平坦流形
平 斯
初中時的平面幾何, 求證兩個三角形全 等, 高中時的解析幾何, 化約截錐曲線方程式, 在這些時候操作的運算有三種: 平移、 旋轉和 鏡射。 所有這類坐標轉換, 綜合而成平面的等 度群 E(2) 。 依照克難 (F. Klein) 的厄南庚 綱領 (Enlangern Program) 看來, 被這個 群保持的不變量, 如長度, 夾角等就是歐基里 德幾何所界定的範圍。 然而有些對稱的美術 圖案卻不在歐氏幾何裡討論, 因此實在屬於 另外一種幾何。 取 E(2) 裡的一個離散子群 G, 其中的平移, 構成可能是一秩或二秩的加 法子群 Γ。 而所有的旋轉或鏡射部分, 另外構 成一個有限的點群 H, 結構上可能是循環群 或是雙面群 (dihedral group)。 這時 G 是 Γ 透過 H 的一個擴充, 彼此之間用下列的式 子表示其中的關係:
0 → Γ → G → H → 1
首先若 Γ 是一秩, 符合這種群的對稱 圖案, 只有單向的週期性, 散見於古董瓷器碗 盤, 官服的下擺或是袖口, 甚至於更古老的玉 器等。 它們普遍用在邊緣的裝飾, 所以叫做飾 邊群 (Frieze Group) 仔細的分析出七種情 形。
若 Γ 是二秩的, 則對稱圖案有四方連 續的週期, 好像舖瓷磚似的, 可以無限拓展
出整個平面, 所以叫做壁紙群 (Wallpaper group)。 這種群的個數, 豈只成千上萬? 但是 如果忽略大小或正斜的差異, 數學來說是約 去了仿射群 (affine group) 的作用之後, 其 類別只剩下十七種。 走一趟故宮博物院, 或是 古老的寺廟如行天宮, 就會全看到這些群下 對稱的圖案。 這些圖案的最小單位是可以仔 細研究的。 用拓樸的行話來說, 平面被這樣的 對稱群約了之後, 得到一個帶有稜角或稜邊 的曲面, 通稱為角形 (orbifold)。 以下一系列 的十七個圖裡, 有普通的正方形, 三角形等, 也有一些如環面, 柱面的曲面, 還有各式各樣, 完整或不完整的三角包, 其中唯有環面 P1 和 克難瓶 Pg 是特別不帶稜的平滑曲面 (註一)。
當然壁紙群只是二維的特殊例子, 到三 維時, 則正好是一般化學結晶物質的對稱群, 因此一般來說在 n 維的歐氏群 E(n) 裡, 平移具 n 秩的離散子群, 全都稱為結晶群 (crystallographic group)。 這個世紀初, 德 國人希伯特 (D. Hilbert) 提出著名的二十三 個難題來考當代的數學家, 其中第十八道題, 問 n 維結晶群的種類是有限多個嗎? 十年後 畢柏巴赫 (L. Bieberbach) 解決這個問題, 證實果然, 但是確切的個數卻不容易計算。 竭 眾人和超級電腦之力, 目前僅知的數據是: 二 維 17個, 三維 219個, 四維 4783個。(註二)
1
圖一
正如二維時的環面和克難瓶, 在 n 維時 也有平滑的角形, 他們借用了歐氏空間的度 量, 使得曲率為零, 所以通稱為平坦流形, 所 對應的結晶群就叫畢柏巴赫群 (Bieberbach group), 它們的種類, 目前知道的個數是二維 2 個, 三維 10 個, 四維 75 個。 大致來說, 如上 述幾何的限制, 平坦流形完全由畢柏巴赫群 決定, 是相當拘謹的。 然而 1983 年項武忠證 明任何流形若與平坦流形同倫, 則必同胚 (註 三), 所以撇開了幾何的條件不論, 光只是拓 樸來看, 即使條件放寬, 還是十分局限。 這樣 子的刻劃問題: 同倫則同胚, 與球面上的龐加
萊猜測頗有相同的趣味。
三十年前和現在一樣, 大學聯考放榜之 後, 頭一件事是收拾行李上成功嶺去。 我們的 連隊有個剛從鳳山來的步排, 跩的狠, 平時立 正稍息等基本教練或臥倒出槍的單兵攻擊且 不說了, 震撼教育時, 他帶頭爬的連野戰服都 磨穿了, 從來沒看過有人這樣子玩真的。 有一 天收操回營, 吃過晚飯後大伙結伴坐下來乘 涼, 當他知道我們這一幫人即將進數學系, 就 挨著也坐下來問: 「拓樸學聽過沒有? 」 聯 考會考嗎? 當然沒有。 說著說著他就拿出一 片紙條, 這樣比, 那樣比, 比出各式各樣的曲 面, 一邊還描述每個曲面的精妙之處, 說的真 是舌燦蓮花, 頑石點頭, 直樂得眾猴搔耳抓腮 , 手舞足蹈。 最後在即將風雲起, 山河動的時 候, 他站了起來說: 「上了大學, 還有好多要 學啦。」 真是說不盡的多少期待。 其他人我不 知道, 就我而言, 這席話就是我拓樸學的啟蒙 教育了。
大學二年級時修高微, 繆龍驥曾漫不經 意的說: 「變分法很重要, 是研究拓樸很麻利 的工具。」 像彌勒佛一樣的老繆, 說話時笑嘻 嘻的, 但是說什麼是什麼, 不聽準吃虧。 於是 下學期王志毅開變分法, 就急忙去選了。 結 果學到如何計算積分到小數第三位, 這個招 式或許會讓高斯讚賞, 但是拓樸則一點影子 也沒有看到。 一直要若干年後, 學了微分拓 樸, 才真體會老繆之言的真切。 三年級正式 修拓樸學, 在阮希石的調教下, 把杜公謹 (J.
Dugundji) 的前半部點集拓樸結實的讀完, 這樣可以算是入門了。 僥倖大學四年, 間中 海外高人如陳省身, 楊宗道等掌門護法也不
時回來鼓吹, 然而對整個拓樸學拼湊出來的 印象, 正如樊璣被他舅舅訛的: 「就像代數一 樣。」 老排長吹噓的都到那去了? 服完兵役之 後, 留校當助教, 這天艾倫伯 (S Eilenberg) 來演講, 叨陪午飯。 席間他問諸人讀些什麼?
當然是拓樸, 再問: 「什麼樣的拓樸? 」 這當 場可把眾人愣住了: 老先生不務正業也罷了, 怎麼老本行吃飯的傢伙也丟了呢? 於是逐漸 心存疑惑, 或許還有不曾見過牌子的拓樸。 同 時憶起王志毅曾說: 「美國南方有批人做很奇 怪的拓樸。」 好像在宣示那門邪教一般。 其實 指的是摩耳 (R.L. Moore) 的徒子徒孫們。
曾有這麼個時代, 凡做拓樸的嘴裡不夾些歐 洲土音, 就被人認為肚子裡學問不大。 這些人 卻埋首搞自己的一套, 討論起拓樸, 比手畫腳, 塗塗抹抹, 寫起文章, 圖雖有趣, 更多切口。
這種明心見性, 直指成佛的做法, 令人歎為觀 止。 從前學拓樸時, 要滿足直觀畫個圓圈代表 鄰域, 還要遮遮掩掩的, 那能像這樣大筆大筆 的畫。 兩者之差真不可以道里計。 回頭仔細看 這些曲面, 當年老排長所說的, 這不都回來了 嗎?
參考資料
1. J.M. Montesinos:Classical tessellations and 3-manifolds (1987), Springer - Ver- lag.
2. R. Schwarzenberger : N dimensional crystallography, 1980, Pitman.
3. 項武忠: American Journal of Mathe- matics (105), 1983, 641-672.
—本文作者任教於東吳大學數學系—
