第 3 章 《度測》的內容分析（一）

第 3 章 《度測》的內容分析（一）

本章針對《度測》卷上、卷中及卷下的內容深入分析，希望透過進一步的 內容分析，能使《度測》在其脈絡中的意義與特色清楚的呈現。

3.1 卷上內容分析

在《度測》的卷中及卷下，均只針對《周髀算經》的內容舉例說明，¹但卷 上卻分為六個小節—〈詮經〉、〈詮理〉、〈詮器〉、〈詮法〉、〈詮算〉、〈詮原〉，這 種體例安排不同於中國古代算書的體例，而和《崇禎曆書》的體例安排十分類似，

2足見在《度測》一書中，陳藎謨把《周髀算經》與西方測量術進行了綜合和會 通。他在〈《度測》自敘〉中提及：「徐玄扈先生有《測量法義》、《句股義》。是

《周髀》者，句股之經；《法義》者，句股之疏傳也。」³他更進一步說明：「首 詮算經，次臚諸法，合今古而淺言之，出以己意，發凡繪圖，庶幾《周髀算經》

大彰，法義彌著，以便有志經濟之、習之者。」⁴陳氏也有近似「西學中源」的 說法：「謨按九章參伍錯綜，周無窮之變，而句股尤竒奧。其法肇見《周髀》，周 公受之於商高，以度天地、推日月。」⁵另外，在《度測》卷上〈詮器〉一節中，

他認為：「泰西之有《測量法義》也，實本《周髀》算術而加詳焉。」⁶雖然他沒

1 《周髀算經》原名《周髀》，全書分上下兩卷，撰者不詳，一般認為約成於公元前一世紀，它 是中國現存最早的天文數學著作。在天文學方面，《周髀算經》主要闡述了當時的蓋天說和四 分曆法。以數學的角度來看，《周髀算經》講述了算學的方法、用勾股來測量天體以及複雜的 分數計算等等。

2 《崇禎曆書》由徐光啟主持編譯。全書共有一百三十七卷，主要內容是介紹當時歐洲天文學家 第谷（Tycho Brahe）的地心學說。全書分為節次六目和基本五目，節次六目視將曆法分成六 個部分，包括日躔、月離、日月交會、五緯星、五星交會等；基本五目是指法原、法數、法算、

法器、會通等。法原部份進呈的節共有四十卷，約占全部進呈書的 30％，其中數學理論著作 就是屬於這一部分的。在法數中屬於數學部分的有三角函數表。在法器中介紹儀器及計算工具。

3 引自陳藎謨，〈《度測》自敘〉，《度測》，頁 292。

4 同上註。

5 同上註，頁 291。

6 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 331。

有就這個論題展開論述，然而清初學者的「西學中源」論正是由此而來。⁷本節 分別針對《度測》卷上的六個小節進行討論。

3.1.1 詮經

在《度測》卷上〈詮器〉一節的最後一段中，陳藎謨明確地指出：

右《周髀算經》首章，徐玄扈先生曰：「凡《九章》勾股之鼻祖。甄鸞李淳 風為之重釋，頗明悉，實為算書中古文第一。」愚按甄、李重釋，止趙君 卿句股方圓圖而不及，經俱爭柝其流耳，原本在此不在彼也。又曰：「至于 商高問答之後，所謂榮方問于陳子者，言日月天地之數，則千古大愚也。

而亦有近理者數十語，絕勝渾天家。」愚故揭首章及趙注銓之，使學者溯 矩度之本其來有自，以證泰西立法之可據焉。⁸

由上述引文，可明瞭陳藎謨撰《度測》一書的動機是為了說明西方傳入的「矩度 測量」方法，其原理源自中國之《周髀算經》，這正是「西學中源」論的開端之 一。同時也解釋了《度測》一書中為何只收入《周髀算經》首章，但首章中趙君 卿的「句股方圓圖」卻未收入於其中的緣由。

在〈詮經〉中，陳藎謨的寫作方式和大部分銓經者相近，先引用《周髀算 經》的原文及趙君卿注，⁹於注文之後才附上自己所撰的詮文。

雖然陳藎謨參考了徐光啟的〈《句股義》序〉作出〈銓經〉的總結，但他並 未直接引述〈《句股義》序〉中所引用的《周髀算經》經文及趙君卿的注文，由

7 參見王揚宗，〈「西學中源」說在明清之際的由來及其演變〉，《大陸雜誌》第九十卷第六期（台 北：大陸雜誌社，1995 年 6 月 15 日）。

8 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 329~330。

9 趙爽，字君卿，大約是魏晉（公元三至四世紀）時期的人。他在數學方面的成就，主要保存在

〈《周髀算經》注〉之內，其中對後世影響最大的是〈勾股圓方圖注〉。

陳氏引用的第一段經文及注文後均加上「唐寅曰」，似乎陳氏引用明朝萬曆年間

（1573~1619）胡震亨刻《祕冊匯函》叢書時所收錄《周髀算經》的可能性較高。

在銓文中，陳藎謨除了針對經文及注文作詳盡的詮釋外，他也依自己對經 文的理解，對注文作出嚴正的評論。說明如下：

（經）以為句廣三，

（注）廣圓之周，橫者為之廣。廣，短也。

詮曰：何以是折矩為哉？聖人見得折矩之小中有無窮三五錯綜妙用。取其 短者以為句，較之長者少一，較之斜者少二，是其數為三。但以短者為之 句，可縱可橫，不必橫者謂之廣。

（經）股修四，

（注）應方之匝，從者為之修。修，長也。

詮曰：取其長者以為股，較之短者多一，較之斜者少一，定其數為四。但 以長者謂之股，亦可縱可橫，不必縱者為之修。¹⁰

趙君卿的注文是以橫者為勾，縱者為股，但陳藎謨認為不應以縱橫決定何者是 勾，何者是股，應以長者為股，短者為勾。

（經）環而共盤。得成三、四、五。

10 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 305~306。

（注）「盤」讀如盤桓之盤。言取而并減之積，環曲而共盤之謂。開方除其 一面，故曰：「得成三、四、五」也。此注謬

詮曰：業已明。夫既方 之外，半其一矩 矣。而後知半其一矩者，豈 分而為兩哉 。豈三、四、五之數 有出入不齊者哉。天下萬形雖殊，持此 矩 環轉而求之，為高、為深、為廣、為遠，無所不可盡。雖半取方之內

，半取方之外 ，總共此一盤 之上，得成句三、股四、弦五也。

惟其共盤， 其形相等， 其數必等 故得成此三、四、五之數，有 條而不紊，可以為法者。非共盤 ，則形既不同，數亦錯出，豈能得成 三、四、五哉 。¹¹

根據趙君卿的注文，「環而共盤」是指將四個邊長為三、四、五的直角三角形環 繞拼接可組成一個邊長為五的正方形，如下圖所示：

11 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 311~312。

圖 3-1 趙君卿「環而共盤」示意圖

陳藎謨則認為「盤」指的是正方形 ，因出自同一個正方形，所以三角形甲和 三角形乙的比例相同，均為三、四、五，如下圖所示：

雖然陳藎謨針對「環而共盤」有另一種全新的解釋，但目前大多仍依據趙 君卿的注文去詮釋此句經文。

3.1.2 詮理

陳藎謨在《度測》卷上〈詮理〉中，再次重申勾股定理始自《周髀算經》

的主張：

萬形繁，出圓以方，圓斯縱、橫、斜三體定，所謂：「折矩以為句廣三，股 修四，徑隅五者」，商高溯庖犧而立義也。句股求弦，句弦求股，股弦求句，

明兩則得一。句求股弦，股求句弦，弦求句股，明一不能以得兩。古法立 表以通其窮，今用矩度以代立表。表矩者攝小句股之形象，成大句股之比 例也。若遇高深廣遠，目力能收，足不可及，則三者無一可知，而立表法 又窮，古法用重表，今法用重矩，而景較、距較生焉。景較以見縱，距較 以見橫，兩較者，亦攝小句股之形象，成大句股之比例也，句股大端盡于

乙 甲

圖 3-2 陳藎謨「環而共盤」示意圖

此。句股之數曰：「縱、橫、斜」，句股之理曰：「圓與方」。互換通分，其 在心目。「大哉言數！」周公豈欺我哉？¹²

陳藎謨認為利用勾股運算可以測高、測深、測廣、測遠。利用勾值和股值 可以求出弦值，利用勾值和弦值可以求出股值，利用股值和弦值可以求出勾值。

陳藎謨在《度測》中除利用西洋新法之「矩度測量」外，兼採古法「立表測量」，。

無論是「立表測量」或「矩度測量」都是利用勾股運算及相似三角形三邊成比例 進行測量，而勾股的原理則可溯自《周髀算經》。

3.1.3 詮器

陳藎謨在「詮器」一開始便再次重申他「西學中源」的主張：「泰西之有《測 量法義》也，實本《周髀》舊術而詳焉。」¹³後才開始介紹測量的儀器 —「矩 度」。

在《測量法義》中，¹⁴對於西方的測望之器—「矩度」的製造及使用方式有 詳細說明：

測量者，以測望之山岳樓台之高、井谷之深、土田道里之遠近也。其法先 造一測望之器，名曰「矩度」。造矩度法，用堅木版或銅版作甲乙丙丁直角 三角形，以甲角為矩極，作甲丙對角線，次依乙丙、丙丁兩邊，各作相近 兩平行線，次以乙丙、丙丁兩邊，各任若干平分之。從甲向各分各作虛直

12 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 330~331。

13 同上註，頁 332。

14 《測量法義》由利瑪竇口述，徐光啟筆錄，刊於明萬曆三十五年丁未~三十七年己酉

（1607~1609），主要為介紹歐洲應用歐氏幾何原理進行具體測量的方法。徐光啟翻譯此書的用 意在於「法而系之義」，也就是根據所學到的平面幾何原理，來說明實測的具體方法，並在題 記中強調這種方法同《周髀算經》、《九章算術》所載的傳統方法在原理上是一致的，可見他早 已注意中西科學技術的結合問題。

線，而兩邊之各外兩平行線間，則作實線。

15

如上圖，即外兩線間為宗矩級之十二平分度也。其各內兩平行線間，則於 三、六、九度亦作實線，以便別識。若以十二度更細分之，或每度分三、

分五、分六、分十二，視矩大小作分，分愈細，即法愈詳密矣。次于甲乙 邊上作兩耳相等，耳各有通光竅。通光者，或取日光相射，或取目光透照 也。或值兩小耳代耳，亦可。其耳竅表末，須與甲乙平行，末從甲點置一 線，線末垂一權，其線稍長於甲丙對角線，用時任其垂下，審定度分。既設 表度十二，下方係依此論。若有成器欲驗已如式否，亦同上法。其用法如下方諸題。¹⁶

陳藎謨在《度測》卷上〈詮器〉中提及：

然十二為乘，十二為分，不若十乘十，十分十之便捷也。古今法以十為度，

15 引自徐光啟，《測量法義》，收入《徐光啟著譯集》上函之八，頁 1。

16 同上註。

圖 3-3 泰西矩度圖

積矩之度百，積矩之分千，積矩之細分萬，以至十萬、百萬，詳密至矣。¹⁷

所以他自創「菴矩度」，如下圖。

¹⁸

筆者十分欣賞陳藎謨在「詮器」方面的創見和發明。將矩度分為十個刻度，

應能使計算共為便捷，也更適用於「十進位值」制的特性。可惜《度測》一書當 時並未印行傳世，「菴矩度」因而也未能廣為流傳。

3.1.4 詮法

陳藎謨在《度測》卷上〈詮法〉中針對勾股測望的方法詳加說明：

泰西立法，以支干定矩度，併以支干字行于論說。葢由西法純以心記，不 藉文字。覽其書者非屬聰慧，則按圖失論不能見圖，循論失圖不能解。論

17 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 332。

18 同上註，頁 333。

圖 3-4 菴矩度圖

是作法，不能使下智者窺也。今槩去之，止曰：「上、下、左、右、大句、

小句、大股、小股、大弦、小弦」云。¹⁹

陳藎謨認為西法用天干、地支定出矩度及進行解釋，並未利用文字多作解 說，所以一般人如果不參考解說，很難看得懂圖；如果只參考解說而沒有對照圖 形，往往也無法明瞭解說的內容。所以他在進行解說時省略天干地支的符號，而 用「上、下、左、右、大句、小句、大股、小股、大弦、小弦」加以說明。

舊法高遠命步千里，今槩以尺寸總之。欲命「步」，則以尺之五；欲命「里」，

則以步之三百六十。²⁰

陳藎謨在《度測》中以「五尺」取代中國舊法之「步」，以「三百六十步」

表示中國古法中所謂的「里」。

舊術立表與今制矩度本同一法，而矩度更簡捷。如表高丈許，非以繩附臬，

則差毫釐謬千里。以測極高遠，須愈高愈準，其求表值愈難。攜表隨行頗 費人力，且測量具大經濟，或所測出於九天九地，不若矩度俄頃靜成。然 知此法者，或不及製矩度之器，或器不及取，而表可隨覓，則表法未可去，

且矩度時有藉乎立表者。故篇中圖論，每以二法並臚，或二法合舉相通，

則理益明，法益傋。²¹

陳藎謨認為中國古法「立表測量」與西方傳入的「矩度測量」方法雷同，

但「矩度測量」較便捷。且「立表測量」不易精確，攜帶標竿（即「表」）十分 費力，且「立表測量」不及「矩度測量」快速和省時省力，所以「矩度測量」較

19 同上註，頁 335。

20 同上註，頁 336。

21 同上註，頁 336。

佳。然而當「矩度」來不及製作或來不及取用時，標竿卻是隨時可找到的，而且 有時「矩度測量」也要借助「立表測量」。所以他在討論測量問題，同時用「立 表測量」與「矩度測量」兩種方法說明。

凡立表，貴長無定度，是篇皆以十尺為法，窺表以四尺為法。矩度所懸亦 曰：「窺表」。立表除「窺表」，命其所餘六尺曰：「餘表」。凡所圖論，皆曰：

「立表」，曰：「餘表」，曰：「窺表」，不更標「十尺」、「四尺」、「六尺」之 數。²²

雖然中國古法「立表測量」中所用的標竿長度並無統一規定，但陳藎謨在

《度測》中，將標竿的長度稱為「立表」定為「十尺」，目高及矩度懸掛的高度 稱為「窺表」定為「四尺」，「立表」扣掉「窺表」所餘的長度「六尺」稱為「餘 表」。他在《度測》中的討論，都以「立表」、「窺表」和「餘表」等名詞，而不 直接標明「十尺」、「六尺」和「四尺」等數據。

商高曰：「平矩以正繩，偃矩以望高，覆短以測深，²³臥矩以知遠，環矩以 為圓，合矩以為方。」六言足為句股要法。而太及於廣也，相直之廣即「遠」， 法橫相對者謂之「廣」。愚故益弦矩以之廣，并前六言為後立法諸題。²⁴

陳藎謨直接引用《周髀算經》中商高回答周公的話語：「平矩以正繩，偃矩 以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。」²⁵作為測量的 方法，《度測》全書即針對這六句話進行測量問題的探討。

22 同上註，頁 337。

23 根據《周髀算經》原文，應為「覆矩以測深」之誤。

24 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 337。

25 引自《周髀算經》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，頁 15。

3.1.5 詮算

陳藎謨在《度測》卷上〈詮算〉中指出西法「矩度測量」和中國古法「立 表測量」採用的計算方式並不相同：

舊術句股，或立一表，或立重表，參望既直，開方命之。今用矩度，命三 率法，以待開方，得其四率。²⁶

他清楚地說明在「矩度測量」時採用「三率法」進行求值，而「立表測量」則採 用「開方法進行求值」，兩者計算方式有所不同。

〈詮算〉中，針對「以景測高」、「以目測高」、「以高測景」、「平地測遠」、「地 平測廣」、「面徑測深」分別說明如何使用「三率法」：

以景測高 以目測高 ^{加窺表淂全高}

一率 二率 三率 四率

重表算 景較 表度 距較 物高

直景算 直景度 表度 相距 物高

倒景算 表度 倒景度 相距 物高

上重表算景較取直景，如在倒景，互換直景。

以高測景 平地測遠 地平測廣

一率 二率 三率 四率

直景算 表度 直景度 立高 物廣遠

倒景算 倒景度 表度 立高 物廣遠

26 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 338。

面徑測深

一率 二率 三率 四率

重表算 景較 表度 距較 物深

直景算 直景度 表度 面徑 物深

倒景算 表度 倒景度 面徑 物深

上重表算景較取倒景，如在直景，互換倒景。

陳藎謨仿照《測量法義》引用了西方傳入的「三率法」，但是他並未依照《測 量法義》的方式加以演繹證明，可知在處理數學的問題上，他仍受囿於中國傳統 數學的影響。然而藉由「三率法」的引入，確實大為簡化了「矩度測量」的計算 工作。

3.1.6 詮原

陳藎謨在《度測》卷上〈詮原〉中針對勾股弦互求的原理詳加說明：

句股算，立法多端：相減曰「較」，相併曰「和」。句股相減為「句股較」， 句弦相減為「句弦較」，股弦相減為「股弦較」，句與股併為「句股和」，句 與弦併為「句弦和」，股與弦併為「股弦和」，弦與句股交併為「弦較和」，

27弦與句股和併為「弦和和」，弦與句股和相減為「弦和較」，弦與句股較相 減為「弦較較」。錯綜為用，更多名義。總以縱、橫、斜三法為原，和較其 支也。施于矩度，一以高、深、廣、遠、方、圓收之，去諸名義。然昧其 原，莫得矩度之解。故止本三法，□以奇零，以準不齊，以資矩論。²⁸

27 「弦與句股交」應為「弦與句股較」之誤。

28 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 342。原文中文字缺漏部分，以□表示。

可將上述文字畫成下圖，並以現今之數學符號表示：

句：a 股：b 弦：c

句股較：b−a 句弦較：c−a 股弦較：c−b 句股和：b+a 句弦和：c+ a 股弦和：c+b 弦較和：c+(b−a) 弦和和：c+(b+a) 弦和較：(b+ )a −c 弦較較：c−(b−a)

陳藎謨在〈詮原〉中，各舉出二例說明如何「勾股求弦」、「勾弦求股」、「股 弦求句」，因二例所用之方法相同，筆者在此僅舉出一例如下圖，說明如下：

29

.

29 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 343。

a c b

圖 3-5 直角三角形

圖 3-6 句股弦互求圖

【句股求弦】 今解：

句自之得九，

股自之得十六，

并得二十五為實開方得弦五。

句 × 句 =3×3=9 股 × 股 =4×4=16

25 16 9+ = 弦 = 25 =5

【句弦求股】

句自之得九，

弦自之得二十五，

以句減弦得較十六，

開方得股四。

句 × 句 =3×3=9 弦 × 弦 =5×5=25

16 9 25− = 股 = 16 =4

【句弦求股】

股自之得十六，

弦自之得二十五，

以股減弦得較九，

開方得股四。

股 × 股 =4×4=16 弦 × 弦 =5×5=25

9 16 25− = 句 = 9 =3

以上三例，均為開得盡的平方根，另外三例則為開不盡的平方根。因本論 文於 4.1 節針對開平方問題作了詳細討論，所以另外三例，在此不作討論。

陳藎謨在本小節最後面作了一個評論：

論曰：「句股法」必用自乘。何求其方也？必問其方。何問其積也？積則句、

股、弦共之。故句有句積，股有股積，弦不別有積也。弦不別有積，故併 句股得弦積，以弦積除句得股，除股得句也。萬有不齊之形，方之斯準于 齊，矩之斯準于方，準于方斯可以求圓，而天地日月之經緯定。方者為法 用，圓者藏于矩，不為法用也。愚故以兩句兩股之謂矩，一句一股，木工 曲尺不謂之矩也。句三、股四、弦五，不過取小數以見積，使人易明其理，

以通于散漫難收之數。乃陳子答榮方之測日徑者曰：「日益表南，晷日益長，

候句六尺」，無論其理尚繁，密測匪屬定論。使必候句六尺，以合于股八、

弦十，過此上下，豈不可以測日之徑圍乎？「矩度測量」與「立表測量」

運用，雖分得數則，一皆自三法之積實出，通乎斯術，斯可與明矩度之原 矣。³⁰

根據陳藎謨所作之評論，可知「矩度測量」與「立表測量」都是利用「勾 股定理」： 勾² +股² =弦²，弦² −勾² =股²，弦² −股² =勾²。只要明白「勾股 弦互求」的原理，便可以進行勾股測量了。

3.2 卷中內容分析

《度測》卷中共分為〈平矩以正繩〉、〈偃矩以望高〉、〈覆矩以測深〉、〈弦 矩以見廣〉四小節。在〈平矩以正繩〉這一節中，陳藎謨分別藉由「矩度測量」

和「立表測量」解釋「平矩以正繩」的意義。在〈偃矩以望高〉、〈覆矩以測深〉、

〈弦矩以見廣〉三小節中，陳氏則分別以數例說明及評論測高、測深、測遠的方 法。因測高、測深、測遠的方法和原理均十分類似，筆者在本節中僅就〈平矩以 正繩〉和〈偃矩以望高〉進行分析與討論。

30 引自陳藎謨，《度測》卷上，頁 347~348。

3.2.1 平矩以正繩

31

凡用測依繩水之定施于表矩，斯大句股之形正方焉。大句股之形敧，矩度 待受之過。故法倚矩于窺表，眂其針無偏，則表體直；又從兩耳衡眂之地 無污隆，則相矩平，于是始運矩。

凡立高測卑，以高處取直為準。如上法在臺，在山皆然。居卑測高，以相 距之地取平為準。如木能平，以矩度橫眂之，識其高處起高算。次量所識 以下高，併上高淂全高。如所識處不能至或不欲至，則以相距數，用測深 法測下高，併之淂全高。測深者以口徑取平為準。

立表測法，必藉窺表。以四尺為則，立表四尺處，亦取小大以窺表，參望 取平。立表窺表，以繩取直。³²

31 引自陳藎謨，，《度測》卷中，頁 349~350，此圖應為陳藎謨親手繪製。

32 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 349~351。

圖 3-7 平矩以正繩圖

上圖應為當時「矩度」的使用方式，「矩度」必須先固定於視線所及的高度，

便於操作。上述文字，我們可以用下面兩圖解釋說明：

3.2.2 偃矩以望高

《度測》卷中〈偃矩以望高〉一節，共分為「句股相等」、「以句求股」、「以

D

F I

H B

G

A

C

須為直線

IB

圖 3-8 矩度測量之平矩以正繩

C D

E A

B F

A、E、C 須在同一直線上

圖 3-9 立表測量之平矩以正繩圖

股求句」、「重矩求高」四個主題，筆者於四個主題中各針對一個例題分析討論：

【句股相等】

矩度測量

法曰：用矩度測高，其地有可前、可卻者，移就垂針界于矩度平分處，不 必乘算，量相距數即窺表上數，加窺表得全高。

設相距所測高十六尺，垂針界于矩度十分，知為高二十尺。以至相距十七 尺，矩度平分，知為高二十一尺。相距九十六尺，矩度平分，知為高一百 尺。除窺表^四_尺為勾股相等。³³

今解：

如上圖，因垂針位於矩度平分處，所以 △IHB 和 △ABC 為等腰三角形。

HB

IH = ，IG=IH +HG=IH +BF。

33 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 351~352。

F I

G

H B

A D

C

圖 3-10 勾股相等之矩度測量圖

=16

HB 時，IH =16 ，IG=16+4=20；

=17

HB 時，IH =17 ，IG=17+4=21；

=96

HB 時，IH =96 ，IG=96+4=100。

立表測量

法曰：用立表窺高，立表相距得幾何。表後退行，以窺表與立表所測參相 直，淂距幾何。以窺表減立表餘六尺為餘表。以餘表乘相距，得數幾何為 積實，以退行距立表數幾何為法，以除積實，得數幾何為表上高，加立表 得全高。

設距所測實尺立表，表後退行六尺，窺表參相直，得高二十尺。

法以表高減窺表，餘六尺，以乘表距十尺，得六十尺為積實，以退行六尺 為法除之，得高十尺，加立表得全高二十尺。³⁴

今解：

如下圖，AH:IF =EF:FD，

FD IF AH = EF× ，

EG AH HB AH

AB= + = + 。 6

4 10− =

=

EF ，

6 10 6 10× =

=

AH ，

20 10 10+ =

=

AB 。

34 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 352~353

【以句求股】

矩度測量

法曰：用矩度測高，淂直景，以直景為一率，以表度二率與相距三率相乘，

淂積實，直景除之，淂物高四率。

設矩度測高相距三十二尺，得直景六十六分六釐六毫五絲。法以表度乘相 距，淂積實三百二十尺，直景六十六分六六五除之，淂高四十八尺餘分六 萬六千六百六十五之八十，加窺表，得全高五十二尺。³⁵

35 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 355~356 H

F E

C A

I D

B G

圖 3-11 句股相等立表測量圖

今解：

如右圖，BE:AB=HB:IH，

BE HB IH = AB× ，

BF IH HG IH

IG= + = + 。

=32

BH ，

6665 .

=6 BE

66665 48 80 6665 . 6

10 32× =

=

IH ，

52 4 48+ =

≈

IG 。

立表測量

設立表測高，相距二十八尺，退行四尺，窺表參相直。法以除表乘二十八 尺，³⁶淂積實一百六十八尺，以退行四尺除之，淂四十二尺，加立表，淂全 高五十二尺。³⁷

今解：

如下圖， AH:IF =EF:FD

FD IF AH = EF× ，

36 「除表」應為「餘表」之誤。

37 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 355~356。

E

F I

G

H B

A D

C

圖 3-12 以句求股之矩度測量圖

EG AH HB AH

AB= + = + 。 6

4 10− =

=

EF ，

4 42 6 28× =

=

AH ，

52 10 42+ =

=

AB 。

【以股求句】

矩度測量

法曰：用矩度測高淂倒景，以表度為一率，以倒景二率與相距三率相乘淂 積實，表度除之，淂物高四率。

設矩度測高相距五十二尺，淂倒景五十三分八五。法以倒景^五十三_分八五乘相距

五十

二尺，得積實^{二十八萬○}_{○ 二 十 尺}，表度除之，淂高二十八尺○○二釐，加窺表得全高 三十二尺。^{與立表圖互}_{觀 此 省 。}

38 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 359。

H

F E

C A

I D

B G

圖 3-13 以句求股之立表測量圖

今解：

如下圖， IH :DE=BH :AD，

AB BH IH = DE× ，

BF IH HG IH

IG= + = + 。

=52

BH ，

385 .

=5

DE ，

002 . 10 28

52 385 .

5 × =

=

IH ，

32 4 28+ =

≈

IG 。

立表測量

設立表測高，相距四十尺○八寸六分，退行十一尺一寸四分，窺表參相直。

法以餘表乘四十尺○八寸六分，得積實二百四十五尺一寸六分，以退行餘 之，³⁹淂高二十二尺餘分一千一百一十四之八，加窺表，淂全高三十二尺。

40

今解：

如下圖， AH:IF =EF:FD

FD IF AH = EF× ，

39 「以退行餘之」應為「以退行除之」之誤。

40 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 359~360。原文中「加窺表，淂全高三十二尺」應為「加立表，

淂全高三十二尺」之誤。

E

F I

G

H B

A

C D

圖 3-14 以股求句之矩度測量圖

EG AH HB AH

AB= + = + 。 6

4 10− =

=

EF ，

1114 22 8 14

. 11

6 86 .

40 × =

=

AH ，

32 22 10+ =

≈

AB 。

【重矩求高】

重矩測量

以矩度測，不知句股之高，先得直景幾何，如在倒景互換互換直景。次退 行幾何，再取直景，如在倒景互換直景。次以兩直景相減淂幾何為景較一 率，以表度二率與退行距較三率相乘淂積實幾何，景較一率分之淂表上物 高四率，加窺表淂全高。即以表上物高作直景立高測遠法，以表度為一率，

前距直景為二率，與立高三率相乘得積實幾何，以表度一率分之淂前距四 率幾何。^{互換圖法載後}_{測 深 篇 中 。}

設有隔溪峭壁，不知其高？臨溪用矩度測得直景六十○分八七，退行一十 四尺，⁴¹測得倒景八十八分四六一五 ，峭壁高幾何？ 溪闊幾何？

法以後距倒景八十八分四六一五互換，淂直景一百一十三分○四三。兩直 景相減，淂景較一率五十二分一七三，以表度二率乘距較三率二十四尺，

41 「一十四尺」應為「二十四尺」之誤

H

F

G C

A

I D

B

E

圖 3-15 以股求句之立表測量圖

淂積實二百四十尺，景較^五十二分_{一 七 三}分之，淂表上峭壁高四十六尺餘分五萬二 千一百七十三之四百二十。加窺表，淂峭壁全高五十尺。即以表上峭壁高 四十六尺作三率，以前距直景六十○分八七作二率，相乘淂積實二十八萬

○○○二尺，表度分之，淂溪闊二十八尺○○○二。此分積矩為十萬分，葢直景六 十為百位，則○分為千分，

八釐為萬分，七 毫 為 十 萬 分 。 ⁴²

今解：

如右圖，(B'E"−BE):AB=FK:IH，

BE E

B

FK IH AB

−

= × ''

'

BF IH HG IH

IG= + = + 。 BE

AB HB

IH : = : ，

AB BE HB= IH× 。

087 .

= 6

BE ，

=24

FK ，

84615 . 8 ' 'E =

D ，

3643 . 84615 11 . 8

10

" 10

'E = × ≈

B ，

2173 . 5

"

'E −BE ≈

B ，

52173 46 420 2173 . 5

24 10× =

=

IH ，

50 4 46+ =

≈

IG 。

42 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 361~363。

E"

E E'

F K

I

H B'

G

B

A A'

C D

D'

C'

圖 3-16 重矩求高圖

0002 . 10 28

087 . 6 46× ≈

=

HB 。

重表測量

法曰：以立表求不知句股之高，先立表退行，以窺表參相直。又從前表退 行幾何，立表又退行，以窺表參相直，以餘表乘兩立表距較為積實，以兩 窺表距立表數相減餘為景較，以景較除積實淂立表上高。加立表淂全高。

再置表上高乘前表距窺表數為積實，仍以餘表除積實，淂前表距物高相遠 數。又法再置距較乘前表距窺表數為積實，仍以上景較除積實，亦淂前表 距物高相遠數。又總法既淂前距併後距為後表間相距數，以餘表乘之為積 實，以後表退行數分之，淂表上立高，加立表淂全高。

設有隔溪峭壁，不知其高。臨溪立表退行二尺四寸，⁴³以窺表參相直。又距 前表十七尺二寸一八，立表退行六尺七寸八二，以窺表參相直，峭壁高幾 何？溪闊幾何？法以餘表乘兩立表距較^十七尺二_{十 一 八}，淂一百○三尺三寸○八為 積實，兩窺表距兩立表數相減餘二尺五寸八二為景較，以景較^二尺五_寸八二除積實，

淂立表上高四十尺餘分二萬五千八百二十之二十八，加立表，淂全高五十 尺。再置表上高^四十_尺，以乘前表距窺表^四尺_二寸 ，淂積實一百六十八尺，餘表分之，

淂溪闊二十八尺。⁴⁴ 今解：

如右圖，

KH DF

JK AM KF

−

= × ，

JL AM MB AM

AB= + = + 。 JK

KH AM

BL: = : ，

JK KH BL= AM× 。

218 .

=17

KF ，

43 「二尺四寸」應為「四尺二寸」之誤。

44 引自陳藎謨，《度測》卷中，頁 365~367。

K

L I

H M

F

G C

A

N D

B

E J

圖 3-17 重表求高圖

2 .

=4

KH ，

782 .

=6

FD ，

2582 40 40 28 582 . 2

308 . 13 2 . 4 782 . 6

6 218 .

17 = = ≈

−

= ×

AM ，

50 10 40+ =

≈

AB 。

6 28 2 . 4 40× ≈

=

BL 。

由「偃矩以望高」的數個例題中，可知陳藎謨在進行「矩度測量」時，他採 用的寫作方式為先說明法則（法曰），次舉例計算（設），最後才進行評論（論曰）。 對於「立表測量」，除了「重表測量」皆是直接進行解題，並未先說明方法。

如同陳藎謨在卷上〈詮法〉中的評論，他認為西法以天干地支說明並不妥，

所以他決口不用天干地支作說明，而用「上、下、左、右、大句、小句、大股、

小股、大弦、小弦」加以說明。對於整個「矩度測量」，一律用三率法及相似三 角形來說明。

3.3 卷下內容分析

在《度測》卷下中，陳藎謨以《授時曆》為例說明，所以筆者在卷下僅針 對〈環矩以為圓〉一節中關於圓周率近似值的部分進行討論。

陳藎謨首先列舉了數個圓周率的近似值，說明這數個近似值有誤差存在：

一魏劉徽周徑術 五十因 一百五十七除 今解：

五十因周天淂一萬八千二百六十二度八十七 365.2575×50 ≈ 18262.8750，

分五十秒，

一五七除之淂徑一百一十六度三十二分四十

○秒四十四微。

又以一五七乘之淂一萬八千二百六十二度八 十七分四十九秒○八微，

又以五十除還原淂周天三百六十五度二十五 分七十四秒九十八微一十六纖，不及原一微 八十四纖。⁴⁵

18262.8750÷157≈ 116.324044，

116.324044×157＝18262.874908，

18262.874908÷50＝365.25749816。

一劉宋祖沖之周徑密術 七因 二十二除 今解：

七因周天淂二千五百五十六度八十○分二十 五秒，

二十二除之淂徑一百一十六度二十一分八十 二秒九十五微。

又二十二因淂二千五百五十六度八十○分二 十四秒九十微，

又七除還原淂三百六十五度二十五分七十四 秒九十八微五十七纖，不及原一微四十三 纖。⁴⁶

365.2575×7＝2556.8025，

2556.8025÷22≈ 116.218295，

116.218295×22＝2556.802490，

2556.802490÷7≈ 365.25749857。

一西人周徑術 三一四一五九二 今解：

以除周天淂徑一百一十六度二十六分五十○

秒九十微，

乘還原淂三百六十五度二十五分七十四秒七

365.2675÷3.1415926≈ 116.265090，

116.265090×3.1415926

45 引自陳藎謨，《度測》卷下，頁 442~443。

46 引自陳藎謨，《度測》卷下，頁 443~444。

十六微六十二纖，不及原二十三微三十七纖 六七二。

≈ 365.25747662。

一邢雲路徑圍相取 皆三一二六為率 今解：

以除周天淂徑一百一十六度八十四分五十○

秒○九微，

乘還原淂三百六十五度二十五分七十四秒九 十微，不及原七微八十六纖六。

365.2675÷3.126≈ 116.845009，

116.845009×3.126≈ 365.257490。

又邢雲路太一三才奇率三一二一二二○三四 今解：

以除周天淂徑一百一十七度○二分○一秒八 十微，

乘還原淂三百六十五度二十五分七十四秒六 十八微，不及原三十一微○七纖五五三八八。

65.2675÷3.12122043≈ 117.020180，

117.020180×3.12122043

≈ 365.257468。

接著他便提出在弧矢算法中的創見—「菴太極周徑術」：

石肅 菴太極周徑術

以周天七位外加太極一十微除淂徑一百一十五度八十七分九十三秒五十微 淂八位餘四徽八三二五，乘還淂三百六十五度二十五分七十五秒原餘五微 一六七五合二餘淂太極一十微，不在內不在外。

由於在「菴太極周徑術」中無法直接看出陳藎謨所取的圓周率值，所以筆者嘗 試逆推還原求他的圓周率值：

365.2575＋0.0011＝365.2586

365.2586－0.00048325＝365.25811675

365.25811675÷115.879350≈ 3.152

卷下的內容，陳藎謨主要參考的文本應為顧應祥的《弧矢算術》以及郭守 敬主編的《授時曆》，而他引用的「西人周徑術」應為《崇禎曆書》中所提及的 圓周率值。

在圓周率求值的討論中，針對古法及西人圓周率求值的討論上，陳藎謨犯 了一個大錯誤。他在周天除以圓周率求值的過程中，他一律以「無條件捨去法」

求值，最後再乘還原成周天，自然有不小誤差。而他自創的「菴太極周徑術」

求出的圓周率值約 3.152，和目前所知圓周率的值，也有極大的誤差，而非他自 詡的「十分精確」，所以他的「菴太極周徑術」如同阮元在《疇人傳》中所言：

「斯則出于臆造，不合算理，未可以為法也」，⁴⁷不足以採用。

雖然陳藎謨列出了數種不同的圓周率值，但他不僅未針對這些近似值作出 正確的評論，還一味強調自己所發明的「菴太極周徑術」之準確，足見他在關 於圓周率近似值方面的數學知識十分不足，以致無法作出適當的評論分析。

3.4 小結

卷上體例安排不同於中國古代算書體例，而仿照《崇禎曆書》體例共分為 六個小節—〈詮經〉、〈詮理〉、〈詮器〉、〈詮法〉、〈詮算〉、〈詮原〉。陳藎謨以《崇 禎曆書》的體例，企圖去詮釋《周髀算經》和進行「勾股測望」，這正是傳統中 國人一直強調的「中學為體，西學為用」的思想。

《度測》即「矩度測量」之意，雖然《度測》一書是以《測量法義》、《句 股義》為藍圖完成的，但陳藎謨對勾股定理的探討不及《句股義》深入，在《測

47 引自阮元，《疇人傳》卷三十三，頁 419。

量法義》立論的基礎上也有許多不同的想法。徐光啟僅將《測量法義》視作詮《幾 何原本》，而其原理方法同於《周髀算經》、《九章算術》；陳藎謨則進一步將《測 量法義》視作詮《周髀算經》。

在《度測》中，他改良「泰西矩度」自創「菴矩度」，他不用天干地支進 行解說，而用「上、下、左、右、大句、小句、大股、小股、大弦、小弦」加以 說明。

在《測量法義》中，因表度分為十二個刻度，直景、倒景互換的方法為

「直景=12倒景×12，

倒景=12直景×12」；在《度測》中，因表度分為十個刻度，直景、

倒景互換的方法為「

直景=10倒景×10，

倒景 =10直景×10」。

在《度測》的卷中部分，陳藎謨雖然是以《測量法義》為藍圖，但他所列 舉的範例均為他自創，並以情境題的方式呈現。由此可知，陳氏精於測量的方法，

可處理不同情境下的測量問題。

而陳藎謨自創的「菴太極周徑術」，取圓周率的近似值約 3.152，誤差甚 大，不合時用。而且他雖然列出了數種不同的圓周率值，但他不但未針對這些近 似值作出正確的評論，還一味強調自己所發明的「菴太極周徑術」之準確，足 見他在關於圓周率近似值方面的數學知識十分不足，以致無法作出適當的評論、

分析。