高雄市明誠中學

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：97.01.20 班級 三年 班

範 圍

Book4

信賴區間 座號

姓 名 一、單選題 ( 6 題 每題 10 分 )

( ) 1. 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.24 分﹐樣本標準差是 5.24 分﹐而且已知 成績分布呈現常態分配﹒試問全校約有多少人數學成績低於 60 分？ （註：常態分配中﹐

數據落在平均數的一個､二個､三個標準差範圍內之比例分別為 68 ､ 95 ､ 99 ） (1)約 80 人 (2)約 160 人 (3)約 240 人 (4)約 320 人 (5)約 400 人﹒

% % .7%

答案 2 解析

平均數x=65.24﹐標準差s=5.24

[ ]

, 60, 70.48 x s x s

⎡ − + ⎤=

⎣ ⎦ 之間約佔 68%

1000 68%× =680（人）且常態分配為對稱圖形

∴1000 680 2 160

− = （人）

故約有 160 人低於 60 分﹒

( ) 2. 某校二年級學生有 2000 人﹐第二次月考的數學成績符合常態分配﹐若成績的平均數為 51 分﹐變異數為 9 分﹐則請問及格人數約多少人？ (1)500 (2)6 (3)3 (4)640 (5)320 人﹒

（請參考下圖數據回答）

答案 3

解析 平均數x=51分﹐變異數s²=9 ⇒ 標準差s= 3

(

^{x−3 ,s x+3s}

)

^{之間約佔 99}

及格表

.7%

3

x+ s以上佔0.15%，∴及格人數有2000 0.15%× = （人）﹒ 3

( ) 3. 若某校 1000 位學生期末考數學成績的平均數是 50 分﹐標準差是 10 分﹐且成績呈常態分配﹐

則成績介於 40~70 分的約有幾人？

(1)約 680 人 (2)約 750 人 (3)約 815 人 (4)約 950 人 (5)約 997 人﹒）

1

答案 3 解析

( )

1 95% 68% 13.5%

2 − =

∴40~70 分之間約有

( )

1000× 95% 13.5%− =815（人）

( ) 4. 根據一項民意調查﹐發現有 60 的人贊成賭博合法化﹐在 95%的信心水準下信賴區間為

﹐則抽樣的樣本數 n (1)100 人 (2)300 人 (3)600 人 (4)2400 人 (5)3000 人﹒

%

[

^{0.56, 0.64}

]

答案 3

解析 設此次調查抽樣 n 人，信賴區間

[

0.56, 0.64 可表為 0.6

]

± ×2 0.02 故

l

( )

1 l 0.6 0.4 0.6 0.4

_{( )}

2

2 2 0.04 0.02

p p

n n n

− × ×

± = ± = ± ⇒ = ， 0.6 0.4

0.02 0.02 600

n ×

= =

× （人）﹒

( ) 5. 臺灣之光王建民在美國大聯盟的職棒比賽表現優異頻頻獲勝﹒一項電訪發現有 70%的人認為 王建民必可穩登勝投王﹐在 95%的信心水準下﹐信賴區間為

[

0.68, 0.72 ﹐則訪問的樣本數

]

最接近 (1)2100 人 (2)3000 人 (3)3500 人 (4)400 人 (5)10000 人﹒

答案 1

解析 設此次調查抽樣 n 人，信賴區間

[

0.68, 0.72 可表為 0.7

]

± ×2 0.01 故

l

( )

1 l 0.7 0.3 0.7 0.3

_{( )}

2

2 2 0.02 0.01

p p

n n n

− × ×

± = ± = ± ⇒ = ， 0.7 0.3

0.01 0.01 2100

n= × =

× （人）﹒

( ) 6. 臺北市計程車費率漲價幅度頗高﹐消基會為此進行簡單隨機電話抽樣訪問臺北市民以測知民 眾反對此事的比例﹐先試查 200 個樣本﹐發覺反對漲價的有 120 人,在 95%的信心水準下最 大誤差為 2 個百分點﹐則所需訪問人數最接近﹒

(1)1000 人 (2)2000 人 (3)2400 人 (4)5000 人 (5)10000 人﹒

答案 3

解析 設此次調查抽樣 n 人， l 120 200 0.6 p= =

l

( )

1 l 0.6 0.4 0.6 0.4

_{( )}

2

2 2 0.02 0.01

p p

n n n

− × ×

± = ± = ± ⇒ = 0.6 0.4

0.01 0.01 2400

n ×

⇒ = =

× （人）﹒

二、複選題 (7 題 每題 5 分 )

( ) 1.

2

右圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖（圖中百分 比數字代表各體重區間的相對次數﹐其中各區間不包含左 端點而包含右端點）﹒該 100 名婦女體重的平均數為 55 公 斤﹐標準差為 12.5 公斤﹒曲線 N 代表一常態分布﹐其平均 數與標準差與樣本值相同﹒在此樣本中﹐若定義「體重過 重」的標準為體重超過樣本平均數 2 個標準差以上（即體 重超過 80 公斤以上）﹐則下列敘述哪些正確？

(1)曲線 N （常態分布）中﹐在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%

(2)曲線 N （常態分布）中﹐在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%

(3)該樣本中﹐體重的中位數大於 55 公斤

(4)該樣本中﹐體重的第一四分位數大於 45 公斤

(5)該樣本中﹐「體重過重」（體重超過 80 公斤以上）的比例大於或等於 5%﹒

答案 1245 解析

(1)○：常態分布 (2)○

(3)╳：∵體重 35~45 佔 20%

45~55 佔 33%

55 公斤以下佔 53%

∴中位數<55

(4)○：∵體重 35~45 佔 20%

∴第一四分位數>45 (5)○

( ) 2. 國際油價不斷向上攀升﹐屢創新高﹐帶動民生物資連連看漲﹒消基會做了一項民意調查﹐成 功訪問了 1100 位民眾﹐其中有 605 位認為已影響了生活﹒在 95%的信心水準下下列選項何 者為真？ (1)影響比例為 0.61 (2)影響比例為 0.55 (3)正負誤差為 2 個百分點 (4)正負誤差為 3 個百分點 (5)信賴區間為

[

0.52, 0.58 ﹒

]

答案 245

解析 影響比例 l 605 1100 0.55

p= =

在 95%的信心水準下誤差範圍為

l

( )

¹ l 2

p p

n

± − 0.55 0.45

2 2 0.015 0.03 1100

= ± × = ± × = ± ﹐

表示抽樣誤差為正負 3 個百分點，信賴區間為^{0.55 0.03± =}

[

^{0.52, 0.58}

]

^﹒

3

( ) 3. 教育部擬將第二外國語列入高中選修課程﹐班聯會以問卷調查學生的支持度﹒隨機抽取 400 人﹐其中贊成者有 320 人﹐在 95%的信心水準下﹐下列選項何者為真？

(1)贊成比例為 80% (2)正負誤差為 3 個百分點 (3)正負誤差為 4 個百分點 (4)信賴區間為

[

0.77, 0.83 (5)信賴區間為

] [

0.76, 0.84 ﹒

]

答案 135

解析 (1)贊成比例 l 320

0.8 80%

p=400= =

(2)在 95%的信心水準下誤差範圍為

l

( )

¹ l 2

p p

n

± −

0.8 0.2

2 2 0.02 0.04 400

= ± × = ± × = ± ﹐抽樣誤差為正負 4 個百分點

(3)信賴區間為^{0.8 0.04± =}

[

^0.76,0.84

]

﹒

( ) 4. 詐騙集團詐騙手法不斷翻新﹐民眾在貪小便宜的心理下也頻頻受騙﹒針對臺灣地區的詐騙電 話做調查後發現﹐約有 73%的人曾接過詐騙電話﹒在 95%的信心水準下﹐正負誤差為 3 個 百分點﹐下列各選項何者為真？

(1)此次調查 900 人 (2)此次調查 876 人

(3)樣本中約有 657 人曾接過詐騙電話 (4)信賴區間為

[

^70%,76%

]

(5)以上皆非﹒

答案 24

解析 設此次調查共有 n 人

(1)

l

( )

1 l 0.73 0.27 0.73 0.27

₍

2

2 2 0.03 0.015

p p

n n n

− ^± × ^{= ± ⇒} × ⁼

)

± =

0.73 0.27 0.015 0.015 876

n ×

⇒ = =

× （人）

(2) ， 約有 639 人曾接過詐騙電話 (3)信賴區間為 0

876 73%× =639.48

.73±0.03 ⁼

[

^0.70,0.76

] [

^{= 70%,76%}

]

( ) 5. 高鐵通車後﹐縮短了南北的距離﹒高鐵公司為了解乘客搭乘的滿意度﹐於各車廂放置意見箱﹐

有效回收 1060 份意見表﹐其中 424 份覺得非常滿意﹐在 95%的信心水準下﹐下列選項何者 為真？

(1)非常滿意的比例為 40%

4

(2)正負誤差為 4 個百分點 (3)正負誤差為 3 個百分點 (4)信賴區間為

[

0.37, 0.43

]

(5)信賴區間為

[

0.43, 0.46 ﹒

]

答案 134

解析 (1)滿意的比例為 l 424

0.4 40%

p=1060= = ﹒

(2)誤差範圍

l

( )

¹ l 0.4 0.6

2 2

1060

p p

n

− ×

± = ± ≒ 0.03 ， 表示抽樣誤差為 3 個百分點﹒ ± (3)信賴區間為^0.4±0.03=

[

^0.37,0.43

]

﹒

( ) 6. 某校有學生 800 位﹐數學段考成績呈現常態分布﹐平均 65 分﹐標準差 5 分﹒下列各選項何 者為真？(1)不及格的學生約有 128 人

(2)成績超過 75 分的學生約有 20 人

(3)某生成績 70 分﹐在全校大約排第 128 名 (4)某生成績 80 分應為前 3 名

(5)60 分至 70 分之間共有 544 人﹒

答案 12345 解析

(1)○：60 分至 70 分之間約佔 68%﹐60 分以下佔16%

∴不及格約有 800 人 16% 128× = （人）﹒

(2)○：75 分位於x+2s﹐75 分以上約佔 2.5%

∴ 800 2.5%× =20（人）﹒

(3)○：70 分以上與 60 分以下人數相同 ∴70 分排名第 128 名﹒

(4)○：80 分位於x+3s﹐80 分以上約佔 0.15%﹐

∴ 800 0.15%× ≒1.2（人）表示 80 分為前 3 名 (5)○： 800 0.68× =544（人）﹒

( ) 7. 下列哪些是常態分布曲線的特性？

(1)曲線呈對稱的鐘型 (2)平均數與中位數相等

(3)約有 50％的數值落在平均數左右各 1 個標準差的範圍內 (4)約有 95％的數值落在平均數左右各 2 個標準差的範圍內 (5)幾乎大多的數值都落在平均數左右各 3 個標準差的範圍內﹒

答案 1245

5

解析 答案為(1)(2)(4)(5)﹒

三、填充題 ( 每格 5 分)

1. 某次考試班上 40 名學生﹐平均 72 分﹐標準差 6 分﹐若此次考試成績為常態分布﹐求不及格人數應 該是____________人﹒

答案 1

解析 平均數x=72分﹐標準差s=6分 不及格表x−2s以下佔

∴不及格人數應有 4 （人）﹒ 2.5%

0 2.5%× =1

2. 某校高二學生 800 位﹐第二次段考數學成績呈常態分布﹐已知平均成績為 70 分﹐標準差為 5 分﹐請 概估(1)此次段考不及格的學生約有____________人﹒

(2)小謙考了 75 分﹐大約排第____________名﹒

答案 (1)20;(2)128

解析 (1)平均數x=70﹐標準差s=5

不及格表x−2s以下﹐約佔2.5%， ∴不及格人數約有800×2.5%=20（人）﹒

(2)75 分表 x+ 以上﹐約佔16 ， ∴800s % ×16%=128（人）， 故考 75 分大約排第 128 名﹒

3. 某校有學生 1000 名﹐參加「字音字形」競賽﹐已知成績呈常態分布﹐平均成績 70 分﹐標準差 10 分﹐請概估(1)此次比賽成績未達 60 分者﹐約有____________人﹒

(2)成績超過 90 分的有____________人﹒

(3)志玲成績 80 分﹐大約排第____________名﹒

答案 (1)160;(2)25;(3)160

解析 (1)平均數x=70分 標準差 s =10分

不及格表 x− 以下﹐約佔16 ， ∴不及格人數約有1s % 000 16%× =160（人）﹒ (2)超過 90 分表x+2s以上﹐佔 ， ∴超過 90 分者約有100 （人）﹒ (3)80 分表

2.5% 0 2.5%× =25

x+ 以上﹐約佔16 ， ∴1s % 000 16%× =160（人），故考 80 分大約排第 160 名﹒

4. 參加期末考試的學生有 1000 位﹐已知全體數學成績平均為 65 分﹐標準差為 15 分﹐且成績呈常態分 配﹐則成績高於 80 分的大約有____________人﹒

答案 160

解析 因x=65﹐s=15﹐得k =1﹐

80 分表 x+ 以上，約佔 16%，∴1000 16% 160s × = （人），故考 80 分以上大約 160 人﹒

5. 新生入學 1000 人作 IQ 測驗﹐若成績呈現常態分布﹐平均分數是 100 分﹐標準差 15 分﹐則

6

(1)IQ 成績在 85 分以下的約有____________人﹒

(2)IQ 成績在 85 分~115 分之間的約有____________人﹒

(3)IQ 成績在 130 分以上的約有____________人﹒

答案 (1)160;(2)680;(3)25

解析 (1)85 分位於 x s− ， 85 分以下﹐約佔16 ， ∴約有1000 人% ×16%=160（人）﹒ (2)85 分~115 分即⎡ −⎣x s x, +s⎤⎦ 之間﹐約佔68 ﹐約有 1000 人% ×68%=680（人）﹒ (3)130 分以上﹐約佔2.5%， 共有 1000 人×2.5%=25（人）﹒

6. NBA籃球巨星姚明旋風似的訪問臺灣﹐帶動了全校籃球的運動風氣﹐某體育老師為測驗同學投籃的 準確度於全校任意挑選 50 位同學在罰球線跳投﹐結果有 23 位同學命中﹐在 的信心水準下﹐投 籃準確度的信賴區間為___________﹒在 的信心水準下﹐投籃準確度的信賴區間為___________﹒

95%

68%

答案 (1)

[

^{0.32, 0.60}

]

^;(2)

[

0.39,0.53

]

解析 (1)命中率 l 23 50 0.46

p= = ， 正負誤差

l

( )

¹ l 0.46 0.54

2 2 2 0.07

50

p p

n

− ×

± = ± = ± × = ±0.14 信賴區間為

(2)信賴區間為 ﹒

[ ]

0.46±0.14= 0.32,0.60

[ ]

0.46±0.07= 0.39, 0.53

7. 臺灣有意自美國引入愛國者飛彈﹐該型飛彈素以攔截地對地飛彈著名﹐今在一次實彈演習中﹐40 顆 愛國者型飛彈成功攔截了 28 顆的地對地飛彈﹐試問

(1)成功攔截機率的估計值為____________﹒

(2)成功攔截機率 95%的信賴區間為____________﹒

答案 (1)0.7;(2)

[

0.555, 0.845

]

解析 (1) l 28 40 0.7

p= = ﹒

(2)95%的信賴區間為 l l

( )

¹ l 0.7 0.3

2 0.7 2

40

p p

p n

− ×

± = ± =^0.7±^0.145=

[

0.555, 0.845

]

﹒

8. 為了解臺北市民對於「週休二日制」的看法﹐隨機抽取 500 位有效樣本﹐結果有 312 位贊成﹐試求 (1)臺北市民贊成週休二日機率的估計值為____________﹒

(2)臺北市民贊成週休二日制的比例之95%信賴區間為____________﹒

答案 (1)0.624;(2)

[

0.581,0.667

]

7

解析 (1) l 312

0.624 p=500= ﹒ (2) 95%的信賴區間為

l l

( )

¹ l 2

p p

p n

± − 0.624 0.376

[ ]

0.624 2 0.624 0.043 0.581, 0.667 500

= ± × = ± = ﹒

9. 班聯會為了解全校學生對於「是否贊成取消髮禁」的看法隨機抽取 400 位同學以問卷調查全校學生﹐

其中贊成取消髮禁之問卷數為 320 張﹐試求 (1)贊成比例為____________﹒

(2)在 95 的信心水準下﹐這次調查的正負誤差為____________﹒

(3) 95 的信賴區間為____________﹒

%

%

答案 (1)0.8; (2)4 個百分點; (3)

[

0.76, 0.84

]

解析 (1)贊成比例 lp= 320

400=0.8﹒

(2)95%的信心水準下誤差範圍為

l

( )

¹ l 2

p p

n

± −

^0.8

(

^{1 0.8}

)

2 2 0.02 0.04

400

= ± × − = ± × = ± ﹐正負誤差為 4 個百分點﹒

(3)95%的信賴區間為 l l

( )

¹ l

_{[ ]}

2 0.8 0.04 0.76, 0.84

p p

p n

± − = ± = ﹒

10. 某民調公司為了解一般民眾對於「是否將中華民國年號改成西元年號」於晚間七時至九時利用電訪﹐

有效訪問 900 位臺灣地區 20 歲以上民眾﹐其中不贊成的民眾有 576 人﹐試求 (1)受訪者中不贊成改民國年號的比例為____________﹒

(2)在 95 的信心水準下﹐此次抽樣的正負誤差為____________﹒

(3) 95 的信賴區間為____________﹒

%

%

答案 (1)0.64;(2)3.2 個百分點;(3)

[

0.608,0.672

]

解析 (1)不贊成的比例為 l 576 900 0.64

p= = ﹒

(2)在 95%的信心水準下﹐誤差範圍為

l

( )

¹ l 2

p p

n

± −

0.64

(

1 0.64

)

2 2 0.016 0.032

900

= ± × − = ± × = ± ﹐正負誤差為 3.2 個百分點﹒

(3)95%的信賴區間為 l

l

( )

¹ l

_{[ ]}

2 0.64 0.032 0.608, 0.672

p p

p n

± − = ± = ﹒

8

11. 市場調查人員為了解全體市民對首長施政是否滿意﹐進行電話抽樣訪問﹐先試查 300 個樣本﹐發覺 對施政滿意的有 195 人﹐在 95%的信心水準下﹐最大誤差為 2.5 個百分點﹐則所需訪問的人最接近 ___________人﹒

答案 1456

解析 設此次調查抽樣 n 人 l 195 300 0.65 p= = l

( )

¹ l 0.65 0.35

2 2 0.025

p p

n n

− ×

± = ± = ±

( )

²

0.65 0.35 0.65 0.35

0.0125 1456

0.0125 0.0125 n n

× ×

⇒ = ⇒ = =

× （人）﹒

12. 為了解是否贊成國民義務教育由九年延長至十二年﹐市場調查人員進行隨機電話抽樣訪問﹐在 95%

的信心水準下﹐贊成比例的信賴區間為

[

0.67, 0.73 ﹐試求

]

(1)此次抽查的樣本約為____________人﹒

(2)樣本中贊成的約有____________人﹒

答案 (1)933;(2)653

解析 (1)設抽查的樣本約為 人， 信賴區間為n

[

0.67, 0.73 可表為 0.7

]

±0.03 得lp=0.7﹐正負誤差 3 個百分點故

l

( )

¹ l 0.7 0.3

2 2

p p

n n

− ×

± = ± = 0.03±

^{0.7 0.3}

(

^0.015

)

^{2 0.7 0.3 933}

0.015 0.015 n n

× ×

⇒ = ⇒ = =

× （人）﹒

(2)贊成約有 933 人×0.7=653（人）﹒

13. 市場調查人員針對臺灣地區的詐騙電話做調查後發現：「有 95%的信心認為約有 72%到 78%的人曾 接過詐騙電話」﹐試求

(1)此次調查抽樣約____________人﹒ (2)此樣本中曾接過詐騙電話的約有____________人﹒

答案 (1)833;(2)625

解析 (1)設此次調查抽樣 人 n

∵72%到 78%的機率可表為 75%± 3%， ∴ lp =75%的人曾接過詐騙電話﹐

正負誤差 3 個百分點﹒故

l

( )

¹ l ^0.75

(

^{1 0.75}

)

2 2 0.03

p p

n n

− × −

± = ± = ±

^{0.75 0.25}

(

^0.015

)

^{2 0.75 0.25 833}

0.015 0.015 n n

× ×

⇒ = ⇒ = =

× （人）﹒

(2)曾接過詐騙電話的約有 833人×75%=625（人）﹒

14. 有一筆資料已知 ﹐ ﹐則此筆資料之樣本標準差

60

1

i 210

i

x

=

∑

= ^{60 2}

1

749.75

i i

x

=

∑

= ^s=____________ ﹐若此資

9

料為常態分布﹐則介於x−2 ~s x− 之間約有____________人﹒（此格請填整數﹐即為小數點後四捨s 五入）

答案 (1)0.5;(2)8 解析 (1) 210 7

60 2 x= =

2 2 2

749.75 60 7

2 0.5

1 59

xi nx

s n

− × ⎜ ⎟⎛ ⎞

− ⎝ ⎠

= =

−

∑

_{= ﹒}

(2) x 至x−2s約有 95 1

60 28.5

100 2

× × = 人

x 至 x− 約有s 68 1

60 20.4

100 2

× × = 人

∴介於x−2 ~s x− 之間約有 8 人﹒ s

15. 一組資料有 40 筆﹐總和為 1000﹐平方和為 28900﹐請問：

(1)此組資料的平均數為___________﹐標準差為____________﹒

(2)有人算出 40 筆資料中有 20 筆落在區間

[

5, 45 內﹐請問此組資料是否接近常態分布？

]

答案 (1)25，10;(2)否 解析

(1)

40

1

1 1000 40 25

i i

x x

n =

=

∑

= =

標準差 ^{40 2 2}

(

²

)

1

1 1 1

28900 40 25 3900 100 10

1 _i ⁱ 39 39

s x nx

n ₌

⎛ ⎞

= − ⎝⎜

∑

− ⎟⎠= − × = × = ^{= ﹒}

(2)若此資料接近常態分布

則落在^⎡_⎣^{x−2 ,s x+2s⎤}_⎦⁼

[

^{5, 45}

]

內的約佔 95%﹐但此組資料僅有20

40=50%落在區間

[

^{5, 45}

]

∴此組資料不接近常態分布﹒

四、計算題 (59 小題 每小題 10 分 )

1. 某校有學生 800 位﹐數學段考成績呈常態分布﹐平均成績 65 分﹐標準差 5 分﹐請概估

10

(1)此次數學段考不及格的學生約有幾位？

(2)成績超過 75 分的有幾位？

(3)某生成績 70 分﹐他在全校大約排第幾名？

答案 (1)128;(2)20;(3)128 解析

(1)⎡⎣x−s x, +s⎤⎦ 之間約佔 68% 800 68% 544× =

∴不及格人數有¹

(

^{800 544}

)

¹²⁸

2 − = （人）﹒

(2)75 分以上約佔 2.5% ∴ 800 2.5%× =20（人）﹒

(3)70 分以上人數與 60 分以下人數相同 ∴70 分大約排第 128 名﹒

2. 下列三個變數 x 的常態分布圖形﹐試判斷哪一個的平均數最大？哪一個標準差最大？

答案 (1) f x 、1

( )

f2

( )

x 、f3

( )

x 的平均數一樣大;(2) f3

( )

x 解析

1

( )

f x 、 f2

( )

x 、 f3

( )

x 的平均數一樣大；

3

( )

f x 的標準差最大﹒

3. 從實驗室的數據證實﹐人的睡眠時數呈現常態分布﹐其平均數為 7.5 小時﹐標準差 1 小時﹒根據此 睡眠分布﹐試估計下列各項所佔的人數比例﹒

(1)睡眠時數超過 7.5 小時者﹒

(2)睡眠時數介於 6.5 到 8.5 小時者﹒

(3)睡眠時數不到 8.5 小時者﹒

答案 (1)50％;(2)68％;(3)84％

解析

11

(1)常態分布為左右對稱的分布﹐其平均數在曲線的中 心點﹐所以約有 50％的數值超過 7.5 小時﹒

(2)6.5 到 8.5 小時為與平均數相距 1 個標準差的範圍﹐

根據 68 95 99.7− − 規則﹐約佔 68％的比例﹒

(3)8.5 小時在平均數以上 1 個標準差的地方﹐由圖 知在此數的左邊區域的比例約為 50 68 1 84

100+100× =2 100﹒

4. 人類從受孕到分娩的懷孕期長短不一﹐大致呈現平均數 266 天﹐標準差 16 天的常態分布﹒

(1)約有多少比例的人會在 266 天以內分娩？

(2)根據常態分布規則﹐求中間 95％的人其懷孕天數範圍﹒

答案 (1)50％;(2)234 天到 298 天之間 解析

(1)常態分布為左右對稱的分布﹐其平均數在分布的中心點﹒

所以約有 50％的孕婦在 266 天以內分娩﹒

(2)依 法則﹐95％的人恰好分布在平均數左右兩邊 2 個標準差的範圍內﹐

故懷孕的天數範圍介於區間 68 95 99.7− −

[

266 16 2 , 266 16 2− × + × 之間﹐即 234 天到 298 天之間﹒

]

5. 某國中對全校 1000 名國一新生做智力(IQ)測驗﹐測驗結果IQ分數呈現常態分布﹐其平均數μ=111﹐ 標準差σ = ﹒ 11

(1) 分數不到 100 分的約有幾人？

(2) 分數超過 111 而未滿 133 的約有幾人？

(3)甲班 50 名學生中沒有人的分數超過 144﹐但乙班卻有﹐你覺得這樣的分班公平嗎？

IQ IQ

答案 (1)160 人;(2)475 人;(3)公平

12

解析

(1) 100 111 11= − 為μ σ− 的位置﹐如圖﹐100 分以下的 人所佔比例為 68 1 16

1 100 2 100

⎛ − ⎞× =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ﹐

所以分數不到 100 分的人約有 16 1000 160

×100= （人）﹒

(2)分數超過 111 而未滿 133 代表高於平均數μ而未滿μ⁺2σ﹐如圖﹐μ到μ⁺2σ 之 間所佔比例為 95 1 47.5

100× =2 100 ﹐

所以超過 111 而未滿 133 的約有 47.5 1000 475

×100 = （人）﹒

(3)超過 144 分代表高於μ+3σ ﹐根據法則﹐此區域佔全體學生的 99.7 1 0.15

1 100 2 100

⎛ − ⎞× =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ﹐

即全校 1000 人中僅有 1.5 人（1 到 2 人）分數超過 144﹐

只是恰好出現在乙班﹐故分班不算是不公平﹒

6. 某報對總統施政滿意度進行調查﹐報導如下：

「滿意度為六成四﹒本次調查共成功訪問 900 位臺灣地區 20 歲以上的成年民眾﹒在 95％的信心水 準下﹐抽樣誤差為正負 3.2 個百分點﹒」

(1)這項調查的母體是什麼？樣本數為多少？

(2)受訪者中對總統施政滿意者約有多少人？

(3)算出這次調查的信賴區間﹒

答案 (1)母體是臺灣地區 20 歲以上的成年民眾﹐樣本有 900 個;(2)576 人;(3)

[

0.608 , 0.672

]

解析 (1)母體是臺灣地區 20 歲以上的成年民眾﹐抽出的樣本有 900 個﹒

(2)在 900 位受訪者當中﹐滿意度為六成四﹐即回答滿意者約有 64 900 576

×100= （人）﹒ (3)在 95％的信心水準下﹐抽樣誤差為正負 3.2 個百分點﹒

信賴區間為「估計值 誤差界限」± ﹐即

[

0.64 0.032 , 0.64− +0.032

] [

= 0.608 , 0.672

]

﹒

7. 民調公司做總統大選支持度調查﹐成功訪問了 1100 位合格選民﹐其中有 605 位表示支持甲候選人﹒

(1)求甲候選人支持比例﹒

(2)在 95％的信心水準下﹐這次調查的正負誤差是多少個百分點？

(3)計算 95％的信賴區間﹒

13

答案 (1)0.55;(2)3;(3)

[

0.52 , 0.58

]

解析 (1)在 1100 位受訪者當中﹐有 605 位表示支持﹐即甲候選人的支持率 605 ˆ 0.55 p=1100= ﹒ (2)在 95％的信心水準下﹐誤差範圍是

l

( )

¹ l ^0.55

(

^{1 0.55}

)

2 2 2 0.015 0.03

1100

p p

n

− × −

± = ± = ± × = ± ﹐

這次調查的抽樣誤差為正負 3 個百分點﹒

(3)95％信賴區間為

[

0.55 0.03 , 0.55 0.03− +

] [

= 0.52 , 0.58

]

﹐

有 95％的信心﹐甲候選人真正的支持率會在 52％到 58％之間﹒

8. 班聯會以問卷調查全校學生對「可以不穿制服到校」議題的支持度﹐回收有效問卷 400 張﹐其中贊 成者 320 張﹒

(1)求贊成比例﹒

(2)在 95％的信心水準下﹐這次調查的正負誤差是多少個百分點？

(3)計算 95％的信賴區間﹒

答案 (1)0.8;(2)4;(3)

[

0.76 , 0.84

]

解析 (1)在 400 張有效問卷當中﹐有 320 張表示贊成﹐即贊成的比率 l 320 400 0.8

p= = ﹒

(2)在 95％的信心水準下﹐誤差範圍是

l

( )

¹ l 0.8

(

1 0.8

)

2 2 2 0.02 0.04

400

p p

n

− × −

± = ± = ± × = ± ﹐

這次調查的抽樣誤差為正負 4 個百分點﹒

(3)95％信賴區間為 l

l

( )

¹ l

_{[ ]}

2 0.8 0.04 0.76 , 0.84

p p

p n

± − = ± = ﹒

9. 某銀行於農曆春節發行即時樂彩券﹐並宣稱中獎率為 36％（發行 100 萬張﹐計有 36 萬個獎項）﹒若 想推論這個數據是否屬實﹐在 95％的信心水準及抽樣誤差正負 4 個百分點的條件下﹐應隨機採樣多 少張樣本？

答案 576

解析 中獎率 lp=0.36﹐在 95％的信心水準下﹐正負誤差為 0.36 1 0.36

( )

2 0

n

± − =± .04﹐

整理成 36 64 2 6 8

2 4 4

n n

× × ×

= ⇒ = 得 n =24⇒ =n 576﹒

10. 為了驗證一枚古硬幣是否為勻稱的硬幣﹐某人做了多次的投擲試驗﹐並發表推論如下：

「我們有 95％的信心認為此硬幣出現正面的機率是 36％到 44％之間」﹒

14

試求此實驗中﹐共投擲了幾次硬幣？其中出現幾次正面？

答案 600﹐240

解析 設共投擲了硬幣 n 次﹒

因為 36％到 44％的機率可以表為 40％± 4％﹐所以出現正面機率 ％﹐

正負誤差 4 個百分點﹒由公式

lp=40

( )

0.4 1 0

2 n

− .4 =0.04⇒ =n 600﹒

其中正面出現次數為 40 600 240

×100= （次）﹒

11. 利用隨機號碼表﹐模擬丟一個勻稱硬幣 25 次﹐

(1)算出樣本中出現正面的比例﹒

(2)求出 95％的信賴區間﹐並檢查是否包含母體比例 0.5？

答案 (1)0.36;(2)

[

0.168 , 0.552 ﹐是

]

解析 勻稱的硬幣出現正反面的機率都是 0.5﹐因此將 0 到 9 的數字分成兩半：例如奇數代表出現 正面﹐偶數代表出現反面﹒今指定由第 3 列第 11 行起﹐由左到右讀取數字﹐模擬投擲硬幣 25 次如下：

1 29280 39655 18902 92531 90374 07109 26627 59587 84340 98351 2 20123 82082 55477 22059 43168 12903 13436 25523 21090 73449 3 66405 35287 33248 67657 07702 01474 66068 01125 59258 30138 4 97299 83419 13069 17826 76984 48906 10567 17829 00723 46700 5 83923 92076 98880 33942 46841 58731 36513 16681 88722 61984

起始位置 第 3 列第 11 行

讀取數字 3 3 2 4 8 6 7 6 5 7

正反面記號 + + − − − − + − + +

讀取數字 0 7 7 0 2 0 1 4 7 4

正反面記號 − + + − − − + − + −

讀取數字 6 6 0 6 8

正反面記號 − − − − −

(1)正面出現 9 次﹐所以 25 個樣本中出現正面的比例 lp=0.36﹒

(2)計算 l

l

( )

¹ l 0.36 0.64

2 0.36 2 0.36 0.192 25

p p

p n

− ×

± = ± = ±

得 95％的信賴區間為

[

0.36 0.192 , 0.36− +0.192

] [

= 0.168 , 0.552

]

母體真正的比例（出現正面的機率）為 0.5﹐模擬所得 95％的信賴區間

[

0.168 , 0.552 包

]

含 0.5 這個數值﹒

15

12. 甲與另一名候選人共同參選角逐里長﹐其競選團隊有如下的調查結果，分別求 95％的信賴區間﹒：

(1)隨機抽樣 25 人﹐其中有 16 人對甲表示支持﹒

(2)隨機抽樣 100 人﹐其中有 64 人對甲表示支持﹒

答案 (1)

[

0.448 , 0.832 ;(2)

] [

0.544 , 0.736

]

解析 (1)在 25 位受訪者當中﹐有 16 位表示支持﹐即甲候選人的支持率 l 16 25 0.64

p= = ﹒

95％的信賴區間： l

l

( )

¹ l 0.64

(

1 0.64

)

2 0.64 2

25

p p

p n

− × −

± = ± × =0.64± ×2 0.096 得

[

0.64 0.192 , 0.64− +0.192

] [

= 0.448 , 0.832

]

﹒

(2)在 100 位受訪者當中﹐有 64 位表示支持﹐甲的支持率為 l 64 100 0.64

p= = ﹒

95％的信賴區間： l

l

( )

¹ l 0.64

(

1 0.64

)

2 0.64 2

100

p p

p n

− × −

± = ± =0.64± ×2 0.048 得

[

0.64 0.096 , 0.64− +0.096

] [

= 0.544 , 0.736

]

﹒

13. 一項民意調查發現樣本中有 60％的人贊成賭博合法化﹒若此比例來自下列各樣本數 n ﹐求其 95％的 信賴區間﹒(1)n=600﹒ (2)n=2400﹒

答案 (1)

[

0.56 , 0.64

]

^;(2)

[

0.58 , 0.62

]

解析 (1)n=600﹐則 95％信賴區間為 l l

( )

¹ l ^0.6

(

^{1 0.6}

)

2 0.6 2

600

p p

p n

− × −

± = ± =0.6± ×2 0.02 =

[

0.56 , 0.64

]

﹒ (2)n=2400﹐則 95％信賴區間為

l l

( )

¹ l ^0.6

(

^{1 0.6}

)

2 0.6 2

2400

p p

p n

− × −

± = ± =0.6± ×2 0.01=

[

0.58 , 0.62

]

﹒

14. 魏氏成人智力量表是一種普遍使用的 測驗﹐16 歲以上的人﹐其 分布約為平均數 100﹐標準差

15 的常態分布﹒利用 規則回答下列問題：

(1)隨機選擇一個 16 歲以上的人﹐他的 分數在 130 以上的機率是多少？

(2)1000 個 16 歲以上的人中﹐約有多少人的 分數在 85 以上？

IQ IQ

68 95 99.7− − IQ

IQ 答案 (1)0.025;(2)840

解析 (1)130 100 15 2= + ⋅ 為μ+2σ 的位置﹐所以隨機選擇一個 16 歲以上的人﹐

其 IQ 分數在 130 以上的機率是¹

(

^{1 0.95}

)

^0.025

2 − = ﹒

16

(2)85 100 15= − 為μ σ− 的位置﹐所以IQ分數在 85 以上的機率是1 1

0.68 0.84 2+ ⋅2 = ﹐ 1000 個 16 歲以上的人﹐有1000 0.84⋅ =840人的IQ分數在85以上﹒

15. 在「是否贊成將民國年號改成西元年號」的民意調查結果如下：

「共成功訪問 900 位臺灣地區 20 歲以上民眾﹐其中不贊成的民眾有 576 人」﹒ (1)受訪者中不贊成改民國年號的比例為多少？

(2)在 95％的信心水準之下﹐此次抽樣的正負誤差為多少百分點？

(3)算出 95％的信賴區間﹒

答案 (1)0.64;(2)3.2;(3)

[

0.608 , 0.672

]

解析 (1)在 900 位受訪者當中﹐有 576 位表示不贊成﹐不贊成的比例為 l 576 900 0.64

p= = ﹒

(2)在 95％的信心水準下﹐誤差範圍是 l

( )

¹ l 0.64

(

1 0.64

)

2 2 2 0.016 0.032

900

p p

n

− × −

± = ± = ± × = ± ﹐

調查的抽樣誤差為正負 3.2 個百分點﹒

(3)95％信賴區間為 l

l

( )

¹ l

_{[ ]}

2 0.64 0.032 0.608 , 0.672

p p

p n

± − = ± = ﹒

16. 富邦銀行委託民調公司調查發現：「約有 65％的臺灣地區民眾在過去一年中曾購買過樂透彩券﹐且有 95％的信心認為其誤差在正負 2.5 個百分點之內﹒」試計算：

(1)民調公司抽查的樣本約為多少人？

(2)樣本中曾購買過樂透彩券的約有多少人？

(3)我們可以有 95％的信心認為曾購買過樂透彩券的民眾比例在多少到多少之間？

答案 (1)1456;(2)946;(3)

[

0.625 , 0.675

]

解析 (1)在過去一年中曾購買過樂透彩券的民眾比例 lp=0.65﹐ 在 95％的信心水準下﹐正負誤差為 ^0.65

(

^{1 0.65}

)

2 0

n

± × − =± .025

整理成 65 35

2 2.5 n 1456 n

× = ⇒ = ﹐故抽樣人數 1456 人﹒

(2)樣本中曾購買過彩券的人約有1456 0.65× =946人﹒

(3)95％的信賴區間為^0.65±^0.025=

[

0.625 , 0.675

]

﹒

17. 針對臺灣地區的詐騙電話做調查後發現：「有 95％的信心認為約有 70％到 76％的人曾接過詐騙電 話」﹒

17

(1)此次調查約抽樣多少人？ (2)樣本中曾接過詐騙電話的約有多少人？

答案 (1)876;(2)639

解析 (1)設這次調查抽樣 人﹒ n

因為 70％到 76％的機率可以表為 73%±3%﹐所以有 的人曾接過詐騙電話﹐

正負誤差 3 個百分點﹒由公式得到

lp=73%

( )

0.73 1 0.73

2 0.03 n

n

− = ⇒ = 876 ﹒

(2)其中曾接過詐騙電話的人約有 73 876 639

×100≈ （人）﹒

18. 根據數學 SAT 考試規定﹐該項測驗的總分如果超過 800 分﹐一律以 800 分記錄﹒已知今年 SAT 考試 呈現常態分布﹐其平均 560﹐標準差 120﹒試求：約有多少比例的考生會收到 800 分的成績單？

答案 2.5％

解析 800=560+ ⋅2 120為μ+2σ 的位置﹐所以有¹

(

^{1 0.95}

)

^0.025

2 − = 的考生原始成績是超過 800 分的﹐即約有 2.5％的考生會收到 800 分的成績單﹒

19. 丟硬幣的試驗中﹐硬幣出現正面的比例呈常態分布（平均數為 p 時﹐標準差為 ^p

(

^{1 p}

)

n

− ）﹒今丟一

個勻稱的硬幣 100 次﹐其中出現正面的比例為 lp ﹒依常態分布規則﹐求 lp≥0.6的機率﹒

答案 2.5％

解析 丟一個硬幣 100 次﹐其母體平均數 p 為 0.5﹐標準差為

(

¹

)

^{0.5 1 0.5}

( )

100 0.05

p p

σ = n⁻ = ⁻ = ﹒

因為0.6=0.5+ ×2 0.05﹐即μ+2σ 的位置﹐ lp≥0.6即 lp 落在μ+2σ 以上的範圍﹐

依 68−95 99.7− 規則﹐機率為1 95%

2 2.5%

− = ﹒

20. 某班 位同學﹐月考數學成績平均為 分﹐標準差為 5 分﹒若成績為常態分配﹐則 (1)成績在

65

^到

75

分之間者約有多少人﹖

(2)成績在

60

^到

80

分之間者約有多少人﹖

40 70

答案 (1)27;(2)38

解析 (1)

65

到

75

分為距平均數 1 個標準差﹐約有

68%

的成績落在此區間內﹐

即約有 68

40 27.2 27

×100= ≈ ^（人）﹒

(2)在 到

80

分為距平均數 2 個標準差的地方﹐約有 的成績落在此區間內﹐

即約有

60 95%

40 95 38

×100= （人）﹒

18

21. 某校有學生

1000

位﹐某次數學段考成績呈常態分布﹐平均成績

72

^{分﹐標準差}12分﹒

(1)此次數學段考不及格（

60

分以下）的學生約有幾位﹖

(2)成績超過 分的約有幾位﹖

(3)某生成績 分﹐他在全校大約排第幾名﹖

96 84

答案 (1)160;(2)25;(3)160

解析 (1)成績平均

72

分﹐標準差 12 分的常態分布﹐60 分在平均數以下 1 個標準差的地方﹐

由常態分布﹐約有

68%

的成績在區間

[ 72 12,72 12 − + ] [ = 60,84 ]

之間﹒

即成績落在 60 分以下及 84 分以上合占

32%

﹐由對稱性知 60 分以下與 84 分以上 各占

16%

﹐也就是大約有 160 人數學成績不及格﹒

(2)成績落在區間

[ ^{72 − × 2 12,72 + × 2 12} ]

^{者約占 ﹐也就是大約有 的學生成績在}

48 分以下或 96 分以上﹐由對稱性知成績在 96 分以上者約占 ﹐也就是大約有 25 位學生成績在 96 分以上﹒

(3)成績 84 分為平均數以上 1 個標準差的地方﹐由(1)的討論知他大約排在第 160 名左右﹒

95% 5%

2.5%

22. 某社團將進行社長選拔﹐候選人阿美的支持團隊所做民意調查發現﹕阿美的支持度為

55%

﹐接受調 查的有效樣本為 人﹒

(1)求在

95%

的信心水準下﹐此抽樣的誤差範圍﹒

(2)求

99

阿美所獲支持率的

95%

信賴區間﹒

答案 (1)±10%;(2)[0.45, 0.65]

解析 (1)在

95%

的信心水準下﹐誤差範圍是

l

( )

¹ l

( )

n

− 0.55 1 0.55

2 2 2 0.05 0.1

99

p p × −

± = ± = ± × = ± ^{﹒抽樣的正負誤差為} ﹒

(2) 信賴區間為

[

± 10%

95% 0.55 0.1,0.55 − + 0.1 ] [ = 0.45,0.65 ]

﹒

23. 從台北市隨機抽樣

400

人﹐詢問是否贊成週休 3 日制﹐結果有

256

人贊成﹐求台北市對週休 3 日制 的贊成比率及

95%

的信賴區間﹒

答案 0.64﹐[0.592, 0.688]

解析 贊成比率256

400=0.64﹒

誤差範圍

l

( )

¹ l ^0.64

(

^{1 0.64}

)

2 2 2 0.024 0.048

400

p p

n

− × −

± = ± = ± × = ± ﹒

故

95%

^{的信賴區間為}

[ ^0.64 − ^0.048,0.64 + ^0.048 ] [ = 0.592,0.688 ]

﹒

19

24. 某縣縣長施政滿意度的調查報導如下﹕「滿意度為六成﹒本次調查共成功訪問該縣

600

^{位成年民眾﹒}

在

95%

的信心水準下﹐抽樣誤差為正負 4 個百分點﹒」

(1)這項調查的母體是什麼﹖樣本數為多少﹖(2)受訪者中對縣長施政滿意者約有多少人﹖

(3)算出這次調查的信賴區間﹒

答案 (1)成年民眾﹐600;(2)360;(3)[0.56, 0.64]

解析 (1)母體是該縣成年民眾﹐抽出的樣本有

600

個﹒

(2)在 600 位受訪者當中﹐滿意度為六成﹐即回答滿意者約有 60

600 360

×100 = （人）﹒ (3)在

95%

的信心水準下﹐抽樣誤差為正負 4 個百分點﹒

信賴區間為

[ ^{0.6 − 0.04,0.6 + 0.04} ] [ ^{= 0.56,0.64} ]

^﹒

25. 某男校學務處進行「是否贊成招收女生」的意見調查﹐結果回收有效問卷

1600

張﹐其中贊成者

1280

張﹒

(1)求贊成比例﹒(2)在

95%

的信心水準下﹐這次調查的正負誤差是多少個百分點﹖

(3)計算

95%

的信賴區間﹒

答案 (1)0.8;(2)2;(3)[0.78, 0.82]

解析 (1)在 1600 張問卷中﹐有 1280 張表示贊成﹐贊成率為l 1280 0.8 p=1600 = ﹒ (2)在

95%

的信心水準下﹐誤差範圍是

l

( )

¹ l

( )

n

− 0.8 1 0.8

2 2 2 0.01 0.02

1600

p p × −

± = ± = ± × = ± ﹒

(3)

^95%

信賴區間為

[ 0.8 0.02,0.8 − + 0.02 ] [ = 0.78,0.82 ]

﹒

26. 食品檢驗單位對傳言的問題魚類發表檢驗結果如下﹕「我們有

95%

的信心認為此魚類合格率在 到

64%

^之間」﹒試求此檢驗中﹐共檢驗了多少魚類樣本﹖

56%

答案 600

解析 設共檢驗了 個魚類樣本﹒ n

因為

56%

到

64%

^{的機率可以表為}

60% ± 4%

﹐所以檢驗合格機率 ﹐ 正負誤差 4 個百分點﹒由公式得到

l

p

= 60%

( )

0.6 1 0.6

2 0.04 n 600

n

− = ⇒ = ﹒

27. 某人丟一個硬幣﹐宣稱「我有 的信心認為此硬幣出現正面的機率為 到 之間」﹒求 (1)誤差範圍是正負多少個百分點﹖(2)此試驗中此人共丟硬幣幾次﹖其中硬幣出現正面幾次﹖

95% 45% 55%

答案 (1)5;(2)400﹐200

解析 (1)

45%

到

55%

^的機率為

50% ± 5%

﹐出現正面機率

l

p

= 50%

﹐正負誤差為 5 個百分點﹒

(2)由公式得到 ^{0.5 1 0.5}

( )

2 0.05 n 40

n

− = ⇒ = 0﹒ 又 50

400 200

×100 = （次）﹒

20