高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期:97.01.20 班級 三年 班
範 圍
Book4
信賴區間 座號
姓 名 一、單選題 ( 6 題 每題 10 分 )
( ) 1. 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.24 分﹐樣本標準差是 5.24 分﹐而且已知 成績分布呈現常態分配﹒試問全校約有多少人數學成績低於 60 分? (註:常態分配中﹐
數據落在平均數的一個、二個、三個標準差範圍內之比例分別為 68 、 95 、 99 ) (1)約 80 人 (2)約 160 人 (3)約 240 人 (4)約 320 人 (5)約 400 人﹒
% % .7%
答案 2 解析
平均數x=65.24﹐標準差s=5.24
[ ]
, 60, 70.48 x s x s
⎡ − + ⎤=
⎣ ⎦ 之間約佔 68%
1000 68%× =680(人)且常態分配為對稱圖形
∴1000 680 2 160
− = (人)
故約有 160 人低於 60 分﹒
( ) 2. 某校二年級學生有 2000 人﹐第二次月考的數學成績符合常態分配﹐若成績的平均數為 51 分﹐變異數為 9 分﹐則請問及格人數約多少人? (1)500 (2)6 (3)3 (4)640 (5)320 人﹒
(請參考下圖數據回答)
答案 3
解析 平均數x=51分﹐變異數s2=9 ⇒ 標準差s= 3
(
x−3 ,s x+3s)
之間約佔 99及格表
.7%
3
x+ s以上佔0.15%,∴及格人數有2000 0.15%× = (人)﹒ 3
( ) 3. 若某校 1000 位學生期末考數學成績的平均數是 50 分﹐標準差是 10 分﹐且成績呈常態分配﹐
則成績介於 40~70 分的約有幾人?
(1)約 680 人 (2)約 750 人 (3)約 815 人 (4)約 950 人 (5)約 997 人﹒)
1
答案 3 解析
( )
1 95% 68% 13.5%
2 − =
∴40~70 分之間約有
( )
1000× 95% 13.5%− =815(人)
( ) 4. 根據一項民意調查﹐發現有 60 的人贊成賭博合法化﹐在 95%的信心水準下信賴區間為
﹐則抽樣的樣本數 n (1)100 人 (2)300 人 (3)600 人 (4)2400 人 (5)3000 人﹒
%
[
0.56, 0.64]
答案 3
解析 設此次調查抽樣 n 人,信賴區間
[
0.56, 0.64 可表為 0.6]
± ×2 0.02 故l
( )
1 l 0.6 0.4 0.6 0.4( )
22 2 0.04 0.02
p p
n n n
− × ×
± = ± = ± ⇒ = , 0.6 0.4
0.02 0.02 600
n ×
= =
× (人)﹒
( ) 5. 臺灣之光王建民在美國大聯盟的職棒比賽表現優異頻頻獲勝﹒一項電訪發現有 70%的人認為 王建民必可穩登勝投王﹐在 95%的信心水準下﹐信賴區間為
[
0.68, 0.72 ﹐則訪問的樣本數]
最接近 (1)2100 人 (2)3000 人 (3)3500 人 (4)400 人 (5)10000 人﹒
答案 1
解析 設此次調查抽樣 n 人,信賴區間
[
0.68, 0.72 可表為 0.7]
± ×2 0.01 故l
( )
1 l 0.7 0.3 0.7 0.3( )
22 2 0.02 0.01
p p
n n n
− × ×
± = ± = ± ⇒ = , 0.7 0.3
0.01 0.01 2100
n= × =
× (人)﹒
( ) 6. 臺北市計程車費率漲價幅度頗高﹐消基會為此進行簡單隨機電話抽樣訪問臺北市民以測知民 眾反對此事的比例﹐先試查 200 個樣本﹐發覺反對漲價的有 120 人,在 95%的信心水準下最 大誤差為 2 個百分點﹐則所需訪問人數最接近﹒
(1)1000 人 (2)2000 人 (3)2400 人 (4)5000 人 (5)10000 人﹒
答案 3
解析 設此次調查抽樣 n 人, l 120 200 0.6 p= =
l
( )
1 l 0.6 0.4 0.6 0.4( )
22 2 0.02 0.01
p p
n n n
− × ×
± = ± = ± ⇒ = 0.6 0.4
0.01 0.01 2400
n ×
⇒ = =
× (人)﹒
二、複選題 (7 題 每題 5 分 )
( ) 1.2
右圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖(圖中百分 比數字代表各體重區間的相對次數﹐其中各區間不包含左 端點而包含右端點)﹒該 100 名婦女體重的平均數為 55 公 斤﹐標準差為 12.5 公斤﹒曲線 N 代表一常態分布﹐其平均 數與標準差與樣本值相同﹒在此樣本中﹐若定義「體重過 重」的標準為體重超過樣本平均數 2 個標準差以上(即體 重超過 80 公斤以上)﹐則下列敘述哪些正確?
(1)曲線 N (常態分布)中﹐在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%
(2)曲線 N (常態分布)中﹐在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%
(3)該樣本中﹐體重的中位數大於 55 公斤
(4)該樣本中﹐體重的第一四分位數大於 45 公斤
(5)該樣本中﹐「體重過重」(體重超過 80 公斤以上)的比例大於或等於 5%﹒
答案 1245 解析
(1)○:常態分布 (2)○
(3)╳:∵體重 35~45 佔 20%
45~55 佔 33%
55 公斤以下佔 53%
∴中位數<55
(4)○:∵體重 35~45 佔 20%
∴第一四分位數>45 (5)○
( ) 2. 國際油價不斷向上攀升﹐屢創新高﹐帶動民生物資連連看漲﹒消基會做了一項民意調查﹐成 功訪問了 1100 位民眾﹐其中有 605 位認為已影響了生活﹒在 95%的信心水準下下列選項何 者為真? (1)影響比例為 0.61 (2)影響比例為 0.55 (3)正負誤差為 2 個百分點 (4)正負誤差為 3 個百分點 (5)信賴區間為
[
0.52, 0.58 ﹒]
答案 245
解析 影響比例 l 605 1100 0.55
p= =
在 95%的信心水準下誤差範圍為
l
( )
1 l 2p p
n
± − 0.55 0.45
2 2 0.015 0.03 1100
= ± × = ± × = ± ﹐
表示抽樣誤差為正負 3 個百分點,信賴區間為0.55 0.03± =
[
0.52, 0.58]
﹒3
( ) 3. 教育部擬將第二外國語列入高中選修課程﹐班聯會以問卷調查學生的支持度﹒隨機抽取 400 人﹐其中贊成者有 320 人﹐在 95%的信心水準下﹐下列選項何者為真?
(1)贊成比例為 80% (2)正負誤差為 3 個百分點 (3)正負誤差為 4 個百分點 (4)信賴區間為
[
0.77, 0.83 (5)信賴區間為] [
0.76, 0.84 ﹒]
答案 135
解析 (1)贊成比例 l 320
0.8 80%
p=400= =
(2)在 95%的信心水準下誤差範圍為
l
( )
1 l 2p p
n
± −
0.8 0.2
2 2 0.02 0.04 400
= ± × = ± × = ± ﹐抽樣誤差為正負 4 個百分點
(3)信賴區間為0.8 0.04± =
[
0.76,0.84]
﹒( ) 4. 詐騙集團詐騙手法不斷翻新﹐民眾在貪小便宜的心理下也頻頻受騙﹒針對臺灣地區的詐騙電 話做調查後發現﹐約有 73%的人曾接過詐騙電話﹒在 95%的信心水準下﹐正負誤差為 3 個 百分點﹐下列各選項何者為真?
(1)此次調查 900 人 (2)此次調查 876 人
(3)樣本中約有 657 人曾接過詐騙電話 (4)信賴區間為
[
70%,76%]
(5)以上皆非﹒
答案 24
解析 設此次調查共有 n 人
(1)
l
( )
1 l 0.73 0.27 0.73 0.27(
22 2 0.03 0.015
p p
n n n
− ± × = ± ⇒ × =
)
± =
0.73 0.27 0.015 0.015 876
n ×
⇒ = =
× (人)
(2) , 約有 639 人曾接過詐騙電話 (3)信賴區間為 0
876 73%× =639.48
.73±0.03 =
[
0.70,0.76] [
= 70%,76%]
( ) 5. 高鐵通車後﹐縮短了南北的距離﹒高鐵公司為了解乘客搭乘的滿意度﹐於各車廂放置意見箱﹐
有效回收 1060 份意見表﹐其中 424 份覺得非常滿意﹐在 95%的信心水準下﹐下列選項何者 為真?
(1)非常滿意的比例為 40%
4
(2)正負誤差為 4 個百分點 (3)正負誤差為 3 個百分點 (4)信賴區間為
[
0.37, 0.43]
(5)信賴區間為
[
0.43, 0.46 ﹒]
答案 134
解析 (1)滿意的比例為 l 424
0.4 40%
p=1060= = ﹒
(2)誤差範圍
l
( )
1 l 0.4 0.62 2
1060
p p
n
− ×
± = ± ≒ 0.03 , 表示抽樣誤差為 3 個百分點﹒ ± (3)信賴區間為0.4±0.03=
[
0.37,0.43]
﹒( ) 6. 某校有學生 800 位﹐數學段考成績呈現常態分布﹐平均 65 分﹐標準差 5 分﹒下列各選項何 者為真?(1)不及格的學生約有 128 人
(2)成績超過 75 分的學生約有 20 人
(3)某生成績 70 分﹐在全校大約排第 128 名 (4)某生成績 80 分應為前 3 名
(5)60 分至 70 分之間共有 544 人﹒
答案 12345 解析
(1)○:60 分至 70 分之間約佔 68%﹐60 分以下佔16%
∴不及格約有 800 人 16% 128× = (人)﹒
(2)○:75 分位於x+2s﹐75 分以上約佔 2.5%
∴ 800 2.5%× =20(人)﹒
(3)○:70 分以上與 60 分以下人數相同 ∴70 分排名第 128 名﹒
(4)○:80 分位於x+3s﹐80 分以上約佔 0.15%﹐
∴ 800 0.15%× ≒1.2(人)表示 80 分為前 3 名 (5)○: 800 0.68× =544(人)﹒
( ) 7. 下列哪些是常態分布曲線的特性?
(1)曲線呈對稱的鐘型 (2)平均數與中位數相等
(3)約有 50%的數值落在平均數左右各 1 個標準差的範圍內 (4)約有 95%的數值落在平均數左右各 2 個標準差的範圍內 (5)幾乎大多的數值都落在平均數左右各 3 個標準差的範圍內﹒
答案 1245
5
解析 答案為(1)(2)(4)(5)﹒
三、填充題 ( 每格 5 分)
1. 某次考試班上 40 名學生﹐平均 72 分﹐標準差 6 分﹐若此次考試成績為常態分布﹐求不及格人數應 該是____________人﹒
答案 1
解析 平均數x=72分﹐標準差s=6分 不及格表x−2s以下佔
∴不及格人數應有 4 (人)﹒ 2.5%
0 2.5%× =1
2. 某校高二學生 800 位﹐第二次段考數學成績呈常態分布﹐已知平均成績為 70 分﹐標準差為 5 分﹐請 概估(1)此次段考不及格的學生約有____________人﹒
(2)小謙考了 75 分﹐大約排第____________名﹒
答案 (1)20;(2)128
解析 (1)平均數x=70﹐標準差s=5
不及格表x−2s以下﹐約佔2.5%, ∴不及格人數約有800×2.5%=20(人)﹒
(2)75 分表 x+ 以上﹐約佔16 , ∴800s % ×16%=128(人), 故考 75 分大約排第 128 名﹒
3. 某校有學生 1000 名﹐參加「字音字形」競賽﹐已知成績呈常態分布﹐平均成績 70 分﹐標準差 10 分﹐請概估(1)此次比賽成績未達 60 分者﹐約有____________人﹒
(2)成績超過 90 分的有____________人﹒
(3)志玲成績 80 分﹐大約排第____________名﹒
答案 (1)160;(2)25;(3)160
解析 (1)平均數x=70分 標準差 s =10分
不及格表 x− 以下﹐約佔16 , ∴不及格人數約有1s % 000 16%× =160(人)﹒ (2)超過 90 分表x+2s以上﹐佔 , ∴超過 90 分者約有100 (人)﹒ (3)80 分表
2.5% 0 2.5%× =25
x+ 以上﹐約佔16 , ∴1s % 000 16%× =160(人),故考 80 分大約排第 160 名﹒
4. 參加期末考試的學生有 1000 位﹐已知全體數學成績平均為 65 分﹐標準差為 15 分﹐且成績呈常態分 配﹐則成績高於 80 分的大約有____________人﹒
答案 160
解析 因x=65﹐s=15﹐得k =1﹐
80 分表 x+ 以上,約佔 16%,∴1000 16% 160s × = (人),故考 80 分以上大約 160 人﹒
5. 新生入學 1000 人作 IQ 測驗﹐若成績呈現常態分布﹐平均分數是 100 分﹐標準差 15 分﹐則
6
(1)IQ 成績在 85 分以下的約有____________人﹒
(2)IQ 成績在 85 分~115 分之間的約有____________人﹒
(3)IQ 成績在 130 分以上的約有____________人﹒
答案 (1)160;(2)680;(3)25
解析 (1)85 分位於 x s− , 85 分以下﹐約佔16 , ∴約有1000 人% ×16%=160(人)﹒ (2)85 分~115 分即⎡ −⎣x s x, +s⎤⎦ 之間﹐約佔68 ﹐約有 1000 人% ×68%=680(人)﹒ (3)130 分以上﹐約佔2.5%, 共有 1000 人×2.5%=25(人)﹒
6. NBA籃球巨星姚明旋風似的訪問臺灣﹐帶動了全校籃球的運動風氣﹐某體育老師為測驗同學投籃的 準確度於全校任意挑選 50 位同學在罰球線跳投﹐結果有 23 位同學命中﹐在 的信心水準下﹐投 籃準確度的信賴區間為___________﹒在 的信心水準下﹐投籃準確度的信賴區間為___________﹒
95%
68%
答案 (1)
[
0.32, 0.60]
;(2)[
0.39,0.53]
解析 (1)命中率 l 23 50 0.46
p= = , 正負誤差
l
( )
1 l 0.46 0.542 2 2 0.07
50
p p
n
− ×
± = ± = ± × = ±0.14 信賴區間為
(2)信賴區間為 ﹒
[ ]
0.46±0.14= 0.32,0.60
[ ]
0.46±0.07= 0.39, 0.53
7. 臺灣有意自美國引入愛國者飛彈﹐該型飛彈素以攔截地對地飛彈著名﹐今在一次實彈演習中﹐40 顆 愛國者型飛彈成功攔截了 28 顆的地對地飛彈﹐試問
(1)成功攔截機率的估計值為____________﹒
(2)成功攔截機率 95%的信賴區間為____________﹒
答案 (1)0.7;(2)
[
0.555, 0.845]
解析 (1) l 28 40 0.7
p= = ﹒
(2)95%的信賴區間為 l l
( )
1 l 0.7 0.32 0.7 2
40
p p
p n
− ×
± = ± =0.7±0.145=
[
0.555, 0.845]
﹒8. 為了解臺北市民對於「週休二日制」的看法﹐隨機抽取 500 位有效樣本﹐結果有 312 位贊成﹐試求 (1)臺北市民贊成週休二日機率的估計值為____________﹒
(2)臺北市民贊成週休二日制的比例之95%信賴區間為____________﹒
答案 (1)0.624;(2)
[
0.581,0.667]
7
解析 (1) l 312
0.624 p=500= ﹒ (2) 95%的信賴區間為
l l
( )
1 l 2p p
p n
± − 0.624 0.376
[ ]
0.624 2 0.624 0.043 0.581, 0.667 500
= ± × = ± = ﹒
9. 班聯會為了解全校學生對於「是否贊成取消髮禁」的看法隨機抽取 400 位同學以問卷調查全校學生﹐
其中贊成取消髮禁之問卷數為 320 張﹐試求 (1)贊成比例為____________﹒
(2)在 95 的信心水準下﹐這次調查的正負誤差為____________﹒
(3) 95 的信賴區間為____________﹒
%
%
答案 (1)0.8; (2)4 個百分點; (3)
[
0.76, 0.84]
解析 (1)贊成比例 lp= 320
400=0.8﹒
(2)95%的信心水準下誤差範圍為
l
( )
1 l 2p p
n
± −
0.8
(
1 0.8)
2 2 0.02 0.04
400
= ± × − = ± × = ± ﹐正負誤差為 4 個百分點﹒
(3)95%的信賴區間為 l l
( )
1 l[ ]
2 0.8 0.04 0.76, 0.84p p
p n
± − = ± = ﹒
10. 某民調公司為了解一般民眾對於「是否將中華民國年號改成西元年號」於晚間七時至九時利用電訪﹐
有效訪問 900 位臺灣地區 20 歲以上民眾﹐其中不贊成的民眾有 576 人﹐試求 (1)受訪者中不贊成改民國年號的比例為____________﹒
(2)在 95 的信心水準下﹐此次抽樣的正負誤差為____________﹒
(3) 95 的信賴區間為____________﹒
%
%
答案 (1)0.64;(2)3.2 個百分點;(3)
[
0.608,0.672]
解析 (1)不贊成的比例為 l 576 900 0.64
p= = ﹒
(2)在 95%的信心水準下﹐誤差範圍為
l
( )
1 l 2p p
n
± −
0.64
(
1 0.64)
2 2 0.016 0.032
900
= ± × − = ± × = ± ﹐正負誤差為 3.2 個百分點﹒
(3)95%的信賴區間為 l
l
( )
1 l[ ]
2 0.64 0.032 0.608, 0.672
p p
p n
± − = ± = ﹒
8
11. 市場調查人員為了解全體市民對首長施政是否滿意﹐進行電話抽樣訪問﹐先試查 300 個樣本﹐發覺 對施政滿意的有 195 人﹐在 95%的信心水準下﹐最大誤差為 2.5 個百分點﹐則所需訪問的人最接近 ___________人﹒
答案 1456
解析 設此次調查抽樣 n 人 l 195 300 0.65 p= = l
( )
1 l 0.65 0.352 2 0.025
p p
n n
− ×
± = ± = ±
( )
20.65 0.35 0.65 0.35
0.0125 1456
0.0125 0.0125 n n
× ×
⇒ = ⇒ = =
× (人)﹒
12. 為了解是否贊成國民義務教育由九年延長至十二年﹐市場調查人員進行隨機電話抽樣訪問﹐在 95%
的信心水準下﹐贊成比例的信賴區間為
[
0.67, 0.73 ﹐試求]
(1)此次抽查的樣本約為____________人﹒
(2)樣本中贊成的約有____________人﹒
答案 (1)933;(2)653
解析 (1)設抽查的樣本約為 人, 信賴區間為n
[
0.67, 0.73 可表為 0.7]
±0.03 得lp=0.7﹐正負誤差 3 個百分點故l
( )
1 l 0.7 0.32 2
p p
n n
− ×
± = ± = 0.03±
0.7 0.3
(
0.015)
2 0.7 0.3 9330.015 0.015 n n
× ×
⇒ = ⇒ = =
× (人)﹒
(2)贊成約有 933 人×0.7=653(人)﹒
13. 市場調查人員針對臺灣地區的詐騙電話做調查後發現:「有 95%的信心認為約有 72%到 78%的人曾 接過詐騙電話」﹐試求
(1)此次調查抽樣約____________人﹒ (2)此樣本中曾接過詐騙電話的約有____________人﹒
答案 (1)833;(2)625
解析 (1)設此次調查抽樣 人 n
∵72%到 78%的機率可表為 75%± 3%, ∴ lp =75%的人曾接過詐騙電話﹐
正負誤差 3 個百分點﹒故
l
( )
1 l 0.75(
1 0.75)
2 2 0.03
p p
n n
− × −
± = ± = ±
0.75 0.25
(
0.015)
2 0.75 0.25 8330.015 0.015 n n
× ×
⇒ = ⇒ = =
× (人)﹒
(2)曾接過詐騙電話的約有 833人×75%=625(人)﹒
14. 有一筆資料已知 ﹐ ﹐則此筆資料之樣本標準差
60
1
i 210
i
x
=
∑
= 60 21
749.75
i i
x
=
∑
= s=____________ ﹐若此資9
料為常態分布﹐則介於x−2 ~s x− 之間約有____________人﹒(此格請填整數﹐即為小數點後四捨s 五入)
答案 (1)0.5;(2)8 解析 (1) 210 7
60 2 x= =
2 2 2
749.75 60 7
2 0.5
1 59
xi nx
s n
− × ⎜ ⎟⎛ ⎞
− ⎝ ⎠
= =
−
∑
= ﹒(2) x 至x−2s約有 95 1
60 28.5
100 2
× × = 人
x 至 x− 約有s 68 1
60 20.4
100 2
× × = 人
∴介於x−2 ~s x− 之間約有 8 人﹒ s
15. 一組資料有 40 筆﹐總和為 1000﹐平方和為 28900﹐請問:
(1)此組資料的平均數為___________﹐標準差為____________﹒
(2)有人算出 40 筆資料中有 20 筆落在區間
[
5, 45 內﹐請問此組資料是否接近常態分布?]
答案 (1)25,10;(2)否 解析
(1)
40
1
1 1000 40 25
i i
x x
n =
=
∑
= =標準差 40 2 2
(
2)
1
1 1 1
28900 40 25 3900 100 10
1 i i 39 39
s x nx
n =
⎛ ⎞
= − ⎝⎜
∑
− ⎟⎠= − × = × = = ﹒(2)若此資料接近常態分布
則落在⎡⎣x−2 ,s x+2s⎤⎦=
[
5, 45]
內的約佔 95%﹐但此組資料僅有2040=50%落在區間
[
5, 45]
∴此組資料不接近常態分布﹒
四、計算題 (59 小題 每小題 10 分 )
1. 某校有學生 800 位﹐數學段考成績呈常態分布﹐平均成績 65 分﹐標準差 5 分﹐請概估
10
(1)此次數學段考不及格的學生約有幾位?
(2)成績超過 75 分的有幾位?
(3)某生成績 70 分﹐他在全校大約排第幾名?
答案 (1)128;(2)20;(3)128 解析
(1)⎡⎣x−s x, +s⎤⎦ 之間約佔 68% 800 68% 544× =
∴不及格人數有1
(
800 544)
1282 − = (人)﹒
(2)75 分以上約佔 2.5% ∴ 800 2.5%× =20(人)﹒
(3)70 分以上人數與 60 分以下人數相同 ∴70 分大約排第 128 名﹒
2. 下列三個變數 x 的常態分布圖形﹐試判斷哪一個的平均數最大?哪一個標準差最大?
答案 (1) f x 、1
( )
f2( )
x 、f3( )
x 的平均數一樣大;(2) f3( )
x 解析1
( )
f x 、 f2
( )
x 、 f3( )
x 的平均數一樣大;3
( )
f x 的標準差最大﹒
3. 從實驗室的數據證實﹐人的睡眠時數呈現常態分布﹐其平均數為 7.5 小時﹐標準差 1 小時﹒根據此 睡眠分布﹐試估計下列各項所佔的人數比例﹒
(1)睡眠時數超過 7.5 小時者﹒
(2)睡眠時數介於 6.5 到 8.5 小時者﹒
(3)睡眠時數不到 8.5 小時者﹒
答案 (1)50%;(2)68%;(3)84%
解析
11
(1)常態分布為左右對稱的分布﹐其平均數在曲線的中 心點﹐所以約有 50%的數值超過 7.5 小時﹒
(2)6.5 到 8.5 小時為與平均數相距 1 個標準差的範圍﹐
根據 68 95 99.7− − 規則﹐約佔 68%的比例﹒
(3)8.5 小時在平均數以上 1 個標準差的地方﹐由圖 知在此數的左邊區域的比例約為 50 68 1 84
100+100× =2 100﹒
4. 人類從受孕到分娩的懷孕期長短不一﹐大致呈現平均數 266 天﹐標準差 16 天的常態分布﹒
(1)約有多少比例的人會在 266 天以內分娩?
(2)根據常態分布規則﹐求中間 95%的人其懷孕天數範圍﹒
答案 (1)50%;(2)234 天到 298 天之間 解析
(1)常態分布為左右對稱的分布﹐其平均數在分布的中心點﹒
所以約有 50%的孕婦在 266 天以內分娩﹒
(2)依 法則﹐95%的人恰好分布在平均數左右兩邊 2 個標準差的範圍內﹐
故懷孕的天數範圍介於區間 68 95 99.7− −
[
266 16 2 , 266 16 2− × + × 之間﹐即 234 天到 298 天之間﹒]
5. 某國中對全校 1000 名國一新生做智力(IQ)測驗﹐測驗結果IQ分數呈現常態分布﹐其平均數μ=111﹐ 標準差σ = ﹒ 11
(1) 分數不到 100 分的約有幾人?
(2) 分數超過 111 而未滿 133 的約有幾人?
(3)甲班 50 名學生中沒有人的分數超過 144﹐但乙班卻有﹐你覺得這樣的分班公平嗎?
IQ IQ
答案 (1)160 人;(2)475 人;(3)公平
12
解析
(1) 100 111 11= − 為μ σ− 的位置﹐如圖﹐100 分以下的 人所佔比例為 68 1 16
1 100 2 100
⎛ − ⎞× =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ﹐
所以分數不到 100 分的人約有 16 1000 160
×100= (人)﹒
(2)分數超過 111 而未滿 133 代表高於平均數μ而未滿μ+2σ﹐如圖﹐μ到μ+2σ 之 間所佔比例為 95 1 47.5
100× =2 100 ﹐
所以超過 111 而未滿 133 的約有 47.5 1000 475
×100 = (人)﹒
(3)超過 144 分代表高於μ+3σ ﹐根據法則﹐此區域佔全體學生的 99.7 1 0.15
1 100 2 100
⎛ − ⎞× =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ﹐
即全校 1000 人中僅有 1.5 人(1 到 2 人)分數超過 144﹐
只是恰好出現在乙班﹐故分班不算是不公平﹒
6. 某報對總統施政滿意度進行調查﹐報導如下:
「滿意度為六成四﹒本次調查共成功訪問 900 位臺灣地區 20 歲以上的成年民眾﹒在 95%的信心水 準下﹐抽樣誤差為正負 3.2 個百分點﹒」
(1)這項調查的母體是什麼?樣本數為多少?
(2)受訪者中對總統施政滿意者約有多少人?
(3)算出這次調查的信賴區間﹒
答案 (1)母體是臺灣地區 20 歲以上的成年民眾﹐樣本有 900 個;(2)576 人;(3)
[
0.608 , 0.672]
解析 (1)母體是臺灣地區 20 歲以上的成年民眾﹐抽出的樣本有 900 個﹒
(2)在 900 位受訪者當中﹐滿意度為六成四﹐即回答滿意者約有 64 900 576
×100= (人)﹒ (3)在 95%的信心水準下﹐抽樣誤差為正負 3.2 個百分點﹒
信賴區間為「估計值 誤差界限」± ﹐即
[
0.64 0.032 , 0.64− +0.032] [
= 0.608 , 0.672]
﹒7. 民調公司做總統大選支持度調查﹐成功訪問了 1100 位合格選民﹐其中有 605 位表示支持甲候選人﹒
(1)求甲候選人支持比例﹒
(2)在 95%的信心水準下﹐這次調查的正負誤差是多少個百分點?
(3)計算 95%的信賴區間﹒
13
答案 (1)0.55;(2)3;(3)
[
0.52 , 0.58]
解析 (1)在 1100 位受訪者當中﹐有 605 位表示支持﹐即甲候選人的支持率 605 ˆ 0.55 p=1100= ﹒ (2)在 95%的信心水準下﹐誤差範圍是
l
( )
1 l 0.55(
1 0.55)
2 2 2 0.015 0.03
1100
p p
n
− × −
± = ± = ± × = ± ﹐
這次調查的抽樣誤差為正負 3 個百分點﹒
(3)95%信賴區間為
[
0.55 0.03 , 0.55 0.03− +] [
= 0.52 , 0.58]
﹐有 95%的信心﹐甲候選人真正的支持率會在 52%到 58%之間﹒
8. 班聯會以問卷調查全校學生對「可以不穿制服到校」議題的支持度﹐回收有效問卷 400 張﹐其中贊 成者 320 張﹒
(1)求贊成比例﹒
(2)在 95%的信心水準下﹐這次調查的正負誤差是多少個百分點?
(3)計算 95%的信賴區間﹒
答案 (1)0.8;(2)4;(3)
[
0.76 , 0.84]
解析 (1)在 400 張有效問卷當中﹐有 320 張表示贊成﹐即贊成的比率 l 320 400 0.8
p= = ﹒
(2)在 95%的信心水準下﹐誤差範圍是
l
( )
1 l 0.8(
1 0.8)
2 2 2 0.02 0.04
400
p p
n
− × −
± = ± = ± × = ± ﹐
這次調查的抽樣誤差為正負 4 個百分點﹒
(3)95%信賴區間為 l
l
( )
1 l[ ]
2 0.8 0.04 0.76 , 0.84
p p
p n
± − = ± = ﹒
9. 某銀行於農曆春節發行即時樂彩券﹐並宣稱中獎率為 36%(發行 100 萬張﹐計有 36 萬個獎項)﹒若 想推論這個數據是否屬實﹐在 95%的信心水準及抽樣誤差正負 4 個百分點的條件下﹐應隨機採樣多 少張樣本?
答案 576
解析 中獎率 lp=0.36﹐在 95%的信心水準下﹐正負誤差為 0.36 1 0.36
( )
2 0
n
± − =± .04﹐
整理成 36 64 2 6 8
2 4 4
n n
× × ×
= ⇒ = 得 n =24⇒ =n 576﹒
10. 為了驗證一枚古硬幣是否為勻稱的硬幣﹐某人做了多次的投擲試驗﹐並發表推論如下:
「我們有 95%的信心認為此硬幣出現正面的機率是 36%到 44%之間」﹒
14
試求此實驗中﹐共投擲了幾次硬幣?其中出現幾次正面?
答案 600﹐240
解析 設共投擲了硬幣 n 次﹒
因為 36%到 44%的機率可以表為 40%± 4%﹐所以出現正面機率 %﹐
正負誤差 4 個百分點﹒由公式
lp=40
( )
0.4 1 0
2 n
− .4 =0.04⇒ =n 600﹒
其中正面出現次數為 40 600 240
×100= (次)﹒
11. 利用隨機號碼表﹐模擬丟一個勻稱硬幣 25 次﹐
(1)算出樣本中出現正面的比例﹒
(2)求出 95%的信賴區間﹐並檢查是否包含母體比例 0.5?
答案 (1)0.36;(2)
[
0.168 , 0.552 ﹐是]
解析 勻稱的硬幣出現正反面的機率都是 0.5﹐因此將 0 到 9 的數字分成兩半:例如奇數代表出現 正面﹐偶數代表出現反面﹒今指定由第 3 列第 11 行起﹐由左到右讀取數字﹐模擬投擲硬幣 25 次如下:
1 29280 39655 18902 92531 90374 07109 26627 59587 84340 98351 2 20123 82082 55477 22059 43168 12903 13436 25523 21090 73449 3 66405 35287 33248 67657 07702 01474 66068 01125 59258 30138 4 97299 83419 13069 17826 76984 48906 10567 17829 00723 46700 5 83923 92076 98880 33942 46841 58731 36513 16681 88722 61984
起始位置 第 3 列第 11 行
讀取數字 3 3 2 4 8 6 7 6 5 7
正反面記號 + + − − − − + − + +
讀取數字 0 7 7 0 2 0 1 4 7 4
正反面記號 − + + − − − + − + −
讀取數字 6 6 0 6 8
正反面記號 − − − − −
(1)正面出現 9 次﹐所以 25 個樣本中出現正面的比例 lp=0.36﹒
(2)計算 l
l
( )
1 l 0.36 0.642 0.36 2 0.36 0.192 25
p p
p n
− ×
± = ± = ±
得 95%的信賴區間為
[
0.36 0.192 , 0.36− +0.192] [
= 0.168 , 0.552]
母體真正的比例(出現正面的機率)為 0.5﹐模擬所得 95%的信賴區間
[
0.168 , 0.552 包]
含 0.5 這個數值﹒
15
12. 甲與另一名候選人共同參選角逐里長﹐其競選團隊有如下的調查結果,分別求 95%的信賴區間﹒:
(1)隨機抽樣 25 人﹐其中有 16 人對甲表示支持﹒
(2)隨機抽樣 100 人﹐其中有 64 人對甲表示支持﹒
答案 (1)
[
0.448 , 0.832 ;(2)] [
0.544 , 0.736]
解析 (1)在 25 位受訪者當中﹐有 16 位表示支持﹐即甲候選人的支持率 l 16 25 0.64
p= = ﹒
95%的信賴區間: l
l
( )
1 l 0.64(
1 0.64)
2 0.64 2
25
p p
p n
− × −
± = ± × =0.64± ×2 0.096 得
[
0.64 0.192 , 0.64− +0.192] [
= 0.448 , 0.832]
﹒(2)在 100 位受訪者當中﹐有 64 位表示支持﹐甲的支持率為 l 64 100 0.64
p= = ﹒
95%的信賴區間: l
l
( )
1 l 0.64(
1 0.64)
2 0.64 2
100
p p
p n
− × −
± = ± =0.64± ×2 0.048 得
[
0.64 0.096 , 0.64− +0.096] [
= 0.544 , 0.736]
﹒13. 一項民意調查發現樣本中有 60%的人贊成賭博合法化﹒若此比例來自下列各樣本數 n ﹐求其 95%的 信賴區間﹒(1)n=600﹒ (2)n=2400﹒
答案 (1)
[
0.56 , 0.64]
;(2)[
0.58 , 0.62]
解析 (1)n=600﹐則 95%信賴區間為 l l
( )
1 l 0.6(
1 0.6)
2 0.6 2
600
p p
p n
− × −
± = ± =0.6± ×2 0.02 =
[
0.56 , 0.64]
﹒ (2)n=2400﹐則 95%信賴區間為l l
( )
1 l 0.6(
1 0.6)
2 0.6 2
2400
p p
p n
− × −
± = ± =0.6± ×2 0.01=
[
0.58 , 0.62]
﹒14. 魏氏成人智力量表是一種普遍使用的 測驗﹐16 歲以上的人﹐其 分布約為平均數 100﹐標準差
15 的常態分布﹒利用 規則回答下列問題:
(1)隨機選擇一個 16 歲以上的人﹐他的 分數在 130 以上的機率是多少?
(2)1000 個 16 歲以上的人中﹐約有多少人的 分數在 85 以上?
IQ IQ
68 95 99.7− − IQ
IQ 答案 (1)0.025;(2)840
解析 (1)130 100 15 2= + ⋅ 為μ+2σ 的位置﹐所以隨機選擇一個 16 歲以上的人﹐
其 IQ 分數在 130 以上的機率是1
(
1 0.95)
0.0252 − = ﹒
16
(2)85 100 15= − 為μ σ− 的位置﹐所以IQ分數在 85 以上的機率是1 1
0.68 0.84 2+ ⋅2 = ﹐ 1000 個 16 歲以上的人﹐有1000 0.84⋅ =840人的IQ分數在85以上﹒
15. 在「是否贊成將民國年號改成西元年號」的民意調查結果如下:
「共成功訪問 900 位臺灣地區 20 歲以上民眾﹐其中不贊成的民眾有 576 人」﹒ (1)受訪者中不贊成改民國年號的比例為多少?
(2)在 95%的信心水準之下﹐此次抽樣的正負誤差為多少百分點?
(3)算出 95%的信賴區間﹒
答案 (1)0.64;(2)3.2;(3)
[
0.608 , 0.672]
解析 (1)在 900 位受訪者當中﹐有 576 位表示不贊成﹐不贊成的比例為 l 576 900 0.64
p= = ﹒
(2)在 95%的信心水準下﹐誤差範圍是 l
( )
1 l 0.64(
1 0.64)
2 2 2 0.016 0.032
900
p p
n
− × −
± = ± = ± × = ± ﹐
調查的抽樣誤差為正負 3.2 個百分點﹒
(3)95%信賴區間為 l
l
( )
1 l[ ]
2 0.64 0.032 0.608 , 0.672
p p
p n
± − = ± = ﹒
16. 富邦銀行委託民調公司調查發現:「約有 65%的臺灣地區民眾在過去一年中曾購買過樂透彩券﹐且有 95%的信心認為其誤差在正負 2.5 個百分點之內﹒」試計算:
(1)民調公司抽查的樣本約為多少人?
(2)樣本中曾購買過樂透彩券的約有多少人?
(3)我們可以有 95%的信心認為曾購買過樂透彩券的民眾比例在多少到多少之間?
答案 (1)1456;(2)946;(3)
[
0.625 , 0.675]
解析 (1)在過去一年中曾購買過樂透彩券的民眾比例 lp=0.65﹐ 在 95%的信心水準下﹐正負誤差為 0.65
(
1 0.65)
2 0
n
± × − =± .025
整理成 65 35
2 2.5 n 1456 n
× = ⇒ = ﹐故抽樣人數 1456 人﹒
(2)樣本中曾購買過彩券的人約有1456 0.65× =946人﹒
(3)95%的信賴區間為0.65±0.025=
[
0.625 , 0.675]
﹒17. 針對臺灣地區的詐騙電話做調查後發現:「有 95%的信心認為約有 70%到 76%的人曾接過詐騙電 話」﹒
17
(1)此次調查約抽樣多少人? (2)樣本中曾接過詐騙電話的約有多少人?
答案 (1)876;(2)639
解析 (1)設這次調查抽樣 人﹒ n
因為 70%到 76%的機率可以表為 73%±3%﹐所以有 的人曾接過詐騙電話﹐
正負誤差 3 個百分點﹒由公式得到
lp=73%
( )
0.73 1 0.73
2 0.03 n
n
− = ⇒ = 876 ﹒
(2)其中曾接過詐騙電話的人約有 73 876 639
×100≈ (人)﹒
18. 根據數學 SAT 考試規定﹐該項測驗的總分如果超過 800 分﹐一律以 800 分記錄﹒已知今年 SAT 考試 呈現常態分布﹐其平均 560﹐標準差 120﹒試求:約有多少比例的考生會收到 800 分的成績單?
答案 2.5%
解析 800=560+ ⋅2 120為μ+2σ 的位置﹐所以有1
(
1 0.95)
0.0252 − = 的考生原始成績是超過 800 分的﹐即約有 2.5%的考生會收到 800 分的成績單﹒
19. 丟硬幣的試驗中﹐硬幣出現正面的比例呈常態分布(平均數為 p 時﹐標準差為 p
(
1 p)
n
− )﹒今丟一
個勻稱的硬幣 100 次﹐其中出現正面的比例為 lp ﹒依常態分布規則﹐求 lp≥0.6的機率﹒
答案 2.5%
解析 丟一個硬幣 100 次﹐其母體平均數 p 為 0.5﹐標準差為
(
1)
0.5 1 0.5( )
100 0.05
p p
σ = n− = − = ﹒
因為0.6=0.5+ ×2 0.05﹐即μ+2σ 的位置﹐ lp≥0.6即 lp 落在μ+2σ 以上的範圍﹐
依 68−95 99.7− 規則﹐機率為1 95%
2 2.5%
− = ﹒
20. 某班 位同學﹐月考數學成績平均為 分﹐標準差為 5 分﹒若成績為常態分配﹐則 (1)成績在
65
到75
分之間者約有多少人﹖(2)成績在
60
到80
分之間者約有多少人﹖40 70
答案 (1)27;(2)38
解析 (1)
65
到75
分為距平均數 1 個標準差﹐約有68%
的成績落在此區間內﹐即約有 68
40 27.2 27
×100= ≈ (人)﹒
(2)在 到
80
分為距平均數 2 個標準差的地方﹐約有 的成績落在此區間內﹐即約有
60 95%
40 95 38
×100= (人)﹒
18
21. 某校有學生
1000
位﹐某次數學段考成績呈常態分布﹐平均成績72
分﹐標準差12分﹒(1)此次數學段考不及格(
60
分以下)的學生約有幾位﹖(2)成績超過 分的約有幾位﹖
(3)某生成績 分﹐他在全校大約排第幾名﹖
96 84
答案 (1)160;(2)25;(3)160
解析 (1)成績平均
72
分﹐標準差 12 分的常態分布﹐60 分在平均數以下 1 個標準差的地方﹐由常態分布﹐約有
68%
的成績在區間[ 72 12,72 12 − + ] [ = 60,84 ]
之間﹒即成績落在 60 分以下及 84 分以上合占
32%
﹐由對稱性知 60 分以下與 84 分以上 各占16%
﹐也就是大約有 160 人數學成績不及格﹒(2)成績落在區間
[ 72 − × 2 12,72 + × 2 12 ]
者約占 ﹐也就是大約有 的學生成績在48 分以下或 96 分以上﹐由對稱性知成績在 96 分以上者約占 ﹐也就是大約有 25 位學生成績在 96 分以上﹒
(3)成績 84 分為平均數以上 1 個標準差的地方﹐由(1)的討論知他大約排在第 160 名左右﹒
95% 5%
2.5%
22. 某社團將進行社長選拔﹐候選人阿美的支持團隊所做民意調查發現﹕阿美的支持度為
55%
﹐接受調 查的有效樣本為 人﹒(1)求在
95%
的信心水準下﹐此抽樣的誤差範圍﹒(2)求
99
阿美所獲支持率的
95%
信賴區間﹒答案 (1)±10%;(2)[0.45, 0.65]
解析 (1)在
95%
的信心水準下﹐誤差範圍是l
( )
1 l( )
n
− 0.55 1 0.55
2 2 2 0.05 0.1
99
p p × −
± = ± = ± × = ± ﹒抽樣的正負誤差為 ﹒
(2) 信賴區間為
[
± 10%
95% 0.55 0.1,0.55 − + 0.1 ] [ = 0.45,0.65 ]﹒
23. 從台北市隨機抽樣
400
人﹐詢問是否贊成週休 3 日制﹐結果有256
人贊成﹐求台北市對週休 3 日制 的贊成比率及95%
的信賴區間﹒答案 0.64﹐[0.592, 0.688]
解析 贊成比率256
400=0.64﹒
誤差範圍
l
( )
1 l 0.64(
1 0.64)
2 2 2 0.024 0.048
400
p p
n
− × −
± = ± = ± × = ± ﹒
故
95%
的信賴區間為[ 0.64 − 0.048,0.64 + 0.048 ] [ = 0.592,0.688 ]
﹒19
24. 某縣縣長施政滿意度的調查報導如下﹕「滿意度為六成﹒本次調查共成功訪問該縣
600
位成年民眾﹒在
95%
的信心水準下﹐抽樣誤差為正負 4 個百分點﹒」(1)這項調查的母體是什麼﹖樣本數為多少﹖(2)受訪者中對縣長施政滿意者約有多少人﹖
(3)算出這次調查的信賴區間﹒
答案 (1)成年民眾﹐600;(2)360;(3)[0.56, 0.64]
解析 (1)母體是該縣成年民眾﹐抽出的樣本有
600
個﹒(2)在 600 位受訪者當中﹐滿意度為六成﹐即回答滿意者約有 60
600 360
×100 = (人)﹒ (3)在
95%
的信心水準下﹐抽樣誤差為正負 4 個百分點﹒信賴區間為
[ 0.6 − 0.04,0.6 + 0.04 ] [ = 0.56,0.64 ]
﹒25. 某男校學務處進行「是否贊成招收女生」的意見調查﹐結果回收有效問卷
1600
張﹐其中贊成者1280
張﹒(1)求贊成比例﹒(2)在
95%
的信心水準下﹐這次調查的正負誤差是多少個百分點﹖(3)計算
95%
的信賴區間﹒答案 (1)0.8;(2)2;(3)[0.78, 0.82]
解析 (1)在 1600 張問卷中﹐有 1280 張表示贊成﹐贊成率為l 1280 0.8 p=1600 = ﹒ (2)在
95%
的信心水準下﹐誤差範圍是l
( )
1 l( )
n
− 0.8 1 0.8
2 2 2 0.01 0.02
1600
p p × −
± = ± = ± × = ± ﹒
(3)
95%
信賴區間為[ 0.8 0.02,0.8 − + 0.02 ] [ = 0.78,0.82 ]
﹒26. 食品檢驗單位對傳言的問題魚類發表檢驗結果如下﹕「我們有
95%
的信心認為此魚類合格率在 到64%
之間」﹒試求此檢驗中﹐共檢驗了多少魚類樣本﹖56%
答案 600
解析 設共檢驗了 個魚類樣本﹒ n
因為
56%
到64%
的機率可以表為60% ± 4%
﹐所以檢驗合格機率 ﹐ 正負誤差 4 個百分點﹒由公式得到l
p= 60%
( )
0.6 1 0.6
2 0.04 n 600
n
− = ⇒ = ﹒
27. 某人丟一個硬幣﹐宣稱「我有 的信心認為此硬幣出現正面的機率為 到 之間」﹒求 (1)誤差範圍是正負多少個百分點﹖(2)此試驗中此人共丟硬幣幾次﹖其中硬幣出現正面幾次﹖
95% 45% 55%
答案 (1)5;(2)400﹐200
解析 (1)
45%
到55%
的機率為50% ± 5%
﹐出現正面機率l
p= 50%
﹐正負誤差為 5 個百分點﹒(2)由公式得到 0.5 1 0.5
( )
2 0.05 n 40
n
− = ⇒ = 0﹒ 又 50
400 200
×100 = (次)﹒