流和

Ricci 流和 _Poincar´e 猜測

張樹城

摘要: 本文試著用通俗的描述來表達 R. Hamilton在 Ricci 流 (flow) 上的進展及其與 Poincar´e 猜測之間的相互關係。

1. 前言

1.1 幾何與非線性微分方程

微分幾何最基本的目的就是對一些幾何 類給一個最適當的描述 – 這通常包含了分 析結構及構造在這分析結構上的幾何類的描 述; 則我們必須研究這些結構及幾何類如何 彼此相互產生作用, 此類關係通常由某些微 分方程所控制。 一般來說, 對局部性的幾何 類而言, 這些方程往往是線性的; 對全域性 的幾何類, 其方程則是非線性的幾何類。 譬 如:

1. 調和映射方程。

2. 最小曲面方程。

3. Monge-Amp´ere 方程。

4. Yang-Mills 方程。

5. Euler-Lagrangian 方程, 即黎曼泛函的 臨界度量方程。

以上這些方程都是 elliptic 方程, 這些 方程的解的存在性可反應出一些很好的幾何 結果。

值得一提的是: 為了研究這些 elliptic 方程, 通常會有另一個相對應的 Parabolic 方程 (Heat flow)。

本文主要也是從這著眼點出發, 即從 Parabolic 方程的觀點, 介紹某些類型的幾何 流 (Geometic flow) 方程–Ricci flow, 進而 描述其與幾何拓樸之間的相互關係。

特別地, 我們將著重在 Ricci flow 與 Poincar´e 猜測之間的關係。 自從費瑪最後定 理被證實以後, 數學界下一個可能達成的大 目標就是解決–Poincar´e 猜測。

1.2. Ricci flow 和 Poincar´ e 猜 測

於 1982, R. Hrmilton 考慮在 Mⁿ × [0, T ) 上的 Ricci flow(RF):

∂

∂tgij = −2Rij (∗) 及 Normalized Ricci flow(NRF):

∂

∂tgij = −2Rij + 2

nrgij (∗∗)

3

其中 gij(t) 為 n維流形M上的度量, Rij 為 Ricci 曲率, r =

R

Rdn

R

dµ 為平均純曲率, R 為 純曲率。

Hamilton 於 1982 證明了

定理 A ([Hal], 1982): 在封閉的 (closed) 的 3 維黎曼流形 M³ 上, 假如 (∗∗) 的初值度量 g_ij(0) 的 Ricci 曲率是正的, 則 對所有時間 t, (∗∗) 的解存在, gij(t) 逼近到 正的常曲率度量, 而且 M³ 與 ^S_Γ³ 可微同胚, 其中Γ為有限群。

註 A:

1. 由定理 A 可知給定一 homotopy 3- sphere M, 如果 M 上存在一正 Ricci 曲率度量, 則 M = S³, 所以 Poincar´e 猜測在此情況下是對的。

2. 一般情況之下, (**) 可能會有奇異解 出現, 因為並非所有封閉的流形都會有 Einstein 度量; 另一方面, 短時間 (∗) 光 滑解的存在性總是成立的。

3. 此一定理可視為解決 Poincar´e 猜測的一 大進展。 類似地, S. T. Yau 也找到了非 正純曲率的 K¨ahlen-Einstein 度量, 進 而解決了 Calabi 猜測。 在此, Hamil- ton找到了正純曲率的 Einstein 度量。

另外, Tian-Yau也找到了一些正純曲率 的 K¨ahlen-Einstein 度量。

4. 在固定體積之下,

^R

_nRdµ 的 Euler- Lagrangian 方程為 −2Rij+²_nRgij= 0;

所以 (**) 式的右側式子並非其 Euler- Lagrangian 方程, 但 Hamilton 的想法 基本上由此而來!

1.3 Thurston’s Geometrization 猜 測

簡單一句, Thurston’s Geometriza- tion 猜測描述說: 對每一個封閉3維流形, 皆 可分解成幾個分量, 其中每一分量存在一個 幾何結構 (geometric structure):

^H

³,

^E

³,

S

³,

^H

²×

^R

,

^S

²×

^R

, SL(2,

^{g R}

), Niℓ, Sol。

註 B: 上述的猜測提了 3 維統形的幾何與拓 樸之間的關係; 而 Poincar´e 猜測是其 中的一個結果!([A])

R. Hamilton 的 Ricci flow 基本上是 想利用幾何的方法來研究 Thurston’s Ge- ometrization猜測。 大致上可分為二大部份:

• 第一部份: 研究有限的時間內 (∗) 的奇異 解。

• 第二部份: 非奇異解的分類。

我們將詳述於後:

2. Ricci flow 的奇異解

2.1. Necks 和 Geometric sur- gery

首先, 我們注意到, (∗) 的解沿著正 Ricci 曲率的方向向內收縮 (shrinking); 然 而沿著負 Ricci 曲率的方向向外擴張 (ex- panding)。 例如在 S²上, (∗) 的任何正曲率 解在有限時間內將向內縮到一點。 因此, 我們 猜測一般的情況如下:

(a) (S², dumbell 度量)

S

¹

× B

¹

K > 0 S

²

S

²

K > 0

K ≤ 0

↓

S

²

• 兩邊 S²: 正曲率。

• 中間 Neck S¹×B¹: 很接近零的負曲率 我們預測兩邊向內收縮 (contract) 比 中間向外擴張 (expanding) 來得快, 最初變 成單一 S², 然後漸漸收到一點。

(b) (S³, dumbell 度量)

S

²

× B

¹

0 < K S

³

S

³

K > 0

neck K > 0

↓

S

³

S

³

扭

(pinching)

↓

S

³

S

³

• 兩邊 S³: 正曲率。

• 中間 Neck S²×B¹: 正曲率。

預測 Neck S²×B¹ 將向內收, 進而分出兩 個 round S³。

(c) (H²,dumbell 度量)

T

²

× B

¹

K = −1 K = −1

short and fat

↓

K = −1 K = −1

long and thin

• 兩邊 K ≡ −1

• 中間 Neck T²×B¹: 曲率微負。

預測 Neck T²×B¹ 將越來越長越薄, · · ·。

註C:

1. 一般維度時, Neck:N^p × B^q ֒→ Mⁿ, n = p + q。

2. 如上面 (a),(b), Hamilton的方法是在其 產生奇異解之前做所謂的“幾何手術 (ge- omitric surgery)”, 如

n = 3

S²×B¹ →B³×S⁰ n = 4

S³×B¹ →B⁴×S⁰ S²×B² →B³×S¹ 3. 例子 (C), 我們必須將解做適當的尺標變

換 (rescaling), 然後再做 2。

4. Hamilton 理解到下列的對應關係

 



Neck pinching off

 



↔

 



Thuston’s geometrization 猜測中的分解

 



綜合以上討論, Hamilton 想分析在有 限時間的奇異解的特性, 使得在奇異解產生 以前, 能夠做所謂“幾何手術”如上, 然後把流 形作適度的分解, 再讓 Ricci flow繼續作用 下去, 進而得到非奇異解。

2.2. 3維和4維流形的奇異解

上一節的想法, 在某些四維流形上是可 以做到的

定理B ([Ha6], 1999): 在四維 closed 流形上, 如果存在有正的迷向 (isotropic) 曲率 (PIC), 則唯一的奇異解是如上所說的 Neck piching off, 如果在出現奇異解以前 作“幾何手術”, 則流形可分解為S⁴,

^R

P⁴, S³×S¹, S³×²S¹, 然後再考慮 Ricci flow, 則經過有限次的“手術”後, 我們得到空集合, 即表示 M 與 S⁴比

^R

P⁴, S³×S¹, S³×²S¹ 的 connected sum是可微同胚!

現在回到我們想理解的 3維流形。

定理 C ([Ha9], 1999): 假設 (M³, gij(t)) 是 (∗) 的奇異解, 則存在一子序列 的尺標變換度量, 使得其收斂至 S³/Γ, 或 S²×

^R

/Γ, 或

^P

×

^R

/Γ, 其中Γ為有限群,

^P

是 cigar soliton (非緊緻, 在無窮遠處類似 cylinder)。

註 D:

(1) Hamilton 猜測

^P

×

^R

的情況是不可 能的, 其中一個重要工具是下面將介紹 的“Little Loop Lemma”。

(2) 例如 1 是對的, 則這些尺標變換度量將收 斂至S³/Γ或者可作一 surgery, 然後證 明經過有限次後, 得到非奇異解。

(3) 果真如此, 則整個問題就剩下這些非奇異 解的分類了。

3. 3維流形的非奇異解之分類

3.1. 定義與例子

定義: 我們說 (M³, gij(t)) 是 (**) 的 非奇異解當對所有時間 0 ≤ t < ∞, gij(t) 皆存在且其曲率一致有界。

例如: (**) 在任一封閉流形有非奇異解存在, 當初值度量 gij(0) 是

(a) (

^P

², g⁰): 任一閉曲面, (b) (M³, g⁰): Ric(g⁰) > 0,

(c) (M³, g⁰): 局部 homogeneous 度量, (d) (M⁴,⁰): g⁰ 有正的曲率算子,

(e) (M, g0): K¨ahler 流形, C1(M) = 0 或 C¹(M) < 0。

3.2. 3維流形的非奇異解

最後, 當M是閉3維流形時, 非奇異解的 拓樸性質完全被分類出來。

定理 D ([Ha5], 1998): 假如 M³ 存在 有 (**) 的非奇異解, 則我們可以完全把 M³ 分解成為一些幾何結構.

由上第二節與第三節可知, 整個問題剩 下來的就是如何去解決註 D(1) 的猜測了。

下面我們提供一些可能的方法。

4. 極大值原理及 Harnack 估 計

4.1. 極大值原理 (Maxinum Princi- ple)

Ricci flow 之所以能夠在分析與幾何中 建立關聯, 最基本的性質就是幾何量滿足所 謂的極大值原理; 由此可知, 對所有進度而言, 正純曲率 R 及正曲率算子都被 (∗)保持下來, 在特殊的 3維流形中, 正 Ricci 曲率也被保持 下來, 另外它用來證明了研究 Ricci flow 一 個重要的估計–Harnack 不等式。

4.2. Harnack 估計

我們介紹下列的 Harnack 不等式:

定理 E ([Ha7], 1993): 假設 (M, gij(t)) 是 (∗)的解, gij(0)有非負曲率算 子Rijkl, 則對任一向量場W , 2 − form U

Z = MijWⁱW^j+ 2PijkU^ijW^k +RijklU^ijU^kl≥0.

其中

Pijk = DiRjk− ∇_jRik

Mij = △Rij −1

2∇_i∇_jR +2g^kpg^lqRikjlRpq

−g^klRikRjl+ 1 2tRij

∇_i = Levi-Civita 連絡

∆ = gij∇_i∇_j

應用:

(1) Harnack 估計用來研究(∗)的奇異 解與 Ricci Soliton 之間的關係, 如 [Ha9]。

(2) 它也可用來證明下列的 “Little Loop Lemma”:

對(m³, g⁰)而言, 如果 g⁰ 為非負截面曲 率度量, 則存在常數A, B, 使得如果在某時 間 t, ρ 滿足

R(y, t) ≤ A

ρ², ∀y ∈ Bρ(x) 我們有如下估計

inj(x) ≥ Bρ

其中 inj(x) = injectivity radius, ∀x ∈ M.

由此引理, 將可用來證明註 D(1) 的猜 測問題乃是在此引理中, 我們必須對曲率做 適度限制。

5. Open 問題

從以上討論以及註 D(1), 第四節應用 (2), 知如果我們能得到類似如下猜測, 則整 個 Hamilton’s program 將可得到滿意的答 案。

Conjecture: 考慮(M³, gij(t))上的 Ricci flow, 在任何初值度量gij(0)之下, 我 們也有某種 Harnack-type 的估計!

例子: 在二維的例子, Hamilton 和 Yau 找到了類似的 Harnack-type 估計。

參考資料

[A ] M. Anderson, Scalar curvature and geometrization conjectures for 3- manifolds, in Comparison Geometry, MSRI Publications, 30(1997), 49-82, Cambridge Univ. Press.

[Ha1 ] R. S. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Dif- ferential Geom. 17(1982), 255-306.

[Ha2 ] R. S. Hamilton, Four-manifolds with positive curvature operator, J. Differ- ential Geom. 24(1986), 153-179.

[Ha3 ] R. S. Hamilton, The Ricci flow on surfaces, Contemporary Mathematics 71(1988), 237-261.

[Ha4 ] R. S. Hamilton, An isoperimetric estimate for the Ricci flow on sur- faces, in Modern Methods in Complex Analysis, The Princeton conference in

honor of Gunning and Kohn, pp. 191- 200, ed. T. Bloom, etal., Annals of Math. Studies 137(1995), Princeton Univ. Press.

[Ha5 ] R. S. Hamiltion, Non-singular solu- tions of the Ricci flow on three mani- folds, Comm. Anal. Geom. (1998) to appear.

[Ha6 ] R. S. Hamiltion, Four-manifolds with positive isotropic curvature, Comm.

Anal. Geom. 5(1997), 1-92.

[Ha7 ] R. S. Hamiltion, The Harnack esti-

mate for the Ricci flow, J. Differential Geom. 37(1993), 225-243.

[Ha8 ] R. S. Hamilton, Eternal solutions to the Ricci flow, J. Differential Geom.

38(1993), 1-11.

[Ha9 ]R. S. Hamilton, Formation of singu- larities in the Ricci flow, Surveys in Diff. Geom. 2(1995), 7-136, Interna- tional Press, Boston.

—本文作者任教於清華大學數學系—