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中小學數學科課程綱要評估與發展研究

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Academic year: 2021

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全文

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中小學數學科

課程綱要評估與發展研究

研究主持人: 陳宜良

研究員:

單維彰、洪萬生、袁媛

研究助理:

魏士傑、舒宇宸、姜志遠

翁婉珣、黃子倩、洪雅齡

中華民國九十四年 8 月 4 日

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摘 要

本研究依據 92 年頒布之國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要,以及預定 95 學年 實施的高中與高職數學課程暫行綱要,為教育部之「建置中小學一貫體系計畫」探討檢視 12 年數學課程設計之一貫性、銜接性、適切性與政策呼應性,並將彙整之資料、結論與建議寫 成此報告書。 為撰寫此報告所執行之研究方法為文獻分析、跨國比較與專家晤談。據以分析之文本, 取美國加州、新加坡、中國、南韓、日本與英國等六個國家或地區之相對數學課程綱要或標 準,分別與上述兩套本國數學課程綱要做兩兩比對而列出異同,再由研究團隊探究分析。過 程當中亦需查明各國之教育體制與課程結構,以為整體判斷之依據。而針對各階段綱要制訂 者、教師代表、教科書編者分別舉辦之座談,也事先由研究團隊根據文獻分析的初步發現而 擬定題綱,徵詢多方意見以匯聚共識。 本報告以前兩章概述此研究之背景與研究方法;第參章比較本國與上述六個國家或地區 之數學課程設計與相關實施方法;第肆、伍章依施政呼應性、綱要設計之一貫與銜接性與課 程內容之合宜性,詳述研究結果,並論及資訊與通訊科技工具的角色,與時數分配和選修制 度等實施方面的議題。在第肆、伍、陸章的論述當中,已經分別就特定的課題提出建議。第 柒章彙整了主要的結論與建議。附錄則詳列我國與各國之數學課綱並列比較表格。 在課程的實施策略與設計理念上,本研究之結論呼籲重視語文和數學在基礎教育中的核 心地位,並如實反應於授課時數的分配;期望 12 年整體觀點的數學課程規劃,能夠更有效率 地發展主軸知識與技能,並正視科技工具對於學習本質造成的影響;還建議以更寬宏的眼光 和胸懷,來落實適性的教學與後期中等教育的選修制度。對於目前數學綱要之安排與內容, 本研究也做出明確的調適建議。我們冀望這些結論與建議,能對未來的政策擬定,以及數學 綱要之修訂,做出實質貢獻。

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目 錄

壹、緒論... 3 貳、研究方法 ... 5 一、文獻分析 ... 5 二、跨國比較 ... 6 三、座談會 ... 7 參、跨國比較 ... 10 一、我國課程綱要架構說明與分析 ... 11 二、美國加州 ... 15 二、新加坡 ... 19 三、英國... 40 四、中國大陸 ... 50 五、韓國... 60 六、日本... 68 肆、課程綱要與施政主軸關聯性 ... 81 伍、綱要內容與實施方法之評估 ... 84 一、課程綱要之一貫性與銜接性 ... 84 二、課程綱要內容之適切性 ... 87 三、科技工具的使用 ... 90 四、時數分配的恰當性 ... 92 五、課程架構與學制彈性 ... 93 六、實施方法的問題 ... 95 陸、其他科/領域之統整性 ... 96 柒、結論與建議 ... 100 一、整體建議 ... 100 二、對十二年一貫課程架構的一些看法 ... 101 捌、參考文件 ... 118 玖、附錄... 121 附錄一、台灣與加州數學綱要比較表 ... 121 附錄二、台灣與新加坡數學綱要比較表 ... 147 附錄三、英國數學課程標準的能力等級描述 ... 189 附錄四、台灣與中國大陸之數學課程比較表 ... 197 附錄五、台灣與韓國數學課程綱要比較對照表 ... 241 附錄六、台灣與日本之數學課程比較表 ... 262 附錄七、跨國課時對照表 ... 285

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中小學課程體系原則發展計畫

數學科課程綱要評估

壹、緒論

為因應社會變遷的需求,課程改革成為近年來教育改革的重點之一,而我國的中小學數學課 程在近十年來產生了很大的變化。過去,有關數學課程的修訂都是各個年段各自修定,即國 小、國中及高中各由不同的委員會負責修訂的任務。九年一貫課程的提出即在統整各學科的 課程內容,使得學科間的學習可以統整,同時國小與國中的課程能銜接起來。現行的高中課 程標準係於民國 84 年公佈實施,教育部考量要銜接九年一貫數學課程,因而著手修訂高中課 程綱要。但因為某些原因使得新修訂的高中課程暫行綱要將延至九十五學年度實施,似無法 達到原先預定銜接九年一貫課程的目的。各階段數學課程從「課程標準」演化成「數學綱要」, 主要是教育制度上想要鬆綁的一股浪潮,希望經由一個學習的最低標準,給教師一個展現專 業的空間。但課程綱要是規範學習內容及教學實施的指導原則,其對學生學習的影響甚巨, 其實施結果甚至將影響國家整體的競爭力,因此對課程綱要的評估與修正是國家刻不容緩的 持續工作。 近二十年來,國小數學課程的發展經歷了四次的修訂,分別是民國 64 年公布修訂於 67 學年度實施的國小數學課程標準、民國 82 年公布修訂於 85 學年度實施的國小數學新課程、 民國 87 年公布於 90 學年度實施的九年一貫數學課程暫行綱要(暫綱)及民國 92 年公布並即將 於 94 學年度正式實施的九年一貫數學課程綱要(正綱)。國中數學課程的發展也經歷了四次的 修訂,分別是民國 74 年、民國 83 年、民國 87 年的九年一貫數學課程暫行綱要及民國 92 年 公布並即將於 94 學年度正式實施的九年一貫數學課程綱要。高中數學課程也歷經民國 73 年、 民國 84 年及最近一次民國 94 年修定即將於 95 年度正式實施的高中數學課程暫行綱要。 依據「建置中小學一貫體系計畫」,教育部擬於 94 年底提出一個十二年課程一貫的構想, 因此想針對即將於 94 學年度實施的九年一貫數學課程綱要及 95 學年度實施的高中數學暫行 綱要進行一貫性與妥適性評估,以作為 98 學年度課程綱要修訂之參考及學理依據。 本研究依據各學科召集人及課程專家所研擬的課程綱要評估項目而執行,各項目如下: 1. 評估課程綱要之施政主軸回應性 (1)現代國民 a.教材內容與學生潛能開發需求之符合性 b.教材內容符合社會及國家需求之合宜性 (2)台灣主體(檢視各科課程綱要中台灣主體所佔的比例性) (3)全球視野 (4)社會關懷 2. 評估課程綱要內容與實施方法 (1)課程綱要之一貫性與銜接性 (2)課程綱要內容之適切性

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(3)科技工具的使用 (4)課程架構與學制彈性 (5)實施方法的妥適性 3. 其他科/領域之統整性 (1)各學科培育能力之相互配合性 (2)各領域相關科目間之統整及區別的合理性

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貳、研究方法

本計畫的主要目的在評估數學領域由國小至高中的課程綱要的一貫性與妥適性,包括九年一 貫數學領域課程綱要(教育部,2003)、95 學年度高中數學暫行綱要(教育部,2003),以作為 九十八學年度課程綱要修訂之參考及學理依據。為達成此研究目的,本研究計畫在研究方法 上採用「文獻探討法」以了解各國的數學課程並進行跨國比較研究及舉辦「專家諮詢座談會」 蒐集其對課程綱要內容的評估意見。本計畫的研究方法詳細說明如下: 一、文獻分析 本報告書中,各國數學課程綱要或標準之文獻,主要來自於各國教育部或教育單位的官 方網站。其中,中國大陸一到十二年級的數學課程標準,來自於中國大陸的教育部,但 其一到九年級和十到十二年級的課程標準,分別由兩個不同文件獲得。日本一到十二年 級的數學課程標準,同樣取得於其教育部,且一到九年級和十到十二年級的課程標準, 亦是來自於不同的文件。南韓一到十二年級的數學課程標準,依據其教育部公告的數學 課程標準,寫成一冊,從韓國 Konkuk 大學教育學院的 Kyung Yoon Chang 院長那裡獲得。 新加坡較為特別,其課程綱要只編製到八年級 (即是中二),有其教育部公告的課程標 準;九到十二年級沒有官方的課程標準,而是依照國家證照考試標準來安排課程。其考 試標準分成三個等級,其中最高標準設定為精英標準,因此我們在這份報告的比較中, 沒有涵蓋此最高等級的數學標準。附帶一提,此精英標準的程度相當於我國大一微積分 課程以及一部份普通物理課程的程度。英國一到十年級,也就是英國所謂的第一到第四 「關鍵階段」(Key Stages),有一個全國的課程標準;而十一、十二年級亦沒有國家課 程標準,而是按照國家證照考試標準來安排課程。美國加州依據一套州政府教育部門之 公告,制定幼稚園到十二年級 (K-12) 的課程標準。總而言之,上述六個國家或地區的 課程綱要或標準中,只有美國加州和韓國,有一貫的一到十二年級數學課程標準;而相 較之下,新加坡和英國的課程標準較無一貫性。 美國加州、新加坡及英國的數學課程標準皆是以英文寫的,我們直接閱讀英文文本 來做比較。中國大陸的數學課程標準是用簡體字編寫的,我們利用網路上的標準軟體, 翻譯成正體字版本後稍加修訂別字,當作比較的標準文本。日本的數學課程綱要是用日 文寫的,其一到九年級的課程是依照李園會教授翻譯成中文的《日本中小學學習指導要 領》來比較(92 年水牛出版社)。日本的高中數學課程綱要,是依照文部科學省網站 http://www.mext.go.jp/b_menu/houdou/11/03/990302.htm 的公告文件。日本高中和高 職的課程分成許多專業,且高職的課程,分成許多不同層次的數學科目,因此我們不探 討高職數學的課程標準,主要依照高中的數學課程標準做文獻分析。我們請兩位留學日 本的碩士蔡知穎小姐與林謹君小姐,代為翻譯日本高中數學綱要。韓國的數學課程綱要 也是以他們的本國語言撰寫的,我們據以比較的文本,是由當時就讀政治大學教育系的 韓籍留學生李海娟小姐翻譯。

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二、跨國比較 我們將台灣的數學課程,與外國地區的數學課程兩兩比較。外國地區包括美國加州、大 陸、新加坡、韓國、英國和日本。報告書的附錄中,提供一張表格,以學齡區分一到十 二年級的數學課程標準。由於各個國家中,十一年級以上皆有選修課程,因此我們會與 各個國家的選修課程做比較。除了以下的三個例外:第一,我們捨略新加坡的最高級標 準。第二,由於中國大陸在高中開設太多的選修課程,因此我們挑選近似台灣課程的 22 個學分,捨棄一些與台灣課程內容過於不同的課題,據以比較。最後,我們亦省略美國 加州最高級的課程。 以數學課程標準的內容而言,我們依據 92 綱要及 95 暫行綱要當時之分類精神,統 一將數學內容分成以下五大數學課題做比較:數與量、代數(含關係、樣式、函數)、幾 何(平面幾何、坐標系統、平面和空間的向量)、機率統計及數學分析。此外,我們會對 各個國家作精要的評析,此評析提示每一國家,在數學課程綱要中的特色,指出值得我 國觀摩及注意的地方。據每個國家的文獻分析結果顯示,其實施課程綱要的授課時數的 統計,也會放在跨國比較的項目中。大部分國家的學制,至十年級(即高一)皆是統一課 程標準,而十一、十二年級實施課程分流,且大部分國家都將數學課程列為選修課程。 據文獻顯示,每個國家的分流時間、選修規定、升學制度都稍有不同。雖然這些制度層 面與數學課程並不直接相關,但我們都將之放在跨國比較的項目內探討。最後,我們在 各個國家的課程綱要內,也觀注各國如何定位計算器和計算機,我國將計算器分成兩個 層次,一是只能做加減乘除開根號等功能的計算器,二是指具有計算基本函數功能的科 學計算器。計算機則是我們所謂的電腦工具,包括軟體和投影機的整套電腦設備。我們 將討論它們在數學課程中的定位。

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三、座談會 欲在短時間內進行數學課程的評估,只是經由一群研究者進行跨國數學課程內容的比較 與評估似有不足,因此本研究計畫採專家諮詢座談的方式蒐集相關數學課程的評估意見。 研究團隊在與專家諮詢座談前,先就跨國課程比較結果作初步分析,並從目前各階段數 學課程綱要內容草擬討論題綱。 (一)九年一貫數學課程部分 主題 內容 1.分數與小數概念的呈現是 否合宜與完備(譬如是否兼 顧知識結講與認知發展平 衡) 能力指標 N-2-13 及三個分年指標 4-n-8,4-n-10,5-n-11 之安排是否適當 2.估算是否重要 (1)是否在分年細目中落實 (2)是否從小學到高中具一貫性與銜接性 (3)是否和其他學科的估算建立連結(國二理化 科的估計值) 3.小數位值觀念的鋪陳及其 與科學命數、度量、有效數 字及小數直式計算規則的 連結是否合宜 (1)小數位值觀念的介紹是否足夠 7-n-15,4-n-09 (2)小數的直式運算 (3-n-10,4-n-11,5-n-08,6-n-04) 4.函數觀念的鋪陳是否合宜 (1)變數函數觀念引進是否太快? (2)函數概念的前置經驗是否可以在正方形及 圓的面積以及正方體體積公式的學習加以延 伸? (3)函數觀念是否由小學至高中具一貫性與銜 接性? 5.從算術到代數的過渡是否 合宜能否呈現方法演化之 精進 (1)等號的意涵由表示運算的結果過渡至等價 的意義是否平順 (2)當量除問題對小六的學生使用算術思考是 困難的(6-n-03),是否可以放在七年級與代 數問題一起解決(譬如新加坡在小學沒有把 分數及小數放進去) 6.數學的推理與證明之銜接 (1)國中階段數學推理的鋪陳與高中數學形式 的證明 (2)高中形式證明的訓練是否足夠

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(二)高中數學課程部分 因為數學課程綱要制定者(含 92 九年一貫數學課程及 95 高中數學綱要)對綱要的制定有 其基本的理念與想法,本研究希望經由與數學課程綱要制定者的討論,了解制定綱要內 容的基本理念與想法,並針對題綱內容與其討論,以便達成評估共識。而教科書的編寫 者,在教科書編寫權開放之後,即需依據綱要內容編寫教材,所以他們對於數學課程綱 要的詮釋與了解可為此次課程評估提供寶貴的意見。除了數學課程綱要制定者及教科書 的編寫者之外,本研究也與部分縣市的數學科輔導員交換意見,主要是因為數學科輔導 團員多半負責參與課程推廣及實驗工作,其豐富的實務經驗及與第一線教師的互動,可 以提供課程評估的相關意見。因此,本研究的專家諮詢的對象包括各階段數學課程綱要 制定者、教科書的編寫者及數學科輔導團員。與諮詢專家的討論內容主要以研究小組研 擬的討論題綱為主,對諮詢專家提出不在討論題綱的內容也會列入記錄作為研究的內容。 本研究與專家諮詢的時程安排如下: 會議類別 會議日期 與會人員 會議內容 課綱評估 94/02/21 課綱研究小組 (1)確定跨國比較之國家 (2)確定評估報告之大綱 課綱評估 94/02/28 課綱研究小組 (1)確定計畫書格式及工作進度 (2)確定座談會時間及對象 課綱評估 94/03/06 課綱研究小組 (1)決定三次座談會之提綱草案 (2)檢視跨國比較之格式 諮詢會議 94/03/13 課綱研究小組、傅聖 (1)確定三次座談會之提綱 討論主題 內容 三角函數 (1)三角比與三角函數同在高一下學期學習是否太 快? (2)三角函數的內插查表是否必要 (3)三角函數與其他學科之連結並無著墨,是否可以 考慮納入聲波、光波等疊合的現象作為外部連結 函數 (1)函數放在附錄裡頭是否適當 (2)未談合成函數及反函數是否恰當 (3)函數圖形的理解可否引進電算器 (4)指數對數函數與三角函數可否放在高二課程? (5)對數學習是否需要查表 數學選修(一)(二) 的定位 (1)是否可以增加數學選修科目與時數,並以主題科 目方式編寫,如線性代數、機率與統計 II 與微積 分等 (2)由於數學授課時數減少造成數學教師員額的裁 減,實施過程是否應採漸近方式 機率與統計 (1)隨機變數沒有引進,機率內容似乎不足 (2)迴歸直線的教學放在高中是否合宜 (3)機率與統計 II 的教學對現階段老師會有困難 邏輯推論與證明是 否有弱化 (1)學生如何理解反向證明法(歸謬法),如何理解反 例的功能 (2)學生如何學習嚴謹的數學證明

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國、蘇惠玉、蘇進 發、謝秀宏、楊美 伶、羅春暈及廖芳儀 課綱評估 94/03/20 課綱研究小組、曾政 清及林永發 (1)決定高中課程評估主題 (2)確定第一、二次座談會對象 課綱評估 94/03/27 課綱研究小組 ※ 課綱結構分析 課綱評估 94/04/03 課綱研究小組 ※ 高中數學課程綱要評估 諮詢會議 94/04/10 課綱研究小組、張鎮 華、陳昭地及陳宏 ※ 高中數學課程綱要評估 諮詢會議 94/04/10 課綱研究小組、朱建 正、楊瑞智及陳冒海 ※ 九年一貫數學課程綱要評估 課綱評估 94/04/17 課綱研究小組、詹勳 國 ※ 跨國比較 諮詢會議 94/04/24 課綱研究小組、詹勳 國 (1)各國高中課程綱要比較 (2)下周座談會相關事宜 諮詢會議 94/04/26 陳宜良、張海潮 ※ 高中數學課程綱要評估 諮詢會議 94/04/30 課綱研究小組、翁秉 仁、孫德蘭及呂玉英 ※ 九年一貫數學課程綱要評估 諮詢會議 94/04/30 課綱研究小組、張海 潮、于靖及張鑫 ※ 高中數學課程綱要評估 課綱評估 94/05/02 課綱研究小組 ※ 數學科課程綱要評估報告書規格擬訂 諮詢會議 94/05/06 陳宜良、王慶安 ※ 九年一貫數學課程綱要評估 課綱評估 94/05/09 課綱研究小組 ※ 評估計畫書各章節修訂 課綱評估 94/05/16 課綱研究小組 ※ 評估計畫書各章節修訂 課綱評估 94/05/23 課綱研究小組 ※ 評估計畫書各章節修訂 課綱評估 94/05/30 課綱研究小組 (1)評估計畫書格式修改 (2)高中課程綱要修訂建議 諮詢會議 94/06/07 課綱研究小組、張海 潮、林長壽、陳宏、 李瑩英、翁秉仁 ※ 高中課程綱要修訂建議

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參、跨國比較

世界各國不約而同在二十世紀末展開教育改革的計畫,而大致上都把實施的時間訂在二十一 世紀開端的前後幾年。英國看來比較早開始醞釀,在 1980 年代後期,就開始了教改的討論, 包括 BBC 電台製作檢討教育的特別節目。各國均因其特殊的歷史與社會背景而由不同的動機 觸發了教改議題,例如美國加州在數學教育方面的改革源自於所謂的 Math War,亦即對於基 礎數學教材教法與內容選擇的辯論;而英國的國家型教改則源自於傳統上教育屬於私部門機 構,太過於獨立分散而沒有一致標準、同時又不夠澤被全民而造成社會不公的反省。至於東 亞的日本、韓國與台灣之教改著眼點則幾乎與英國相反,源自於教育過於中央集權、內容標 準過於嚴苛而造成太大競爭壓力的反省。 不論動機如何,教育改革的目的無非就是要培育具有國際競爭力的國民,使得本國或地 區的經濟地位與生活品質,不至於在無可避免的全球化趨勢中,逐漸落於後塵。而在此大前 提之下的二十一世紀教育又會有何特色?聯合國教科文組織出版的報告書《Learning: The Treasure Within》提供了視野寬廣而簡明扼要的預測藍圖。簡單地說未來的學習型態就是『終 身學習』。學校的教育應該提供結實的核心知識與技能,使得能夠成為支持終身學習的共同基 礎。而在中小學階段,此所謂共同基礎的核心知識與能力,咸認為是語文 (包括本國語言和 現代外語),數學和資訊工具。特別是資訊工具,它在計算與通訊上的急速發展,將徹底改變 我們的學習型態、乃至於學習內容。在基礎教育之後的後期中等教育,則將變得更能支持年 輕國民的生涯規劃,能提供更寬廣而且公平的選擇與嘗試機會,並且讓已經選定目標的人能 夠深入發展其專業中的核心知能。 以下,我們分別簡介我國課程綱要架構,以及美國加州、新加坡、英國、中國大陸、韓 國和日本等國家或地區的數學教育現況,並擇要比較這些地區之數學學習目標、內容綱要。 詳細的內容比較表,列在這份報告的附錄中。

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一、我國課程綱要架構說明與分析 (一)國中小 92 綱要說明 1.基本理念:92 綱要認為,數學之所以被納入國民教育的基礎課程,有三個重要的原 因:(1) 數學是人類最重要的資產之一,(2) 數學是一種語言,(3) 數學是人類天賦 本能的延伸。基於以上的認知,國民與中等教育數學課程的目標,要能反映出下列理 念:(1) 數學能力是國民素質的一個重要指標;(2) 培養學生正向的數學態度,了解 數學是推進人類文明的要素;(3) 數學教學(含教材、課本及教學法)應配合學童不 同階段的需求,協助學童數學智能的發展;(4)數學作為基礎科學的工具性特質。 2.內容主題:數學領域將九年國民教育區分為四個階段:階段一為一至三年級,階段 二為四、五年級,階段三為六、七年級,階段四為八、九年級。另將數學內容分為 (1) 數與量 (2) 幾何 (3) 代數 (4) 統計與機率 (5) 連結等五大主題。 3.能力主軸:在能力方面,除了數學知識外,92 綱要認為演算能力、抽象能力及推論 能力的培養是整個數學教育的主軸;另外學生也要具備數學溝通的能力,這包括理解 與表達。 4.目標:具體而言,九年一貫數學學習領域的教學總體目標為:(1) 培養學生的演算 能力、抽象能力、推論能力及溝通能力,(2) 學習應用問題的解題方法,(3) 奠定下 一階段的數學基礎,(4) 培養欣賞數學的態度及能力。其中,國民小學階段目標為: (1) 在第一階段(一至三年級)能掌握數、量、形的概念,(2) 在第二階段(四至五 年級)能熟練非負整數的四則與混合計算,培養流暢的數字感,(3) 在小學畢業前, 能熟練小數與分數的四則計算;能利用常用數量關係,解決日常生活的問題;能認識 簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式;能報讀簡單統計圖形並理解其 概念。國民中學階段目標則為:(1) 能理解坐標的表示,並熟練代數的運算及數的四 則運算,(2) 能理解三角形及圓的基本幾何性質,並學習簡單的幾何推理,(3) 能理 解統計、機率的意義,並認識各種簡易統計方法。 5.分年細目:基於 89 暫綱階段的能力指標設計詮釋空間太寬廣,造成學生學習的困擾, 92 綱要針對(1)數與量(2)幾何(3)代數(4)統計與機率四項主題訂定分年細目,規範學 生每一年應學之數學內容。連結主題部分則訂為察覺、轉化、解題、溝通、評析五項 細目。

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(二)高中 95 暫綱說明 1.結構:高中第一、第二學年採必修制,每學期四學分共十六學分,每週授課四節; 第三學年採選修制,分為數學(Ⅰ)、數學(Ⅱ)各三學分,上下學期每週授課三節。 2.必修科目之目標:(1) 引導學生瞭解數學的內容,意義及方法,(2) 培養學生以數 學思考問題,分析問題,解決問題的能力,(3) 提供學生在實際生活和學習相關學科 方面所需的數學知能,(4) 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美 的特質。 3.必修科目之內容: 第一學年: (1)數與坐標系 (2)數列與級數 (3)多項式 (4)指數與對數 (5)三角函數的基本概念 (6)三角函數的性質與應用 (7)附錄(含認識證明、函數概念及餘切、正割、餘割函數圖形) 第二學年: (1)向量 (2)空間中的直線與平面 (3)圓與球面的方程式 (4)圓錐曲線 (5)排列、組合 (6)機率與統計(Ⅰ) 4.選修科目之內容: 第三學年: (1)機率與統計(Ⅱ) (2)矩陣 (3)不等式 (4)多項式函數的極限與導數 (5)導函數的應用 (6)多項式函數的積分 (7)附錄(微積分基本定理) (8)附錄二(牛頓法求平方根)

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(三)高職 95 暫綱說明 1.結構: 高職科因主修領域不同,分為數學 A~D 四組,各組每學期數學科學分數有所不同,分 述如下: (1)數學 A 為醫護、家政類群組的必修課程,每學期 2 學分共 4 學期 (2)數學 B 為商業、農業、海事類群組之學校本位課程每學期 3 學分共 4 學期 (3)數學 C 為工業類群組之學校本位課程,每學期 4 學分共 4 學期 (4)數學 D 為藝術類群組的參考課程,每學期 3 學分共 2 學期。 2.科目內容: (1)數學 A (I-IV) (每學期 2 學分共 4 學期): a.直角坐標系 b.三角函數 c.式的運算 d.指數與對數 e.直線方程式與二元一次不等式 f.圓 g.排列與組合 h.機率 i.統計 (2)數學 B (I-IV) (每學期 3 學分共 4 學期): a.直角坐標系 b.三角函數 c.三角形的解法 d.式的運算 e.指數與對數 f.直線方程式與二元一次不等式 g.圓 h.行列式 i.數列與級數 j.向量 k.排列與組合 l.機率 m.統計 數學 C (I-IV)(每學期 4 學分共 4 學期): a.直角坐標系 b.三角函數 c.三角形的解法 d.向量 e.數與式 f.複數 g.指數與對數 h.數列與級數 i.直線 j.不等式與線性規劃 k.圓 l.圓錐曲線 m.排列與組合 n.機率 o.導函數 p.積分及其應用 數學 D (I-Ⅱ)(每學期 3 學分共 2 學期): a.直角坐標系 b.三角函數 c.向量 d.式的運算 e.直線方程式與二元一次不等式 f.圓

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(四)課綱架構分析—內容主題與能力主軸 由於 95 高中職暫綱之設計是以分年大綱方式編排,與九年一貫之五大內容主題及能力主 軸之設計不同。為進行 12 年一貫的綱要評估,我們試圖將九年一貫的內容主題與能力主 軸稍作延伸,以納入高中職之內容。這除了可方便我們作一貫性、銜接性之評估外,也 可作為未來製作 12 年一貫課程綱要之參考。 我們將內容主題訂為 (1) 數與量 (2) 幾何 (3) 代數 (4) 機率與統計 (5) 數學分 析,能力主軸則修正為(1)演算(2)抽象化(3)推理(4)連結(5)解題(6)溝通。 在內容主題方面,數學分析為高中階段新增之內容,主要是微積分及相關的不等式。 在能力主軸方面,前三項是原九年一貫綱要所提的能力主軸。另外,在五大內容主 題中有「連結」項目,包括「察覺」、「轉化」、「解題」、「溝通」與「評析」,它們與其他 內容主題不同,因此我們認為將它置於能力主軸內較為合適。 以下是延伸 92 綱要中五大主題說明的一些增添說明: 1.數與量 (1)數:整數、分數、小數 (2)量:時間、長度、面積、體積、容積、重量、角度 (3)數的運算:四則運算、直式算則、混合運算 (4)算術:立式、解題 2.代數 (1)以文字、符號處理數及其運算。 (2)函數(含數列):數列與級數、多項式函數、有理函數、指數對數函數、三角函數 (3)方程式與不等式:一元一次、二元一次聯立、一元二次、二元一次二次聯立、三 元一次 (4)抽象體系與模型:數系、向量空間、線性變換 3.幾何 (1)操作幾何 (2)推理幾何:三角形、平行線、圓 (3)坐標幾何:三角、直線、空間平面、圓錐曲線 4.機率統計 (1)敘述統計:整理、繪圖、報讀、計算基本統計量(平均數、四分位距) (2)排列組合:計數原理、二項式定理 (3)機率:樣本空間、隨機變數、期望值、變異數、獨立事件、條件機率 (4)統計:抽樣、一維數據、二維數據、常態分配 5.數學分析 (1)絕對不等式 (2)微積分

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二、美國加州 (一)學校教育制度 美國是個很大又很尊重地區獨特性的國家,所以要談整個美國的數學教育,似乎需要另 一項專門研究了。在此我們劃地自限,只想調查美國加州的現況。而後發現就算在加州 之內有一套公定的「課程標準」,但是這套標準只行於公立學校,而這套標準之內仍然 保留非常多的地區、學校或教師自主的空間,從一個學區到另一個學區都可能稍有不同。 目前這份報告又特定以加州的聖荷西學區 (San Jose School District) 為訪查對象, 其中許多訊息是透過與單曉雯的電話訪談得知。

美國的 13 年義務教育從幼稚園 (Kindergarten) 開始 (五歲入學),小學五年 (Elementary School: 1--5 年級),初中三年 (Middle School: 6,7,8 年級),高中四 年 (High School: 9--12 年級),合稱為 K-12。幼稚園以下的 preschool 和高中以上 的高等教育,則需自費。

政府規定的每年授課天數是 180 日,每週五日,相當於一學年 36 週。並沒有明顯 的「學期」:以 2003-04 學年為例,從 2003/08/27 開始,至 2004/06/16 結束,中間 扣掉幾天零星的國定假日,又扣掉兩週 Holiday Break、一週 Winter Break、一週 Spring Break,恰好上課 180 日。在課時上,各校擁有極大的彈性,因此必須訪查個別學區、 甚至學校,才能獲得具體的資料。

在小學方面,以 Graystone Elementary School 為例,根本不以一節一科目為授課 單位。譬如小五學生每天只有三「節」課,第一節 130 分鐘、第二節 75 分鐘、第三節 約 100 分鐘。教師主持整個課堂的活動,並分配各種學習的時間分配。  1--3 年級每天上課約 275 分鐘,一年上課 825 小時,若以每「節」課 40 分 鐘換算,相當於每週 34 節課  4, 5 年級每天上課約 305 分鐘,一年上課 912 小時,若以每「節」課 40 分 鐘換算,相當於每週 38 節課 以 Graystone 小學為例,其數學時數頗高。雖然教師可以混合各種教材授課,課表 上也沒有硬性規定哪一節要教什麼主題,但是原則上 每天 都有一小時的數學學習活 動。讀者想必明白,美國的小學教師教數學的方式與台灣大不相同,他們的數學課通常 有許多的活動設計,可能也伴隨著閱讀、書寫或其他的文化學習。這份報告參考了一位 二年級教師和一位五年級教師公告的每日課程進度 (daily schedule),的確發現她們都 明訂了每天一小時的數學學習時段。 至於初中和高中 (6--12),仍然每年上課 180 天,每天一節 (period) 數學課,每 節 50 分鐘。但是因為學制之自由,有些人可能根本不選數學課,有些人可能通過檢定 就跳過了某些基礎課程。同樣也是因為官方並無明確規定課程時數 (或者有,但是沒在 網頁上找到),所以在初中方面我以 San Jose 學區的 Bret Harte Middle School 為實 際的調查對象。她每天安排六節課 (午前四節、9:27 才開始,午後二節、15:45 放學), 正常來說,每個學生每天有一節數學課,這包括了以下幾種可能:

 6th grade math  7th grade math

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 Geometry (8--12 年級適用)  Algebra I (8--12 年級適用)

但是每週有四天早上,在第一節課的前一節,提供數學補救教學 (只有需要輔導的 學生才參加)。

在高中方面,我們從 Willow Glen High School 取得課時之樣本,基本上一天七節 課,不過每節課的長度不一,平均來說還是可以估計為 50 分鐘。從 Leland High School 參考課程內容,高中四年必修三年數學,所以有些學生可能在高四不修數學。正常來說, 每個學生每天有一節數學課,這包括了以下幾種可能:

1. 必修的課程:

o Algebra 1/2 (8--12 年級適用) 或者 Integrated Math Course I o Geometry (8--12 年級適用) 或者 Integrated Math Course II o Algebra 3/4 (10--12 年級適用) 或者 Integrated Math Course III 2. 選修的課程:

o Math Analysis (有一班 Honors class) o Advanced Computer Programming

3. 選修並且可以獲得大學學分的課程: o Calculus o Differential Equations o 一門特殊的數學課,開在正式上課前一個小時,由外來的大學教授擔綱 根據一位有十年以上教書經驗的華裔數學教師 (專教八年級) 的說法,美國的數學教師 經常參考新加坡的教材或素材。我們可能要留意這個意見。 (二)數學科綱要簡介 理念:優質的數學課程對於所有的學生而言是非常重要的,它讓每位學生有機會選擇各 行各業。如果數學能被教得好,那麼數學會是一門充滿美與善的學科,而數學本身的邏 輯與嚴謹性會使它成為一門深具吸引力的學科。它訓練我們的分析能力,而這樣的能力 正是智慧和精確思考的基礎。若要能趕得上全球的經濟發展,那麼現今的學生必須對於 數學有深入的理解。數學教育需給予學生平衡的教學課程設計,讓學生嫻熟於(1)運算和 推演能力(2)發展概念性理解和(3)解決問題的能力。 目標:長久以來,學校所謂的「數學成就」,校方往往只侷限在某些優秀學生的數學成就 上。如今,我們需要一個嶄新的觀點,加州學生必須達到數學課程標準的目標,而且我 們將鼓勵許多學生能夠超越課程內的最低標準。這包括: 1. 培養學生具備流暢的基本運算能力。 2. 培養學生對於數學概念的理解能力。 3. 培養學生成為數學問題的解題者:能夠輕易地辨別和解決例行性的問題;而面對非例 行性的問題也能找到一些求解的方法。 4. 培養學生能夠使用符號、記號、模型(models)、圖表和數學名詞,來討論數量、邏 輯關係和未知量。 5. 培養學生藉由蒐集資料及分析所得的證據來做數學推理,同時亦提出論點來支持假設

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或是推翻它。 6. 培養學生能將數學本身的概念做連結,同時也能將數學與其他學科做連結。 內容主題:幼稚園到七年級課程標準的系統是分年級的,以五個主題來呈現:「數字感」、 「代數和函數」、「測量和幾何」、「統計、資料分析和機率」以及「數學推理」。在幼稚園 到七年級的每一學年度開始,都會強調-學生必須逐漸增強某些複雜的數學技巧,並且 要求他們將個別分離的技能和概念予以連結、統整。 八年級到十二年級各數學學科的呈現不再混合組織,取而代之的是代數和幾何等特 定名稱。許多學校以傳統的課程來教導這些內容,有些學校則是透過統整課程來進行。 課程內容分成下列幾個部分:代數 I、幾何、代數 II、三角函數、數學分析、線性代數、 機率與統計、進階的機率與統計,以及微積分。每一間中學或高中還沒有教授這些科目 更進一步的許多內容,此外,各學校及地區會將這些不同科目的教學主題以不同的方式 組織起來,例如:許多學校將三角學、數學分析及線性代數的一些內容組織成一個微積

分的入門課程(a precalculus course);有些地區喜歡將代數 II 和三角學融合在一起

教。 表 1 各年級的數學科目分配表 科目 年級 八 九 十 十一 十二 代數 I 幾何 代數 II 機率與統計 三角學 線性代數 數學分析 機率與統計的進一步應用 微積分 表 1 是各年級的數學科目分配表,它反映了在各年級的整合課程與傳統課程中,這些科 目與各年級的組合關係。淺色的陰影部分代表所有學生都要精通數學的最基本要求;深 色的陰影部分通常做為選修,但是如果學生能夠通過低年級的其他科目,而且要繼續學 習數學的話,那麼他們也應該要精通選修科目。 當學生深入探究數學時,他們不僅獲得數學原理的概念瞭解,還得到了純粹推理的 知識,並且實際經歷了推理歷程。數學課最重要的目標之一就是教導學生邏輯推理,在 學習數學情境中本來就會學到邏輯推理,邏輯推理可以用在廣汎的情境,以正確無誤地 找到問題的答案。在學生精通了進階的數學科目的同時,他們也學到了其中的數學推理。 (三)加州綱要與我國綱要之比較與評析 比較 ●負數概念加州綱要四年級,我們則在七年級

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●估算加州要求到二位數加減的心算能力,而我們只做到一位數加減的心算訓練 ●加州七年級時能區別有理數與無理數,知道有理數不是有限小數就是循環小數,並能將 有限小數化成分數 ●函數是加州綱要的主軸線,從三年級到七年級一路鋪陳過來:3-A-2.0 在情境中表徵簡 單函數關係;4-A-1.4 解釋公式進而回答有關數量及其關係的問題;4-A-1.5 能理解等 式(如 y=3x+5)有預測的功能; 5-A-1.0 簡單式子中使用變數並在坐標圖上繪製結果; 6-A-1.0 能解決一個變數的一次線性方程式;7-A-3.0 能繪圖並解釋線性函數和一些非 線性函數。我們在六年級的時候有一點簡單的鋪陳,而從七年級時介紹變數、函數概念。 函數是由方程式透過隱函數的方式求得,沒有特別強調函數是表徵量與量的關係。 ●從算術轉代數,我國是七年級一次到位,由變數、一元一次方程式到二元一次聯立方程 式及其圖形,皆在七年級完成;加州是由三年級開始介紹變數,四年級介紹等量公理, 六年級能解決一個變數的一次線性方程式,七年級完成兩步驟線性方程式、不等式,八 年級完成二元一次聯立方程式及不等式。 ●加州介紹簡單因式分解並用來化算有理式;我國的因式分解,著重在形式操作,因式分 解的應用僅談到一元二次方程式的求根,並未談到化簡有理式。 ●加州綱要於八年級時提到一元二次方程式與物體運動的連結;我國並沒有數學與物理方 面的連結。 ●加州綱要推理幾何的目標是做形式的證明,對公設、定理及歸納與演繹推理均以嚴謹方 式處理,其內容範圍較明確,包括:三角形全等相似定理、平行線性質、四邊形性質及 圓性質的內在定理;我國並未對公設做清楚的交待,九年級對推理的定位是理解,似乎 並未明確交代要達到嚴謹證明的要求,推理內容的範圍也較廣泛,較加州多出的範圍包 括:直線與圓、兩圓的關係、三角形的內心、外心、重心。 ●加州綱要三角及基本的坐標幾何在九年級介紹;我國則在十年級介紹。 ●加州綱要第一次出現坐標系是在五年級,已包括四個象限,主要內容是描點及繪製函數 圖形,同時坐標幾何鋪陳時間很長;我國是十年級才開始教坐標系,直接就進入坐標幾 何。 ●加州綱要敘述性統計在七年級已完成;我國七八年級並未安排機率與統計題材,而是全 安排在九年級,並且一次完成。 ●加州八年級之後將排列組合、機率安排在代數一、二,另外亦安排機率與統計Ⅰ、Ⅱ, 而機率與統計Ⅱ的深度超過我國高中所學範圍。 ●加州的微積分為完整的單變量微積分,我國則定位為多項式微積分。 評析 整體而言,加州綱要屬於較傳統的數學綱要,它有幾個特點: 1.函數及其應用為它的一個主軸 2.運算能力被強調,包括十十乘法表及兩位數加減的心算能力。 3.強調數學的嚴謹性,從九年級起,對重要定理的證明有適當的安排。 4.機率與統計的內容相當完備,鋪陳的時程也相當長。 5.效率高:掌握核心,刪除不必要枝節,高中結束時已完成單變量微積分及機率統計 II。

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二、新加坡 新加坡的教育重視每個小孩不同的性向與能力,目的在使每個人的潛能得以盡情發揮, 以成為未來建設新加坡的棟樑;藉由廣泛的課程以提昇文化水準,並培育其健全的道德 價值觀。新加坡學校制度是承襲英國教育制度再加以改革而成,1979 年頒布新的學制, 為現行學制的基礎,1991 年再次修訂,將小學三年級結束後的分級延後至四年級,其餘 大致不變。2003 年開始執行十年義務教育,包含小學 6 年,中學 4 年,以往單純只是由 政府補助而非法定的義務教育。新加坡於 90 年代末期大力推動資訊教育,引進了融合教 育與科技的教學方式,試圖激發學生的抽象考與創新的能力。 (一)學校教育制度 初等教育(Primary Education)亦即小學,小學自六歲開始,為期六年,主要教學科目 為:英文、數學及母語。新加坡把小學又分成兩個階段。一至四年級稱為奠定基礎階段 (Foundation Stage)。奠基階段的重點在英語、母語及數學能力的培養,另有音樂、工 藝、公民與道德、健康教育、社會學科及體育等課程。除此之外,學校也鼓勵學生參加 各項課外活動。五至六年級則稱為定向階段 (Orientation Stage)。在小學四年級結束 前,學校會依據學生的學習能力,將他們分成三種不同的語文分流課程--EM1, EM2 和 EM3。 EM1 及 EM2 同樣都教英語、母語、數學及科學,但 EM1 學習較深的母語,EM3 則 學習較基礎的英語、母語及數學。

小學六年級結束前,學生都要參加小學離校考試 (Primary School Leaving

Examination-PSLE),以便鑑定孩子的學習能力,把他們分配到適合的中學課程就讀。 由於「因材施教」的教育政策,新加坡將中等教育(Secondary Education)分成特 別課程、快捷課程或正規課程。新加坡稱這種學制為「分流教育」,目的就是讓孩子接 受最具效率、最適合個人學習能力與興趣傾向的教育。成績最佳者進入特別課程(Special Course)--- 約 10% 的學生。其次者進入快捷課程(Express Course)--- 約 40% 的 學生,又其次者進入正規課程(Normal Course)--- 約 50% 的學生。正規課程內又分 學術課程 (Academic Course) 與技藝課程 (Technical Course) 兩種。特別課程和快捷 課程為四年的課程,正規課程則為五年的課程。在完成中學教育的特別或快捷課程之後, 有資格參加「新加坡-劍橋普通教育(Singapore-Cambridge General Certificate of Education-GCE)」的 O 級證書會考(GCE O Level)。而參與正規課程的學生則可以參 加「新加坡-劍橋普通教育」N 級證書會考(GCE N Level),通過後可選擇是否要繼續 修讀第五年的中學課程,第五年結束後參加 GCE O Level 檢定。 在 GCE O Level 考試後,依據其性向和條件,可以繼續選擇接受後中等教育 (Post-Secondary Education),其形式有很多種,詳細內容請參考 [S21],準備升大 學的學生幾乎是選擇進入初級學院就讀,準備兩年以準備「新加坡-劍橋普通教育」A 級 證書檢定(GCE A Level),其列出可供選擇的科目有語文、數學、科學、商業與電腦、 人文科學、其它與本地科目共七大類 [S19],檢定結果可決定學生是否有資格繼續大學 教育(至少通過兩科 A Level 科目)。

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根據新加坡教育部 2003 年統計資料計算得知,中學結束後大約有 11.9 % 的學生進 入初級學院與大學先修中心就讀,也就是選擇繼續升學準備進入大學的學生比例。而台 灣將近有一半比例的學生進入大學,這點差異極大,明顯觀察到新加坡的確是徹底的精 英化。在這當中可以推論中學學業成績需在同屆的前 12 % 才有機會進入高中,即大學預 備教育階段。另外,由 2003 與 2004 年 GCE A Level 檢定統計資料得知 [S10],學校考 生通過率高達九成以上,私人報名之考生則不到五成。 (二)課程設計 各階段的課程設計則參見下表: 教育階段 學年 學習內容 小學 (Primary Education) 六年 (1--6 年級) 修讀英文、數學、華語、科學,於六年結束後參 加會考,決定須進入哪一種中學。 中學 (Secondary Education) 四年 (7--10 年級) 有七種課程,即英文、華語、外國語文 (泰文、 越南文、中文、法文)、數學、科學、地理、歷 史、文學史。 初級學院 (Junior Colleges) 二年 (11—12 年 級) 進入正式大學之準備課程,分為兩類。 人文類:數學 ( Mathematics )、英國文學、歷 史、地理;經濟、戲劇、美術與設計、高階中文、 馬來語、淡米爾語。 科學類:數學 ( Mathematics )、進階數學 ( Further Mathematics )、物理、化學、生物、 經濟、英國文學、地理、歷史、電腦。 其中,中學階段階段較複雜,一二年級皆為固定的課程,三四年級開始有選修課程,依 照不同的分流課程亦有不同的安排。以特別與快捷課程來看,一二年級共同科目為英文、 中文、數學、一門理科課程、一門文科課程,三四年級選修科目之要求為:至多四門符 合學習能力和興趣的選修課程,包含進階數學(Additional Mathematics)。 新加坡將一學年分為四學期 (terms,每學期有 10 週,每年一月初起是第一學期, 所以學年與日曆年同步。第一、二學期間,三、四學期間,各休息一週。二、三學期間 大約休息四週。第四學期後大約休息六週。 在課時方面,全年上課 40 週,每週五天。小學每節課 30 分鐘,每天十節。中學 每節 35 分鐘,每天九節,不同的學校會有小差異。初級學院(相當於我們的高中階段) 每節課 45 分鐘,每天節數不固定,從 7 節到 12 節不等,且各班級安排亦不同。此報 告參考公立學校 Anderson Junior College 的實際課表。

因為新加坡的教育官方網站並沒有課時方面的資訊,所以簡表中統計的課時,是從 某些公立學校的實際課表統計出來的:包括 Anderson Primary School [S12]、 Chua Chu Kang Primary School [S13]、Paya lebar methodist girl's school (secondary) [S14]。

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此外,我們由課程安排表可觀察出,特別與快捷課程三四年級選修課程包含了進階數學 (Additonal Mathematics),此階段學生所修習的數學課時會因人而異了,底下表格統 計小學一至六年級、中一與中二各科授課節數 [S4]。 小學之授課節數 科目 ( 每節 30 分鐘 ) 每週各年級授課節數 小一 小二 小三 小四 小五、小六

分流 (streaming) EM1 EM2 EM3

PSLE 的考試科目 (EM3 不考科學)

英文 (English) 15 15 13 12 12 13 16

母語 (Mother tongue) 14 13 12 11 10 8 4

數學 (Mathematics) 7 9 11 11 9 10 13

科學 (Science) 0 0 3 4 5 5 3

PSLE 不考的科目 (Non-Examination Subjects)

道德教育 (Moral education) 3 3 3 3 3 3 3

社會科 (Social studies) 1 0 0 2 3 3 3

藝術與工藝 (Arts & Crafts) 2 2 2 2 2 2 2

音樂 (Music) 2 2 2 2 1 1 1 體育 (Physical education) 3 3 3 3 2 2 2 健康教育 (Heath education) 0 0 0 0 1 1 1 集會 (Assembly) 1 1 1 1 1 1 1 每週全部課程節數 49 48 49 49 49 49 49 初級中學之授課節數 中一及中二 (Lower Secondary) 所上科目 ( 每節 35 分鐘 ) 每週授課節數 特選/ 快捷 普通學 術 普通工 藝 考試科目 (Examination Subjects) 英文 (English) 6 6 8 母語 (特選修高級母語;普通工藝修基本母語) 6 6 3 數學 (Mathematics) 5 6 8 科學 (Science) 6 5 4

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文學 (Literature) 2 2

歷史 (History) 2 2

地理 (Geography) 2 2

藝術與工藝 (Arts & Crafts) 2 2

設計和科技和家政 (Home economics) 3 3

電腦應用 (Computer applications) 4

Technical studies & home economics 4

不列入考試的科目 (Non-Examination Subjects)

社會科 (Social studies) 2

公民與道德教育 (Civics & Moral education) 2 2 2

體育 (Physical education) 1 1

音樂 (Music) 1 1

藝術與工藝 (Arts & Crafts) 2

集會 (Assembly) 1 1 1

每週全部課程節數 (Total currriulum time) 40 40 40

新加坡政府設有常駐的課程發展部門,負責定期檢討並長期性地研擬其教育政策與 學習綱要。1996 年 12 月 1 日,原本隸屬新加坡教育部的課程發展會(Curriculum Development Institute of Singapore, CDIS)和課程制定部門(Curriculum Planning

Division, CPD),重新改組為新的兩個部門:教育科技部門(Educational Technology

Division, ETD)和課程制定與發展部門(Curriculum Planning and Development Division, CPDD)[S10]。 ETD 主要負責發展全方位的教育科技教材(資訊科技、教育電視與視聽類),並於學 校中帶領使用,使其在「教」與「學」上發揮影響力。CPDD 則負責設計、重新探討與修 訂課程大綱,發展教學教材,將概念化為教學上的產物,並監控課程的完成,結合了 CDIS 與 CPD 的功能,使得學校中的課程規劃、發展與實施有著更密切的配合關係。ETD 與 CPDD 兩大部門將要密切地共同合作,讓多媒體與印刷教材有著連貫一致的發展,而軟體發展 將作為課程與印刷教材的補充。 (三)新加坡教育資訊化的發展 新加坡政府多年以前就已經認識到了教育必須朝向資訊化發展,陸續於 1997 年與 2002 年推出了新加坡資訊技術在教育中的應用規劃──MasterPlan,分別稱為 MP1 與 MP2 [10]。 MP1 是新加坡政府為迎接 21 世紀的挑戰而將資訊技術結合到教育中去的規劃。其指 導思想是,教育應該不斷地預測未來社會的需求,並為滿足這些需求而努力。未來社會

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所需的技能焦點將集中在思考、學習以及交流等方面,基於資訊技術的教和學是年輕一 代獲得上述技能的關鍵途徑。該規劃著力於為年輕一代尋求一個走向資訊技術之路的基 礎。 在 MP1 實施之始,新加坡教育部首先對國中小教師進行了培養訓練,使他們認識到 資訊技術與教育相結合進行教學的樂趣和先進性,從而使得資訊技術成為教師教學的得 力助手,最初階段國小在英語、數學、科學和中文等科目引入了資訊技術,中學階段引 入資訊技術的科目則更為廣泛。 MP1 明確規定了到 2002 年資訊技術基礎設施的國家標準。學校可以根據自己的情況 靈活決定在 2002 年以前的發展速度及硬體資源的分發情況,但到 2002 年每所國中小必 須達到國家規定的資訊技術基礎設施的標準,即每兩名學生擁有一台電腦,教師課堂教 學應該有 30% 的課時利用資訊技術。 為了達到這個目標,新加坡政府在 1997-2002 年內投資 20 億新元(台幣與新加坡幣 之比約為 19:1)以購置電腦,為學校建立全面的網路、開發軟體及教材、教師培養訓練 等。除此以外,每年還要投入 6 億新元給國中小做經常性開支(如電腦維護、開發軟體 及教師持續培養訓練等) 在 MP1 實施之初,一個全面的教師資訊技術培養訓練計畫就已開始落實。到 1999 年, 所有教師都已接受了資訊技術的培養訓練,新教師也都經過了新加坡國家教育學院資訊 技術的培養訓練。現在,幾乎每一位新加坡的教師,在課堂教學中都能使用資訊技術, 他們不但在教學、交流和行政管理方面使用資訊技術,而且還使用資訊技術設計「學習 環境」和「教學過程」。 到 2002 年底,MP1 規劃已基本完成。該規劃的有效實施極大地推進了新加坡教育資 訊化的發展,其發展水準置身於世界教育資訊化的前列,新加坡的教育走上了一個全新 的發展階段。 第二次的 Masterplan (MP2) 在 2002 年 7 月 27 日揭開序幕,其願景是:建立在 MP1 上,學校應更有效、更為普遍的執行資訊科技教育。在 MP2 實施之下,學校被賦予更多 的自主權來主導其資訊科技資源,意味著政府授權學校做更深一層的試驗與整合,這在 創新與改革上有極大的幫助,除此之外,在 2004 年更提昇教師數與筆記型電腦數之比例 達 1:1(MP1 為 2:1),增大了資訊科技教育的普遍性。 MP2(2003 年~2007 年)是新加坡教育部針對已具有一定資訊技術水準的新加坡教育 推出的,製定了一套完整、系統的方法,將教育中的一些環節──課程、評價、教育指 導、帶頭班的發展以及學校文化等與資訊技術更完善地整合起來。 從 MP1 與 MP2 的推展可以看出新加坡教育部大力推動資訊科技教育,實行電腦輔助 教學,並在 2002 年完成學校全面網路化,超過 30% 的課程都將運用到電腦。新加坡新 課程改革成功的重點是政府強大的支持,包括頒佈了一系列有力的政策,並給予強大的 財政支撐。如在教師培訓方面,政策要求每個教師都要學會用電腦,配套保證每個教師 擁有一台電腦,因此給予教師經濟資助,每個學校亦配有至少兩位技術支援人員 [S16]。 (四)新加坡 1—8 年級數學綱要簡介與評析 「學習型的學校,思考型的國家」為新加坡教育部之願景,此願景為課程注入了三項提

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案:思考技能、資訊科技(IT)與國家教育,資訊科技推動著他們邁向以知識為基礎的 社會,「幫助人民準備接受未來的挑戰」已變得更為明顯需要,此外為了精通於 IT 的 使用,學生必須能夠創意地思考、獨立地學習與成功地在團隊中工作,基於以上所提, 當新加坡經濟邁向全球化之際,人民必須擁有強烈的家園與國家歸屬感,在此背景與期 盼的教育成果之下,新加坡重新修正數學綱要。 此份數學修正綱要反映出現今數學教育的發展,其焦點專注於數學解題

(Mathematical Problem Solving),重心在概念、技能與其基礎過程的發展,並結合「思 考技能與資訊科技在數學教學上的整合」,將給予力量來發展數學問題的解決 [S5]。 在綱要簡介中提及「國家教育」這一項,看出政府希望辦理全國統一標準的學校教 育,從其歷史角度觀看,新加坡與英國相似,以往的學校多屬私營機構,所以在他們的 社會裡面,政府干預教育的層度是非常低的,1990 年代開始,英國正處教育改革之時, 曾經稱讚台灣、日本與南韓的教育制度,其稱讚的重點之ㄧ是幾乎所有的中小學都是公 立學校,此項優點為全國國民擁有「一致的標準」與「公平的機會」接受教育,於是英 國教改有一個明顯的轉向:將學校由私營改為公營,從極度的分散、分權要漸漸改為中 央集權,統一管理。新加坡顯然與英國一樣歷經這樣一個逐漸改變的過程,我們也可以 說這是一個很有趣的全球化結果,自從資訊發達以後,每個人、每個團體甚至於每個國 家,都會觀摩別人怎麼做,接著修正自己,最後都會大家都會趨於一個共同的形式。所 以在「國家教育」這一項提案中,反映了新加坡的教育改革歷史,其教學初始是沒有全 國一致的標準,教育部則在 2001 年正式推出了一到八年級的教學大綱。 就此份文獻本身來看,數學綱要在小學部分沒有直接使用 IT 相關之資訊。明白指出 要使用計算器是從中一開始,其中較特別的是在小學附錄 B 部分有提到要使用算盤來計 算加減,並做詳細解說,如操作方式與使用技術。算盤是非常具體的操作物,就如同我 們國內課本所輔助使用的花片與撲克牌,皆屬於操弄性材料,學生可以操弄這些教材, 以便考察抽象概念和具體事物之間的關係,並立即以實徵結果來檢證其假設 [S2]。 關於 IT 的相關訊息,從 2003 ATCM 國際研討會(第八屆亞洲科技與數學研討會) 與新加坡教育部之 MP1、MP2 計畫中,得知政府資助教師購買筆記型電腦,並積極鼓勵 教師將 IT 帶進教室,利用電腦軟體或網路來呈現一些課題。我們可以想像在數學課堂 中不見得可以全面適用,但對於較複雜的計算,或者為快速地表現統計數據與幾何相關 問題上,是值得把 IT 帶進教室來做教學輔助工具。IT 的推展是全面性的,不僅僅在數學, 而是融入在各科目的課程,讓學生從小學開始在教室中就看到與接觸到所謂的 IT。參考 2002 年由 SNP Panpac 所出版的中學教科書,在每一章的內容都有「IT Corner」這一小 單元,教導學生如何在電腦相關軟體中輸入數學符號如「+、-、*、/、^……」等等的 IT 相關補充。 新加坡小學階段的數學綱要內容,分成兩部分來寫。在 A 部分解釋了綱要的哲理 與期實施的精神,並且詳加說明了數學綱要的目標。數學綱要所呈現的的框架概述了學 校裡數學教學和學習的精髓,各階段的數學學習包含了基本概念的取得與其實作技能, 它也包含數學思考的理解、一般問題的解決策略、擁有對數學的積極態度和欣賞能力來 作為在日常生活中一項重要、強而有力的工具,這種框架形成學校中數學教學的基礎。

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此綱要分別在基礎階段與定向階段中,概述其目標以提供各階段關於概念與技能的總覽。 至於 B 部分則詳列了各階段的學習內容,並謹慎確保小學至中學的連貫性。隨著每 一主題深度的增加,採取螺旋式(spiral approach)安排,讓每個主題在各個階段適當 地重複被提及,使學生能夠鞏固學習的概念和技能,並且發展更進一步的概念和技能。 也因此能看到在綱要中相同的主題重複出現在不同的年級,但是複雜度與深度不同,所 有主題都有「學習成果(Learning Outcomes)」此一部分來讓老師監控學生的進展,而 「Remark」這一欄則為提供教師說明大綱的一個指引。 這份大綱是提供教師計畫他們數學課程的指南,教師不必受這裡所提出的主題順序 約束,但是應該保持層級性(hierarchy)和連結性(linkages),並靈活及創意地教學。 新加坡數學教育目的是使學生能夠達到以下目標: 1. 獲得並且應用生活中所碰到關於數、測量和數學情境空間之技能與知識 2. 獲得為在數學和其他學科方面的深造所必要的數學概念和技能 3. 發展邏輯演繹和歸納的能力,透過數學問題的解決解釋他們的數學思考和推理技能 4. 確切、簡明且合乎邏輯地使用數學語言傳達數學想法和論證。 5. 發展對於數學的積極態度,包含信心、樂趣與毅力。 6. 欣賞數學的威力與結構,包含樣式與關係,並加強學生的智能上的好奇心。 在中小學階段的數學教育列出以上六大目標:分別屬於認知、溝通、與連結的能力, 最後一點提到能夠欣賞數學的威力與結構。在此「數學結構」包含了樣式與關係,這一 思維放在小學裡面,可察覺它是為了將來作為了解「數學函數概念」的一個前置經驗, 美國加州、韓國、日本、中國大陸等國家同樣有類似安的安排。

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從數學課程的框架中觀察到,新加坡 2001 年這一份數學綱要是以「數學解題」作為 一個核心價值,而在此核心支軸四周放置了五個面向的概念:態度、後設認知、程序、 觀念、技能,從教育心理學的觀點來看,「學生需要了解什麼才能解數學問題?」這個問 題的答案包含了四個成分。語言及事實知識:用來幫助學生把問題的每一個句子轉譯成 內在表徵。基模的知識:用來幫助學生把資料加以整合使成為連貫一致的表徵。策略的 知識:用來幫助學生想出和監控解題計畫。程序性知識:用來幫助學生執行解題計畫中 所需的演算 [S1]。新加坡數學課程框架即建構在上述的模式中發展出來。 底下分別就這五個概念所提出的小項目詳加論述,並與台灣做比較。 觀念 我們可以把觀念這一項視為台灣的內容主題,新加坡將其分成數值、幾何、代數、統計 四大類。代數這一項正式列出是從小六才開始,新加坡談的代數更形式些,須提到未知 數、變數與方程式才將之視為代數,因此在這種意義上,他們安排代數是從小六開始。 台灣則把加法的交換性視為代數主題內,所以小一就開始有代數部分,但觀察新加坡綱 要內容,小一在整數部分便已出現 3 + □ = 12 這樣一個式子,雖然未強調符號類化與 未知數之想法,但已間接為代數做了鋪陳,台灣則是從小二開始使用 8+()=13 之式 子,小四才逐漸做符號的類化,將括號以 □、甲、乙……等符號做取代。 新加坡與我們相同的是小一都有統計,不同的是台灣只要求學生做初步的分類與表 格製作與說明,而新加坡除了分類與表格製造外,更進一步明確要求讀懂並解釋圖表, 估算 心算 溝通 使用數學工具 算數操作 代數操作 資料處理

觀念

欣賞 興趣 信心 毅力 數值 幾何 代數 統計 監控自我思考 思考技能 策略知識(Heuristics) (Heuristics) 【新加坡數學課程框架圖】

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是項更有意義的學習,值得我們參考。 四則運算屬於「程序性知識」,新加坡綱要在設計與教學上有幾點和台灣明顯不同的 地方,詳細討論於下: 1. 新加坡一到五年級藉由控制位數,格外細緻地安排整數、分數、小數的階段性運算學 習,以整數部分為例來看其進展:小一是安排 100 以內的加減,40 以內的乘法,除數 不大於 20;小二是三位數以內的加減,2, 3, 4, 5, 10 等數字的乘除,並未一次說 完所有的乘除數字,其中的 10 不只是訓練乘除運算,其重點在於導引學生對於數字 上位值(place value)的概念,這一點是值得我們參考的,台灣在位值觀念上的鋪 陳與準備顯得稍微少了些,因為到小數的部分一定要有位值的觀念才能夠說清楚,因 此我們可以參考新加坡使用這樣的方式來幫助學生發展位值概念;到了小三是四位數 以內的加減,完整的提出 10×10 乘法表,三位數乘、除以一位數;小四是四位數乘以 一位數,三位數乘以兩位數,四位數除以一位數或 10;小五是四位數乘、除以二位數。 由此精心的安排,看出新加坡極注重訓練小學生的基礎計算能力,除了動筆運算 外,在綱要中也特別強調必須同時培養心算能力,讓學生在初始階段紮實地打好最基 本的運算能力,以期達到自動化地執行算術及代數程序,相較之下,台灣、日本、韓 國與中國大陸在這方面的安排,都值得觀摩新加坡。從這一項也明顯觀察到新加坡所 採用的「螺旋式」安排,此種教學設計的重點,在於轉回原地時,應提供相當有意義 有高度的提升,人的學習過程並不總是直線前進,尤其是數學科,經常要需要回顧, 來回跳躍,舊有的經驗可以幫助我們學習新的事物,架構在這樣的基礎上可以提高學 習的紮實性,因此新加坡數學綱要特別明顯強調在每個新的學習階段適度地重複前一 階段內容,對於其它主題也有同樣安排。 2. 另一項特點:台灣、韓國、日本與中國大陸皆是使用 9×9 乘法表,新加坡較特別,是 使用 10×10 乘法表。 3. 新加坡在小一後半學期就把加減乘除一起提出,小一的除法是配合圖像使用均分的概 念來解說,正式引入 ÷ 符號是在二年級,乘除互逆的在此可開始發展;台灣則是在 二年級才開始教導乘法,三年級教導除法,明顯較新加坡慢。 4. 直式算法的引入,台灣綱要則於二年級的加減就列出,新加坡綱要中並沒有特別提到 「直式計算」一詞,翻閱其教科書,發現是在三年級才一起出現四則的直式運算。 5. 對於四則運算的教學,新加坡有一項很大的特色是運用圖像來輔助教導數學符號的抽 象概念,所有的加減乘除例題都配合著圖示說明,先將「個、十、百、千……」各位 置區隔出來,並將各位置所代表的數字以立體方塊個數來表示,在計算過程中配合著 圖示將方塊做位置的橫向流動,讓學生更具體的體會如數字進位的類似變化,在四年 級的小數運算上亦運用了同樣的方法,這一點也是值得我們學習與參考的教學方式。 擷取教材中之例題如下圖所示:

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取自 Math-3A[S17] 取自 Math-4B[S18] 技能 技能方面,除了我們所熟之的加減乘除、代數操作與處理資料的能力(機率與統計)外, 還看到新加坡特別強調「估算與心算」能力,要求在合理的時間內完成這基本的計算, 從綱要內容也可觀察到,從頭到尾的確是一致地在貫穿這件事,其中值得注意的是,估 算並未從很小就開始,與台灣、中國大陸相同是從小四才開始的,小四前著重在精確計 算的能力,而這部份是估算的基礎,如此的安排是合理的。 程序 在程序這部分提到到兩項,一是將思考技術放入數學課來學習,這也是綱要簡介所提的

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三項提案之一,另一項提到的是策略知識(Heuristics),或稱為捷思法。所謂的思考技 能,在綱要的附錄 A 中做了一番詳細的說明,包含以下各項: 1. 分類──使用適當的歸因來做分類、組織、歸類資訊 2. 比較──使用一般的歸因並透過多套的訊息來區別共同性與差異性 3. 排序──透過可量化的值,安置項目於一分級的順序中 4. 個體與整體的分析──辦認並清楚說明形成整體的部分 5. 指出樣式或關係──在產生一個可信賴或可重複之計畫的一種關係裡認出在兩個或 更多屬性之間的具體的變化量 6. 歸納──從聚集的線索描繪出普遍的結論 7. 演繹──從給予的歸納推論各種特殊情形或例子 8. 圖表化(空間想像 Spatial Visualisation)──想像一個情境或物體,並在內心操 作關於問題解決的不同選擇 在解題策略上,亦具體列出了其意涵: 1. 算算看 2. 使用圖表 3. 做一有系統的列表 4. 尋找樣式 5. 知道結果後,倒推回去,與前題拉上關係 6. 使用前後概念 7. 猜猜看並檢驗 8. 做假設 9. 設法把問題換一形式,這是一個高竿的事情。 10.簡化問題 11.做特殊解 態度 指出數學學習上的情感觀點 1. 享受數學 2. 欣賞數學的美與威力 3. 在使用數學上展示信心 4. 問題解決的堅持 後設認知 台灣和其他不少國家綱要喜歡談及學習認知或是認知心理與建構論,而新加坡則完全沒 提及這些,他直接談的是後設認知,值得我們欣賞之處是他不談理解、學習、建構等抽 象的事物,而是務實地解釋出三種具體行為是他所謂的後設認知,第一種是較偏向心理 層面的,指出當學生在執行一解題動作時,要持續且有意識地監控著他自己的思考程序 與策略,這是後設認知很標準的一個解釋,亦即一個人對自己認知歷程的知識和覺察, 其技巧包括理解監控、自我檢核,即依不同的目標調整實作表現 [S1]。第二與第三種是

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在學習數學上很有實際用處的兩個解讀,一個是在整個解題的思維當中,隨時去尋找是 否還有其他的辦法,是否有另類的、其他可能性的辦法來解決同樣的問題,來達成同一 個目標,另一個是解題完在後設認知心理層面上的一個訓練,檢查自己算出來的答案是 否合理、是否適當。這些是他們在談後設認知上的確實描述,因為大部分讀者對於此一 心理學上的名詞並不熟悉,所以新加坡在這方面很務實地明確定義其所指的三項行為。 整體來看,其數學解題的對象是數學家常說的:內外的應用,對外而言包括了生活 中的問題,對內而言是數學本身解題的問題,包含了內外兩部分才是完整的數學應用。 新加坡綱要中將解題列為三個層次,第一為最基本的、要求在合理的短時間內完成例行 的問題,第二是非例行、樣式較奇怪的問題,第三是開放的問題,除了不熟悉外,可能 是沒有標準答案、需要探索與研究的問題,新加坡認為在數學解題核心概念之下需包含 這三層次的問題,小學階段大部分是屬於第一層次,中學開始引入二、三層次,參考 2002 年由 SNP Panpac 所出版的中學教科書,在每一章的最後一部分為極具深度與趣味性的 「挑戰題」,訓練學生思考的靈活性,以往台灣使用的暫綱所顯示的數學問題絕大部分屬 於第一層次,較少有達到第二第三層次的機會,新加坡在這一點很大膽的去嘗試,在教 科書中置入一個挑戰天地,提供更深與更廣的空間給予能力較高的學生。 新加坡課程綱要的一項特色是會配合分流而擬定兩種、甚至三種課程標準。另一項 特色,是新加坡小學數學綱要在最後面列出研究文獻,其他國家皆無列出。 以下我們分幾個主題,評析新加坡小學階段數學教育的特點。 幾何圖形 幾何這部份韓國、日本與中國大陸有共同的特色,皆先從認識立體圖形開始,三四年級 介紹平面,五六年級再回到立體。這種安排可以想像其合理性,因為人眼睛直接看到與 接觸到的東西都是立體的,要介紹平面反而還隔一層。但新加坡並未這樣安排,一開始 就按照邏輯性的先安排基本的平面圖形,如長方形、正方形、三角形跟圓。台灣則在一 年級同時介紹平面與立體圖形。在圖形介紹中,值得一提的是有不少國家在早期只談四 邊形或四角形,沒有明確的區分正方形和長方形,到後期才作區分,而台灣與新加坡一 開始就已區分出來。 樣式 新加坡與韓國小一就開始讓學生認「樣式」。新加坡是單純用圖形、顏色與大小等屬性來 介紹,韓國則多加了「數」這一項,對於尚未非常熟練「數」的小一來說,新加坡的安 排看來更為適當。二年級則提高了二維思維度上之複雜性,增加「方向性」,並同時使用 任兩個屬性來做訓練;中國大陸與日本則是在中年級才提到;台灣則無特別提出。新加 坡二年級有一特色,在分數主題裏已教導「等分」,幾何上接著將此概念融入圓形圖內, 特別提出半圓和四分之一圓。瀏覽其他國家,很少會特別列出這一項。 分數與小數 新加坡的分數是從小二開始,進展速度緩慢,二年級內容為等分、同分母分數的比較與 排序;三年級內容為了解相等的分數,也就是基本的擴分與約分,異分母的比較與排序;

參考文獻

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