b 的 調 和 平 均 數 。 此 題 中 , 2( )( ) 2 2(36)(64) 36 64 s s s a b s s a b a b 2 36 64 46.08 100 最 後 的 答 案 46.08 公 里 /小 時,也 就 是 2(36)(64) 36 64 公 里/ 小 時 所 以 此 輛 汽 車 上 、 下 山 一 趟 全 程 的 平 均 速 率 , 為 上 、 下 山 各 平 均 速 率 的 調 和 平 均 數 。 值 得 一 提 的 是 :a、b的 調 和 平 均 數 2ab a b , 另 一 種 寫 法 2 1 1 ab , 理 由 如 下 : 2 2 2 1 1 ab a b a b ab ab a b 也 就 是 說 :a、b的 調 和 平 均 數 , 就 是a、b倒 數 的 算 術 平 均 數 之 倒 數 ! 因 此 , 此 題 的 另 一 種 算 法 為 : 2s 2 a b a b s s 2 1 1 36 64 2 64 36 36 64 2 36 64 64 36 2 36 64 46.08 100 ( 36, 1 36 s a a s ; 1 64, 64 s b b s ) 也 可 得 到 相 同 的 結 果 。 隨 堂 練 習 3: (1) 騎 自行 車 上 、 下山 的 平 均 速率 分 別 為 8 公里 /小時 與 18 公里 /小 時, 請 問 此 自 行 車 上 、 下 山 一 趟 , 全 程 平 均 速 率 為 每 小 時 多 少 公 里 ? (2) 請 各 組 (位 )學 生 , 再 舉 一 個 調 和 平 均 數 之 日 常 生 活 實 例 。 結 合 上 面 的 生 活 實 例 不 在 少 數 ! 同 學 們 將 來 還 會 遇 到 許 多 生 活 以 外 、 數 學 上 的 其 他 實 例 。 另 外 , 算 幾 不 等 式 的 數 學 實 例 與 其 應 用 , 更 會 在 未 來 的 數 學 課 堂 上 或 是 數 學 評 量 試 題 中 出 現 , 它 是 初 等 數 學 最 重 要 的 不 等 式 之 一 , 不 可 不 注 意 喔 !
活動四:平均數的延伸與應用
1. 有 關算 幾 不 等 式的 簡 易 應 用 2 b a a b , 對 任 意 二 正 數 a、b恆 成 立 ! 理 由: ( ) 2 b a b a a b a b ( 算 幾 不 等 式 ) 即 b a 2 1 a b , 亦 即 2 b a a b 且 等 號 成 立 b a a2b2 a b a b 2. 有 關 調 和 平 均 數 的 日 常 生 活 實 例 , 有 下 面 例 題 可 作 補 充 : 有 一 位 職 業 籃 球 員 在 某 場 球 賽 之 中 , 上 半 場 投 籃a次 進 了b次 , 下 半 場 投 籃c次 進 了d次 (a、b、c、d都 是 大 於 0 的 整 數 ),請 問 這 一 位 球 員 這 場 球 賽 的 上 半 場 、 下 半 場 及 全 場 命 中 率 各 是 多 少 ? 它 們 三 者 之 間 有 何 關 係 ? 解 : (1) 上 半 場 的 命 中 率 為 b a , 下 半 場 則 為 d c , 而 全 場 的 命 中 率 為 b d a c (2) 不 妨 假 設 b d a c, 則 可 得 b b d d a a c c , 當 a c 時 , 全 場 命 中 比 例 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 b d b d b d b d a c a a a a c 為 上、下 半 場 命 中 率 的 算 術 平 均 數 。 當b d 時 , 全 場 命 中 比 例 2( ) 2( ) 2 ( ) ( ) b b b b b d b a c a c b b b a c a c a c a c a c 故 為 上、下 半 場 命 中 率 的 調 和 平 均 數 。 備 註:上 述 b a、 d c 中 的a、b、c、d 都 是 原 始 數 值 , 保 持 原 值 , 不 可 約 分 。 3. 2 2 a b ab ab a b 之 幾 何 詮 釋 : 如 圖 2, 半 圓O中 (圓 心 為O), 直 徑 AB a b (半 徑 2 a b OA OB OR ) 其 中 AP a ,PB b ,a b ,RPAB 於 P,R 在 半 圓 上,PSOR於 S( 我 們 稱 S 為 垂 足 ), (1) 利 用 直 角 ARP 〜 直 角 RBP〜 直 角 ABR之 母 子 相 似 性 質 , 可 得 RP AP PB ab 。 (2) 另 外 , 利 用 直 角 RPS 〜 直 角 POS 〜 直 角ROP之 母 子 相 似 性 質,可 得 2 2 2 PR ab ab RS a b a b OR 。 (3) AO OR PR RS 。 由 上 述(1)〜 (3)可 知: 2 2 a b ab ab a b 即:a、b二 數 的 算 術 平 均 數 >a、b 的 幾 何 平 均 數 >a、b的 調 和 平 均 數 之 幾 何 詮 釋 ; 另 外,當a b 時,P 點 重 合 O 點,此 時 垂 足S 亦 重 合 O 點 , 因 此 AO OR PR RS , 此 時 : 2 2 a b ab ab a b 。
b
a
S
R
O
B
A
P
圖 24. 如圖 3, 梯 形 ABCD 中 , AB //CD, AB a ,CD b ,AC與BD 相 交 於O 點,EF為 過O且 與 底 邊CD平 行 的 直 線,交 兩 腰 於 E 與 F,令EF h;G、 H 為 兩 腰的 中 點, 令GHd , 則 : (1) 2 a b GH d 為 上 底 長 AB a 、 下 底 長CD b 的 算 術 平均 數 。 (2) 利 用OCD〜OAB相 似 性 質 , 可 得 DO OB CD AB b a: : : 因 此 : : ( ) DO DB b a b ; 利 用 DEO 〜 DAB 相 似 性 質 , 可 得 EO AB DO DB b a b: : : ( , ) 因 此EO ab a b ; 同 理 , ab OF a b : 2 ab ab ab h EF EO OF a b a b a b 為 上 底 長AB a 、 下 底 長CD b 的 調 和 平 均 數 。(因 為a b , 故d h, 所 以GH必 然 不 通 過 兩 對 角 線 的 交 點。)
H
G
F
E
O
D
C
A
B
圖 3 5. 如 圖 4,ABC中,C的 內 角 平 分 線 CD 交 AB 於 D,C的 外 角 平 分 線 CE交 AB 的延 長 線 於 E, 則 : (1) 因ACD與BCD是 分 別 以 AD 與 BD 為底 邊 , 過 C 點 的 高 相 同, 故 ACD AD BCD BD 。 (2) 另 外 , ACD與 BCD是 分 別 以 AC與BC為 底 邊,過D 作 AC、BC 邊 上 的 高,則 由 D 為 平 分 線CD上 的 一 點,故 此 二 高 相 等,於 是 又 得 ACD AC BCD BC 。 由 上 述 (1)〜 (2)可 得 : AD AC BD BC 。 同 理 可 得 AC AE BC BE 。 合 併 得 AD AE BD BE! (3) 令 rAD、sAB、tAE,則 可 得 : r t s r t s 取 倒 數:s r t s r t , 1 1 s s r t 1 1 1 1 r s s t, 2 1 1 r t s r t rt 即 s 2rt r t , s為r與t 的 調和 平 均 數 。 x x E D A B C 圖 46.(1) 三 個正 數a、b及c之 算 術 平 均 A,幾 何 平 均 數 G,與 調和 平 均 H 可 以 如 法 泡 製 地 去 定 義 , 此 時 : A= 3 a b c ,G=3abc , H= 3abc ab bc ca 仍 可 用 暴 力 計 算 得 出 A G , 再 利 用 A G 經 過 適 當 的 代 換 推 得G H ,但 2 G 與A H 則未必相等! 例 如 :1、1、8 三 數的 A=1 1 8 10 3 3 , G= 31 1 8 2, H= 3(1 1 8) 24 1 1 1 8 8 1 17 , 則 : A G H , 但 2 4 10 24 3 17 G A H 。 (2) 由 算 幾 不 等 式 A G , 易 得 3 b c a a b c 對 任 意 三 個 正 數a、b、 c恆 成 立 : 3 3 ( ) 1 1 3 b c a b c a a b c a b c , 因 此 推 得 b c a 3 a b c !
肆、教學活動參考解答
活動一:
隨 堂 練 習 1: (1) A=44.5 或89 2 (分),G=40(分),H= 3200 89 或 約35.96(分)。 (2) A= 65(分 ), G= 63(分 ), H=7938 130 或 4 61 65或 約61.06(分)。 (3) 兩 者 都 可 以 ( 用 小 數 表 示 時 可 得 A G H ; 用 分 數 表 示 時 可 得 2 G A H )。 (4) A=G=H= 90(分)。 隨 堂 練 習 2: (1) A=50,G= 40,H=32。 (2) A=5,G=4,H=3.2。 (3) A=95,G= 95,H=95。 (4) A= 5 16,G= 1 4,H= 1 5。 (5) A= 5 160,G= 1 40,H= 1 50。活動三:
隨 堂 練 習 3: (1) 2 8 18 288 144 111 8 18 26 13 13 ≑11.08( 公 里/小 時)。 (2) (略)。伍、建議的課後作業
1. 求 下列 各 組 數 的算 術 平 均數 A, 幾 何 平 均 數 G 及 調 和平 均 數 H:(1) (100,100) (2) (9,49) (3) (125,5) (4) (3,1) 2 (1). 1 之 各 小題 中,符 合 A G H之 關 係 嗎 ? (2) 同 (1), 符 合G2 A H嗎 ? (3) 若a b 0, 並 令a為 第 1 題數 對 中 數 值 大 者,b為 第1 題 數 對中 數 值 小 者。檢 驗 第1 題 各 小 題 之 A、 G 及 H 是否 符 合a A GHb。 3. 有 一位 農 人 將 其存 款 的 一 部分 , 分 給 兄 妹 兩 人 , 原 始 分 法 為 : 兄 分 得 80 萬 元,妹 分 得20 萬 元。後 來妹 妹 覺 得 很 不 公 平 , 建 議 父 親 重 新 分 配 。 若 將 80 萬 元與 20 萬 元採 用 本 文中 之 三 種 方 式 A、G 及 H 重新 分 配給 兄 妹 兩 人 , 使 兄 妹 兩 人 公 平 分 得 同 樣 款 項 , 假 如 有 多 出 的 剩 餘 款 項 就 歸 還 給 爸 爸 , 一 旦 發 生 不 足 的 部 分 則 由 爸 爸 來 補 足 。 請 分 別 回 答 下 列 問 題 : (1) 若 爸爸 採 用 算 術平 均 A 的 方式 , 爸 爸 可 以 拿 回 或 需 補 多 少 錢 ? (2) 若 爸爸 採 用 幾 何平 均 G 的 方式 , 爸 爸 又 可 拿 回 或 需 補 多 少 錢 ? (3) 若 爸爸 採 用 調 和平 均 H 的 方式 , 爸 爸 拿 回 或 需 補 多 少 錢 ? (4) 經 由 以 上 三 種 方 式 之 哪 一 種 方 式 , 對 妹 妹 最 有 利 ? 4. 有 一對 父 子 慢 速晨 跑 同 樣 圈數 的 操 場 跑 道 , 已 知 父 親 的 平 均 速 率 為 3.6 公 里/小 時,兒 子 的平 均 速 率 為 6.4 公 里 /小時,請 問 這 對父 子 這 一 次的 晨 跑 平 均 速 率 為 每 小 時 多 少 公 里 ?
建議的課後作業參考解答:
1 (1) (100,100),A=G= H=100。 (2) (9,49),A= 29,G=21,H= 441 29 。 (3) (125 , 5) , A = 65 , G = 25 , H = 125 13 。 (4) (3,1),A= 2,G= 3,H= 3 2 。 2. (1) 1 之(1)〜(4)各 題 之 A、 G、H 都 有 符 合 A G H的 關 係 。 (2) 1 之(1)〜(4)各 題 之 A、G、H 也 都 有 符 合G2 A H之 等 式 。 (3) 皆 符合a A GHb。 3. (1) A=50( 萬 元 ),爸 爸 可 拿 回 0 元。 (2) G=40( 萬 元 ),爸 爸可 拿 回 20 萬 元 。 (3) H=32( 萬 元 ),爸 爸可 拿 回 36 萬 元 。 (4) 採 算術 平均 A 的方 式 , 對 妹妹 最 有 利 。 4. 2 3.6 6.4 4.608 3.6 6.4 (公 里/小 時)。陸、結語
透 過 上 述 課 程 內 容 介 紹,筆 者 認 為 , 教 師 可 在 國 民 中 學 階 段 適 時 針 對 部 分 學 生 介 紹 三 種 平 均 數 的 意 義 、 性 質 、 內 涵 及 延 伸 的 相 關 實 例 。 如 此 , 應 能 達 成 以 下 幾 個學 習 目 標 : (一) 瞭 解 二 正 數 a、 b 的 算 術 平 均 數 為 2 a b A , 幾 何 平 均 數 為G ab, 而 調 和 平 均 數 為H 2ab a b 。 (二) 瞭 解三 個 平 均數 A、G 及 H, 通 通 介 於a、b之 間 , 在 數 線 上 標 示 出 二 正 數a、b,表 示 A 的 點 恰好 在a與b的 正 中 間,表 示 G 的 點 在 A 的 左 方,而 表 示 H 的 點 又 在 G 的 左 方,它 們 都 落 在 代 表a、b之 點 為 端 點 的 線 段 上 。 (三) 知 道二 正 數a、b的 平 均 數 A、G 及 H, A G H 及 G2 A H 。 G 是 A 與 H 的 幾 何平 均 數 , 而A G 則 為 很 重 要 而 被 簡 稱 為 算 幾 不 等 式 , 是 初 等 數 學 最 重 要 的 不 等 式 之 一 。 筆 者 相 信 , 如 果 能 夠 把 算 術 平 均 數 、 幾 何 平 均 數 以 及 調 和 平 均 數 重 新 引 進 中 學 數 學 教 材 內 , 將 會 對 學 生 在 日 常 生 活 中 的 實 例 理 解 有 所 幫 助 , 也 能 幫 助 學 生 更 加 充 分 理 解 這 三 種 平 均 數 的 意 涵 , 看 見 三 種 平 均 數 在 生 活 中 的 美 。
參考文獻
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